Logika nyelvészeknek, 11. óra A kvantifikáció kezelése a klasszikus és az általánosított kvantifikációelméletben I. A kvantifikáció a klasszikus Frege-féle kvantifikációelméletben A kvantifikáció klasszikus kezelése Gottlob Fregétől származik (a 19. század végéről). Egyik legfontosabb teljesítménye a kvantorok hatókörének sikeres kezelése. a) ∀x ∃y [férfi(x) ⊃ (szeret(x,y) & nő(y))] b) ∃y ∀x [férfi(x) ⊃ (szeret(x,y) & nő(y))] A két formula értelmezése különbözik egymástól: a) akkor igaz, amikor minden egyes férfira a tárgyalási univerzumban teljesül, hogy van legalább egy olyan nő a tárgyalási univerzumban, akit ez a férfi szeret. b) akkor igaz, amikor van legalább egy olyan nő a tárgyalási univerzumban, akire igaz, hogy a tárgyalási univerzumban szereplő minden egyes férfi szereti őt. a)-ban az univerzális kvantornak tág hatóköre van (wide scope), az egzisztenciális kvantornak szűk hatóköre (narrow scope); b)-ben fordítva. A kvantorok értelmezése során kívülről befelé kell haladni (ez egymásnak szerkezetileg aláfölérendelt kvantorok esetében azonos a balról jobbra iránnyal). Az univerzális kvantor azt mondja, hogy nézzük végig az összes individuumot a tárgyalási univerzumban, és ellenőrizzük, hogy a kvantor hatókörében álló formula teljesül-e. Ha találunk egyetlen olyan individuumot is, akire nem teljesül, akkor az univerzálisan kvantifikált formula hamis. Az egzisztenciális kvantor pedig azt, hogy nézzük végig a tárgyalási univerzumban szereplő individuumokat addig, amíg nem találunk egy olyat, amire teljesül a kvantor hatókörében álló formula. Ha találtunk egy ilyen individuumot, akkor az egzisztenciálisan kvantifikált formula igaz lesz. Példa: A nyelv tulajdonnevei: Anna, Beáta, Cecília, Dénes, Elemér, Ferenc A nyelv egyargumentumú predikátumai: férfi, nő A nyelv kétargumentumú predikátuma: szeret [[ Anna ]]M = Anna (∈ U) [[ Beáta ]]M = Beáta (∈ U) stb. [[ férfi ]]M = férfi = Dénes, Elemér, Ferenc [[ nő ]]M = nő = Anna, Beáta, Cecília [[ szeret ]]M = szeret = {
, , <Elemér, Cecília>, } ∀x ∃y [férfi(x) ⊃ (szeret(x,y) & nő(y))] x Anna
y Anna
állítás Anna ∈ férfi ⊃ ( ∈ szeret & Anna ∈ nő)
Beáta Cecília Dénes
Anna Anna Anna
Beáta ∈ férfi ⊃ ( ∈ szeret & Anna ∈ nő) Cecília ∈ férfi ⊃ ( ∈ szeret & Anna ∈ nő) Dénes ∈ férfi ⊃ ( ∈ szeret & Anna ∈ nő)
igaz? 9 (a kondícionális előtagja hamis) 9 (ugyanezért) 9 (ugyanezért) 9
Elemér
Anna
Elemér ∈ férfi ⊃ (<Elemér, Anna> ∈ szeret & Anna ∈ nő)
Elemér
Beáta
Elemér ∈ férfi ⊃ (<Elemér, Beáta> ∈ szeret & Beáta ∈ nő)
Elemér
Cecília
Ferenc
Anna
Elemér ∈ férfi ⊃ (<Elemér, Cecília> ∈ szeret & Cecília ∈ nő) Ferenc ∈ férfi ⊃ ( ∈ szeret & Anna ∈ nő)
Ferenc
Beáta
Ferenc ∈ férfi ⊃ ( ∈ szeret & Beáta ∈ nő)
