M - Příprava na 11. zápočtový test

M - Příprava na 11. zápočtový test

Určeno pro studenty dálkového studia.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.


1

± Geometrické útvary a jejich vlastnosti

Planimetrie Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie).

Základní geometrické prvky a útvary: Bod - nejmenší geometrický útvar Znázorňujeme:

Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB) Znázorňujeme:

Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme:

Zapisujeme: ®AB Úsečka: Znázorňujeme:

Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme |AB| = 20 cm Pozn.: Platí, že ®AB ¹ ®BA Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme:

nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pC

15.12.2007 21:28:11

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 69


1

Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. Zapisujeme: ®ABC nebo ®pC Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme:

Zapisujeme: |úhel ABC| = a Úhel může být: nulový (velikost 0°) ostrý (velikost 0° < a < 90°) pravý (velikost 90°) tupý (velikost 90° < a < 180°) přímý (velikost 180°) plný (velikost 360°) Jiné dělění: úhel konvexní (velikost 0° < a < 180°) úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180° < a < 360°)

• • • • • • • •

Dvojice úhlů v rovině: 1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost)

2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180°)

3. Dvojice úhlů souhlasných (mají stejnou velikost)

15.12.2007 21:28:11


2 z 69


1

4. Dvojice úhlů střídavých (mají stejnou velikost)

Rovinné útvary I. Trojúhelník Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly. Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180°. Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180°. Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší než strana třetí). Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů. Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá orthocentrum. Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu. Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost. Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran. obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.va obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sing pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec:

• • • • • • • • • • • • • •

S = s.( s - a ).( s - b).( s - c) s=

a+b+c 2

Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků: A. Obecný trojúhelník nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedené B. Ostroúhlý trojúhelník

•

15.12.2007 21:28:11


3 z 69


1

• trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostré C. Pravoúhlý trojúhelník • trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré • zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90° a zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45°. • u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany odvěsny • u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z Thaletovy věty • pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S = (1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami • v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c = a + b (při označení přepony písmenem c) • v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce: 2

2

2

protilehlá a přilehlá b = cos a = = přepona c přepona c přilehlá b protilehlá a cotga = = tga = = protilehlá a přilehlá b

sin a =

D. Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrum E. Rovnoramenný trojúhelník má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna vnitřní úhly při základně jsou shodné trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí na ose souměrnosti leží i těžiště rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + c F. Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60° má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120° je osově souměrný - má tři osy souměrnosti střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm výšky jsou zároveň i těžnice obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a výška se vypočte podle vzorce v = a.Ö3/2

• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

II. Čtyřúhelník A. Obecný čtyřúhelník má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky |AC| = e, |BD| = f součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360° B. Rovnoběžník čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a . va každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180° úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček a) čtverec má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90°

• • • • • • • • • •

•

15.12.2007 21:28:11


4 z 69


1

• úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé • průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané • je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček • je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky) • obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a • obsah se vypočte podle vzorce S = a nebo také S = u /2 • úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.Ö2 b) obdélník • má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné • má všechny vnitřní úhly pravé • úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí • průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané • je středově souměrný podle středu úhlopříček • je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran • obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) • obsah se vypočte podle vzorce S = a.b • pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova věta c) kosočtverec • má všechny strany stejně dlouhé • každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné • každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180° • úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé • je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček • je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami • obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a • obsah se vypočte podle vzorce S = a.v nebo také S = u .u /2 • lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříček d) kosodélník • má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné • má každé dva protější vnitřní úhly shodné • každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180° • úhlopříčky se navzájem půlí • je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček 2

2

a

1

2

C. Lichoběžník čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné; rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce

• • •

S=

(a + c ).v 2 a) rovnoramenný lichoběžník má obě ramena shodná má oba vnitřní úhly při každé základně shodné úhlopříčky jsou shodné je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základen b) pravoúhlý lichoběžník má právě dva vniřní úhly pravé jedno rameno je kolmé k oběma základnám

• • • • • •

III. Pravidelný pětiúhelník

• • •

má všechny strany shodné má všechny vnitřní úhly shodné postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD najdeme střed K úsečky SB

• •

15.12.2007 21:28:11


5 z 69


• • •

1

sestrojíme úsečku KC obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka

IV. Pravidelný šestiúhelník

• • • • • • •

má všechny stany shodné je středově souměrný je osově souměrný- má 6 os souměrnosti sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných rovnostranných trojúhelníků každý vnitřní úhel má velikost 120° lze opsat i vepsat kružnici postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici zvolíme libovolný bod A z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného šestiúhelníka

• • •

V. Pravidelný osmiúhelník

• • • •

má všechny strany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti lze opsat i vepsat kružnici

VI. Kruh, kružnice a jejich části Základní pojmy:

Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(S; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r. Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice. Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí. Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d. Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr. Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh: 1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice.

15.12.2007 21:28:11


6 z 69


1

2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou. 3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou. Tečna je vždy kolmá na poloměr. Osa tětivy vždy prochází středem kružnice.

Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového. Kružnice Pro výpočet délky kružnice platí vzorce: l = 2.p.r nebo l = p.d Kruh Pro výpočet obvodu kruhu platí vzorce: o = 2.p.r nebo o = p.d Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce: 2 2 S = p.r nebo S = p.d /4 Kruhový oblouk

Pro délku kruhového oblouku a platí:

a=

p .r .a 180

a= nebo

p .d .a 360

Soustředné kružnice

15.12.2007 21:28:11


7 z 69


1

Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stjný střed, ale různý poloměr. Kruhová výseč Jedná se o rovinný útvar.

Pro obsah kruhové výseče S platí:

p .r 2 S= .a 360

nebo

p .d 2 S= .a 1440

Kruhová úseč Jedná se opět o rovinný útvar.

Mezikruží Rovinný útvar.

Obsah mezikruží:

15.12.2007 21:28:11


8 z 69

M - Příprava na 11. zápočtový test 2

1

2

S = p . (R - r )

± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 1.

1563 Výsledek:

2.

1547 Výsledek:

4 100 krát

3.

1574

Výsledek:

2 řešení:

4.

1531

Výsledek:

2

2

0,08 m , 800 cm

5.

1545 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

2

3,14 cm


9 z 69


1

6.

1537

Výsledek:

2

Není zavlažováno 61,81 m , třetí strana pole je 33,94 m.

7.

1567

Výsledek:

2

414 m

8.

1613

Výsledek:

9.

1584 Výsledek:

10

10.

1521 Výsledek:

30 m

11.

1602

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

2

o = 24 cm; S = 41,6 cm


10 z 69


1

12.

1595

Výsledek:

b)

13.

