LEERBOEK VAN
REKENKUNDE TEN GEBRUIKE VAN
VLAAMSCHH NORMAALSCHOLEN DOOR
A. DE RIEJ.M:AECKER PROFBSSOR VAN REKENKUNDE IN DE NORMAALSCHOOL VAN SINT-NIKLAAS
---$~""'--
GENT DRUKKERIJ S. LELIAERT, A. SIFFER & Cic HOOGPOORT. 52
1885
VOORAFGAANDE BEGRIPPEN. 1. Grootheid. - Eene grootheid is alles wat kan vermeerderd of verminderd worden. Er zijn twee soorten van grootheden: 10 De afgebroken grootheid, die bestaat uit voorwerpen van dezelfde soort, b. v. eene verzameling huizen; 2° De onafgebroken grootheid, b. v. eene lijn, een vlak, ~en licht. Om zich van de grootheid een juist denkbeeld te maken, moet men ze meten. Eene grootheid meten is ze vergelijken met eene andere welgekende grootheid van dezelfde soort:
-4De meetbare getallen zijn: 1° Het geheel getal: de eenheid zelve of eene verzamelingvan eenheden. 20 Het gebroken getal of breuk: één of meer der gelijkedeelen waar de eenheid in verdeeld is. 3° Het gemengd getal: eene samenstelling van een geheel~ en een gebroken getal. De getallen worden nog verdeeld in beno~mde en onbe-· noemde getallen, volgens dat de naam der eenheid er bijgevoegd is of niet. 4. Rekenkunde. - De rekenkunde is de wetenschap. der getallen. Zij leert ons : 10 De verschillige eigenschappen der getallen; 2° De bewerkingen op de getallen; 3° De toepassing dier bewerkingen aan het oplossen van vraagstukken.
EERSTE DEEL. DE GEHEELE GETALLEN. HOOFDSTUK I.
Tientallige telling. 5. Bepaling. - De telling is de manier van de getallen 1° te vormen, 2° uit te spreken en 3° te schrijven. I. -
VORMlNG DER GETALLEN.
6. Het kleinste geheel getal is de eenheid. Men vormt de ,andere geheele getallen door bij de eenheid nog eene eenheid te voegen; blj het zoo gevormde getal nog eene eenheid, enz. De reeks getallen die op zulke manier ontstaat, heet de natuurlijke volgreeks del' geheele getallen. Uit de manier zelve van de getallen te vormen, blijkt dat het aantal geheele getallen oneindig groot is. II. -
GESPROKENE TELLI;SG.
7. De gesprokene telling is de manier van alle mogelijke 'getallen met een klein aantal woorden, kunstmatig gerangschikt, uit te spreken. De getallen kunnen uitgesproken worden met de vol-gen de woorden: één, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien, honderd, duizend, millioen, billioen, trillioen, quatrillioen, quintillioen, sextillioen, enz. 8. Rangeenheden. - De negen eerste woorden zijn de namen der ne~en eerste getallen die enkele eenheden 'Voorstellen of eenheden van eersten rang.
-6Tien is de naam van het volgende getal. Het tiental or verzameling van tien enkele eenheden wordt aanzien als eene nieuwe eenheid, eenheid van tweeden rang. Men kan met de tientallen tellen zooals men met de enkele eenheden telt :
twee tien, drie tien, vier tien, vijf tien, enz. De verzameling van.tien tientallen is honderd of eenheid van del'den rang. Men telt met de honderdtallen gelijk met de enkele eenheden: tweehonderd, driehonderd, vierhonderd, enz. De verzameling van tien honderdtallen maakt eene nieuwe eenheid uit, welke men duizend noemt of eenheid van vierden rang. Men gaat voort met tien eenheden van een en rang te vereenigen om eene eenheid van eenen naast hoogeren rang' te vormen. Maar, om geene nieuwe woorden noodig tehebben, noemt men de eenheid van vijfden rang, tien duizend, en die van zesden rang, honderd duizend. De verzameling van tien honderdduizendtallen of eenheid van zevenden rang verkrijgt den nieuwen naam van millioen. Maar de eenheden van achtsten en negenden rang heeten tien millioen, en honderd millioen. Het billioell, tien billioen en honderd billioen
zijn de eenheden van tienden, elfden en twaalfden rang; het tdUioen, tien t/'ilUoen, honderd trillioen zijn de eenheden van dertienden, veertienden en vijftienllen rang, enz. In die reeks eenheden waarmede wij kennis gemaakt hebben, is de eenheid van eenen willekeurigen rang tienmaal grooter dan de haar onmiddellijk voorgaande eenheid. Tien is. de basis of grondslag van ons stelsel van telling, dat daarom tientallig stelsel genoemd wordt. De namen van de eenheden der verschilli~e rangen in hunne natuurlijke volgorde ~enomen, zijn de schaal der telling. Elkeen dier namen is een term der schaal. 9. Klaseenheden. - Eenheden die, te beginnen van de enkele eenheid, van duizend- tot duizendmaal grooter worden, maken de reeks der klaseenheden of. voornameeenheden uit: zij zijn dus éen, duizend, millioen, billioen,. tdllioen, enz.
-7De eerste klasse, of die der oorspronkelijke eenheden. wordt uitgedrukt door de enkele eenheden, tientallen, en honderdtallen; de tweede klasse, of die der duizendtallen, door de enkele duizendtallen, de tienduizendtallen en de honderdduizendtallen; de derde klasse, of die der millioenen, door de enkele millioenen, de tienmillioenen en de honderdmillioenen, enz. Elke klasse bevat dus drie achtereenvolgende rangen, te beginnen met de enkele eenheden. 10. Men zal nu gemakkelijk begrijpen hoe men, bij middel van de voorgestelde woorden, al de getallen uitspreken kan. Inderdaad, nemen wij voor oogen de gansche verzameling der enkele eenheden waar een geheel getal uit bestaat, en beginnen" ij met ze te verdeelen in verzamelingen, elk van tien enkele eenheden. Dan zal men in het getal vinden: -t 0 een zeker aantal tientallen; 2° eene rest enkele eenheden zeker kleiner dan tien, welke rest overigens niet altijd bestaat. Indien het aantal tientallen lien overtreft, voegen wij ze dan tien aan tien te zamen. Het getal zal dan bevatten: 1° een zeker aantal honderdtallen; 2" een aantal tientallen kleiner dan tien; 3° een aantal enkele eenheden insgelijks kleiner dan tien: nochtans zullen deze twee laatste deelen niet altijd bestaan. Zoo voortgaande, zal men eindelijk het getal splitsen in zijne eenheden van vet'schillige rangen, waarvan elke rang min dan tien eenheden bevat. Om nu het getal uit te spreken, zal men het aantal eenheden van eIken ràng beurtelings kunnen opgeven, beginnende met de eenheden van den hoogsten rang. VOORBEELD : drie millioen, vijf honderdduizend, twee tienduizend, negen duizend, zes honderd, vier tien en vijf. In plaats van het getal met zijne rangeenheden uit te spreken, is het veel korter achtereenvolgens zijn aantal eenheden van elke klasse op te geven. Het hierboven uitgesproken getal wordt korter gezeid : drie millioen, vijf honderd twee tien en negen duizend, zes honderd vier tien en vijf. 11. Onregelmatigheden. - Volgens de hierboven uitgelegde uitspreekwijze heeft men slechts 14 woorden van-
-8doen om al de getallen tot de billioenen uit te spreken. Het gebI'Uik echter heeft onregelmatigheden in die manier ingebracht. 1° In plaats van twee tien, drie tien, vier tien, enz. zegt men twintig, dertig, veertig, enz. ; 2° Om de getallen uit te spreken van tien tot honderd, drukt men eerst de enkele eenheden uit, daarna de tientallen: zoo bekomt men één en tien, negen en veertig, negen en negentig. 3° In plaats van één en tien zegt men elf, en verder, voor de overige getallen tusschen tien en twintig, twaalf, dertien, veertien, vijftien, zestien, zeventien, achttien, negentien. lIl. -
GESCHREVENE TELLING.
12. De geschrevene telling is de manier van alle mogelijke getallen op eepe korte en duidelijke wijze te schrijven bij middel van bijzondere teekens, die men cijfers noemt. De cijfers zijn ten getaIIe van tien, te weten: 1, 2, 3, 4, ä, 6, 7, 8, 9, 0. De eerste negen cijfers, beduidende cijfers genoemd, stellen de negen eerste getallen voor.
13. Overeenkomsten. - De cijfers gekend zijnde, berust de geschrevene telling op de twee volgende overeenkomsten: 1 Elk cijfer tel' linkerhand Mn een ander geplaatst, stelt eenheden VrJOt' van eenen naast hoogeren ráng; 2° Het cijfer 0, dat men nul uitspreekt, heeft uit zichzelf geene weerde, maar dien: slechts om de ontbrekende rangen aan te vullen. Zij b. v. bet getal vijthonderd zeven en zestig in cijfers te schrijven. Men zou kunnen schrijven ö honderdtallen, 6 tientallen, 7 eenheden; maar, door toepassing der eerste overeenkomst, heeft men ~67. Om een tiental te schrijven zonder enkele eenheden, schrijft men 10. Zoo ook in de geschrevene getallen 30, 40, 50, 60, zijn er tientallen zonder enkele eenheden; in 504, honderdtallen en enkele eenheden zonder tientallen; in 10234, 0
-9tienduizendtallen, honderdtallen, tientallen en enkele eenheden, zonder duizendtallen. Bemerkingen. - Het woord cijfer wordt soms figuurlijk gebruikt, om het getal dat het cijfer voorstelt, aan te duiden: h. v. men zegt het -cijfer 5 voor het getal 5. Bij uitbreiding zegt men zelfs het getal 0, alhoewel de nul alle begrip van getal uitsluit.
14. Dubbele weerde der cijfers. - Uit het voorafgaande blijkt, dat men aan de cijfers twee onderscheiden weerden toekent : 1° Eene volstrekte weerde, die onveranderlijk is en alleen van den vorm afhangt; 2° Eene betrekkelijke weerde, die van de plaats afhangt. Het is klaarblijkend dat elk geschreven getal gelijk is aan de som der betrekkelijke weerden van al de cijfers. 15. Voorstelling in cijfers van een uitgesproken getal. _1 Indien het getal kleiner is dan 1000, en dus maar 0
eene klasse beval, schrijft men achter elkander, met de honderdtallen beginnende, de honderdtallen, tientallen en enkele ~enhedcn, opmerkende dat, in het Vlaamsch, de enkele eenheden vóór de tientallen uitgesproken worden. Men draagt zorg nullen te stellen in plaats van de ontbrekende rangeenheden, 'tenzij deze de hoogste wezen. B. v. zeshonderd vijftien wordt geschreven: 615. 2° Indien het getal grooter is dan 1000, doet het uitspreken zelf de verschillige klassen kennen waaruit het bestaat. Men schrijft iedere klasse, naarmate zij uitgesproken wordt, alsof zij alleen ware, bij middel van een vak van drie cijfers, zorg dragende nullen te stellen in plaats van de ontbrekende rangeen heden. VOORBEELDEN: Vierhonderd drie millioen vijf en zestig duizend veertig wordt geschreven: 403.060.040. Vier triIIioen, vijf duizend, vierhonderd en twee wordt geschreven: 4.000.000.000.402. In dit laatste voorbeeld zijn de ontbrekende klassen der billioenen en millioenen voorgesteld door twee vakken, elk van drie nullen.
-.,- 10 -
16. Uitspreken van een geschreven getal. 10 Indien het getal niet meel' dan drie cijfers heeft, spreekt men beurtelings uit het aantal honderdtallen, enkele eenheden en tientallen. Voorbeeld: 328 wordt uitgesproken: drie-
honderd acht en twintig. 20 Jt;dien het getal meer dan drie cijfers heeft, verdeelt men het, van den rechter- naar den linkerkant, in vakken van drie cijfers, zoodat elk vak eene klasse voorstelt. Daarna spreekt men elk vak uit, te beginnen van den linkerkant, alsof het alleen ware, en voegt er den naam der klasse bij. Voorbeeld : 5.302.248.504 wordt uitgesproken 5 billioen 302 millioen 248 duizend 504. 17. Bemerking. - Uit de overeenkomsten der geschrevene tellingvolgt dat, indien men één, twee, drie nullen, eni. ter rechterhand van een getal plctatst, dit getal daardoor tien-, honderd-, duizendmaal enz. grooter wordt. Inderdaad elk cijfer wordt daardoor één, twee, drie .... rangen naar de linkerhand ~erschovell. en verkrijgt eene betrekkelijke weerde die tien-, honderd-. duizend· .... maal grooter is. Omgekeerd, indien men van een getal eindigende op nullen, één, twee, drie nullen enz. wegneemt, wordt daardoor het getal tien-, honderd-, duizendmaal enz. kleine,'. NOTA OVER DE REKENKUNlIIGE BEWERKINGEN.
18. Eene rekmkundige bewerking is eene samentelling of ontbinding van getallen tot het oplossen van vraagstukken dienstig. De samenstellende bewerkingen zijn de samentelling, de vermenigvuldiging en de machtsverheffing. De ontbindende bewerkmgen zijn de aftrekking, de deeHng en de worteltrekking. Onder die bewerkingen heeten de samentelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deeling hoofdbewerkingen, omdat zij de voornaamste zijn en meest eigenaardigheid bezitten. Wij zullen beurtelings de hoofdbewerkingen op de geheele getallen beschouwen.
-11-
HOOFDSTUK Ir.
Samentelling. 19. Bepaling. -De samentelling der geheelegetallen is eene bewerking waardoor men al de eenheden van verschillige getallen tot één enkel getal vel'eenigt. Het gevonden getal heet som. De getallen die samengeteld worden, heeten termen der som. Het is klaarblijkend dat, wanneer men benoemde getallen samentelt, deze getallen eenbeden moeten uitdrukken van dezelfde soort, of anders gezegd, dat die getallen moeten geltjknamig zijn. De samentelling wordt aanged~id door het teeken +, dat men plus uitspreekt. Het teeken dat de gelijkheid van twee getallen aanduidt, is =-, en wordt uitgesproken is gelijk aan.
Zoo 3 +ö= 8 wordt gelezen: drie plus ö is gelijk aan 8. De ongelijkheid van twee getallen wordt aangeduid door de teekens > en <, die respectievelijk beteekenen is grootet' dan en is kleiner dan. Zoo ö > 3 en 3 < ö worden gelezen : vijf is grooter dan drie, en dl'ie is klemer dan vijf. 20. De beredeneering der samentelling berust op de volgende grondeigenschap (t). Men telt eenige getallen samen, als men in willekeurige orde al de deelen dier getallen samentelt. 21. Eerste geval. - Samentelling van getallen kleiner
dan 10. (I) Eene grondeigenschap is eeue eigenschap die noch kan, noch moet. bewezen worden. .
-1.2-
+
Zij 8 5 + 9 + 6. Om deze samentelling te bewerken, telt men achtereenvolgens al de eenheden b. v. van 5 bij 8. Men zegt: 8 + 1 = 9; 9 + 1 = 10; 10 + 1 = 11; 11+ 1 =12; 12 + 1 = 13. Vervolgens telt men beurtelings al de eenheden van 9 en 6 bij de bekomen som. In het gebruik moet men uit het hoofd kunnen berekenen: 10 de som van twee getallen kleiner dan 10; 2° de som van twee getallen waarvan één grooter en het ander kleiner dan 10 is. Men zal dan zeggen : 8
+ 5=
13; 13
+ 9=
22; 22
+ 6=
28.
22. Tweede geval. - Samentelling van willekeurige getallen. Zij voorgesteld samen te tellen de gelallen 324, 48 en 7'13. Om die samentelling te bewerken, kan men elk gelal splitsen in enkele eenheden, tientallen, honderdtallen; daarna af1.Onderlijk de som maken der enkele eenheden, tientallen, honderdtallen, en al de afzonderlijke sommen in een zelfde getal vereenigen.
Om zulks gemakkelij k te verrichten, stelt men de getallen onder elkaar, op zulke wijze dat dezelfde rangeenheden in dezelfde verticale kolom staan, en trekt daaronder eene schreef. 324 48
713 1085 Dat gedaan zijnde, zegt men: 3 en 8 is 11 ; 11 en 4 is 15. 15 is de som der enkele eenheden. Daar de volgende gedeeltelijke sommen geene enkele eenheden kunnen geven, mag men de D eenheden onder de kolom der eenheden schrijven. Het tienta.l wordt gevoegd bij de som der tientallen op te maken uil de tweede kolom. Men zegt 1 mededragen en 1 is 2, 2 en 4 is 6, 6 en 2 is 8. De som heeft dus 8 tientallen, die men onder de kolom der tientallen schrijft.
-13 -
Eindelijk: 7 en 3 is 10. Er zijn dus 10 honderdtallen. Men schrijft 10 voluit nevens 8. 23. Regel. - Om willekeurige geheele getallen samen te tellen, schrijft men ze onder elkaa/', zoodat de eenheden van denzelfden rang in dezelfde verticale kolom staan. Onder de getallen trekt men eene horizontale Zijl!. Men maakt achtereenvolgens de som der cijfers van elke kolom, te beginnen met de kolom der enkele eenheden. Zoo de som kleiner is dan 10, schrijft men ze onder de kolom; zoo zij echter grooter is dan 10, schrijft men onder de kolom de eenheden der som, en de tientallen worden medegedragen naar de volgende kolom. iJ'Jen gaat zoo voort tot de laatste kolom, waarondel' men de som voluit schnjft. Indien al de gedeeltelijke sommen kleiner waren dan 10, dan zou men onverschillig de samentelling van de recbternaar de linkerhand, of van de linker- naar de rechterhand mogen bewerken.