8 (a kondícionális előtagja igaz, de <Elemér,Anna> ∉ szeret, így az utótagja hamis) 8 (ugyanezért, de: <Elemér,Beáta> ∉ szeret) 9 8 (a kondícionális előtagja igaz, de ∉ szeret, így az utótagja hamis) 9
Az x oszlop univerzálisan van kvantifikálva, ezért amíg nem találunk olyan esetet, hogy x-re hamis az állítás (adott esetben amikor y minden értékére hamis az állítás), és így hamis az univerzális kvantifikáció, addig végig kell néznünk x összes lehetséges értékét. Ha egy olyan modellt veszünk, ami azonos az előbbivel, attól eltekintve, hogy pl. [[ szeret ]]M’ = {, <Elemér, Dénes>, }, akkor az elemzés az x = Elemér esettől kezdve a következő lenne a táblázat: ... Dénes Elemér Elemér Elemér
... Anna Anna Beáta Cecília
Elemér
Dénes
Elemér
Elemér
Elemér
Ferenc
... Dénes ∈ férfi ⊃ ( ∈ szeret & Anna ∈ nő) Elemér ∈ férfi ⊃ (<Elemér, Anna> ∈ szeret & Anna ∈ nő) Elemér ∈ férfi ⊃ (<Elemér, Beáta> ∈ szeret & Beáta ∈ nő) Elemér ∈ férfi ⊃ (<Elemér, Cecília> ∈ szeret & Cecília ∈ nő) Elemér ∈ férfi ⊃ (<Elemér, Dénes> ∈ szeret & Dénes ∈ nő) Elemér ∈ férfi ⊃ (<Elemér, Elemér> ∈ szeret & Elemér ∈ nő) Elemér ∈ Ferenc ⊃ (<Elemér, Ferenc> ∈ szeret & Ferenc ∈ nő)
... 9 8 8 8 8 (Dénes ∉ nő) 8 8
Az x = Ferenc esetet nem kell megnéznünk, mert x = Elemér esetre hamis volt az univerzális kvantor hatókörében álló formula, így az univerzális kvantoros formula már biztosan hamis. A klasszikus kvantifikációelméletben a kvantifikáció korlátozatlan (unrestricted), azaz mindig a teljes tárgyalási univerzum felett kvantifikálunk, és egyáltalán nincs mód arra, hogy a kvantifikációs tartományt a tárgyalási univerzum valamely részhalmazára korlátozzuk. A természetes nyelvi kvantifikáció viszont egyáltalán nem tűnik korlátozatlannak. Pl.: Minden asztalon van egy toll. Amikor ezt a mondatot használjuk, nem vesszük számításba a világ (szituáció) összes individuumát, hanem csak az asztalok, illetve a tollak felett kvantifikálunk, a világ (szituáció) többi individuumával egyáltalán nem törődünk. A kvantifikáció klasszikus logikai kezelése a természetes nyelvi beszélői intuíciónk felől nézve kifejezetten abszurd. Ettől függetlenül helyesen ragadja meg a megfelelő természetes nyelvi kvantorok igazságfeltételeit. A kvantorhoz tartozó korlátozást az univerzális kvantornál kondicionálissal, az egzisztenciálisnál konjunkcióval tudjuk kifejezni. Ez viszont csak fenntartásokkal működik. A konjunkció kommutativitása miatt pl.: ∃x (egér (x) & fehér (x)) ⇔ ∃x (fehér (x) & egér (x)) ’Van olyan egér, amelyik fehér.’, ill. ’Van olyan fehér dolog, amelyik egér.’ Mivel a természetes nyelvi kvantifikáció nem korlátozatlan, így nem könnyű belátni, hogy a két mondat ekvivalens (bár igazságfeltételeik valóban azonosak).
