MA Program Studi

Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA

SMA / MA Program Studi

IPA

MATEMATIKA (D10) c

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com [email protected]

Fendi Alfi Fauzi

http://alfysta.wordpress.com

Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 (Pelajaran Matematika)

Tulisan ini bebas dibaca dan disebarluaskan kepada siapapun dengan catatan tetap menyertakan Catatan kaki dan nama penulis. Copyright c

Fendi Alfi Fauzi [email protected] Ditulis Ulang Oleh Fendi Alfi Fauzi

Tulisan ini sengaja dibuat untuk semua siswa SMA yang akan mengikuti ujian UAN khususnya di daerah Gorontalo. Mudah-mudahan tulisan ini berguna dan bermanfaat untuk kita semua. Tulisan ini saya buat dengan program LATEX. Tulisan ini bisa anda download di http://alfysta.wordpress.com. Jika ada koreksi, kritik, atau saran tentang tulisan ini silakan menghubungi penulis via email ke alamat [email protected]

Ujian Akhir Nasional (UAN)

2

Fendi Alfi Fauzi


1. Persamaan kuadrat x2 − 3x − 2 = 0 akar-akarnya x1 dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x1 + 1) dan (3x2 + 1) adalah...... (a) x2 − 11x − 8 = 0 (b) x2 − 11x − 26 = 0 (c) x2 − 9x − 8 = 0 (d) x2 + 9x − 8 = 0 (e) x2 − 9x − 26 = 0 Jawaban: a. x2 − 11x − 8 = 0 Pembahasan b a −3 = − 1 = 3

x1 + x2

=

x1 .x2

=

−

c a −2 1 −2

= = Akar-akar persamaan kuadrat yang baru.

(3x1 + 1) + (3x2 + 1)

(3x1 + 1)(3x2 + 1)

=

3x1 + 3x2 + 2

=

3(x1 + x2 ) + 2

=

3(3) + 2

= =

9+2 11

=

9x1 x2 + 3x1 + 3x2 + 1

=

9(x1 x2 ) + 3(x1 + x2 ) + 1

=

9(−2) + 3(3) + 1

= −18 + 9 + 1 = −8 Dengan menggunakan Rumus Menyusun akar-akar persamaan kuadrat yaitu: x2 − x(x1 + x2 ) + x1 x2 = 0 kita mendapatkan: x2 − x(11) + (−8) = 0 x2 − 11x − 8 = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 − 11x − 8 = 0 2. Persamaan garis singgung lingkaran x2 +y 2 −6x+4y+11 = 0 di titik (2, −1) adalah...... (a) x − y − 12 = 0 (b) x − y − 4 = 0 (c) x − y − 3 = 0 (d) x + y − 3 = 0 (e) x + y + 3 = 0


3

Fendi Alfi Fauzi


Jawaban: c. x − y − 3 = 0 Pembahasan Titik Pusat dari lingkaran x2 + y 2 − 6x + 4y + 11 = 0 adalah P (3, −2). Sehingga kita dapat mencari nilai r2 . Persamaan bakunya adalah : (x − 3)2 + (y + 2)2 2

(x − 3) + (y + 2)

2

=

−11 + 9 + 4

=

2

Jadi, kita peroleh bahwa r2 = 2. Persamaan Garis singgung lingkaran yang melalui titik (a,b) adalah: (x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b)

=

r2

(2 − 3)(x − 3) + (−1 + 2)(y + 2)

=

2

(−1)(x − 3) + (1)(y + 2)

=

2

−x + 3 + y + 2

=

2

−x + y + 3

=

0

x−y−3

=

0

Jadi, Persamaan garis singgung lingkaran adalah x − y − 3 = 0 3. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R yang dirumuskan oleh f (x) = 3x + 5 2x dan g(x) = , x 6= −1. Rumus (gof )(x) adalah .... x+1 6x (a) , x 6= −6 x+6 5x + 5 , x 6= −1 (b) x+1 6x + 10 (c) , x 6= −2 3x + 6 6x + 5 (d) , x 6= −2 3x + 6 5x + 5 (e) , x 6= −2 3x + 6 6x + 10 Jawaban : c. , x 6= −2 3x + 6 Pembahasan Diketahui : f (x) = 3x + 5 dan g(x) = Ditanya: (gof )(x) ....?

