MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV TEORETICKÉ FYZIKY A ASTROFYZIKY. Bakalářská práce BRNO 2016 ANNA HRUBÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ˇ ˇ P RÍRODOV EDECKÁ FAKULTA Ú STAV TEORETICKÉ FYZIKY A ASTROFYZIKY

Bakaláˇrská práce

B RNO 2016

A NNA H RUBÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ˇ ˇ P RÍRODOV EDECKÁ FAKULTA Ú STAV TEORETICKÉ FYZIKY A ASTROFYZIKY

Sluneˇcní soustava Bakaláˇrská práce

Anna Hrubá

Vedoucí práce: doc. RNDr. Vladimír Štefl, CSc.

Brno 2016

Bibliografický záznam Autor:

Anna Hrubá Pˇrírodovˇedecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav teoretické fyziky a astrofyziky

Název práce:

Sluneˇcní soustava

Studijní program:

Fyzika

Studijní obor:

Fyzika se zamˇeˇrením na vzdˇelání Matematika se zamˇeˇrením na vzdˇelání

Vedoucí práce:

doc. RNDr. Vladimír Štefl, CSc.

Akademický rok:

2015/2016

Poˇcet stran:

vii + 46

Klíˇcová slova:

astrofyzika; sluneˇcní soustava; stˇredoškolské úlohy; Keplerovy zákony; kosmické rychlosti; slapové síly

Bibliographic Entry Author:

Anna Hrubá Faculty of Science, Masaryk University Department of Theoretical Physics and Astrophysics

Title of Thesis:

Solar System

Degree Programme:

Physics

Field of Study:

Physics with a view to Education Matematics with view to Education

Supervisor:

doc. RNDr. Vladimír Štefl, CSc.

Academic Year:

2015/2016

Number of Pages:

vii + 46

Keywords:

astrophysics; solar system; high school tasks; Kepler laws; orbital speed; tidal force

Abstrakt Tato bakaláˇrská práce se vˇenuje vˇecnému rozboru sluneˇcní soustavy s d˚urazem pˇredevším na mechaniku a úlohu gravitace. Cílem bylo vytvoˇrit text tak, aby jej bylo možno použít jako celek i po jednotlivých kapitolách, z nichž každá pˇredstavuje samostatný pohled na problematiku. Díky tomu lze práci využít více r˚uznými zp˚usoby - at’ už jako hotový materiál do volitelného stˇredoškolského semináˇre k tématu sluneˇcní soustava, zdroj dat, komplexnˇejších úloh a zajímavostí pro bˇežnou fyzikální výuku na stˇrední škole nebo základní pˇrehled k této problematice pro studenty. První kapitola obsahuje teoretické odvození nˇekterých obecnˇe platných zákon˚u (Keplerovy zákony) a vysvˇetlení pojm˚u a jev˚u, se kterými se studenti setkávají, ale mnohdy jim chybí pˇresná fyzikální interpretace (kosmické rychlosti, slapové síly). Druhá kapitola se vˇenuje tˇeles˚um ve sluneˇcní soustavˇe, kromˇe pˇrehledu základních charakteristik je ke každé planetˇe a Slunci pˇripojen fyzikální rozbor vybraného zajímavého jevu. Tˇretí kapitola pˇredkládá soubor úloh aplikujících obecné problémy diskutované v první kapitole k dokreslení fyzikálních pˇredstav o jevech ve sluneˇcní soustavˇe. Pˇri jejich ˇrešení je zvýraznˇená fyzikální stránku úlohy a není proto kladen d˚uraz na nároˇcnost použitého matematického aparátu, který tak nepˇresahuje stˇredoškolskou úroveˇn.

Abstract This bachelor thesis is focused on factual analysis of the Solar System with the emphasis on mechanics and the role of gravity. The goal was to create the text in such a way that it would be possible to use the whole text or its individual chapters, which represent separate outlooks on the problem. Thanks to this it is possible to use this thesis in more ways - as a complex paper for a high-school seminar for a topic of the Solar System, or as source for data, a complex exercises or interesting facts for regular physics education or as a basic outlook on the problem for students on a high school level. The first chapter contains derivating of some of the universal laws (Kepler’s laws), explains terminology and phenomena with which students get in contact but which lack precise physical interpretation (orbital speed, tidal force). The second chapter deals with cosmic bodies in the Solar System. Apart from their basic characteristics it also contains an analysis of interesting fact for each planet and the Sun. The third chapter offers a set of exercises which are applied to general issues described in the first chapter to illustrate physical ideas about phenomena in the Solar System. Their solution emphasizes the physical part of the exercise and not the mathematical part which means that mathematical range of exercises is within high school level.

Podˇekování Na tomto místˇe bych chtˇela podˇekovat pˇredevším vedoucímu bakaláˇrské práce doc. RNDr. Vladimíru Šteflovi, CSc. za trpˇelivost, zajímavé podnˇety a cenné pˇripomínky pˇri vytváˇrení práce.

Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakaláˇrskou práci vypracovala samostatnˇe s využitím informaˇcních zdroj˚u, které jsou v práci citovány.

Brno 18. kvˇetna 2016

............................. Anna Hrubá

Obsah Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Kapitola 1. Obecnˇejší problémy a úvahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Keplerovy zákony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Úloha o dvou tˇelesech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Keplerova úloha a I. Kepler˚uv zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 II. Kepler˚uv zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 III. Kepler˚uv zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Kosmické rychlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 První kosmická rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Druhá kosmická rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Tˇretí kosmická rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Slapové jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 P˚uvod slapových sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 2 3 7 8 10 10 12 12 13 13

Kapitola 2. Sluneˇcní soustava 2.1 Zemˇe a Mˇesíc . . . . . . . 2.1.1 Zemˇe . . . . . . . . 2.1.2 Mˇesíc . . . . . . . . 2.2 Slunce . . . . . . . . . . . . 2.3 Planety . . . . . . . . . . . 2.3.1 Merkur . . . . . . . 2.3.2 Venuše . . . . . . . 2.3.3 Mars . . . . . . . . 2.3.4 Jupiter . . . . . . . 2.3.5 Saturn . . . . . . . 2.3.6 Uran . . . . . . . . 2.3.7 Neptun . . . . . . .

16 16 16 18 19 20 20 21 22 24 25 27 28

...................................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Kapitola 3. Soubor astrofyzikálních úloh pro SŠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1 Poˇcetní úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Závˇer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– vii –

41

Úvod Astrofyzikou nazýváme disciplínu fyziky, která aplikuje poznatky z jejich ostatních odvˇetví na tˇelesa v cˇ asoprostoru, který nazýváme vesmírem. Zdrojem informací pro širokou veˇrejnost cˇ asto bývají pouze vˇedecko-fantastické knihy a filmy, laik tak cˇ asto mimodˇek pˇrejímá myšlenky autorské licence jako samozˇrejmou vˇec. Ještˇe horší variantu pak pˇredstavují rozšíˇrené dezinformace v nˇekterých populárnˇe-nauˇcných poˇradech a nˇekdy i uˇcebnicích. Pˇrijetí takovýchto nepravd lze minimalizovat tím, že už ve studentech na základní, potažmo stˇrední škole, zaˇcneme budovat tu správnou pˇredstavu o vesmíru. Tato pˇredstava nestojí na nemˇenných dogmatech, ale na fyzikálních principech a kritickém uvažování podloženém hodnotami zjištˇenými pozorováním.

Sluneˇcní soustava - výchozí bod pro pochopení vesmíru Samotný seznam planetárních soustav, hvˇezdokup, galaxií a dalších systém˚u by cˇ ítal obrovský poˇcet položek. Už jen samotné množství dat vyvolává otázku, jak si v˚ubec vesmír, nˇeco pro bˇežné lidské podmínky obsáhlého, pˇredstavit. Pˇri pochopení základních princip˚u a jev˚u probíhajících ve sluneˇcní soustavˇe1 , pochopíme i dˇeje v malém „vzorku“ vesmíru. Slunce a nejbližší planety tak pˇredstavují výchozí bod pro pochopení vesmíru jako takového. Ve školské výuce se žáci s astrofyzikou seznámí jako se souborem mnoha údaj˚u o jednotlivých planetách, mˇesících, kometách a ostatních cˇ ástech pˇredevším právˇe sluneˇcní soustavy. Ale jak se parametry tˇechto objekt˚u urˇcily? Odkud víme o základních zákonech pohybu planet? M˚užeme nˇejak urˇcit složení hvˇezd cˇ i planet, aniž bychom na nich pˇristáli sondou? Tyto otázky bohužel i na stˇrední škole cˇ asto z˚ustávají nezodpovˇezeny. Proto jsme považovali za vhodné pˇredstavit nejprve základní principy, kterými se kosmická tˇelesa ˇrídí, uvést nebo alespoˇn nastínit ˇrešení nˇekterých obecnˇejších problém˚u s nimi spojených a struˇcnˇe uvést jejich praktickou aplikaci právˇe ve sluneˇcní soustavˇe.

1 Navzdory

stále cˇ astˇeji se objevujícímu pojmenování této soustavy astronomy s velkým poˇcáteˇcním písmenem, pˇridržujeme se v tomto textu aktuálnˇe platných pravidel cˇ eského pravopisu, která uvádí toto sousloví s obˇema poˇcáteˇcními písmeny malými.

–1–

Kapitola 1 Obecnˇejší problémy a úvahy 1.1

Keplerovy zákony

Jako první provedeme analytický rozbor Keplerových zákon˚u, které jejich objevitel založil na pˇresných pozorováních Tychona Brahe, tedy v zásadˇe šlo o empiricky zjištˇené zákony.

1.1.1

Úloha o dvou tˇelesech

Nejdˇríve analyzujme pohyb uzavˇrené hmotné soustavy sestávající ze dvou cˇ ástic, výklad jsme zpracovali podle [1]: Lagrangeova funkce pro takovou soustavu má tvar L=

m1 r˙ 1 2 m2 r˙ 2 2 + −U(|r1 − r2 |). 2 2

(1.1)

Zavedeme relativní polohový vektor první cˇ ástice v˚ucˇ i druhé r = r1 − r2 a radius-vektor stˇredu hmotnosti R=

m1 r1 + m2 r2 . m1 + m2

Z pˇredchozích rovnic jednoduše vyjádˇríme vektory r1 a r2 pomocí radius-vektoru stˇredu hmotnosti a relativního polohového vektoru r:

r1 = R +

m2 · r, m1 + m2

r2 = R +

m1 · r. m1 + m2

(1.2)

Po dosazení do Lagrangeovy funkce, kde pˇredtím oznaˇcíme M celkovou hmotnost soustavy M = m1 + m2 a µ tzv. redukovanou hmotnost, pˇrejde lagrangián do tvaru ! ˙2 MR µ r˙ 2 L= + −U(r) . (1.3) 2 2 Lagrangeova funkce se rozdˇelila na dva cˇ leny závisející na rozdílných promˇenných, tj. provedli jsme separaci promˇenných. První cˇ len M ˙2 R 2 –2–

Kapitola 1. Obecnˇejší problémy a úvahy

3

odpovídá rovnomˇernému a pˇrípoˇcarému pohybu hmotného stˇredu a druhý cˇ len µ 2 r˙ +U(r) 2

(1.4)

udává pohyb jednoho hmotného bodu o hmotnosti µ ve vnˇejším centrálním poli U(r). Vyˇrešíme-li tuto úlohu, tj. najdeme-li funkci r˙ = r˙ (t), pak ˇrešení r1 (t) a r2 (t) získáme z (1.2).

1.1.2

Keplerova úloha a I. Kepleruv ˚ zákon

V Lagrangeovˇe funkci 1.4 není závislost na cˇ ase, energie systému se tedy zachovává E=

µ r˙ 2 +U(r) = konst., 2

a protože jde o centrální silová pole, zachovává se také moment hybnosti cˇ ástice l vzhledem k centru. Tato cˇ ástice se proto bude neustále pohybovat v rovinˇe kolmé k vektoru momentu hybnosti l. Zavedeme-li v této rovinˇe x, y polární souˇradnice r, ϕ, Lagrangeova funkce 1.4 se transformuje jako µ L = · ˙r2 + r2 ϕ˙ 2 −U(r) 2 a pro energii podobnˇe µ E = · ˙r2 + r2 ϕ˙ 2 +U(r) = konst. 2 Pro moment hybnosti hmotného bodu získáme l = lz = µr2 ϕ˙ = konst., tudíž E= Z pˇredchozího vztahu vyplývá

l2 µ˙r2 + +U(r). 2 2µr2

(1.5)

(1.6)

√

µdr dt = ± q , 2 E −Ue f

(1.7)

kde jsme výraz Ue f = U(r) +

l2 2µr2

oznaˇcili jako tzv. efektivní potenciální energii. Druhý cˇ len interpretujeme jako potenciální energii odstˇredivé síly v neinerciálním systému, který se otáˇcí okolo centra spolu s danou cˇ ásticí. Rovnice 1.7 udává závislost t(r). Snadno z rovnice 1.7 získáme i invertovanou závislost s 2 l2 dr = ± · E −U(r) − 2 2 · dt. (1.8) µ µ r Ze vztah˚u 1.5 a 1.8 obdržíme l µ · r2

dϕ =s , dr 2 l2 · E −U(r) − 2 2 µ µ ·r


4

dϕ = dr · s

l µ · r2

.

(1.9)

2 l2 · E −U(r) − 2 2 µ µ ·r

Rovnice popisuje trajektorii cˇ ástice. Integrace rovnic 1.7 a 1.9 dává √ Z µdr t − t0 = ± q , 2 E −Ue f ϕ − ϕ0 = ±

Z

ldr q . 2 r 2µ E −Ue f

Z rovnice 1.6 plyne, že radiální cˇ ást pohybu m˚užeme vyšetˇrovat obdobnˇe jako jednorozmˇerný pohyb bodu v poli s potenciálem Ue f . Pˇri tomto pohybu jsou pro radiální souˇradnici r pˇrípustné jen hodnoty, pro které platí l2 E− −U(r) ≥ 0. (1.10) 2µr2 Rovnost nastane v bodech obratu. V pˇrípadˇe finitního pohybu existují dva body obratu, r0 = rmin a r0 = rmax , rmin ≤ r ≤ rmax .1 Finitní pohyb se tedy dˇeje v mezikruží omezeném hodnotami rmin a rmax . Za cˇ as odpovídající zmˇenˇe r právˇe od rmin do rmax , se radius-vektor otoˇcí o úhel l µ · r2

Z rmax

Φ=2 rmin

s

dr

2 l2 · E −U(r) − 2 2 µ µ ·r

Z rmax

Φ=2 rmin

ldr q . 2 r 2µ E −Ue f

Hledaná trajektorie obecnˇe není uzavˇrenou kˇrivkou. Pro ni však musí být úhel Φ racionální násobek cˇ ísla 2π. Tato situace nastane, jestliže U(r) je úmˇerné 1r , a v pˇrípadˇe, kdy U(r) je úmˇerné r2 .

Kepleruv ˚ problém Do této chvíle jsme odvození dˇelali pro obecný potenciál U(r). My budeme pˇredpokládat centrální p˚usobení Slunce na okolní planety (vˇcetnˇe Zemˇe). V tom pˇrípadˇe má potenciál tvar: α U(r) = − , r 2

l kde α = G · m1 · m2 . M˚užeme si také oznaˇcit takzvaný efektivní potenciál Ue f (r) = − αr + 2µr 2 . Pr˚ubˇeh této funkce je zakreslen na obrázku níže:

1 Omezíme-li

oblast dovolených hodnot promˇenné r pouze podmínkou r ≥ rmin , mluvíme o infinitním pohybu cˇ ástice. Ta se potom pohybuje z nekoneˇcna a do nekoneˇcna se vrací.