24. Proef der samentelling. - Door proef eener' bewerking verstaat men eene tweede bewerking die men doet om zich van de juistheid dér eerste te verzekeren. Om de proef der samentelling te maken, kan men eene van de twee volgende middelen gebruiken, beide gesteund op de grondeigenschap der samentelling (20) : 10 De bewerking in eene omgekeerde orde herhalen; 2 Zoo zij zeer veel termen heeft, de samentelling in twee of meer deelen splitsen, en de gedeeltelijke sommen tot ééne som vereenigen. 0
-14HOOFDSTUK lIl. Aftrekking. 25. Bepaling. - De aftrekking met geheele getallen is eene bewerking waarin men een geheel getal met al de eenheden van een ander vermindert. De uitkomst heet rest of verschil. Beide getallen waarvan men het verschil zoekt, heeten termen van het verschil. De term van welken men aftrekt, wordt aftrektal; de andere, aftrekker genoemd. Het is klaarblijkend dat, indien de termen benoemde getallen zijn, zij ook moeten gelijknamig wezen. Uit de bepaling blijkt dat het aftrektal gelijk is aan de som van den aftrekker en het verschil. De aftrekking is dus de omgekeerde bewerking van de samentelling: men zal ze nog mogen bepalen: eene bewerki1lg waarin men, de som van twee getallen kennende en een dier getallen, het ande1' getal zoekt. De aftrekking wordt aangeduid door het teeken -, dat men min uitspreekt. Zoo 13 - 7 wordt gelezen: vijftien min zeven. 26. Wij onderscheiden drie gevallen in het beredeneeren. der aftrekking: 1° Een getal kleiner dan 10 van een ander aftrekken; 2° Een getal grooter dan 10 aftrekken van een ander, zoo gekozen, dat geen zijner cijfers kleiner is dan het overeenkomstig cijfer van den aftrekker; 3° Een getal grooter dan 10 aftrekken van een ander in hetwelk eenige cijfers kleiner zijn dan de overeenkomstige cijfers van den aftrekker. 27. Eerste geval. - Zij 13 - 6. De beredeneering van dit geval steunt op de volgende grondeigenschap:
-15 -
Om een geheel getal af te trekken, mag men beurtelings al zijne eenheden aftrekken. Om dus 6 van 15 af te trekken, kan men achtereenvolgens 15 met elkeen der eenheden van 6 verminderen. Men zegt: 15 - 1 = 14; 14 - 1 = 13; 13 - 1 = 12; 12 - 1 = 11 ; 11 -1 = 10 ; 10 - 1 = 9. In het gebruik moet men de bewerkingen ineens en uit het hoofd kunnen verrichten. 28. Tweede geval. - Zij b. v. 4839 - 3237.
De beredeneering van dit geval steunt op de volgende grondeigenschap: Om een getal van een ander at te trekken, mag men, na ze beide in deelen gesplitst te hebben, elk deel van het aftrektal verminderen met een deel van den aftrekker, en daarna al de bekomen resten samenvoegen. Men splitst beide getallen in zijne eenheden, tientallen, honderdtallen, enz.; men trekt de eenheden van het kleinste af van die van het grootste, en zoo ook voor de tientallen, honderdtallen, enz. Om dit ~emakkelijker te doen, schrijft men het kleinste getal onder het grootste, zoodanig dat de eenheden van denzelfden rang onder elkaar staan. 4839 3237 1602
Men zegt: 7 van 9 blijft 2; 3 van 3 blijft 0; 2 van 8 blijft 6; 3 van 4 blijft 1. De rest is 1602. 29. Derde geval. - Zij 4839 - 2958. In dit geval is de grondeigenschap van het voorgaande ji!.'eval niet toepasselijk, zoo men wil de enkele eenheden van de enkele eenheden, de tientallen van de tientallen, de honderdtallen van de honderdtallen enz. aftrekken. Het aftrektal moet dus anders in deel en gesplitst worden dan volgens de betrekkelijke weerde van elk cijfèr, om, door toepassing van die grondeigenschap, de aftrekking te bewerken.
4839 2958 1881 .
-16 Men redeneert volgender wijze: 8 eenbeden van 9 eenheden blijft 1 eenheid. 5 tientallen van 3 tientallen is onmogelijk. Ontleenen wij een honderdtal aan de 8 honderdtallen van het aftrektal. Dit honderdtal, dat 10 tientallen doet, gevoegd bij 3 tientallen geeft 13 tientallen. 5 tientallen van 13 tientallen blijft 8 tientallen. In hel aftrektal bestaan nu nog 7 honderdtallen. 9 honderdtallen van 7 honderdtallen is onmogelijk. Ontleenen wij 1 duizendtal aan de 4 duizendtallen van het aftrektal, en 1 duizendtal of tien honderdtallen plus 7 honderdtallen geeft 17 honderdtallen. 9 honderdtallen van 17 honderdtallen blijft 8 honderdtallen. In bet altrektal blijven er nog 3 duizendtallen. 2 duizendtallen van 3 duizendtallen blijft 1 duizendtal. Men ziet dus dat men inderdaad het aftrektal gesplitst heeft in 9 eenheden, 13 tientallen, 17 honderdtallen, 3 duizendtallen, en respectievelijk van dk deel de 8 eenheden, 5 tientallen, 9 honderdtallen en 2 duizendtallen van den aftrekker heeft afgetrokken, zoodat men de grondeigenschap van het tweede geval heeft toegepast. 30. Regel. - Om een geheel getal van een geheel getal af te trekken, schrijft men het kleinste onder het grootste,
zoodat de eellheden van denzelfden rang onder elkaar staan, en men trekt eene streep om de getallen van het verschil, dat men er onder schrijven zal, af te scheiden. Te beginnen van de ,·echterhand, trekt men elk cijfer van het onderste getal af van het overeenkomstig cijfer van het bovenste, en de rest schrijft men onder de streep in dezelfde kolom van die beide cijfers. Zoo een der onderste cijfers grooter is dan het overeenkomstig cijfer van het bovenste, vermeerdert men dat cijfer met 10 eenheden van zijnen rang om de aftrekking mogelijk te maken; en men vermindert het volgende cijfer van het aftrektal met eene eenheid van zijnen rang. Bemerking. - Zoo de ontleening moet gebeuren wanneer het volgende cijfer 0 is, moet men, bij het ontleenen, verder ~aan dan de hoogere rangeenheid. B. v. 304 - 237. lk kan geen tientalontleenen, daar er geene zijn. Ik ontleen dan een honderdtal aan de drie honderdtallen, en
-17 aan de 10 tientallen die ik zoo bekom, ontleen ik 1 tiental, zoodat er 2 honderdtallen en 9 tientallen in het aftrektal overblijven. Zij nog 3004 - 237. Hier zal ik 1 duizendtal of 10 honderdtallen ontleenen, zoodat er 2 duizendtallen overblijven; Tan de tien honderdtallen ontleen ik 1 honderdtal of 10 tientallen, zoodat er 9 honderdtallen overblijven; van de tientallen ontleen ik 1 tiental of 10 eenheden, zoodat 4 geeft 14, waarvan nu 7 kan afgetroker 9 tientallen overblijven. 10 ken worden. De volgende cijfers van den aftrekker worden nu respectievelijk afgetrokken van 9, van9 en van 2.
+
31. De methode in de beredeneering van het derde geval gevolgd, heet methode van ontleening. Er bestaat eene andere methode, die men methode van vergoeding noemt. Behalve de grondeigenschap van het tweede geval, moet men, bij de beredeneering van het derde geval volgens de methode van vergoeding, nog de volgende grondeigenschap voor oogen houden : Het verschil van twee getallen verandert niet als men beide getallen met een zelfde getal vermeerdert. Zij wederom 4839 - 29ö8. 8 eenheden van 9 eenheden blijft 1 eenheid. ti tientallen van 3 tientallen is onmogelijk. Om deze aftrekking m~gelijk te maken, vermeerderen wij het aftrektal met tien tientallen, en zoo bekomen wij 13 tientallen. ö tientallen van 13 tientallen blijft 8 tientallen. Wij hebben het aftrektal met tien tientallen vermeerderd; wij moeten dus, wil de rest dezelfde blijven, den aftrekker met 10 tientallen of een honderdtal vermeerderen. Er bestaan in den aftrekker 9 honderdtallen. 9 honderdtallen + 1 honderdtal geeft tien honderdtallen. Trekken wij dus 10 honderdtallen van de 8 honderdtallen van het aftrektal af; maar dit is onmogelijk. Vermeerderen wij het aftrektal met 10 hondertallen : wij hebben dan 18 honderdtallen. 10 honderdtallen van 18 honderdtallen blijft 8 honderdtallen. Wij hebben het aftrektal met 10 honderdtallen vermeerdeI'd; opdat het verschil gelijk blijve, moeten wij ook den aftrekker met 10 honderdtallen of 1 duizendtal vermeerderen. 2 duizendtallen + 1 duizendtal geeft 3 duizendtallen. 3 duizendtallen van 4 duizendtallen blijft 1 duizendtal. 2
-
18-
Gebruikt men de methode van vergoeding, dan heeft men den regel, hooger (30) voor de aftrekking gegeven, enkel in zijne laatste woorden te wijzigen: in plaats van en men vermindert het volgende cijfer enz., heeft men en vervolgens voegt men eene eenheid van zijnen mug bij het volgende cijfet· van den aftrekker. 32. Opmerkende dat de aftrekker plus de rest gelijk moet zijn aan het aftrektal, kan men nog de aftrekking bewerken zooals in het volgende voorbeeld:
4839 2958 1881 8 plus 1 is 9 (men schrijft 1 onder 8, terwijl men 1 uitspreekt). 5 plus 8 is 13 (men schrijft 8 onder 5). 1 plus 9 is 10, plus 8 is 18 (men schrijft 8 onder 9). 1 plus 2 is 3, plus 1 is 4 (men schrijft 1 onder 2).
33. Proef der aftrekking. - Men maakt de proef der aftrekking op twee manieren: 1~ Men telt de rest bij den aftrekker en de som moet gelijk zij n aan het aftrektal; 2° Men trekt de rest af van het aftrektal en het verschil moet gelijk zijn aan den aftrekker. 34. Stelling I. (1) - Om een verschil bij een getal te voegen, kan men den eersten term van het verschil bij het getal voegen en van de bekomene som den tweeden term aftrekken. Zij voorgesteld bij 8 het verschil 12 - 7 te voegen. Indien wij 12 bij 8 voegen, bekomen wij 8 + 12. Maar de uitkomst is klaarblijkend 7 eenheden te groot. De juiste uitkomst zal dus zijn 8 + 12 - 7. De volgende gelijkheid stelt die eigenschap voor:
+
8 (12 - 7) = 8 In het algemeen: a
+ (b -
c)
=
a
+ 12 +
7.
b - c.
(1) Eene stelling is eene waarheid die kan bewezen worden.
-19 -
Toepassing op het hoofdrekenen: ö4 165
+ 98 =
+ 960 =
54
165
+ (100 -
+ (1000 -
= 54 + iOO - 2. 40) = 165 + 1000 -
2)
40.
35. Stelling II. - Om van een getal een verschil af te trekken, mag men van het getal den eersten term van het verschil aftrekken, en bij de uitkomst den tweeden term van het verschil voegen. Zij van 40 het verschil 34 - 18 af te trekken. Indien wij van 40 den eersten term van het verschil 34 aftrekken zal de uitkomst 40 - 34 zijn. Maar de uitkomst is klaarblijkend 1.8 eenheden te klein. De juiste uitkomst is dus 40-34 18. De volgende gelijkheid drukt de eigenschap uit:
+
40 -
(34 -
18)
=
40 -
34
In het algemeen a - (b - c) = a -
+ 18. b+ c
Toepassing op het hoofdrekenen: 145 - 99
=
13it) - 995
~
145 -
(100 -
1)
=
1315 - (1000 - ti)
=
145 -
100
+1
1315 -100
+ 5.
-
20-
HOOFDSTUK IV.
Vermenigvuldiging. 36. Bepaling. - De vermenigvuldiging van een geheel' getal met een geheel getal is eene bewerking, waardoor men: 'het eerste dier getallen zoo dikwijls neemt als er eenheden in het tweede zijn. Het getal dat men eenige malen neemt, heet vermenigvuldigtal; het getal dat aanduidt hoe dikwijls het vermenigvuldigtal moet genomen worden, heet vermenigvuldiger; deuitkomst van de bewerking heet product. Het product is dus de som van zooveel getallen, alle gelijk aan het vermenigvuldigtal, als er eenheden zijn in den vermenigvuldiger. Daaruit volgt dat het product altijd van denzelfden aard, is als het vermenigvuldigtal. De vermenigvuldiger is altijd een onbenoemd getal. Het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger zijn defactoren van het product. Het teeken der vermenigvuldiging is X, dat wij uitspreken vermenigvuldigd met. Dan staal het vermenigvuldigtal links en de vermenigvuldiger rechts. 3x4=12 beteekent : 3 vermenigvuldigd met 4 is ~elijk aan 12. Met algemeene getallen door letters voorgesteld, of met sommen of verschillen tusschen haakjes, duidt men dikwijls. de vermenigvuldiging aan alleenlijk door de factoren nevens. elkaar te schrijven. b. v. ab bete~kent aX b (3
+ 4) (5 - 2) 5 (8 + 4)
» »
(3
+ 4)
I)
X (3
X (5 -
+ 4).
2)
Bemerking. - Sommigen spreken het teeken der vermenigvuldiging maal uit. Zoo
3 X 5 beteekent 3 maal 5.
Dan staat de vermenigvuldiger op de eerste, en het vermenigvuldigtal op de tweede plaats.
-
21-
37. Beredeneering. - Wij onderscheiden vijf ge'Vallen: 1° product van een getal van 1 cijfer met een getal van 1 cijfer; 2° product van een setal van verscheidene cijfers met ·een getal van 1 cijfer; 3° product van een willekeurig getal met de eenheid gevolgd van nullen; 40 product van een willekeurig getal met een beduidend eijfer gevolgd van nullen; 5° product van twee willekeurige getallen. 38. Eerste geval. - B. v. 8 X ". Volgens de bepaling moet men 4, getallen samentellen, alle gelijk aan 8 : 8 x 4= 8 8 8 8 = 32. Deze som moeten wij in eens en uit het hoofd kunnen 'berekenen. In de tafel van vermenigvuldiging leert men al de produceten van twee getallen van 1 cijfer.
+ + +
39. Tweede geval. - B. v. 2558 X 4. 2558 met 4 vermenigvuldigen, is de som maken van vier getallen gelijk aan 2558. SAMENTELLING.
VERMENIGVULDIGING.
2558 2öö8 2558 4 2558 10232 2558 10232 Men zou dus, om den regel der samentelling (23) toe te passen, afzonderlijk de som der enkele eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen moeten zoeken, of 4 maal 8 eenheden, 4 maal ö tientallen, 4 maal ö honderdtallen en 4 maal 2 duizendtallen nemen, vermenigvuldigingen die tot het eerste geval behooren. Indien één der producten grooter is dan 10, worden de tientallen bij het volgende pro.duet gevoegd.
-
22-
Regel. - Om een getat van verscheidene cijfers tevermenigvuldigen met een getal van één cijfer, vermelligvuldigt men achtereetlVolgens, te beginnen van de rechter hand, ieder cijfer van het vermenigvuldigtal met den vermenigvuldiger. Men schrijft de eenheden van el~ product; de tientallen, zoo er zijn, worden medegedragen om bij het volgende product gevoegd te worden. 40. Derde geval. - B. v. 3208 x 100.
De som maken van 100 getallen gelijk aan 3208 is 3208 honderdmaal grooter maken. In detelIing (17) hebben wij gezien dat men zulks bekomt met twee nullen achter 3208 te plaatsen, wat 320800 als product geeft. Regel. - Om een getal te vermenigvuldigen met de eenhfid gevolgd van nullen, sch1'ijfl meu achter het vermenigvuldigtal zooueel nullen als el' achter de eenheid in den vermenigvuldiger zijn. 41. Vierde geval. - Zij b.·v. 3208 x 300. Wij moelen de som maken van 300 getallen gelijk
aan 3258. Daar 300 gelijk is aan 100 maal 3 (40), kan men deze lange bewerking splitsen in 100 samentellingen, die elk 3 termen zouden hebben gelijk aan 3208. 3208 3208 3208 9774 =
3208 300 977400 :~208
x 3
De uitkomst van iedere bewerking zal men bekomen door den regel van het lweedegeval (39),en de totale uitkomst. die 100 maal grooter is, door den regel van het derde· geval (40). Regel. - Om een getal te vermenigvuldigen met een beduidend cijfer gevolgd van nullen, vermenigvuldigt mell het vermenigvuldigtal met het beduidend cijfer, en schrijft achter het product zooveel nullen als el' nevens het beduidend cijfe,' in den vermenigvuldiger zijn.
-
23-
B. v. 3458 X 934. Wij moeten de som maken van 934 getallen gelijk aan 3458. 42. Vijfde geval. -
SAMENTELLING.
3458) 3458t 3458 ( 3.458 , 3458 3458 3458
=
3458 X 4
VERMENIGVULDIGING.
3458 934 1383~
= 3458 X 30
103740 3112200 3229772 PRACTJSCHE MANIER.
3458 3458 3458 3458 = 3458 x 900.
3458 934 13832 10374 311-12 3229772
Men kan die lange bewerking ontbinden in drie gedeeltelijke samentellingen, en daarna de gedeeltelijke sommen s3menvoegen. Men maakt eerst de som van vier getallen gelijk aan 3458, daarna van 30 en eindelijk van 900. De eerste som wordt bekomen door den regel van het 2de geval, de twee andere door dien van het 3de geval. De gedeeltelijke sommen zijn 13832, 103740 en 3112200, en de totale som of het product 3229772. l\len bemerke dat het tweede gedeeltelijk product (hier 3458 X 30) altijd op eene nul uitgaat of tientallen oplevert; het derde (hier 3458 X 900) altijd op twee nullen uitgaat of honderdtallen oplevert enz. De plaatsen. welke die nullen zouden bekleeden, laat men in de practische manier open. Regel. - Om een willekeurig getal met een willekeurig getal te vermenigvuldigen, schrijft men het vermenigvuldigtal
-
24-
onder den vermenigvuldiger op zulke wijze dat dezelfde rangeenheden onder elkaar staan, en men trekt eene horizontale lijn om er de gedeeltelijke producten onder te schrijven. Men vermelligvuldigt het vermenigvuldigtal beurtelings met elk cijfer van den vermenigvuldiger, en men schlijft elk product derwijze dat het eerste cijfel' el' van, te beginnen van de rechter hand, in dezelfde verticale kolom sta als het cijfel' vel'menigvuldigel' : daal'na. maakt men de som van al die p"oducten en bekomt zoo het gevraagde product. Bemerkingen. - 10 Men begint gewoonlijk door de vermenigvuldiging van het vermenigvuldigtal met het cijfer der eenheden, alhoewel dit niet noodzakelijk is. 2° Is een der cijfers van den vermenigvuldiger 0, dan is dat gedeeltelijk product nul. 3° Eindigt het vermenigvuldigtal of de vermenigvuldiger of beide op nullen, dan maakt men de vermenigvuldiging van de getallen zonder de nullen, en voegt vervolgens bij het product zoo veel nullen als er zijn in het vermenigvuldigtal en den vermenigvuldiger te zamen. 43. Aantal cijfers van het product. - Het product heeft zooveel cijfers als er zijn in het vermenigvuldigtal eu den vermenigvuldiger te za men, ot zooveel min één. Veronderstellen wij b. v. dat het vermenigvuldigtal 5 en de vermenigvuldiger 3 cijfers hebbe; dan heeft het product 5 3 = 8 cijfers ofwel 8 - 1 = 7. Inderdaad de vermenigvuldiger is grooter dan 100, dat het kleinste getal met 3 cijfers is, en kleiner dan 1000, het kleiuste getal met 4 cijfers. Het product is dus kleiner dan het vermenigvuldigtal gevolgd van 3 nullen, en grooter dan het vermenigvulrligtal gevolgd van 2 nullen. Het aantal cijfers is dus ten minste 5 2 =-= 7 en ten hoogste 5 3 = 8.