1513

Výsledek:

280 Kč

14.

1626

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


11 z 69


1

15.

1614 Výsledek:

2

204 cm

16.

1600 Výsledek:

4 cm

17.

1586

Výsledek:

2

54 cm

18.

1590 Výsledek:

58°

19.

1627 Výsledek:

2

249 cm

20.

1585 Výsledek:

4 krát

21.

1522

Výsledek:

|AF| = 5 cm, |BC| = 1 cm

22.

1530 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

0,35 m


12 z 69


1

23.

1596

Výsledek:

2

3350 m

24.

1609

Výsledek:

9,18 cm

25.

1628

Výsledek:

5 cm

26.

1593

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

2

700 m ; 160 m


13 z 69


1

27.

1517

Výsledek:

,

28.

1588

Výsledek:

13,9 cm

29.

1555

Výsledek:

2

3 200 m

30.

1587

Výsledek:

77,8 %

31.

1543 Výsledek:

4,8 cm

32.

1578 Výsledek:

33.

1607

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

Poloměr kružnice opsané: 4,62 cm Poloměr kružnice vepsané: 2,31 cm 60,5 %


14 z 69


1

34.

1617

Výsledek:

2

4 cm

35.

1520

Výsledek:

7,5 ha

36.

1599 Výsledek:

37.

1581 Výsledek:

11

38.

1536 Výsledek:

30 cm

39.

1566

Výsledek:

Nemohou

40.

1559

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


15 z 69


1

41.

1523

Výsledek:

42.

1528

Výsledek:

88 cm

43.

1562

Výsledek:

44.

1604

Výsledek:

45.

1541 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

90°


16 z 69


1

46.

1616

Výsledek:

46 cm

47.

1564

Výsledek:

4/5

48.

1548 Výsledek:

5,7 m

49.

1623

Výsledek:

50.

1601

Výsledek: 2

480 cm 26 cm 51.

1525 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

2

2 400 cm


17 z 69


1

52.

1618

Výsledek:

16 trojúhelníků

53.

1508

Výsledek:

0,8 m

54.

1561

Výsledek:

27 obdélníků

55.

1518

Výsledek:

2

53,7 cm

56.

1597

Výsledek:

75°

57.

1515

Výsledek:

58.

1610 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

17,32 cm


18 z 69


1

59.

1509

Výsledek:

a = 110°, b = 70°, c = 60°, d = 50°, e = 60°, f = 70°, g = 60°, h = 110°

60.

1511

Výsledek:

50°

61.

1570

Výsledek:

2

40,2 m

62.

1549 Výsledek:

63.

1591

Výsledek:

64.

1514 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


19 z 69


1

65.

1580

Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABCńa obrázku. Oba obsahy jsou shodné

Výsledek:

66.

1565 Výsledek:

Čtverec má větší obsah než obdélník.

67.

1611 Výsledek:

140 m

68.

1540 Výsledek:

2

6,075 cm

69.

1594 Výsledek:

75°

70.

1589

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

20°


20 z 69


1

71.

1519 Výsledek:

72.

1603 Výsledek:

10 cm

73.

1615 Výsledek:

155°, resp. 205°

74.

1553 Výsledek:

2

60 cm

75.

1533

Výsledek:

34,9 %

76.

1512

Výsledek:

70°

77.

1569 Výsledek:

2

977 m

78.

1620

Výsledek:

79.

1550 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cm


21 z 69


1

80.

1556

Výsledek:

v = 6,06 cm ABD

81.

1575

Výsledek:

1/2

82.

1576

Výsledek:

Zmenšení obsahu o 20 % Zmenšení obvodu o 11,11 %

83.

1554 Výsledek:

2

57,74 cm

84.

1535 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


22 z 69


1

85.

1572

Výsledek:

2

6,6 dm

86.

1577 Výsledek:

Tupoúhlý

87.

1507 Výsledek:

5 cm

88.

1557

Výsledek:

ABD

89.

1534

Výsledek:

112 dlaždic

90.

1529

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

2

50 cm


23 z 69


1

91.

1592 Výsledek:

2

56,25 cm

92.

1606

Výsledek:

65,1 %

93.

1532 Výsledek:

0,4 m

94.

1598

Výsledek:

15

95.

1546

Výsledek:

94°

96.

1516

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


24 z 69


1

97.

1542

Výsledek:

98.

1526

Výsledek:

,

,

99.

1621

Výsledek:

100.

1622 Výsledek:

25 mm

101.

1624 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

2

795, 2 m


25 z 69


1

102.

1510

Výsledek:

120°

103.

1625

Výsledek:

193 m

104.

1558 Výsledek:

105.

1551

Výsledek:

106.

1527

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


26 z 69


1

107.

1560 Výsledek:

52 cm

108.

1539 Výsledek:

2

24,3 cm

109.

1524

Výsledek:

40 m

110.

1544

Výsledek:

,

,

111.

1579

Výsledek:

2

|BC| = 10 cm, obsah je 54 cm

112.

1608

Výsledek:

2

19 cm

113.

1582

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

6


27 z 69


1

114.

1583

Výsledek:

,

,

115.

1612 Výsledek:

13,5 cm

116.

1538

Výsledek:

Ne

117.

1552

Výsledek:

v = 4,33 cm 118.

1568

Výsledek:

5 cm

119.

1605

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


28 z 69


1

± Pythagorova věta

Pythagorova věta Věta:

Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami.

Důkaz: Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: 2 a = c . ca 2 b = c . cb ---------------Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: 2 2 2 a + b = c . ca + c . cb = c . (ca + cb) = c . c = c CBD Platí také věta obrácená: Věta:

2

2

2

Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c = a + b , pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C.

Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A´BĆ´takový, aby při vrcholu C´ byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a´ = a b´ = b Pro přeponu trojúhelníka A´BĆ´platí Pythagorova věta: 2 2 2 2 2 2 c´ = a´ + b´ = a + b = c Z toho vyplývá, že c´ = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A´BĆ´(sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C´(který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat.

Ukázkové příklady: Příklad 1: Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c´= ? [cm] ----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c´. Pokud bude platit c´ = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý.

c´= a 2 + b 2 = 4 2 + 52 = 41 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý.

15.12.2007 21:28:11


29 z 69


1

± Pythagorova věta - procvičovací příklady 1.

1347

Výsledek:

2.

1345

Výsledek:

3.

1344 Výsledek:

12 cm

4.

1343 Výsledek:

2

1 092 cm

5.

1339 Výsledek:

1,4 m

6.

1350 Výsledek:

4,9 cm

7.

1340 Výsledek:

0,6 cm

8.

1342

Výsledek:

110 m

9.

1349 Výsledek:

1,78 cm

10.

1341

Výsledek:

6,06 cm

11.

