M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.


1

± Logaritmy

Logaritmy a jejich vlastnosti Definice logaritmu daného čísla: Logaritmus daného kladného čísla při základu a > 0 a zároveň a ¹ 1 je takové číslo y, kterým musíme umocnit základ, abychom dostali logaritmované číslo x. Zapisujeme: loga x = y Û x = a

y

[Čteme logaritmus z čísla x při základu a] Určování logaritmů daných kladných čísel se nazývá logaritmování. Obrácená operace se nazývá odlogaritmování. Vlastnosti logaritmů: Logaritmus jedné při libovolném základu a > 0, a ¹ 1 je roven nule. Logaritmus z čísla stejného, jakým je i základ, je roven jedné. Logaritmus z čísla většího než jedna je kladný, logaritmus z čísla menšího než jedna je záporný. Logaritmus při základu 10 se nazývá logaritmus dekadický. Logaritmus při základu e se nazývá logaritmus přirozený.

• • • • •

Příklad 1: Vypočtěte log5 25 Řešení: y

Podle definice převedeme na výpočet 25 = 5 Odtud snadno zjistíme, že y = 2 Příklad 2:

1.2.2010 17:20:16

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 21


1

Vypočtěte základ logaritmu, jestliže platí logz 216 = 3 Řešení 3

Podle definice převedeme na výpočet z = 216 3 3 3 Protože platí 216 = 6 , pak z = 6 a odtud z = 6 Příklad 3: Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při základu logaritmu 0,1 dostali číslo -1 Řešení: -1

Podle definice převedeme výpočet log0,1x = -1 na tvar 0,1 = x. Odtud snadno vypočteme, že x = 10.

± Logaritmy - procvičovací příklady 1.

2084 Výsledek:

1

2.

2077 Výsledek:

3.

3

3

Stanovte číslo x, platí-li Výsledek:

log10x = -1

2083

0,1

4.

2067 Výsledek:

0,375

5.

2063 Výsledek:

0,25

6.

2079

Výsledek:

6

7.

2068 Výsledek:

1.2.2010 17:20:16

0,5


2 z 21


1

8.

2073 Výsledek:

16

9.

2076

Výsledek:

4

10.

2071 Výsledek:

2

11.

2070 Výsledek:

6

12.

2064 Výsledek:

0,125

13.

2080

Výsledek: 3

3 4

14.

2082

Výsledek:

15.

2/3

Stanovte číslo Výsledek:

x, platí-li

log1/10 x = -1

2086

10

16.

2075

Výsledek:

1.2.2010 17:20:16

1/3


3 z 21


1

17.

2069 Výsledek:

2

18.

2066 Výsledek:

0,25

19.

2085

Výsledek:

2

20.

2078 Výsledek:

21.

2062 Výsledek:

22.

0,5 2072

Určete log4 (log4 4) Výsledek:

0

23.

2074 Výsledek:

6

24.

2065 Výsledek:

0,5

25.

2081

Výsledek:

0,2

± Věty o logaritmech

Věty o logaritmech Podle definice logaritmů platí: loga x = y

x = a loga x

(1)

Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (loga x), kterým musíme umocnit základ - viz pravá strana výrazu (1), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x.

x = a loga x y = a loga y 1.2.2010 17:20:16


4 z 21


1

xy = a loga xy 1. Nelze logaritmovat součet logz (a + b) ¹ logz a + logz b

2. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů Důkaz:

a = z logz a b = z logz b ab = z logz ab vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1

ab = z logz ab = z logz a .z logz b = z logz a + logz b Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné základy, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto: logz ab = logz a + logz b Např.:

3. Logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele Důkaz:

a = z logz a b = z logz b a

logz a =z b b

vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1 a

logz a z logz a b =z = logz b = z logz a -logz b b z

log z

a = log z a - log z b b

Např.:

1.2.2010 17:20:16


5 z 21


1

4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu dané mocniny Důkaz:

a = z logz a n

(

a n = z logz a = z logz a

)

n

= z n.logz a

n

logza = n . logz a Např.:

± Věty o logaritmech - procvičovací příklady 1.

2095

Určete logzx, je-li

x=

a a

Výsledek:

2.

2092

Určete logz x, je-li

x = 3 a -3 .4

1 b2

Výsledek:

1.2.2010 17:20:16


6 z 21


1

3.

2110

Výsledek:

4.

2102

Výsledek:

5.

2109

Výsledek:

6.

2094


3 x = .3 a. a 7 Výsledek:

7.

2098

Výsledek:

x = abc

8.

2089 Výsledek:

9.

2100

Výsledek:

3

2

x = a .b .z

10.

2108

Výsledek:

1.2.2010 17:20:16


7 z 21


1

11.

2103

Výsledek:

12.


x = a-2 . b-3

2088

Výsledek:

13.

2087


x=

a 2 . tga b 3 .3 c

Výsledek:

14.

2096 Výsledek:

15.

2104

Výsledek:

4

x=

a 3 .6 b 5 c

16.

2090 Výsledek:

17.

2099

Výsledek:

x = ab/c

18.

2106

Výsledek:

1.2.2010 17:20:16

x=a+2


8 z 21


1

19.