+
+
+
44. Gedurig product. - Een gedurig product is de uitkomst der vermenigvuldiging van een getal met een tweede, van het komende product met een derde, van het nieuw komende product met een vierde, enz. Zoo is 3 X Ö X 4 X 6 gelijk aan 3 X 5 of Hi vermenigvuldigd met 4 of 1ö X 4 = 60, en daarbij 60 X 6 of 360. De getallen tusschen welke het teeken X staat, iteeten factoren van het product. Het gedurig product wordt ook genoemd product van meer dan twee factoren.
45. Macht. -
25-
Eene macht is ePll product van gelijke
factoren. Zoois3 X 3 eenemacht,alsook5 X 5 X 5en7 X 7 X 7 X 7. Men onderscheidt de machten volgens het aantal màlen .dat hetzelfde getal factor is in het product. Zoo is: 3 X 3 de tweede macht van 3, 5 X 5 X 5 de derde macht van 5, 7 X 7 X 7 X 7 de vierde macht van 7. De tweede macht heet ook vierkant, en de derde macht, kubiek. Kortheidshalve wordt de macht van een getal aangeduid door den exponent of klein cijfer ter rechterhand bovenaan het getal geplaatst, en aanduidende hoe dikwijls het getal factor is in het product. 3 X 3 wordt geschreven: 32 , » l:iX5x5 » » 7x7X7X7 ]) In een gedurig product kan de macht van een getal met nog andere factoren voorkomen.
B.
V.
32 X 7;
32
X
53
;
5
X
3" .
Het aantal factoren van een gedurig product wordt aangeduid door de som der exponenten van al de factoren, zoo nochtans dat elk getal zonder exponent altijd als hebbende exponent 1 gerekend wordt, daar het dan éénmaal als factor voorkomt. In : 32 X 7 zijn 3 facLoren. 32 X 5:1 ]) 5
»
5 X 35
»
))
6
Bemerking. - Het is van belang wel onderscheid te maken b. v. tusschen 3' en 3 X 4 : 3' = 3 X 3 X 3 X 3 3 X 4= 3
+ 3 + 3 + 3.
-
26-
EIGENSCHAPPEN AANGAANDE DE VERMENIGVULDlGI:'IG.
46. Grondeigenschap. - Men vermenigvuldigt eene som met een getal, als men elken term der som met dit getal vermenigvuldigt, en de gedeeltelijke producten samenvoegt. B. v. (3 4) X 5 = 3 X 5 + 4 X 5. Toepassing op het hoofdrekenen: 45 X 6 = (40 + ö) X 6 = 40 X 6 + 5 X 6.
+
47. Stelling I. - Een product van twee factoren verandert niet, als men die {actoren verwisselt. Men zal b. v. hebben: 5 X 4 = 4 x 5.
+
Inderdaad 5 = 1 1 + 1 + 1 + 1. Men kan dus, om 5 met 4 te vermenigvuldigen (46), 4 maal elkeen der eenheden nemen waar 5 uit bestaat, of (1 1 '1 + 1 + 1) X 4 =- 4 4 4 + 4 + 4. Maar 4, vijfmaal herhaald, is gelijk aan 4 X 5. De beredeneering kan in 't kort volgender wijze geschreven worden :
+ +
+ +
oX 4 =
+4+4=
(1
+ 1 + 1 + 1 + 1) X 4 =
4
+4+4
4 X 5.
48. Proef der vermenigvuldiging. - Uit de voorgaande stelling ziet men dat het product hetzelfde blijft, als men het vermeni~vuldigtal en den vermenigvuldiger verwisselt. Hieruit : om de proef der vermenigvuldiging te maken, verwisselt men de factoren en herbegint de bewerking. 49. Stelling Il. - 111 een gedurig product mag men de factoren in willekeurige volgorde nemen. Zij het gedurig product 2 X 5 X 6 X 3 X 4. Ik zeg 1 dat mende twee eerste factoren mag verwisselen. Volgens wat boven (44) gezeid is, beteekent 2 X ö X 6 X 3 X 4, dat men 2 eerst 5 maal moet nemen, het komende product 6 maal, het nieuw komende product 3 maal, en dit laatste product nog 4 maal. 0
-
27-
Volgens de voorgaande stelling (47) is het product 2 X ;) gelijk aan;) X 2, en in plaats van het eerste product beUiteIings te vermenigvuldigen met 6,3 en 4, mag men het tweede product beurtelings door diezelfde getallen vermenigvuldigen; dus: 2 X Ö x 6 X 3 X 4 = ö x 2 X 6 X 3 X 4. 2° Men mag de twee laatste factoren verwisselen. Inderdaad, volgens de voorgaande stelling (47), is 3 X 4 gelijk aan 4 X 3: dus in plaats van 4 maal3 maal het produkt 2 X Ö X 6 te nemen, mag men het 3 maal 4 maal nemen, dus: 2 X ;) X 6 X 3 X 4 = 2 X ;) X 6 X 4 x 3.
3° Men mag twee opeenvolgende factoren verwisselen. Inderdaad, volgens hetgeen vool'3fgaat, is 2 X Ö X 6 gelijk aan 2 X 6 X Ö. Dus in plaats van het product 2 X 1) X 6 beurtelings met 3 en 4 te vermenigvuldigen, mag men 2 X 6 X t beurtelings door dezelfde getallen vermenigvuldigen, Dus: 2 X ;) x 6 x 3 X 4
=
2 x 6 x
1)
x 3 x 4.
Uit die toegelatene verwisselingen blij kt dat men eIken factor mag br'engen op de plaats waar men wil, of de factoren in eene willekeurige orde nemen. 50. Stelling 111. - Men vermenigvuldigt een getal met een produkt van verscheidene factoren, door het achtereenvolgens door elkeen dier factoren te vermenigvuldigen,
Zij te bewijzen 13 x (2 x D x 3) = 13 X 2 x 5 x 3. In het product 13 X (2 x D x 3) mag men de 2 factoren verwisselen (47). Waaruit: 13 x (2 x D x 3)
=
(2
x ö x 3) x 13.
Volgens de bepaling van het gedurig product (44) heeft men: (2 x 5 x 3) x 13 = 2 x ö x 3 x 13.
-
28-
In dit laatste product mag 13 op de eerste plaats gebracht worden (49). Dus : 2 x 5 x 3 x 13 = 13 x 2 x 5 x 3. De bovenstaande beredeneering kan in 't kort zoo geschreven worden : 3
X
13 x (2 X 5 X 3) = (2 X 5 X 3) 13 = 13 X 2 X 5 X 3. Toepassing op het hoofdrekenen :
X
13 = 2
X
5
X
25 X 36 = 25 X 4 X 9 = 900. 51. Stelling IV. - .lJfen vermenigvuldigt een product met een product, als men het 11roduct van al de factm'en van beide producten vor'mt. Zij te bewijzen: (3 X 4 X 5) (2 X 7 X 8) = 3 X 4 X 5 X 2 X 7 X 8. Men heeft volgens stelling IU (50) : (3 X 4 X 5) (2 X 7 X 8)
=
(3 X 4 X 5) X 2 X 7 X 8.
Volgens de bepaling van het gedurig produkt (44) : (3 X 4 X 5) X 2 X 7 X 8 -= 3 X 4 X 5 X 2 X 7 X 8. Gevolg I. - Om eene macht van een getal met eene andere macht van hetzelfde getal te vermenigvuldigen, geeft men aan het getal voor exponent de som de,. t!xponenten. tP X 54 = t)7 Want 53 X 54 =' (5 X 5 X 5) X (5 X 5 X 5 X 5) =
5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = 58
•
Gevolg II. - Om een product tot eene zekere macht te verheffen, verheft men elken factor tot die macht, en maakt het product dier machten. (2 X 5 X 7)3 = (2 X 5 X 7) X (2 X 5 X 7) X 2 X 5 X 7) = 2 X 5 X 7 X ~ X 5 X 7 X 2 X 5 X 7 ~ 23 X lP X 73 •
-
29-
52. Stelling V. - Men mag in een gedurig product eenige factoren doot· hun uitgewerkt product vervangen. Volgens de bepaling van het gedurig product (44) is deze stelling klaarblijkend, wanneer die factoren de eerste zijn. Nu, men kan ze altijd de eerste maken (49). Dm, is de stelling bewezen. 53. Stelling VI. - Omgekeerd, men mag, in een product van verscheidene factoren, een dier factoren vervangen door andere waa/wan hij het product is. De stelling is klaarblijkend (44), indien die factor de eerste is. Nu, men kan hem altijd op de eerste plaats brengen (49). 54. Stelling VII. - Men vermenigvuldigt een product met een getal, als men een der {actoren van het product met dit getal vermenigvuldigt. Te bewijzen (3 X 1) x 7) X 8 = 24 x ;) x 7. Volgens de bepaling van het gedurig product heeft men: (3 X 3 x 7) x 8 = 3 x 3 X 7 X 8. De factoren 3 en 8 door hun uitgewerlit product vervangende: 3 X 3 X 7 x 8 = 24 X 3 X 7. 55. Stelling VIII. - llfen vermenigvuldigt een getal met eelle som, als men het getal met elkeen van de termen diet· som vermenigvuldigt, en de gedeeltelijke producten samenvoegt.
Zij: 3 X (3 + 2). Door verwisseling der factoren (47) : 3 X (3
+ 2) =
(3
+ 2)
x
3.
Door toepassing van de grondeigenschap (46) : (3
+ 2) X 3 =
3 X 3
+ 2 X 3.
Door verwisseling der factoren (47) : t> X 3
+2 X 3 =
3X3
+ 3 X 2.
-
30-
56. Stelling IX. - Men vermenigvuldigt eene som met eene som, als men elken term van het vermenigvuldigtal beurtelings vermenigvuldigt met elken term van den vermenigvuldiger, en de gedeeltelijke producten samenvoegt. Zij b. v. (2 + 3 + 4) X (I> + 6).
Volgens de grondeigenschap (46) heeft men: (2 + 3 + 4) X (I> + 6) = 2 X (I> + 6) + 3 X (I> + 6) + 4 X (1)+6). Volgens stelling VIII (1)1>) : 2 X (I> + 6) + 3 X (I> + 6) + 4 X (I> + 6) = ~
X I> + 2 X 6 + 3 X ;) + 3 X 6 + 4 X I> + 4 X 6.
Gevolg. - Het vierkant eener som van twee getallen is gelijk aan het vierkant van het eerste getal, plus tweemaal het product van het eerste getal met het lweede, plus het vierkant van het tweede. ~+~=~+~X~+~=3X3+I>X3+
3X5+I>XI>=3X3+3XI>+3XI>+I>XI>= 32 3 X I> X 2 1>2 .
+
+
Toepassing op het hoofdrekenen : 43 2 = (40 + 3)2 = 40 2 + 40 X 3 X 2 + 32
•
57. Stelling X. - Men vermenigvuldigt een verschil met een getal, als men den eersten en den tweeden term van het verschil beurtelings met dit getal vermenigvuldigt, en het tweede product van het eer'ste aftrekt.
Zij :
(7 - 3) X 4.
Zoo men 7 X 4 als product neemt, .dan is dit te groot met 3 X 4. Het juist product is dus 7 X 3 - 3 X 4. Toepassing op het hoofdrekenen: 94 X 7 = (100 - 6) X 7 = 700 - 42. 58. Stelling XI. - Men vermenigvuldigt een getal met een verschil, als men het getal beurteliHgs met den eet'sten en
-
31-
den tweeden term van het verschil vermenigvuldigt, en het tweede product van het eerste aftrekt. 7 X (10 - 2) = (10 - 2) X 7 = 10 X 7 - 2 X 7 = 7 X 10-7 X 2. 59. Stelling XII. - Men vermenigvuldigt een verschil met een verschil, als mell het product maakt van het eerste verschil met den eersten term van hd tweede, en daarvan het product van het eerste verschil met den tweeden term van het tweede aftrekt.
(10 - D) X (7 - 2) = (10 - 5) X 7 - ilO - 5) X 2 10 X 7 - D X 7 - (10 X 2 - D X 2) = 10 X 7 !J X 7 - 10 X 2 + 5 X 2.
=
Gevolg. - Het vierkant van een verschil van twee getallen is gelijk aan het vief'kant van het eers:e, min tweemaal het product van het eerste met het tweede, plus het vin'kant van het tweede.
(10 - 7)2 = (10 - 7) X (10 - 7) = 102 10 X 7 72 = 102 - 10 X 7 X 2 72 •
+
+
-
7 X lO-
60. Stelling XIII. - Het product van de som van twee getallen met hun verschil is gelijk aan het verschil hunner viakanten. ~+~X~-~=~+~X6-~+~X2=
62
+2 X 6-
62
-
22
(6 X 2 + 22) = 62 + 2 X 6 - 6 X 2 - 22 =
•
Toepassing op het hoo/(Irekenen :
(99 + 1) (98 2) (9D + D) (84 + 6)
+
X X X X
+
D) (100 - 5) = 1002 (99 - 1) + 1 = 100 X 98 (98 - 1) + 22 = 100 X 96 (9D - 5) + D2 = 100 X 90 (84 - 6) + 62 = 90 X 78
10D X 9!J = (100
99 2 = 982 = 952 = 842 =
D2
+ 1 + 4 + 2D + 36.
-
32-
HOOFDSTUK V. Deeling. 61. Bepaling. - De deeling is eelle bewerking waardoof' men, het product van twee factoren en een dier {actoren kennende, den anderen (actor zoekt. Het product is het deeltal; de bekende factor, de deeler; de gevraagde factor, het quotient. Het teeken der deeling is : ofwel -. Gebruikt men het. eerste, dan komt het deelial vooraan, en de deel er achteraan; gebruikt men het tweede, dan staat het deeltal vanboven en de deeler vanonder.
Zoo:
63 : 9 = 7 of
63
9"
= 7
beteekent : 63 gedeeld door 9, is gelijk aan 7. 62. Verhoudings- en verdeelingsdeeling. - De bekende factor kan het vermenigvuldigtal of de vermenigvuldigei' van het product zijn. Zij b. v. het volgende vraagstuk:
Hoeveel kosten ~4 meters laken als 1 meter 9 fr. kost? Om dit vraagstuk op te lossen, moeten wij 24 maal den prijs van 1 meIer nemen, zoodat de uitkomst is : 9 fr. X 24 = 216 fr. Veronderstellen wij nu dat het product 216 fr. gekend zij. Volgens dat de gekende factor 24 of 9 Ir. is, heeft men het vermenigvuldigtal of den vermenigvuldiger van het product te zoeken. VOORBEELDEN:
1°
Het quotient is het vermenigvuldigtal.
Als 24 meters laken 216 fr. kosten, hoeveel kost dan 1 meter 1 Daar 24 m. 216 fr. kosten, zoo kost 1 m. 2'i maal min. Om dus den gevraagden prijs te vinden, moet men 216 fr. in 24 gelijke deelen verdeelen, waarvan. elk deel den prijs van 1 m. zal voorstellen, die hier de onbekende factor van het prouuct is.
-
33-
De deeIing heeft hier VOOI' doel de verdeeling van het deeltal in zoo veel gelijke deelen als er eenheden in den deeler zijn. Het quotient gelijk aan een dier deelen wordt de helft, het derde, vierde, vijfde, zesde..... deel van het deeltal genoemd, volgens dat de deeler 2, 3, 4, 5, 6..... is.
2° Het quotiellt is de vermenigvuldiger. Als 1 meter laken 9 fr. kost, hoeveel meters zal men voor 216 fr. hebbenf Daar 1 meter 9 fr. kost, zoo dikwijls 9 fr. in 216 fr. begrepen is, zoo dikwijls zal men 1 meter hebben. Om dus het aantal meters te vinden. moet men zoeken hoe dikwijls 9 fr. in 216 fr. begrepen is, en de uitkomst zal de onb$kende factor van het product zijn.
De deeling heeft hier voor doel, te zoeken hoe dikwijls de deel er in het deeltal begrepen is, of el' kan van afgetrokken worden. In het eerste geval noemt men de deeling verdeelingsdeeling of verdeelingsdivisie; in het tweede, verhoudingsdeeling of verhoudingsdivisie. 63. Samenvatting. - De vel'deelingsdivisie is eelle bewerking in welke, het geheel kennende en het aantal gelijke deelelI, men de grootte van elk deel zoekt. Zoo 63 : 9, als verdeelingsdivisie beschouwd, wil zeggen dat men de grootte zoekt van het ge deel van 63. De verhoudingsdivisie is eene bewerking in welke men, het geheel en de grootte van elk deel kermende, het aantal gelijke deelen bepaalt. Zoo 63 : 9, beschouwd als verhoudingsdivisie, wil zeggen dat men zoekt hoe dikwijls 9 in 63 begrepen is of er kan van afgetrokken worden. In de verdeeIingsdivisie zoekt men het vermenigvuldigtal; in de verhoudingsdivisie, den vermenigvuldiger; vandaar dat bij de verdeelingsdivisie het quotient een benoemd getal kan zijn, terwijl, bij de verhoudingsdivisie, het quotient altijd noodzakelijk een onbenoemd getal is, zooals de vermenigvuldiger in de vermenigvuldiging. Uit wat voorafgaat volgt klaarblijkend dat de deeling de omgekeerde bewerking is van de vermenigvuldiging. 3
-
34-
64. Wederbrenging van de verdeelingsdivbde tot de verhoudingsdivisie en omgekeerd. - Wij
hebben gezien (47) dat een product van twee getallen niet verandert, als men vermenigvuldigtal en vermenigvuldiger verwisselt. Daarom mag men Haar willekeur, voor wat de onbenoemde weerde van het quotient aangaat, den deeler als vermenigvuldigtal of als vermenigvuldiger van het product aanzien. Daaruit volgt dat men zich mag steunen, hetzij op de bepaling van de verdeelingsdivisie, hetzij op die der verhoudingsdivisie om eene algemeene beredeneering der deeling te geven. Voor de geheele getallen zal de deeling voor ons altoos zijn zoeken hoe dikwijls de deeler in het deeltal begrepen is; anders gezeid, wij zullen de deeling beredeneeren als verhoudingsdeeling. 65. Qu
Zij b. v.