1348 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


30 z 69


1

12.

1346

Výsledek:

12

± Shodná zobrazení

Shodná zobrazení Zobrazení nazveme shodné, jestliže útvary představující vzor a obraz jsou shodné. Body, které se zobrazují samy na sebe, nazýváme body samodružné.

Mezi shodná zobrazení patří: I. Identita (totožnost) Identita je shodné zobrazení, kdy vzor a obraz jsou stejné (identické) útvary. Identita (totožnost) má nekonečně mnoho samodružných bodů. Zapisujeme: I: Útvar A ---> Útvar B

II. Posunutí (translace) Posunutí je shodné zobrazení, které je dáno vektorem posunutí (orientovanou úsečkou). Posunutí nemá žádné samodružné body. Zapisujeme: T[AB]: Útvar A ---> Útvar B

III. Osová souměrnost Osová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jednou přímkou, zvanou osa souměrnosti. Osová souměrnost má nekonečně samodružných bodů a jsou jimi všechny body ležící na ose souměrnosti. Můžeme tvrdit, že osová souměrnost má i nekonečně mnoho samodružných přímek, mezi něž patří jednak osa souměrnosti, ale i všechny přímky, které jsou k ose souměrnosti kolmé. Zapisujeme: O[<-->p]: Útvar A ---> Útvar B

IV. Středová souměrnost Středová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jedním bodem, zvaným střed souměrnosti. Středová souměrnost má právě jeden samodružný bod, kterým je právě střed souměrnosti. Zapisujeme: S[S]: Útvar A ---> Útvar B

V. Otočení (rotace) Otočení je shodné zobrazení, které je dáno jedním pevným bodem (středem otáčení) a úhlem otočení. Úhel otočení považujeme za kladný, otáčíme-li útvar proti směru hodinových ručiček a pokud otáčíme útvar po směru hodinových ručiček, pak považujeme úhel za záporný. Rotace má právě jeden samodružný bod, kterým je střed rotace. Zapisujeme: R[S;+30°]: Útvar A ---> Útvar B

15.12.2007 21:28:11


31 z 69


1

Pozn.: Středová souměrnost je vlastně zvláštní případ rotace.

± Shodná zobrazení - procvičovací příklady 1.

1685

Výsledek:

2.

1693

Výsledek:

3.

1687

Výsledek:

4.

1694

Výsledek:

5.

1692

Výsledek:

6.

1697

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


32 z 69


1

7.

1684

Výsledek:

8.

1698

Výsledek:

9.

1683

Výsledek:

10.

1688 Výsledek:

11.

1695

Výsledek:

12.

1691

Výsledek:

13.

1681

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


33 z 69


1

14.

1686

Výsledek:

15.

1696

Výsledek:

16.

1689

Výsledek:

17.

1682

Výsledek:

18.

1690 Výsledek:

19.

1699

Výsledek:

± Jehlan komolý

Komolý jehlan Komolý jehlan je těleso, které vznikne z jehlanu klasického odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovými komolými jehlany, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou dolní podstavy jehlanu.

15.12.2007 21:28:11


34 z 69


1

Objem komolého jehlanu se vypočte tak, že sečteme obsahy obou podstav, k součtu připočteme druhou odmocninu součinu obsahů obou podstav a vzniklý výsledek vynásobíme jednou třetinou výšky jehlanu.

1 V = v S1 + S 2 + S1.S 2 3

(

)

Povrch komolého jehlanu se vypočte jako součet obsahů obou podstav a obsahu pláště tělesa.

S = S1 + S2 + SQ Příklad 1:

Řešení:

15.12.2007 21:28:11


35 z 69


1

± Kužel komolý

Komolý kužel Komolý kužel je těleso, které vznikne z klasického rotačního kužele odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovým kuželem, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou spodní podstavy kužele. Objem komolého kužele se vypočte jako jedna třetina součinu výšky kužele a Ludolfova čísla, násobená součtem druhé mocniny poloměru spodní podstavy, druhé mocniny poloměru horní podstavy a součinu obou poloměrů.

Povrch komolého kužele je roven součtu obsahů obou kruhových podstav a obsahu pláště komolého kužele.

15.12.2007 21:28:11


36 z 69


1

S = S1 + S 2 + SQ

Příklad 1:

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:

15.12.2007 21:28:11


37 z 69


1

± Posloupnosti

Posloupnosti Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel. Funkční hodnota této funkce přiřazená každému kladnému číslu se nazývá n-tý člen posloupnosti. Nejčastěji se značí an, bn, apod.

a1 a2 a3 . . . a7 a8 . . . an

... ... ...

1. člen posloupnosti 2. člen posloupnosti 3. člen posloupnosti

... ...

7. člen posloupnosti 8. člen posloupnosti

...

n-tý člen posloupnosti

Posloupnost {an} se zapisuje:

Ohraničená posloupnost Nechť je dána posloupnost {an} a číslo C > 0.

15.12.2007 21:28:11


38 z 69


1

Platí-li

obecně pak , pak je posloupnost {an} ohraničená.

Rostoucí posloupnost Nechť je dána posloupnost {an} = a1, a2, a3, ... , an, an+1, ... . Platí-li:

pak je posloupnost rostoucí. Každý následující člen je tedy vždy větší než člen předcházející.

15.12.2007 21:28:11


39 z 69


1

Klesající posloupnost Nechť je dána posloupnost {an} = a1, a2, a3, ... , an, an+1, ... . Platí-li:

pak je posloupnost klesající. Každý následující člen je tedy vždy menší než člen předcházející.

Konečná posloupnost

15.12.2007 21:28:11


40 z 69


1

Posloupnost se nazývá konečná (tj. má konečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je konečná množina D Ì N, tzn., že její definiční obor je množina prvních k přirozených čísel. Například předpis pro n-tý člen bude {2n - 1}, číslo k = 6.

Nekonečná posloupnost Posloupnost se nazývá nekonečná (tj. má nekonečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je celá množina N.

Zadání posloupnosti rekurentně 15.12.2007 21:28:11


41 z 69


1

Je-li u posloupnosti zadán její první člen a dále (n+1). člen vyjádřený pomocí n-tého členu, říkáme, že je posloupnost zadána rekurentně.

± Posloupnosti - procvičovací příklady 1.

Napište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně Výsledek:

2.

3.

1; 2; 1; 1; 0; -1

Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.

Výsledek:

2150

2131

Posloupnost je omezená.

Stanovte n-tý člen posloupnosti:

2120

Výsledek:

4.


Výsledek:

5.

6.

Posloupnost je rostoucí.


Výsledek:

2136

2124

Posloupnost je klesající.

