M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D

Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.


1

± Nerovnice s absolutní hodnotou

Nerovnice s absolutní hodnotou Postup řešení nerovnic s absolutní hodnotou je vlastně jakousi kombinací postupu řešení rovnic s absolutní hodnotou a řešení nerovnic. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici |x +2| < 8 Řešení: 1. Stanovíme nulové body; v tomto případě jím je číslo (-2) 2. Nulové body znázorníme na číselné ose

3. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î (- ¥; -2); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce změníme znaménko: (-x - 2) < 8 -x - 2 < 8 -x < 10 x > -10 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů:

Řešením této části je tedy otevřený interval (-10; -2) (1) 4. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î <-2; +¥ ); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty kladný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce nezměníme znaménko: (x + 2) < 8 x+2<8 x<6 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů:

Řešením této části je tedy zleva uzavřený interval <-2; 6) (2) 5. Nyní uděláme sjednocení výsledků (1) a (2), protože nerovnice má řešení, pokud platí kterýkoliv z nich: Celkovým řešením je tedy K = (-10; 6). Příklad 2: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici |x - 1| + x < 2 Řešení: Nulovým bodem je číslo 1.

21.11.2009 15:23:25

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 42


1

1. x Î (- ¥; 1) (-x + 1) + x < 2 -x + 1 + x < 2 0x < 1 0 < 1 ... platí vždy Celkovým řešením první části je tedy K1 = (- ¥; 1) 2. x Î <1; +¥ ) (x - 1) + x < 2 x-1+x<2 2x < 3 x < 1,5 Celkovým řešením druhé části je tedy K2 = <1; 1,5) 3. Provedeme sjednocení výsledků (1) a (2): Celkovým řešením je tedy K = (- ¥; 1,5)

(1)

(2)

Příklad 3: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici:

1 ³5 2x - 3 Řešení: Nulovým bodem je číslo 1,5 1. x Î (- ¥; 1,5)

1 ³5 - 2x + 3 1 -5 ³ 0 - 2x + 3 1 - 5.( -2 x + 3) ³0 - 2x + 3 1 + 10 x - 15 ³0 - 2x + 3 10 x - 14 ³0 - 2x + 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění.

5x - 7 ³0 3 - 2x a) 5x - 7 ³ 0 Ù 3 - 2x > 0 b) 5x - 7 £ 0 Ù 3 - 2x < 0 x ³ 7/5 Ù x < 3/2 x £ 7/5 Ù x > 3/2 x Î <7/5; 3/2) x Î{} Celkovým řešením částí a), b) je x Î <7/5; 3/2); je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (- ¥; 1,5), proto musíme provést průnik: Tím je K1 = <7/5; 3/2) 2. x Î (1,5; +¥)

1 ³5 2x - 3 1 -5 ³ 0 2x - 3

21.11.2009 15:23:25


2 z 42


1

1 - 5.( 2 x - 3) ³0 2x - 3 1 - 10 x + 15 ³0 2x - 3 16 - 10 x ³0 2x - 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění.

8 - 5x ³0 2x - 3 a) 8 - 5x ³ 0 Ù 2x - 3 > 0 b) 8 - 5x £ 0 Ù 2x - 3 < 0 x £ 8/5 Ù x > 3/2 x ³ 8/5 Ù x < 3/2 x Î (3/2; 8/5> x Î{} Celkovým řešením částí a), b) je x Î (3/2; 8/5> ; je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (1,5; +¥) , proto musíme provést průnik: Tím je K2 = (3/2; 8/5> 3. Celkovým řešením je tedy sjednocení K1 a K2, což je K = <7/5; 3/2) È (3/2; 8/5>

± Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 1.

1802

Výsledek:

2.

1794

Výsledek:

K=R

3.

1803

Výsledek:

4.

1798 Výsledek:

K=R

5.

1806

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25

K={}


3 z 42


1

6.

1797 Výsledek:

K={}

7.

1808

Výsledek:

8.

1795 Výsledek:

9.

1800

Výsledek:

10.

1799 Výsledek:

11.