25 : 3.
Als verdeelingsdivisie beschouwd, wil dat zeggen, het derde deel van 25 zoeken. Maar door de kennis der tafel van vermenigvuldiging weten wij : 25 = 8
x 3 + 1 en 21$ < 9 x 3.
Als verhoudingsdivisie beschouwd, beteekent 25: 3, zoeken hoe dikwijls 3 in 25 begl'epen is. Insgelijks, volgens de tafel van vermenigvuldiging weten wij : 25 = 3 x 8
+ 1 en 25 < 3 x
9.
Men zegt in beide gevallen dat 8 het geheel gedeelte van het quotient is, of het quotient op min dan ééne eenheid na, en dat 1, kleiner dan de deel er 3, de rest der deeling is.
-
35-
In hetgeen volgt, zullen wij kortheidshalve den naam van
quotient geven aan het geheel gedeelte van het quotient. Het is klaar dat het deeltal gelijk is aan het product van den deeler met het quotient plus de rest. Indien wij dus-door a het deeltal, door b den deeler, door q het quotient en door r de rest voorstellen, hebben wij: a = bq
+ r.
Deze formuul gaat door, zelfs wanneer de deeling opgaat, 't is te zeggen als de rest 0 is, want dan heeft men : a = bq
+ 0 of a =
bq.
Men ziet ook dat, voor wat de weerde van hel quotient en van de re8t betreft, het onverschillig is, de deeling als verhoudings- of verdeelingsdivisie te beschouwen. 66. Aantal cijfers van het quotient. - Er bestaat een gemakkelijk middel om te bepalen hoe,-eel cijfers er aal) het quotient zijn. Zij b. v. 2.1,57.893 te deelen door 285. Indien men achtereeD\'olgens ééne nul, twee, drie nullen achter den deeler schrijft, bekomt men de getallen 2850, 28500, 285000, alle kleiner dan het deeltal. Maar zoo men vier nullen achter 285 schrijft, bekomt men 2850000 grooler dan het deeltal. Het deeltal is dus grooter dan 1000 maal de deeler, maar kleiner dan 10000 maal de deeler, hetgeen volgender wijze geschreven wordt: 285
x
1000
< 2457893 < 285 x
10000.
Men besluit er uit dat het quotient begrepen is tusschen 1000 en 10000, en bijgevolg met 4 cijfers geschreven wordt.
Regel. - Om het aantal cijfers van het quotient te bepalen, schrijft men achtel' den deeler nullen totdat hij grootel' wordt dan het deeltal : het aantal bijgevoegde nullen is het aantal cijfers van het quotient.
-
36-
67. Beredeneering der deeling als vElI'houdingsdivisie. - De volgende tafel geeft ons de gevallen der beredeneering :
I
quotient
DEELING :
<
deeler < 10 ) deeler: beduidend cijfer 10 gevolgd van nullen deeler : een, willekeurig getal
quotient> 10 . . . . . .
Er zijn dus 4 gevallen: 1° deeling waarin het quotient kleiner is dan 10, en de deeler insgelij ks; 20 deeling waarin het quotient kleiner is dan 10, en de deeler een beduidend cijfer gevolgd van nullen; 3° deeling waarin het quotient kleiner is dan 10, en de deeler een willekeurig getal; 4° deeling waarin het quotient grooter is dan 10. 68. Eerste geval. -
Zij:
Quotient
< 10; deeler < 10.
21> : 3.
Wij moeten zoeken hoe dikwijls 3 in 2ö begrepen is. Door de kennis der tafel van vermenigvuldiging weet men dat 3 X 8 = 24 en 3 X 9 = 27; dat dus 3 in 23 acht maal en min dan 9 maal begrepen is, ot dat het quotient 8 is. Regel. - Het quotient wordt bepaald dool' de kennis der tafel van vermenigvuldiging. 69. Tweede geval. - Quotient beduidend cijfer gevolgd van nullen.
Zij:
<
10. Deeler, een
3497 : 400.
Wij moeten zoeken hoe dikwijls 400 in 3497 begrepen is, of er kan van afgetrokken worden. 400 kan niet eens meer van 3497 afgetrokken worden dan 4 honderdtallen van 34 honderdtallen; en 4 honderdtallen kan juist zoo dikwijls van 34 honderdtallen afgetrokken worden als 4 van 34.
-
37-
Regel. - Volgens dat het beduidend cijfer van den deeler tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz. voorstelt, deelt men het aantal tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz;. Mn het deeltal door dit beduidend cijfer. 70. Derde geval. -
Quotient
<
10. Deeler, een
willekeurig getal. Zij b. v.
3497 : 472.
Wij moeten zoeken hoe dikwijls 472 van 3497 kan afgetrokken worden. Zoeken wij hoe dikwijls 400 van 3497 kan afgetrokken worden. Bemerkende dat 400 < 472, en bijgevolg 400 zeker niet min malen kan afgetrokken worden van 3497 dan 472, zal de deeling van 3497 door 400 ons het grootste mogelijk quotient geven der deeling van 3497 door 472. Volgens den regel van het voorgaande geval is het quotient der deeling van 3497 door 400 gelijk aan 8. Het is dus onmogelijk dat 472 meer dan 8 maal in 3497 begrepen zij. Het quotient 8 kan niet te klein zijn, maar het kan te groot zijn. Beproeven wij dus welk het product is van 472 X 8. Wij vinden 3776, en daar 3776 > 3497, zien wij dat het vermoedelijk cijfer 8 werkelijk te groot is. Verminderen wij dit vermoedelijk cijfer met 1 en vormen wij een nieuw proeftal : 472 X 7 = 3304, dat ditmaal van 3497 kan afgetrokken worden. 7 is dus het juist cijfer van het quotient. Het is duidelijk dat, indien men het tweede proeftal 3204 nog niet had kunnen aftrekken van het deeltal, men 7 met nog eene eenheid hadde moeten verminderen en een nieuw proeftal vormen. In die vermindering van het vermoedelijk cijfer, altijd met eéne eenheid seffens, hadde men moeten voortgaan tot dat het proeftal kleiner wierd dan het deeltal of daaraan gelijk. De bewerking kan volgender wijze geschreven worden : 3497 I 472 3304 -7193
-
38-
Regel. - Volgens dat het eerste cijfer van den deele1' tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz, voorstelt, deelt men het aantal tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz. van het deeltal door dit cijfer. Het bekomen quotie/lt is het vermoedelijk cijfer van het quotient. Om dit vermoedelijk cijfer te beproeven, vormt men het proeftal of product van den deeler met het ve1'moedelijk cijfer. Kan het proef/al van het deeltal afgetrokken worden, dali is het vermoedelijk cijfer het juist cijfer; zoo /liet, dan vermindert men het vermoedelijk cijfer met de eenheid en vormt een nieuw pl'oeftal, enz., totdat het proeftal kleiner wordt dan het deeltal, Bemerkingen, - 10 In de twee eerste gevallen vindt men in eens het juist cijfer van het quotient; in het derde geval vindt men dit juist cijfer slechts na beproeving, en dikwijls na herhaalde beproevingen. Practisch maakt men deze beproevingen uit het hoofd, zonder iets te schrijven. 20 Wanneer men veronderstelt dat het vermoedelijk cijfer, gezocht volgens den bovenstaanden regel, te groot zal zijn, kan men het kortheidshalve opzettelijk kleiner nemen. Opdat in zulk geval het cijfer niet te klein zij, moet het proeftal afgetrokken van het deeltal eene rest geven kleiner dan de de el er. B. v. 3497 : 472. Ik neem áls vermoedelijk cijfer van het quotiellt 6. Daar 472 X 6 = 2832 en 3497 - 2832 = 665, zie ik aan die rest 665. dat de deeler meer dan 6 maal in het deeltal begrepen is. 30 Men kan bij het deden de vorming en de aftrekking van het proeftal in eens verrichten, daarbij de methode van vergoeding toepas. sende: De bewerking kan volgender wijze geschreven worden: 3497 193
I7472
Men zegt 2 X 7 = 14; 14 van 17 blijft 3 (men schrijft 3 en onthoudt 1); 7 X 7 = 49 en 1 is 50; 50 van de 59 blijft 9 (men schrijft 9 en onthoudt 5); 4 X 7 = 28 en 5 is 33; 33 van 34 blijft 1 (men schrijft 1 en onthoudt 3) ; 3 van 3 is O. In het voorgaande vermeerdert men met gelijke getallen het deeltal of aftrektal en den deeler of aftrekker, zoodat de rest onveranderd blijft.
71. Vierde geval. - Quotient> 10. Zij: 349752 : 472. Het quolient heeft 3 cijfers (66). Het hoogste cijfer duidt honderdtallen, het tweede tientallen, en het derde enkele eenheden aan. Alle drie zeggen hoeveelmaal de deeler in
-
39-
het deeltal begrepen is; maar het eerste hoeveel honderdmaal, het tweede hoeveel tienmaal daarbij, en het derde hoeveel enkele malen daarenboven. Het is slechts in de honderdtallen van het deeltal dat de deeler eenige honderd malen kan begrepen zijn, te weten, zoo dikwijls één honderdmaal als 472 honderdtallen in de 3497 honderdtallen van het deeltal, of 472 eenheden in 3497 eenheden begrepen zijn. Deze deeling volgens den regel van het derde geval bewerkende, vinden wij voor quotient 7. De deeler is dus in de honderdtallen van het deeltal 700 maal begrepen en er schieten nog 193 honderdtallen over. Deze tot tientallen herleidende, en er de 5 tientallen van het deeltal bijvoegende, hebben wij 1935 tientallen. Het is in die tientallen dat de deeler nu nog een aantal tienmalen kan begrepen zijn, te weten, zoo dikwijls tienmaal als 472 tientallen in 1935 tientallen, of als 472 eenheden in 1935 eenheden begrepen zijn. De deeling volgens den regel van het derde geval bewerken de , vinden wij voor quotient 4. Dus zal de deeler nog 40 maal in het deeital begrepen zijn en er 47 tientallen overblijven. Deze tot enkele eenheden herleidende, vinden wij, met de enkele eenheden van het deeltal, 472. In die enkele eenheden is nu de deeler nog een aantal enkele malen begrepen: hier', 1 maal. De bewerkin, kan volgender wijze geschreven worden: 349752 1472 3304 741 1935 1888 472 472
o Regel. - Wanneer het quotient verscheidene cijfers heeft, scheide men, om de deeling te bewerken, ter linkerhand van het deeltal een getal af, waarin de deeler ten minste éénmaal en geene tienmaal begrepen zij: dit getal is het eerste gedeeltelijk deeltal, en de rang van het laatste cijfer er van is ook de rang van het eerste cijfer van het quotient. Men deelt
- 40dit getal nu door den deeler volgens den regel van het derde geval: die deeling geeft het eerste cijfer van het quotient. Nevens de rest haalt men het volgende cijfer van het quotieJ/t af. Zoo bekomt men het tweede gedeeltelijk deeltal, dat men insgelijks volgens den "egel van het del'de geval deelt dool' den deeler: die deeling geeft het tweede cijfer van het quotient. Nevens de rest haalt men het volgende cijfer van het quotient af. Zoo bekomt men het derde gedeeltelijk deeltal, waarop men werkt zooals op de vool'gaande. Men gaat zoo voort totdat al de cijfers van het deeltal afgehaald en al de" cijfers van het quotient bepaald zijn. Bemerkingen. - 10 Wanneer een gedeeltelijk deeltal kleiner is dan de deeler, dan ontbreken in het quotient de eenheden van den overeenkomstigen rang, zoodat men 0 bij het quotient plaatst. Men haalt aanstonJs het volgend.e cijfer van het deeltal af, om een nieuw gedeeltelijk deeltal te vormen. 20 Men kan ook (70, bemerkingen, 30) elk proeltal terzelfder tijd vormen en aftrekken. Dan zal de blo'werking korter geschreven worden zooals volgt : 349752 [ 472 1935 741 472
o
Wij meen en niet die methode in het algemeen te moeten aanraden, en vinden beter meer te schrijven tm gemakkelijker te rekenen. In de volgende gevallen nochtans ware het zonder het minste nut de proeftallen te schrijven: a) als de deeler een der 9 eerste getallen of 11 is; b) als het cijfer van het quotient 1 is. 3° In het geval dat wij beredeneerd hebben, gaat de deeling op. Het is duidelijk dat zulks niet altijd het geval is. De laatste aftrekking geeft meermaals eene rest die dan klaarblijkend de rest der deeling is. 4° Indien de deeler op nullen eindigt, laat men deze weg; maar snijdt zooveel cijfers van het deeltal af als er nullen weggelaten zijn. Daarna deelt men het linker deel ~an het deeltal door den gewijzigden deeler en vindt het gevraagde quotient. Maar om de geheele rest te bekomen, herstelt men nevens de bekomene rest de cijfers die van het deeltal afgesneden waren. B. v. om 25782 te deelen door 500, deelt men 257 door 5, waaruit het quotient 51 en de rest 2 is. Het quotient der deeling van 25782 door 500 is ook 51, maar de rest is 282.
Inderdaad: waaruit: .en:
41-
=
257 5 X 51 25700 = 500 X 51 25782 = 500 X 51
+2 + 200 + 282.
72. Proef der deeling. - De proef der deeling berust oOp de eigenschap dat het deeltal gelijk is aan het product van den deeler met het quotient plus de rest (65). ·Regel. - Om de proef der deeling te maken, vermenigvuldigt men den deeler met het gevonden quotient. Bestaat et· geene rest, dan moet dit product gelijk zijn aan het deeltal. Bestaat N' eenc rest, dan moet het product vermeerderd met die rest, gelijk zijn aan het deeltal. Men schrijft de proef volgender wijze: DEELING.
PROEF.
34g 167
57325 1342 342
167
2312 2052 2605 2394 211
2394 2052 342 211 57325
Bemerkingen. - 10 Vooraleer in de vermenigvuldiging de som der gedeeltelijke producten te maken, stelt men er de rest onder, zoodat dan de samentelling de som van het product en van de rest geeft. 2- In de deeling geven de proeftallen de gedeeltelijke producten van ·de vermenigvuldiging. Inderdaad het eerste proeftal 342, stelt honderdtallen voor; het tweede, tientallen, en het derde, enkele eenheden. Stelt men ze onder elkaar en schrijft men er de rest onder, dan moet men bij samentelling het deeltal bekomen. 34200 20520
2395 211
57325 In de bovenstaande deeling .zal men dus de proef kunnen bewerken zonder eene nieuwe vermenigvuldiging en zelfs zonder schrijven, daar de getallen die moeten samengeteld worden, in de deeling zelve op de geschikte wijze onder elkaar staan en hunne som bovenaan. Men heeft slechts de gedeeltelijke deeltallen over te gaan of, beter nog, uit te Bchrappen.
-
42-
EIGENSCHAPPEN AANGAANDE DE DEELING.
73. Stelling 1. - Men deelt een product dool' eenen zijllel' factoren, met dien factor weg te laten. 8 X 3 X 7 : 8 = 3 X 7.
Want, zoo men den deeler vermenigvuldigt met 3 X 7.. bekomt men het deeltal. 74. Stelling Il. - Wanneer een der factoren van een p"oductjuist deelbaar is door eell getal, deelt men het product door dit getat, met dien factor door het getal te deelen.
8 X 3 X 7 : 4 = 2 X 3 X 7. Inderdaad : 8 X 3 X 7 = 2 X 4 X 3 X 7
en dan wordt de eerste stelling toepasselijk. 75. Stelling lIl. - Om een getal me: een product vanve1'scheidene {actoren te deelen, mag men het bew'telings doOf"" elkeen dier factoren deelen: dat wil zeggen, hit getal eerst
deel en door den eersten factor, het komende quotient door" den tweeden, het nieuw komende quotient door den derden, enz. Wij veronderstellen hier dat die opvolgende deelingen geene resten geven. Zij b. v.
360: 5 X 6 X 4.
Men deelt 360 door 5, daarna het quotient 72 door 6" het nieuw quotient door 4, en men moet bewijzen dat het laatste quotient 3 Ilok het quotient der deeling is van 360 door 5 X 6 X 4. Inderdaad: 360 = 5 X 72. Maar: 72 = 6 X 12. Dus (50) : 360 = 5 X 6 X '12. Nu: 12 = 4 X 3. Dus (50) : 360 = 5 X 6 X 4 X 3. Of: 360 = (5 X 6 X 4) X 3. Dus is 3 het quotient der deeling van 360 door 5 X 6 X 4.
-
43-
Gevolg. - Om eene macht van een getal door eene andere macht van hetzelfdç getal te deelen, vermindert men den exponent van den deelel' met den eXJlonent van het deeltal. ~F
: 1)3 = 54 •
76. Stelling IV. - Wanneer men in eene deeling deeltal en deeler dool' een zelfde getal 'lJermenigvuldigf, dan blijft het quotient onveranderd, maat de rest hunner deeUng is dool' dit getal vermenigvuldigd.
Als men b. v. a door b deelt, heeft men voor quotient q " dat b a x en voor rest 1'. W IJ" moeten b eWIJzen - -n nog voor X n
quotient q, maar voor rest l' X n geeft. Wij hebben: a = IJ X q + 7'. Indien wij a met n vermenigvuldigen, moeten wij, om de gelijkheid te bewaren, ook b x q + I' metn vermenigvuldigen. Men heeft dus: a X n = b X q X n + ,. X n. En daar men in het product b X q X n de factoren in willekeurige volgorde mag nemen (49), en het product van twee factoren uitwerken (52), bekomt men: a X n = (b X n) X q + ,. X n. Nu daar men heeft: ,. < b, bekomt men ook: l' X n < b X n. Zoodat in de deeling van a X n door b X n, q no~ het quotient, en ,. X n de rest is, waardoor de stelling bewezen is. Deze stelling is ook toepasselijk aan andere getallen dan aan de geheele, en daarom hebben wij ze hier in het algemeen bewezen.
TWEEDE DEEL. Eigenschappen der geheele getallen. HOOFDSTUK I.