2x , x 6= −1 x+1

Jawaban: (gof )(x)

jadi, (gof )(x) =

= g(f (x)) 2(3x + 5) = (3x + 5) + 1 6x + 10 = , x 6= −2 3x + 6

6x + 10 , x 6= −2 3x + 6


4

Fendi Alfi Fauzi


√ √ 3+3 2 √ = .... 4. Bentuk sederhana dari √ 3−6 2 √ 1 (a) − (13 + 3 6) 23 √ 1 (b) − (13 − 3 6) 23 √ 1 (c) − (−11 − 6) 23 √ 1 (11 + 3 6) (d) 23 √ 1 (e) (13 + 3 6) 23 √ 1 Jawaban : e. (13 + 3 6) 23 Pembahasan √ √ √ √ 3+3 2 3+6 2 √ √ kita rasionalkan penyebutnya dengan cara mengkalikan dengan √ √ . 3−6 2 3+6 2 √ √ ! 3+3 2 √ √ 3−6 2

√ √ ! 3+6 2 √ √ 3+6 2

= = = = =

5. Bentuk sederhana dari (a) (b) (c) (d) (e)

√ √ 3 + 6 6 + 3 6 + 36 3 − 72 √ √ 6 6 + 39 + 3 6 69 √ 9 6 + 39 √ 69 3 6 + 13 23 √ 1 (13 + 3 6) 23

24a−7 b−2 c = .... 6a−2 b−3 c−6

4c5 a3 b5 4b a5 c5 4b a3 c 4bc7 a5 4c7 a3 b

Jawaban : d.

4bc7 a5

Pembahasan

24a−7 b−2 c 6a−2 b−3 c−6


=

4a5 bc7

=

4bc7 a5 5

Fendi Alfi Fauzi


6. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif, maka nilai m = .... (a) -12 (b) -6 (c) 6 (d) 8 (e) 12 Jawaban : a. -12 Pembahasan Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Diketahui juga bahwa α = 2β. Maka: α.β

=

2β.β

=

2β 2

=

c a 16 2 8

2

=

4

β

=

2

β

Nilai β = 2, maka: α+β 2β + β 3β β 2 −m m

b a b = − a m = − 2 m = − 6 m = − 6 = 12 =

−

=

−12

7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log2 (2x − 2) −2 log(2x − 2) = 2 adalah .... (a) x = 6 atau x = 2

1 2

(b) x = 6 atau x = 3 (c) x = 3 atau x = 4 (d) x = 3 atau x = 1

1 4

(e) x = 4 atau x = 6 Jawaban : d. x = 3 atau x = 1

1 4

Pembahasan Dari Persamaan 2 log2 (2x − 2) −2 log(2x − 2) = 2, Kita ubah bentuknya menjadi 2 log2 (2x − 2) −2 log(2x − 2) − 2 = 0. Ujian Akhir Nasional (UAN)

6

Fendi Alfi Fauzi


Kita misalkan 2 log(2x − 2) = P . Maka kita mendapatkan persamaan: 2

log2 (2x − 2) −2 log(2x − 2) − 2

=

0

P −P −2

=

0

(P − 2)(P + 1)

=

0

2

P = 2 dan P = −1 2

2

log(2x − 2)

=

2

2x − 2

=

22

2x

=

6

x

=

3

log(2x − 2)

=

−1

2−1 1 2x − 2 = 2 5 2x = 2 5 x = 4 1 x = 1 4 2x − 2

=

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3 atau x = 1

1 4

√ 8. Grafik fungsi kuadrat f (x) = ax2 + 2 2x + (a − 1), a 6= 0 memotong sumbu X di dua titik berbeda. Batas-batas nilai a yang memenuhi adalah .... (a) (b) (c) (d) (e)

a < −1 atau a > 2 a < −2 atau a > 1 −1 < a < 2 −2 < a < 1 −2 < a < −1

Jawaban : d. −2 < a < 1 Pembahasan √ Grafik Fungsi Kuadrat f (x) = ax2 + 2 2x + (a − 1), a 6= 0 memotong sumbu X di dua titik berbeda, maka kita mendapatkan bahwa D > 0. Sehingga

D

> 0

b − 4ac

> 0

(2 2) − 4.a.(a − 1)

> 0

2

√

2

2

8 − 4a − 4a

> 0

−a2 − a + 8

> 0

2

−a − a + 8

=

0

(−a − 2)(a − 1)

=

0

a = −2 dan a = 1 Jika kita mengujinya dalam garis bilangan, maka kita dapatkan batas-batas x berada pada −2 < a < 1 Ujian Akhir Nasional (UAN)

7

Fendi Alfi Fauzi


9. Diketahui suku banyak f (x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a 6= 0 dibagi oleh (x + 1) sisanya 4 dan dibagi oleh (2x − 1) sisanya juga 4. Nilai dari (a + 2b) adalah .... (a) -8 (b) -2 (c) 2 (d) 3 (e) 8 Jawaban : b. -2 Pembahasan Penyelesaian soal ini dengan menggunakan Teorema sisa f (x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a 6= 0 dibagi oleh (x + 1) sisanya 4

f (−1) 4 −3

= −a + 2 − b + 5 = −a − b + 7 = −a − b

(1)

f (x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a 6= 0 dibagi oleh (2x − 1) sisanya 4 3 2 1 1 1 = a+2 +b +5 2 2 2 a 1 1 4 = + + b+5 8 2 2 32 = a + 4 + 4b + 40

