M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu 2D

Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.


1

± Komplexní čísla

Komplexní čísla Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem čísel komplexních. Komplexní čísla označujeme C. Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic. Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky. Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina. Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje).

Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a1; a2] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z = a1 + a2 i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i = [0; 1]. Pro imaginární jednotku platí: 2 i = -1 3 i = -i 4 i = +1 5 i =i 6 i = -1 atd...

Algebraický tvar komplexního čísla

5.4.2010 12:11:54

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 58


1

Nechť je dáno komplexní číslo a = [a1; a2]. Jeho vyjádření ve tvaru z = a1 + komplexního čísla. Číslo a1 představuje reálnou část komplexního čísla, číslo část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako

a2i se říká algebraický tvar a2 představuje imaginární základní početní operace s kdyby šlo o reálné dvojčleny.

Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty. Platí vzorec: 2

z = a1 + a2

2

Komplexní jednotka Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna 1. Platí tedy |z| = 1

Čísla komplexně sdružená

Čísla komplexně sdružená označujeme . [čteme zet s pruhem] Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají.

Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné.

Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné.

Rovnost komplexních čísel

5.4.2010 12:11:54


2 z 58


1

Komplexní čísla z1 = a1 + b1i a z2 = a2 + b2i jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a1 = a2 a zároveň b1 = b2

Součet komplexních čísel

Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

Rozdíl komplexních čísel

5.4.2010 12:11:54


3 z 58


1

Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

Součin komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

Podíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich podíl takto:

Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

5.4.2010 12:11:54


4 z 58


1

Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli).

Goniometrický tvar komplexního čísla

5.4.2010 12:11:54


5 z 58


1

Moivreova věta Moivreova věta říká, že součin dvou komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, jejíž argument je roven součtu argumentů obou činitelů. Z této věty plyne vztah pro n-tou mocninu komplexní jednotky:

a vztah pro n-tou mocninu komplexního čísla:

Příklad 1:

5.4.2010 12:11:54


6 z 58


1

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:

Příklad 3:

Řešení:

Příklad 4:

Řešení:

Příklad 5:

Řešení:

5.4.2010 12:11:54


7 z 58


1

Příklad 6:

Řešení:

Příklad 7:

Řešení:

Příklad 8: Vypočtěte i

148

Řešení:

Příklad 9:

Řešení:

5.4.2010 12:11:54


8 z 58


1

Příklad 10:

Řešení:

Příklad 11:

Řešení:

± Komplexní čísla - procvičovací příklady 1.

2330 Výsledek:

3i

2.

2331 Výsledek:

3.

2321 Výsledek:

1

4.

2322 Výsledek:

1

5.

2329 Výsledek:

5.4.2010 12:11:54


9 z 58


1

6.

2352 Výsledek:

7.

2347 Výsledek:

-i

8.

2351 Výsledek:

9.

2332

Výsledek:

10.

2328 Výsledek:

1

11.

2338

Výsledek:

12.

2348

Výsledek:

x = 3; y = -2

13.

2356 Výsledek:

2i

14.

2326 Výsledek:

15.

2339

Výsledek:

-100

16.

2341

Výsledek:

5.4.2010 12:11:54


10 z 58


1

17.

2345

Výsledek:

2,83

18.

2340

Výsledek:

19.

2355 Výsledek:

20.

2325 Výsledek:

21.

2337

Výsledek:

22.

2334

Výsledek:

i

23.

2327 Výsledek:

-7

24.

2324 Výsledek:

25.

2336

Výsledek:

26.

2342

Výsledek:

5.4.2010 12:11:54

0


11 z 58


1

27.

2357 Výsledek:

28.

2344

Výsledek:

0,4

29.

2349 Výsledek:

30.

2323 Výsledek:

1

31.

2350 Výsledek:

32.

2354 Výsledek:

33.

2343

Výsledek:

10,6

34.

2333

Výsledek:

1-i

35.

2358 Výsledek:

36.

2353 Výsledek:

5.4.2010 12:11:54


12 z 58


1

37.

2346

Výsledek:

18 + 4i

38.

2335

Výsledek:

± Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel

Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Do této kapitoly spadají kvadratické rovnice, při jejichž řešení vychází diskriminant záporný. Pozn.: Už dříve jsme řešili kvadratické rovnice a rozlišovali jsme situace, kdy diskriminant byl větší než nula pak kvadratická rovnice měla dva reálné různé kořeny; pak jsme poznali situaci, kdy diskriminant vyšel roven nule - v tom případě měla kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen a v případě, že diskriminant vyšel záporný, uváděli jsme dosud, že kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. V oboru komplexních čísel však řešení má. Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel je založeno na poznatku, že v oboru komplexních čísel umíme odmocnit i zápornou odmocninu. Platí totiž, že např. Ö(-4) = 2i 2

Kvadratická rovnice x = -4 pak má tedy dvě různá řešení, a to x1 = 2i a x2 = -2i V oboru komplexních čísel má tedy každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty řešení. Příklad 1: 2

V oboru komplexních čísel řešte rovnici 7x + 5 = 0 Řešení: 2

7x + 5 = 0 2 7 . (x + 5/7) = 0 2 x + 5/7 = 0 [x + i .Ö(5/7)] . [x - i . Ö(5/7)] = 0 x1 = - i . Ö(5/7) x2 = i . Ö(5/7) Příklad 2: 2

V oboru komplexních čísel řešte rovnici 3x - 4x + 2 = 0 Řešení:

5.4.2010 12:11:54


13 z 58


1

2

D = b - 4ac 2 D = (-4) - 4 . 3 . 2 = -8

-b± D 2a - (-4) ± - 8 x1, 2 = 2.3 4 ± i. 8 x1, 2 = 6 4 ± 2i. 2 x1, 2 = 6 2.( 2 ± i. 2 ) x1, 2 = 6 2± 2 x1, 2 = 3 x1, 2 =

Do této kapitoly můžeme zahrnout i rozklady trojčlenů na součin v oboru komplexních čísel. K jejich určení totiž využíváme s výhodou řešení pomocné kvadratické rovnice. Příklad 3: 2

Rozložte v součin lineárních činitelů trojčlen 4x - 12x + 25 Řešení: 2

Protože kořeny rovnice 4x - 12x + 25 = 0 jsou čísla

x1, 2 =

12 ± i. 256 3 = ± 2i 8 2

dostáváme:

3 3 æ öæ ö 4 x 2 - 12 x + 25 = 4.ç x - - 2i ÷.ç x - + 2i ÷ = 2 2 è øè ø = (2 x - 3 - 4i )( . 2 x - 3 + 4i ) ± Kvadratické rovnice v oboru C - procvičovací příklady 1.

2370

Výsledek:

5.4.2010 12:11:54


14 z 58


1

2.

2362 Výsledek:

3.

2366 Výsledek:

4.

2364 Výsledek:

5.

2359 Výsledek:

6.

2361 Výsledek:

7.

2363 Výsledek:

8.

2360 Výsledek:

9.

2368 Výsledek:

10.