Kenmerken van deelbaarheid. 77. Bepaling. - Een geheel getal is deelbaar dool' een ander', of IS er een veelvoud van, wanneer de deding van dit getal door dit ander opgaat, of, hetgeen hetzelfde is, indien het eerste getal het product is van het ander met een geheel getal. Het tweede getal heet deeler, onderveelvoud, {actor of evenmatig deel van het eerste. Om uit te drukken dat 60 een veelvoud is van 5, kan men schrijven: 60 = v. 5, gelezen: 60 is gelijk aan een veelvoud van 5. 78. Stelling 1. - Elk getal dat twee o{ meel' getallen juist deelt, deelt ook hunne som. B. v. 5 deelt afzonderlijk 40, 35 en 15; ik moet bewijzen dat ö ook de som 40 + 35 + 15 deelt. 40 is gelij k aan een aantal malen 5, zoo ook 35 en 15. De som is dus gelijk aan een aantal malen 5, plus een aantal malen ö, plus een aantal malen 5, wat duidelijk een aantal malen 5 als som geeft.
-
45-
79. Stelling II. - Elk getal dat een ande,' getal deelt, deelt ook al de veelvouden van dit getal. B. v. 35 is deelbaar door 5 : wij moeten bewijzen dat 35 X 8 het ook is. Inderdaad een veelvoud van 35 is de som van eenige ~etallen gelijk aan 35, zoodat de eerste stelling (78) hier toepasselij kis. 80. Stelling lIl. - Elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook hUil vet'schil. B. v. 40 en 25 zijn beide deelbaar door 5; wij moeten bewijzen dat 40 - 25 ook deelbaar is door 5. Inderdaad 40 is gelijk aan een aantal malen 5, en zoo ook 25; en een aantal malell 5 min een aantal malen 5 geeft -duidelijk een aantal malen 5. 81. stelling IV. - Als eene som bestaat uit twee deelell, waat'van het eerste deelbaar is dool' een getal en het tweede niet, dan is : 1° de som niet deelbaar dool' dit getal, en 2° de rest del' deeling van de som dool' het getal, dezelfde als de rest det' deeling van het tweede deel doot' het getal. Zij b. v. de som 25 + 17, waarvan het eerste deel deelbaar is door 5 en het tweede niet, zeg ik : 1° De som is niet deelbaar door het getal, want 17 = 5 X 3 + 2. Dus is de som gelijk aan een aantal malen 5, plus een aantal malen 5, plus 2, of aan een aantal malen 5 plus 2; 2° de rest" der deeIing van 25 + 17 door 5 is dezelfde als. die van 17 door 5. Dat is klaarblijkend uit de vorige uitlegging.
82. Stelling V. - De rest der deeling van twee getallen verandert 'liet, als men bij het deeltal eenige malen den deeler optelt of el' van aftrekt. De rest der deeling van twee getallen kan men bekomen met van het deeltal den deeler af te trekken zoo dikwijls het mogelijk is. De rest welke men aldus bekomt, zal niet veran-
-
46-
deren als men het deeltal met eenige malen den deel er vermeerdert of vermindert, want zoo brengt men niets anders teweeg dan het aantal aftrekkingen grooter of kleiner te maken. 83. Deelbaarheid door 2 of 5. - Een getal is deelbaar door 2 of 5, als het cijfer zijner eenheden deelbaar is door2 of5.
Inderdaad, elk getal is gelijk aan een veelvoud van 10 vet'meerderd met het cijfer der eenheden. B. v. 178 is de som van 17 tientallen en 8 eenheden. Nu, een tiental gelijk zijnde aan 2 X 5, is terzelfder tijd een veelvoud van 2 en van 5. Het moet dus ook zoo zijn met een aantal tientallen of een veelvoud van 10 (79). Dus, indien het tweede deel van de som, 't is te zeggen het cijfer der eenheden, door 2 of door 5 deelbaar is, dan zal de som of het getal het insgelijks zijn (78). Indien het cijfer der eenheden niet deelbaar is door 2 of door 5, dan is het getal zelf het ook niet, en de rest der deeling is dezelfde als die der deeling van dit cijfer door 2 of 5 (81). In het gegeven voorbeeld is 8 deelbaar door 2; maar gedeeld door 5 geeft het voor rest 3. 178 is dus deelbaar door 2; maar gedeeld door 5 geeft het voor rest 3. Hieruit volgt: 10 dat een getal deelbaar is door 2, wanneer het eindigt op 0, 2, 4, 6, 8; 20 dat een getal deelbaar is door 5, wanneer het eindigt op 00f5. De getallen deelbaar door 2 dragen den naam van even getallen; de andere, van oneven getallen. 84. Deelbaarheid door 4 of 25. - Een getal is deelbaar door 4 of 25, wanneer het getal, uitgedritkt door de twee laatste cijfers, deelbaar is door 4 of 25.
Inderdaad, elk getal is gelijk aan een veelvoud van 100, vermeerderd met het getal uitgedrukt door de twee laatste cijfers. 43737 b. v. is gelijk aan 4B7 honderdtallen plus 37. EtJn honderdtal is deelbaar door 4 en 25: eene verzameling van honderdtallen zal het dus ook zijn (79). Indien dus 37
-
47-
door 4 of 25 deelbaar is, zal de som of het getal 43737 het ook zijn (78). Indien 37 door 4 of 25 niet deelbaar is, dan is 43737 hel ook niet, en de rest der deeJing van 43737 door 4 of 25 is dezelfde als die van 87 door 4 of 25 (81). 85. Deelbaarheid door 8 of 125. - Een getal is deelbaar door 8 of 125, wanneer het getal uitgedrukt, door de drie laatste cijfers, deelbaar is dool' 8of125. Elk getal is gelijk aan een veelvoud van 1000 plus het getal uitgedrukt door de drie laatste cijfers. De beredeneering komt overeen met die der 2 voorgaande gevallen. 86. Deelbaarheid door 9 of 3. - Elk getal is deelbaar door 9 or3, als de som zijnet· cijfer's, in volstrekte weerde genomen, deelbaar is door 9 of 3. Deze voorwaarden van deelbaarheid steunen op de volgende hulpstelling, die wij eerst gaan bewijzen : Elk getal is gelijk aan een veelvoud van 9 vermeet'det'd met de som zijner cijfers in volstrekte weerde genomen. 10 Elk getal uitgedrukt door de eenheid gevolgd van nullen, is gelijk aan een veelvoud van 9 plus de eenheid.
Want:
10 = 9+1 100 = 99 1 1000 = 999 + 1 enz.
+
2° Elk getal uitgedrukt door een beduidend. cijfer gevolgd van nullen, is gelijk aan een veelvoud van 9 plus dit beduidend cijfer. B. v. 400 = v. 9 +4, want400 =100 x 4; 100 = v. 9 Dus heeft men 400 = (v. 9
+ 1) X 4 =
v. 9
+ 1.
+ 4.
3° Zij nu het willekeurig getal 3787. 3787 = 3000
+ 700 + 80 + 7,
of is gelijk aan de som der betrekkelijke weerden van al de cijfers (14).
- 48-
+3 +7 +8 7= 7 3787 = v. 9 + 3 + 7 + 8 + 9, 3000 = v. 9 700 = v. 9 80 = v. 9
Waaruit :
zoo wij opmerken dat de som van verscheidene veelvouden van 9 nog een veelvoud van 9 is (78). Deze gelijkheid bewijst de stelling. Nu kunnen wij het gegeven kenmerk van deelbaarheid vaststellen. Inderdaad, elk getal kan gesplitst worden in twee deelen, waarvan het eerste gelijk is aan een ,'eelvoud van 9, en dus ook van 3 (79), en het tweede aan de som der cijfers in volstrekte weerde genomen. Is dit tweede deel nu ook deelbaar door 9 of 3, dan is het totaal getal deelbaar door 90f3(78). Indien de som der cijfers niet deelbaar is door 9 of 3, dan is het getal het ook niet, en de rest del' deeling door 9 of 3 van die som is ook de rest der deeling door 9 of 3 van het getal (81). 87. Rest der deeling door 9 of 3. - In het bovenstaande voorbeeld is de som der cijfers 2;). De rest der deeling door 9 is dus dezelfde als die van 2;) dool' 9. 1\1aal' 2;) = v. 9 X 2 + ;) = v. 9 + 7. De rest der deeling door 9 is dus 7. Insgelijks de det'ling van 2;) door 3 geeft de rest der deeling van het getal door 3. Bemerking. ~ Om de rest der deeling door 9 te zoeken, is het niet noodzakelijk werkelijk de som der cijfers te maken, want de rest der deeling verandert niet, als men het deeltal (hier de som der cijfers) eenige malen met den deeler (hier 9) vermindert (82). Iedermaal dat men dus in de som 9 bekomt, laat men die negen vallen. Een voorbeeld zal de manier van te werk te gaan klaar maken. Zij 5491744. Men laat nit de samentelling weg de negen en de cijfers waarvan de som gelijk is aan negen. Zoo 5 4 9; 1 4 4 9· Men ziet dan aanstonds dat 7 de rest der deeling is.
+ =
+ + =
Andel' voorbeeld: 4= 9 5
+
49-
735192781. 2 7= 9
+
8
+1 -
9.
De twee cijfers 7 en 3 blijven alleen over, en men ziet aanstonds dat 1 derest der deeling doo l' 9 is. Hetzelfde geldt voor de rest der deeling door 3. Men mag daar de cijfers 6 en 9 weglaten en al de sommen van cijfel's twee en twee, drieen drie, die veelvouden zijn van 3.
88. Deelbaarheid door 11. - Een getal is deelbam' door 11, wanneet" hel verschil tusschell de som der rijfet"s van oneven rang en die van even rang 0 is, 11 of een veelvoud van 11. Die voorwaarden van deelbaarheid steunen op de volgende hulpstelling: Elk getal is gelijk aan een veelvoud van 11, vermeerderd met de som del' cijfers van oneven rang, en ve,.minderd met de som der cijfers van even rallg. 1° Elke eenheid van oneven rang is gelijk aan een veelvoud van 11 plus 1; en elke eenheid van even rang is gelijk aan een veelvoud van 11 min een. Inderdaad: 100 = 99 1 = v. 11 + 1 10000 = 9999 + 1 = v. 11 '1 1000000 = 999999 + 1 = v. 11 + 1 enz. Zoo ook: 10 = v. 11 - 1. 1000 = 990 + 10 = 990 + 11-1 = v.11-1 100000 = 99990+10 = 99990 + 11-1 = v.11-1 enz. 2° Elk beduidend cijfer van oneven rang geldt een veelvoud van H plus dit beduidend eijfer, en elk beduidend cijfer van even rang, een veelvoud van 11 min dit beduidend cijfer. 400 = 100 x 4 = (v. 11 + 1) X 4 = v. 11 4 4000 = 1000 X 4 = (v. 11 - 1) X 4 = v. 11 - 4. 3° Zij nu het willekeurig getal ;>849. ;>849 = ;>000 + 800 + 40 + 9 ;>000 = v. 11 - ti 800 = v.11 + 8 40 = v.11 -4 9= 9 ;>849 = v. 11 -;> + 8 - 4 9, waaruit
+
+
+
+ 4
-öQ-
zoo men in acht neemt dat de som van verscheidene veelvouden van 11, ook een veelvoud van 11 is (78). Dus: 5849 = v. 11 + (8 + 9) - (3 + 4) = v. 1 t + 17 - 9. Door deze geJij kheid is de stelling bewezen. Nu kunnen wij het gegeven kenmerk van deelbaarheid vaststellen. Indien wij de som der cijfers van oneven rang door Sen die van even rang door S' voorstellen, hebben wij uit het voorgaande: Getal = v. 11 + (S - S'). 1° Indien de som der cijfers van oneven rang gelijk is aan die van even rang: Getal = v. 11
+ 0=
v. 11.
2° Indien de som der cijfers van oneven rang de grootste is, en het verschil def\lbaar door 11 : Getal
= v. 11. + v. 11 = v. 11 (78).
3° Indien de som der cijfers van even rang de grootste is, en het verschil deelbaar door 11 : daar men heeft : v.l1
+ (S -
S')=v.l1-(S'- SJ,
zoo is dan: Getal = v. 11 - v. 11 = v. 11 (79). Dus is het opgegeven kenmerk van deelbaarheid bewezen. Regel. - Om te zien of een getal deelbaar is dool' 11, maakt men afzonderlijk de som del' cijfers van oneven rang en die der cijfers val! even rang. Zijn beide sommen gelijk, zoo is het getal deelbaar door 11; zijn zij niet gelijk, dan trekt men de kleinste som van de grootste af, en, is de rest deelbaar door 11, dan is het getal het ook.
-!H -
89. Rest der deeling door 11. - Indien het verschil der twee sommen niet 0 is of door 11 deelbaar, dan is het getal een veelvoud van 11 vermeerderd of verminderd met een getal dat zelf niet door 11 deelbaar is, of in beide gevallen Mn veelvoud van 11 plus eelle rest (81). Om die rest te bepalen, onderscheidt men 2 gevallen: 10 Ot som der cijfers van oneven rang is gl'ooter dan de som del' cijfers van èven rang. Het getal is dan gelijk aan een veelvoud van 11 plus het verschil tusschen beide sommen: dus geeft de rest der deeling van het verschil door 11 ook de rest der deeling van het gelal door 11 (81). B. v. 0849 = v. 11
+ ('l7 -
9)
=
v. 11
+ 8.
2" De som del' cijfers van oneven rmlg is kleiner dan die van epen rang. In dat geval vermeerdert men de eerste som of vermindert men de tweede met een veelvoud van 11 totdat de aftrekking mogelijk worde. Hierdoorwordt de rest der deeling van het getal door 11 niet veranderd (82). B. v. : 9406 = v. 11
+ 10 -14 =
Of: 9406 = v. 11
+ 10 -
v.11
+ 21-14 =
14 = v. 11
+ 10 -
v.11
+ 7.
3 = v. 11
+ 7.
NEGEN- OF ELFPROEF OP DE HOOFDBEWERKINGEN.
90. Samentelling. - In de samentelling is de som der termen gelijk aan een veelvoud van 9, plus de som der resten door 9 van al de termen, of aan een veelvoud van 9 plus de rest der deeling door 9 van de som der resten.
som
2304 = 1338 = 8230 = 11927 =
v. v. v. v.
+ 0 + 6 9+ 0 9 + 11 =
9
9
v. 9
+ 2.
-
52-
Hetzelfde geldt voor de deeling door i 1 :
som
2Jö4 = v. 11 + 0 1338=v.11+ 7 8235 = v. 11 + 7 11927 = \'.11 14 = v. 11 + 3.
+
Daaruit volgt : Regel. - Om de negen- of elfproef op de samentelling te maken, zoekt men de resten der deeling dool' 9 of 11 van al de termen det' som, maakt de som dier resten, bepaalt de rest del' deeling door 9 of 11 van die som, en ziet vel'tJolgens of die ,'est dezelfde is als de rest det' deeling dool' 9 of 11 van de som del' termen. Bemerking. - Als de negenproef geelle fout aanwijst, kan men alleen met zekerheid zeggen dat, zoo in de bewerking eene fout gemaakt is, zij een veelvoud van 9 zijn moet, Hetzelfde voor de elfproef. Als dus geene van beide proeven eene fout aanwijst, moet de fout, zoo zij bestaat, te gelijk een veelvoud van 9 en van 11 zijn. Deze bemerking is toepasselijk aan de negen- en elfproeven op al de andere bewerkingen.
91. Aftrekking. - Het aftrektal is ~elijk aan een veelvoud van 9, plus de som del' resten dool' 9 van aftrekker en verschil, of aan een veelvoud van 9 plus de rest del' deeling door 9 van de som dier resten.
Inderdaad: 5601 - 2239 = 3362. De som van den aftrekker plus de rest is gelijk aan het aftrektal : 2239 = v. 9 + 7 3362 = v. 9 I) 5601 = v. 9 + 12 =- v. 9 + 3.
+
Hetzelfde geldt voor de deeling door 11 :
+
2239 = v. 11 6 3362 -= v. 11 + 7 1)601 = v. 11 + 13 = v. 11
+ 2.
-
53-
Regel. - Om de negen- of elfproef op de aftrekking te maken, zoekt men de resten der deeling door 9 of 11 van den aftrekker en van de rest, maakt de som dier resten, zoekt de "est der deeling doof' 9 of 11 van die som en, ziet vervolgens of die "est dezelfde is als de rest del' deeling dool' 9 of 11 van het aftrektal. 9~. Vermenigvuldiging. - Het product is gelijk aan een veelvoud van 9, plus hel product van de resten der deeling döor 9 van vermenigvuldigtal en vermenigvuldiger; of het product is gelijk aan een veelvoud van 9 plus de rest der deeling door 9 van het product dier resten. Zij de vermenigvuldiging:
5485
237 38395
1641>1>
10970
1299941> In de bovenstaande vermenigvuldiging : M85 = v. 9
+4
237 = Y. 9 + 3 M85 X 237 = (v. 9 + 4) (v. 9 + 3) of (56) : M85 X 237 = v. 9 X v. 9
of (79 en 78) :
+ 4 X v. 9 + v. 9 X 3 + 4 X
5485 X 237
= v. 9 + 12
en (81) : M85 X 237
= v. 9 + 3 w. m. b. w.
Helzelfde geldt voor de deeling door 11 :
= v. 11 237 = v. 11 548ö X 237 = v. 11 548ö
+7 +6 + 42 = v. 11 + 9.
3
-54Regel. - Om de negen- en elfproef op de vermenigvuldiging te maken, maakt men het product der resten van de deeling door 9 of 11 van vermenigvuldigtal en vermenigvuldiget', zoekt de rest del' deeling door 9 of 11 van dit p,'odnct, en ziet vervolgens of het product der vermenigvuldiging dezelfde ,'est geeft, wanneer men het deelt dool' 9 of 11. 93, Deeling. - In de deeling die opgaat, is het deeltal gelijk aan een veelvoud van 9, plus het product der resten door 9 van deelel' en quotient; of is gelijk aan een veelvoud ran 9, plus de rest der deeling door 9 van het product die,' resten.
1299943 : 5483 = 237 1299943 = 348ë x 237 1299943 = (v. 9 + 4) (v. 9 3) = v. 9 + 12 = v. 9 B. v.
+
+
3.
Hetzelfde geldt voor de deeling door 11 : 1299943=(v.11 + 7)(v.11 +6) = v. 11
+ 42 =
v.11 +9.