5

Obrázek 1.1: Efektivní potenciál Dosad’me tedy pˇredpokládaný tvar potenciálu do rovnice: Z

ϕ=

ldr r2 s . l2 α − 2 2 2µ · E + r µ ·r

Výraz pod odmocnítkem doplníme na cˇ tverec: l 2 α l2 l ·A l2 2µ = E + − 2 = − − A + B2 = − 2 + 2 − A2 + B r r r r r =⇒ 2µα = 2lA,

A=

µα , l

B=

µ 2α 2 + 2µE. l2

Rovnice potom pˇrejde do tvaru: Z

ϕ=

ldr r2 q . 2 µ 2α 2 − rl − µα + 2µE + l l2

Vhodnˇe zavedeme substituci l l − µα −A l u = r√ = q r 2 2 B 2µE + µ l 2α

du = q

− rl2 dr 2µE +

µ 2α 2 l2

,

takže integrál získáme v jednodušším tvaru, který zintegrujeme: ϕ =−

Z

l − l du √ = arccos q r 2 2 1 − u2 2µE + µ l 2α µα

! + konst.


6

ˇ Citatele i jmenovatele vydˇelíme výrazem

µα l

s e=

1+

a zároveˇn znovu provedeme substituci, oznaˇcíme

2El 2 µα 2

a

p=

l2 , µα

(1.11)

kde pˇri gravitaˇcním p˚usobení sil uvažujeme,že α = GM1 M2 . Integraˇcní konstantu navíc m˚užeme bez újmy na obecnosti položit rovnu nule. Úhel ϕ tak vyjádˇríme ve tvaru p −1 ϕ = arccos r , e p − 1, r p 1 + e · cos ϕ = . r V poslední rovnici poznáváme rovnice kuželoseˇcek v polárních souˇradnicích. Pro názornost pˇrevedeme rovnici do kartézských souˇradnic a dokážeme, že jde skuteˇcnˇe o kuželoseˇcku - tj. o rovnici elipsy, paraboly nebo hyperboly. e · cos ϕ =

r + e · r · cos ϕ = p | {z } x

(p − e · x) = r Rovnici umocníme a upravíme: x2 + y2 = p2 − 2pex + e2 x2 , x2 (1 − e2 ) + 2pex + y2 = p2 . V tuto chvíli se nám ˇrešení rozpadá na tˇri možnosti v závislosti na parametru e: 1. e < 1 · · · ELIPSA 2pex y2 p2 + = 1 − e2 1 − e2 1 − e2 Na pravé stranˇe provedeme pˇrevod na cˇ tverec: x2 +

x+ x+

pe 2 p2 e2 y2 p2 − + = 1 − e2 (1 − e2 )2 1 − e2 1 − e2

pe 2 y2 p2 e2 + = · 1 + 1 − e2 1 − e2 1 − e2 1 − e2 pe 2 x+ 2 y2 1p− e + =1 p2 2 √ 2 1−e 1 − e2

(1.12)


7

2. e = 1 · · · PARABOLA r + r · cos ϕ = p | {z } x

r2 = (p − x)2 x2 + y2 = p2 − 2px + x2 x=

p2 − y2 2p

3. e > 1 . . . HYPERBOLA x2 · (1 − e2 ) + 2pe + y2 = p2 −x2 +

2pe y2 p2 + = e2 − 1 e2 − 1 e2 − 1

pe 2 p2 e2 y2 p2 ) + + = e2 − 1 (e2 − 1)2 e2 − 1 e2 − 1 p2 e2 pe 2 y2 −(x − 2 ) + 2 = 2 · 1− 2 e −1 e −1 e −1 e −1 pe 2 x− 2 y2 e −1 − =1 p 2 p 2 √ e2 − 1 e2 − 1 −(x −

I.Kepleruv ˚ zákon, [2]): Planety obíhají kolem Slunce po jen málo výstˇredných elipsách. Spoleˇcným ohniskem všech eliptických drah je Slunce a všechny dráhy leží pˇribližnˇe v jedné rovinˇe.

1.1.3

II. Kepleruv ˚ zákon

Výklad II. a III. Keplerova zákona jsme zpracovali podle [3]: Jestliže souˇcet moment˚u všech vnˇejších sil vzhledem k poˇcátku je nulový, pak z druhé impulzové vˇety (za pˇredpokladu p˚usobení centrálních sil) pˇrímo vyplývá zákon zachování momentu hybnosti. Skuteˇcnost, že se veliˇcina zachovává vyjadˇruje rovnice ∂l = 0. ∂t Pˇripomeˇnme, že moment hybnosti je urˇcen vztahem l = µr × v = µr × r˙ . Takže cˇ asová derivace l dopadne následovnˇe: dl = µ r˙ × r˙ + µr × r¨ . dt Vektorový souˇcin vektoru se sebou samým je identicky roven nule. Z poslední rovnice tedy získáváme podmínku r × r¨ = 0. (1.13) To je splnˇeno právˇe za pˇredpokladu, kdy vektory r a r¨ leží v jedné rovinˇe.


8

∆S = 12 r × ∆r ∆r r + ∆r

M

r O

Obrázek 1.2: Pohyb cˇ ástice M po eliptické dráze Geometrický význam momentu hybnosti cˇ ástice obíhající po uzavˇrené kˇrivce kolem poˇcátku je v podstatˇe návrhem doprovodného (pr˚uvodního) cˇ ísla, hodnoty. Orientovaná plocha ∆S trojúhelníku se rovná 1 ∆S = r × ∆r 2 (viz obrázek 1.2). Pak dS 1 1 1 = r×v = r×p = · l. dt 2 2µ 2µ Pro cˇ ástici pohybující se po kružnici je rychlost v kolmá na vektor r, takže l = µvr = µωr2 . Už jsme si ukázali, že planety se pohybují po eliptických drahách se Sluncem umístˇeným v jednom z ohnisek. Aby se zachovával moment hybnosti, musí se každá planeta v bližší vzdálenosti od nˇej (v perihéliu) pohybovat rychleji než ve vzdálenˇejších bodech (v aféliu). Výsledek skuteˇcnˇe souhlasí, protože v tˇechto bodech je r kolmé na v a moment hybnosti v tˇechto bodech je µvr. Ze zákona zachování momentu hybnosti musí hodnota µvr z˚ustávat ve všech bodech stejná, takže kratší r je spojeno s vˇetším v. Druhý Kepler˚uv zákon tedy m˚užeme získat jako jednoduchý d˚usledek zákonu zachování momentu hybnosti. II.Kepleruv ˚ zákon, [2]: Pr˚uvodiˇc planety, tj. spojnice planety a Slunce, opíše za stejnou dobu stejnou plochu.

1.1.4

III. Kepleruv ˚ zákon

K odvození posledního z Keplerových zákon˚u využijeme z cˇ ásti už diskutované poznatky. Když dS oznaˇcíme plochu, kterou opíše v cˇ ase dt radius-vektor (vedený od Slunce k planetˇe), zjistíme že dS l = = konst., dt 2µ

(1.14)


9

kde l je moment hybnosti a µ je opˇet redukovaná hmotnost této soustavy dvou tˇeles. Po separaci promˇenných v této jednoduché diferenciální rovnici a následné integraci 1.14 pˇres jednu periodu pohybu T získáme JT S= 2µ nebo též

2Sµ 2πabµ = (1.15) J J s oznaˇcením a jako hlavní poloosy a b jako vedlejší poloosy elipsy, takže její obsah vypoˇcítáme pomocí vztahu S = πab. Ted’ má 2a = rmax = rmin zˇrejmou vlastnost elipsy, takže s použitím 1.12 dostaneme T=

p p 2p , + = 1 + e 1 − e 1 − e2 protože pro ϕ = π a ϕ = 0 1 (1 + e) = rmin p S 1.11 dostaneme 2a =

a

1 (1 − e) . = rmax p

(1.16)

2 l2 · . 1 − e2 GM1 M2 µ

Umocnˇením 1.15 a dosazením l 2 vyjádˇreného z poslední rovnice vyjde vztah pro kvadrát periody T2 =

(2πabµ)2 4π 2 ab2 µ = . aGM1 M2 µ(1 − e2 ) GM1 M2 (1 − e2 )

(1.17)

Pro excentricitu e elipsy nicménˇe platí, že b2 = a2 · (1 − e2 ), takže se 1.17 upraví do tvaru T2 =

4π 2 a3 G · (M1 + M2 )

(1.18)

Rovnice 1.18 pˇredstavuje matematické vyjádˇrení III. Keplerova zákona v jeho pˇresném tvaru. Na základních a stˇredních školách se bˇežnˇe pˇredkládá žák˚um tento zákon ve tvaru T12 a31 = = C. T22 a32 Pak ale zˇrejmˇe C=

4π 2 . G · (M1 + M2 )

III. Kepler˚uv zákon je dodnes pˇrímá metoda urˇcování hmotnosti kosmických tˇeles. III.Kepleruv ˚ zákon, [4] Druhé mocniny obˇežných dob planet jsou ve stejném pomˇeru jako tˇretí mocniny jejich velkých poloos.


1.2

10

Kosmické rychlosti

V této cˇ ásti textu se budeme zabývat pohybem tˇeles v nehomogenním gravitaˇcním poli tˇeles. Podkapitolu Kosmické rychlosti jsme zpracovali podle [5]. Podle dráhy, po které se tˇelesa v gravitaˇcním poli centrálního tˇelesa pohybují, m˚užeme rozlišit nˇekolik typ˚u rychlostí. Jsou to tzv. kosmické rychlosti, tj. rychlosti, kterými se musí pohybovat tˇelesa, aby pˇrekonala gravitaˇcní p˚usobení centrálních kosmických tˇeles. Pokud ve vzdálenosti r = R⊕ + h (h << R⊕ ) od stˇredu Zemˇe vystˇrelíme ve smˇeru teˇcny k povrchu Zemˇe tˇeleso s poˇcáteˇcní rychlostí v0 , tˇelesu tak dodáme energii 1 GmM⊕ Em = mv20 − 2 r

(1.19)

l = mrv0 .

(1.20)

a moment hybnosti Tˇemito dvˇema veliˇcinami je urˇcená excentricita dráhy tˇelesa a také typ kuželoseˇcky, po které se tˇeleso bude pohybovat. (Viz 1.11.) Pokud je poˇcáteˇcní rychlost v0 = 0, excentricita dráhy tˇelesa vyjde e = 1 a tˇeleso bude padat volným pádem k Zemi z výšky h. Jeho dráhu m˚užeme považovat za limitní pˇrípad elipsy, úseˇcku. Pˇri poˇcáteˇcní rychlosti 0 < v0 < vI , excentricita leží mezi 0 < e < 1 a dráha tˇelesa je eliptická s poˇcáteˇcním bodem v apogeu (viz 1.3). Jde o pohyb po tzv. balistické dráze, tedy o vodorovný nebo šikmý vrh na velkou vzdálenost na povrchu Zemˇe. Podobnˇe i pˇri hodu kamenem nebo mícˇ em v gravitaˇcním poli Zemˇe pˇri zanedbání odporu vzduchu nebude dráha tˇelesa parabolická, ale eliptická. Když tato dráha právˇe obepne Zemi, tj. vzdálenost perigea rmin se bude rovnat polomˇeru Zemˇe RZ (obrázek 1.3) a vzdálenost apogea rmax je r = R⊕ + h, tˇeleso už na povrch Zemˇe nedopadne. Pˇríslušné podmínky pro vzdálenost potom vyplývají ze vztah˚u 1.16. Vylouˇcením excentricity e z tˇechto vztah˚u 1.16, využitím 1.19 a 1.20 a po úpravˇe pro parametr p, který je urˇcený rovnicí 1.11, získáme výraz v2 r2 2R⊕ r p= 0 = (1.21) GM⊕ R⊕ + r Úpravou tohoto vztahu a s využitím toho, že g = G · s v0 = vkr =

M⊕ pro rychlost v0 vyplývá závislost R2⊕

2gR3⊕ . r · (r + R⊕ )

(1.22)

Rychlost vkr je hraniˇcní (kritická) rychlost toho, aby tˇeleso už nedopadlo na Zem.

1.2.1

První kosmická rychlost

Nejjednodušší dráhu tˇelesa obíhajícího kolem centrálního tˇelesa s rychlostí v0 pˇredstavuje kruhová √ dráha s polomˇerem r a excentricitou e = 0. Pˇri rychlosti vI < v0 < 2vI vyjde excentricita opˇet 0 < e < 1 a dráha tˇelesa je eliptická. Avšak v tomto pˇrípadˇe leží poˇcáteˇcní bod v perigeu (viz obrázek 1.3). Jestliže R⊕ znaˇcí polomˇer Zemˇe, M⊕ hmotnosti Zemˇe a m hmotnost tˇelesa, které se pohybuje po kruhové dráze okolo Zemˇe, potom v gravitaˇcním poli Zemˇe p˚usobí ve vzdálenosti r = R⊕ + h na tˇeleso gravitaˇcní síla, která smˇeruje stále do stˇredu Zemˇe. Na tˇeleso kromˇe gravitaˇcní síly p˚usobí


11

i odstˇredivá síla, která zakˇrivuje jeho dráhu.Protože obˇe dvˇe síly mají stejnou velikost (F0 = Fg ), pro pohyb tˇelesa ted’ musí platit rovnice −mω⊕2 r = −G

mM⊕ r , r3

ze které vyplývá vztah M⊕ . (1.23) r3 Rovnice 1.23 vyjadˇruje úhlovou rychlost, pˇri které se tˇeleso v gravitaˇcním poli Zemˇe pohybuje po kruhové dráze s polomˇerem r. V pˇrípadˇe, že centrálním tˇelesem je Zemˇe, nazýváme takovou minimální rychlost též první kosmickou rychlostí. Ze vztahu 1.23 a ze vztahu pro úhlovou rychlost ω⊕ = vrI , pro její rychlost vyplývá v21 M⊕ =G 3 . 2 R⊕ R⊕ ω⊕2 = G

Po úpravˇe tohoto vztahu a po dosazení konkrétních hodnot pro hmotnost Zemˇe M⊕ a polomˇer Zemˇe R⊕ , pro první kosmickou rychlost vyjde hodnota s M⊕ vI = G = 7, 91 km · s−1 . (1.24) R⊕ Velikost první kosmické rychlosti nezávisí na hmotnosti obíhajícího tˇelesa, ale pouze na hmotnosti tˇelesa centrálního.