1 f 2

32

=

a + 4b + 44

−12

=

a + 4b

(2)

Dari persamaan 1 dan 2 kita dapat melakukan eliminasi untuk mendapatkan nilai a dan b. −3

=

−a − b

−12

=

a + 4b

Dengan mengeliminasi kedua persamaan diatas di dapat nilai a = 8 dan b = −5. Sehingga hasil dari a + 2b adalah:

a + 2b = =

8 + 2(−5) 8 − 10

= −2 10. Faktor-faktor persamaan suku banyak x3 + px2 − 3x + q = 0 adalah (x − 2) dan (x − 3). Jika x1 , x2 , x3 adalah akar-akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilai x1 + x2 + x3 = .... (a) -7 (b) -5 Ujian Akhir Nasional (UAN)

8

Fendi Alfi Fauzi


(c) -4 (d) 4 (e) 7 Jawaban : d. 4 Pembahasan

f (−2)

4p + q

= =

−23 + p(−2)2 − 3(−2) + q −8 + 4p + 6 + 9

=

−2 + 4p + q

=

2

f (3)

9p + q

=

33 + p(3)2 − 3(3) + q

=

27 + 9p − 9 + q

=

18 + 9p + q

=

−18

Eliminasi persamaan pertama dan kedua: 4p + q

=

2

9p + q

= −18

Hasil eliminasi dari persamaan diatas kita mendapatkan nilai p = −4 dan q = 18. Sehingga persamaan diatas menjadi x3 − 4x2 − 3x + 18 = 0 Sekarang kita akan mencari faktor yang lain dari persamaan x3 − 4x2 − 3x + 18 = 0 selain (x + 2)(x − 3) dengan jalan membagi persamaan x3 − 4x2 − 3x + 18 = 0 dengan (x + 2)(x − 3). x3 − 4x2 − 3x + 18 = 0 x2 − x − 6

= x−3

Sehingga akar-akarnya adalah:

x1

= −2

x2

=

3

x3

=

3

Sehingga x1 + x2 + x3 = −2 + 3 + 3 = 4 11. Diketahui Premis 1 : Jika Adi rajin belajar maka Adi lulus ujian. Premis 2 : Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTN. Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah .... (a) Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN (b) Adi tidak rajin belajar atau Adi dapat diterima di PTN (c) Adi rajin belajar tetapi Adi tidak dapat diterima di PTN (d) Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian (e) Jika Adi tidak lulus ujian maka Adi dapat diterima di PTN


9

Fendi Alfi Fauzi


Jawaban : a. Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN Pembahasan andaikan: p = Adi rajin belajar q = Adi lulus ujian r = Adi dapat diterima di PTN maka dapat di susun pernyataannya menjadi: p =⇒ q q =⇒ r Kita lihat bahwa bentuk diatas adalah Silogisme. Maka dengan mudah kita menyimpulkan bahwa p =⇒ r Dalam bentuk kalimat yaitu ”Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN” 2 3 x 1 21 8 12. Diketahui persamaan = . 1 4 x+y z−2 23 9 Nilai x + y − z = .... (a) -5 (b) -3 (c) 1 (d) 5 (e) 9 Jawaban : c. 1 Pembahasan

2 3 x 1 = 1 4 x+y z−2 5x + 3y 2 + 3z − 6 = 5x + 4y 1 + 4z − 8

21 23

8 9

21 23

8 9

1 + 4z − 8

=

9

4z

=

8+9−1

z

=

4

Eliminasi persamaan: 5x + 3y = 21 5x + 4y = 23 —————– −y = 2 y=2 Karena y = 2, maka kita dapatkan x = 3. Maka x + y − z = 3 + 2 − 4 = 1 1 2 3 −2 13. Diketahui matriks A = dan B = . Jika At adalah transpose 3 5 1 4 dari matriks A, dan AX = B + At maka determinan matriks A adalah .... (a) 46 (b) 33 (c) 27 Ujian Akhir Nasional (UAN)

10

Fendi Alfi Fauzi


(d) -33 (e) -46 Jawaban : d. -33 Pembahasan

A

t

1 2

3 1

=

AX

=

AX

=

X

=

A−1

= =

A−1

=

X

=

X

=

det X

=

3 5

−2 1 3 + 4 2 5 4 1 3 9 4 1 A−1 3 9 1 d −b −c a det A 5 −2 −1 −3 1 −5 2 3 −1 4 1 −5 2 3 9 3 −1 −17 7 12 −3 51 − 84

|X| = −33 14. Perhatikan Gambar !

Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah .... (a) y = 3x 1

(b) y = 3 log(x) x (c) y = − 13 (d) y = (−3)x Ujian Akhir Nasional (UAN)

11

Fendi Alfi Fauzi


(e) y = (3)−x Jawaban : a. y = 3x Pembahasan Dari grafik terlihat bahwa fungsi y =a log(x) maka kita dapatkan fungsi inversnya adalah x = ay untuk x = 3 maka y = 1 sehingga 3 = a1 maka nilai a = 3. sehingga fungsi inversnya adalah x = 3y , maka y = 3x 15. Diberikan segiempat ABCD seperti pada gambar !

Panjang BC adalah .... √ (a) 4 2 √ (b) 6 2 √ (c) 7 3 √ (d) 5 6 √ (e) 7 6 16. Limas segitiga T.ABC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, AC = 4 cm, dan tinggi = Volume limas T.ABC tersebut adalah .... 5√ 30 cm3 (a) 3 4√ (b) 30 cm3 3 2√ (c) 30 cm3 3 2√ (d) 15 cm3 3 1√ (e) 15 cm3 3

√

5.

17. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos(2x) − 3 cos(x) + 2 = 0, 00 ≤ x ≤ 3600 adalah .... (a) {600 , 3000 } (b) {00 , 600 , 3000 } (c) {00 , 600 , 1800 , 3600 } (d) {00 , 600 , 3000 , 3600 } (e) {00 , 600 , 1200 , 3600 }


12

Fendi Alfi Fauzi


Jawaban : d. {00 , 600 , 3000 , 3600 } Pembahasan

cos(2x) − 3 cos(x) + 2

=

0

cos2 (x) − sin2 (x) − 3 cos(x) + 2

=

0

=

0

=

0

2

2

cos (x) − (1 − cos (x)) − 3 cos(x) + 2 2

2 cos (x) − 3 cos(x) + 1 Misalkan: cos(x) = P 2P − 3P + 1 = 0 (2P − 1)(P − 1) = 0 1 P = dan P = 1 2 1 2 1 −1 x = cos 2 x = 600 dan x = 3000

cos(x) =

cos(x) = 1 x = 00 dan x = 3600 Jadi, HP={00 , 600 , 3000 , 3600 } 18. Persamaan bayangan garis y = 2x − 3 karena refleksi terhadap garis y = −x dan dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x adalah .... (a) y + 2x − 3 (b) y − 2x − 3 (c) 2y + x − 3 (d) 2y − x − 3 (e) 2y + x + 3 Jawaban : a. y + 2x − 3 Pembahasan Refleksi terhadap garis y = −x maka berarti di transformasikan dengan matriks: 0 −1 dan dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x berarti di transformasikan −1 0 0 1 dengan matriks Maka: 1 0

x0 y0

0 −1

x0

= −y

0

= −x

y

−x


=

=

−1 0

x y

2y − 3

13

Fendi Alfi Fauzi


x00 y 00

=

x00

= y

00

= x

y

0 1

1 0

−y

=

2x − 3

y + 2x − 3

=

0

x y

19. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp 70.000,00 dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp 90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp 130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah .... (a) Rp 5.000,00 (b) Rp 7.500,00 (c) Rp 10.000,00 (d) Rp 12.000,00 (e) Rp 15.000,00 Jawaban : c. Rp 10.000,00 Pembahasan Misalkan Mangga = x, Jeruk = y, dan anggur = z. maka Model matematikanya adalah: 2x + 2y + z

=

70.000

x + 2y + 2z

=

90.000

2x + 2y + 3z

=

130.000

2x + 2y + z = 70.000 2x + 2y + 3z = 130.000 −2z

=

−60.000

z

=

30.000

2x + 2y + z = 70.000 x + 2y + 2z = 90.000 x−z

= −20.000

x − (30.000)

= −20.000

x

= −20.000 + 30.000

x

=

10.000

20. Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2 , sedangkan tipe B luasnya 75 m2 . Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalah Rp 100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp 60.000.000,00. Supaya pendapatan dari hasil penjualan seluruh rumah maksimum maka harus dibangun rumah sebanyak .... (a) 100 rumah tipe A saja (b) 125 rumah tipe A saja Ujian Akhir Nasional (UAN)