2367 Výsledek:

11.

2369

Výsledek:

12.

2365 Výsledek:

± Stereometrie - Vzájemná poloha

Stereometrie Stereometrie je prostorová geometrie; zabývá se prostorovými útvary - tělesy.

Vzájemná poloha přímek v prostoru Přímky v prostoru mohou být: 5.4.2010 12:11:54


15 z 58


• • •

1

rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů) různoběžné (mají právě jeden společný bod); zvláštním případem různoběžných přímek jsou přímky, které jsou na sebe kolmé. mimoběžné (nemají žádný společný bod, ale nejsou rovnoběžné)

• •

Vzájemná poloha rovin v prostoru Roviny v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod a vzdálenost obou rovin v kterémkoliv místě je vždy stejná) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů a kterákoliv z obou rovin je vždy podmnožinou roviny druhé) různoběžné (mají nekonečně mnoho společných bodů, které vytvářejí přímku, zvanou průsečnice rovin); zvláštním případem různoběžných rovin jsou dvě roviny, které jsou na sebe kolmé.

•

• •

•

± Stereometrie - krychle, kvádr, hranol

Krychle

Krychle je prostorové těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami a dvanácti hranami. Důležité vzorce: 2

S = 6.a 3 V=a us = a.Ö2 ut = a.Ö3

5.4.2010 12:11:54

... ... ... ...

S je povrch krychle, a je hrana krychle V je objem krychle, a je hrana krychle us je stěnová úhlopříčka, a je hrana krychle ut je tělesová úhlopříčka, a je hrana krychle


16 z 58


1

Kvádr

Kvádr je těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami, z nichž každé dvě protější jsou shodné a dvanácti hranami, z nichž zpravidla čtyři jsou vždy shodné. Důležité vzorce: Použité veličiny: a, b, c ... délky hran kvádru S ... povrch tělesa V ... objem tělesa us ... stěnová úhlopříčka ut ... tělesová úhlopříčka Zkratka CZ značí tzv. cyklickou záměnu, což představuje záměnu hran v odpovídajícím pořadí. S = 2.(ab + ac + bc) V = a.b.c 2 2 us = Ö(a +b ) ... CZ 2 2 2 ut = Ö(a +b +c ) Pozn.: Zvláštním případem je kvádr se čtvercovou podstavou Pokud budeme uvažovat a = b, pak vzorce budou v následující podobě: 2 S = 2a + 4ac 2 V = a .c 2 2 us = a.Ö2 (pro podstavu) nebo us = Ö(a +c ) (pro boční stěnu) 2 2 ut = Ö(2a +c )

Hranol

5.4.2010 12:11:54


17 z 58


1

Hranol je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými podstavami, které mohou mít tvar libovolného n-úhelníku, a pláštěm, který tvoří n obecně různých obdélníků. Pozn.: Pokud n-úhelník tvořící podstavu má všechny strany stejně dlouhé, pak nazýváme hranol pravidelný. V tomto případě plášť tvoří shodné obdélníky. Pozn.: Pokud má hranol kteroukoliv boční hranu kolmou k rovině podstavy, nazýváme ho hranol kolmý. Budeme se zabývat v dalších výpočtech pouze komými hranoly. Důležité vzorce: S = 2.Sp + SQ V = SP . v

... SP je obsah podstavy, SQ je obsah pláště ... SP je obsah podstavy, v je výška tělesa

Uvedené vzorce musíme vždy konkretizovat pro konkrétní zadané těleso.

± Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady

5.4.2010 12:11:54


18 z 58

M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu 2D 1.

1

Je dána krychle o hraně 5,4 cm. Vypočtěte její tělesovou úhlopříčku.

886

Návod: Řešení:

a = 5,4 cm ut = ? -------------------------------ut = a.Ö3 ut = 5,4.Ö3 ut = 9,4 cm (přibližně) Výsledek: Tělesová úhlopříčka krychle má délku asi 9,4 cm. 2.

Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočtěte jeho objem.

888

Návod: Řešení:

a = 3 cm b = 4 cm v = 0,25 m = 25 cm V=? ---------------------------------V = Sp.v

V =

a.b .v 2 3

V = 150 cm Výsledek: Objem hranolu je 150 cm3. 3.

V akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 25 cm a 30 cm je 13,5 litru vody. Vypočtěte, do jaké výšky voda sahá.

887

Návod: Řešení:

a = 25 cm = 2,5 dm b = 30 cm = 3,0 dm 3 V = 13,5 l = 13,5 dm c=? --------------------------------V = a.b.c

c= Výsledek:

V a.b

c=

13,5 2,5.3,0

c = 1,8 dm = 18 cm Voda v akváriu sahá do výšky 18 cm.

± Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady 1.

Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočítejte jeho povrch. Výsledek: 312 cm2

5.4.2010 12:11:54


869

19 z 58


1

2.

Nádrž má obdélníkové dno. Délka strany a = 30 dm a úhlopříčky u = 5 m. Za jak dlouho se naplní do výšky 200 cm, je-li přítok 2 l za sekundu? Čas vyjádřete v hodinách a minutách. Výsledek: 3 h 20 min

3.

Z dřevěné válcové klády poloměru 15 cm a délky 5 m o hustotě 750 kg/m byl otesán trám o tloušťce 18 cm s největším možným obdélníkovým průřezem. Vypočítejte hmotnost trámu a počet % odpadlého materiálu. Výsledek: 162 kg, 39 %

874

4.

Hranol s kosočtverečnou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2 : 3. Vypočítejte objem hranolu. Výsledek: 18 720 cm3

876

5.

Kolik tun slámy lze v prostoru pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, kde 3 výška trojúhelníkového štítu je 350 cm, uskladnit, je-li hmotnost 1 m lisované slámy 100 kg a prostor je možno zaplnit pouze na 75 %? Výsledek: 15,75 t

885

6.

Silniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníka o základně 16 m a 10 m, 3 ramena délky 5 m. Kolik tun zeminy o hustotě 2 000 kg/m je v náspu o délce 1 km? Výsledek: 104 000 t

873

7.

Povrch kvádru je 1 008 cm . Šířka kvádru je o 20 % menší než jeho délka, výška kvádru je o 50 % větší než jeho délka. Vypočtěte objem kvádru. Výsledek: 2 074 cm3

878

8.

Těleso tvaru kvádru s podstavou obdélníka (24 cm, 12 cm) bylo naplněno vodou do výšky 20 cm. Vypočítejte objem tělesa ponořeného do vody, jestliže voda stoupne o 3 cm. Výsledek: 864 cm3

866

9.

Na obdélníkové zahradě o rozměrech 30 m a 16 m napršely 4 mm vody. desetilitrovým konvím toto množství odpovídá? Výsledek: 192

877

10.

Kolikrát se zvětší objem krychle s hranou 2 dm, jestliže bude hrana 3-krát větší? Výsledek: 27 krát

879

11.

Jaký objem má prostor pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, je-li výška trojúhelníkového štítu v = 350 cm? Výsledek: 210 m3

884

12.