Posloupnost je dána rekurentním vzorcem

2148

přičemž hodnoty členů a1, a2 udávají kořeny níže napsané kvadratické rovnice a platí a1 < a2. Určete prvních pět členů této posloupnosti.

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

-14; 10; 34; 82; 222


42 z 69

M - Příprava na 11. zápočtový test 7.

1


2119

Výsledek:

8.


Výsledek:

9.

2123


Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem. an = 1 kde n je přirozené číslo.

2142

Výsledek:

10.

Posloupnost je dána rekurentním vzorcem an+1= 2 - an, přičemž a1 = 0. Sledujte jednotlivé členy posloupnosti a určete její n-tý člen jako funkci indexu n.

2128

Výsledek:

11.

Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem.

2145

Výsledek:

12.


2116

Výsledek:

13.

Napište prvních pět členů posloupnosti dané rekurentně Výsledek:

14.

2149

0; 1; 2; 1; -4


2143

Výsledek:

15.


2117

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


43 z 69


1


2115

Výsledek:

17.

Posloupnost je dána rekurentním vzorcem

2134

přičemž hodnotu členu a1 udává přirozené číslo, které je řešením nerovnice

Napište první čtyři členy této posloupnosti. 1; 1; 1/2; 1/6

Výsledek:

18.


2147

Výsledek:

19.


2146

Výsledek:

20.


2122

Výsledek:

21.

Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen.

2139

Výsledek:

22.

Stanovte n- tý člen posloupnosti:

2114

Výsledek:

23.


Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

2125



44 z 69


1


2144

Výsledek:

25.


2140

Výsledek:

26.

Stanovte n-tý člen posloupnosti: Výsledek:

27.

28.

2

n -1


Výsledek:

2118

2138

Posloupnost není rostoucí ani klesající.


2121

Výsledek:

29.

Zjistěte, které z čísel 10, 35, 50 je členem posloupnosti Výsledek:

30.

31.

2135



Výsledek:

32.

35


Výsledek:

2133

2137

Posloupnost je nerostoucí.

Určete níže uvedenou posloupnost rekurentním vzorce

2126

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


45 z 69


1


2141

Výsledek:

34.

Jsou dány posloupnosti. Rozhodněte, které z nich jsou omezené.

Výsledek:

35.

2132

Pouze poslední posloupnost je omezená.

Určete níže zadanou posloupnost rekurentním vzorcem

2127

Výsledek:

36.


Výsledek:

37.



Výsledek:

2129

2130


± Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... , an-1, an, an+1 V tomto případě platí, že (an - an-1) = 1 2, 4, 6, 8, 10, ... , an-1, an, an+1 V tomto případě platí, že (an - an-1) = 2 1, 3, 5, 7, 9, ... , an-1, an, an+1 V tomto případě platí, že (an - an-1) = 2 1, 3/2, 2, 5/2, ... , an-1, an, an+1 V tomto případě platí, že (an - an-1) = 1/2 Ve všech uvedených případech platí, že an+1= an + d Jde o aritmetické posloupnosti. Číslu d říkáme diference aritmetické posloupnosti. Definice:

15.12.2007 21:28:11


46 z 69


1

Jestliže v posloupnosti {an} platí rekurentní vzorec an+1 = an + d, kde d je dané číslo (tedy konstantní) a nezávislé na n , nazývá se taková posloupnost aritmetickou posloupností. Číslo d nazýváme difernecí. Mějme obecně aritmetickou posloupnost a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d . . . an = a1 + (n - 1)d Věta 1: Pro výpočet n-tého členu aritmetické posloupnosti pomocí prvního členu a diference platí vzorec an = a1 + (n - 1)d, kde n je přirozené číslo. Věta 2: Pro dva libovolné členy ar, as aritmetické posloupnosti platí rovnost: as = ar + (s - r)d Příklad 1: První dva členy aritmetické posloupnosti jsou 40 a 37. Určete dvanáctý člen. Řešení: 40, 37, 34, 31, 28, 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, ... an = a1 + (n - 1)d a12 = 40 + 11.d Protože d = -3, pak a12 = 40 + 11.(-3) = 7 Příklad 2: V aritmetické posloupnosti známe 10. a 20. člen. Jsou 25, -15 (po sobě). Určete d, a1, a50. Řešení: a10 = a1 + 9d = 25 a20 = a1 + 19d = -15 ------------------Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pokud ji vyřešíme, dostaneme a1 = 61, d = -4 Pak stačí dopočítat a50 = 61 + 49 . (-4) = -135 Příklad 3: Mezi čísla 3,7 a 6,8 máme vložit 9 čísel tak, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost. Pozn.: Říkáme, že provádíme tzv. interpolaci devíti členů mezi daná dvě čísla. Řešení: a1 = 3,7 a11 = 6,8 = 3,7 + 10d --------------------------d = 0,31

15.12.2007 21:28:11


47 z 69


1

3,7; 4,01; 4,32; 4,63; 4,94; 5,25; 5,56; 5,87; 6,18; 6,49; 6,80 Věta 3: V aritmetické posloupnosti {an} platí pro součet sn jejích prvních n členů následující vzorec:

sn =

n (a1 + an ) 2

Příklad 4: Vypočtěte součet prvních n lichých čísel. Řešení: a1 = 1 an = 1 + (n - 1) . 2 = 2n - 1

sn =

n (a1 + an ) = n (1 + 2n - 1) = n 2 2 2

± Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady 1.

2205 Výsledek:

1. řešení je 3, druhé řešení je 4.

2.

2201

Výsledek:

3.

2198

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

d = 0,5, an+1= an + 0,5, a1 = (a + 1)/2


48 z 69


1

4.

2191

Výsledek:

5.

Rozměry kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jak jsou velké, měří-li jejich součet 24 cm a objem kvádru je 312 cm3?

2193

Výsledek:

6.

2207 Výsledek:

7.

2195 Výsledek:

9

8.

2192 Výsledek:

9.

2190 Výsledek:

10

10.

2203 Výsledek:

11.

2209

Výsledek:

1. řešení:

2. řešení:

3. řešení:

15.12.2007 21:28:11


49 z 69


1

12.

2196

Výsledek:

13.

2194

Výsledek:

14.

2202 Výsledek:

15.

2204

Výsledek:

1. řešení je 42, 2. řešení je (-33)

16.

2199 Výsledek:

17.

2200

Výsledek:

18.

2206 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

190


50 z 69


1

19.

2208

Výsledek:

20.

2197 Výsledek:

21.