14

Fendi Alfi Fauzi


(c) 100 rumah tipe B saja (d) 100 rumah tipe A dan 25 tipe B (e) 25 rumah tipe A dan 100 tipe B Jawaban : a. 100 rumah tipe A saja Pembahasan Misalkan, Tipe A = x dan Tipe B = y. Dengan konversi 1 hektar = 10.000 m2 Model matematikanya adalah: 100x + 75y ≤ 10.000 x + y ≤ 125 Dengan fungsi tujuan f (x) = 100.000.000x + 60.000.000y Kita lihat dulu grafiknya: Daerah yang memenuhi pada grafik diatas adalah daerah yang berwarna ungu. dengan

titik-titik yang memenuhi adalah titik-titik yang berwarna kuning. Titik x, y dapat dicari dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut maka dihasilkan x = 25 dan y = 100. Maaf, gambarnya kurang pas yah, jauh malahan. hehehehehe. Sekarang kita masukkan ke fungsi tujuan mulai dari: (0, 125) ⇒ 100.000.000(0) + 60.000.000(125) = 7.500.000.000 (25, 100) ⇒ 100.000.000(25) + 60.000.000(100) = 8.500.000.000 (100, 0) ⇒ 100.000.000(100) + 60.000.000(0) = 10.000.000.000 Dari fungsi tujuan diatas, dapat dilihat bahwa nilai maksimum terlihat pada titik (100,0). Jadi dapat disimpulkan bahwa Supaya pendapatan dari hasil penjualan seluruh rumah maksimum maka harus dibangun rumah sebanyak 100 rumah tipe A ~ 21. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,1,2), B(6,1,2), dan C(6,5,2). Jika ~u mewakili AB ~ dan ~v mewakili AC, maka sudut yang dibentuk oleh vektor ~u dan ~v adalah .... (a) 300 (b) 450 (c) 600


15

Fendi Alfi Fauzi


(d) 900 (e) 1200 Jawaban : b. 450 Pembahasan

~v

~ = AC =

|~v | = = = ~u =

(4, 4, 0) √ 16 + 16 √ 32 √ 4 2 ~ AB

=

(4, 0, 0) √ |~u| = 16 =

cos(θ) ~u~v

~u~v |~u||~v |    4 4 =  0  4  0 0 = 16 + 0 + 0 =

= cos(θ)

= = =

cos(θ)

4

=

16 16 √ 4 2 4 16 √ 16 2 1 √ 2 √ 2 2 −1

θ

=

cos

θ

=

450

√ ! 2 2

22. Diketahui vektor ~a = 2~i − 4~j − 6~k dan vektor ~b = 2~i − 2~j + 4~k. Proyeksi ortogonal vektor ~a dan ~b adalah .... (a) −4~i + 8~j + 12~k (b) −4~i + 4~j − 8~k (c) −2~i + 2~j − 4~k (d) −~i + 2~j + 3~k (e) −~i + ~j + −2~k Jawaban : e. −~i + ~j + −2~k Pembahasan Ujian Akhir Nasional (UAN)

16

Fendi Alfi Fauzi


~a = 2~i − 4~j − 6~k ~b = 2~i − 2~j + 4~k Proyeksi ortogonal vektor ~a dan ~b Saya misalkan e dengan rumus e =

a.b b. Terlebih |b|2

dahulu kita mencari nilai a.b. 

  2 2 a.b =  −4   −2  −6 4 = 4 + 8 − 24 = −12 ~ = |b|

=

p 22 + (−2)2 + 42 √ 4 + 4 + 16 √ 8 + 16 √ 24

=

24

= = 2

~ |b|

e =

a.b b ~2 |b| 

 2 12 = −  −2  24 4   2 1 = −  −2  2 4   −1 e =  1  −2 ~ + ~j − 2~k Sehingga kita dapatkan e = −i 23. Nilai lim √ x→

x2 − 2 √ = .... 2 2 x−

√ (a) 2 2 (b) 2 √ (c) 2 (d) 0

√ (e) − 2

√ Jawaban : a. 2 2 Pembahasan √ x2 − 2 √ jika kita masukkan nilainya 2 kedalam fungsi x, maka akan mendalim √ 2 x→ 2 x − 0 patkan hasil , sehingga solusinya adalah dengan cara memfaktorkan fungsi pembi0


17

Fendi Alfi Fauzi


langnya. x2 − 2 √ lim √ 2 x→ 2 x −

= = = =

24. Nilai lim

x→0

(x −

√

2)(x + √ lim √ x− 2 x→ 2 √ 2 lim √ =x+ x→ 2 √ √ 2+ 2 √ 2 2

√

2)

1 − cos(2x) = .... 1 − cos(4x)

1 2 1 − 4 0 1 16 1 4

(a) − (b) (c) (d) (e)

Jawaban : e.