1804

Výsledek:

K = {2,5}

12.

1796 Výsledek:

13.

1807

Výsledek:

K=R

14.

1801

Výsledek:

15.

1805

Výsledek:

K={}

± Soustava kvadratické a lineární rovnice

Soustava kvadratické a lineární rovnice

21.11.2009 15:23:25


4 z 42


1

Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: 2 2 x + y = 74 3x - 2y = 1 Řešení: 2 2 x + y = 74 3x - 2y = 1

x=

1+ 2 y 3

(1)

2

æ1+ 2 y ö 2 ç ÷ + y = 74 è 3 ø

(1 + 2 y )2 9

+ y 2 = 74

1+ 4 y + 4 y2 + y 2 = 74 9 2

2

1 + 4y + 4y + 9y = 666 2 13y + 4y - 665 = 0 2

y1, 2

4 æ4ö - ± ç ÷ - 13.(- 665) 2 - 2 ± 8649 - 2 ± 93 è2ø = = = 13 13 13

y1 = 7 y2 = -95/13 Dosadíme do rovnice (1) a vypočteme x:

x1 =

1 + 2.7 =5 3

æ 95 ö 1 + 2.ç - ÷ è 13 ø = - 59 x2 = 3 13 Závěr:

ì é 59 95 ù ü P = í[5;7], ê- ;- ú ý ë 13 13 û þ î Příklad 2: Řešte soustavu rovnic: 2 2 x - y = 640 x:y=7:3 Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ 0 Z druhé rovnice vyjádříme x:

21.11.2009 15:23:25


5 z 42


1

x = 7y/3 (1) Dosadíme do rovnice první: 2

æ 7y ö 2 ç ÷ - y = 640 è 3 ø 49 y 2 - y 2 = 640 9 2

2

49y - 9y = 5760 2 40y = 5760 2 4y = 576 2 y = 144 y1 = 12 y2 = -12 Dosadíme do rovnice (1) a dopočteme x: x1 = 7 . 12 : 3 = 28 x2 = 7 . (-12) : 3 = -28 Závěr:

K = {[28;12]; [- 28;-12]} ± Soustava lineární a kvadratické rovnice - procvičovací příklady 1.

1740

Výsledek:

2.

1738

Výsledek:

K = {[3; 0]}

3.

1737

Výsledek:

4.

1741

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


6 z 42

M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D 5.

1

Řešte soustavu rovnic:

1742

Výsledek:

6.

1744

Výsledek:

K = {[0; -1]}

7.

1739

Výsledek:

8.

1743

Výsledek:

K = {[0; 0], [2; 4]}

± Iracionální rovnice

Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která má neznámou pod odmocninou. Při řešení iracionálních rovnic používáme zpravidla neekvivalentní úpravy (tj. takové úpravy, po jejichž provedení se může změnit řešení rovnice), proto musíme vždy provést zkoušku. Mezi neekvivalentní úpravy, které budeme u těchto typů příkladů používat, patří nejčastěji umocnění rovnice na druhou. Umocnění rovnice provedeme tak, že umocníme levou i pravou stranu rovnice. Pozn.: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je i kořenem této nové rovnice. Obráceně to ale neplatí! Ukázkové příklady: Příklad 1:

21.11.2009 15:23:25


7 z 42


1

Řešte rovnici:

x 2 - 2 x + 10 = x - 10 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme: 2 2 x - 2x + 10 = (x - 10) 2

2

x - 2x + 10 = x - 20x + 100 po úpravě: x=5 Zkouška:

L = 52 - 2.5 + 10 = 5 P = 5 - 10 = -5 L¹P Daná rovnice tedy nemá řešení.

Příklad 2: Řešte rovnici:

x +7 = x -5 Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: 2 x + 7 = (x - 5) Po úpravě 2 x + 7 = x - 10x + 25 Dostali jsme kvadratickou rovnici, u níž zjistíme, že má kořeny 2 a 9. Zkouška:

L(2) = 2 + 7 = 9 = 3 P(2) = 2 - 5 = -3 L(2) ¹ P(2) Kořen 2 tedy není řešením.