Obrázek 1.3: Kosmické rychlosti


1.2.2

12

Druhá kosmická rychlost

Nejmenší celková energie, pˇri které tˇeleso opustí gravitaˇcní pole centrálního tˇelesa je zˇrejmˇe E = 0 a odpovídá parabolické dráze s excentricitou e = 0. Podmínku nulovosti celkové mechanické energie vyjadˇruje rovnice 1 mM E = mv2II − G = 0. (1.25) 2 r Z této rovnice vyplývá minimální rychlost, kterou se tˇeleso s hmotností m ve vzdálenosti r od centra gravitaˇcního pole mohlo opustit. Jednoduchou úpravou poslední rovnice tak dostaneme vztah r M vII = 2G . r Když za M dosadíme hmotnost Zemˇe M⊕ a za polomˇer r polomˇer Zemˇe R⊕ , tato rovnice urˇcuje nejmenší velikost rychlosti, kterou se musí pohybovat tˇeleso, aby mohlo natrvalo opustit gravitaˇcní pole Zemˇe. Konkrétnˇe tedy s M⊕ √ vII = 2G = 2vI = 11, 18 km · s−1 . (1.26) R⊕ Tato rychlost se oznaˇcuje jako druhá kosmická rychlost a pˇredstavuje tzv. únikovou rychlost z povrchu Zemˇe. Hodnota druhé kosmické rychlosti urˇcená tímto vztahem je teoretická hodnota pro parabolickou dráhu tˇesnˇe nad povrchem Zemˇe. Nˇekdy se oznaˇcuje i jako parabolická rychlost.

1.2.3

Tˇretí kosmická rychlost

Nˇekdy, napˇríklad pˇri meziplanetárních letech vesmírných sond, se uvažuje i rychlost potˇrebná k pˇrekonání gravitaˇcního pole Slunce. Je to rychlost, kterou se musí pohybovat tˇeleso ve stˇrední vzdálenosti od Slunce, aby navždy opustilo gravitaˇcní pole Slunce a tím i sluneˇcní soustavu. Jde tedy o rychlost potˇrebnou pro únik tˇelesa z gravitaˇcního p˚usobení Slunce. Dráhu obˇehu Zemˇe kolem Slunce m˚užeme v první aproximaci považovat za kruhovou (aˇckoli ve skuteˇcnosti jde o elipsu s ohnisky velmi blízko u sebe). Její rychlost proto m˚užeme urˇcit jako pˇríslušnou „první sluneˇcní kosmickou rychlost“ vI podle vztahu s M vI = G = 29, 78 km · s−1 , r kde r = 1 au = 149 597 870 700 m je vzdálenost Zemˇe od Slunce. 2 K tomu, aby Zemˇe opustila sluneˇcní soustavu, je potˇreba udˇelit jí takovou rychlost vII , aby se mohla vzdálit do nekoneˇcna po parabolické dráze, tedy jakousi „druhou sluneˇcní kosmickou rychlost“, pro kterou platí √ (1.27) vII = 2vI = 42, 12 km · s−1 . Nejmenší rychlost vIII , která vesmírné sondˇe umožní opustit sluneˇcní soustavu, nazýváme tˇretí kosmická rychlost. Kdybychom využili obˇežnou rychlost Zemˇe, tj. sonda by zrychlovala ve smˇeru jejího pohybu, staˇcilo by jí udˇelit jen dodateˇcnou rychlost vII − vI = 12, 34 km · s−1 . 2 Na

základˇe rozhodnutím XXVIII. Generálního shromáždˇení Mezinárodní astronomické unie z 31.srpna 2012 oznaˇcujeme astronomickou jednotku speciálním symbolem „au“. Viz [6].


13

Jenže sonda musí pˇrekonat také gravitaˇcní pole Zemˇe, proto má tˇretí kosmická rychlost pˇri startu ze zemského povrchu vˇetší velikost. Konkrétnˇe ji m˚užeme urˇcit ze zákona zachování energie sondy, který upravíme do tvaru v2∞ v2III M⊕ v2III v2II = = −G − , 2 2 R⊕ 2 2 pˇriˇcemž zmˇena gravitaˇcní energie Zemˇe a sondy vzhledem ke Slunci je zanedbávaná. Na základˇe toho pro tˇretí kosmickou rychlost vyplývá vztah q q vIII = v2∞ + v2II = (vII − vI )2 + v2II = 16, 65 km · s−1 . Tˇretí kosmická rychlost pˇri startu ze zemského povrchu je tedy 16, 65 km · s−1 .

1.3

Slapové jevy

V kapitole se zamˇerˇíme pˇredevším na podrobné vysvˇetlení podstaty slapových jev˚u v soustavˇe Zemˇe-Mˇesíc. Obecnˇe jsou totiž slapové síly významným cˇ initelem v utváˇrení vesmírných tˇeles a jejich dalších vlastností, jak si ukážeme dále. Výklad jsme zpracovali podle [7].

1.3.1

Puvod ˚ slapových sil

Pro snazší vyjadˇrování budeme v následujících úvahách považovat za tˇeleso o hmotnosti M Mˇesíc a za tˇeleso o hmotnosti m Zemi nebo její cˇ ást. Také oznaˇcíme stˇred Zemˇe písmenem O, nejbližší bod k Mˇesíci na povrchu Zemˇe písmenem A, bod na povrchu Zemˇe, který je nejdále od Mˇesíce, písmenem C, a body na povrchu Zemˇe, které leží na kolmici k úseˇcce AC procházející stˇredem Zemˇe, písmeny B a D, viz napˇr. obrázek 1.4.

Obrázek 1.4: Vektory gravitaˇcních zrychlení r˚uzných bod˚u Zemˇe Zd˚uraznˇeme, že v tuto chvíli nezmiˇnujeme rotaci Zemˇe kolem osy, tu totiž k vysvˇetlení p˚uvodu slapových sil v˚ubec nemusíme uvažovat. Mˇesíc kolem sebe vytváˇrí nehomogenní gravitaˇcní pole – jednak velikost gravitaˇcního zrychlení klesá s rostoucí vzdáleností od stˇredu Mˇesíce a jednak v každém bodˇe prostoru míˇrí gravitaˇcní zrychlení do stˇredu Mˇesíce, mluvíme o centrálním poli. Na r˚uzné cˇ ásti Zemˇe tak p˚usobí r˚uznˇe


14

velká gravitaˇcní zrychlení, 3 viz obrázek 1.4 vlevo. Nejvˇetší gravitaˇcní zrychlení p˚usobí v bodˇe A a nejmenší v bodˇe C. V obrázku 1.4 je celá situace zámˇernˇe zvýraznˇena, aby vysvˇetlení p˚uvodu slapových sil bylo zˇrejmé. Vzhledem k velké vzdálenosti Zemˇe-Mˇesíc by ve skuteˇcnosti rozdíly ve smˇerech a velikostech gravitaˇcních zrychlení nebyly patrné, jak ukazuje právˇe obrázek 1.4 vpravo, nicménˇe platí, že ve zrychleních jsou rozdíly, byt’ nepatrné (a právˇe tyto zdánlivˇe nepatrné rozdíly zp˚usobují pˇríliv a odliv). Aby obrázky byly pˇrehledné, jsou na nich zakresleny pouze zrychlení bod˚u na povrchu Zemˇe a jejího stˇredu.

Slapové síly z hlediska inerciální vztažné soustavy Nejprve provedeme rozbor p˚uvodu slapových sil z hlediska inerciální soustavy (ve které samozˇrejmˇe neexistují žádné setrvaˇcné síly). Pˇri vysvˇetlení je nutné uvažovat jednak jednotlivé cˇ ásti (body) Zemˇe zvlášt’ a jednak musíme uvažovat Zemi jako celek. Ta se jako celek pohybuje kolem spoleˇcného hmotného stˇredu Zemˇe-Mˇesíc se zrychlením ag$ (O), které se rovná gravitaˇcnímu zrychlení, jež Mˇesíc udˇeluje stˇredu Zemˇe. Se zrychlením ag$ (O) se proto rovnˇež pohybují všechny body Zemˇe, jinak by Zemˇe nedržela pohromadˇe. Ale protože je gravitaˇcní pole nehomogenní, pocit’ují jednotlivé body Zemˇe ještˇe navíc r˚uzná gravitaˇcní zrychlení, jak znázorˇnuje obrázek 1.4. Shrneme-li pˇredešlé úvahy, každý bod Zemˇe se pohybuje se zrychlením rovným ag$ (O), protože je souˇcástí Zemˇe, která obíhá kolem barycentra, zároveˇn ale každý bod Zemˇe pocit’uje gravitaˇcní p˚usobení Mˇesíce, které je však pro r˚uzné body Zemˇe (obecnˇe) r˚uzné. Pˇri vysvˇetlování p˚uvodu slapových sil si musíme uvˇedomit, že se Zemˇe nachází v beztížném stavu . Proto od gravitaˇcních zrychlení jednotlivých cˇ ástí Zemˇe m˚užeme odeˇcíst gravitaˇcní zrychlení Zemˇe jako celku, tedy gravitaˇcní zrychlení ve stˇredu Zemˇe a# g$»(O). Vše znázorˇnuje obrázek 1.5. Výsledkem jsou zrychlení odpovídající tzv. slapovým silám schématicky znázornˇeným v obrázku 1.6 (vztažené na jednotku hmotnosti).

Obrázek 1.5: P˚uvod slapových sil

Obrázek 1.6: Slapové síly

3 Gravitaˇ cní zrychlení, které tˇelesu o hmotnosti m udílí tˇeleso o hmotnosti M, urˇcíme podle 2. pohybového

zákona

Fg GM = 2 . m r Popis pomocí zrychlení budeme využívat, protože nebudeme muset specifikovat hmotnost m, tˇelesem s touto hmotností m˚uže být jak celá Zemˇe, tak jen její cˇ ást. ag =


15

Z hlediska inerciální vztažné soustavy jsou tedy slapové síly na jednotku hmotnosti dusledek ˚ rozdílu mezi gravitaˇcními zrychleními jednotlivých cˇ ástí Zemˇe a gravitaˇcního zrychlení, se kterým se Zemˇe pohybuje kolem spoleˇcného hmotného stˇredu soustavy Zemˇe-Mˇesíc.

Slapové síly z hlediska neinerciální vztažné soustavy Jak se vysvˇetlení zmˇení z hlediska neinerciální soustavy? Zvolme vztažnou soustavu s poˇcátkem v barycentru. Celá situace je o nˇeco komplikovanˇejší v tom, že barycentrum leží pod povrchem Zemˇe . Klíˇcové je uvˇedomit si, jakým druhem pohybu se pohybuje Zemˇe kolem barycentra. Jak Mˇesíc, tak i Zemˇe se kolem barycentra pohybují translaˇcním (posuvným) pohybem, nejde tedy o žádnou rotaci. Všechny body Zemˇe se pohybují po kružnicích s r˚uznými stˇredy, ale všechny tyto kružnice mají stejný polomˇer rB , neboli všechny body Zemˇe se pohybují se stejným setrvaˇcným – odstˇredivým zrychlením. Toto odstˇredivé zrychlení se vypoˇcítá ze vztahu ao = ω 2 r, kde úhlová rychlost ω = 2π e posuvného pohybu Zemˇe kolem barycentra, která se rovná periodˇe obˇehu T závisí na periodˇ Mˇesíce kolem tohoto bodu a nazývá se siderický mˇesíc T$ (27 d 7 h 43 min 12 s), pro všechny body musíme dosadit stejnou vzdálenost rB odpovídající vzdálenosti barycentra od stˇredu Zemˇe. Výsledkem tak je prakticky identický obrázek jako obrázek 1.5, kde cˇ erné vektory opˇet oznaˇcují vektory gravitaˇcních zrychlení, které Mˇesíc udˇeluje r˚uzným bod˚um Zemˇe, ale zelené vektory nyní pˇredstavují právˇe stejnˇe velká odstˇredivá zrychlení zp˚usobená pohybem Zemˇe kolem barycentra. Výsledkem (vektorový souˇcet gravitaˇcních zrychlení a odstˇredivých zrychlení) jsou opˇet slapové síly, tedy obrázek 1.6. (Samozˇrejmˇe jsme nehledˇe na volbu pˇrístupu z hlediska inerciální cˇ i neinerciální vztažné soustavy museli dojít ke stejnému výsledku). Z pohledu neinerciální vztažné soustavy jsou tedy slapové síly urˇceny rozdílem gravitaˇcních zrychlení jednotlivých cˇ ástí Zemˇe a odstˇredivých zrychlení, se kterými se tyto body pohybují kolem spoleˇcného hmotného stˇredu. Odstˇredivá zrychlení jsou ve všech bodech stejná, nebot’ se jedná o posuvný pohyb. Rotace Zemˇe kolem osy není za slapové síly zodpovˇedná.

Kapitola 2 Sluneˇcní soustava 2.1 2.1.1

Zemˇe a Mˇesíc Zemˇe CHARAKTERISTIKA Rovníkový pr˚umˇer Hmotnost Hustota Gravitaˇcní zrychlení na povrchu Úniková rychlost Pr˚umˇerná délka sluneˇcního dne Perioda obˇehu kolem Slunce Povrchová teplota Sklon osy rotace Poˇcet mˇesíc˚u

Obrázek 2.1: Pohled na Zemi z Apolla 17.

HODNOTA 12 756 km 5, 97 · 1024 kg 5 514 kg · m−3 9, 8 m · s−2 11, 2 km · s−1 24 h 365, 2 d od − 30◦C do + 40◦C 23, 4◦ 1

Zemˇe, modrý drahokam, pˇredstavuje jedinou planetou sluneˇcní soustavy, na jejímž povrchu se v souˇcasnosti nachází kapalná voda. 1 • Planetu Zemi lidé zkoumali spolu se Sluncem a Mˇesícem jako první kosmická tˇelesa. Už starovˇeký filozof Erathosthenes dokázal jednoduše (a pomˇernˇe pˇresnˇe) spoˇcítat zemský polomˇer. Zkuste ho napodobit - viz kapitola 3.

Magnetické pole Zemˇe.

2

P˚uvod magnetického pole není úplnˇe objasnˇen. Obecnˇe vzato je zp˚usobeno pohybem náboj˚u a je logické usuzovat, že u Zemˇe souvisí s existencí roztaveného železného jádra. Zemské jádro je pˇríliš horké na to, aby z˚ustalo magnetickým, proto neuvažujeme jednolitou magnetickou oblast. Patrnˇe proudˇení uvnitˇr tekutých oblastí zemského jádra zapˇríˇciˇnuje elektrické proudy, které vytváˇrí magnetické pole. 1 Vesmírná

sonda Galileo objevila kapalnou vodu také na Jupiterovˇe mˇesíci Europa.

2 Výklad jev˚ u probíhajících na uvedených kosmických tˇelesech v celé kapitole 2 jsme provedli pˇredevším

ˇ na základˇe [8] a [9], ale také [10]. Císelné hodnoty charakteristik jsme pˇrevzali, pokud není uvedeno jinak, z [11].