2210

Výsledek:

± Geometrická posloupnost

Geometrická posloupnost 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... Zde platí: a2 = 2a1 a3 = 2a2 atd. 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... Zde platí: a2 = (1/3)a1 a3 = (1/3)a2 atd. obecně an = (1/3)an-1

15.12.2007 21:28:11


51 z 69


1

Následující člen je vždy nějakým násobkem členu předcházejícího. Definice: Jestliže v posloupnosti {an} platí rekurentní vzorec an+1 = an . q, kde q je dané číslo nezávislé na n (= konstanta), nazýváme takovou posloupnost geometrickou posloupností. Číslo q nazýváme kvocientem geometrické posloupnosti. a2 = a3 = a4 = . . . an =

a1 . q 2 a2 . q = a1 . q 3 a3 . q = a1 . q

n-1

a1 . q

Věta 1: n-1 Pro výpočet n-tého členu geometrické posloupnosti z prvního členu a z kvocientu platí vzorec an = a1 . q , kde n je přirozené číslo. Věta 2: Pro libovolné dva členy ar, as geometrické posloupnosti platí rovnost: s-r as = ar . q Věta 3: Součet prvních n členů geometrické posloupnosti {an} je určen vzorcem:

sn = a1.

qn -1 q -1

kde q ¹ 1

Pozn.: Je-li q < 1, pak je vhodné použít vztahu

1- qn sn = a1. 1- q

Je-li q = 1, pak dostáváme posloupnost a1, a1, a1, ... a pro součet prvních n členů pak platí: sn = n.a1 Příklad 1: Je dáno a8 = -40, a9 = -80. Určete příslušnou geometrickou posloupnost. Pozn.: Určit geometrickou posloupnost znamená zapsat její 1. člen a kvocient. Řešení: 7

a8 = a1 . q = -40 8 a9 = a1 . q = -80 -----------------Získali jsme soustavu rovnic. Při jejím řešení je vhodné použít postup, že druhou rovnici vydělíme rovnicí první. Dostaneme tak q = 2 a dosazením do jedné z rovnic pak vypočteme, že a1 = -5/16 Příklad 2: Najděte 4 čísla, která tvoří část geometrické posloupnosti o součtu 360, víte-li, že poslední číslo je 9krát větší než druhé číslo. Určete danou posloupnost. Řešení: n=4 sn = 360

15.12.2007 21:28:11


52 z 69


1

a4 = 9 . a1 . q -----------------

q4 -1 360 = a1. q -1 3

9.a1.q = a1 . q ---------------------Z druhé rovnice q1 = +3 q2 = -3 Po dosazení do rovnice první dostáváme (a1)1 = 9 (a1)2 = -18 Hledané posloupnosti tedy mohou být dvě, a to: 9, 27, 81, 243 -18, 54, -162, 486

± Geometrická posloupnost - procvičovací příklady 1.

2228 Výsledek:

a1 = 6, q = 2

2.

2223 Výsledek:

3.

2213 Výsledek:

425

4.

2225 Výsledek:

5.

2224 Výsledek:

6.

2216 Výsledek:

Úloha má tři řešení:

7.

2227 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

a1 = 5, q = 2


53 z 69


1

8.

2212 Výsledek:

Vložená čísla: 10, 20, 40, 80, 160, 320

9.

2217

Výsledek:

280

10.

2218

Výsledek:

595

11.

2214

Výsledek:

2

s10 = a /1024

12.

2226

Výsledek:

1. řešení: 162 2. řešení: 2/3

13.

2220

Výsledek:

n=4 sn = 120

14.

2215 Výsledek:

3

27 cm

15.

2222 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


54 z 69


1 2229

Doplňte zbývající čísla v tabulce:

Výsledek:

17.

2219

Výsledek:

18.

2230

Doplňte zbývající čísla v tabulce:

Výsledek:

19.

2221

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

6


55 z 69


1

20.

2211 Výsledek:

1. řešení: 1, 2, 4, 8 2. řešení: 8, 4, 2, 1

± Analytická geometrie

Analytická geometrie Analytická geometrie je odvětví matematiky - vznikla už v 17. století. Za její zakladatele jsou považováni francouzští matematici René Descartes a Pierre Fermat. Podstatou analytické geometrie je převedení geometrické úlohy pomocí souřadnic na úlohu algebraickou, zpravidla na řešení soustavy rovnic. Výsledné řešení se pak interpretuje zpět geometricky.

Základní pojmy Narýsujeme-li dvě na sebe kolmé přímky v rovině, dostáváme souřadný systém. Přímky nazýváme souřadné osy a tu, která je vodorovně, nazveme osou x a tu, která je svisle, nazveme osou y. Průsečík obou os označujeme zpravidla O a nazýváme ho počátek souřadného systému. Kladné poloosy označujeme šipkou a na obou osách vyznačíme měřítko - pravidelné dílky - zpravidla po 1 cm. Chceme-li zobrazit bod v souřadném systému, zobrazujeme jeho první souřadnici vždy na ose x a druhou souřadnici vždy na ose y. Bod vždy zapisujeme např. A[2; 3].

Vzdálenost dvou bodů v rovině Nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[xA ; yA ] a B[xB ; yB]. Chceme-li určit jejich vzdálenost, postupujeme následovně:

Pro vzniklý trojúhelník pak použijeme Pythagorovu větu a dostaneme vzorec:

Příklad 1: Vypočtěte vzdálenost bodů K[5; 7] a L[2; 11]. Řešení:

KL =

(2 - 5)2 + (11 - 7 )2

15.12.2007 21:28:11

=5


56 z 69


1

Příklad 2: Jsou dány body A[1; 3], B[-1; x]. Určete číslo x tak, aby |AB| = Ö5. Řešení: Má platit:

(- 2)2 + (x - 3)2

= 5

2

4 + (x - 3) = 5 Dostaneme dvě řešení x1 = 4, x2 = 2

Střed úsečky v rovině Opět nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[xA ; yA ] a B[xB ; yB]. Chceme-li určit střed úsečky, kterou tyto body určují, postupujeme následovně:

Souřadnice středu S[xS; yS] pak zapíšeme:

Příklad 3: Jsou dány body A[2; -3], B[-5; 4]. Určete střed úsečky AB. Řešení:

2 + (- 5) 3 =2 2 (- 3) + 4 = 1 yS = 2 2

xS =

Závěr: S[-3/2; 1/2]

± Vektory

Vektory Orientovanou úsečkou nazýváme nenulovou úsečku, u níž je označen jeden z jejích krajních bodů za počáteční a druhý za koncový.