Objem trojbokého kolmého hranolu je 1 248 cm . Jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník, který má rameno délky 13 cm a výšku na základnu 5 cm. Vypočtěte tělesovou výšku hranolu. Výsledek: 20,8 cm

3

2

5.4.2010 12:11:54

3


Kolika

870

882

20 z 58


1

13.

Hranol s kosočtvercovou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2 : 3. Vypočítejte objem a povrch hranolu. Výsledek: Objem 18 720 cm3; povrch 5 016 cm2

883

14.

Určete objem a povrch sloupu, který má podstavu tvaru kosočtverce s úhlopříčkami 60 cm a 144 cm. Výška sloupu je 2,5 m. Výsledek: Objem 1,08 m3; povrch 8,7 m2

881

15.

Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou 6 cm. 2 Obsah největší stěny pláště je 120 cm a výška hranolu je 12 cm. Vypočítejte objem tělesa. Výsledek: 288 cm3

875

16.

Rozměry kvádru jsou v poměru 2 : 3 : 6 . Jeho tělesová úhlopříčka má délku 14 cm. Určete jeho povrch a objem. Výsledek: Objem je 288 cm3, povrch je 288 cm2.

871

17.

Kvádr má rozměry a = 3 cm, b = 6 cm, c = 8 cm . stěnové úhlopříčky. Výsledek: 10 cm

Vypočtěte velikost největší

872

18.

Hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníka. Přepona tohoto trojúhelníka 3 měří 15 cm, jedna odvěsna 12 cm. Objem hranolu je 1,512 dm . Vypočítejte výšku hranolu a jeho povrch. Výsledek: Výška 28 cm, povrch 1 116 cm2

868

19.

Bazén má tvar kvádru, jeho dno je čtvercové. Délka strany čtverce je 25 m. V bazénu je 937 500 litrů vody. Do jaké výšky sahá voda? Výsledek: 1,5 m

880

20.

Nádoba tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou 56 cm byla naplněna po okraj vodou. Do nádoby bylo ponořeno těleso a přitom z nádoby vyteklo 7,5 litru vody. Po vyjmutí tělesa z nádoby poklesla hladina vody v nádobě o 12 cm. Vypočtěte, kolik litrů vody zbylo v nádobě. Výsledek: 27,5 l

867

± Stereometrie - válec

Válec

5.4.2010 12:11:54


21 z 58


1

Válec je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými kruhovými podstavami a pláštěm. Důležité vzorce: 2

S = 2p.r + 2p.r.v 2 S = p d /2 + p.d.v 2 V = p.r .v 2 V = p.d /4.v

S ... povrch tělesa; r ... poloměr podstavy, v ... výška tělesa d ... průměr podstavy V ... objem tělesa

Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. rotačním válcem, což je takový válec, který může rotovat kolem své osy, která prochází středy obou podstav. Síť válce tvoří obdélník (rozvinutý plášť) a dva kruhy.

± Válec - ukázkové příklady

5.4.2010 12:11:54


22 z 58


1

Na nátěr otevřeného sudu o průměru 60 cm a výšce 85 cm bylo spotřebováno 0,72 l 2 barvy. Kolik barvy je potřeba na 1 m , jestliže se sud natíral zvenku i zevnitř?

899

Návod: Řešení:

d = 60 cm = 6 dm v = 85 cm = 8,5 dm 3 V0 = 0,72 l = 0,72 dm V=? ---------------------------------Počítáme povrch válce bez jedné podstavy a výsledek musíme vzít dvakrát (dva nátěry): 2

S = pd /2 + 2p.d.v 2 S = 3,14.6 /2 + 2.3,14.6.8,5 = 376,8 2 2 S = 376,8 dm = 3,77 m (přibližně) V = V0/S V = 0,72 / 3,77 V = 0,191 l (přibližně) Výsledek: Na nátěr jednoho metru čtverečného sudu se spotřebuje přibližně 0,191 l barvy. 2.

900

Vypočtěte obsah podstavy válce o objemu 62,8 l a výšce 0,5 m. Návod: Řešení:

3

V = 62,8 l = 62,8 dm v = 0,5 m = 5 dm Sp = ? ----------------------------------------

V = Sp . v Sp = V / v Sp = 62,8 / 5 2 Sp = 12,56 dm Výsledek: Obsah podstavy válce je 12,56 dm2.

± Válec - procvičovací příklady 1.

Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Kolik celých litrů vody můžeme nejvýše nalít do nádoby? Výsledek: Do nádoby můžeme nalít maximálně 100 litrů vody.

891

2.

V nádrži tvaru válce o průměru 6 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaká je hloubka nádrže? Výsledek: Hloubka nádrže je 5 m.

894

3.

Při nátěru otevřeného sudu zvenku i zevnitř se spotřebuje 0,191 litru barvy na 1 m . Sud má poloměr 30 cm a výšku 85 cm. Kolik barvy se na nátěr sudu spotřebuje? Výsledek: Na nátěr sudu se spotřebuje 0,72 litru barvy.

2

895

5.4.2010 12:11:54


23 z 58


1

4.

Kolik litrů vody za sekundu může maximálně odvádět koryto, které má průřez půlkruh o poloměru 0,5 m , je-li rychlost proudu 80 cm za sekundu? Výsledek: Koryto může odvádět maximálně 314 litrů vody za sekundu.

890

5.

Kanystr tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 25 cm a výšce 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do válce o stejné výšce. Jaký průměr má válec, jestliže je také plný? Výsledek: Válec má průměr 28,2 cm.

893

6.

Kolik kilogramových plechovek ekologické barvy je třeba koupit k nátěru padesáti dvousetlitrových otevřených sudů na vodu, jejichž průměr je 60 cm? Výrobce udává, že 2 1 kg barvy vystačí na plochu o obsahu 5 m . Výsledek: Je zapotřebí 33 plechovek.

889

7.

Kanystr tvaru válce s průměrem 28,22 cm a výškou 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do jiného kanystru tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou jako má válec. Jaký je obsah podstavy kvádru, je-li po přelití vody také plný? Výsledek: Obsah podstavy kvádru je 625 cm2.

897

8.

V nádrži tvaru válce o poloměru 3 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaký je objem celé nádrže? Výsledek: 1 413 hl

898

9.

Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Do jaké výše naplníme nádobu vodou, chceme-li ji zaplnit ze 30% ? Výsledek: Nádobu naplníme do výše asi 0,6 dm.

892

10.

Vypočtěte výšku válce o objemu 62,8 litru, je-li obsah podstavy 12,56 dm . Výsledek: Výška válce je 5 dm.