L(9) = 9 + 7 = 16 = 4 P(9) = 9 - 5 = 4 L(9) = P(9) Kořen 9 tedy je řešením zadané iracionální rovnice. Příklad 3: Řešte rovnici:

5 - 5 x = 3 x - 11

21.11.2009 15:23:25


8 z 42


1

Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: (5 - 5x) = (3x - 11) Po úpravě: x=2 Zkouška:

L = 5 - 5.2 = - 5 Dále řešit nemusíme, protože v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla. Závěr tedy je, že iracionální rovnice nemá řešení. Příklad 4: Řešte rovnici:

x+9 +3 x = 7 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme:

x + 9 + 6 x x + 9 + 9 x = 49 Po ekvivalentních úpravách:

3 x x + 9 = 20 - 5 x Umocníme ještě jednou a dostaneme: 2 2 9x + 81x = 400 - 200x + 25x Po úpravě: 2 16x - 281x + 400 = 0 Kořeny této rovnice jsou čísla 16 a 25/16 Zkouškou se přesvědčíme, že kořenem zadané iracionální rovnice je pouze číslo 25/16. Příklad 5: Řešte rovnici:

x2 + 9 = 5 Kromě běžného, už uvedeného, postupu můžeme zde použít i následující úvahu: Výraz na levé straně rovnice je definován pro libovolné reálné číslo a je pro libovolné reálné číslo nezáporný, 2 2 proto rovnice x + 9 = 25 je ekvivalentní s rovnicí původní. Rovnice x + 9 = 25 má dvě řešení, a to x1 = 4 a x2 = -4. Tato řešení jsou tedy i řešeními rovnice původní. S ohledem na to, že jsme provedli pouze ekvivalentní úpravy, nemusíme v podstatě ani dělat zkoušku. Pro nezáporná čísla u, v je totiž u = v právě tehdy, když platí 2 2 u = v.

± Iracionální rovnice - procvičovací příklady

21.11.2009 15:23:25


9 z 42


1

1.

1610 Výsledek:

±3 2

2.

1626 Výsledek:

9

3.

1621 Výsledek:

-5/3

4.

1618 Výsledek:

Nemá řešení

5.

1615 Výsledek:

9

6.

1614 Výsledek:

8

7.

1623 Výsledek:

P = {9; -1/3}

8.

1619

Výsledek:

2,5

9.

1609 Výsledek:

20

10.

1628 Výsledek:

4

11.

1627 Výsledek:

P = {8; 4}

12.

1613 Výsledek:

Nemá řešení

13.

1622 Výsledek:

21.11.2009 15:23:25

-0,5


10 z 42


1 1624

Řešte rovnici:

(x + 1)(. x - 5) Výsledek:

7 - 3x = 0

-3

15.

1612 Výsledek:

16.

P = {0; 2} 1625

Řešte rovnici:

(x + 3)(. x - 1) Výsledek:

x.(1 - x ) = 0

1

17.

1611 Výsledek:

18.

3 1616

Řešte rovnici: Výsledek:

-1

19.

1620 Výsledek:

20.

5 1617

Řešte rovnici: Výsledek:

P = {0; 3}

± Rovnice s parametrem

Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahují kromě neznámé (značíme obvykle x, y, z, apod.) ještě další písmenko zvané parametr (značíme obvykle a, b, c, apod.). Rovnice s parametrem řešíme obdobně jako rovnice klasické, s parametrem pracujeme tak, jako kdyby místo něj bylo zadáno nějaké reálné číslo. V závěru řešení rovnice musíme provést diskusi vzhledem k parametru. Zkoušku u těchto rovnice, vzhledem k tomu, že budeme používat samé ekvivalentní úpravy, provádět nebudeme. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou x. m . (x - 1) = x + m Řešení:

21.11.2009 15:23:25


11 z 42


1

Nejprve se snažíme na levou stranu rovnice soustředit všechny členy obsahující neznámou a na pravou stranu všechny členy zbývající. Roznásobíme tedy nejdříve závorku: mx - m = x + m mx - x = 2m Na levé straně se snažíme osamostatnit neznámou x. Vytkneme ji tedy před závorku: x . (m - 1) = 2m Celou rovnici nyní dělíme závorkou na levé straně. Vše ale můžeme pouze za podmínky, že m¹1

x=

2m m -1

Nyní provedeme diskusi vzhledem k parametru m:

Příklad 2: Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou y:

3 = 5- y m-2 Řešení: Za podmínky m ¹ 2 můžeme odstarnit zlomek: 3 = (5 - y) . (m - 2) Roznásobíme závorky: 3 = 5m - 10 - my + 2y Na levou stranu soustředíme členy obsahující neznámou, na pravou všechny zbývající: my - 2y = 5m - 13 Na levé straně rovnice vytkneme y: y . (m - 2) = 5m - 13 Celou rovnici vydělíme závorkou na levé straně; vzhledem k platnosti podmínky uvedené v prvním kroku, to můžeme provést snadno:

y=

5m - 13 m-2

Provedeme diskusi vzhledem k parametru:

Příklad 3: Řešte rovnici s reálným parametrem c a s neznámou x: 2 (x + 3) . (x - c) = x +3c - 18 Řešení: 2

2

x - cx + 3x - 3c = x + 3c - 18 3x - cx = 6c - 18

21.11.2009 15:23:25


12 z 42


1

x . (3 - c) = 6 . (c - 3) Celou rovnici vydělíme (3 - c), avšak za předpokladu, že stanovíme podmínku c ¹ 3: x = -6 Provedeme diskusi vzhledem k parametru:

Příklad 4:

Řešení: Uvážíme-li m ¹ 0, pak můžeme odstranit zlomky: 12y + 16y - 18y = 5m - 10my 10y + 10my = 5m Celou rovnici vydělíme číslem 5: 2y + 2my = m 2y . (1 + m) = m Uvážíme-li m ¹ -1, pak celou rovnici můžeme závorkou vydělit:

y=

m 2.(1 + m)

Provedeme diskusi vzhledem k parametru:

± Rovnice s parametrem - procvičovací příklady 1.

1547

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


13 z 42


1

2.

1543

Výsledek:

3.

1536

Výsledek:

4.

1550

Výsledek:

5.

1539

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


14 z 42


1

6.

1551

Výsledek:

7.

1544

Výsledek:

8.

1542

Výsledek:

9.

1537

Výsledek:

10.

1535

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


15 z 42


1

11.

1533

Výsledek:

12.

1549

Výsledek:

13.

1548

Výsledek:

14.

1538

Výsledek:

Rovnice nemá smysl.

15.

1545

x-

2 1 = 2 (4 x + 1) 3 a a

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


16 z 42


1

16.

1541

Výsledek:

17.

1534

Výsledek:

18.

1540

Výsledek:

19.

1546

Výsledek:

± Kvadratické rovnice s parametrem

Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem řešíme úplně stejným způsobem jako lineární rovnice s parametrem. Opět vždy provádíme diskusi řešení vzhledem k parametru. V této diskusi zpravidla uvedeme, pro jakou hodnotu parametru má rovnice dvě různá reálná řešení , pro jakou hodnotu parametru má jeden dvojnásobný kořen a pro jakou hodnotu nemá v oboru reálných čísel řešení. Někdy je nutno také uvést, pro jakou hodnotu parametru 21.11.2009 15:23:25


17 z 42


1

vyjde lineární rovnice. Příklad: Proveďte úplnou diskusi následující kvadratické rovnice s parametrem m a neznámou x: 2

(m - 3)x - (3m + 9)x + 9m = 0 Řešení: 1. Pro m = 3 ...