15.12.2007 21:28:11


57 z 69


1

Leží-li orientované úsečky AB, CD na téže přímce, pak je nazýváme souhlasně orientované, je-li jedna z polopřímek AB, CD částí druhé, případně jestliže obě polopřímky splývají. Rovnoběžně orientované úsečky se jmenují nesouhlasně orientované, jestliže nejsou orientovány souhlasně. Množina všech souhlasně orientovaných úseček AB, CD, ... téže velikosti se nazývá vektorem (nenulovým) a označuje se buď tučně tištěným písmem (při psaní je někdy podtrhujeme) nebo znakem

Každá z daných orientovaných úseček se nazývá umístěním vektoru u. Vektor u je určen kterýmkoliv svým umístěním AB, proto ho také nazýváme vektorem AB a píšeme u = AB. Jsou-li orientované úsečky AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou si rovny a píšeme AB = CD. Množina všech nulových úseček se nazývá nulovým vektorem a označuje se o. Při jeho každém umístění splývá bod počáteční s bodem koncovým; je-li A = B, pak AB = o. Jsou-li orientované úsečky AB, CD rovnoběžné, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou rovnoběžné; také říkáme, že vektor AB je rovnoběžný s přímkou AB nebo s přímkou CD. Nulový vektor pokládáme za rovnoběžný s každou přímkou. Jsou-li orientované úsečky AB, CD souhlasně (nesouhlasně) orientovány, pak říkáme, že také vektory AB, CD jsou souhlasně (nesouhlasně) orientovány nebo že jsou souhlasně (nesouhlasně) rovnoběžné. Je-li vektor AB roven vektoru CD, pak úsečky AD, BC mají týž střed.

(1)

Mají-li úsečky AD, BC týž střed, pak je vektor AB roven vektoru CD.

(2)

Mějme nyní dvě umístění AB, CD téhož vektoru u; to znamená, že je AB = CD. Podle věty (1) mají pak úsečky AD, BC týž střed. Zvolme nyní soustavu souřadnic, ve které je A[a1; a2], B[b1; b2], C[c1; c2], D[d1; d2]. Potom platí pro souřadnice společného středu úseček AD, BC jednak vzorec

S=

A+ D 2

a jednak vzorec

S=

B+C 2

Je tedy

A+ D B +C = 2 2

(3)

A + D = B + C, čili D - C = B - A (4) Tato symbolická rovnice zastupuje tyto dvě rovnice: d1 - c1 = b1 - a1 d2 - c2 = b2 - a2 (5) Obráceně - platí-li při stejném označení souřadnic všech bodů obě rovnice (5), tj. platí-li rovnice (4), pak platí též rovnice (3). To však znamená, že střed úsečky AD je týž jako střed úsečky BC. Podle věty (2) je tedy vektor AB roven vektoru CD, čili úsečky AB, CD jsou umístěním téhož vektoru. Závěr: Jsou-li AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak pro souřadnice bodů A, B, C, D platí rovnice vyjádřené jedinou symbolickou rovnicí D - C = B - A. Mějme dvě umístění téhož vektoru u. Souřadnice příslušných bodů nechť jsou A[a1; a2], B[b1; b2], C[c1; c2], D[d1; d2]. Pak platí u1 = b1 - a1 = d1 - c1 u2 = b2 - a2 = d2 - c2 (vyplývá z předešlého závěru). Čísla u1, u2 nejsou závislá na umístění vektorů u. Tato čísla budeme nazývat souřadnice vektoru u. Jsou to souřadnice koncového 15.12.2007 21:28:11


58 z 69


1

bodu takového umístění vektoru, jehož počáteční bod leží v počátku souřadného systému. Je-li jedno z umístění daného vektoru u, pak budeme opět používat symbolického zápisu u = B - A. Závěr: Je-li orientovaná nebo nulová úsečka AB umístěním vektoru u, pak pro souřadnice bodů A[a1; a2], B[b1; b2] a vektoru u = (u1; u2) platí rovnice u1 = b1 - a1 u2 = b2 - a2 které symbolicky vyjadřujeme jedinou rovnicí u = B - A. Příklad 1: Zjistěte souřadnice vektoru u = AB, je-li A[-3; 4], B[-4; 2]. Řešení: u1 = -4 - (-3) = -4 + 3 = -1 u2 = 2 - 4 = -2 u = (-1; -2) Příklad 2: Umístěte vektor u = (2; -7) do bodu A[-4; 1]. Řešení: Hledáme bod B[x2; y2] takový, aby bylo u = AB. x2 = -4 + 2 = -2 y2 = 1 + (-7) = -6 Bod B má souřadnice [-2; -6].

Velikost vektoru Definice: Velikostí vektoru u = (u1; u2) rozumíme velikost kteréhokoliv jeho umístění. Věta: Velikost vektoru u = (u1; u2) vypočteme podle vzorce ®

2

u = u1 + u 2

2

Vektor, jehož velikost je rovna jedné, budeme nazývat jednotkovým vektorem. Příklad 1: Určete velikost vektoru u = (3; 2). Řešení: 2

2

|u| = Ö(3 + 2 ) = Ö13 Vektor u má velikost Ö13. Příklad 2: Určete velikost vektoru u, je-li dáno jeho umístění AB, kde A[-2; 3], B[-2; -1].

15.12.2007 21:28:11


59 z 69


1

Řešení: u1 = -2 + 2 = 0 u2 = -1 - 3 = -4 2 2 |u| =Ö(0 + (-4) ) = Ö16 = 4 Vektor u má velikost 4. Příklad 3: Vektor a = (a1; a2) je jednotkový. Zjistěte a2, je-li a1 = 0,5. Řešení: 2

0,52 + a2 = 1 a22 = 3/4 (a2)1 = Ö3/2 (a2)2 = -Ö3/2 Dostali jsme tedy dva jednotkové vektory a1 = (0,5; Ö3/2) a a2 = (0,5; -Ö3/2).

Součin čísla a vektoru Součinem reálného čísla a vektoru bude opět vektor. Má shodný směr a orientaci s původním vektorem za předpokladu, že k je kladné číslo. Je-li číslo k záporné, pak je příslušný vektor opačně orientovaný. Velikost výsledného vektoru je rovna |k| násobku velikosti vektoru původního. Věta 1: Mějme k libovolné reálné číslo a u libovolný vektor, který má souřadnice (u1; u2). Vektor k.u má souřadnice (k.u1; k.u2). Věta 2: Jsou-li dány nenulové rovnoběžné vektory u, v, pak existuje jediné reálné číslo k ¹ 0 takové, že v = k . u. Příklad 1: Je dán vektor a = (-2; 3). Vypočtěte souřadnice vektoru b = k.a pro k = 3/2. Řešení: b1 = (3/2) . (-2) = -3 b2 = (3/2) . 3 = 9/2 Vektor b má souřadnice (-3; 9/2). Příklad 2: Vypočtěte souřadnice středu S úsečky OA, kde je O počátek soustavy souřadnic a A[3; 4]. Řešení: Vektor OS = (1/2) . OA, proto s1 = (1/2) . 3 = 3/2 s2 = (1/2) . (-4) = -2 Střed úsečky OA má souřadnice [3/2; -2].