– 16 –

Kapitola 2. Sluneˇcní soustava

17

Obrázek 2.2: Polární záˇre na Aljašce. Víme, že poloha zemských magnetických pólu se v minulosti mˇenila. Minimálnˇe z cˇ ásti jsou tyto zmˇeny zp˚usobeny pohyby zemské k˚ury s ohledem na nitro planety. 3 Jeden z projev˚u magnetického pole na Zemi se stal prvním vˇedeckým objevem vesmírného vˇeku. První kosmické sondy objevily existenci elektricky nabitých cˇ ástic proudících v oválných oblastech vysoko nad povrchem planety. Podstata van Allenových pásu˚ je dobˇre objasnˇená: Elektrické proudy (jde o pohybující se elektrické cˇ ástice)vytváˇrí magnetické pole, které p˚usobí silovˇe na nabité cˇ ástice. Jakmile se nabité cˇ ástice dostanou do magnetického pole, jsou „donuceny“ pohybovat se po spirále ve smˇeru cˇ ar pole. V pˇrípadˇe van Allenových pás˚u jde konkrétnˇe o protony a elektrony pocházející primárnˇe ze sluneˇcního vˇetru zachycené magnetickým polem Zemˇe. Zachycení se konkrétnˇe projeví polární záˇrí. Stejná podstata tˇechto svˇetelných úkaz˚u je u ultrafialových jev˚u na povrchu Slunce jako d˚usledek proudu velmi energetických proton˚u a elektron˚u vymrštˇených ven do vesmíru. Nˇekteré z tˇechto cˇ ástic jsou schopné proniknout zemský magnetický „ochranný štít“, ale jsou polem svedeny ke spirálovitému pohybu smˇerem od severního k jižnímu pólu. Tyto energetické cˇ ástice se sráží s atomy a molekulami v naší atmosféˇre, excitují je na vyšší energetické hladiny. Tyto atomy a molekuly vyzáˇrí tuto energii jako viditelné svˇetlo. Podívejme se na tento jev trochu podrobnˇeji: Víme, že elektricky nabitou cˇ ástici ovlivˇnuje magnetické pole Zemˇe. Pohybuje-li se taková cˇ ástice v magnetickém poli, p˚usobí na ni toto pole silou, která je dána vztahem F = qvB sin ϕ, kde ϕ je úhel, který svírají vektor okamžité rychlosti v a zemské magnetické pole B, q je náboj. Pohybuje-li se cˇ ástice podle siloˇcar zemského magnetického pole, její kinetická energie není zmˇenˇena magnetickým polem. Celková rychlost, skládající se z rychlosti translaˇcní a rychlosti rotaˇcní (kolmé k siloˇcarám), musí být stálá. Zemské magnetické pole se mˇení se vzdáleností od magnetických pól˚u, a to nejen co do intenzity, ale také co do smˇeru. V d˚usledku toho vzroste úhel ϕ pˇri pˇriblížení k magnetickému pólu Zemˇe tak, že se stane rovným 90◦ a translaˇcní složka rychlosti je nulová. V tom okamžiku nabitá cˇ ástice sv˚uj postup podél siloˇcar zastaví a zaˇcne se vracet zpˇet po téže siloˇcáˇre, až dospˇeje k blízkosti druhého magnetického pólu, 3 Jedna z hypotéz pˇredkládá jako nejvýznamnˇ ejší d˚uvod pˇrepólování zmˇeny rychlosti rotace Zemˇe, které byly zp˚usobeny jednak bombardováním meteoroidy, jednak sopeˇcnými erupcemi.


18

kde se celá situace opakuje. Tak z˚ustává cˇ ástice uvˇeznˇena v urˇcité vzdálenosti a v oblasti urˇcitých siloˇcar magnetického pole Zemˇe. Protože v tak velkých výškách se setkává cˇ ástice pouze s cˇ ásticemi meziplanetární hmoty, m˚uže vykonat nejménˇe 100 milion˚u takových pr˚ulet˚u, než náhodnou srážkou ztratí nebo získá energii a z pásma unikne. Jak plyne z výkladu výše, translaˇcní rychlost cˇ ástice podél magnetické siloˇcáry je pouze výsledkem pohybu po šroubovici. Polomˇer šroubovice je dán vztahem r=

mv⊥ , qB

kde v⊥ je je složka celkové rychlosti kolmá k B.4

2.1.2

Mˇesíc CHARAKTERISTIKA Rovníkový pr˚umˇer Hmotnost Hustota Gravitaˇcní zrychlení na povrchu Úniková rychlost Povrchová teplota Sklon osy rotace

HODNOTA 3 475 km 7, 35 · 1022 kg 3 340 kg · m−3 1, 6 m · s−2 2, 4 km · s−1 −170◦C až + 130◦C 6, 7◦

k Zemi5 0, 27 0, 0123 0, 61 0, 166 0, 21 0, 28

Obrázek 2.3: Snímek Mˇesíce ve falešných Obrázek 2.4: Pohled na pˇrivrácenou stranu barvách. Mˇesíce s kráterem Tycho. Teorie vzniku Mˇesíce. Pˇredpokládáme,že Mˇesíc vznikl asi pˇred 4,6 miliony let. V minulosti se objevily r˚uzné hypotézy jeho vzniku, at’ už jde o teorii spoleˇcné akrece, teorii odtržení nebo teorii záchytu. V souˇcasnosti je vˇedeckou obcí nejpˇrijímanˇejší teorie velkého impaktu. Do Zemˇe v minulosti teˇcnˇe narazil velký objekt. Náraz vedl ke spojení tohoto tˇelesa se Zemí a vymrštˇení materiálu z povrchových vrstev Zemˇe, ze kterého se zformoval dnešní Mˇesíc. Poˇcítaˇcové simulace takovýchto kolizí ukázaly, že objekt, který do Zemˇe narazil, mˇel hmotnost srovnatelnou s dnešním Marsem. Teplo uvolnˇené pˇri kolizi uvolnilo materiál a vymrštilo ho na obˇežnou dráhu, po spojení do jednoho objektu obíhajícího kolem Zemˇe vzniklo tˇeleso hmotnosti Mˇesíce. je rychlost v⊥ ∼ 108 m · s−1 , to znamená, že r ∼ 10 km je v poli B ∼ 10−4 T . sloupec udává relativní hodnotu parametru vzhledem k Zemi.

4 Pro proton s energií 0, 1 GeV 5 Poslední


19

Teorie velkého impaktu vysvˇetluje podobnost i rozdílnost v chemickém složení Zemˇe a Mˇesíce. Jestliže náraz odpaˇril horniny, bude jejich nedostatek ve vodˇe a vzácných prvcích, což je ve shodˇe s pozorováním. Jestliže ke srážce došlo až potom, co se Zemˇe diferenciovala, pak by výsledný Mˇesíc obsahoval co do pomˇeru mnohem ménˇe železa než Zemˇe, tak jak tomu skuteˇcnˇe je.

2.2

Slunce CHARAKTERISTIKA Rovníkový pr˚umˇer Hmotnost Hustota Gravitaˇcní zrychlení na povrchu Úniková rychlost Efektivní teplota Záˇrivý výkon Sklon osy rotace

HODNOTA 1 391 400 km 1, 99 · 1030 kg 1 408 kg · m−3 274 m · s−2 618 km · s−1 5 800 K 3, 83 1026 W 7, 25◦

k Zemi 109, 2 332 950 0, 255 28, 0 55, 2

Obrázek 2.5: Snímek Slunce poˇrízený na vl- Obrázek 2.6: Pohled na Slunce v roentgenové délce He II (30,4 nm). nové oblasti. Pod pojmem sluneˇcní cˇ innost rozumíme r˚uzné doˇcasné jevy, které lze pozorovat v jistém období v hojné míˇre, v jiném jen zˇrídka a tato období se periodicky stˇrídají. Nejnápadnˇejším projevem sluneˇcní cˇ innosti a její periodicity je výskyt sluneˇcních skvrn. Sluneˇcní skvrny jsou systematicky sledovány již dvˇe století. Stˇrední perioda od minima k minimu cˇ etnosti sluneˇcních skvrn je 11 let (extrémní hodnoty jsou 7 let nejkratší, 17 let nejdelší). Sluneˇcní skvrny jsou tmavá místa na povrchu Slunce, jsou velmi rozdílných velikostí a odlišné životní doby od zcela nepatrných, které m˚užeme pozorovat nˇekolik desítek hodin až po vzácnˇeji se vyskytující velké skvrny o pr˚umˇeru ˇrádovˇe 105 km setrvávající po nˇekolik mˇesíc˚u na sluneˇcním povrchu. Charakteristický rozmˇer stˇredních skvrn je 104 km. Asi 90 % všech skvrn má životní dobu kratší jedenácti dn˚u.


20

ˇ Cím jsou skvrny zp˚usobeny? Jsou to místa, kde je velmi silné magnetické pole.6 Když se do takového pole dostanou nabité cˇ ástice, magnetická síla zmˇení jejich smˇer a zabrání jim v dalším pohybu vpˇred. V místech, kde je magnetické pole silné, je tedy zpomalena konvekce, která dopravuje na povrch teplejší plazmu z nitra. To se projevuje tím, že fotosféra je v tˇechto místech chladnˇejší, a tím i o nˇeco temnˇejší.

2.3

Planety

2.3.1

Merkur CHARAKTERISTIKA Rovníkový pr˚umˇer Hmotnost Hustota Gravitaˇcní zrychlení na povrchu Úniková rychlost Pr˚umˇerná délka sluneˇcního dne Perioda obˇehu kolem Slunce Povrchová teplota Sklon osy rotace Poˇcet mˇesíc˚u

Obrázek 2.7: Merkur na snímku ze sondy Mariner 10.

HODNOTA 4879 km 3, 30 · 1023 kg 5 427 kg · m−3 3, 7 m · s−2 4, 3 km · s−1 176 d 87, 97 d −150◦C až + 450◦C 0, 01◦ 0

k Zemi 0, 38 0, 055 0, 98 0, 38 0, 39 176 0, 24 0, 38

Obrázek 2.8: Barevnˇe zvýraznˇené gravitaˇcní anomálie.

Merkur je nejmenší ze všech planet sluneˇcní soustavy (jeho polomˇer je asi tˇretina zemského polomˇeru). Navíc se nachází nejblíže Slunci, má nejvˇetší excentricitu dráhy (e = 0, 2056). Na Merkuru namˇeˇríme také nejvˇetší rozdíly teplot. Vysvˇetleme si to: Na stranˇe pˇrivrácené ke Slunci teploty ze zˇrejmých d˚uvod˚u stoupají a to až k hodnotám kolem 450◦ C (pˇriˇcemž teplota 6 Rozštˇ epení

spektrálních cˇ ar Zeemanovým jevem bylo zjištˇeno, že skvrny mají lokální magnetické pole až 0,4 ), pˇriˇcemž polarita následujících skvrn je opaˇcná než skvrn vedoucích.


21

tání olova je už zhruba 330◦ C). Na druhou stranu nedopadají sluneˇcní paprsky, které by povrch zahˇrívaly, a protože Merkur nemá atmosféru, jež by držela teplo, odvrácený povrch planety bˇehem dlouhé noci vychládá až k teplotˇe −150◦ C.7 Jistˇe není bez zajímavosti, že díky prakticky nulovému sklonu osy rotace a nedokonale hladkému povrchu na póly také nedopadá sluneˇcní svit a teplota zde odpovídá teplotˇe na povrchu Merkuru, kde panuje noc.

• Merkur si výraznou atmosféru neudrží kv˚uli své malé hmotnosti. Proˇc ale Saturn˚uv mˇesíc Titan atmosféru má, aˇckoli je srovnatelnˇe velký? (Viz úloha v kapitole 3.) Zajímavá rotace. Astronomové si dlouho mysleli, že Merkur bude vzhledem ke slapovým jev˚um natoˇcen ke Slunci stále stejnou stranou (podobnˇe jako je tomu u soustavy Zemˇe - Mˇesíc). Není tomu tak.Merkur provede pˇribližnˇe 1 21 otáˇcky kolem své osy bˇehem jednoho obˇehu kolem Slunce. Zdá se, že d˚uvodem je nerovnomˇerné rozložení hmoty uvnitˇr planety, totiž že jedna strana má výraznˇe vˇetší hustotu. Slunce natáˇcí planetu nejvýraznˇeji vždy v periheliu. To má pˇri zanedbatelné rychlosti rotace planety za d˚usledek provázání periody rotace a periody obˇehu kolem Slunce.

2.3.2

Venuše CHARAKTERISTIKA Rovníkový pr˚umˇer Hmotnost Hustota Gravitaˇcní zrychlení na povrchu Úniková rychlost Pr˚umˇerná délka sluneˇcního dne Perioda obˇehu kolem Slunce Povrchová teplota Naklonˇení osy rotace Poˇcet mˇesíc˚u

HODNOTA 12104 km 4, 87 · 1024 kg 5 243 kg · m−3 8, 9 m · s−2 10, 4 km · s−1 117 d 224, 7 d +464◦C 177, 4◦ 0

k Zemi 0, 95 0, 82 0, 95 0, 91 0, 93 117 0, 62 7, 6

Venuše se na první pohled podobá Zemi v nˇekolika základních charakteristikách (polomˇer, hmotnost, hustota, atd. ), jak je dobˇre vidˇet z tabulky výše. Navíc ze všech planet obíhá nejblíže naší obˇežné dráze. Nicménˇe klimatické podmínky jsou více než nepodobné: Pˇribližnˇe 96 % atmosféry na Venuši pˇredstavuje oxid uhliˇcitý, 3,5 % dusík a malé množství vodní páry a kyseliny sírové. Mraky tak z vˇetšiny tvoˇrí kapiˇcky právˇe této kyseliny. Chemické reakce mezi kyselinou sírovou v atmosféˇre a fluoridy a chloridy v horninách na povrchu vytváˇrí agresivní korozivní látky. Proˇc se ale pomˇery na Venuši tak liší od tˇech na Zemi, aˇckoli hmotnosti obou planet jsou blízké? Planety zemského typu obsahují ve svých atmosférách plyny uvolnˇené z jejich nitra, primárnˇe díky sopeˇcné cˇ innosti. Tyhle plyny byly pravdˇepodobnˇe zachyceny pˇri formování planet. Sopky na Zemi uvolˇnují velké množství jednak vodní páry, jednak oxidu uhliˇcitého stejnˇe jako sopky na Venuši. Pˇredpokládá se, že se na povrchu obou planet nacházela voda a podstatného množství oxidu uhliˇcitého obsahovala atmosféra. Vˇetšina CO2 na Zemi je dnes rozpuštˇená v oceánech a v horninách jako vápenec. Venuše vzhledem ke své bližší poloze v˚ucˇ i Slunci mˇela už tehdy o nˇeco vyšší povrchovou teplotu, která „zabránila“ zkondenzování vody do kapalného stavu. Proto 7 Merkur

ve skuteˇcnosti atmosféru má, nicménˇe její tloušt’ka se odhaduje na jednotky centimetr˚u. Hraje tedy zanedbatelnou roli.


22

z˚ustával oxid uhliˇcitý v atmosféˇre. Mraky vodní páry spolu s vˇetším množstvím oxidu uhliˇcitého vedlo k tzv. skleníkovému efektu.

Obrázek 2.9: Mraˇcna nad Venuší.

Obrázek 2.10: Poˇcítaˇcová animace povrchu .

Na Venuši se vyskytovalo díky vyšší povrchové teplotˇe také vˇetší množství vodní páry než na Zemi. Navíc Venuše mˇela ve své atmosféˇre velké množství oxidu uhliˇcitého. Tento plyn je nepr˚uchodný v˚ucˇ i infraˇcervenému záˇrení. Viditelné svˇetlo ale skrze vrstvu CO2 projít m˚uže. Takže aˇckoli vˇetšina sluneˇcního svˇetla ve viditelném spektru se od mrak˚u na Venuši odrazí, cˇ ást projde skrz a je absorbováno povrchem, který se díky tomu ohˇreje. Pˇredevším pak ve vyšších vrstvách atmosféry ultrafialové záˇrení ze Slunce rozkládá molekuly vody na vodík a kyslík. Vodík z planety unikne, zatímco kyslík se slouˇcí s dalšími prvky v atmosféˇre, což tam zvyšuje množství oxidu uhliˇcitého, který pokraˇcuje v zadržování infraˇcerveného záˇrení. Venuše patˇrí mezi tzv. vnitˇrní planety, její maximální elongace je 48◦ .8 Proto pozorujeme Venuši jen krátce po východu, resp. západu Slunce. Dráha obˇehu Venuše kolem Slunce je nejbližší kružnici ze všech ostatních planet. Samotná rotace Venuše je velmi neobvyklá, protože rotuje v opaˇcném smˇeru než je bˇežný smˇer rotace ostatních objekt˚u sluneˇcní soustavy.To by pro pozorovatele na Venuši vycházelo na západˇe a zapadalo na východˇe.

