LUASAN LENGKUNG DENGAN GENERATOR GARIS-GARIS LURUS. Sangadji *

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005 (243-252)

LUASAN LENGKUNG DENGAN GENERATOR GARIS-GARIS LURUS Sangadji*

ABSTRAK LUASAN LENGKUNG DENGAN GENERATOR GARIS-GARIS LURUS. Makalah ini membahas luasan lengkung dalam ruang tiga dimensi dengan generator garis-garis lurus. Terdapat beberapa luasan lengkung dengan generator garis-garis lurus, misalnya hiperboloida berdaun satu dan paraboloida hiperbolik. Aplikasi dari luasan-luasan lengkung tersebut digunakan dalam engineering, khususnya di bidang konstruksi. Selain hiperboloida berdaun satu dan paraboloida hiperbolik, makalah ini juga membahas dengan singkat luasan-luasan lengkung lainnya dengan generator garis-garis lurus. Kata-kunci: luasan lengkung, generator, hiperboloida berdaun satu, paraboloida hiperbolik.

ABSTRACT SURFACES GENERATED BY STRAIGHT LINES. The paper discusses surfaces in three dimensional space generated by straight lines. There are several such surfaces, for example hyperboloids of one sheet and hyperbolic paraboloids. Applications of such surfaces are used in engineering, especially in construction. Besides hyperboloids of one sheet and hyperbolic paraboloids, the paper also dicusses other surfaces generated by straight lines briefly. Keywords: surface, generator, hyperboloid of one sheet, hyperbolic paraboloid.

PENDAHULUAN Luasan lengkung dengan generator garis-garis lurus disebut juga dengan nama luasan teratur. Yang paling sering dijumpai dalam geometri analitik ruang adalah hiperboloida berdaun satu dan paraboloida hiperbolik.

*

Pusat Pengembangan Teknologi Informasi dan Komputasi - BATAN

243


Hiperboloida Berdaun Satu

Hiperboloida berdaun satu dengan persamaan

x2 y2 z2 + − =1 a2 b2 c2 dapat ditulis dalam bentuk

x2 z2 y2 − = 1 − atau a2 c2 b2

x2 z2 y2 − = 1 − a2 c2 b2

Sehingga hiperboloida berdaun satu tersebut mempunyai dua sistem generator dari garis-garis lurus, yang disajikan dengan persamaan-persamaan

 x z  x z y y   α  a + c  = β 1 + b  α  a + c  = β 1 + b            dan    β  x − z  = α 1 − y   β  x − z  = α 1 − y    a c    a c   b  b di mana α dan β adalah bilangan real yang keduanya tidak bernilai nol.

244


Paraboloida Hiperbolik

Paraboloida hiperbolik dengan persamaan

y2 x2 z − = b2 a2 c dapat ditulis dalam bentuk

y2 x2 z − = b2 a2 c

atau

 y x  y x  z  +  −  = .  b a  b c  c

Sehingga paraboloida hiperbolik tersebut mempunyai dua sistem generator dari garisgaris lurus, yang disajikan dengan persamaan-persamaan

  y x   y x α  b + a  = β z α  b − a  = β z       dan    β  y − x  = α  β  y + x  = α   b a  c   b a  c di mana α dan β adalah bilangan real yang keduanya tidak bernilai nol. Luasan ini mempunyai titik yang penting, dalam matematika terapan disebut titik sadel yang terdapat pada pusatnya. Titik sadel tersebut merupakan titik maksimum pada bidang pertama dan sekaligus titik minimum pada bidang kedua. Tapi titik tersebut bukan titik ekstrem dari luasan tersebut.

245


LUASAN LENGKUNG DENGAN GENERATOR GARIS-GARIS LURUS Diberikan dua kurva C1(u) dan C2(v), luasan teratur adalah luasan yang dibangun oleh segmen-segmen garis yang menghubungkan dua titik, satu titik di setiap kurva tersebut. Lebih tepatnya, bila t adalah nilai dalam domain [0,1] dari kedua kurva, segmen garis antara C1(t) dan C2(t) dapat dikonstruksikan. Segmen garis ini disebut ruling di t. Sewaktu t bergerak dari 0 ke 1 ruling di t menyapu seluruhnya luasan, dan luasan ini adalah luasan teratur yang ditentukan oleh kurva-kurva C1(u) dan C2(v). 1. Parabolida Hiperbolik

246


2. Silinder

247


3. Hiperboloida Berdaun Satu

248


4. Luasan Teratur Lainnya

249


5. Luasan Teratur Lainnya

250


KESIMPULAN 1. Telah dibahas dan diperoleh generator dari luasan hiperboloida berdaun satu dan paraboloida hiperbolik yang masing-masing terdiri dari dua kelompok garis-garis lurus. 2. Telah dibahas dengan singkat bagaimana beberapa luasan lengkung terbentuk dari dua kurva C1(u) dan C2(v).

251


DAFTAR PUSTAKA 1. VARBERG, DALE et al., Calculus, Prentice Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, USA. 2000. 2. KLETENIK, D., Problems in Analytic Geometry, Peace Publisher, Moscow. 3. Ruled Surfaces. Microsoft Internet Explorer. 2005.

252

LUASAN LENGKUNG DENGAN GENERATOR GARIS-GARIS LURUS. Sangadji *

Recommend Documents