Sčítání vektorů Věta 1: Má-li vektor u souřadnice (u1; u2) a vektor v souřadnice (v1; v2), pak vektor u + v má souřadnice (u1 + v1; u2 + 15.12.2007 21:28:11


60 z 69


1

v2). Věta 2: Pro sčítání vektorů platí zákon komutativní. Věta 3: Pro sčítání vektorů platí zákon asociativní i zákon distributivní. Věta 4: Má-li vektor u souřadnice (u1; u2) a vektor v souřadnice (v1; v2), pak vektor u - v má souřadnice (u1 - v1; u2 v2). Příklad 1: Zjistěte souřadnice vektoru c = a + b, jestliže a = (-2; 1), b = (-2; -2). Řešení: c1 = -2 + (-2) = -2 - 2 = -4 c2 = 1 + (-2) = 1 - 2 = -1 Vektor c má souřadnice (-4; -1). Příklad 2: Zjistěte souřadnice vektoru d = a + b + c, je-li a = (1; 2), b = (0; 1), c = (2; 1). Řešení: d1 = 1 + 0 + 2 = 3 d2 = 2 + 1 + 1 = 4 Vektor d má souřadnice (3; 4). Příklad 3: Je dán vektor a = (-4; 3). Napište souřadnice vektoru -a. Řešení: Vektor -a má souřadnice (4; -3). Příklad 4: Vypočtěte souřadnice vektoru z = u - v, jestliže u = (-3; 5), v = (-2; -4). Řešení: z1 = -3 - (-2) = -1 z2 = 5 - (-4) = 9 Vektor z má souřadnice (-1; 9). Pozn.: Pokud uvažujeme vektory v prostoru, jsou všechny výpočty naprosto analogické, vektory mají ale 3 souřadnice.

Lineární kombinace vektorů Věta 1: Má-li vektor u souřadnice (u1; u2) a vektor v souřadnice (v1; v2), a jsou-li k, l reálná čísla, pak výraz k.u + l.v nazýváme lineární kombinací vektorů u, v.

15.12.2007 21:28:11


61 z 69


1

Umístíme-li vektory u, v do roviny např. r, pak výsledný vektor w = k.u + l.v leží také v rovině r.

Lineární závislost a nezávislost vektorů Věta 1: Dva vektory u, v nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru, např. u = k.v, kde k je libovolné reálné číslo. Tento případ nastane, právě když je lze umístit na jednu přímku. Věta 2: Jsou-li dva vektory rovnoběžné, jsou též lineárně závislé. Věta 3: Jsou-li dva vektory lineárně závislé, pak jsou buď rovnoběžné, nebo aspoň jeden z nich je nulový. Věta 4: Dva vektory nazýváme lineárně nezávislé, nelze-li žádný z nich vyjádřit jako násobek druhého vektoru, tj. nelze-li je umístit na jednu přímku. Věta 5: Tři vektory u, v, w nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních dvou; např. ve tvaru w = k.u + l.v, kde k, l jsou reálná čísla. Pozn.: Tento případ nastane právě tehdy, když lze vektory u, v, w umístit do jedné roviny. Věta 6: Nejsou-li vektory u, v, w lineárně závislé, nazýváme je lineárně nezávislé. Takové vektory nelze umístit do jedné roviny. Příklad 1: Zjistěte, zda jsou vektory u = (2; -12), v = (-1; 6) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Řešení: Kdyby byly vektory u, v lineárně závislé, pak by existovalo reálné číslo k takové, že by platilo u = k.v. 2 = -1k -12 = 6k k1 = -2 k2 = -2 Vzhledem k tomu, že k1 = k2, pak platí, že u = k.v. Proto vektory u, v jsou lineárně závislé (jsou rovnoběžné). Příklad 2: Zjistěte, zda jsou vektory u = (12; 1; 14), v = (1; 3; 0), w = (2; 1; 2) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Řešení: Kdyby byly vektory u, v, w lineárně závislé, pak by bylo možno jeden z nich napsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů - např. u = k.v + l.w, kde k, l jsou reálná čísla. 12 = k + 2l 1 = 3k + l 14 = 2l ------------------Ze třetí rovnice je l = 7; po dosazení do první i druhé rovnice vyjde k = -2. Platí u = -2v + 7w. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně závislé.

15.12.2007 21:28:11


62 z 69


1

Příklad 3: Určete a2 tak, aby vektory a = (2; a2; 5), b = (1; 2; 1), c = (5; 2; 2) byly lineárně závislé. Řešení: Pokusme se najít reálná čísla k, l taková, aby platilo a = k.b + l.c 2 = k + 5l a2 = 2k + 2l 5 = k + 2l -----------------Odečteme-li první rovnici od třetí, dostaneme l = -1. Dosadíme-li l = -1 do první rovnice, dostaneme k = 7. Dosadíme-li l = -1, k = 7 do druhé rovnice, dostaneme a2 = 12. Aby vektory a, b, c byly lineárně závislé, musí být a2 = 12; potom je a = 7b - c. Příklad 4: Zjistěte, zda vektory u = (1; 3; 5), v = (1; 3; -2), w = (-3; -9; 6) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Řešení: Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w. 1 = k - 3l 3 = 3k - 9l 5 = -2k + 6l ----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. O lineární závislosti či nezávislosti vektorů u, v, w však zatím nemůžeme udělat žádný závěr. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w. 1 = m - 3n 3 = 3m - 9n -2 = 5m + 6n ----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla m, n existují; m = 0, n = -1/3. Platí tedy v = 0.u - (1/3).w, tj. v = (-1/3).w. Vektory u, v, w jsou lineárně závislé. Příklad 5: Zjistěte, zda vektory u = (0; 0; 1), v = (2; 1; 1), w = (1; 1; 1) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Řešení: Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w. 0 = 2k + l 0=k+l 1=k+l ----------------Řešením zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w. 2=n 1=n 1=m+n ----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková m, n neexistují. Ani nyní ještě nemůžeme udělat závěr o lineární závislosti či nezávislostivektorů. Zbývá zjistit, zda existují taková reálná čísla p, q, aby platilo w = p.v + q.u. 1 = 2q

15.12.2007 21:28:11


63 z 69


1

1=q 1=p+q -----------------Řešením dané soustavy zjistíme, že taková čísla p, q neexistují. Protože ani jeden z vektorů u, v, w nelze zapsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů, nejsou vektory u, v, w lineárně závislé. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé.