2

896

± Stereometrie - jehlan

Jehlan

5.4.2010 12:11:54


24 z 58


1

Jehlan je prostorové těleso, které je tvořeno podstavou tvaru libovolného n-úhelníka a dále navíc jedním vrcholem, který nazýváme hlavní. U jehlanu, podobně jako u dalších prostorových těles, počítáme povrch a objem. V = Sp.v/3

S = Sp + SQ

Podstava je tvořena n-úhelníkem, plášť několika trojúhelníky, které mohou být i shodné. Shodné jsou tehdy, jestliže podstava je tvořena pravidelným n-úhelníkem. V tomto případě pak jehlan nazýváme pravidelný. Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. kolmými jehlany, což jsou takové, které mají výšku kolmou k podstavě. Jehlan, který má za podstavu trojúhelník, nazýváme čtyřstěn. Význam má hlavně pravidelný čtyřstěn, který má podstavu i všechny stěny pláště shodné.

± Jehlan - ukázkové příklady

5.4.2010 12:11:54


25 z 58


1

Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraně podstavy 8,4 m a výšce tělesa 6,5 m, stojí-li 1 kg barvy 63 Kč a z jednoho 2 kilogramu natřeme 12 m . Zaokrouhlete na stovky.

902

Návod: Řešení:

a = 8,4 m v = 6,5 m m0 = 1 kg c0 = 63 Kč 2 S0 = 12 m c=? -------------------------------------------Je zapotřebí spočítat obsah pláště, proto musíme nejprve spočítat stěnovou výšku

æaö va = v + ç ÷ è2ø

2

2

po dosazení dostáváme va = 7,74 m (přibližně) S = 4 . a.va/2 = 2a.va S = 2 . 8,4.7,74 2 S = 130 m (přibližně) c = S/S0.c0 c = 130/12.63 c = 682,5 Kč, což je přibližně 700 Kč Výsledek: Natření stříšky bude stát přibližně 700 Kč.

5.4.2010 12:11:54


26 z 58


1

Vypočtěte povrch a objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má všechny hrany stejně dlouhé, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 4 cm.

903

Návod: Řešení:

r = 4 cm a=h 3 V = ? [cm ] 2 S = ? [cm ] -----------------------------Poloměr kružnice opsané je vlastně polovina úhlopříčky čtverce, který tvoří podstavu Pro úhlopříčku platí: u = a . Ö2, zároveň u = 2 . r, proto u = 2 . 4 = 8 a = u/Ö2, tedy a = 8/Ö2 po výpočtu a zaokrouhlení: a = 5,66 cm Pokud známe hranu a, známe zároveň i hranu h, která je s ní shodná. Nyní si spočteme tělesovou výšku v a stěnovou výšku va:

v = 5,66 2 - 4 2

v = h2 - r 2 v = 4 cm (po zaokrouhlení) 2

2

æaö va = ç ÷ + v 2 è2ø

æ 5,66 ö 2 va = ç ÷ +4 è 2 ø

va = 4,9 cm (po zaokrouhlení) Nyní snadno spočítáme povrch a objem jehlanu:

S = a 2 + 4. 2

a.va = a 2 + 2.a.va 2

S = 5,66 + 2 . 5,66 . 4,9 = 87,5 (po zaokrouhlení) 2 S = 87,5 cm 3

V = 42,7 cm (po zaokrouhlení) Výsledek: Objem jehlanu je asi 42,7 cm3, povrch asi 87,5 cm2.

5.4.2010 12:11:54


27 z 58


1 3

Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 72,0 cm . Výška jehlanu se rovná délce podstavné hrany. Vypočítejte délku podstavné hrany a povrch jehlanu.

901

Návod: Řešení:

3

V = 72,0 cm v=a=? S=? --------------------------------------------V = Sp.v/3 3 V = a /3

a = 3 3V Po dosazení: a = 6 cm Stěnová výška va:

æaö va = v 2 + ç ÷ è2ø

2

Po dosazení: va = 6,71 cm (přibližně) Obsah jedné stěny: S1 = a.va/2 Obsah pláště: SQ = 4.S1 = 2.a.va Povrch jehlanu: Po dosazení:

2

S = SP + SQ = a + 2.a.va 2 S = 6 + 2.6.6,71 2 S = 116,5 cm (přibližně) Výsledek: Hrana jehlanu má délku 6 cm a povrch tělesa je 116,5 cm2.

± Jehlan - procvičovací příklady 1.

Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřstěnu s podstavou 2 o obsahu 20 m , stojí-li natření jednoho metru čtverečního 5,25 Kč? Výsledek: Natření střechy bude stát 315 Kč.

914

2.

Vypočtěte objem pravidelného osmibokého jehlanu, jestliže hrana podstavy má délku 3 cm a výška tělesa je 9 cm. Výsledek: Objem pravidelného osmibokého jehlanu je asi 130,3 cm3.

907

3.

Vypočti povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, má-li hranu podstavy 4 cm a pobočnou hranu dlouhou 15 cm. Výsledek: Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je asi 135 cm2.

911

4.

Ve čtyřbokém kolmém jehlanu jsou dány podstavné hrany a1 = 20 cm, a2 = 8 cm a tělesová výška v = 17 cm. Vypočtěte velikost pobočné hrany. Výsledek: Délka pobočné hrany je asi 20,1 cm.

904

5.4.2010 12:11:54


28 z 58


1

Vypočtěte objem pravidelného trojbokého jehlanu, je-li a = 17 cm, v = 35 cm. 3 Objem pravidelného trojbokého jehlanu je asi 1 460 cm .

909

6.

Vypočtěte objem čtyřbokého jehlanu s lichoběžníkovou podstavou, je-li a = 7 cm, c = 4 cm, va = 3 cm, v = 12 cm. Výsledek: Objem jehlanu s lichoběžníkovou podstavou je 66 cm3.

908

7.

Vypočtěte objem pravidelného šestibokého jehlanu, který má hranu podstavy dlouhou 6 cm a výšku tělesa dlouhou 8 cm. Výsledek: Objem jehlanu je asi 249,6 cm3.

916

8.

Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 10 cm, b = 8 cm a tělesová výška je 15 cm. Výsledek: Povrch jehlanu je 362 cm2.

915

9.

Vypočtěte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má boční hranu dvakrát delší než je hrana podstavy, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 6 cm. Výsledek: Objem čtyřbokého jehlanu je asi 381,5 cm3.

913

10.

Plášť pravidelného čtyřbokého jehlanu je čtyřikrát větší než podstava. Podstavná hrana má délku 1 dm. Určete tělesovou výšku jehlanu. Výsledek: Tělesová výška jehlanu je asi 1,94 dm.

905

11.

Pobočné hrany o délce 1 dm čtyřbokého jehlanu mají od obdélníkové podstavy 2 odchylku 58°34´. Obsah podstavy je 20 cm . Jak velká je tělesová výška jehlanu? Výsledek: Tělesová výška jehlanu je asi 8,53 cm.

906

12.

Žulový obelisk o výšce 18 m a stranou čtvercové podstavy 0,8 m se má ustavit na místo 3 jeřábem. Jakou minimální nosnost musí jeřáb mít? Hustota žuly se počítá 2 800 kg/m . Výsledek: Jeřáb musí mít minimální nosnost 11 tun.

910

13.

Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 16 cm, b = 12 cm, h = 20 cm, kde a, b jsou hrany podstavy a h je pobočná hrana. Výsledek: Povrch jehlanu je asi 714 cm2.

912

Výsledek:

± Jehlan komolý

Komolý jehlan Komolý jehlan je těleso, které vznikne z jehlanu klasického odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovými komolými jehlany, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou dolní podstavy jehlanu. Objem komolého jehlanu se vypočte tak, že sečteme obsahy obou podstav, k součtu připočteme druhou odmocninu součinu obsahů obou podstav a vzniklý výsledek vynásobíme jednou třetinou výšky jehlanu.

5.4.2010 12:11:54


29 z 58


1 V = v S1 + S 2 + S1.S 2 3

(

1

)

Povrch komolého jehlanu se vypočte jako součet obsahů obou podstav a obsahu pláště tělesa.

S = S1 + S2 + SQ Příklad 1:

Řešení:

5.4.2010 12:11:54


30 z 58


1

± Stereometrie - kužel

Kužel

Kužel je prostorové těleso, které je tvořeno jednou podstavou a pláštěm. Podstava má tvar kruhu, plášť, kdybychom ho rozvinuli do roviny, bude mít tvar kruhové výseče. r ... poloměr podstavy v ... výška kužele V ... hlavní vrchol s ... strana kužele Vzhledem k tomu, že výše zobrazený kužel může rotovat kolem své výšky, nazýváme tento typ kužele rotační kužel. Budeme se zabývat právě takovými kuželi. U kužele počítáme, podobně jako u dalších těles, povrch a objem. Pozn.: Někdy se také kužel definuje jako těleso, které vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné z jeho odvěsen. Důležité vzorce:

1 V = p .r 2 .v 3 2

S = p .r + p .r.s

5.4.2010 12:11:54

V=

1 p .d 2 .v 12

1 1 S = p .d 2 + p .d .s 4 2


31 z 58


S V d

... ... ...

1

povrch tělesa objem tělesa průměr podstavy

± Kužel - ukázkové příklady 1.

Plechová stříška tvaru kužele má průměr podstavy 80 cm a výšku 60 cm. Vypočtěte 2 spotřebu barvy na natření této stříšky, spotřebuje-li se 1 kg barvy na 6 m plechu.

919

Návod: Řešení:

d = 80 cm v = 60 cm m0 = 1 kg 2 S0 = 6 m m = ? [kg] --------------------------------------------------------Natíráme pouze plášť kužele, proto S = p d.s/2 (1) Neznáme s, proto ho spočítáme pomocí Pythagorovy věty: 2

s=

æd ö v2 + ç ÷ è2ø

s=

æ 80 ö 60 2 + ç ÷ è 2 ø

2

s = 72,11 (po zaokrouhlení) Dosadíme do (1): S = 3,14 . 80 . 72,11/2 2 2 S = 9057 cm = 0,91 m (po zaokrouhlení) 2

1 kg ... 6m 2 m [kg] ... 0,91 m --------------------------------------Jedná se o přímou úměrnost, proto m = 1 . 0,91/6 m = 0,152 kg (o zaokrouhlení) Výsledek: Na natření stříšky je zapotřebí asi 0,152 kg barvy. 2.

3

Objem kužele je 12 cm , jeho výška je 4 cm. Jaký je obsah podstavy kužele?

917

Návod: Řešení:

3

V = 12 cm v = 4 cm 2 Sp = ? [cm ] ----------------------------------------

V =

1 Sp.v 3

Sp=3V/v Sp = 3.12/4 2 Sp= 9 cm Výsledek: Obsah podstavy kužele je 9 cm2.

5.4.2010 12:11:54


32 z 58


1

Jak velký objem by měl kužel, který by vznikl rotací rovnoramenného trojúhelníku s úhlem při základně 25° a ramenem délky 0,75 m?

918

Návod: Řešení:

Obrázek je jen ilustrační Výška tělesa je tedy zároveň výškou trojúhelníka. a = 25° s = 0,75 m 3 V = ? [m ] ---------------------------------------------sin a = v/s v = s . sin a v = 0,75 . sin 25° v = 0,75 . 0,4226 v = 0,316 95 m = 0,32 m (po zaokrouhlení) cos a = r/s r = s . cos a r = 0,75 . cos 25° r = 0,75 . 0,9063 r = 0,679 725 m = 0,68 (po zaokrouhlení) 2

V = p r v/3 2 V = 3,14.0,68 .0,32/3 3 V = 0,155 m (po zaokrouhlení) 3 V = 155 dm Výsledek: Objem kužele je 155 dm3.

± Kužel - procvičovací příklady 1.

Vypočti povrch kužele, je-li jeho výška 15 cm a strana 17 cm. Výsledek: Povrch kužele je 628 cm2.

931

2.

Vypočti objem kužele s průměrem podstavy 32 cm a výškou tělesa 0,5 m. Výsledek: Objem kužele je 13 397 cm3.

923

3.

Nálevka na 1 litr má tvar kužele s poloměrem podstavy 10 cm. Jaká je výška nálevky? Výsledek: Výška nálevky je asi 9,6 cm.

920

5.4.2010 12:11:54


33 z 58


1 922

Vypočti objem kužele o poloměru podstavy 35 cm, je-li výška tělesa rovna 19 cm. 3 Objem kužele je 24 361 cm .

Výsledek:

3

5.

Kužel má objem 1 441 cm a výšku 17 cm. Vypočti poloměr podstavy tohoto kužele. Výsledek: Poloměr podstavy kužele je 9 cm.

6.

Kužel má objem 83,7 cm a průměr podstavy 8 cm. Vypočti výšku tělesa. Výsledek: Výška kužele je 5 cm.

925

7.

Vypočti povrch kužele, jehož strana je 10 cm a průměr podstavy je 10 cm. Výsledek: Povrch kužele je 235,5 cm2.

929

8.

Nádobka tvaru kužele o poloměru podstavy 20 cm a výšce 36 cm byla zcela naplněna vodou. Voda byla přelita do nádoby tvaru válce o poloměru podstavy 12 cm. Jak vysoko byla voda v nádobě tvaru válce? Výsledek: Voda v nádobě tvaru válce sahala do výšky asi 33,3 cm.

933

Vypočti povrch kužele, který má výšku 16 cm a poloměr podstavy 0,3 m. 2 Povrch kužele je 6 029 cm .

930

9.

924

3

Výsledek:

10.

Rotační kužel má obsah podstavy 28,26 cm a objem celého tělesa je 131,88 cm . Určete jeho výšku. Výsledek: Výška kužele je 14 cm.

2

3

926

11.

Vypočti objem kužele, který má průměr podstavy roven výšce tělesa. Poloměr podstavy kužele je 7 cm. Výsledek: Objem kužele je 718 cm3.

921

12.

V závodě na výrobu nápojového skla vyrábějí dva typy skleniček ve tvaru kužele. První typ o průměru 9 cm s výškou 6,5 cm a druhý typ o průměru 6 cm s výškou 14,5 cm. Která sklenička má větší objem? Vejdou se do některé z nich 2 dl nápoje? Výsledek: Větší objem má sklenička 1. typu; 2 dl nápoje se ale nevejdou do žádné skleničky.

