M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.


1

± Soustava kvadratické a lineární rovnice

Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: 2 2 x + y = 74 3x - 2y = 1 Řešení: 2 2 x + y = 74 3x - 2y = 1

x=

1+ 2 y 3

(1)

2

æ1+ 2 y ö 2 ç ÷ + y = 74 è 3 ø

(1 + 2 y )2 9

+ y 2 = 74

1+ 4 y + 4 y2 + y 2 = 74 9 2

2

1 + 4y + 4y + 9y = 666 2 13y + 4y - 665 = 0 2

y1, 2

4 æ4ö - ± ç ÷ - 13.(- 665) 2 - 2 ± 8649 - 2 ± 93 è2ø = = = 13 13 13

y1 = 7 y2 = -95/13 Dosadíme do rovnice (1) a vypočteme x:

x1 =

1 + 2.7 =5 3

æ 95 ö 1 + 2.ç - ÷ è 13 ø = - 59 x2 = 3 13 Závěr:

ì é 59 95 ù ü P = í[5;7], ê- ;- ú ý ë 13 13 û þ î Příklad 2:

13.2.2010 19:31:03

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 22


1

Řešte soustavu rovnic: 2 2 x - y = 640 x:y=7:3 Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ 0 Z druhé rovnice vyjádříme x: x = 7y/3 (1) Dosadíme do rovnice první: 2

æ 7y ö 2 ç ÷ - y = 640 è 3 ø 49 y 2 - y 2 = 640 9 2

2

49y - 9y = 5760 2 40y = 5760 2 4y = 576 2 y = 144 y1 = 12 y2 = -12 Dosadíme do rovnice (1) a dopočteme x: x1 = 7 . 12 : 3 = 28 x2 = 7 . (-12) : 3 = -28 Závěr:

K = {[28;12]; [- 28;-12]} ± Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady 1.

1743

Výsledek:

K = {[0; 0], [2; 4]}

2.

1741

Výsledek:

3.

Řešte soustavu rovnic:

1742

Výsledek:

13.2.2010 19:31:03


2 z 22


1

4.

1738

Výsledek:

K = {[3; 0]}

5.

1739

Výsledek:

6.

1737

Výsledek:

7.

1744

Výsledek:

K = {[0; -1]}

8.

1740

Výsledek:

± Soustavy rovnic

Soustavy rovnic Soustava rovnic je zápis dvou nebo více rovnic, které musí platit současně. V soustavě rovnic se může vyskytovat různý počet neznámých. My se zaměříme na takové soustavy rovnic, kde počet neznámých odpovídá počtu rovnic v soustavě (tedy budeme řešit např. soustavu dvou rovnic o dvou neznámých nebo soustavu třech rovnic o třech neznámých, apod.) Soustavy rovnic můžeme řešit různými metodami - např.: metodou dosazovací metodou sčítací metodou, která kombinuje metodu sčítací a dosazovací

• • •

13.2.2010 19:31:03


3 z 22


• •

1

metodou grafickou pomocí matic, resp. determinantů

Zatím se omezíme na první dvě z uvedených metod.

Řešení soustav rovnic metodou dosazovací Tento způsob řešení je založen na postupu, kdy z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do zbývajících rovnic soustavy. Pokud byla zadána soustava dvou rovnic, pak už nyní řešíme jednu rovnici o jedné neznámé. Pokud původní soustava obsahovala tři nebo více rovnic, postup vyjádření neznámé opakujeme. Metoda dosazovací je vhodná tehdy, pokud u rovnic v základním tvaru (tj. u rovnic, které dostaneme po odstranění závorek a zlomků a následném sloučení členů) je alespoň u jedné neznámé v některé z rovnic koeficient 1 nebo (-1). Lze ji ale použít i jindy. Metota dosazovací se dále používá tehdy, je-li zadána soustava jedné lineární a jedné kvadratické rovnice. Takovými se ale budeme zabývat později. Metoda dosazovací se s úspěchem dá použít i při řešení soustav třech nebo více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: x+y=3 x - y = -1 x=3-y (3 - y) - y = -1 3 - y - y = -1 -2y = -4 y=2 x=3-2 x=1 Výsledek zapíšeme: [x; y] = [1; 2] Zkouška: L1 = 1 + 2 = 3 P1 = 3 L2 = 1 - 2 = -1 P2 = -1 L1 = P1 L2 = P2 Příklad 2: Řešte soustavu rovnic: 2 . (x + y) - 5 . (y - x) = 17 3 . (x + 2y) + 7 . (3x + 5y) = 7 Řešení: 2 . (x + y) - 5 . (y - x) = 17 3 . (x + 2y) + 7 . (3x + 5y) = 7 2x + 2y - 5y + 5x = 17 3x + 6y + 21x + 35y = 7