Úhel dvou vektorů Každé dva vektory můžeme vždy umístit tak, aby měly společný počáteční bod. Při umístění vektorů u, v do bodu A označme jejich koncové body B a C. Může pak nastat několik různých situací: 1. Vektory jsou rovnoběžné souhlasně rovnoběžné nesouhlasně rovnoběžné 2. Vektory svírají nějaký dutý úhel (polopřímky AB, AC svírají tento úhel)

• •

Úhel vektorů je v případě souhlasně rovnoběžných vektorů roven nule, v případě nesouhlasně rovnoběžných vektorů roven 180°. Odvození vzorce pro určení úhlu dvou vektorů: Nechť vektory u = (u1; u2), v = (v1; v2) spolu svírají dutý úhel. Nechť dále platí, že u = AB, v = CD. K výpočtu úhlu vektorů potřebujeme znát ještě velikost vektoru BC. K jeho určení provedeme následující konstrukci. Do bodu B umístíme vektor -v; jeho koncový bod označíme D. AD je umístění vektoru u - v. Protože obrazec ADBC je rovnoběžník, je zřejmé, že i CB je umístění vektoru u - v.

Trojúhelník ABC má tedy tyto délky stran: |AB| = |u|, |AC| = |v|, |BC| = |u - v| Podle kosinové věty pak platí: 2 2 2 |u - v| = |u| + |v| - 2 . |u| . |v| . cos j Po dosazení dostaneme: 2 2 (u1 - v1) + (u2 - v2) = u12 + u22+ v12 + v22 - 2 . |u| . |v| . cos j Po odstranění závorek a sloučení dostaneme -2u1v1 - 2u2v2 = -2 . |u| . |v| . cos j Protože oba vektory u, v jsou nenulové, můžeme psát:

cos f =

u1v1 + u2 v2 u.v

Pomocí tohoto vzorce můžeme tedy vypočítat úhel dvou vektorů. Pozn.: Pokud by byly vektory zadány třemi souřadnicemi, pak by v čitateli zlomku bylo u1v1 + u2v2 + u3v3 Příklad 1: 15.12.2007 21:28:11


64 z 69


1

Vypočtěte úhel vektorů u = (-1; 2) a v = (1; 3) Řešení:

u = 1+ 4 = 5 v = 1 + 9 = 10 cos f =

(- 1).1 + 2.3 = 5. 10

2 2

f = 45° Oba vektory spolu svírají úhel 45°. Příklad 2: Vypočtěte úhel vektorů a = (-2; 1; 2), b = (-2; -2; 1) Řešení:

a=

(- 2)2 + 12 + 22

b=

(- 2)2 + (- 2)2 + 12

cos f =

=3 =3

(- 2)(. - 2) + 1.(- 2) + 2.1 = 4 = 0,4444 3.3

9

f = 63°40´ Úhel obou vektorů je 63°40´.

Skalární součin dvou vektorů Skalární součin dvou vektorů je reálné číslo, nikoliv tedy vektor! Platí: |u| . |v| . cos f = u1v1 + u2v2 Neboli u . v = |u| . |v| . cos f Závěr: u . v = u1v1 + u2v2 Pozn.: V prostoru by platilo: u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 Příklad 1: Vypočtěte skalární součin a . b, je-li |a| = 2, |b| = 1 a svírají-li vektory a, b úhel o velikosti 120°. Řešení: a . b = 2 . 1 . cos 120°= 2 . (-0,5) . = -1 Skalární součin obou vektorů je tedy roven -1. Příklad 2: Vypočtěte skalární součin vektorů a = (2; -3), b = (3; 2) a úhel vektorů a, b.

15.12.2007 21:28:11


65 z 69


1

Řešení: a . b = 2 . 3 + (-3) . 2 = 6 - 6 = 0 Skalární součin obou vektorů je tedy roven nule. Podle vzorce

cos f =

a.b a .b

Protože ale a . b je rovno nule, pak musí být rovno nule i cos f. Odtud pak dostaneme, že f = 90°. Oba vektory jsou tedy na sebe kolmé. Příklad 3: Je dán vektor a. Vypočtěte skalární součin a . a. Řešení: a . a = |a| . |a| . cos 0° 2 a . a = |a|

Kolmost vektorů Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b a . b = |a| . |b| . cos f je roven nule, jestliže vektory svírají pravý úhel, tj. je-li f = 90°. Věta platí i obráceně - tedy je-li skalární součin dvou nenulových vektorů roven nule, jsou vektory k sobě kolmé. Příklad 1: Ověřte, že vektory a = (3; 2; 1), b = (2; -3; 0) jsou navzájem kolmé. Řešení: Platí, že vektory jsou na sebe kolmé , jestliže platí: u1v1 + u2v2 + u3v3 = 0 Pokud do rovnice dosadíme, dostaneme 3 . 2 + 2 . (-3) + 1 . 0 = 0 Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b je roven nule, vektory a, b jsou tedy kolmé. Příklad 2: Určete souřadnici n2 vektoru n tak, aby vektory n = (3; n2; 2) a v = (1; -2; 4) byly navzájem kolmé. Řešení: Podle podmínky pro kolmost vektorů v závislosti na jejich skalárním součinu musí platit: 3 . 1 + n2 . (-2) + 2 . 4 = 0 Odtud dostaneme: n2 = 5,5

15.12.2007 21:28:11


66 z 69


1

Vektory n, v jsou k sobě kolmé pro n2 = 5,5.

± Vektory - procvičovací úlohy 1.

2299

Výsledek:

2.

2303 Výsledek:

2,5

3.

2287 Výsledek:

1. řešení: , 2. řešení: ,

4.

2297 Výsledek:

5.

2291

Výsledek:

6.

2300

Výsledek:

,

,

7.

2304

Výsledek:

-2

8.

2296 Výsledek:

9.

2285 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


67 z 69


1

10.

2288 Výsledek:

1. řešení: 2. řešení:

11.

2289 Výsledek:

12.

2294

Výsledek:

13.

2301 Výsledek:

14.

2302

Výsledek:

15.

2298

Výsledek:

16.

2286 Výsledek:

17.

2295

Výsledek:

18.

2293

Výsledek:

15.12.2007 21:28:11


68 z 69


1

19.

2292

Výsledek:

20.

2290 Výsledek:

15.12.2007 21:28:11

Ano


69 z 69


1

Obsah Geometrické útvary a jejich vlastnosti Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady Pythagorova věta Pythagorova věta - procvičovací příklady Shodná zobrazení Shodná zobrazení - procvičovací příklady Jehlan komolý Kužel komolý Posloupnosti Posloupnosti - procvičovací příklady Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady Geometrická posloupnost Geometrická posloupnost - procvičovací příklady Analytická geometrie Vektory Vektory - procvičovací úlohy

15.12.2007 21:28:11


1 9 29 30 31 32 34 36 38 42 46 48 51 53 56 57 67

M - Příprava na 11. zápočtový test

Recommend Documents