M - Příprava na 1. zápočtový test pro třídy 2KŘA, 2KŘB

M - Příprava na 1. zápočtový test pro třídy 2KŘA, 2KŘB

Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.


1

± Planimetrie

Planimetrie Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie).

Základní geometrické prvky a útvary: Bod - nejmenší geometrický útvar Znázorňujeme:

Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB) Znázorňujeme:

Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme:

Zapisujeme: ®AB Úsečka: Znázorňujeme:

Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme |AB| = 20 cm Pozn.: Platí, že ®AB ¹ ®BA Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme:

nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pC Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. 13.2.2010 22:19:46

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 45


1

Zapisujeme: ®ABC nebo ®pC Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme:

Zapisujeme: Úhel může být: nulový (velikost 0°)

=a

•

•

kosý (velikost 0° < a < 180°)

•

pravý (velikost 90°)

13.2.2010 22:19:46


2 z 45


•

přímý (velikost 180°)

•

plný (velikost 360°)

1

Jiné dělení: úhel konvexní (velikost 0° < a < 180°)

•

•

úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180° < a < 360°)

Dvojice úhlů v rovině: 1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost)

13.2.2010 22:19:46


3 z 45


1

2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180°)

3. Dvojice úhlů souhlasných nebo střídavých (mají stejnou velikost)

4. Dvojice úhlů výplňkových

13.2.2010 22:19:46


4 z 45


1

5. Dvojice úhlů doplňkových

6. Dvojice úhlů styčných

Rovinné útvary I. Trojúhelník Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly. Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180°. Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180°. Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší než strana třetí).

• • • •

• •

Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů. Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá orthocentrum.

13.2.2010 22:19:46


5 z 45


•

•

• • • • • •

1

Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu.

Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost.

Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran. obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.va obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sing pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec:

13.2.2010 22:19:46


6 z 45


1

S = s.( s - a ).( s - b).( s - c) s=

a+b+c 2

Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků: A. Obecný trojúhelník nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedené

•

B. Ostroúhlý trojúhelník

•

trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostré C. Pravoúhlý trojúhelník

13.2.2010 22:19:46


7 z 45


• • • • • • •

1

trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90° a zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45°. u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany odvěsny u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z Thaletovy věty pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S = (1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami 2 2 2 v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c = a + b (při označení přepony písmenem c) v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce:

protilehlá a přilehlá b = cos a = = přepona c přepona c přilehlá b protilehlá a cotga = = tga = = protilehlá a přilehlá b

sin a =

D. Tupoúhlý trojúhelník

• •

má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrum E. Rovnoramenný trojúhelník

13.2.2010 22:19:46


8 z 45


1

• • • • • • • • •

má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna vnitřní úhly při základně jsou shodné trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí na ose souměrnosti leží i těžiště rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + c F. Rovnostranný trojúhelník

• • • • • • • •

má všechny strany stejně dlouhé má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60° má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120° je osově souměrný - má tři osy souměrnosti střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm výšky jsou zároveň i těžnice obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a výška se vypočte podle vzorce v = a.Ö3/2

II. Čtyřúhelník A. Obecný čtyřúhelník

13.2.2010 22:19:46


9 z 45


1

• • •

má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky |AC| = e, |BD| = f součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360° Pozn.: Různoběžník

B. Rovnoběžník

• • • • • • •

čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a . va každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180° úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček a) čtverec

• • • • • • • 13.2.2010 22:19:46

má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90° úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky) obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a 2 2 obsah se vypočte podle vzorce S = a nebo také S = u /2 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

10 z 45


1

•

úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.Ö2 b) obdélník

• • • • • • • • •

má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má všechny vnitřní úhly pravé úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané je středově souměrný podle středu úhlopříček je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah se vypočte podle vzorce S = a.b pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova věta c) kosočtverec

• • • • • • • • •

má všechny strany stejně dlouhé každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180° úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a.vanebo také S = u1.u2/2 lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříček d) kosodélník

13.2.2010 22:19:46


11 z 45


1

• • • • •

má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má každé dva protější vnitřní úhly shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180° úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček C. Lichoběžník

• • • S=

čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné; rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce

(a + c ).v 2 a) rovnoramenný lichoběžník

• • • • •

má obě ramena shodná má oba vnitřní úhly při každé základně shodné úhlopříčky jsou shodné je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základen lze mu opsat kružnici b) pravoúhlý lichoběžník