13.2.2010 19:31:03


4 z 22


1

7x - 3y = 17 24x + 41y = 7

17 + 3 y 7 17 + 3 y 24. + 41 y = 7 7 408 + 72 y + 41y = 7 7 x=

408 + 72y + 287y = 49 359y = -359 y = -1 x=2 Výsledek zapíšeme [x; y] = [2; -1] Zkouška: L1 = 2 . [2 + (-1)] - 5 . (-1 - 2) = 2 - 5 . (-3) = 17 P1 = 17 L2 = 3 . [2 + 2.(-1)] + 7 . [3 . 2 + 5 . (-1)] = 3 . 0 + 7 . 1 = 7 P2 = 7 L1 = P1 L2 = P2 Příklad 3: Řešte soustavu rovnic x-y=1 3x - 3y = 3 x=1+y 3 . (1 + y) - 3y = 3 3 + 3y - 3y = 3 0=0 Soustava má nekonečně mnoho řešení. Výsledek zapíšeme: [x; y] = [x; x - 1] (v tomto obecném zápisu výsledku první neznámou volíme libovolně a druhou neznámou vyjádříme ze kterékoliv zadané rovnice) Ověření správnosti řešení: Pro x = 1 dostáváme [1; 0] L1 = 1 - 0 = 1 P1 = 1 L2 = 3 . 1 - 3 . 0 = 3 P2 = 3 L1 = P1 L2 = P2 Příklad 4: Řešte soustavu rovnic:

3x + y =2 z +1

13.2.2010 19:31:03


5 z 22


1

3y + z =2 x +1 3x + z =2 y +1 -------------------Stanovíme podmínky řešitelnosti:

z ¹ -1; x ¹ -1; y ¹ -1

3x + y = 2 . (z + 1) 3y + z = 2 . (x + 1) 3x + z = 2 . (y + 1) 3x + y = 2z + 2 3y + z = 2x + 2 3x + z = 2y + 2 3x + y - 2z = 2 -2x + 3y + z = 2 3x - 2y + z = 2 Z první rovnice vyjádříme neznámou y: y = -3x + 2z + 2 (1) Dosadíme do zbývajících dvou rovnic: 3 . (-3x + 2z + 2) + z = 2 . (x + 1) 3x + z = 2 . (-3x + 2z + 2 + 1) -9x + 6z + 6 + z = 2x + 2 3x + z = -6x + 4z + 4 + 2 -11x + 7z = -4 9x - 3z = 6 Druhou rovnici vykrátíme třemi, poté z ní vyjádříme neznámou z: z = 3x - 2 (2) Dosadíme do první rovnice: -11x + 7 . (3x - 2) = -4 -11x + 21x - 14 = -4 10x = 10 x=1 Dosadíme do rovnice (2): z=3.1-2=1 Dosadíme do rovnice (1): y = -3 . 1 + 2 . 1 + 2 = 1 Výsledky neodporují podmínkám řešitelnosti. Zapíšeme výsledek: [x; y; z] = [1; 1; 1] Zkouška:

L1 =

3.1 + 1 4 = =2 1+1 2

P1 = 2 L1 = P1

L2 =

3.1 + 1 4 = =2 1+1 2

P2 = 2 L2 = P2

L3 =

3.1 + 1 4 = =2 1+1 2

P3 = 2 L3 = P3 Shrnutí postupu řešení soustavy rovnic dosazovací metodou:

13.2.2010 19:31:03


6 z 22


1

1. Jsou-li ve jmenovateli neznámé, stanovíme podmínky řešitelnosti 2. Rovnice upravíme do "základního" tvaru, tj. do tvaru, kdy na levé straně rovnice máme sloučené neznámé (v pořadí podle abecedy) a na pravé straně máme číslo; používáme přitom běžného postupu řešení samostatných rovnic - tedy nejprve odstraňujeme závorky, pak zlomky, atd. 3. Z libovolné rovnice vyjádříme libovolnou neznámou (výhodné je volit tu, kde je koeficient 1). 4. Tuto vyjádřenou neznámou dosadíme do zbývající rovnice (příp. do zbývajících rovnic, je-li jich více). 5. Vyřešíme vzniklou rovnici o jedné neznámé běžným způsobem (platí tehdy, pokud byla zadána soustava dvou rovnic o dvou neznámých; pokud rovnic bylo více, vznikla nám nyní soustava více rovnic a musíme dále opakovat kroky 2) - 4) ). 6. Vypočtenou neznámou dosadíme do rovnice, kde jsme vyjádřili první neznámou (krok 3) ) a vyřešíme druhou neznámou. 7. Provedeme zkoušku, a to tak, že dosazujeme do každé strany každé rovnice. 8. Zapíšeme výsledek uspořádanou dvojicí.

Řešení soustav rovnic metodou sčítací Sčítací metodu je výhodné použít tehdy, pokud je u všech neznámých v rovnicích upravených do "základního" tvaru koeficient jiný než číslo 1 nebo (-1). Lze ji s výhodou ale samozřejmě použít i v případě, že tam jednička je. Sčítací metodu používáme zpravidla u soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Je ji ale možno použít i pro více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 5: Řešte soustavu rovnic: 2 . (x - 3y) = 15 4x - y = -3 2x - 6y = 15 (1) 4x - y = -3 Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá x. Znamená to, že první rovnici vynásobíme číslem (-2) a druhou necháme beze změn. Pozn.: Sečíst rovnice znamená sečíst jejich levé strany a jejich pravé strany. -4x + 12y = -30 4x - y = -3 Rovnice sečteme -4x + 4x + 12y - y = -30 - 3 11y = -33 y = -3 Vrátíme se k rovnicím v zápisu (1), tj. k rovnicím upraveným do "základního" tvaru. Nyní je upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá y. Stačí tedy první rovnici ponechat a druhou vynásobit číslem (-6): 2x - 6y = 15 -24x + 6y = 18 Obě rovnice opět sečteme: 2x - 24x - 6y + 6y = 15 + 18 -22 x = 33 x = -1,5 Zapíšeme výsledek: [x; y] = [-1,5; -3] Zkouška se provádí stejným způsobem jako u dosazovací metody. Pozn.: Někdy se soustava rovnic také řeší tak, že jednu neznámou vyřešíme sčítací metodou a vzniklý kořen pak dosadíme do některé ze zadaných rovnic. Vyřešením rovnice o jedné neznámé pak získáme kořen druhý. V tomto případě ale už nelze hovořit o sčítací metodě.

13.2.2010 19:31:03


7 z 22


1

Pozn.: Pokud chceme řešit sčítací metodou soustavu více než dvou rovnic, pak postupujeme tak, že např. v soustavě třech rovnic, která je v "základním" tvaru, upravíme rovnice tak, aby po sečtení libovolných dvou rovnic vypadla jedna neznámá a při sečtení jiné libovolné dvojice vypadla tatáž neznámá. Tím získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou pak řešíme podle postupu v příkladu 5.

± Soustavy o třech a více neznámých - procvičovací příklady 1.

1711

Výsledek:

[1/3; 1/2]

2.

1718

Výsledek:

[4; 1; 2; 3]

3.

1723

Výsledek:

[5; 5; 5]

4.

1719

Výsledek:

13.2.2010 19:31:03

[-0,25; 3,75; 7,75; 0,25]


8 z 22


1

5.

1728

Výsledek:

[5; 2; 0]

6.

1736

Výsledek:

[1; 4; 5]

7.

1710

Výsledek:

[3; 4; 5]

8.

1726

Výsledek:

13.2.2010 19:31:03

Nekonečně mnoho řešení


9 z 22


1

9.

1735

Výsledek:

[3; 2; 2; 3]

10.

1717

Výsledek:

[1; -1; 2]

11.

1731

Výsledek:

[3; 2,5]

12.

1720

Výsledek:

[1; 1; 1; 1]

13.

1712

Výsledek:

13.2.2010 19:31:03

[1; 6]


10 z 22


1

14.

1734

Výsledek:

[0; 0,5; 0]

15.

1729

Výsledek:

é5 5 4 7 ù êë 3 ;- 3 ;- 3 ; 3 úû

16.

1714

Výsledek:

[20; 17; 5]

17.