2.3.3

Mars CHARAKTERISTIKA Rovníkový pr˚umˇer Hmotnost Hustota Gravitaˇcní zrychlení na povrchu Úniková rychlost Pr˚umˇerná délka sluneˇcního dne Perioda obˇehu kolem Slunce Povrchová teplota Naklonˇení osy rotace Poˇcet mˇesíc˚u

8 Elongace

HODNOTA 6792 km 6, 42 · 1023 kg 3 933 kg · m−3 3, 7 m · s−2 5, 0 km · s−1 24, 7 h 1, 88 r −135◦C až + 30◦C 25, 2◦ 2

k Zemi 0, 53 0, 11 0715 0, 377 0, 45 1, 03 1, 88 1, 07

planety je úhlová vzdálenost mezi planetou a Sluncem pozorovaná ze Zemˇe.


Obrázek 2.11: Pohled na údolí Mariner˚u.

23

Obrázek 2.12: Jižní cˇ epiˇcka na Marsu.

Mars má sklon osy 25, 2◦ , což je hodnota srovnatelná se Zemí (23, 4◦ ). Kromˇe samotného sklonu osy ovlivˇnuje sezónní podmínky na Marsu také excentricita obˇežné dráhy kolem Slunce. Konkrétnˇe je bˇehem zimy na severní polokouli Mars Slunci blíže o 19 % než v létˇe. To, že je severní polokoule blíže Slunci v zimˇe a dále v létˇe znamená, že rozdíly teplot tam budou mírnˇejší. Na jižní polokouli platí opak. Mars je blíže Slunci bˇehem léta a dále bˇehem zimy. Proto se teplotní podmínky na jižní polokouli bˇehem roˇcních období výraznˇeji liší. Stejný efekt pozorujeme i zde na Zemi, protože ta se nachází v periheliu v lednu (na severní polokouli toho cˇ asu v zimˇe). Ale zemská dráha není tak excentrická, takže je v danou chvíli pouze o zhruba 3 % blíže Slunci než v aféliu. • Kolem Marsu obíhají dva mˇesíce: Phobos a Deimos. Jak by se zmˇenila vzdálenost Phobose od povrchu Marsu, pokud by se jeho hmotnost zdvojnásobila? Viz úloha v kapitole 3. Na Marsu se nachází nejvyšší známá hora sluneˇcní soustavy. Jde o nejvyšší sopku na Marsu, Olympus Mons. Proˇc jsou na Marsu a Venuši vˇetší sopky než na Zemi? Na všech tˇrech planetách se sopky formují nad horkými skvrnami ( „hot spots“) z nichž se vylévá láva a vytváˇrí samotný vulkán. D˚uvod, proˇc jsou na Marsu a Venuši vyšší hory než Zemˇe souvisí s pohyby jejich k˚ury. Na Zemi je k˚ura rozdˇelena do desek, které se pohybují po podloží i pˇres p˚uvodní horké skvrny a sopeˇcná aktivita se pomalu pˇresouvá po povrchu. To je d˚uvod, proˇc na Zemi cˇ asto nacházíme sopky na pˇrímce (vyjma sopek na konci aktivity). K˚ura na Venuši a Marsu netvoˇrí velké tektonické desky, takže stejná cˇ ást k˚ury z˚ustává nad konkrétní horkou skvrnou. Takže vulkán roste výše a výše. Mars je malá planeta, a proto jeho nitro vychladlo rychle. Jeho k˚ura už m˚uže být dnes dost tlustá, tudíž silná, než aby byla rozbita na jednotlivé kousky. Výsledek tlak˚u v k˚uˇre Marsu je údolí Mariner˚u – pˇredstavuje nejvˇetší riftový systém ve sluneˇcní soustavˇe. Rozkládá se pˇres více než šestinu obvodu rovníku planety. Samotný rift se cˇ lení na velké množství menších kaˇnon˚u, z nichž nˇekteré mohly vzniknout dodateˇcnˇe. Polární cˇ epiˇcky na Marsu jsou ze dvou cˇ ástí: zmrzlá voda (led), kterou bˇehem zimy zakrývá suchý led (zmrzlý oxid uhliˇcitý). V létˇe se tento oxid vypaˇruje, na severní polokouli mizí úplnˇe. Místa v okolí tání tmavnou, což je patrnˇe d˚usledek spíše chemické reakce než vlhnutí povrchových hornin.


2.3.4

24

Jupiter CHARAKTERISTIKA Rovníkový pr˚umˇer9 Hmotnost Hustota Gravitaˇcní zrychlení na povrchu10 Úniková rychlost Perioda obˇehu kolem Slunce Naklonˇení osy rotace Poˇcet mˇesíc˚u11

Obrázek 2.13: Jupiter a mˇesíc Ganymed.

HODNOTA 142 984 km 1, 898 · 1027 kg 1 326 kg · m−3 23, 1 m · s−2 59, 5 km · s−1 11, 86 r 3, 1◦ 67 + p

k Zemi 11, 2 317, 8 0, 24 2, 36 5, 32 11, 86 0, 13

Obrázek 2.14: Velká rudá skvrna.

Jupiter je po Slunci nejvˇetší tˇeleso sluneˇcní soustavy. Má vˇetší hmotnost než je dvojnásobek souˇctu hmotností všech ostatních planet. Nejvˇetší a nejprozkoumanˇejší mˇesíce Jupitera jsou cˇ tyˇri: Io, Europa, Ganymed a Callisto.

Jupiterova atmosféra Jako tmavé pruhy v atmosféˇre vnímáme klesající plyn, jako svˇetlé pruhy v atmosféˇre teplejší stoupající plyn. • Jupiterovu atmosféru tvoˇrí asi 90 % vodíku a 10 % helia s malým množstvím metanu, amoniaku a vodní páry. M˚uže se v nitru Jupitera zažehnout jaderná reakce, když je jeho složení velmi podobné složení hvˇezd? Viz úloha v kapitole 3. Nejspíš díky tomu, že povrchové podmínky mají jen minimální vliv na vyšší vrstvy Jupiterovy atmosféry, jevy v tˇechto vrstvách trvají dlouho. Nejznámˇejším fenoménem potvrzující toto tvrzení je Velká rudá skvrna, jejíž samotné rozmˇery jsou asi 40 000 km na délku a 15 000 km napˇríˇc. Rudou 11 Hodnota

pˇri tlaku jedné atmosféry. pˇri tlaku jedné atmosféry. 11 Poˇ cet mˇesíc˚u k 19.4. 2016. Písmenem „p“ oznaˇcujeme pˇrítomnost systému prstenc˚u. 11 Hodnota


25

skvrnu lidé se pozoruje už pˇres tˇri sta let, bˇehem nichž obˇcas ubývala na intenzitˇe, tj. zmenšovala se. Pˇredpokládáme, že jde o bouˇri probíhající v atmosféˇre za vysokých tlak˚u. Vrcholky mrak˚u leží mnohem výše a jsou chladnˇejší než okolní oblastí. Podobnˇe jako vˇetry na jižní polokouli na Zemi, i Velká rudá skvrna se otáˇcí proti smˇeru hodinových ruˇciˇcek, a to s periodou 6 dní. Jupiter také vytváˇrí silné magnetické pole. Aby planeta vytváˇrela magnetické pole, musí rotovat a obsahovat ve svém nitru elektricky vodivý materiál. U planet zemského typu tuto funkci má železné (nikelno - železné) jádro. U Jupitera nejvýraznˇeji pˇrispívá do magnetického pole tekutý kovový vodík 12 , který spolu s rychlou rotací Jupitera indukuje silné magnetické pole. To pak významnˇe urychluje cˇ ástice sluneˇcního vˇetru, takže teplota „této smˇesi“ nabitých cˇ ástic v magnetosféˇre Jupitera dosahuje až 400mil K. Pro srovnání je to teplota asi 25× vyšší než je teplota v jádru Slunce. Dosud ne úplnˇe vysvˇetlený jev je okolnost, že Jupiter vyzaˇruje více energie než pˇrijímá ze Slunce, konkrétnˇe vydá asi dvakrát více energie než Existuje nˇekolik hypotéz, které nabízí ˇrešení, tˇrebaže zcela neuspokojivých (at’ už vnitˇrní zdroj radioaktivity, nebo záˇrení kv˚uli pˇretrvávajícímu gravitaˇcnímu smršt’ování). Pˇrebývající vyzaˇrovaná energie by mohla být poz˚ustatkem z jeho formování.

2.3.5

Saturn CHARAKTERISTIKA Rovníkový pr˚umˇer13 Hmotnost Hustota Gravitaˇcní zrychlení na povrchu14 Úniková rychlost Perioda obˇehu kolem Slunce Naklonˇení osy rotace Poˇcet mˇesíc˚u15

HODNOTA 120 536 km 5, 68 · 1026 kg 687 kg · m−3 9, 0 m · s−2 35, 5 km · s−1 29, 42 r 26, 7◦ 62 + p

k Zemi 9, 45 95, 16 0, 125 0, 916 3, 2 129, 46 1, 14

Saturnovy prstence Vzdálenost Saturnu od Zemˇe se pohybuje v rozmezí 8, 5 au a 10, 5 au. Vzhled prstenc˚u ze Zemˇe se výraznˇe mˇení. Není to však kv˚uli zmˇenˇe této vzdálenosti. Doba obˇehu kolem Slunce je 29,46 rok˚u. K objasnˇení r˚uzného vzhledu prstenc˚u, musíme vzít v úvahu Saturn˚uv obˇeh v apogeu a afeliu. Prstence Saturnu leží v rovinˇe jeho rovníku a sklon osy v˚ucˇ i rovinˇe je 27◦ . Saturn si udržuje stejný sklon pˇri obˇehu Slunce (a Zemˇe), takže pˇri pohledu ze Zemˇe vidíme v pr˚ubˇehu obˇehu Saturnovy prstence r˚uznˇe orientované. Prstence jsou velmi tenké, vˇetšina z nich má rozmˇery ˇrádovˇe v km. Do roku 1859 se myslelo, že Saturnovy prstence jsou celistvé pláty nˇejakého materiálu, ale výpoˇcty Saturnovy Rocheho meze ukázaly, že prstence leží uvnitˇr této teoretické hranice, proto gravitaˇcní síla mezi cˇ ásteˇckami uvnitˇr 12 Pˇri

obrovských teplotách a tlaku se elektrony pohybují mezi jednotlivými atomy snáz, což cˇ iní z vodíku dobrý elektrický vodiˇc. Protože vede elektrony stejnˇe jako je tomu typicky u kov˚u, mluvíme o kovovém vodíku. V této formˇe ale vodík na Zemi ze zˇrejmých d˚uvod˚u nevytvoˇríme. 15 Hodnota pˇri tlaku jedné atmosféry. 15 Hodnota pˇri tlaku jedné atmosféry. 15 Poˇ cet mˇesíc˚u k 19.4. 2016. Písmenem „p“ oznaˇcujeme pˇrítomnost systému prstenc˚u.


26

prstenc˚u je menší než slapové síly. To, že jsou tvoˇreny opravdu jednotlivými cˇ ásteˇckami bylo experimentálnˇe dokázáno na základˇe Dopplerova jevu, který ukázal, že se r˚uzné cˇ ásti prstence pohybují s r˚uznou rychlostí. Protože prstence leží uvnitˇr Rocheho meze, nemohou se tyto cˇ ásti zformovat a spojit do „celistvého“ mˇesíce.

Obrázek 2.16: R˚uzné chemické Obrázek 2.15: Snímek Saturna ze sondy Voyager 2, složení prstenc˚u Saturna zachycené ve falešných barvách. modrá teˇcka jižnˇe od planety je mˇesíc Rhea. Velikost cˇ ástic v prstencích se pohybuje v rozmezí od malých zrnek po nepravidelná tˇelesa rozmˇer˚u meteoru. Kdyby se veškerý materiál ze Saturnových prstenc˚u zformoval v samostatný mˇesíc, mˇel by hmotnost podobnou hmotnosti Junuse, což je nejmenší Saturn˚uv mˇesíc) a pouze 1/20 000 hmotnosti Mˇesíce. Saturn má kromˇe prstence také celou ˇradu mˇesíc˚u, v souˇcasné dobˇe astronomové klasifikovali 62. Nejvˇetším mˇesícem je Titan. (Viz také úlohu v kapitole 3.) Pˇri zkoumání rotace Saturnu m˚užeme najít další dvˇe podobnosti s Jupiterem. R˚uzné pásy Saturnovy atmosféry rotují s rozdílnou rychlostí, podobnˇe jako u Jupitera, a jeho rovníkové rotace 10 h 39 min pˇripomíná hodnotu 9 h 50 min u Jupitera. Saturn má také podobnou rychlost rotace jako Jupiter, ale pˇritom je jeho zploštˇení výraznˇejší.16 D˚uvodem pˇredstavuje gravitaˇcní pole na povrchu, které je slabší než u Jupitera, takže je tam menší gravitaˇcní síla „držící“ planetu ve sférickém tvaru. Saturn má nejvýraznˇejší zploštˇení ze všech planet.

Anomálie a jejich hypotetické vysvˇetlení Stejnˇe jako Jupiter i Saturn vyzaˇruje více energie než absorbuje. Dˇrívˇejší hypotézy pˇredpokládaly stejný zdroj energie, konkrétnˇe uvolˇnování gravitaˇcní potenciální energie zachycené planetou po gravitaˇcním smršt’ování, která se nyní pomalu vyzaˇruje. Nicménˇe výpoˇcty je vyvrátily - Saturn je menší a zchladl by dostateˇcnˇe rychle. Sonda Voyager zjistila, že Saturn obsahuje v horní vrstvˇe své atmosféry ménˇe helia než Jupiter. Konkrétnˇe obsahuje 11 %17 helia, což je mnohem ménˇe než pˇribližnˇe 20 % u Jupitera. Pˇredpokládá se, že Saturn má stejné složení jako p˚uvodní materiál, ze kterého vznikla sluneˇcní soustava, tedy jako Jupiter a Slunce. 16 Zploštˇ ení

Jupitera je asi 0,065, zatímco u Saturnu tato hodnota cˇ iní 0,098, to znamená, že rovníkový polomˇer je o 9,8 % vˇetší než polární polomˇer. 17 Hodnoty jsou uvedeny v hmotnostních procentech.


27

Zajímavá hypotéza vysvˇetluje obˇe anomálie. Nˇekteˇrí astronomové pˇredpokládají, že chladnutí Saturnovy atmosféry vedla ke kondenzaci helia do kapalného stavu a následný „déšt’“ padající dol˚u. To by mohlo vysvˇetlit nízké zastoupení helia ve vyšších vrstvách atmosféry. Navíc, když kapky helia padají, ztrácí gravitaˇcní potenciální energii, která se mˇení v tepelnou energii. A tato energie má být výsledkem vyšší emise energie než absorpce.