lineární rovnice

2. Předpokládejme, že m ¹ 3 Vypočteme diskriminant této kvadratické rovnice: 2

2

2

2

D = b - 4ac = [-(3m + 9)] - 4.(m - 3).9m = 9m + 54m + 81 - 36m + 108m = 2 = -27m + 162m + 81 a) D > 0 ... 2 reálné různé kořeny ... nastane tehdy, jestliže: 2 -27m + 162m + 81 > 0 |:(-9) 2 3m - 18m - 9 < 0 |: 3 2 m - 6m - 3 < 0 Vzniklý trojčlen rozložíme na součin. K tomu si vyřešíme pomocnou kvadratickou rovnici 2 m - 6m - 3 = 0

m1, 2 =

6 ± 6 2 - 4.1.( -3) 6 ± 48 6 ± 4 3 3 ± 2 3 = = = = 3± 2 3 2.1 2 2 1

m1 = 3 + 2Ö3 m2 = 3 - 2Ö3 Hledaný rozklad je tedy: [m - (3 + 2Ö3)] . [m - (3 - 2Ö3)] < 0 Mohou nastat dvě situace: aa) [m - (3 + 2Ö3)] > 0 [m - (3 - 2Ö3)] < 0 Odtud: m > 3 + 2Ö3 m < 3 - 2Ö3 Závěr: Prázdná množina ab) [m - (3 + 2Ö3)] < 0 [m - (3 - 2Ö3)] > 0 Odtud: m < 3 + 2Ö3 m > 3 - 2Ö3 Závěr: m Î (3-2Ö3; 3) È (3; 3+2Ö3) b) D = 0 ... Jeden dvojnásobný kořen ... 2 -27m + 162m + 81 = 0 |:(-9) 2 3m - 18m - 9 = 0 |: 3 2 m - 6m - 3 = 0 [m - (3 + 2Ö3)] . [m - (3 - 2Ö3)] = 0 m1 = 3 + 2Ö3 m2 = 3 - 2Ö3

nastane tehdy, jestliže:

c) D < 0 ... V reálném oboru nemá řešení ... nastane v doplňku situací a), b), tedy jestliže m Î (-¥; 3-2Ö3) È (3+2Ö3; +¥)

± Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady

21.11.2009 15:23:25


18 z 42


1

1.

1597

Výsledek:

2.

1607

Výsledek:

3.

1608

Výsledek:

4.

1605

Výsledek:

5.

1599

Výsledek:

6.

1604 Výsledek:

7.

1603 Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


19 z 42


1

8.

1600 Výsledek:

9.

1602 Výsledek:

10.

1596

Výsledek:

m = -0,4 nebo m = 6

... ...

dva reálné různé kořeny jeden dvojnásobný kořen nemá řešení v R

11.

1606

Výsledek:

12.

1598

Výsledek:

13.

1601 Výsledek:

± Lineární funkce s absolutní hodnotou

Lineární funkce s absolutní hodnotou Jedná se o funkci lineární, tedy funkci danou rovnicí y = ax + b, která ale ve svém zápise obsahuje absolutní hodnotu.

Ukázkové příklady: Příklad 1: Narýsujte graf funkce y = |x - 1|

21.11.2009 15:23:25


20 z 42


1

Řešení: Podobně jako při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutní hodnotou nejprve stanovíme nulové body, tj. bod, v nichž jednotlivé absolutní hodnoty nabývají nulových hodnot. V tomto případě je nulový bod pouze jeden, a jím je číslo 1. Řešení máme tedy rozděleno na dvě části: 1. x < 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto absolutní hodnotu odstraníme tak, že ji změníme na závorku, ale před ní bude znaménko minus. Narýsujeme tedy graf funkce y = -(x - 1), neboli y = -x + 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x < 1 2. x ³ 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, proto ji odstraníme tak, že ji změníme na závorku. Rýsujeme tedy graf funkce y = x - 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x ³ 1 Závěr:

Příklad 2: Narýsujte graf funkce y = |2x - 1| Řešení: Nulovým bodem je 0,5 1. x < 0,5 Rýsujeme graf funkce y = -2x + 1 a využíváme část, kde x < 0,5 2. x ³ 0,5 Rýsujeme graf funkce y = 2x - 1 a využíváme část, kde x ³ 0,5 Závěr:

21.11.2009 15:23:25


21 z 42


1

± Lineární funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 1.

1372

Výsledek:

2.

1377 Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


22 z 42


1

3.

1374 Výsledek:

4.

1373 Výsledek:

5.