2101

Výsledek:

3 (n+3) 3

x = ab

/z

20.

2093

Výsledek:

21.

Určete logz x, je-li x = a1/2 b2/3

2091

Výsledek:

22.

2097 Výsledek:

23.

2107

Výsledek:

x = (a - b).3 a 2 .b

24.

2111

Výsledek:

25.

2105

Výsledek:

x=

1.2.2010 17:20:16

ab.6 ab 5z 4


9 z 21


1

± Exponenciální rovnice

Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice je taková rovnice, která má neznámou v exponentu. Exponenciální rovnici můžeme řešit zpravidla třemi postupy (využíváme v uvedeném pořadí):

1. Převodem obou stran rovnice na mocniny o stejném základu - v tomto případě využijeme vlastnost, že pokud má platit rovnost a mocniny na obou stranách mají stejné základy, musí se sobě rovnat i exponenty. Získáme tak většinou lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou už umíme snadno vyřešit. Příklad 1: Řešte rovnici: x

81 æ3ö ç ÷ = 256 è4ø Řešení: x

34 æ3ö ç ÷ = 4 4 è4ø x

æ3ö æ3ö ç ÷ =ç ÷ è4ø è4ø

4

Závěr: x = 4 Příklad 2: Řešte rovnici: 3

2 2 x -3 = 7 0,53- x

Řešení: 3

2 2 x -3 = 7 2 x -3 2 x -3 3

x -3 7

2 =2 2x - 3 x - 3 = 3 7 14x - 21 = 3x - 9 11x = 12 Závěr: x = 12/11 Příklad 3: Řešte rovnici:

1.2.2010 17:20:16


10 z 21


1

2 x -1 + 2 x - 2 + 2 x -3 = 448 2 x.( 2 -1 + 2 -2 + 2 -3 ) = 448 æ1 1 1ö 2 x.ç + + ÷ = 448 è 2 4 8ø 7 2 x. = 7.26 8 x 2 = 8.26 2 x = 29 Závěr: x = 9

2. Substitucí Substituce nám usnadní řešení, většinou dostaneme kvadratickou rovnici, výjimečně i lineární. Příklad 4: Řešte rovnici v oboru reálných čísel:

9 x + 2.3 x - 3 = 0 Řešení:

(3 )

x 2

+ 2.3 x - 3 = 0 x

Zavedeme substituci y = 3 Dostaneme rovnici: 2 y + 2y - 3 = 0 (y - 1) . (y + 3) = 0 y1 = 1 y2 = -3

Vrátíme se zpět k zavedené substituci: x a) 3 =1 x 0 3 =3 x1 = 0 x b) 3 = -3 x V tomto případě není řešení, protože 3 je vždy větší než 0. Závěr: Rovnice má jediné řešení, a to x = 0.

3. Logaritmováním Tento postup používáme tehdy, pokud ani jedním z předchozích dvou postupů nelze řešení dosáhnout. Výsledek většinou pak obsahuje logaritmus. Příklad 5: Řešte rovnici: 5x 3x 3 =5 Řešení: Vzhledem k tomu, že nejsme schopni převést obě strany rovnice na stejný základ, použijeme postup, kdy celou

1.2.2010 17:20:16


11 z 21


1

rovnici zlogaritmujeme: 5x 3x log 3 = log 5 5x . log 3 = 3x . log 5 x . (5log 3 - 3log 5) = 0 Součin je roven nule tehdy, když aspoň jeden z činitelů je roven nule, proto x = 0 (závorka být rovna nule nemůže). Poznámka: V některých případech se použije i kombinace substitučního postupu s postupem logaritmování.

± Exponenciální rovnice - procvičovací příklady 1.

1637

Řešte rovnici:

0,252- x = Výsledek:

256 2 x +3

3

2.

1638 Výsledek:

3

3.

1648 Výsledek:

4.

1639 Výsledek:

3

5.

1633 Výsledek:

1

6.

1658

Výsledek:

7.

1636

Řešte rovnici: x

3 x +3m .x 3 x -3m = 27

Výsledek:

1.2.2010 17:20:16

Nemá řešení


12 z 21


1

8.

1661 Výsledek:

9.

1634

Řešte rovnici: 3 x +1

2 x +3

Výsledek:

1

2

.2

=2

5 x +1

.2

x+2

10.

1640 Výsledek:

11.

V oboru reálných čísel řešte rovnici: x +3

x+2

1657

x-2

2 .3 9 = 7 - x x -1 6 .8 3 Výsledek:

-1

12.

1632

Výsledek:

13.

-4 1630

Řešte rovnici: x 3 æ3ö æ5ö ç ÷ =ç ÷ è5ø è3ø Výsledek:

-3

14.

1649 Výsledek:

3,5

15.

1660

Výsledek:

3

16.

1664

Výsledek:

17.

2

V oboru reálných čísel řešte rovnici:

1652

3 x -6 log 27 = 35- 2 x log 3 Výsledek:

1.2.2010 17:20:16

4


13 z 21

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D 18.

1 1647

Řešte rovnici: x

4 +3

x+4

=4

x +3

-3

x+2

Výsledek:

19.