Regel. - Om de negen- ot elfproef te maken op eene deeling die opgaat, maakt men het product der resten van de deeling door 9 of 11 van deelel' en quol'ient, zoekt de rest dc,' deeling dool' 9 of 11 van dit product, en ziet vervolgens of het deeltal dezelfde rest geeft, wanneer men het deelt do Ot' 9 of 11. Gaat de deeling niet op, dan heeft men de negènproef te maken op de samentelling van het product van den deeler met het quotient plus de rest.
B. v.
4313 = 222 4313 = v. 9 4313 = v. 9
x 20
+ 73
+3+
v. 9
+ 7+
v. 11
+ 4.
+
1
Insgelijks: 4313 = v. 11 4313 = v. 11 4313 = v. 11
+ 1.4
+
7
+ 3.
Regel. - Om de negen- of elfproef te maken op eene deeling die niet opgaat, maakt men de proef 0Jl de samentelling van het pr'oduct van deele,' met quotiellt plus de ,'est.
-
55-
HOOFDSTUK 11.
Grootste gemeene deeler. 94. Bepalingen. - Een gemeene deeler van verscheidene geheele getallen is een geheel getal dat elkeen dier getallen juist deelt, b. v. 9 is een gemeene deeler van 45, 729, 4581 en 3fi45. Eenige getallen kunnen verscheidene gemeene deelers hebben. De grootste gemeel1e deeler (g. g. d.) is het grootste der geheele ~etallen dat de voorgestelde getallen juist deelt. § I. -
GROOTSTE GEMEENE DEELER VAN TWEE GETALLEN.
95. Stelling I. - Wanneer van twee getallen het grootste door het kleinste juist deelbaar is, dan is het kleinste de g. g. d. van beide. Want hel kleinste deelt zich zelf, en is dus het grootste geheel getal dat beide deelt. 96. Stelling 11. - Wanneer van twee getallen het grootste dool' het kleinste nid deelbaar is, dan is de g. g. d. van de tw~e getallen dezelfde als die welke bestaat tusschen het kleinste getal en de rest hunner deeling. Zij b. v. het gelal 228 dat, gedeeld door 24, als quotient 9 en als rest 12 geeft:
228 = 24 x 9 + 12. 1° Elke gemeene deeler, b. v. 6, van het deeltal 288 en den deele1· 24, zal ook de rest del' deeling of 12 deelen. Inderdaad elk getal dat 24 deelt, moet ook 24 x 9, dat er een veelvoud van is, deelen (79). Die gemeene deeler van 288 en 24 is dus ook een gemeene deeler van 288 en 24 X 9. Maar 12 is het verschil van 288 en 24 x 9, en elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook hun verschil (80) : dus is 12 ook deelbaar door 6.
-
56-
2° Elke gemeene deeler, 12 b. V., van den deeler 24 en 4e "est 12, deelt ook het deeltal 288. Want elk getal dat 24 deelt, deelt ook (79) het veelvoud 24 X 9. Elke gemeene deeler van 24 en 12 is dus ook gemeene deel er van 24 X 9 en 12. Maar 288 is de som van 24 X 9 + 12, en elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook hunne som (78) : dus is 288 deelbaar door 12. Uit de twee bovenstaande eigenschappen volgt dat de gemeene deelers van 288 en 24 en de gemeene deelers van 24 en 12 juist dezelfde zijn. Indien men twee tafels vormde, behelzende de eene al de gemeene deelers van 288 en 24, en de andere al de gemeene deel ers van 24 en 12, dan zouden die twee tafels juist dezelfde getallen bevatten. Het grootste getal in beide tafels zou dus ook hetzeJtde zijn; ander's gezeid, de g. g. d. van 288 en 24 is dezelfde als die van 24 en 12,
w. m. b. w. Gevolg. Elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook de rest hunner deeling. Het eerste deel der beredeneering bewijst deze eigenschap. 97. Vraagstuk:. -
Den grootsten gemeenen deelet·
van twee getallen zoeken. Zij b. v. den g. g. d. van 4488 en 344 te zoeken. Indien 344 juist 4488 deelde, zou 344 de g. g. d. zijn (94). Beproeven wij die deeling. Men vindt 13 vnor quotient en 16 voor rest. 344 is dus niet de g. g. d., maar de g. g. d. is dezelfde als die welke bestaat tusschen 344 en 16 (95). Indien 16 juist 344 deelde, dan zou 16 de g. g. d. zijn (94). Beproeven wij die deeling : men vindt 21 voor quotient en 8 voor rest. Dus is 16 de g. g. d. niet, maar deze is dezelfde als die welke bestaat tusschen 16 en 8 (95). Indien dus 8 juist 16 deelt, dan is 8 de g. g. d. (94). Nu 8 is juist 2 maal in 16 begrepen. Regel. - Om den g. g. d. van twee getallen te zoeken, deelt men het grootste door het kleinste, het kleinste door de
-
57-
eerste 7'est, de eerste rest dool' de tweede, de tweede rest do07' de derde, enz. totdat eene dier deelingen opgaat: de laatste gebezigde deeler is de g. g. d. Gewoonlijk schrijft men de bewerking volgender wijze 13
21
2
4488 344 16-81048 24 0 8
16
Bemerking. - Daar bij de opvolgende deelingen de resten gedurig kleiner en kleiner worden, zal men noodzakelijk moeten eindigen met 0 als rest te beko men. 98. Eerste vereenvoudiging. - Wanneer in eene der deelingen de rest grooter is dan de helft van den deeler, mag men als volgenden deeler het verschil tu sschen den voorgaanden deel er en die rest nemen. B. v. : g. g. d. tusschen 582 en 213. Den algemeenen regel toepassende, heeft men de volgende bewerkingen:
~56[ :7[ !2[ ~5[-k-[ : g. g. d. 15 12 3 0
582 [ :13 [ 57 42 156
De eerste rest 156 is grooter dan de helft van den deeler 213. Ik zeg dat men als volgende deel er 213 - 156 of 57 nemen mag. Inderdaad: en daar: heeft men ook: of:
582 = 156 = 582 = 582 =
213 213 213 213
+ +
X 2 156 - 57 X 2 213 - 57 X 3 - 57.
Nu : 10 Elke gemeene deeler die 582 en 213 deelt zal ook 57 deelen. Want elke deeler van 213 deelt ook 213 X 3 dat er een veelvoud 'Van is (79), zoo dat al de gemeene deelers van 582 en 213 ook gemeene deel ers zijn van 582 en 213 X 3. Maar 57 is het verschil van 213 X 3 en 582, en elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook hun verschil (80). Dus is 57 ook deelbaar door al de gemeene deelers van 582 en 212. 20 Elke gemeene deeler van 213 en 57 zal ook 582 deelen. Want (79) elke deel er van 213 deelt ook 213 X 3. Al de gemeene deelers van 213 en 57 zijn dus ook gemeene deelers van 213 X 3 en 57. Maar (80) elk getal dat de twee getallen 213 X 3 en 57 deelt, deelt ook hun verschil 582, zoodat 582 ook deelbaar is door al de gemeene deelers van 213 en 57.
-
58-
Uit die twee eigenschappen besluit men, zooals in stelling II (96), dat al de gemeene deelers van 582 en 213 dezelfde zijn als de gemeene deelers van 213 en 57 : zoodat de g. g. d. van 582 en 213 dezelfde is als van 213 en 57. Om nu de g. g. d. van 582 en 213 te zoeken, mag men 213 door 57 deelen, en hierdoor verdwijnt de tweede deeling uit hl't gegeven voorbeeld. Om dezelfde reden mag de 4de en 6de deeling verdwijnen en debewerkingen zullen voorkomen als volgt:
582 156
I 2~3
42
j+I+/+ 12
g. g. d.
0
99. Stelling lIl. - Elk gdal dat twee getallen deelt ook hunnen g. g. d. en omgekeerd.
deelt~
Inderdaad elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook de rest hunner deeling (96, gevolg). In het opzop.ken van d'!m g. g. d. volgens den gegeven regel (97), zullen dus al de opvolgende resten dOOl' het getal deel baal' zijn, en ook de laatste die de g. g. d. is. Hel omgekeerde der stelling is duidehjk, daar beide getallen veelvouden van den g. g. d. zijn. 100. Vraagstuk. - Wanneer >nen den g. g. d. van twee getallen en de opvolgende quotie,tten kent, de beide getallen wedervinden.
Zij b. v. de g. g. d. 3 en de opvolgende quotienten 2, 1, 2, 1, 2, 1, 4 : welke zijn beide getallen 1 Stellen wij beide getallen voor door a en b, 6n de opvolgende resten door r, r', r', r", r'" enz. dan zullen de he werkingen tot het opzoeken van den g. g. d. volgeuder wijze voor het oog kunnen gebracht worden.
b17
21112
a
r
r·
1- ; : ; -
r'" r'"
I
1
2
1
4
r"" ~ ----rm' -3r""
3
0
Waarin men ziet: r''''
r'" r" r' r b a
= 4 X 3 = 12 = r"" + 3 = 12 + 3 = 15 = 2 r'" + r"" = 30 + 12 = 42 = r" + r'" = 42 + 15 = 57 = 2 r' + r" = 114 + 42 = 156 = r + r' = 156 + 57 = 213 = 2 b + r = 426 + 156 = 582.
-
59-
101. Stelling IV. - Als men twee getallen met een zelfde getal vermenigvuldigt, dan wordt hun g. g. d. daarmede vermenigvuldigd. Wij hebben gezien (76) dat, wanneer men in eene deeling deeltal en deeler met een zelfde getal vermenigvuldigt, het quotient onveranderd blijft, maar de rest der deeling met het getal vermenigvuldigd wordt. . Als men nu twee getallen, waarvan de g. g. d. volgens den regel (97) gezocht is, beide door een zelfde getal vermenigvuldigt, zoo zal de eerste rest ook door dit getal vermenigvuldigd zijn. In de nieuwe voorkomende deeling zijn dus wederom deeltal en deeler door ditzelfde getal vermenigvuldigd, en bijgevolg insgelijks de tweede rest. Hetzelfde zal voorkomen voor al de opvolgende resten en ook voor de laatste, die de g. g. d. is. 102. Stelling V. - Als men twee getallen door eell zelfde getal deelt, dan wordt ook de g. g. d. daardoor gedeeld. Want b. v. de g. g. d. van 213 x 7 en 582 x 7 is gelijk (101) aan 7 maal den g. g. d. van 213 en 1582. Het is dus klaar dat de g. g. d. van 213 en 1582 gelijk is aan het 7e deel van den g. g. d. van 213 x 7 en 582 x 7. 103. Tweede vereenvoudiging. - Uit de voorgaande stelling volgt dat men, in het opzo'
§ 11. -
GROOTSTE GEMEENE DEELER VAN ~IEER DAN TWEE GETALLEN.
104. Stelling. - Men mag, in het opzoeken van den g. g. d. van verscheidene getallen, twee dier getallen vet'vangen dOOI" hunnen g. g. d.
B. v.
720, 154, 42, 36, 144.
De g. g. d. van 720 en 154 is 18. Men moet bewijzen da de g. g. d. der vijf getallen: 720, 54, 42, 36, 144 (1"t e groep),
-
60-
ûezelfde is als de g. g. d. der vier getallen: 18, 42, 36, 144 (2 de groep). 10 Al de gemeene deelers der vijf getallen van de eerste groep, 720 en ö4 deelende, deelen dus ook den g. ~. u. van die twee getallen (99) : zij zijn dus ook gemeene deelers van de vier getallen van den tweede groep. 20 Al de gemeene deelers der vier getallen van den tweeden groep, 18 deelende, deelen ook 720 en 54 die er veelvouden van zijn (99): zij zijn dus ook gemeene deel ers der vijf getallen van den eersten groep. Daaruit volgt dat de gemeene deelers van beide groepen dezelfde zijn, en bijgevolg dat de g. g. d. ook dezelfde is voor beide groepen, w. m. b. w. 105. Vraagstuk. - Den g. g. d. van meer dan twee getallen zoeken. . Daar men twee der getallen door hunnen g. g. d. mag vervangen, zoo vermindert men met één het aantal getallen van welke men den g. g. d. zoeken moet. Indien men met dien tweeden groep op dezelfde manier te werk gaat, bekomt men een derden groep, waar nog één getal min in is en die dezelfde g. g. d. heeft dan de twee voorgaande groepen. ~Iet zoo voort te gaan komt men eindelij k tot eenen groep van 2 getallen waarvan de g. g. d., de g. g. d. van al de voorgaande groepen en ook van de eerste groep is. Men bekomt in het gegeven voorbeeld: 720 54 42 36 144 18 42 144 36 144 6 36 6 144 6 g. g. d. Regel. - Om den g. g. d. van meer dan twee getallen te zoeken, zoekt men den g. g. d. van twee dier getallen, daama van dien g. g. d. en een derde getal, val1 den nieuwen g. g. d. en een vierde getal enz. lot het laatste getal toe. De taatste g. g. d. is ook die van al de getallen.
--------
~
------
-
61-
HOOFDSTUK 111.
Ondeelbare getallen. 106. Bepaling. - Een ondeelbaar getal of eerste getal is een geheel getal dat slechts door de eenheid en zichzelf deelbaar is. B. v. 2, 3, 5, 7 zijn ondeelbare getallen. Een geheel getal is deelbaar, wanneer het buiten deeenheid en zichzelf nog andere geheele deelers heeft. B. v. 4,6, 15 zijn deelbare getallen. 107. Stelling I. - De kleillste deelel' van elk deelbaar" getal is een ondeelbaar gelal.
Door kleinsten deele,' verstaan wij hier niet de eenheid, maar de kleinste deeler verschillend van de eenheid. Zij a een deel tiaar getal en b zij ne kleinste deeler. Ware b een deelbaar getal, dan zou dit getal door een ander kunnen gedeeld worden; en daar a een veelvoud van b is, zoo zou ook a door dit getal kunnen gedeeld worden (79). Aldus zou a eenen dceler hebben die kleiner is dan zijn kleinste deeler, hetgeen tegen de veronderstelling is. 108. Vraagstuk 1. - De tafel der ondeelbare getallen vormen tot eene gegeven grells. Zij die tafel gevraagd tot aan '1000 b. v. Men schrijft eerst de 1000 eerste getallen. De getallen 1 en 2 zijn ondeelbaar ('lO6). Men doorschrapt al de veelvouden van 2 die in de reeks van twee lot twee. voorkomen. De niet doorschrapte getallen tot 2 X 2 zijn ondeelbaar, want zij zijn geene veelvouden van een kleiner getal. Het ondeelbaar getal dat op 2 volgt, is 3 : ik doorschrap al de veelvouden van 3 die in de reeks van 3 Lot 3 voorkomen. De niet doorschrapte getallen tot 3 X 3 zijn alle ondeelbaar, want zij zijn geene veelvouden van kleinere getallen. Wil hebben dus reeds als ondeelbare getallen: 1, 2, 3, 5, 7.
-
6~-
Het ondeelbaar getal dat op 3 volgt, is ö : ik doorschrap al de veelvouden van ö die, te beginnen van ö, in de reeks van vijf tot vijf voorkomen. Al de niet doorschrapte getallen lot ~ x ~ zijn ondeelbaar, want zij zijn geene veelvouden van kleine getallen. Wij hebben dus reeds als ondeelbare getallen: 1,2,3, ö, 7, 11, 13, 17, 19,23. Het ondeelbaar getal dat op ä volgt, is dus 7 : Ik doorschrap er al de veelvouden van, en zoo doe ik voor al de veelvouden van 11, 13, 17 enz., totdat men erkenne dat al de overblijvende getallen ondeelbaar zijn. Bemerkingen. - 1° Wanneer men zoo de veelvouden van een ondeelbaar getal doorschrapt, is het kleinste dier veelvouden dat nog niet doorschrapt is, het vierkant van het ondeelbaar getal. Zoo men b. v. de veelvonden van 7 doorschrapt, zijn 7 X 2,7 X 3,7 X 4, 7 X 5 en 7 X 6, reeds doorschrapt als veelvouden van 2, 3 en 5. 2" De tafel is voltrokken, wanneer men komt aan het doorschrappen der veelvouden van een eerste getal waarvan het vierkant grooter is dan de aangenomen grens. Nu men heeft:
312
=
961 en 372
=
1369
en 37 is het ondeelbaar getal dat onmiddellijk op 31 volgt. Als dus de veelvouden van 31 doorschrapt zijn, zulleu al de overblijvende getallen ondeelbaar zijn.
109. Stelling 11. - Het aantal ondeelbare getallenïs oneindig groot. Zij G een zeer groot ondeelbaar getal, ik zeg dat er grootere ondeel· bare getallen bestaan. Maakt men het product van al de ondeelbare factoren kleiner dan G met G, voegt men er de eenheid bij en is de som voorgesteld door S : S = 2 X 3 X 5 X 7 X 11 X 13 X ..... X G
+ 1.
Is S een ondeelbaar getal, dan is de stelling bewezen, want S is duidelijk grooter dan G. Is S een deelbaar getal, dan is zijn kleinste deeler een ondeelbaar getal (107). Zij d die kleinste deeler. d kan niet gelijk zijn noch aan 2, noch aan 3, noch aan een der eerste getallen tot aan G, G erbij genomen, want dan zou d S deelen en het gedurig product 2 X 3 X 5 X 7 X 11 X 13 X .... X G, en dus ook (80) het verschil van beide of 1. d moet dus grooter zijn dan G. Bijgevolg, wanneer S deelbaar is, bestaat er een o,. deelbaar getal grooter dan G.
Bemerking. men. B. v.: 10 ) 20 )
63-
De beide opgegeven gevallen kunnen voorko·
S = 2 X 3+ 1 = 7
=
S = 2 X 3 X 5 X 7 X 11 X 13
een ondeelbaar getal.
+ 1 = 30031 = een deelbaar getal.
:110. Vraagstuk 11. - Bepalen of een geheel getal deelbaar is of niet. Zij b. v. het getal 21 L Indien dit getal deelbaar is, dan is zijn kleinste deel er een ondeelbaar getal (107), en men moet dien kleinsten deeler vinden met 211 opvolgentlijk te deel en door elkeen der ondeelbare getallen, te beginnen van 2. Nu 211 is niet deelbaar door de ondeelbare getallen 2, 3, 5, 7, 11, 13. Als ik nu 211 door 17 deel, dan vind ik voor de eerste maal een quotient 12 dat kleiner is dan de deeler. Ik besluit er uit dat 211 een ondeelbaar getal is. Inderdaad, daar het quotient 12 kleiner is dan de deel er
17, besluit ik dat het deeltal kleiner is dan 17
men heeft : 2H
<
X
17, of dat
17 X 17.
Ware 211 een deelbaar getal, dan zou zijn kleinste deeler d een ondeelbaar getal zijn (107) en men zou hebben: 211 = d X q.