13.2.2010 22:19:46


12 z 45


• •

1

má právě dva vniřní úhly pravé jedno rameno je kolmé k oběma základnám

D. Deltoid

• • • • • •

má dvě a dvě strany shodné úhlopříčky jsou na sebe kolmé nestejně dlouhé strany svírají stejné úhly je osově souměrný - má 1 osu souměrnosti obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah se vypočte podle vzorce S = e . f / 2

Jiné dělení a) Čtyřúhelník konvexní

b) Čtyřúhelník nekonvexní

13.2.2010 22:19:46


13 z 45


1

III. Pravidelný pětiúhelník

• • •

má všechny strany shodné má všechny vnitřní úhly shodné postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD najdeme střed K úsečky SB sestrojíme úsečku KC obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka

• • • • •

IV. Pravidelný šestiúhelník

• • • • • • •

má všechny stany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má 6 os souměrnosti sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných rovnostranných trojúhelníků každý vnitřní úhel má velikost 120° lze opsat i vepsat kružnici postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici zvolíme libovolný bod A z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného šestiúhelníka

• • •

V. Pravidelný osmiúhelník

• • • •

má všechny strany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti lze opsat i vepsat kružnici

VI. Kruh, kružnice a jejich části Základní pojmy:

13.2.2010 22:19:46


14 z 45


1

Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(S; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r. Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice. Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí.

Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d.

Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh: 1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice (nesečnou).

2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou.

13.2.2010 22:19:46


15 z 45


1

Tečna je vždy kolmá na poloměr. 3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou.

Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr. Osa tětivy vždy prochází středem kružnice.

Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového. Kružnice Pro výpočet délky kružnice platí vzorce: l = 2.p.r nebo l = p.d Kruh Pro výpočet obvodu kruhu platí vzorce: o = 2.p.r nebo o = p.d Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce: 2 2 S = p.r nebo S = p.d /4 Kruhový oblouk

13.2.2010 22:19:46


16 z 45


1

Pro délku kruhového oblouku a platí:

a=

p .r .a 180

a= nebo

p .d .a 360

Soustředné kružnice Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stejný střed, ale různý poloměr.

Kruhová výseč Jedná se o rovinný útvar.

Pro obsah kruhové výseče S platí:

S=

p .r 2 .a 360

nebo

S=

p .d 2 .a 1440

Kruhová úseč Jedná se opět o rovinný útvar.

13.2.2010 22:19:46


17 z 45


1

Mezikruží Rovinný útvar.

Obsah mezikruží: S = p . (r22 - r12)

± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 1.

701 Výsledek:

5 cm

2.

789

Výsledek:

75°

3.

732

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

Ne


18 z 45

M - Příprava na 1. zápočtový test pro třídy 2KŘA, 2KŘB 4.

1 767

Výsledek:

1/2

5.

721

Výsledek:

6.

743 Výsledek:

7.

764

Výsledek:

40,2 m

2

8.

810

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

16 trojúhelníků


19 z 45


1 801

Výsledek:

9,18 cm

10.

708 Výsledek:

11.

705

Výsledek:

50°

12.

796

Výsledek:

13.

807 Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

155°, resp. 205°


20 z 45


1 746

Výsledek:

v = 5,00 cm 15.

745

Výsledek:

16.

729 Výsledek:

17.

816

Výsledek:

193 m

18.

744 Výsledek:

2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cm

19.

761

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

2

414 m


21 z 45


784 Výsledek:

2

56,25 cm

21.

762

Výsledek:

5 cm

22.

724 Výsledek:

23.

1

0,35 m

A, B, C, D jsou vrcholy čtverce o straně a = 4 cm, k(A; 2 cm), l(B; 2 cm), m(C; 2 cm), n(D; 2 cm). Vypočítejte obvod a obsah tučně vytaženého útvaru.

Výsledek:

712

2

53,7 cm

24.

774

Výsledek:

6

25.

792 Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

4 cm


22 z 45


1 787

Výsledek:

b)

27.

812

Výsledek:

28.

814

Výsledek:

29.

800

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

2

19 cm


23 z 45


1 704

Výsledek:

120°

31.

734 Výsledek:

2

6,075 cm

32.

709

Výsledek:

33.

717

Výsledek:

34.

756

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46


24 z 45


1 715

Výsledek:

30 m

36.

785

Výsledek:

2

700 m ; 160 m

37.

736

Výsledek:

38.

730 Výsledek:

30 cm

39.

805

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46


25 z 45


1 790

Výsledek:

15

41.