A klasszikus logika kvantifikációelméletével kapcsolatban egy szokásos ellenpélda a legtöbb kvantor. Legyen egy M-mel jelölt kvantorunk, aminek a jelentése legyen az, hogy ’legtöbb’, mégpedig abban az értelemben, hogy: [[ Mx P(x) ]] = 1 akkor és csak akkor, ha az univerzum individuumainak több, mint a fele eleme a P által jelölt halmaznak ( |P| > |U|/2 ). Hogyan tudjuk kifejezni ezzel a kvantorral azt, hogy A legtöbb varjú fekete.? Mx (varjú(x) & fekete(x)) ? Mx (varjú(x) ⊃ fekete(x)) ? Ezek a megoldások nem járnak sikerrel, és egyetlen más megoldás sem, és a legtöbb kvantort önálló kvantorként egyáltalán nem is lehet korlátozatlan kvantifikációelméletben kifejezni. Az igazságfeltételeit meg lehet adni numerikus kvantorok segítségével: ∃n((n) & (∃nx (fekete(x) & varjú(x)) & ~∃nx (~fekete(x) & varjú(x)))) Ezzel az ábrázolással viszont még jobban eltávolodunk a természetes nyelvi mondat szerkezetétől, mint az univerzális és egzisztenciális kvantornál. Másrészt ez a formula csupán rövidítése egy sokkal komplexebb (potenciálisan végtelen komplexitású) formulának, ami nem felel meg annak az intuíciónak, hogy az A legtöbb varjú fekete. mondat viszonylag egyszerű, könnyen ellenőrizhető állítást fejez ki. A klasszikus fregei kvantifikációelméletben könnyű univerzális és egzisztenciaállításokat kifejezni, viszont viszonylag körülményes mennyiségeket, illetve mennyiségek közötti viszonyokat kifejezni. Az ilyen tényezők kifejezésére kiválóan alkalmas viszont az ún. általánosított kvantorok elmélete. II. Az általánosított kvantorok elmélete a nyelvészeti szemantikában Azt az elképzelés, hogy érdemes lenne a kvantorok fogalmát általánosítani, a 20. század közepén vetették fel a matematikai logikában, majd létrejött az általánosított kvantorok elmélete. A nyelvészetre ez az elmélet egészen 1980 körülig nem volt hatással, míg Barwise és Cooper 1981-ben megjelent cikkükben felhívták a figyelmet az általánosított kvantorok nyelvészeti relevanciájára. Az általánosított kvantorok elmélete ugyanis lehetővé teszi a legkülönfélébb természetes nyelvi kvantorok szemantikájának leírását, és azt, hogy velük kapcsolatban különféle érdekes absztrakt tulajdonságokat tárjunk fel. Az általánosított kvantorok elméletének nyelvészeti változata szerint a természetes nyelvi mondatok szerkezetét máshogy bontjuk fel, mint az elsőrendű predikátumlogika szerint. Pl. Minden varjú fekete. Ez a mondat áll egy állítmányból (fekete) (ami egyargumentumú predikátum, faktuális értéke a tárgyalási univerzum egy részhalmaza), illetve egy főnévi csoportból (minden varjú), aminek a szemantikai értékét (faktuális értékét) általánosított kvantornak nevezzük. (Megjegyzés: A kvantor eszerint a terminológia szerint tehát nem egyszerűen a minden szó, mint a klasszikus kvantifikációelmélet példáiban, hanem az egész főnévi csoport.)