1651

Řešte rovnici: x +3 4 x -1 5 æ 4 ö æ 125 ö = ç ÷ .ç ÷ 2 è 25 ø è 8 ø Výsledek:

1

20.

1631 Výsledek:

21.

6

Řešte v oboru reálných čísel rovnici: æ 5ö ç1 - ÷ è 9ø Výsledek:

2 3- 2 x

æ9ö =ç ÷ è4ø

-0,25

22.

1655 Výsledek:

23.

1665

3 x -5

1

Řešte rovnici v oboru reálných čísel:

1654

2 x.33 x = 4 x -1 Výsledek:

24.

1643 Výsledek:

25.

1635

Řešte rovnici: 3x

2 .4

3 x -3

Výsledek:

26.

1

=8

2 x +1

3

V oboru reálných čísel řešte rovnici: x

4 +3

x +3

=4

x +3

-3

1653

x+2

Výsledek:

1.2.2010 17:20:16


14 z 21

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D 27.

1

Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x

3.2 + 2

3- x

1656

= 10

Výsledek:

28.

1662 Výsledek:

29.

1663 Výsledek:

1

30.

1645

Výsledek:

31.

1642 Výsledek:

32.

1629

Výsledek:

3

33.

1641 Výsledek:

34.

1650 Výsledek:

x1 = 2 x2 = 2log 3 / log 5

35.

1659

Výsledek:

36.

3 1644

Řešte rovnici:

10

5-3 x

=2

7-2 x

Výsledek:

1.2.2010 17:20:16


15 z 21


1

37.

1646

Výsledek:

± Logaritmické rovnice

Logaritmické rovnice Logaritmická rovnice je taková rovnice, v níž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou x, přičemž x patří do množiny reálných čísel. Základní logaritmickou rovnicí je rovnice typu

a > 0, a ¹ 1 Tato rovnice má pro libovolné b jediné řešení tvaru

Logaritmické rovnice složitějších typů se nejprve upraví na tvar

kde a > 0, a ¹ 1, přičemž f(x) a g(x) nabývají kladných hodnot. K úpravám využijeme věty o logaritmování. Za těchto předpokladů pak platí:

a dále řešíme rovnici bez logaritmů (protože jsme provedli odlogaritmování rovnice).

Příklad 1: 1.2.2010 17:20:16


16 z 21

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D 3

1 4

5

Řešte logaritmickou rovnici log x - log x + log x = 8 Řešení: 3

4

5

log x - log x + log x = 8 3log x - 4 log x + 5 log x = 8 4 log x = 8 log x = 2 x = 100 Příklad 2:

1 log x 3 + log x 2 + 7 log x 4 + 64 = 0 2 Řešení:

1 log x 3 + log x 2 + 7 log x 4 + 64 = 0 2 3log x + 0,5 . 2 . log x + 7 . 4 . log x + 64 = 0 3 log x + log x + 28 log x + 64 = 0 32 log x = -64 log x = -2 x = 0,01

Příklad 3:

3 log x + log x 4 - log 3 x = 5 Řešení:

3 log x + log x 4 - log 3 x = 5 3log x + 4log x - (1/3)log x = 5 (20/3)log x = 5 log x = 0,75

x = 4 1000

± Logaritmické rovnice - procvičovací příklady 1.

1668

Výsledek:

1.2.2010 17:20:16

10.3 10


17 z 21


1

2.

1669

Výsledek:

99/101

3.

1678

Výsledek:

-3

4.

1675

Výsledek:

101

5.

1680

Výsledek:

6.

1686

Výsledek:

7.

1684

log 4 log 3 log 2 x = Výsledek:

1 2

512

8.

1681

1 + log x 3 = Výsledek:

10 log x

x1= 0,01

x2 = 10.3 100

1.2.2010 17:20:16


18 z 21


1

9.

1689

Výsledek:

x=6

10.

1672

Výsledek:

Nemá řešení

11.

1682

Výsledek:

10

12.

1676

Výsledek:

4,5

13.

1683

Výsledek:

100

14.

1671

Výsledek:

7

15.

1685

Výsledek:

1.2.2010 17:20:16


19 z 21


1

16.

1688

Výsledek:

x=3

17.

1690

Výsledek:

18.

100 1667

Řešte rovnici:

Výsledek:

0,01

19.

1673

Výsledek:

0,5

20.

1674

Výsledek:

21.

36 1666

Řešte rovnici:

3 5 1 log 3 x 4 - log = 11 5 2 x Výsledek:

x = 33 10110 = 103.33 1011

22.

1679

Výsledek:

5

23.

1670 Výsledek:

1

24.

1677

Výsledek:

1.2.2010 17:20:16

25


20 z 21


1

25.

1687

Výsledek:

1.2.2010 17:20:16


21 z 21


1

Obsah Logaritmy Logaritmy - procvičovací příklady Věty o logaritmech Věty o logaritmech - procvičovací příklady Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice - procvičovací příklady Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice - procvičovací příklady

1.2.2010 17:20:16


1 2 4 6 10 12 16 17

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

Recommend Documents