Het ondeelbaar getal d kan geen der ondeelbare getallen zijn kleiner dan 17, waarmede wij de deeling beproefd hebben: zoo is d > 17 - Maar daar d verondersteld is de kleinste deel er van 211 te zijn, zoo zal q niet kleiner zijn dan d, ofmen zal ook hebben q > 17. Indien 211 dus een deelbaar getal was, zou het grootel' moeten zijn dan 17 X 17; maar, integendeel, het is kleiner dan 17 X 17. Dus is 211 zeker geen deelbaar getal. Regel. - Om te bepcûen of een geheel getal ondeelbaar 'is of niet, deelt men het opvolgentlijk dool' elkeen der ondeelbare getallen te beginnen van 2. Indien de rest van eene dier deelingen 0 is, dan is het opgegeven getal deelbaar. Zoohaast men in die opvolgende beproevingen een quotient bekomt kleiner dan de beproefde deeler, dan mag men de beproevingen staken, want dan is het ge:al zeker ondeelbaar.
-
64-
HOOFDSTUK IV. Onderling ondeelbare getallen.
111. Bepalingen. - Twee of meer getallen zijn onderling ondeelbaar, als zij slecht~ de eenheid als gemeenen deeler hebben. B. v. 15 en 28 zijn onderling ondeelbaar; 15, 28 en 14 zijn het insgelijks. Om te erkennen of eenige getallen onderling ondeelbaar zijn, zoekt men hunnen g. g. d. : indien deze g. g. d. de eenheid is, dan zijn zij, volgens de bepaling, onderling ondeel baar. Verscheidene getallen zijn twee en twee onderling ondeelbaar, wanneer zij, twee en twee genomen, slechts de eenheid als gemeenen deel er hebben. Zoo zijn, 15, 28 en 17 twee en twee onderling ondeelbaar; t5, 28 en 14, alhoewel onderling ondeelbaar, zijn het niet twee en twee, want 28 en 14 hebben eenen gemeen en deeler vel'schillend van de eenheid. 112. stelling I. - Twee opeenvolgende geheele getallen zijn onderling ondeelbaar. Want elke gemeene deel er die de twee getallen deelt. deelt ook hun verschil (80), dat hier 1 is. 113. stelling 11. - Elk ondeelbaar getal, dat niet een ander geheel getal deelt, is met dit gelal onderling ondeelbaar. Zij 5 een ondeelbaar getal dat 21 niet deelt, ik zej:\' dat 5 en 21 onderling ondeelbaar zijn. Inderdaad, 5 een ondeelbaar getal zijnde, is slechts deelbaar door 1 en 5. Nu 5 deelt 21 niet, uit veronderstelling; dus hebben 5 en 21 slechts 1 als gemeenen deeler, of zijn onderling ondeelbaar.
114. Stelling 111. - Wanneer men twee getallen door hunnen g. g. d. deelt, dan wordt die g. g. d. de eenheid, of de getallen worden onderling ondeelbaar.
-
65-
Want, (102) als men twee getallen door een zelfde getal deelt, dan wordt hun g. g. d. daardoor gedeeld. Nu het quotient der deeling van den g. g. d. door zich zelf is de eenheid. Bemerking. - Omgekeerd is het ook waar, dat, indien men bij het deelen van twee getallen door een derde, twee onderling ondeelbare quotien ten bekomt, dit derde getal de g. g. d. is. Gesteld, die getallen zijn a en b, beide gedeeld door d; de onderl'ing ondeelbare quotienten q en q'. Die quotienten hebben voor g. g. d. de eenheid. Indien men ze beide door d vermenigvuldigt, hebben zij (101) voorg.g.d.lX dofd. NuqX d=aenq'Xd=b.Dusisdde g. g. d. van a en b.
115. - Stelling IV. - WamZeet· een getal een product van twee {actoren deelt en onderling ondeelbaar is met één der {actonIn, dan moet het den anderen {actor deelen. Zij het product a X b, deelbaar door d, en stellen wij dat d ondeI'ling ondeelbaar zij met a, dan zeg ik dat b deelbaar is door d. a en d zijn onderling ondeelbaar, of bun g. g. d. is 1. Vermenigvuldigen wij a en d beide door b; zoo bekomen wij a X ben d x b, waarvan de g. g. d. nu 1 X b of b is (101). Nu cl X b is klaarblijkend deelbaar door d, als zijnde een veelvoud van d; a X b is ook deelbaar door d uit veronderstelling. Maar elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook hunnen g. g. d. (99). Dus is b deelbaar door d. w. m. b. w. 116. Stelling V. - Een ondeelbaar getal kan niet het product van eenige {actoren deelen zonder eenen dier (actoren te dee/en.
Zij het product a X b X c deelbaar door hel ondeelhaar getal d : ik zeg dat a of b of c deelbaar is door d. Het product van 3 factoren mag aanzien worden als het product der 2 factoren, a X b en c (52). Nu, óf d deelt c, en dan is de stelling bewezen; óf d deelt c niet, en dan is d onderling ondeelbaar met c (113), en deelt noodzakelijk den anderen factor a X b (115). 1)
-
66-
d deelt dus a x b : wederom óf d deelt a, en dan is de stelling bewezen; óf d deelt a niet, en dan is d onderling ondeelbaar met a (113) en deelt noodzakelijk den anderen factor b (115). Dus zien wij dat ten minste een der factoren a of b of c door d moet deelbaar zijn, w. m. b. w. Bemerking. - Men moet wel opmerken dat er hier spraak is van een en ondeelbaren deeJer, en dat de stelling niet zou waar zijn voor eenen willekeurigen geheelen deeler: zoo deelt 6 het product van 9 X 4, en deelt noch 9 noch 4.
117. Stelling VI. - Een ondeelbaar getal kan niet het product van eellige ondeelbare factoren deelen, zonder aan een en dier factoren gelijk te zijn.
Want, volgens de voorgaande stelling, is ééll dier factoren noodzakelijk door het ondeelbaar getal deelbaar, maar, daar die factoren zelf ondeelbare ~etallen zijn, hebben zij slechts zich zelf en de eenheid als deel ers. Dus kan een ondeelbaar gelal niet eenen der ondeelbare' factoren deel en zonder er aan gelijk te zijn. 118. Stelling VII. - Elk geheel getal, onderling ondeelbaar met elkeen der factoren van een product, is onderling ondeelbaar met het product zelf.
Zij 14 onderling ondeelbaar met elkeen der factoren van het product HS x 25 X 47 : ik zeg dat 14 onderling ondeelbaar is met het product zelf. Indien 14 met het product niet onderling ondeelbaar was, dan zou 14 met dit product andere gemeene deelers hebben dan de eenheid, dus ook een en kleinsten gemeenen deeler versèhillend van de eenheid, of eellen ondeelbaren gemeenen deeler. Daar die ondeelbare gemeene deeler het product deelt, zoo zal hij noodzakelijk (116) éénen der factoren deelen, b. v. 25. Dus zouden 14 en 25 eenen ondeelbaren gemeenen deeler hebben, wat tegen de veronderstelling is ..
-
67-
Gevolg I. - Elk geheel getal, onderling ondeelbaar met een ander, is onderling ondeelbaar met al dr. machten van dit ander. Gevolg II. - Indien twee getallen onderling ondeelbam' zijn, zoo zijn al hunne machten het ook. 119. Stelling VIII. - Een getal dat afzonderlijk deelbaar is door 2 ofmeer getallen, welke twee en twee onderling ondeelbaar zijn, is ook deelbaar door hun product. Zij het getal A, afzonderlijk deelbaar door de factoren .(1, b en c; a is onderling ondeelbaar met b, b met c en a met ,e: dan zal A ook deelbaar zijn door a X b x c. A is deelbaar door a : dus, zoo wij A door a deelen hekomen wij een geheel getal als quotient. Zij q dit quotient:
A = a X q. (1) A is deelbaar door b : Zijn gelijkwaardige a X q zal hel ook zijn. Maar a en b zijn twee onderling ondeelbare getal'Ien; dus (115) zal q noodzakelijk juist deelbaar zijn dOOl' b. Stellen wij :
wij verkrijgen :
q : b = q'; q = b X q'.
En in de gelijkheid (1) q door zijne gelijkweerdige ver'vangende: A = a X b X q'. (2)
A is deelbaar door c. Zijn gelijkweerdige a X b X q' is het ook. Maar e is onderling ondeelbaar met a en met b, en bijgevolg ook met (a X b), (118) : c deelt dus noodzakelijk den anderen factor q' (115), en men heeft :
q' = c X q". Vervangen wij in de gelijkheid (2) q' door zijn gelijkweerdige : wij verkrijgen : ' A = a X b X c X q" of A = (a X b X c) X q"
-
68-
waaruit men duidelijk ziet dat A deelbaar is door het product a x b x C, w. m. b. w. Bemerking. - Men moet wel opmerken dat er hier spraak is van twee en twee onderling ondeelbare factoren, en niet enkel van onderling: ondeelbare factoren. Zoo zijn 6, 10 en 15 onderling ondeelbaar, maar eeu. getal afzonlijk door 6, 10 en 15 deelbaar, b. v. 120, is daarom niet deel· baar door 6 X 10 X 15 of 900.
120. Kenmerk van deelbaarheid door 6, 12, 15,. 18. - Uit de voorgaande stelling volgt dat een getal deel-
baar is door 6, wanneer het afzonderlijk deelbaar is door 3 en 2; door 12, wanneer het afzonderlijk deelbaar is door 3· en 4; door 15, wanneer het afzonderlijk deelbaar is door 3 en 5; door 18, wanneer het afzonderlijk deelbaar is door 2 en 9. Op dezelfde manier kan men het kenmerk van deelbaarheid vaststellen door yele andere getallen, b. v. door 36, door 72, 99, 24 enz.
-
69-
HOOFDSTUK V.
Ondeelbare factoren. § I.
ONTBINDING IN ONDEELBARE FACTOREN.
121. stelling. I. - Elk deelbaar getal is een product ·van ondeelbare {actoren, o{ kan in ohdeelbare factoren ontbonden worden.
Zij b. v. 180 een deelbaar gelal. Zijn kleinste deel er is -een ondeelbaar gelal (107). Daar 180 een even getal is, heeft het 2 als kleinsten deeler, en men heeft: 180
2 X 90.
=
Indien 90 een ondeelbaar getal was, dan zou de stelling !)ewezen zijn. Maar zoo 90 een deelbaar getal is, dan is wederom zijn kleinste deeler een ondeelbaar getal (107). hier 2. Wij hebben: 9Q=2X45 180 = 2 X 2 X 45.
-en ook:
Het voorgestelde getal is nu ontbonden in 3 factoren, waarvan de 2 eerste ondeelbaar zijn. Ware de derde factor ()ndcelbaar, dan zou de stelling bewezen zijn. MaaI' is 45 deelbaar, dan is zijn kleinste deel er een ondeelbaar getal (107), hier 3. 45 = 3 x 15 en;
180 = 2 X 2
x 3 x 15.
Nu 15 insgelijks door zijnen kleinsten deel er deelende : 15
-en :
180
= 2
X
=
3
x 5
2
X
3
X
3 X 5.
Het getal is dus ontbonden in 5 ondeelbare factoren.
-
70-
Als mcn zoo voor een willekeurig deelbaar getal te werk is het klaarblijkend: 1° Dat de opvol~emle quotienten gedurig kleiner worden, zoo nochtans dat zij grooter zijn dan 1. Men zal dus noodzakelijk tot een laatste quotient komen. 20 Opdat dat quotient het laatste zij, moet het een {lndeelbaar getal zijn. Men zal dus noodzakelijk tot een ondeelbaar quotient komen, en wanneer men dit zal bekomen hebben, zal hel getal in ondeelbare factoren ontbonden zijn. Dus .... ga~t,
122. Stelling II. - Een deelbaat· getal kan slechts op ééne manier in ondeelbare factoren ontbonden worden.
Want, kon een getal G ontbonden worden in twee verschillige producten van ondeelbare factoren en had men: G = a X b x c x d ....
=
a' X b'
x c' x d' ....
dan zou de factor a van het eerste product ook het gelijkweerdige tweede product moeten deelen. Daar a nu een ondeelbaar getal is, en a' X b' x c' x d' .... een product van oudeelbare getallen, zou a aan een dier ondeelbare getallen gelijk zijn (117); indien b. v. a = a', bekomt men, beide gelijke producten door a of a' deelende : b X c X d....
=
b' X c' X d' ....
Uit de gelijkheid van die producten zal men op dezelfde manier bewijzen: b = b', c = c', d = d', enz. Dus zijn de factoren van beide producten dezelfde, of het getal kan maal' op eene manier in ondeelbare factoren ontbonden worden. De voorgaande beredeneering doet ook zien dat elke ondeelbare factor hetzelfde aantal malen in beide producten voorkomt. 123. Vraagstuk. -
Een deelbaar getal ill zijue
ondeelbare factor-en ontbinden. Op stelling I (121) steunt de vulgende regel:
-
71-
Regel. - Om een getal in zijne ondeelbare factoren te ontbinden, deelt men dit getal door zijnen kleinsten det:Ier, hel komende quotient weer dool' zijllen kleinsten deeler, enz., totdat men een quoUent bekome dat zelf ondeelbaar is. Al de gebezigde deelers en het laatst bekome'l quotient zijn de ondeelbare factoren van het getal. ~Ien schrijft de bewerking volgender wijze: 2152 2 126 2 63
3
21
3
7
7
1
2152 = 22 X 32 X 7. Vereenvoudiging. - Wanneer het opgegeven getal het product is van twee of meer bekende getallen, is het eenvoudiger afzonderlijk elkeen dier
~etallen
te ontbinden,
en het product te maken van al de ondeelbare factoren van a die getallen. B. v. 270 = 27 x 10 = 9 x 3 x 2 x 15 = 3 x 3 x 3 x 2 X 15 = 33 X 2 x 15. 1400 23 X
=
14
x
100 = 7
x
2
x
4
x
215 = 7
x 23
X
152
•
72000 = 72 x 1000 = 8 X 9 x 1000 = 23 X 32 X ;)3 = 26 x ;J2 X 153 •
124. Stelling lIl. - Opdat een getal deelbaar zij door een ander, is het noodzakelijk en voldoende dat het eerste al de ondeelbare factoren van het tweede bevatte, ten minste met gelijken exponent. Deze voorwaarde is 1° noodzakelijk. Inderdaad, zij G het gelal deelbaar door a, en q het quotient der deeling.
G= a x q. Daar G slechts op ééne manier in ondeelbare factoren kan ontbonden worden (122), en a X q tlr gelijk aan is, zoo moeten in G zijn al de ondeelbare factoren van a X q en bijgevolg van a.
-
72-
De voorwaarde is 2° voldoende; want, zoo zij vel bracht is, kan G ontbonden worden in een product van twee factoren waarvan één al de ondeelbare factoren van a bevat: product dat duidelijk door a deelbaar is. § 11. -
GROOTSTE GEMEENE DEELER.
125. Wij hebben (97 en 1(5) eenen middel gp.zien om door opvolgende deelingen den g. g. d. te zoeken: hier geven wij een anderen middel gesteund op de onlbinding der getallen in ondeelbare factoren. 126. Vraagstuk. - Door ontbinding in ondeelbare factoren, den g. g. d. tusschen twee of meer getallen zoeken.
Zijn b. v. de getallen: 270 = 2 X 33 X ö 630 = 2 x 32 X Ö x 7 720 = 24 X 3z X ö 144 = 24 X 32 •
1° Elke gemeene deelel' van die 4 getallen kan geene andere ondeelbare factoren bevatten dan 2 en 3, die aan al de getallen gemeen zijn. Inderdaad een getal dat b. v. den factor Dzoude bevatten, zou 114 niet deelen (124), waarin die factor niet voorkomt. 2° De hoogste exponent welken die factoren 2 en ö in den gemeenen deeler kunnen hehben, is gelijk aan den exponent van die factoren in het getal Wf.ar zij met den laagsten exponent voorkomen. Zoo kan 2 geenen hoogeren exponent hebben dan 1, en 3 geen en hoogeren dan 2. Inderdaad het getal dat b. v. 2 zou bevatten met exponent 2, zou 270 en 630 niet deelen, in welke getallen 2 met eenen lageren exponent voorkomt (124). Daaruit volgt dat de g. g. d. del' viel' getallen 2 x 32 = 18 is.
-
73-
Regel. - Om den g. g. d. van twee of meer getallen te zoeken, ontbindt men die getallen in hunne olldeelbar'e {acto7"ell : de g. g. d. is het product van al de ondeelbare {actoren die zij gemeen hebben, eens genomen en met den laagstelI exponent. Bemerking. - Men kan ook den g. g. d. zoeken door al de getallen te deel en door hunnen kleinsten gemeen en deeler totdat zij onderling {}ndeelbaar worden. Men zou dan de bewerking vol~ender wijze schrijven:
270 135 45 15
630 315 105 35 2 X 3'
=
720 360 120 40
144 72
23 8
2 3
3
18 = g. g. d.
127. Uit het voorgaande volgt:
Men ver'andert den g. g. d. van twee getallen niet, als men uit het één getal een en factor weglaat, die met het ander getal onderling ondeelbaar is. Want. zoo doende, laat men geenen factor we,; die aan beide getallen gemeen is. Zoo is b. v. de g. g. d. van 4800 en 63 dezelfde als van 48 en 63. Hieruit eene vereenvoudiging in het opzoeken van den g. g. d., vereenvoudiging die ook toepasselijk is aan het opzoeken van den g. g. d. door opeenvolgende deelingen. § lIl. -
KLEINSTE GE~IEEN VEELVOUD.
128. Bepaling. - Het kleinste gemeen veelvoud (k. g. v.) van eenige geheele getallen is het kleinste geheel getal dat terzelfder tijd door elkeen der voorgestelde getallen juist deelbaar is. 129. Vraagstuk. - Het k. g, v. van eenige getallen
zoeke/Zo
-
74-
Zijn b. v. de getallen: 35 = 5 x 7 120 = 23 x 3 x 5 180 = 22 x 32 X 5 252 = 22 x 32 X 7.