A főnévi csoportokat olyan funktoroknak tekintjük, amelyek bemenete predikátum és kimenete mondat. Ezeknek a funktoroknak a szemantikai értéke (tehát az általánosított kvantor) olyan függvény, amelynek bemenete a tárgyalási univerzum egy részhalmaza, kimenete pedig igazságérték (vagy ezzel ekvivalensen a tárgyalási univerzum hatványhalmazának egy részhalmaza). (Példa: A minden varjú általánosított kvantor az univerzum mindazon részhalmazaival azonos, amelyeknek eleme minden egyes varjú.) Az általánosított kvantorok maguk is összetettek: állnak egy (esetleg több) predikátumból és egy ún. determinánsból (determiner). A minden varjú főnévi csoport áll a minden determinánsból és a varjú predikátumból. A determináns olyan funktor, aminek a bemenete predikátum, kimenete pedig egy főnévi csoport. (Példa: A minden determináns bemenete itt a varjú predikátum, kimenete a minden varjú főnévi csoport.) A determináns faktuális értéke olyan függvény, amelynek bemenete az univerzum egy részhalmaza, kimenete pedig általánosított kvantor (azaz olyan függvény, amelynek bemenete a tárgyalási univerzum egy részhalmaza, kimenete pedig igazságérték). A determinánsok faktuális értékét úgy is felfoghatjuk, mint az univerzum két részhalmaza közötti relációt. A logikai formula felépítése lényegében megegyezik a természetes nyelvi formula felépítésével: (minden (varjú)) (fekete) szemantikai értéke pedig: [[ (minden (A)) (B) ]] = 1 akkor és csak akkor, ha A ⊆ B. további példák: [[ (van (A)) (B) ]] = 1 akkor és csak akkor, ha A ∩ B ≠ ∅. [[ (egyetlen (A)) sem (B) ]] = 1 akkor és csak akkor, ha A ∩ B = ∅. [[ (az (A)-k többsége) (B) ]] = 1 akkor és csak akkor, ha |A ∩ B| > |A – B| [[ (kevesebb mint öt (A)) (B) ]] = 1 akkor és csak akkor, ha |A ∩ B| < 5. Tovább is általánosíthatjuk a determinánsok fogalmát, és megengedhetjük, hogy egyes determinánsok bemenete predikátumok rendezett n-ese legyen, pl: [[ (több (A) mint (B)) (C) ]] = 1 akkor és csak akkor, ha |A ∩ C| > |B ∩ C|. Az elmélet keretében megfogalmazhatók bizonyos érdekes általánosítások a természetes nyelvi kvantorokkal kapcsolatban, amelyek megfogalmazására korábban nem volt megfelelő fogalmi keretünk, pl.: Minden (esetleg majdnem minden) természetes nyelvi determináns konzervatív. Konzervativitás: Egy Q determinánst akkor mondunk konzervatívnak, ha (Q(A))(B) ⇔ (Q(A))(A ∩ B) vagy másként megfogalmazva: ha A ∩ B = A ∩ C, akkor (Q(A))(B) ⇔ (Q(A))(C) Azaz: A determinánssal alkotott általánosított kvantor csak arra a részére kiváncsi annak a B halmaznak (az ő argumentumának), amelyik része B-nek része annak az A halmaznak is, amely az általánosított kvantor részét alkotja.
Monotonitás: Monotonnak hívunk egy determinánst akkor, ha a vele összekapcsolódó A és B halmazok valamelyikének a tágítása, illetve szűkítése nem változtatja meg a mondat igazságát. Pontosabban: Egy olyan F függvényt, amely halmazhoz igazságértéket rendel (F ⊆ po(U) × 2), akkor és csak akkor mondunk növekvőnek, ha F(A) ⇒ F(B), és akkor és csak akkor mondunk csökkenőnek, ha F(B) ⇒ F(A); feltéve mindkét esetben, hogy A ⊆ B. Monotonnak hívunk egy függvényt, ha növekvő vagy csökkenő. Egy D determinánst (D(A))(B) formulában balról monotonnak hívunk, ha a D által jelölt függvény az A halmazra vonatkoztatva monoton, és jobbról monotonnak hívunk, ha a D által jelölt függvény a B halmazra vonatkoztatva monoton. Eszerint: Balról monoton csökkenőnek hívunk egy olyan determinánst, amelyre teljesül, hogy: (D(A))(B) ⇒ (D(A’))(B) bármely A’-re, ahol A’⊆ A (azaz ha az A halmazt szűkítjük, nem változik az állítás igazsága) Balról