2.3.6

Uran CHARAKTERISTIKA Rovníkový pr˚umˇer Hmotnost Hustota Gravitaˇcní zrychlení na povrchu Úniková rychlost Perioda obˇehu kolem Slunce Naklonˇení osy rotace Poˇcet mˇesíc˚u18

HODNOTA 51 118 km 8, 68 · 1025 kg 1 271 kg · m−3 8, 7 m · s−2 21, 3 km · s−1 83, 75 r 97, 8◦ 27

k Zemi 4, 0 14, 5 0, 23 0, 89 1, 9 83, 75 1, 14

Obrázek 2.17: Snímek Uranu i se systémem prstenc˚u z Hubbleova teleskopu. Sklon rotace. Uran patˇrí mezi unikátní planety v mnoha smˇerech. Kromˇe retrográdní rotace (stejnˇe jako Venuše se otáˇcí ve smˇeru hodinových ruˇciˇcek pˇri pohledu ze severního pólu Slunce) musíme zmínit abnormální sklon osy rotace, a to konkrétnˇe 97, 77◦ .To znamená, že bˇehem jeho cˇ tyˇriaosmdesátiletého obˇehu v urˇcitý moment smˇeˇruje jeho severní pól pˇrímo ke Slunci. Uran se jakoby valí po rovinˇe obˇehu. Víme, že sklon planetární osy zapˇríˇciˇnuje vznik roˇcních období. Zdálo by se, že velký sklon Uranovy osy bude mít velký vliv na jeho poˇcasí. Nicménˇe data získaná ze sond ukázala, že Uran má pomˇernˇe stálou teplotu po celém povrchu (kolem −200◦ C. To by ukazovalo na neustálé promíchávání atmosféry vˇetry proudícími z jedné hemisféry na druhou. 5 nejvˇetších mˇesíc˚u Uranu se jmenuje Ariel, Umbriel, Titania, Oberon a Miranda. Všechny mˇesíce (i ty další) mají nízkou hustotu. 18 Poˇ cet

mˇesíc˚u k 19.4. 2016. Písmenem „p“ oznaˇcujeme pˇrítomnost systému prstenc˚u.


28

Prstence. Prstence Uranu nemohou být ze Zemˇe viditelné, protože odrazí pouze asi 5 % dopadajícího sluneˇcního svˇetla. Musí být proto vytvoˇreny materiálem podobnˇe tmavým jako saze. Pro srovnání Saturnovy prstence odráží 80 % dopadajícího sluneˇcního záˇrení. Pˇri pozorování Uranu v roce 1977 pˇri pˇrechodu pˇres hvˇezdu chtˇeli vˇedci pˇresnˇeji urˇcit velikost této planety. Z pozorování záblesk˚u astronomové vyvodili, že Uran má pˇrinejmenším pˇet prstenc˚u, které jsou ze Zemˇe nepozorovatelné, ale jsou dostateˇcnˇe husté, aby zastínily zdroj svˇetla. Po porovnání výsledk˚u nˇekolika dalších pozorování, se urˇcila orientace prstenc˚u a jejich rozmˇery. Pˇri použití stejné metody pˇri zatmˇení v roce 1978 bylo odhaleno celkem devˇet prstenc˚u.

Modrá barva. Atmosféra Uranu se podobá té na Jupiteru a Saturnu, skládá se pˇredevším z vodíku a helia s malým procentem metanu. Uran vnímáme modˇre, protože právˇe metan absorbuje cˇ ervené svˇetlo a zbytek spektra odráží. Atmosféra Jupiteru a Saturnu také obsahuje metan, ale také vysoké vrstvy mraˇcen, které odrážejí sluneˇcní svˇetlo ještˇe pˇred tím, než dosáhne vyšších koncentrací metanu. Uran taková mraˇcna nemá.

2.3.7

Neptun CHARAKTERISTIKA Rovníkový pr˚umˇer Hmotnost Hustota Gravitaˇcní zrychlení na povrchu Úniková rychlost Perioda obˇehu kolem Slunce Naklonˇení osy rotace Poˇcet mˇesíc˚u19

HODNOTA 49 528 km 1, 02 · 1026 kg 1 638 kg · m−3 11, 0 m · s−2 23, 5 km · s−1 163, 73 r 28, 3◦ 14

k Zemi 3, 9 17, 1 0, 3 1, 12 2, 1 163, 73 1, 2

Neptun byl objeven na základˇe teoretických výpoˇct˚u zohledˇnující vliv „neznámého tˇelesa“ na dráhu Uranu. Sonda Voyager v roce zaznamenala vedle dvou známých mˇesíc˚u Triton a Nereid, šest dalších mˇesíc˚u. Stejnou metodou jako u Uranu byly objeveny prstence, které se ze zaˇcátku zdály nekompletní, tedy neobklopující celou planetu, ale fotografie ze sondy ukázaly, že jsou skuteˇcnˇe kompletní, ale jaksi „hrbolaté“, pravdˇepodobnˇe v d˚usledku silového p˚usobení dosud neobjevených mˇesíc˚u, který tyto prstence možná obíhají. Triton je jednak nejvˇetším mˇesícem Neptunu, jednak patˇrí mezi sedm nejvˇetších v rámci sluneˇcní soustavy.20 Po Zemi a Jupiterovu mˇesíci Io je tˇretím geologicky aktivním tˇelesem. Nereid má zase ze všech mˇesíc˚u nejvˇetší excentricitu.

Atmosféra. Složení Neptunu a Uranu se hodnˇe podobá, modrá barva, kterou pozorujeme, má také stejný p˚uvod - metan ve vrchní vrstvˇe atmosféry. Svˇetlo prochází na Neptunu hloubˇeji, takže vnímáme sytˇejší barvu. Jemné bílé mraky pozorované na Neptunu pˇredpokládáme, že jsou krystaly metanu. Mraˇcna jsou výše než okolní atmosféra, takže vrhají stín. Na rozdíl od Uranu byly na Neptunu pozorovány zmˇeny v horních vrstvách atmosféry. Jednak kolem dokola na snímcích vidíme rovnobˇežné pásy, jednak na jižní polokouli sonda Voyager 2 vyfotografovala Velkou tmavou skvrnu velmi podobnou Rudé skvrnˇe na Jupiteru i relativní pomˇery vzhledem k planetám. Absolutní velikost Tmavé skvrny byla srovnatelná s rozmˇery planety Zemˇe. 19 Poˇ cet

mˇesíc˚u k 19.4. 2016. Písmenem „p“ oznaˇcujeme pˇrítomnost systému prstenc˚u. než Triton jsou cˇ tyˇri Jupiterovy mˇesíce Io, Europa, Ganymed, Callisto, Mˇesíc a Saturn˚uv Titan.

20 Vˇ etšími


29

Obrázek 2.18: Velká tmavá skvrna už na Neptunu Obrázek 2.19: Oblaka asi 30◦ jižnˇe pod nepozorujeme. rovníkem. Rychlost rotace byla dlouho nejistá.Stejné jako ostatní plynné planety, Neptun vykazuje rozdílnou rotaci: poblíž rovníku rotuje 18 h, ale u pól˚u rotuje s periodou pouze 12 hodin. Nicménˇe nejvˇetší rozdíly se vztahují k prvním pár procent˚um atmosféry. Magnetické pole na Neptunu rotuje s periodou 16 h 3 min, je d˚usledkem elektrických proud˚u v kapalných vrstvách hloubˇeji uvnitˇr planety.

Kapitola 3 Soubor astrofyzikálních úloh pro SŠ 3.1

Poˇcetní úlohy

• Starovˇeký filozof Eratosthenes (276 - 195 pˇr. n. l.) velmi jednoduchým zpusobem ˚ vypoˇcítal pˇribližný polomˇer Zemˇe. Zkuste ho napodobit. Máte k dispozici tyto informace: V Asuánu (Syenne) bˇehem letní rovnodennosti nevytváˇrejí žádné objekty stín. Ve stejný den v Alexandrii (Alexandria), která je vzdálená asi 5 000 stádií (1stadium ≈ 1/6 km), m˚užeme pozorovat Slunce na obloze asi 7, 2◦ od nadhlavníku. NADHLAVNÍK (zenit) = bod na obloze, který leží pˇrímo nad pozorovatelem. Je to pr˚useˇcík kolmice na horizontální rovinu pozorovacího místa s nebeskou sférou. Je pólem horizontální souˇradnicové soustavy. V pˇrípadˇe Slunce a pozorovatele na povrchu Zemˇe m˚uže být Slunce v zenitu jen v tropickém pásu. Eratosthenes pˇredpokládal, že Slunce se nachází ve velké vzdálenosti od Zemˇe, a to natolik, že svˇetelné paprsky dopadají na Zemi rovnobˇežnˇe. Rozdíl 7◦ v odklonu paprsk˚u v Alexandrii pˇripisoval právˇe zakˇrivení zemského povrchu. 1 Protože v ˇreˇci úhl˚u je 7, 2◦ pˇresnˇe 50 celé kružnice, snadno odvodíme, že staˇcí vynásobit vzdálenost z Asuánu do Alexandrie cˇ íslem k nˇemu pˇrevráceným.

smer nadhlavnikA smer SlunceA

7,2◦

Alexandria smer nadhlavnikS = smer SlunceS α

= 7, 2◦

Syene

Obrázek 3.1: Výpoˇcet polomˇeru Zemˇe podle Eratosthena

– 30 –

Kapitola 3. Soubor astrofyzikálních úloh pro SŠ

31

50 · 5000stadii ≈ 50 · 833 km ≈ 41 650 km 2πR⊕ = 41 650 km . R⊕ = 6630 km Relativní chyba takového „odhadovaného“ ˇrešení je pˇribližnˇe 3, 8%. • Jak velká je délka l matematického kyvadla, které by mˇelo na Mˇesíci dobu kyvu t = 1 s? Jak velkou dobu kyvu t 0 by mˇelo na Mˇesíci sekundové kyvadlo pozemské? Znáte pouze tyto informace: polomˇer Zemˇe R⊕ = 6378km, hmotnost Zemˇe m⊕ = 5, 97 · 1 1024 kg, polomˇer Mˇesíce R = 0, 27RZ , hmotnost M = 81 MZ . Zadání pˇríkladu pˇrevzato z [12], ˇrešení vlastní. S výpoˇctem periody kmitu matematického kyvadla mají studenti jistˇe spojený vztah s l T = 2π , g ve kterém figuruje tíhové zrychlení. (Rozdíl mezi velikostí tíhového a gravitaˇcního zrychlení zanedbáme a budeme poˇcítat s gravitaˇcním zrychlením.) Podle zadání ale velikost gravitaˇcních zrychlení na Zemi i na Mˇesíci musíme teprve vypoˇcítat pomocí jiných zadaných parametr˚u. Pˇri dosazení zadaných hodnot do Newtonova gravitaˇcního zákona získáme: κM⊕ FG = m · g⊕ = 2 · m R⊕ g⊕ =

6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 63780002 . g⊕ = 9, 8 ms−2

Analogicky provedeme výpoˇcet u Mˇesíce: FG = m · gM =

κMM ·m R2M

κ M81⊕ (0, 27R⊕ )2 . g⊕ gM = 5, 9 . gM = 1, 66 m · s−2 gM =

Získali jsme navíc známý fakt, že gravitaˇcní síla na povrchu Mˇesíce je asi šestkrát menší než na povrchu Zemˇe. KYV = polovina kmitu, napˇr. pˇrechod z jedné krajní polohy do druhé. Vrátíme se tedy ke zmiˇnovanému vztahu pro periodu matematického kyvadla, z nˇejž vyjádˇríme délku závˇesu: l=

(2T )2 g 22 · 1, 66 . = = 0, 168 m 4π 2 4 · 3, 142


32

Pozemské sekundové kyvadlo má naopak délku l=

9, 81 . T 2g = = 0, 249 m, 4π 2 4 · 3, 142

jeho perioda tˇesnˇe nad povrchem Mˇesíce pak bude s s l 1, 56 . T = 2π = 2π = 2, 43 s. g 1, 66 • Urˇcete hmotnost Slunce a Zemˇe. Na první pohled by se mohlo zdát, že takto vágnˇe zadaná úloha bez dalších informací není rˇešitelná. My si její rˇešení rozdˇelíme na dvˇe nezávislé cˇ ásti. Abychom urˇcili hmotnost Slunce M , musíme si uvˇedomit zákonitosti pohybu Zemˇe kolem Slunce. Gravitaˇcní síla je právˇe ta, která vychyluje Zemi z rovnomˇerného pˇrímoˇcarého pohybu, ve kterém by pˇri výslednˇe nulovém p˚usobení vnˇejších sil setrvala. Proto Zemˇe obíhá kolem Slunce po elipse, kterou m˚užeme v první aproximaci nahradit kružnicí. Pˇritažlivá gravitaˇcní síla je zároveˇn tedy pro Zemi silou dostˇredivou. M M⊕ M⊕ ω 2 r = G r2 Ale jaká je úhlová rychlost ω pohybu Zemˇe kolem Slunce? Pokud aproximuje trajektorii Zemˇe kolem Slunce kružnicí, m˚užeme ji odhadnout na 1◦ za den. (Staˇcí si uvˇedomit, že celou „kružnici“, tedy celých 360◦ , Zemˇe obˇehne za pˇribližnˇe 365 dní.) Navíc r je stˇrední vzdálenost Zemˇe od Slunce, tj. r ≈ 149, 5 · 106 km a G je gravitaˇcní konstanta. Platí tedy ω 2 r3 M = ≈ 1, 99 · 1030 kg G POZN.: Druhá možnost, jak vypoˇcítat hmotnost Slunce je využití tˇretí Keplerova zákona. Jak urˇcit hmotnost Zemˇe? M˚užeme využít tíhového zrychlení na povrchu Zemˇe (viz pˇríklad výše). Z gravitaˇcního zákona plyne: FG = m · g = κ g=

M⊕ m R2⊕

FG M⊕ =κ 2 m R⊕

Polomˇer Zemˇe i tíhové zrychlení na povrchu Zemˇe jsme vypoˇcítali v pˇredchozích pˇríkladech, vezmˇeme tedy hodnoty R⊕ = 6378 km a g = 9, 81 ms−2 . Pak M⊕ =

gR2⊕ ≈ 5, 98 · 1024 kg. κ

POZN., viz [13]: Newton sám odhadl hmotnost Zemˇe z velikosti a hustoty Zemˇe. Porovnáním hustoty bˇežných minerál˚u odhadl hustotu Zemˇe jako ρ⊕ ≈ 5000 kg · m−3 , a tak dostal pro hmotnost Zemˇe odhad 4 M⊕ ≈ ρ⊕V⊕ ≈ πρ⊕ R3⊕ ≈ 5 · 1024 kg. 3


33

• Jak je možné, že Merkur neudrží atmosféru, zatímco Titan, jehož rozmˇery jsou srovnatelné s Merkurem, atmosféru má? Hypotézu následnˇe potvrd’te výpoˇctem. Zadání pˇrevzato z [14]. Je d˚uležité si uvˇedomit, že objekt je schopný si udržet atmosféru, jestliže úniková rychlost z jeho povrchu je alespoˇn desetkrát vˇetší než je rychlost molekul plynu na planetˇe. Úniková rychlost z Titanu je sice menší než na Merkuru, ale rozhodující je v tomto pˇrípadˇe rozdíl v teplotách, kterých jejich povrch dosahuje. Na Merkurovˇe stranˇe pˇrivrácené ke Slunci namˇeˇríme až 450◦ C, kdežto teplota na Titanovˇe povrchu leží jen asi kolem −220◦ C. Rychlost molekul plynu na Titanu je tudíž menší než na Merkuru, a proto si Titan udrží atmosféru. Titan má dokonce hustší atmosféru než Zemˇe. Pˇrevedeno do ˇreˇci matematiky by musela být splnˇena nerovnost v p ≤ 10 · vsk , kde v p je úniková, neboli parabolická rychlost, vsk zase stˇrední kvadratická rychlost molekul plynu, konkrétnˇe tedy r r 2GM 3kT ≤ 10 · . R m Sonda Mariner 10 v roce 1974 neúspˇešnˇe hledala u Merkuru možnou alespoˇn tenkou vrstvu atmosféry z helia (nejlehˇcího plynu navíc obsaženého ve sluneˇcním vˇetru). Pro tento prvek vychází pomˇer rychlostí pˇri podmínkách na planetˇe Merkur r r 2GM 3kT v p /vsk = : R m s s 2 · 6, 67 · 10−11 · 3, 3 · 1023 3 · 1, 38 · 10−23 · 750 . : = 4250 : 2160 = 2, 6 −27 2, 44 · 10 4 · 1, 661 · 10 takže by na Merkuru atmosféra skuteˇcnˇe vydržela jen v ˇrádu dn˚u. Titanovu atmosféru tvoˇrí pˇredevším molekulární dusík (asi 98,4 %). Tentokrát dosadíme do nerovnosti charakteristiky Titanu a dusíku: s 2 · 6, 67 · 10−11 · 1, 35 · 1023 · 14 · 1, 661 · 10−27 . v p /vsk = = 2640 : 290 = 9. 2, 58 · 106 · 3 · 1, 38 · 10−23 · 100 M˚užeme tedy ˇríct, že podmínka pro dlouhodobé udržení atmosféry je prakticky splnˇena. • Planeta Jupiter má podobné chemické složení jako naše Slunce, konkrétnˇe je tvoˇren z pˇribližnˇe 71 % vodíku, 24 % helia a 5 % ostatních prvku. ˚ 1 Porovnejte také tlak a teplotu v nitru Jupitera se Sluncem. Je možné, aby se v této planetˇe zažehly termonukleární reakce? Rozhodující sou podmínky uvnitˇr takového tˇelesa, pˇredevším teplota a tlak uvnitˇr tˇelesa. Pro pp rˇetˇezec je nezbytná minimální teplota 4·106 K, pro CNO cyklus 15· 106 K, 3α reakce 108 K.