1 4

Pembahasan 1 − cos(2x) lim jika kita melakukan substitusi nilai 0 kedalam fungsi x, maka akan x→0 1 − cos(4x) 0 kita dapatkan bentuk , sehingga solusinya adalah dengan menggunakan perkalian 0 sekawan atau dengan menggunakan aturan L’Hopital. Dengan menggunakan Aturan L’Hopital, Kita dengan mudah mendapatkan hasilnya dengan jalan menurunkan fungsi pembilang dan penyebutnya. lim

x→0

1 − cos(2x) 1 − cos(4x)

= = = = =

25. Nilai dari

2 sin(2x) 4 sin(4x) 4 cos(2x) lim x→0 16 cos(4x) 4.1 16.1 4 16 1 4 lim

x→0

sin(750 ) + sin(150 ) = .... cos(1050 ) − cos(150 )

1√ 3 3 1√ − 2 2 −1 1 2 1

(a) − (b) (c) (d) (e)


18

Fendi Alfi Fauzi


Jawaban : c. −1 Pembahasan A+B A−B ) cos( ) 2 2 A+B A−B = −2 sin( ) sin( ) 2 2

sin(A) + sin(B)

=

cos(A) − cos(B)

2 sin(

750 − 150 750 + 150 ) cos( ) 2 2 900 600 = 2 sin( ) cos( ) 2 2 300 = 2 sin(450 ) cos( ) 1√ 1√ = 2 2 3 2 2 √ 1 6 sin(750 ) + sin(150 ) = 2

sin(750 ) + sin(150 )

cos(1050 ) − cos(150 )

=

= = cos(1050 ) − cos(150 )

=

sin(750 ) + sin(150 ) cos(1050 ) − cos(150 )

= =

Z 1

(a) 9

3

1050 + 150 1050 − 150 ) sin( ) 2 2 900 1200 ) sin( ) −2 sin( 2 2 0 0 −2 sin(60 ) sin(45 ) 1√ 1√ −2 3 2 2 2 1√ − 6 2√ 1 2 6 √ − 21 6 −1

= −2 sin( =

26. Hasil

2 sin(

1 x2 + dx = .... 6

2 3

(b) 9 (c) 8 10 (d) 3 (e) 3 Jawaban : b. 9 Pembahasan


19

Fendi Alfi Fauzi


Z

3

1

1 x2 + dx 6

= = = = = = =

27. Diketahui (A + B) =

x3 1 + x 3 6

3 1

33 3 1 1 + − − 3 6 3 6 27 3 1 1 + − − 3 6 3 6 26 2 + 3 6 26 1 + 3 3 27 3 9

π 1 dan sin(A) sin(B) = . Nilai dari cos(A − B) = .... 3 4

(a) −1 1 (b) − 2 1 (c) 2 3 (d) 4 (e) 1 Jawaban : e. 1 Pembahasan 1 π dan sin(A) sin(B) = . 3 4 Kita ingat kembali Rumus cos(A ± B). Jika diketahui (A + B) =

cos(A + B)

=

cos(A) cos(B) − sin(A) sin(B)

cos(A − B)

=

cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B)

cos(A + B) = cos(A) cos(B) − sin(A) sin(B) π 1 cos( ) = cos(A) cos(B) − 3 4 1 1 = cos(A) cos(B) − 2 4 1 1 cos(A) cos(B) = + 2 4 3 cos(A) cos(B) = 4 cos(A − B) = cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B) 3 1 = + 4 4 4 = 4 = 1 π 2

Z

(2 sin(x) − cos(2x))dx = ....

28. Hasil 0

(a) −

5 2


20

Fendi Alfi Fauzi


3 2 (c) 1

(b)

(d) 2 5 (e) 2 Jawaban : d. 2 Pembahasan Z

π 2

(2 sin(x) − cos(2x))dx 0

π2 1 −2 cos(x) − sin(2x) 2 0 π 1 2π 1 = −2 cos( ) − sin( ) − −2 cos(0) − sin(0) 2 2 2 2 1 = (−2)(0) − (0) + 2(1) + 0 2 = 2 =

29. Suku ke-6 dan suku ke-12 suatu barisan aritmatika berturut-turut 35 dan 65. Suku ke-52, barisan tersebut adalah .... (a) 245 (b) 255 (c) 265 (d) 285 (e) 355 Jawaban : c. 265 Pembahasan Kita ingat kembali rumus mencari suku ke-n dari barisan aritmatika yaitu Un = a + (n − 1)b. U6

= a + 5b

35

= a + 5b

U12

= a + 11b

65

= a + 11b

Eliminasi kedua persamaan diatas: 35 = a + 5b 65 = a + 11b —————– −30 = −6b b=5 Untuk b=5, masukkan kedalam persamaan a + 5b = 35 a + 5(5) = 35 a + 25 = 35 a = 10 U52


= a + 51b =

10 + (51)(5)