768

Výsledek:

Zmenšení obsahu o 20 % Zmenšení obvodu o 11,11 %

42.

755

Výsledek:

27 obdélníků

43.

722

Výsledek:

88 cm

44.

749

Výsledek:

2

3 200 m

45.

794

Výsledek:

2

o = 24 cm; S = 41,6 cm

46.

788

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

2

3350 m


26 z 45


1

47.

783

Výsledek:

48.

720

Výsledek:

,

,

49.

798

Výsledek:

65,1 %

50.

714

Výsledek:

7,5 ha

51.

818 Výsledek:

2

249 cm

52.

806 Výsledek:

2

204 cm

53.

791 Výsledek:

54.

719 Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

2

2 400 cm


27 z 45


1 817

Výsledek:

56.

778

Výsledek:

2

54 cm

57.

763 Výsledek:

2

977 m

58.

809

Výsledek:

2

4 cm

59.

782 Výsledek:

58°

60.

815 Výsledek:

2

795, 2 m

61.

741 Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

4 100 krát


28 z 45


1

62.

808

Výsledek:

46 cm

63.

775

Výsledek:

,

,

64.

765

Výsledek:

2

6,6 dm

65.

748 Výsledek:

2

57,74 cm

66.

780

Výsledek:

13,9 cm

67.

731

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

2

Není zavlažováno 61,81 m , třetí strana pole je 33,94 m.


29 z 45


1

68.

771

Výsledek:

2

|BC| = 10 cm, obsah je 54 cm

69.

766

Výsledek:

2 řešení:

70.

754 Výsledek:

52 cm

71.

718

Výsledek:

40 m

72.

733 Výsledek:

2

24,3 cm

73.

786 Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

75°


30 z 45


1 759

Výsledek:

Čtverec má větší obsah než obdélník.

75.

773 Výsledek:

11

76.

772

Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABCńa obrázku. Oba obsahy jsou shodné

Výsledek:

77.

706

Výsledek:

70°

78.

802 Výsledek:

17,32 cm

79.

779

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

77,8 %


31 z 45


1 711

Výsledek:

,

81.

710

Výsledek:

82.

747 Výsledek:

2

60 cm

83.

777 Výsledek:

4 krát

84.

750

Výsledek:

v = 6,06 cm ABD

85.

702

Výsledek:

0,8 m

86.

797

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46


32 z 45


1 813

Výsledek:

25 mm

88.

751

Výsledek:

ABD

89.

727

Výsledek:

34,9 %

90.

735 Výsledek:

90°

91.

752 Výsledek:

92.

739 Výsledek:

2

3,14 cm

93.

758

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

4/5


33 z 45


1 799

Výsledek:

Poloměr kružnice opsané: 4,62 cm Poloměr kružnice vepsané: 2,31 cm 60,5 %

95.

723

Výsledek:

2

50 cm

96.

793

Výsledek: 2

480 cm 26 cm 97.

703

Výsledek:

a = 110°, b = 70°, c = 60°, d = 50°, e = 60°, f = 70°, g = 120°, h = 110°

98.

760

Výsledek:

Nemohou

99.

776 Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

10


34 z 45


1 737

Výsledek:

4,8 cm

101.

757 Výsledek:

102.

795 Výsledek:

10 cm

103.

803 Výsledek:

140 m

104.

742 Výsledek:

5,7 m

105.

769 Výsledek:

Tupoúhlý

106.

738

Výsledek:

,

,

107.

804 Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

13,5 cm


35 z 45


1 707

Výsledek:

280 Kč

109.

781

Výsledek:

20°

110.

819

Výsledek:

5 cm

111.

726 Výsledek:

0,4 m

112.

713 Výsledek:

13.2.2010 22:19:46


36 z 45


1 740

Výsledek:

94°

114.

753

Výsledek:

115.

811

Výsledek:

116.

770 Výsledek:

117.

725

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

2

2

0,08 m , 800 cm


37 z 45


1 716

Výsledek:

|AF| = 5 cm, |BC| = 1 cm

119.