1 Hodnoty

uvedeny v hmotnostních procentech. Chemické složení samotné atmosféry Jupitera je 88 - 92 % vodíku a 8 - 12 % helia s malým množstvím methanu, amoniaku a vodní páry (v objemových procentech). ˇ Císelné hodnoty viz [15].


34

Tlak uvnitˇr Jupitera Ve zjednodušeném pˇriblížení platí z rovnice hydrostatické rovnováhy pro tlak ve stˇredu planety Pc =

GM 2 . 8πR4

Pro konkrétní hodnoty Jupitera vychází hrubý odhad tlaku v centru Jupitera pˇribližnˇe jako Pc =

3 · 6, 67 · 10−11 · (1, 9 · 1027 )2 . = 3 000 GPa. 3, 14 · (71, 492 · 106 )4

Uvádˇená hodnota v [15]: 3 000 - 4 500 GPa. . Centrální tlak ve Slunci podle [11]: P = 24, 77 · 106 GPa Z modelu stavby nitra Jupitera popsaného v [16] vyplývá centrální teplota 36 000 K. . Centrální teplota ve Slunci je podle [11] T = 15 710 000 K. Není tedy splnˇena ani jedna nutná podmínka pro zážeh termonukleární reakce. • Jak by se zmˇenila vzdálenost mˇesíce Phobos od povrchu Marsu, jestliže se jeho hmotnost zdvojnásobí? Pˇredpokládejme, že hustota planety ani její obˇežná doba zustanou ˚ stejné. Víte, že nyní tento mˇesíc obíhá s periodou T = 7,66 h a velikostí hlavní poloosy a = 9380 km. Výpoˇcet povede na aplikaci III. Keplerova zákona. Musíme si ale uvˇedomit, že v nˇem figuruje velikost hlavních poloos mˇerˇená od stˇredu planety. Ze III. Keplerova zákona v pˇresném znˇení vyjádˇríme hmotnost Marsu: T2 =

4π 2 a3 , G · (M1 + M2 )

pˇriˇcemž hmotnost Phobose zanedbáme (m˚užeme si to dovolit, protože ve skuteˇcnosti je jeho hmotnost o 6 ˇrád˚u menší). 4π 2 a3 M♂ = = 6, 42 · 1023 kg gT 2 Jestliže pˇredpokládáme nemˇennou hustotu planety, musela by se s hmotností zvˇetšit také její objem, potažmo polomˇer. 3M♂ 6M♂ ρ♂ = = 3 4πR03 4πR ♂ 3M R3♂ = → R♂ 4πρ R03 =

6M = 2R3♂ 4πρ

A samozˇrejmˇe musíme vyjádˇrit, jak by se prodloužila celá hlavní poloosa: a03 =

T 2 2M♂ = 2a3 4π 2 √ 3 a0 = 2a


35

Nakonec urˇcíme „novou“ vzdálenost tohoto mˇesíce od povrchu planety: √ √ √ 3 3 3 a0 − R0 = 2a − 2R♂ = 2(a − R♂ )

Po dosazení konkrétních hodnot √ √ . 3 3 a0 − R0 = 2 · (9 380 000 − 3 397 000) = 2 · 5 983 000 = 7 538 km

Mˇesíc Phobos by se vzdálil od povrchu pˇribližnˇe o 1 600 km, jeho vzdálenost by se zvˇetšila asi o 26 % (mimoto stejný relativní pˇrír˚ustek by vznikl i u hlavní poloosy, jak jde vidˇet z výpoˇct˚u výše). • Kometa P/2010 C1 Scotti se pohybuje kolem Slunce po eliptické dráze s excentricitou dráhy e = 0,25911 a délkou hlavní poloosy a = 7,0657 au, údaje pˇrevzaty z [11]. Urˇcete a) kdy ji budeme moci opˇet pozorovat, jestliže byla naposledy zaznamenaná 1. ledna 2009, b) nejmenší vzdálenost od Slunce a její rychlost v periheliu, c) nejvˇetší vzdálenost od Slunce a její rychlost v afeliu, d) délku malé poloosy. a) Opˇet využijeme III. Kepler˚uv zákon, tentokrát v tom stˇredoškolsky známˇejším tvaru a31 T13 = , a32 T23 srovnávacím tˇelesem obíhajícím kolem stejného centra (Slunce) bude naše Zemˇe, se známými hodnotami periody T = 1 rok a hlavní poloosy a = 1 au. s q p a31 3= T1 = T2 · = a 7, 06573 = 18, 78 r. 1 a32 Pˇripoˇcítáme-li tuto dobu k datu, pˇri kterém byla kometa Scotti pozorována, zjistíme, že ji opˇet na obloze spatˇríme asi 12. ˇríjna 2027. b) Pro charakteristiku eliptických drah pˇri znaˇcení podle obrázku 3.2 platí rmin = a − ε, kde a je hlavní poloosa dráhy, ε vzdálenost ohniska (v nˇemž v tomto pˇrípadˇe leží Slunce) od stˇredu elipsy - jde o tzv. lineární výstˇrednost. Dosadíme-li ε = a · e, protože excentricitu definujeme jako pomˇer výstˇrednosti k velikosti hlavní poloosy, získáme vztah rmin = a · (1 − e) = 7, 0657 · (1 − 0, 25911) = 5, 23 au. Pro rychlost komety v periheliu využijeme rovnici v ! u u 1 2 t v = GM · − rmin a v = 14, 65 km/s. c) Nejvˇetší vzdálenost komety od Slunce, tedy její vzdálenost v afeliu, analogicky vypoˇcítáme rmax = a + ε = a · (1 + e) = 7, 0657 · (1 + 0, 25911) = 8, 90 au. Vidíme, že kometa Scotti se pohybuje mezi obˇežnými drahami planet Jupiter (jehož stˇrední vzdálenost od Slunce je 5, 20 au) a Saturn (stˇrední vzdálenost od Slunce = 9, 58 au).


36 C

ε

b

A

F1 S rmax

a

F2

B

rmin

D

Obrázek 3.2: Charakteristiky eliptické dráhy Podobnˇe jako v pˇredchozím bodˇe úlohy pro rychlost komety v afeliu využijeme vztah v ! u u 2 1 v = tGM · − rmax a v = 8, 62 km/s. Potvrdili jsme si, že v periheliu se kometa pohybuje rychleji než afeliu, je tedy splnˇen II. Kepler˚uv zákon. d) Nakonec ještˇe urˇcíme velikost malé poloosy.Pro ni platí vztah (viz obrázek 3.2) p b = a2 − ε 2 , kde opˇet ε = a · e znaˇcí lineární excentricitu. Upravíme tedy tuto rovnici a dosadíme konkrétní hodnoty: p p b = a · 1 − e2 = 7, 0657 · 1 − 0, 259112 = 6, 82 au. • Kohoutkova kometa2 C/1973 E1 prošla 23. prosince 1973 periheliem ve vzdálenosti r = 0,142425 au. Urˇcete typ dráhy, po které se tato kometa pohybuje vzhledem ke Slunci, jestliže znáte velikost hlavní poloosy a = - 17 803,13 au, údaje pˇrevzaty z [11]. Jakou má dráha excentricitu? Abychom urˇcili typ dráhy, po které se kometa vzhledem ke Slunci pohybuje, porovnáme rychlost, kterou mˇela pˇri pr˚uletu periheliem s hodnotou kruhové a parabolické rychlosti na stejném místˇe. V úplnˇe obecné rovinˇe vycházíme ze zákona zachování energie vyjádˇreného napˇríklad rovnicí 1.25 a rˇešení Keplerovy úlohy, viz stranu 6 a obrázek 1.1. 2 Luboš

Kohoutek (narozen 29. ledna 1935) je cˇ eský astronom, který studovat mimo jiné na Pˇrírodovˇedecké fakultˇe Masarykovy univerzity v Brnˇe. Od roku 1963 je cˇ lenem Mezinárodní astronomické unie. Objevil desítky asteroid˚u a nˇekolik komet, mezi které patˇrí i Kohoutkova kometa. Poprvé ji pozoroval 28. ledna 1973 na observatoˇri v Hamburku.


37

Nejdˇríve spoˇcítáme rychlost komety v periheliu. Využijeme vztah pro rychlost tˇelesa na kuželoseˇcce (viz pˇredchozí pˇríklad), do kterého dosadíme zadané hodnoty: v ! u u 2 1 v = tGM · − rp a

v=

2 · 6, 67 · 10−11 · 1, 99 · 1030 6, 67 · 10−11 · 1, 99 · 1030 + 0, 142425 · 1, 496 · 1011 17803, 13 · 1, 496 · 1011

!1/2

Rychlost komety pˇri pr˚uchodu periheliem tedy pˇribližnˇe vyšla . v = 111, 62 km · s−1 .

Jaká je v tomto místˇ e kruhová a parabolická rychlost? s M . kruhová rychlost: vI = G = 78, 93 km · s−1 rp √ . parabolická rychlost: vII = 2vI = 111, 62 km · s−1 Vidíme, že Kohoutkova kometa se pohybovala dostateˇcnou rychlostí, aby unikla z gravitaˇcního ˇ p˚usobení Slunce. Pohybuje se tedy po dráze velmi blízké parabole. Cemuž nasvˇedˇcuje i velikost excentricity rp − a . = 1, 000 008 = 1. e= a • Jak je rozložen ve sluneˇcní soustavˇe moment hybnosti? V jaké vzdálenosti by planeta Jupiter shromažd’ovala 50 % (resp. 90 %)souˇctu dráhových momentu˚ hybnosti všech planet sluneˇcní soustavy? Jak by se zmˇenil dráhový moment hybnosti Uranu a Neptuna, jestliže by si tyto planety vymˇenily obˇežné dráhy? Planeta Merkur Venuše Zemˇe Mars Jupiter Saturn Uran Neptun

r[au] 0, 39 0, 72 1, 00 1, 52 5, 20 9, 58 19, 20 30, 05

m[M⊕ ] 0, 055 0, 815 1, 00 0, 107 317, 8 95, 2 14, 5 17, 1

T 87, 97 d 224, 7 d 365, 26 d 1, 881 r 11, 86 r 29, 46 r 82, 01 r 164, 79 r

L [kg · m2 · s−1 ] 9, 22 · 1038 1, 82 · 1040 2, 66 · 1040 3, 49 · 1039 1, 92 · 1043 7, 88 · 1042 1, 73 · 1042 2, 49 · 1042

POZN.: V tabulce jsou uvedeny velikosti dráhových moment˚u hybnosti. 3 Základní vztah urcˇ ující tuto veliˇcinu L = mvr m˚užeme pˇrepsat jako L = m· 3 Hodnoty

dopoˇcítali.

2πr 2πmr2 ·r = , T T

stˇredních vzdáleností planet od Slunce a jejich hmotností jsme pˇrevzali z [11], zbytek jsme


38

k výpoˇctu nám tedy staˇcily údaje uvedené v tabulce - hmotnosti, polomˇery drah a obˇežné doby planet. U Slunce uvažujeme naopak právˇe rotaˇcní moment hybnosti L = Iω, kde Ikoule = 52 mr2 , konkrétnˇe tedy 2 Lrot = M R2 ω 5 Lrot =

8 · 1030 · (696 · 106 )2 · π = 1, 11 · 1042 kg · m2 · s−1 . 5 · 25, 38 · 24 · 3600

Rotaˇcní moment hybnosti Slunce tedy cˇ iní ménˇe než zhruba 4 % celkového momentu hybnosti všech planet (souˇcet dráhových moment˚u hybnosti planet uvedených v tabulce se rovná ∑ Li = 3, 1387 · 1043 kg · m2 · s−1 ). A to pˇrestože jeho hmotnost pˇredstavuje skoro 99,9 % celkové hmotnosti sluneˇcní soustavy (opˇet pro souˇcet hmotností planet uvedených v tabulce platí ∑ mi = 2, 662 · 1027 kg). K odpovˇedi urˇcení stˇrední vzdálenost planety ze vztahu pro výpoˇcet velikosti momentu hybnosti jako Lcelk T . r2 = 2πm Nesmíme zapomenout, že vzdálenost, ve které tˇeleso obíhá kolem centrálního tˇelesa je vázáno na periodu podle III. Keplerova zákona, takže se vztah upraví r2 =

2πLcelk 1/2

G1/2

· r3/2 ,

2πMX M !2 L2 Lcelk 4π 2 r= · = 2 celk . 2πMX GM M M G X Do rovnice dosadím vždy jen takovou cˇ ást celkového dráhového momentu hybnosti, který mám zadaný v úloze, takže získám hledané hypotetické vzdálenosti Jupitera s 0, 25 · 3, 13872 · 1086 r50 % = = 3, 44 au, 1, 902 · 1054 · 1, 99 · 1030 · 6, 67 · 10−11 s r90 % =

0, 81 · 3, 13872 · 1086 = 11, 13 au. 1, 902 · 1054 · 1, 99 · 1030 · 6, 67 · 10−11