=

10 + 255

=

265 21

Fendi Alfi Fauzi


30. Suatu perusahaan pakaian dapat menghasilkan 4.000 buah pada awal produksi. Pada bulan berikutnya produksi dapat ditingkatkan menjadi 4.050. Bila kemajuan tetap, maka jumlah produksi dalam 1 tahun ada .... (a) 45.500 buah (b) 48.000 buah (c) 50.500 buah (d) 51.300 buah (e) 55.500 buah Jawaban : d. 51.300 buah Pembahasan Jika dalam 1 tahun maka yang ditanya adalah U12 . Caranya adalah n dengan menggunakan rumus jumlah barisan aritmatika yaitu:Sn = (a + Un ) 2 a = 4000, dan beda (b) = 50. Maka: U12

= a + 11b =

4000 + 11(50)

=

4000 + 550

U12

=

S12

= =

4550 12 (a + U12 ) 2 6(4000 + 4550)

=

6(8.550)

=

51.300

31. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 10x2 ) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp 5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah .... (a) Rp 149.000,00 (b) Rp 249.000,00 (c) Rp 391.000,00 (d) Rp 606.000,00 (e) Rp 757.000,00 32. Distribusi nilai ulangan matematika di kelas XIIA: Nilai 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79

f 2 4 8 16 10 2

Modus dari data pada tabel adalah .... 8 (a) 64, 5 + 6 6 8 (b) 64, 5 + 5 6 Ujian Akhir Nasional (UAN)

22

Fendi Alfi Fauzi


8 (c) 64, 5 + 5 8+6 8 (d) 64, 5 − 6 8+6 8 (e) 64, 5 − 5 8+6 8 Jawaban : c. 64, 5 + 5 8+6 Pembahasan Modus adalah data yang sering muncul. Dari tabel diatas, data yang sering muncul adalah pada interval 65-69 dengan frekuensi 16. Dari tabel diatas, kita dapatkan batas bawah L0 = 64, 5. Panjang kelas P = 5. d1 = 16 − 8 = 8 dan d2 = 16 − 10 = 6. Rumus mencari Modus adalah : d1 = L0 + P d1 + d2 8 = 64, 5 + 5 8+6

Mo Mo

33. Setiap dua warna yang berbeda dicampur dapat menghasilkan warna baru yang khas. Banyak warna baru yang khas apabila disediakan 5 warna yang berbeda adalah .... (a) 60 (b) 20 (c) 15 (d) 10 (e) 8 Jawaban : d. 10 Pembahasan Kita lihat bahwa pencampuran antara merah dan biru hasilnya akan sama dengan pencampuran antara biru dengan merah. Dalam hal ini kita lihat bahwa kita harus mengerjakan dengan menggunakan Kombinasi yaitu dengan catatan tidak memperhatikan urutan. Ok Langsung saja. n = 5 dan r = 2. Sehingga : Crn

n! r!(n − r)! 5! = 2!3! 5.4.3! = 3!2! 5.4 = 2! = 10 =

34. Dalam kantong terdapat 4 kelereng merah dan 5 kelereng biru. Jika dari kantong diambil dua kelereng sekaligus, maka peluang mendapatkan kelereng satu berwarna merah dan satu berwarna biru adalah .... 9 (a) 81 Ujian Akhir Nasional (UAN)

23

Fendi Alfi Fauzi


20 81 4 (c) 9 5 (d) 9 4 (e) 5 (b)

Jawaban : d.

5 9

Pembahasan

n(A)

n(S)

(C14 )(C15 ) 4! 5! = 1!(4 − 1)! 1!(5 − 1)! 43! 54! = 1!3! 1!4! = (4)(5) =

=

20

=

C29

= = = = P (A)

= = = =

9! 2!(9 − 2)! 9.8.7! 2!7! 9.8 2! 36 n(A) n(S) 20 36 10 18 5 9

35. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 , garis y = x + 2, sumbu Y di kuadran I adalah .... (a) (b) (c) (d) (e)

2 Satuan Luas 3 4 Satuan Luas 3 6 Satuan Luas 3 8 Satuan Luas 3 10 Satuan Luas 3

Jawaban : e.

10 Satuan Luas 3

Pembahasan Ujian Akhir Nasional (UAN)

24

Fendi Alfi Fauzi


Terlebih dahulu kita cari titik potong antara dua kurva berikut: x + 2 = x2 sehingga x + 2 − x2 = 0. Sihingga kita dapatkan (x + 1)(x − 2) dan kita dapatkan x = −1 dan x = 2. Karena permintaan soal adalah Kuadran I, maka batas-batas x adalah 0 dan 2. Perhatikan Gambar berikut:

Sehingga: Z

2 2

x + 2 − x dx

=

0

= = = = = Z 36. Hasil

x2 1 + 2x − x3 2 3

2 0

22 1 = + 2(2) − 23 − 0 2 3 8 2+4− 3 8 6− 3 18 − 8 3 10 3

sin3 (3x) cos(3x)dx = ....