728

Výsledek:

112 dlaždic

± Řešení pravoúhlého trojúhelníka

Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu:

13.2.2010 22:19:46


38 z 45


1

Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel. Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva. Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B. Příklad 1: V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je |AB| = c = 8 cm, |BC| = a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC. Řešení: |AB| = c = 8 cm |BC| = a = 5 cm a = ? [° ´] b = ? [° ´] ----------------------------

a c 5 sin a = 8

sin a =

sin a = 0,625 a = 38°41´

13.2.2010 22:19:46


39 z 45


1

a c 5 cos b = 8

cos b =

cos b = 0,625 b = 51°19´ Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 38°41á vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 51°19´. Příklad 2: V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je |OQ| = p = 5 cm, |úhel QOP| = 35°10´. Vypočti délku odvěsny |PQ| = o. Řešení: |OQ| = p = 5 cm |úhel QOP| = 35°10´ |PQ| = o = ? [cm] -----------------------------

tg úhelQOP =

PQ OQ

|PQ| = |OQ| . tg|úhel QOP| |PQ| = 5 . tg 35°10´= 5 . 0,7046 = 3,5 (po zaokrouhlení) |PQ| = 3,5 cm (po zaokrouhlení) Závěr: Délka odvěsny je přibližně 3,5 cm. Příklad 3: Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem 1 : 18. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat? Řešení: |BC| = 1 díl |AB| = 18 dílů a = ? [°´] ------------------------------

tga =

BC

AB 1 tga = 18 tg a = 0,0556 a = 3°11´ Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem 3°11´.

13.2.2010 22:19:46


40 z 45


1

± Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady 1.

Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 : 5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami? Výsledek: S delší stranou 32°, s kratší stranou 58°.

2121

2.

Profil příkopu na obrázku je rovnoramenný lichoběžník se základnami dlouhými 60 cm a 80 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80°. Vypočti hloubku příkopu.

2124

Výsledek:

3.

56,7 cm

Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel 42° (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 75 centimetrů své délky?

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

2131

22,8 cm


41 z 45


Na obrázku jsou narýsovány tečny t1 a t2 z bodu P ke kružnici k(S; 3 cm). Platí: |PS| = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy T1T2.

Výsledek:

1 2128

5,7 cm

5.

V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen |FG| = e = 10,4 m a |EG| = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F. Výsledek: Úhel při vrcholu E má velikost 56°49á úhel při vrcholu F má velikost 33°11´

2120

6.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony |AB| = c = 6,9 cm a |úhel CAB|= a 34°. Vypočti délky odvěsen AC a BC. Výsledek: a = 3,9 cm, b = 5,7 cm

2119

7.

Tělesová úhlopříčka u1kvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u2 svírá úhel a = 42°. Vypočti výšku kvádru v.

2115

Výsledek:

6,5 dm

8.

Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö15 a |AC| = 4 cm. Výsledek: 2,1 cm2

2123

9.

Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 10 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60°. Vypočti obsah půdorysu chaty. Výsledek: 43,3 m2

2122

10.

V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny |XY| = z = 9 cm a velikost úhlu |úhel XYZ|= 50°10´. Vypočti obsah tohoto trojúhelníku. Výsledek: 24,3 cm2

2126

13.2.2010 22:19:46


42 z 45


1

11.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 24 cm, c = 30 cm. Výsledek: b = 18 cm, a = 53°08´, b = 36°52´, g = 90°

2116

12.

Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 36 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 18 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B?

2132

Výsledek:

36,1°

13.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 48°30´, c = 3,2 m Výsledek: a = 2,40 m, b = 2,12 m, b = 41°30´, g = 90°

2117

14.

Rampu u skladu zboží drží 4 stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent?

2130

Výsledek:

21 m

15.

Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 100 m (měřeno ve vodorovné poloze) o 1,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání. Výsledek: 0,83°

2113

16.

V kosočtverci ABCD je úhlopříčka |AC| = e = 24 cm a |úhel SAB| = e = 28°; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD. Výsledek: 54 cm

2127

13.2.2010 22:19:46


43 z 45


Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 18 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy.

Výsledek:

18.

2129

1040 ks

Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 30°. Vypočti povrch válce.

Výsledek:

1

2125

2

9083 cm

19.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, b = 67°. Vypočti délku odvěsny a. Výsledek: 12,7 cm

2112

20.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 63°10´, a = 6,7 m Výsledek: b = 3,39 m, c = 7,51 m, b = 26°50´, g = 90°

2118

21.

Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí |AT1| = |BT1|; T1 je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná 44 cm a velikost úhlu T3ST2 je rovna 90°; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury.

2133

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

140,8 cm


44 z 45


Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 10 m pod úhlem w = 20°. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.)

Výsledek:

13.2.2010 22:19:46

1 2114

3,4 m


45 z 45


1

Obsah Planimetrie Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady

13.2.2010 22:19:46


1 18 38 41

M - Příprava na 1. zápočtový test pro třídy 2KŘA, 2KŘB

Recommend Documents