Koneˇcnˇe to, jak by se zmˇenily momenty hybnosti Uranu a Neptuna pˇri výmˇenˇe jejich drah urˇcíme jednoduchým dosazením do vztahu 2 2mZ πr[ LZ = = 2, 11 · 1042 kg · m2 · s−1 = 1, 22 LZ , T[ 0

a analogicky

2 2m[ πrZ L[ = = 2, 04 · 1042 kg · m2 · s−1 = 0, 82 L[ . TZ 0


39

• Jak velkými slapovými silami pusobí ˚ Jupiter na svuj ˚ mˇesíc Io v nejbližším a nejvzdálenˇejším bodˇe jeho povrchu? Mužeme ˚ jejich pusobení ˚ zanedbat? . Znáte pouze tyto informace: hmotnost Jupitera MX = 1, 90 · 1027 kg, hmotnost mˇesíce Io mIo = . . 8, 93 · 1022 , polomˇer Jupitera RX = 71 500 km, polomˇer Io rIo = 1 820 km, stˇrední vzdálenost Jupitera od Io rXIo ≈ 4, 22 · 108 . Z hlediska inerciální vztažné soustavy jsou slapové síly mezi tˇemito tˇelesy na jednotku hmotnosti dány rozdílem gravitaˇcních zrychlení jednotlivých cˇ ástí mˇesíce Io a gravitaˇcního zrychlení, se kterým se Io pohybuje kolem hmotného stˇredu soustavy Jupiter-Io. Viz také podkapitolu 1.3.1. Nejdˇríve tedy spoˇcítáme vzdálenost barycentra rB od stˇredu Jupitera: rB =

0 · MX + rXIo · MIo 4, 22 · 108 · 8, 93 · 1022 = m ≈ 20 km. MX + MIo 1, 90 · 1027 + 8, 93 · 1022

Vzhledem k polomˇeru Jupitera (pˇribližnˇe 71 500 km) tedy m˚užeme ˇríct, že barycentrum leží zhruba ve stˇredu této planety. Gravitaˇcní zrychlení, se kterým se Io pohybuje kolem barycentra, proto aproximujeme gravitaˇcním zrychlením stˇredu mˇesíce. Velikost gravitaˇcních sil vztažených na jednotku hmotnosti, kterými p˚usobí Jupiter na jednotlivé cˇ ásti mˇesíce, zjistíme po dosazení zadaných hodnot do vztah˚u4 ag (A) =

GMX 6, 67 · 10−11 · 1, 90 · 1027 . −1 2 = 0, 718 N · kg , 2 = 8 6 rXIo − RIo 4, 22 · 10 − 1, 82 · 10

GMX 6, 67 · 10−11 · 1, 90 · 1027 . = = 0, 712 N · kg−1 , (4, 22 · 108 )2 r2 XIo GMX 6, 67 · 10−11 · 1, 90 · 1027 . −1 ag (C) = 2 = 0, 706 N · kg . 2 = 8 6 rXIo + RIo 4, 22 · 10 + 1, 82 · 10 ag (O) =

Koneˇcnˇe rozdíl zrychlení se rovná

as (A) = ag (A) − ag (O) ≈ 6 · 10−3 N · kg−1 , as (C) = ag (C) − ag (O) ≈ −6 · 10−3 N · kg−1 . Spoˇcítali jsme tedy, že velikost slapových sil v nejbližším (a nejvzdálenˇejším) bodˇe od Jupitera p˚usobících na jednotku hmotnosti se v obou pˇrípadech rovná zhruba 6 mN. Mínus u výsledku znaˇcní, že vektor ag (C) míˇrí opaˇcným smˇerem než vektor ag (A), jenž míˇrí smˇerem k Jupiteru. Aˇckoli by se mohlo zdát, že velikosti slapových sil, kterými Jupiter ovlivˇnuje mˇesíc Io jsou zanedbatelné, srovnejme to se slapovými silami Mˇesíce p˚usobícího na Zemi: Ty jsou o více než tˇri ˇrády nižší, a pˇresto jsou jejich úˇcinky na Zemi (napˇr. jako pˇríliv a odliv) jasnˇe patrné a nezanedbatelné. Výrazné slapové síly (vedoucí také ke slapovému tˇrení) jsou pˇríˇcinou toho, že na mˇesíci Io probíhá nejvˇetší sopeˇcná aktivita v celé sluneˇcní soustavˇe. POZN.: Vrat’me se k obecnému výpoˇctu slapových sil na jednotku hmotnosti. V nejbližším bodˇe (oznaˇceném jako A) platí: 2rXIo RX − R2X GMX GMX as (A) = ag (A) − ag (O) = = GMX · 2 − 2 2 r rXIo − RIo rXIo − RIo · r2 XIo XIo

4 Podobnˇ e

jako v podkapitole 1.3.1 oznaˇcíme pro jednoduchost vyjadˇrování písmeny A a C nejbližší, resp. nejvzdálenˇejší bod od Jupitera na povrchu mˇesíce Io. O znaˇcí stˇred mˇesíce.

Závˇer

40

Zavedeme aproximaci 2rXIo RX − R2X ≈ 2rXIo RX a rXIo − RIo as (A) ≈ GMX ·

2

2rXIo RX 2R = GMX · 3 X 4 r r . XIo XIo

2 , po úpravˇ ≈ rX e získáme Io

(3.1)

V rovnici 3.1 vidíme, že velikost slapových sil na jednotku hmotnosti klesá se tˇretí mocninou vzdálenosti Jupitera a mˇesíce Io. Nesmíme ale zapomenout, že taková závislost platí jen pro bod A, resp. C (tedy pro nejbližší a nejvzdálenˇejší bod od p˚usobícího tˇelesa), a to navíc pouze za nˇekolika zjednodušení. Nejde tedy o obecnˇe platnou závislost.

Závˇer Sluneˇcní soustava v mezipˇredmˇetové výuce Fyzika není jediným vyuˇcovaným pˇredmˇetem, jenž se zabývá pˇrímo cˇ i nepˇrímo tématickými celky, ˇ které souvisí se sluneˇcní soustavou. Casto se proto diskutuje tzv. mezipˇredmˇetová výuka. Pˇres vˇedomí urˇcitého rizika, jenž pˇredstavuje pˇredevším nedostateˇcný poˇcet uˇcitel˚u jejichž aprobace kombinuje fyziku, a z toho plynoucí neodbornost tˇech, kteˇrí by mˇeli být schopni - pˇri filozofii mezipˇredmˇetové výuky - „plynule pˇrecházet z pˇredmˇetu do pˇredmˇetu“, uvádíme struˇcný seznam námˇet˚u a témat, které by se mohly objevit alespoˇn jako struˇcné zmínky v jiných než fyzikálních pˇredmˇetech a prostoupit tak do jejich výuky.

Matematika Nejvhodnˇeji lze astrofyziku (obecnˇe fyziku) cˇ ásteˇcnˇe zaˇclenit do matematiky. V aritmetice pˇredstavuje rozsáhlý zdroj vzorc˚u, na nichž se žáci mohou nauˇcit vyjadˇrovat konkrétní neznámou. Každý vztah by se dal struˇcnˇe komentovat pˇredevším stran jeho používanosti v souˇcasné astronomii. Pˇri vytváˇrení pˇredstav student˚u o rozmˇerech ve vesmíru, napˇríklad právˇe ve sluneˇcní soustavˇe, m˚užeme využít práci s ˇrádovým porovnáváním hodnot a jejich interpretace. Vˇetšina uˇcebnic astronomie a astrofyziky obsahuje srovnání planet s rozmˇery bˇežnˇe známých vˇecí, míˇci všech rozmˇer˚u poˇcínaje, ovocem konˇce. Matematika volí grafické znázornˇení spíše pomocí diagram˚u. Vhodné by bylo napˇríklad vytvoˇrit pracovní list pro statistické zpracování dat - napˇríklad s namˇeˇrenými veliˇcinami, díky nimž zjistíme nˇeco dalšího o nˇejaké konkrétní planetˇe, hvˇezdˇe. A v geometrii m˚užeme využít témata kuželoseˇcek k zopakování a upevnˇení Keplerových zákon˚u. Zemˇepis V rámci zemˇepisu se žáci seznamují podrobnˇe se Zemí, složením jednotlivých vrstev tohoto tˇelesa, litosférou a z jejích vlastností plynoucí napˇríklad vulkanickou cˇ inností nebo atmosférou a jejím vlivem na klima a poˇcasí na planetˇe. Velký d˚uraz je kladen na soustavu Zemˇe - Mˇesíc, pˇrípadnˇe Zemˇe - Mˇesíc - Slunce. Studenti tak pochopí význam vzájemných relativních poloh tˇechto tˇeles pˇri cˇ ásteˇcných a úplných zatmˇeních. Vyuˇcující se také obvykle zmiˇnuje o slapových jevech, vˇetšinou ale jejich pˇríˇcinu znaˇcnˇe zjednodušují struˇcným odkazem na „silové p˚usobení Mˇesíce“.

Chemie Pˇri výkladu periodické soustavy prvk˚u m˚uže uˇcitel upozornit na r˚uzné složení planet a jejich atmosfér. Dále by vhodné ukázat, jak probíhají známé jevy jako je koroze, skleníkový efekt nebo zmˇena vazebních vlastností prvk˚u probíhají za extrémních tlak˚u a teplot.

– 41 –

Závˇer

42

Shrnutí Cílem práce bylo pˇredstavit standardní téma stˇredoškolské fyziky výbˇerem zajímavých témat, která by bylo možné a vhodné zaˇradit pˇredevším do fyzikálního semináˇre na stˇrední škole. Ten by nabídl žák˚um hlubší vhled do problematiky pomocí poˇcetních úloh, jejichž matematický aparát není nijak zvlášt’ nároˇcný. Celá práce m˚uže být chápána jako celek, tedy materiál, který (až na krátké pasáže v Kapitole 1) provede studenty maturitních roˇcník˚u problematikou sluneˇcní soustavy. Text je sestaven tak, aby bylo možné z nˇej bez narušení návaznosti vybírat samostatné kapitoly cˇ i jejich cˇ ásti. V kapitole 2 jsou pˇredkládány a fyzikálnˇe interpretovány pˇredevším takové informace o jednotlivých planetách a Slunci, se kterými se stˇredoškolští studenti v bˇežných hodinách cˇ asto nesetkají. Do textu jsou pˇridány ilustraˇcní obrázky a schémata, aby látka byla pˇredstavitelnˇejší. Jednotlivé astrofyzikální úlohy z vytvoˇreného souboru v kapitole 3 m˚uže uˇcitel zaˇrazovat podle uvážení i do bˇežné výuky.

Seznam použité literatury [1] Horský, J., Novotný, J., Štefaník, M.: Mechanika ve fyzice. Akademia, Praha, 2001. [2] Kepler, J.:Astronomia Nova. Heidelberg, 1609. [3] Kittel, Ch., Knight, W. D., Ruderman, M. A .: Mechanics: Berkeley physics course - volume 1. McGraw-Hill Book Company, New York, 1965. [4] Kepler, J.: Harmonices Mundi libre V. Linec, 1619. [5] Hanisko, P.: Pohyb telies v gravitaˇcnom poli. Slovenská astronomická spoloˇcnost’ pri SAV, Levoˇca, 2015. [6] International Astronomical Union - RESOLUTION B2 on the re-definition of the astronomical unit of length, 2012, [online]. http://www.iau.org/static/resolutions/IAU2012_English.pdf [7] Franc, T.: Vybrané gravitaˇcní jevy ve vesmíru a jejich pˇriblížení stˇredoškolák˚um. Disertaˇcní práce MFF UK, Praha, 2014. [8] Vanýsek, V.: Základy astronomie a astrofyziky. Academia, Praha, 1980. [9] Kuhn, K. F., Koupelis, T.: In Quest of the Universe. Jones and Bartlett Publishers, Sudbury, Mass., 2001. [10] Macháˇcek,M.: Fyzika pro gymnázia - astrofyzika. Prometheus, Praha, 2008. [11] NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/ [12] Široký, J.,Široká, M.: Základy astronomie v pˇríkladech. SPN, Praha, 1973. [13] BAJER, J.: Mechanika 2. Vladimír Chlup, Olomouc, 2008. [14] Štefl, V., Korˇcáková, D., Krtiˇcka, J.: Úlohy z astrofyziky. Masarykova univerzita, Brno, 2010. ˇ v Plzni, [online]. http:// [15] Astronomia - Astronomický server Fakulty pedagogické ZCU astronomia.zcu.cz/ [16] Pasachoff, J. M., Filippenko A.: The Cosmos: Astronomy in the New Millennium. Cambridge University Press, New York, 2014.

– 43 –

Seznam pˇrevzatých obrázku˚ (Ostatní obrázky jsme vytvoˇrili v programu Geogebra.) Obrázek 1.1: Pohyb telies v gravitaˇcnom poli, str. 130. Slovenská astronomická spoloˇcnost’ pri SAV, Levoˇca, 2015. Obrázek 1.3: Pohyb telies v gravitaˇcnom poli, str. 157. Slovenská astronomická spoloˇcnost’ pri SAV, Levoˇca, 2015. Obrázek 1.4 Franc, T.: Vybrané gravitaˇcní jevy ve vesmíru a jejich pˇriblížení stˇredoškolák˚um, str. 6. Disertaˇcní práce MFF UK, Praha, 2014 Obrázek 1.6 Franc, T.: Vybrané gravitaˇcní jevy ve vesmíru a jejich pˇriblížení stˇredoškolák˚um, str. 7. Disertaˇcní práce MFF UK, Praha, 2014 Obrázek 1.5 Franc, T.: Vybrané gravitaˇcní jevy ve vesmíru a jejich pˇriblížení stˇredoškolák˚um, str. 7. Disertaˇcní práce MFF UK, Praha, 2014 Obrázek 2.1 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/image/planetary/earth/apollo17_earth.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.2 Wikimedia Commons, [online]. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Red_and_green_ aurora.jpg, poˇrídila Mila Zinkova. [cit.2016 − 05 − 08] Obrázek 2.3 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/image/planetary/moon/gal_moon_false2.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.4 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc. nasa.gov/image/planetary/moon/clem_full_moon_strtrk.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.5 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/image/solar/eit_sl_304.jpg [cit.2016 − 04 − 22]

– 44 –

Seznam použité literatury

45

Obrázek 2.6 Views of the Solar System [online]. http://solarviews.com/raw/sun/xsun.jpg, poˇrídil C. J. Hamilton. [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.7 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/image/mercury.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.8 MESSENGER, official websites of mission, [online]. http://messenger.jhuapl. edu/gallery/sciencePhotos/pics/Mercury_gravity_2015.jpeg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.9 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/image/planetary/venus/pvo_uv_790205.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.10 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/image/planetary/venus/mgn_eistla_regio.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.11 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/image/mars.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.12 Views of the Solar System, [online]. http://solarviews.com/raw/mars/southpol.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.13 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/image/planetary/jupiter/jupiter_gany.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.14 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/image/planetary/jupiter/redspot.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.15 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/image/planetary/saturn/saturn.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.16 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc. nasa.gov/image/planetary/saturn/saturn_rings_false.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.17 Hubble Site, [online]. http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2007/32/image/b/format/ web/ [cit.2016 − 04 − 22]

Seznam použité literatury

46

Obrázek 2.18 Photojournal Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, [online]. http://photojournal.jpl.nasa.gov/jpegMod/PIA01492_modest.jpg [cit.2016 − 04 − 22] Obrázek 2.19 NASA Space Science Data Coordinated Archive, [online]. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/image/planetary/neptune/neptune_clouds.jpg [cit.2016 − 04 − 22]

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV TEORETICKÉ FYZIKY A ASTROFYZIKY. Bakalářská práce BRNO 2016 ANNA HRUBÁ

Recommend Documents