1 sin4 (3x) + C 4 3 (b) sin4 (3x) + C 4 (c) 4 sin4 (3x) + C 1 (d) sin4 (3x) + C 3 1 sin4 (3x) + C (e) 12 1 Jawaban : e. sin4 (3x) + C 12 (a)

Pembahasan Z 1 sin3 (3x) cos(3x)dx Kita misalkan u = 3x maka du = 3dx ⇒ du = dx, Sehingga 3 integralnya menjadi: Z 1 sin3 (u) cos(u)du 3 Ujian Akhir Nasional (UAN)

25

Fendi Alfi Fauzi


Kita misalkan ulang w = sin(u) maka dw = cos(u)du Sehingga bentuk integralnya menjadi Z Z 1 w3 dw sin3 (3x) cos(3x)dx = 3 1 w4 = +C 3 4 1 4 = w +C 12 1 = sin4 (u) + C 12 1 = sin4 (3x) + C 12 37. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 , garis y = 2x di kuadran I diputar 360o terhadap sumbu X adalah .... (a) (b) (c) (d) (e)

20 π Satuan volume 15 30 π Satuan volume 15 54 π Satuan volume 15 64 π Satuan volume 15 144 π Satuan volume 15

Jawaban : e. Pembahasan Sebelumnya kita mencari batas-batas nilai x yaitu x2 − 2x = 0 maka x(x − 2) = 0 kita peroleh x = 0 dan x = 2. Perhatikan gambar berikut:

Z 38. Hasil (a)

p 6x 3x2 + 5dx = ....

p 2 (6x2 + 5) 6x2 + 5 + C 3


26

Fendi Alfi Fauzi


p 2 (3x2 + 5) 3x2 + 5 + C 3 p 2 (c) (x2 + 5) x2 + 5 + C 3 p 3 (d) (x2 + 5) x2 + 5 + C 2 p 3 (e) (3x2 + 5) 3x2 + 5 + C 2 p 2 Jawaban : b. (3x2 + 5) 3x2 + 5 + C 3 (b)

Pembahasan Misalkan u = 3x2 + 5 maka du = 6xdx Z Z p √ 6x 3x2 + 5dx = udu Z 1 = u 2 du = = = =

2 3 +C u2 3 3 2 (3x2 + 5) 2 + C 3 1 2 (3x2 + 5)(3x2 + 5) 2 + C 3 p 2 (3x2 + 5) (3x2 + 5) + C 3

39. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jarak C ke bidang AFH adalah .... 1 √ (a) a 6 cm 6 1 √ (b) a 3 cm 3 1 √ (c) a 6 cm 3 2 √ (d) a 2 cm 3 2 √ (e) a 3 cm 3 2 √ Jawaban : e. a 3 cm 3 Pembahasan Perhatikan Gambar berikut: dari gambar diatas terlihat bahwa yang akan kita cari adalah jarak dari titik C ke titik P. OK langsung saja:

AC

= = =


p AB 2 + BC 2 p a2 + a2 √ a 2

27

Fendi Alfi Fauzi


√ √ √ Karena Nilai AC = a 2 maka nilai FH juga a 2 dan nilai EG juga a 2 dan nilai EC a√ adalah 2. Sekarang kita akan mencari panjang AQ. 2 p AQ = AE 2 + EQ2 r a √ 2 = a2 + 2 2 r a2 = a2 + 2 r 3 2 = a 2 r 3 = a 2 Sekarang kita tinjau Segitiga AQR. sin(A)

= =

=

sin(A)

=

QR AQ a q a 32 1 q 2 3

3 2

r

3 2

Sekarang kita tinjau Segitiga APC. sin(A) r 2 3 3 2

=

CP

=

CP

=

=

CP AC CP √ a 2 r 2 3 3 2 2 √ a 3 3

Jadi, Jarak titik C ke bidang AFH adalah Ujian Akhir Nasional (UAN)

x

√ a 2

2 √ a 3 3 28

Fendi Alfi Fauzi


40. Diketahui limas segiempat beraturan TABCD. Panjang rusuk alas 6 cm, dan rusuk tegak 12 cm. Nilai kosinus sudut antara TA dengan bidang limas adalah .... (a) (b) (c) (d) (e)

1√ 2 4 1 2 1√ 3 3 1√ 2 2 1√ 3 2

Selamat Mengerjakan

Soal ini di tulis ulang oleh Fendi Alfi Fauzi dengan menggunakan LATEX Dokumen ini dapat anda download di http://alfysta.wordpress.com. Jika ada kritik dan saran silahkan langsung via email di [email protected]


29

MA Program Studi

Recommend Documents