928

13.

Nádoba tvaru kužele s průměrem dna 60 cm a stranou délky 50 cm je zcela naplněna vodou. Vodu přelijeme do nádoby, která má tvar válce o poloměru dna 30 cm a výšce 20 cm. Kolik litrů vody je třeba do nádoby tvaru válce dolít, aby byla zcela naplněna? Výsledek: Do nádoby musíme dolít asi 18,8 litru vody.

932

14.

Kolik metrů krychlových je uloženo na hromadě tvaru kužele, je-li výška hromady 2,6 m a největší šířka hromady 7 m? Výsledek: Na hromadě je uloženo asi 33,3 m3 písku.

927

± Kužel komolý

Komolý kužel Komolý kužel je těleso, které vznikne z klasického rotačního kužele odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovým kuželem, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou spodní podstavy

5.4.2010 12:11:54


34 z 58


1

kužele. Objem komolého kužele se vypočte jako jedna třetina součinu výšky kužele a Ludolfova čísla, násobená součtem druhé mocniny poloměru spodní podstavy, druhé mocniny poloměru horní podstavy a součinu obou poloměrů.

Povrch komolého kužele je roven součtu obsahů obou kruhových podstav a obsahu pláště komolého kužele.

S = S1 + S 2 + SQ

Příklad 1:

Řešení:

Příklad 2:

5.4.2010 12:11:54


35 z 58


1

Řešení:

± Stereometrie - koule

Koule Koule je prostorové těleso. Jedná se o těleso, které je tvořeno body, jež mají od jediného pevně zvoleného bodu vzdálenost menší nebo rovnu poloměru. U koule počítáme opět povrch nebo objem.

d

...

Povrch koule:

průměr koule 2

S = p .d

Objem koule:

5.4.2010 12:11:54


36 z 58


1

1 V = .p .d 3 6 ± Koule - ukázkové příklady 1.

Kolik metrů čtverečních materiálu bylo vzduchoplavce, jestliže měl poloměr 2,5 m?

potřeba

na

zhotovení

balonu

pro

1448

Návod: Řešení:

r = 2,5 m 2 S = ? [m ] --------------------------2 2 S = 4.p.r = 4 . 3,14 . 2,5 2 S = 78,5 m Výsledek: Na zhotovení balonu bylo zapotřebí 78,5 m2 materiálu. 2.

1447

Vypočti objem koule o průměru 75 cm. Návod: Řešení:

d = 75 cm 3 V = ? [cm ] ---------------------------

1 1 V = .p .d 3 = .3,14.753 6 63 3

Výsledek:

V = 220 781,25 cm = 0,22 m (po zaokrouhlení) 3 Objem koule je asi 0,22 m .

± Koule - procvičovací příklady 1.

Vypočti povrch koule o poloměru 0,7 m. Výsledek: Povrch koule je asi 6,2 m2.

1436

2.

Vypočti objem koule o poloměru 52 cm. Výsledek: Objem koule je 589 dm3.

1434

3.

Na nafukovací plážový míč se spotřebovalo 1,2 m materiálu, ze kterého 30 % činil odpad. Jak velký průměr má míč? Výsledek: Míč má průměr asi 0,52 m.

1445

Vypočti poloměr koule, jejíž objem je 1 litr. Koule má poloměr asi 6,2 cm.

1439

4.

2

Výsledek:

5.

3

Vypočti povrch koule, která má objem 874 cm . Výsledek: Povrch koule je asi 442 cm2.

5.4.2010 12:11:54


1440

37 z 58


1

Vypočti povrch koule o poloměru 2 m. 2 Povrch koule je asi 50,2 m .

1437

Vypočti povrch koule o průměru 45 cm. 2 Povrch koule je asi 63,6 dm .

1438

Výsledek:

7.

Výsledek:

2

8.

Vypočti objem koule, je-li její povrch 450 cm . Výsledek: Objem koule je asi 898 cm3.

1441

9.

Kolik litrů vody se vejde do akvária tvaru koule, mají-li být vodou zaplněny čtyři pětiny objemu celé koule o průměru 0,5 m? Výsledek: Do akvária se vejde asi 52,3 litru vody.

1442

10.

Jaký průměr má kovová kulička, jestliže po vhození do válcové nádoby o průměru 3 cm naplněné vodou hladina stoupne o 1 mm? Výsledek: Kovová kulička má průměr asi 11 mm.

1443

11.

Jaký poloměr musí mít pouzdro tvaru koule, aby se do něho vešla krychle o hraně 10 cm a byla pevně uložena? Výsledek: Pouzdro musí mít poloměr asi 8,66 cm.

1446

Vypočti objem koule o poloměru 0,4 m. 3 Objem koule je 268 dm .

1435

Kolik olověných kuliček o průměru 18 mm se odlije z 1 kg materiálu o hustotě 10 600 3 kg/m ? Výsledek: Z uvedeného materiálu odlijeme asi 31 kuliček.

1444

12.

Výsledek:

13.

± Složitější příklady ze stereometrie 1.

2430

Výsledek:

3

15 268 cm

2.

2418

Výsledek:

3

540 cm

3.

2425

Výsledek:

5.4.2010 12:11:54

3,7 cm


38 z 58


1

4.

2419 Výsledek:

3

17 368 cm

5.

2417

Výsledek:

3

670 cm

6.

2415 Výsledek:

1,38

7.

2423

Výsledek:

3

62,3 cm

8.

2432 Výsledek:

45,2 %

9.

2424

Výsledek:

2

3

S = 218 cm , V = 188,6 cm

10.

2429 Výsledek:

3

25,5 cm

11.

2420

Výsledek:

3

V = 4,032 dm

12.

2426

Výsledek:

106°

13.

2431 Výsledek:

3

46,8 cm

14.

2427

Výsledek:

5.4.2010 12:11:54

m1 = 2 kg, m2 = 14 kg, m3 = 38 kg


39 z 58


1

15.

2414

Výsledek:

12

16.

2421

Výsledek:

10 cm

17.

2428

Výsledek:

3

420 cm

18.

2422

Výsledek:

3

250 cm

19.

2416

Výsledek:

4 cm, 6 cm 12 cm

± Náročnější příklady ze stereometrie

5.4.2010 12:11:54


40 z 58


1

Vypočítejte povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstavná hrana měří 4 cm. Odchylka boční hrany od roviny podstavy je 60 stupňů.