1380

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


23 z 42


1

6.

1376 Výsledek:

7.

1370 Výsledek:

8.

1378 Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


24 z 42


1

9.

1379 Výsledek:

10.

1371 Výsledek:

11.

1375 Výsledek:

± Exponenciální funkce

Exponenciální funkce 21.11.2009 15:23:25


25 z 42


1

Definice: x Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a , kde a > 0 a zároveň a ¹ 1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující:

Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující:

x

Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10 Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální x funkce. Má rovnici y = e . Pozn.: Eulerovo číslo e = 2,718 28...

Vlastnosti exponenciální funkce:

± Exponenciální funkce - procvičovací příklady

21.11.2009 15:23:25


26 z 42


1

1.

1389

Výsledek:

2.

1390

Výsledek:

3.

1398 Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


27 z 42


1 x-3

Je dána funkce f: y = 0,5 . Narýsujte graf funkce |f(|x|)|

1395

Výsledek:

5.

1382 Výsledek:

6.

1400

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


28 z 42


1

7.

1381 Výsledek:

8.

1385 Výsledek:

9.

Narýsujte graf funkce y = 0,5x+3

1392

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


29 z 42


1

Narýsujte graf funkce y = 0,5x-3

1391

Výsledek:

11.

1387

Výsledek:

12.

a>1

Je dána funkce f: y = 0,5x-3. Narýsujte graf funkce |f(x)|

1393

Výsledek:

13.

1386

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25

a>2


30 z 42


1

14.

1397

Výsledek:

15.

1384 Výsledek:

16.

1388

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


31 z 42


1 x-3

Je dána funkce f: y = 0,5 . Narýsujte graf funkce f(|x|).

1394

Výsledek:

18.

1383

Výsledek:

19.

1399

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


32 z 42


1

20.

1396

Výsledek:

± Logaritmická funkce

Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = logax. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. y

Pozn.: Zápis y = logax vyjadřuje totéž jako zápis x = a

Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a:

21.11.2009 15:23:25


33 z 42


1

Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce:

Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu.

± Logaritmická funkce - procvičovací příklady 1.

1432 Výsledek:

2.

1425 Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


34 z 42


1

Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce |f(x)|.

1416

Výsledek:

4.

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = |log4x|

1422

Výsledek:

5.

1431 Výsledek:

6.

Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce f(|x|).

1417

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


35 z 42


1

7.

1403

Výsledek:

8.

1413

Výsledek:

9.

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4(-x)

1421

Výsledek:

10.

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x

1419

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


36 z 42


1

11.

1430 Výsledek:

12.

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = |log4|x||

1424

Výsledek:

13.

1406 Výsledek:

14.

1414

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


37 z 42


1

15.

1433

Výsledek:

16.

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4|x|

1423

Výsledek:

17.

1411 Výsledek:

18.

1404 Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


38 z 42


1

Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce |f(|x|)|.

1418

Výsledek:

20.

1405

Výsledek:

21.

1426

Výsledek:

22.

1410

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


39 z 42


1

23.

1429 Výsledek:

24.

1401 Výsledek:

25.

1408 Výsledek:

26.

1412

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


40 z 42


1

27.

1428

Výsledek:

28.

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = -log4x

1420

Výsledek:

29.

1427

Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


41 z 42


1

30.

1407 Výsledek:

31.

1402

Výsledek:

32.

Narýsuj graf funkce

y = log1/3(x + 2)

1415

Výsledek:

33.

1409 Výsledek:

21.11.2009 15:23:25


42 z 42


1

Obsah Nerovnice s absolutní hodnotou Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava lineární a kvadratické rovnice - procvičovací příklady Iracionální rovnice Iracionální rovnice - procvičovací příklady Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem - procvičovací příklady Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady Lineární funkce s absolutní hodnotou Lineární funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady Exponenciální funkce Exponenciální funkce - procvičovací příklady Logaritmická funkce Logaritmická funkce - procvičovací příklady

21.11.2009 15:23:25


1 3 4 6 7 9 11 13 17 18 20 22 25 26 33 34

M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D

Recommend Documents