monoton növekvőnek hívunk egy olyan determinánst, amelyre teljesül, hogy: (D(A))(B) ⇒ (D(A’))(B) bármely A’-re, ahol A ⊆ A’ (azaz ha az A halmazt bővítjük, nem változik az állítás igazsága) stb. Példák: (Legalább két (lány)) (fut) Legalább két lány fut. ⇒ Legalább két ember fut. lány ⊆ ember, tehát a legalább két determináns balról monoton növekvő. Ellenőrzésként: Legalább két lány fut. ⇒ Legalább két szép lány fut. szép lány ⊆ lány, tehát nem balról monoton csökkenő. Legalább két lány fut. ⇒ Legalább két lány mozog. fut ⊆ mozog, tehát jobbról monoton növekvő. Legalább két lány fut. ⇒ Legalább két lány gyorsan fut. gyorsan fut ⊆ fut, tehát nem jobbról monoton csökkenő. (Kevés (lány)) (fut) Feltéve, hogy: [[ (kevés (A)) (B) ]] = 1 akkor és csak akkor, ha |A ∩ B| < |A|/3. Megjegyzés: az arányszám nem valószínű, hogy teljesen pontosan rögzíthető, és kontextusfüggő. Vannak viszont olyan esetek is, ahol a kevés nem arányt fejez ki, hanem valamiféle abszolút mércéhez viszonyít: Naponta kevés ember hal meg közlekedési balesetben. (még akkor is hamis, ha ez a szám az összes ember/halálozás stb. számához képest csekély) Kevés lány fut. ⇒ Kevés lány mozog. Kevés lány fut. ⇒ Kevés lány fut gyorsan. Kevés lány fut. ⇒ Kevés ember fut. Kevés lány fut. ⇒ Kevés szép lány fut. A kevés balról nem monoton.
a kevés nem jobbról monoton növekvő. jobbról monoton csökkenő. nem balról monoton növekvő. nem balról monoton csökkenő.
(Pontosan két (lány)) (fut) a pontosan két sem balról, sem jobbról nem monoton. (Minden (lány)) (fut) a minden balról monoton csökkenő, jobbról monoton növekvő. Polaritás a természetes nyelvekben A monoton csökkenő jellegnek különösen nagy szerepe van a természetes nyelvekben az ún. polaritás meghatározásában. Mindenki látott valakit. Everybody saw something. A mindenki monoton növekvő kvantor, a vele alkotott mondatokat pozitív polaritásúnak mondjuk. Ezzel szemben a senki monoton csökkenő kvantor, és negatív polaritású környezetet hoz létre: Nobody saw anything. Az angol mondatban megjelenő anything határozatlan névmás olyan kifejezés, amely csak negatív polaritású környezetben van engedélyezve (ún. negative polarity item). Negatív polaritású környezetnek általánosított kvantorok monoton csökkenő argumentumai számítanak. Általánosított kvantorok és korlátozott kvantifikáció Az általánosított kvantorokkal korlátozott kvantifikációt is ki tudunk fejezni. Azt a predikátumot, amivel összekapcsolódva a determináns az általánosított kvantort alkotja, gyakran korlátozásnak (restriction) hívja az irodalom. A fregei korlátozatlan kvantifikációt is ki lehet fejezni általánosított kvantorokkal. (minden (U))(λx [Px ⊃ Qx]) (⇔ ∀x (Px ⊃ Qx)) ahol U az a predikátum, amely a tárgyalási univerzum minden elemére és csak ezekre teljesül. A nyelvészeti irodalomban az általánosított kvantorokat gyakran a következő formában is fel szokták írni: ∀x:Px (Qx) Ez a (minden(P))(Q) általánosított kvantoros mondat jelölési variánsa. Irodalom: BARWISE, J./R. COOPER (1981) Generalized quantifiers and natural language. Linguistics and Philosophy 4, 159-219. KEENAN, E. L./J. STAVI (1986) A semantic characterization of natural language determiners. Linguistics and Philosophy 6, 253-326. KEENAN, E. L. (1996) The semantics of determiners. In: S. LAPPIN (szerk.): The Handbook of contemporary semantic theory. Oxford: Blackwell, 41-63. KEENAN, E. L./D. WESTERSTÅHL (1997) Generalized quantifiers in linguistics and logic. In: J. VAN BENTHEM/A. TER MEULEN (szerk.): The handbook of logic and language. Amsterdam/Cambridge: Elsevier/MIT Press, 837-893.