1730

Výsledek:

[3; 4]

18.

1724

Výsledek:

13.2.2010 19:31:03

[0; 0; 0]


11 z 22


1

19.

1713

Výsledek:

[10; 1]

20.

1722

Výsledek:

[1; 2; -2]

21.

1721

Výsledek:

[4; 6; 8]

22.

1732

Výsledek:

[3; 2; 1]

23.

1727

Výsledek:

13.2.2010 19:31:03

[0,2; -1; 1]


12 z 22


1

24.

1733

Výsledek:

[7; 5; -3]

25.

1716

Výsledek:

[15; 12; 10]

26.

1715

Výsledek:

[8; 5; 3]

27.

1725

Výsledek:

Nemá řešení

28.

1709

Výsledek:

[5; 4; 1; 2; 1]

± Jednoduché nerovnice Nerovnice Nerovnice je zápis nerovnosti dvou matematických výrazů. Nerovnice, podobně jako rovnice, může obsahovat jednu nebo více neznámých. Postup řešení nerovnic je obdobný, jako při řešení rovnic s tou výjimkou, že pokud násobíme nebo dělíme nerovnici záporným číslem, mění se znak nerovnosti v opačný. >

...

13.2.2010 19:31:03

čteme větší


13 z 22


< £ ³

... ... ...

1

čteme menší čteme menší nebo rovno čteme větší nebo rovno

Výsledek řešení nerovnice zpravidla graficky znázorňujeme, zapisujeme intervalem a provádíme ověření správnosti řešení. Pozn.: Ověření správnosti, ne tedy zkouška, proto, že většinou je řešením celý interval a my nemáme možnost všechna čísla z daného intervalu dosadit. Ukázkové příklady: Příklad 1:

Řešení: Celou nerovnici vynásobíme čtyřmi, což je kladné číslo, proto znak nerovnosti se nemění. 2x - 1 - 2 . (x + 3) > 4 2x - 1 - 2x - 6 > 4 -7 > 4 Výsledkem je nepravdivá rovnost, proto nerovnice nemá řešení. Příklad 2:

Řešení: Celou nerovnici vynásobíme dvanácti: 2 . (7 - 2x) > 3x - 7 14 - 4x > 3x - 7 -7x > -21 V tomto případě budeme celou nerovnici dělit číslem (-7), což je číslo záporné, proto se znak nerovnosti změní v opačný: x<3 Výsledek zapíšeme intervalem: x Î (- ¥; 3) Graficky znázorníme:

Provedeme ověření správnosti řešení pro libovolné číslo z výsledného intervalu - např. pro x = 0: 13.2.2010 19:31:03


14 z 22


1

7 - 2.0 7 = 6 6

L= L>P

Pokud by při řešení nerovnice vyšel závěr, kterým je pravdivá nerovnost, pak řešením je každé reálné číslo, které však nesmí odporovat podmínce řešitelnosti.

± Nerovnice - procvičovací příklady 1.

1754

Výsledek:

Každé reálné číslo

2.

1749

Výsledek:

3.

1750

Výsledek:

4.

1753

Výsledek:

5.

1752

Výsledek:

Řešením je libovolné přirozené číslo.

6.

1747

Výsledek:

13.2.2010 19:31:03


15 z 22


1

7.

1751

Výsledek:

8.

1748

Výsledek:

9.

1746

Výsledek:

10.

1745

Výsledek:

± Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru

Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru Pokud máme nerovnici v podílovém tvaru, tzn. že ve jmenovateli je výraz s neznámou, nemůžeme takovouto nerovnici násobit nejmenším společným jmenovatelem jako tomu bylo u rovnic, protože nevíme, zda je jmenovatel kladný nebo záporný. Použijeme tedy jiný postup. Stejný postup použijeme i tehdy, budeme-li mít na jedné straně nerovnice součin (nebo podíl) a na druhé straně nerovnice číslo nula. Do takového tvaru lze nerovnici poměrně často převést. Postup je pak následující: 1. Zvážíme, zda podíl (nebo součin) má být kladný nebo záporný (případně nezáporný nebo nekladný) 2. Má-li být kladný, musí být oba činitelé, příp. dělenec i dělitel, buď oba kladné nebo oba záporné; to využijeme v dalším řešení. Má-li být záporný, pak musí být buď první činitel kladný a druhý záporný nebo první činitel záporný a druhý kladný (obdobně pro zlomek). 3. Ze dvou situací, které tak postupně řešíme, nakonec uděláme sjednocení. Ukázkové příklady: Příklad 1:

13.2.2010 19:31:03


16 z 22


1

Řešení: Vidíme, že nerovnice je v podílovém tvaru, na pravé straně je číslo 0. Aby byla splněna, mohou tedy nastat dvě situace: 1. možnost: x - Ö3 > 0 Ù 2x + Ö2 > 0 Odtud: x > Ö3 Ù x > -Ö2/2 Z těchto dvou nerovnic děláme průnik (musí platit současně); vhodné je grafické znázornění:

Řešením je to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (Ö3; +¥ ) 2. možnost: x - Ö3 < 0 Ù 2x + Ö2 < 0 Odtud: x < Ö3 Ù x < -Ö2/2 Z těchto dvou nerovnic opět děláme průnik (musí platit současně); vhodné je opět grafické znázornění:

Řešením je opět to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (-¥; -Ö2/2 ) Celkovým řešením je sjednocení obou intervalů, tedy x Î (-¥; -Ö2/2 ) È (Ö3; +¥ ) Celkové řešení graficky znázorníme:

Ověření správnosti: Pro x = 2:

L=

2- 3 2- 3 = = přibližně 0,05 > 0 2.2 + 2 4 + 2

P=0 L>P Příklad 2:

13.2.2010 19:31:03


17 z 22


1

Převedeme vše na levou stranu a poté na společného jmenovatele:

(x + 2)(. x - 2) - (x - 5)(. x + 2) + 3.(x - 5) > 0 (x - 5)(. x + 2) V čitateli roznásobíme a sloučíme:

x 2 - 4 - x 2 - 2 x + 5 x + 10 + 3 x - 15 >0 (x - 5)(. x + 2) 6x - 9 >0 (x - 5)(. x + 2) 3.(2 x - 3) >0 (x - 5)(. x + 2) Celou nerovnici vydělíme třemi, znak nerovnosti se nezmění:

(2 x - 3) > 0 (x - 5)(. x + 2) Nyní mohou nastat následující situace: 1. možnost: 2x - 3 > 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + 2 < 0 x > 3/2 Ù x < 5 Ù x < -2 Závěr: xÎ{} 2. možnost: 2x - 3 < 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + 2 < 0 x < 3/2 Ù x > 5 Ù x < -2 Závěr: xÎ{} 3. možnost: 2x - 3 < 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + 2 > 0 x < 3/2 Ù x < 5 Ù x > -2 Závěr: x Î (-2; 3/2) 4. možnost: 2x - 3 > 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + 2 > 0 x > 3/2 Ù x > 5 Ù x > -2 Závěr: x Î (5; +¥) Celkové řešení: x Î (-2; 3/2) È (5; +¥) Graficky znázorníme:

13.2.2010 19:31:03


18 z 22


1

Ověření správnosti řešení: Pro x = 0:

0-2 2 = 0-5 5 3 3 P = 1= 1 - = -0,5 0+2 2

L=

L>P Příklad 3:

Řešení:

± Nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru - procvičovací příklady

13.2.2010 19:31:03


19 z 22


1

1.

1757

Výsledek:

2.

1760

Výsledek:

3.

1772

Výsledek:

4.

1759

Výsledek:

5.

1768

Výsledek:

6.

1762

Výsledek:

7.

1765

Výsledek:

8.

1756

Výsledek:

13.2.2010 19:31:03


20 z 22


1

9.

1763

Výsledek:

10.

1770

Výsledek:

11.

1755

Výsledek:

12.

1773

Výsledek:

13.

1761

Výsledek:

14.

1769

Výsledek:

15.

1771

Výsledek:

16.

1764

Výsledek:

13.2.2010 19:31:03


21 z 22


1

17.

1766

Výsledek:

18.

1767

Výsledek:

19.

1758 4

3

2

x - x -x - x - 2 £ 0 Výsledek:

13.2.2010 19:31:03


22 z 22


1

Obsah Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady Soustavy rovnic Soustavy o třech a více neznámých - procvičovací příklady Jednoduché nerovnice Nerovnice - procvičovací příklady Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru - procvičovací příklady

13.2.2010 19:31:03


1 2 3 8 13 15 16 19

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

Recommend Documents