2373

Návod: Řešení:

a = 4 cm j = 60° 2 S = ? [cm ] -------------------------

v = BS .tgj =

a. 2 .tgj 2 2

2 é a. 2 ù æ a ö2 æaö va = v + ç ÷ = ê tgj ú + ç ÷ = è2ø ë 2 û è2ø a = . 2tg 2j + 1 2 a.v a S = a 2 + 4. a = a 2 + 2a. . 2tg 2j + 1 = 2 2 2

(

= a 2 + a 2 . 2tg 2j + 1 = a 2 . 1 + 2tg 2j + 1 Po dosazení:

)

)

(

S = 4 2. 1 + 2tg 2 60o + 1 = 58,33 2

S = 58,33 cm (po zaokrouhlení) 2

Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je 58,33 cm . Výsledek: 58,33 cm2

5.4.2010 12:11:54


41 z 58


1 2

Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li obsah podstavy 20 cm . Odchylka boční stěny od roviny podstavy je 60 stupňů.

2374

Návod: Řešení:

2

Sp = 20 cm j = 60° 3 V = ? [cm ] --------------------------

a = Sp

Sp a v = .tgj = .tgj 2 2 Sp 1 1 V = .S p . .tgj = S p . S p .tgj 3 2 6 Po dosazení:

1 V = .20. 20 .tg 60o = 25,82 6 3

V = 25,82 cm (po zaokrouhlení) 3

Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 25,82 cm . Výsledek: 25,82 cm3

5.4.2010 12:11:54


42 z 58


1

Pravidelný komolý čtyřboký jehlan má podstavné hrany délek 6 cm a 4 cm. Boční hrana svírá s rovinou podstavy úhel 60 stupňů. Vypočítejte povrch komolého jehlanu.

2377

Návod: Řešení:

a = 6 cm b = 4 cm j = 60° 2 S = ? [cm ] -----------------------

æ 2 2ö 2 ÷.tgj = (a - b )tgj v = çç a. - b. ÷ 2 ø 2 è 2 2

æ a -bö 2 va = ç ÷ +v è 2 ø 2

2 ù æ a -bö é 2 (a - b )tgj ú = va = ç ÷ +ê è 2 ø ë 2 û a -b = 1 + 2tg 2j 2 a+b S = a 2 + b 2 + 4. .va = a 2 + b 2 + 2(a + b )va = 2 a -b = a 2 + b 2 + 2(a + b ). . 1 + 2tg 2j = 2

(

)

(

)

= a 2 + b 2 + a 2 - b 2 . 1 + 2tg 2j Po dosazení:

S = 6 2 + 4 2 + 6 2 - 4 2 . 1 + 2tg 2 60o = 104,9 2


Povrch pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu je asi 104,9 cm . Výsledek: 104,9 cm2

5.4.2010 12:11:54


43 z 58


1

Vypočítejte objem rotačního kužele, jestliže rozvinutý plášť je kruhová výseč s poloměrem 3 cm a se středovým úhlem 120 stupňů.

2383

Návod:

5.4.2010 12:11:54


44 z 58


1

Řešení:

s = 3 cm j = 120° 3 V = ? [cm ] ---------------------------Obsah kruhové výseče (= povrch pláště kužele):

p .s 2 .j S1 = 360 Délka kruhového oblouku (= obvod podstavy kužele):

l=

p .s.j 180

l = 2.p .r p .s.j l s.j r= = 180 = 2p 2p 360 1 V = p .r 2 .v 3 æ s.j ö v = s -r = s -ç ÷ è 360 ø 2

2

2

2

2

2

1 æ s.j ö p .s 3j 2 j2 æ s.j ö 2 V = .p .ç 1= ÷ . s -ç ÷ = 3 è 360 ø 3.360 2 129600 è 360 ø p .s 3j 2 = . 129600 - j 2 3 3.360 Po dosazení:

p .33.120 2 V= . 129600 - 120 2 = 2,96 3 3.360 3

V = 2,96 cm (po zaokrouhlení)

5.4.2010 12:11:54


45 z 58


1 3

Výsledek:

5.4.2010 12:11:54

Objem rotačního kužele je asi 2,96 cm . 3 2,96 cm


46 z 58


1

Vypočítejte povrch rotačního kužele o výšce 10 cm, jehož strana má od roviny podstavy odchylku 30 stupňů.

2380

Návod: Řešení:

v = 10 cm j = 30° 2 S = ? [cm ] --------------------------

v tgj v s= sin j

r=

2

æ v ö æ v ö v ÷÷ + p .çç ÷÷. S = p .r + p .r.s = p .çç = è tgj ø è tgj ø sin j æ 1 ö 1 ÷÷ = p .v 2 .çç 2 + tg j tg j . sin j è ø 2

Po dosazení:

æ 1 ö 1 ÷ = 2030,76 S = p .10 2.çç 2 o + o o ÷ è tg 30 tg 30 . sin 30 ø 2

S = 2 030,8 cm (po zaokrouhlení) 2

Povrch rotačního kužele je asi 2 030,8 cm . Výsledek:

5.4.2010 12:11:54

2

2 030,8 cm


47 z 58


1

Pravidelný komolý čtyřboký jehlan má podstavné hrany délek 6 cm a 4 cm. Boční hrana svírá s rovinou podstavy úhel 60 stupňů. Vypočítejte objemkomolého jehlanu.

2376

Návod: Řešení:

a = 6 cm b = 4 cm j = 60° 3 V = ? [cm ] -----------------------

1 V = v S1 + S 2 + S1S 2 3

(

)

æ 2 2ö 2 ÷.tgj = (a - b )tgj v = çç a. - b. ÷ 2 ø 2 è 2 1 2 (a - b )tgj. a 2 + b 2 + a 2 .b 2 = V= . 3 2 1 = 2 (a - b ). a 2 + b 2 + a 2 .b 2 .tgj 6

)

(

)

(

Po dosazení:

)

(

1 V = . 2 (6 - 4 ). 6 2 + 4 2 + 6 2.4 2 .tg 60o = 62,05 6 3

V = 62,05 cm ( po zaokrouhlení) 3

Objem pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu je asi 62,05 cm . Výsledek: 62,05 cm3

5.4.2010 12:11:54


48 z 58


1

Vypočítejte objemrotačního kužele o výšce 10 cm, jehož strana má od roviny podstavy odchylku 30 stupňů.

2381

Návod: Řešení:

v = 10 cm j = 30° 3 V = ? [cm ] --------------------------

r=

v tgj 2

1 1 æ v ö 1 p .v 3 ÷÷ v = . 2 V = p .r 2 .v = p çç 3 3 è tgj ø 3 tg j Po dosazení:

1 p .103 V = . 2 o = 3142 3 tg 30 3

V = 3 142 cm (po zaokrouhlení) 3

Objem rotačního kužele je asi 3 142 cm . Výsledek: 3 142 cm3

5.4.2010 12:11:54


49 z 58


1

Určete poloměr rovnostranného válce o objemu 1 litr.

2385

Návod: Řešení:

3

V = 1 litr = 1 000 cm v = 2r r = ? [cm] -------------------------------

V = p .r 2 .v = p .r 2 .2r = 2.p .r 3 V r=3 2p Po dosazení:

r=3

1000 = 5,42 2p

r = 5,42 cm (po zaokrouhlení) Válec má tedy poloměr asi 5,42 cm.

Výsledek:

5.4.2010 12:11:54


50 z 58


1

Vypočítejte poloměr podstavy rotačního kužele, jestliže rozvinutý plášť je kruhová výseč s poloměrem 3 cm a se středovým úhlem 120 stupňů.

2382

Návod: Řešení:

s = 3 cm j = 120° r = ? [cm] ---------------------------Obsah kruhové výseče (= povrch pláště kužele):

p .s 2 .j S1 = 360 Délka kruhového oblouku (= obvod podstavy kužele):

l=

p .s.j 180

l = 2.p .r p .s.j l s.j r= = 180 = 2p 2p 360 Po dosazení:

r=

3.120 =1 360

r = 1 cm

Výsledek:

5.4.2010 12:11:54

Poloměr podstavy rotačního kužele je 1 cm. 1 cm


51 z 58


1

Osovým řezem válce je obdélník s úhlopříčkou délky 20 cm. Výška válce je dvakrát větší než průměr podstavy. Vypočítejte objem válce v litrech.

2384

Návod: Řešení:

u = 20 cm v = 2d = 4r 3 V = ? [cm ] ----------------------------

u 2 = v 2 + d 2 = (4r ) + (2r ) = 16r 2 + 4r 2 = 20r 2 2

2

u2 u u. 5 r= = = 20 2 5 10 v = 4u.

5 2u 5 = 10 5 2

æ u. 5 ö 2u 5 1 3 ÷ . V = p .r .v = p .çç = p . u 5 ÷ 10 5 50 è ø 2

Po dosazení:

V=

1 p .203 5 = 1124 50 3

V = 1 124 cm (po zaokrouhlení) V = 1,1 litrů (po zaokrouhlení)

Výsledek:

5.4.2010 12:11:54

Objem válce je asi 1,1 litru. 1,1 litru


52 z 58


1

Pravidelný trojboký hranol, jehož všechny hrany jsou si rovny, má povrch S = 4 530 2 cm . Určete objem tělesa.

2371

Návod: Řešení:

2

S = 4 530 cm 3 V = ? [cm ]

-----------------------------------

3 2 2 + 3.a.a = a . 3 + 3a 2 = a 2 .æç 3 + 3 ö÷ ç 2 ÷ 2 2 è ø

a.a. S = 2.

Ze vzorce pro povrch vyjádříme a:

a=

S = 3 +3 2

2S 3+6

Po dosazení dostaneme (po zaokrouhlení):

a=

2.4530 = 34,23cm 3+6

V = Sp . v

3 3 2 .a = a . 3 2 4

a.a. V=

Dosadíme do připraveného vzorce pro objem:

V=

34,233. 3 = 17367 4 3

3

V = 17 367 cm = 17,4 dm (po zaokrouhlení) 3

Objem hranolu je tedy přibližně 17,4 dm . Výsledek: 17,4 dm3

5.4.2010 12:11:54


53 z 58


1 2

Vypočítejte povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li obsah podstavy 20 cm . Odchylka boční stěny od roviny podstavy je 60 stupňů.

2375

Návod: Řešení:

2

Sp = 20 cm j = 60° 2 S = ? [cm ] --------------------------

a = Sp a Sp va = 2 = cos j 2 cos j Sp 1 S = S p + 4. .a.va = S p + 2. S p . = 2 2 cos j æ 1 ö ÷÷ = S p .çç1 + è cos j ø Po dosazení:

1 ö æ S = 20.ç1 + = 60 o ÷ è cos 60 ø 2

S = 60 cm

2

Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je 60 cm . Výsledek: 60 cm2

5.4.2010 12:11:54


54 z 58


1

Délky hran kvádru ABCDEFGH jsou a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Vypočítejte objemtrojbokého jehlanu ADEC.

2379

Návod: Řešení:

a = 3 cm b = 4 cm c = 5 cm 3 V = ? [cm ] --------------------------

1 V = S p .v 3 1 b.c 1 V= .a = a.b.c 3 2 6 Po dosazení:

1 V = .3.4.5 = 10 6 3

V = 10 cm

3

Objem trojbokého jehlanu je 10 cm . Výsledek: 10 cm3

5.4.2010 12:11:54


55 z 58


1

Délky hran kvádru ABCDEFGH jsou a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Vypočítejte povrch trojbokého jehlanu ADEC.

2378

Návod: Řešení:

a = 3 cm b = 4 cm c = 5 cm 3 V = ? [cm ] 2 S = ? [cm ] --------------------------

S = S ADE + S ADC + S EDC + S ACE b.c a.b a. b 2 + c 2 c. a 2 + b 2 S= + + + = 2 2 2 2 1 = bc + ab + a. b 2 + c 2 + c a 2 + b 2 2

)

(

Po dosazení:

S=

)

(

1 4.5 + 3.4 + 3. 4 2 + 52 + 5. 32 + 4 2 = 38,1 2 2


Povrch trojbokého jehlanu je asi 38,1 cm . Výsledek:

5.4.2010 12:11:54

2

38,1 cm


56 z 58


1

Určete výšku rovnostranného válce o objemu 1 litr.

2386

Návod: Řešení:

3

V = 1 litr = 1 000 cm v = 2r = ? [cm] -------------------------------

V = p .r 2 .v = p .r 2 .2r = 2.p .r 3 V r=3 2p v = 2r

v = 2.3

V 2p

Po dosazení:

v = 2.3

1000 = 10,84 2p

v = 10,84 cm (po zaokrouhlení) Válec má tedy výšku asi 10,84 cm.

5.4.2010 12:11:54


57 z 58


1

Výsledek:

16.

Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstavná hrana měří 4 cm. Odchylka boční hrany od roviny podstavy je 60 stupňů.

2372

Návod: Řešení:

a = 4 cm j = 60° 3 V = ? [cm ] -------------------------

v = BS .tgj =

a. 2 .tgj 2

1 a. 2 1 V = a2. .tgj = a 3 . 2 .tgj 3 2 6 Po dosazení:

1 V = .43. 2 .tg 60o = 26,13 6 3

V = 26,13 cm (po zaokrouhlení) 3 Objem jehlanu je přibližně 26,13 cm . Výsledek: 26,13 cm3

5.4.2010 12:11:54


58 z 58


1

Obsah Komplexní čísla Komplexní čísla - procvičovací příklady Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Kvadratické rovnice v oboru C - procvičovací příklady Stereometrie - Vzájemná poloha Stereometrie - krychle, kvádr, hranol Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady Stereometrie - válec Válec - ukázkové příklady Válec - procvičovací příklady Stereometrie - jehlan Jehlan - ukázkové příklady Jehlan - procvičovací příklady Jehlan komolý Stereometrie - kužel Kužel - ukázkové příklady Kužel - procvičovací příklady Kužel komolý Stereometrie - koule Koule - ukázkové příklady Koule - procvičovací příklady Složitější příklady ze stereometrie Náročnější příklady ze stereometrie

5.4.2010 12:11:54


1 9 13 14 15 16 18 19 21 22 23 24 25 28 29 31 32 33 34 36 37 37 38 40

M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu 2D

Recommend Documents