10 Elk gemeen veelvoud van de vier getallen bevat noodzake>ijk al de verschillige ondeelbare factoren die in die getallen voorkomen, te weten: 2, 3, 5 en 7. Inderdaad, een getal dat b. v. de ondeelbare factor 7 niet zou bevatten, zou niet deelbaar zijn dOOI' ms, waarin de factor 7 voorkomt (124). 20 De laagste exponent die elkeen der factoren 2, 3, 1> en 7 in het veelvoud kan hebben, is gelijk aan den exponent dien hij heeft in het getal waar hij met den 9tootsten exponent voorkomt: zoo heeft 2 in het veelvoud ten minste exponent 3; 3, exponent 2; 5, exponent 1, en 7, exponent 1: Inderdaad, een getal dat h. v. 2 met den exponent 2 zou bevatten, zou Joor 120 niet deelbaar zijn, waar 2 met exponent 3 in voorkomt (124). Daaruit volgt dat heL k. g. v. van de vier getallen 23 X 32 X 5 X 7 zijn zal. Regel. - Om het k. g. v. van twee of meer getallen te zoeken, ontbilldt men die getallen in hunne ondeelbare factoren: het k. g. v. is het p1'Oduct van al de verschillige factoren, eens genomen, met den hoogsten exponent.
De bewerking staat gewoonlijk als volgt: 35 7 1
120 60 30 11> I)
1
180
90 41> 15 ·5 1
252 126 63 21 7 1
2 2 2 3 3 5 7
In het opgegeven voorbeeld, ziet men aanstonds dat 2 een ondeelbare factor is van het k. g. v. DOOI' opvolgende
75 deelingen zoekt men welke de grootste exponent is van 2. Hetzelfde doet men vervolgens voor 3, Ö en 7, die insgelijks blijken factoren van sommige der getallen te zijn. 130. Bemerkingen. - 10 Elk gemeen veelvoud moet al de factoren van het kleinste gemeen veelvoud in zich bevatten, maar het mag daarbij nog andere bevatten (129). Elk gemeen veelvoud is dus het product van het k. g. v. met een geheel getal, of, anders gezegd: elk gemeen veelvoud van eenige getallen is een veelvoud van hun k. g. v. 2° Als eenige der getallen van welke men het k. g. v. zoekt, deelers zijn van andere dier getallen, kan men die deelers weglaten bij het zoeken van het k. g. v. B. v. het k. g. v. van 18,9,27,24, 12 en36 is hetzelfde als van 27, 24 en 36, daar al de ondeelbare factoren van 18 in 36, van 9 in 27, van 12 in 24, ten minste met gelijken exponent begrepen zijn. 30 Wanneer twee getallen onderling ondeelbaar, zijn is hun k. g. v. gel\ik aan hun product : zoo ook wanneer eenige getallen twee en twee onderling ondeelbaar zijn. 131. Stelling. - Het product van twee getallen is gelijk aan het k. g. v. vermenigvuldigd met den g. g. d. Inderdaad, de factoren die gemeen zijn aan de twee getallen, zijn begrepen in het k. g. v. met hunnen hoogsten exponent en in den g. g. deeler met hunnen Jaagsten exponent. De factoren die niet gemeen zijn aan beide getallen, zijn begrepen in het k. g. v. met hunnen exponent; zoodat al de factoren van beide getallen zich ofwel in den g. g. d., ofwel in het k. g. v. bevinden met hunne exponenten, en er geene andere factoren in zijn.
B. v. 72 = 2' X 3' en 180 = 2° X 3' X 5. K. g.
~.
=
2' X 3' X 5; g. g. d.
=
2° X 3' .
72 X 180;= (2' X 3' X 5) X (2' X 3' ) = 25 X 3' X 5.
DERDE DEEL. De Breuken. HOOFDSTUK I.
Gewone breuken. 132. Bepalingen. - De breuk is één of meer der gelijke deelen waar de eenheid in verdeeld is. De noemet' der breuk is het getal dat aanduidt in hoeveel gelijke deel en de eenheid verdeeld .is, De teller der breuk is het getal dat aanduidt hoeveel gelijke deelen men heeft genomen. De teller en de noemer zij n de termen der breuk. 133. Schrijven. - Om eene breuk te schrijven, plaatst men den noemer onder den teller, en scheidt ze van
elkander af door eene horizontale streep. B. v. ; . 134. Uitspreken. - Om eene breuk uit te spreken, zijn er twee manieren: 10 Men leest eerst den teller en vervolgens den noemer, bij dezen laatsten den uitgang de of ste voegende. 5 7 -en-, B. v. 7 8 lees: vijf zevende en zeven achste.
-77Als de noemer 2 is, leest men zoo veel halven als de teller aanduidt.
1
B. v.
3
2 en 2;
lees:
één half en drie halven.
2° Men leest eerst den teller, voegt er het woordje op bij, en leest daarna den noemer.
~
B. v.
; lees drie op zeven.
Deze manier is meest gebruikt, wanneer de noemer een zeer groot getal of eene aangeduide bewerking is; ook wanneer de termen algemeene getallen zijn. Zoo de breuken: 123 3 a 4598' 4 X 7' b',
worden gelezen, 123 op 4598, 3 op 4 X 7, a op b. 135. Is de teller kleiner dan de noemer, dan is de breuk kleiner dan de eenheid. Is de teller gelijk aan den noemer, dan is de breuk gelijk aan de eenheid. Is de teller grooter dan de noemer, dan is de breuk grooter dan de eenheid. Eene echte breuk is eene breuk kleiner dan de eenheid,
5
b.v. 7' Eene onechte breuk is eene breuk gelijk aan de eenheid, of grooter dan de eenheid, b. v. : '
~
.
136. - Een gemengd getal is een getal bestaande uit de som van een geheel en een gebroken getal.
-
B. v.
78-
3 3 2 T beteekent 2 + T·
137. Men onderscheidt nog de breuken in gewone breuken, waarvan de noemer geene macht van iO is, b. v.
~ , 2~0'
en tienieelige breuken, waarvan de noemer eene
macht van 10 is b. v. 130'
1~~.
In het volgende hoofdstuk
zullen wij in het bijzonder over de tiendeelige breuken handelen; maar bemerken wij dat alles wat gezegd wordt van de breuk in het algemeen, ook toepasselijk is aan de tiendeelige breuk. § I.
EIGENSCHAPPEN DER BREUKEN.
138. Stelling I. - Eene breuk mag ook aanzien WOt·den als het quotient der deeling van den teller dool' den noem~l'.
Zij de breuk :.
~
! is het 9" deel van 1.
is dus het 9de deel van 4, of : = 4 : 9.
Gevolg I. - Deze stelling is belangrijk, omdat zij eene tweede bepaling der breuk oplevert benevens degene die reeds gegeven is :
Eene breuk is het quotient del' deelillg van een geheel getal door een ander.
Vandaar ook dat elke breuk nog op eene derde manier kan gelezen worden:
~
beteekent 4 gedeeld door 7.
Daarom hebben wij, bij de deeling, de horizontale lijn tusschen deeltal en deeler als een leeken der deeling opgegeven.
-
79-
Gevolg U. - De bovenstaande stelling is nog belang!'ijk, omdat zij toelaat, wanneer de deeling van een geheel getal door een ander niet opgaat, het quotient volkomen uit te drukken. Zij b. v. 47 te deel en door 7 : het quotient is 6, en er blijven ö eenheden over, van welke men nog het 7" deel
moet nemen. Maar het 7" deel van ö is gelijk aan
~
,zoodat
I .. • 6 + Tö 0 f6 7ö .IS. tiet JUist quotlent
Regel. - Om het quolient van eene deelillg die niet opgaat volkomen te bepalen, voegt men bij het geheel gedeelte van het quotient eene breuk die de rest voor telle,' heeft en den deeler voor noemer. 139. Stelling U. - De weerde eener b"euk vergroot, als men den teller' vermee7'dert of den noemer' ve7"mindert. Want 1° als men den teller alleen vermeerdert, vergroot men het aantal der genomene deel en zonder de grootte van elk deel te veranderen. 2° Als men den noemer alleen vermindert, vermeerdert men de grootte van elk deel en neemt evenveel deelen. Gevolg I. - Omgekeerd, de wee7"de eelle7' breuk verkleint, als men den teller vermindert of den noemer vermeerdert. Gevolg U. - De weerden van breuken die denzelfden teller of denzelfden noemer hebben, kunnen gemakkelijk vergeleken worden: 10 Van breuken die denulfden teller hebben, is deze de grootste die den kleit/sten noemer heeft. 20 Van breuken die denzelfden noemer hebben, is deze de grootste die den grootsten teller heeft. Gevolg UI. - Als gelijkweerdige breuken denzelfden noemer hebben, dan moeten de tellers gelijk zijn en omgekeerd.
-
80-
140. Stelling 111. - Wanneer men beide tennen e~lIer b,'euk met een zelfde getal vermeerdert, dan nadert die breuk tot de eenheid, zoodat zij grooter wordt indien zij eene echte breuk, en kleiner indien zij eene onechte breuk is.
10 Zij b. v. de breuk
~
: deze echte breuk verschilt van
~.
de eenheid met
Zoo men teller en noemer met een zelfde getal vermeerdert, zoo zal de breuk nog echt blijven, want het verschil tusschen teller en noemer verandert nièl, als men bij beide een zelfde getal voegt (31). Vermeerderen wij beide termen b. Y. met 5 :
De nieuwe breuk 182 verschilt van de eenheid met maar
1~ < ~
verschilt dan
1~
;
(139), zoodat de breuk 182 min van de eenheid
~.
Indien men dus een ~elfde getal bij beide termen voegt, nadert eene echte breuk tot de eenheid en wordt grooter. 2° Zij nu b. v. de onechte breuk de eenheid met
!.
!
,die grooter is dan
Zoo ""ij bij beide termen een zelfde getal voegen, blijft de breuk onecht, want de teller blijft met hetzelfde aantal eenheden grooter dan de noemer (31). Vermeerderen wij beide term eR b. v. met 5 : 7
+5
12
3+5=8'
-
De nieuwe breuk maar
~2
81-
is met : grooter dan de eenheid;
447
"3 > 8
(139), zoodat de breuk "3 meer van de een-
heid ve~schilt dan
~.
Indien men dus een zelfde getal bij beide termen eener onechte breuk voegt, nadert die breuk tot de eenheid en wordt kleiner. Gevolg. - Indien men beide termen eellet' breuk met o!en zelfde getal vermindert, verwijdet·t die breuk zich van de eenheid, zoodat zIj kleiner wordt, indien zij eene echte breuk, grooter, indien zij eene onechte breuk is. 141. stelling IV. - Als men den teUet' eellet' lJreuk dool' eel! getal vermenigvuldigt of deelt, wordt de breuk doOI' dit getal vermenigvuldigd of gedeeld,
Zij b. v.
~ : ik zeg d.It, indien men den teller 6 met 3
vermenigvuldigt, de nieuwe breuk 178 driemaal grooter zal zijn dan Je breuk
~
.
Inderdaad de breuken
6 '1
en
T18
hebben denzelfden
noemer en bestaan dus beide uit een zeker getal even groote deelen van de eenheid; maar 18 driemaal grooter zijnde dan 6, zoo bevat de tweede breuk 3 maal meer dier deelen dan de eerste. Op dezelfde manier bewijst men dat, indien men den teller 6 door 3 deelt, de breuk 3 maal kleiner wordt. 142. Stelling V. - Als men den noemer eener breuk door een getal ve,.menigIJuldigt of deelt, wordt de breuk dool' dit getal gedeeld of vermenigvuldigd, Co
-
82-
Zij de breuk 152 : ik zeg dat, zoo ik den noemer b. ,'. met 3 vermenigvuldig, de nieu" e breuk 35ö driemaal kleiner .. dan 12' 5 za I zIJn 5 5 Inderdaad, de twee breuken 12 en 36 denzelfden teller
5 hebbende, bevatten zij elk evenveel gelijke deelen van de eenheid. Daar nu de noemer 36 driemaal grooler is dan de noemer 12, zijn de deelen van de breuk
3°6 driemaal kleiner
dan de deel en van de breuk 15",. Dus is de breuk ~ driemaal ~ 36 kleiner dan
1;'
Op dezelfde manier bewijst men dat, indien men 12 b. v. door 4 deelt, de nieuwe breuk ~ viermaal grooter is. 143. stelling VI. - Als men beide termen der breuk door een zelfde g~tal vermenigvuldigt of deelt, blijft de weerde del' breuk onveranderd.
Zij b. v. de breuk
~ . Ik zeg dus: indien men den tell!'r 2
metl5 vermenigvuldigt, en den noemer 7 insgelijks, vormt men 2 eene breu k -10 eI'11 k aan35- D' ~. 7. Inderdaad, als men den teller van.; vuldigt, bekomt men
~o
JOOl' Ö vermenig-
,breuk die 5 maalgrooter is (141),:en
als men daarna den noemer 7 der breuk 170 met 5 vermenig-
-
vuldigt, bekomt men
83-
~~, breuk die ä maal kleiner is dan
10 b k 2 10.. . -7- (t42). De twee reu "en -7- en Y zIJn dus belde ä . dan -7-' 10 0 f" maaI kl emer zIJn ge l"k I] . Men zou op dezelfde manier bewijzen dat, indien men de beide termen eener breuk, b. v.
~
breuk
!~
bekomt gelijkweerdig met
door 3 deelt, men de
!! .
Bemerking. - In de voorgaande stellingen wordt verondersteld -dat de deeling van den teller of den noemer door een geheel getal zonder i'est geschiedt.
§ H, -
HERLEIDING DER BREUKEN.
144. Bepaling. - Breuken herleiden is die onder cenen anderen vorm brengen zonder er de weerde van te ver anderen. De voornaamste herleidingen die bij de breuken voorkomen, zijn de volgende: 1 Onechte breuken herleiden tot gemengde of geheele ~etallen en omgekeerd; 2° Eene breuk vereenvoudigen en tot haren eenvoudigsten vorm brengen; 3° Eene breuk tot eenen gegeven noemer herleiden; 4° Breuken tot gelijken noemer herleiden; 5° Eene gewone breuk herleiden tot eene tiendeelige en omgekeerd. Wij zullen achtereenvolgens de vier eerste herleidingen hehandelen : de vijfde verzenden wij tot na de tiendeelige breuken. 0
EERSTE HERLEIDING.
Onechte breuken herleiden tot gemengde of geheele getallen en omgekeerd,
145. Eene breuk is het quolient der deeling van den teller' daal- den noemer (138).
-
84-
Daarom: Wanneer de teller eener onechte breuk een veelvoud is van den noemer, kan men de onechte brenk herleiden tot 12 een geheel gelal. Voorb~eld : 3 = 12 : 3 = 4. 1°
2° Wanneer de teller eener onechle bl'euk geen veel vond is van den noemer, kan men de onechte breuk herleiden tot een gemengd getal (138, gevolg 11).
Voorbeeld:
27 12 =
27 : 12
=
3 2 12
.
Omgekeerd: 1° Om een geheel getal te herleiden tot eene onechte breuk waarvan de noemer gegeven is, neemt men als teller het product van het geheel getal met dien noemer. Voorbeeld:
9= 9
~
4=
~6 .
2° Om een gemengd getal tot eene onechte breuk te herleiden, vermenigvuldigt men het geheel getal door den noemer der breuk, voegt bij het product den teller en geeft tot noemer aan de bekomene som den noemer der breuk. 3
Voorbeeld: 8"4 =
8 X 4
4
+3
31>
=
T'
TWEEDE HERLEiDING.
Eene breuk vereenvoudigen en tot haren eenvoudigsten vorm brengen.
146. Bepaling. - Eene breuk vereenvoudigen, tot eenvoudigeren vorm brengen, of verkleinen, is ze vervangen door eene gelijkweerdige breuk die kleinere termen heeft. 147. Het vereenvoudigen eener breuk steunt op de bewezen stelling (143) : Als men beide termen eener breuk door een zelfde getal deelt, blijft de weerde der breuk ollverailderd.
-
85 -
Oeelt men beide termen eener breuk door een zelfde getal, dan vereenvoudigt men de breuk, want 1° de nieuwe breuk welke men bekomt, is gelijkweerdig met de eerste, en ~o de termen zijn kleiner. 148. Bepaling. - Eene breuk tot haren eenvoudigsten vorm brengen, is de onverkleinbare breuk zoeken die dezelfde weerde heeft. Eene onverkleillbare breuk is eene breuk waarvan de weerde door geene kleinere termen kan uitgedrukt worden. 149. Stelling J. - De twee termen van elke onverkleinbare breuk zijn onderling '()l1deelbaal'.
Indien b. v. de breuk
~ onverkleinbaar is, dan zijn
beide termen onderling ondeelbaar. Want, waren de termen ö en 7 niet onderling ondeelbaar, dan zouden zij ten minste eenen gemeenen deeler hebben verschillend van de eenheid, en beide termen door dien gemeencn deeler deelende, zoude men de weerde der breuk met kleinere termen kunnen uitdrukken. De breuk ~ zou dus niet onverkleinbaar zijn, wat tegen de veronderstelling is. Bemerking. -- Wanneer de twee termen eener breuk onderling ondeelbaar zijn, ziet men duidelijk dat men ze niet kan vereenvoudigen met beide tel'men door een zelfde getal te deelen. Men ziet ook dat men ze niet kan vereenvondigen met van beide termen een zelfde getal af te :t"ekken, hetgeen de termen zou verkleinen, want, zoo doende, verandert men de weerde der breuk (140, gevolg). Maar het is niet even duidelijk Dat men de breuk niet kan vet'eenvoudigen met b. v. van den \eller een zeker getal, en van den noemer een ander getal af te trekken. Om die . reden is het omgekeerde der voorgaande stelling niet klaarblijkend, en kan alleen vastgesteld worden na het bewijzen der volgende stelling.
150. Stelling 11. - Wan1leer eene bt'euk twee onderling olldeelbare termen heeft en gelijkweerdig is met eene andere breuk, dan zijn beide termen van deze tweede breuk gelijke veelvouden van beide termen der eerste.
-
86-
Zij de breuk ~~ , waarvan de twee termen onderling: G)
ondeelbaar zijn, en ~ de gelijkweerdige breuk, ik moet bewijzen dat a hetzelfde veelvoud is van 2 als b van 3. Wij hebben uit veronderstelling:
2
a
:r=T 3=T Vermenigvuldigen wij beidt:' termen van de breuk b, en van de breuk
~
met
f+met 3 : daar de weerde van beide
breuken niet verandert (143), zoo zal men nog hebben: 2xb 3xa 33xb=3xb· x b - 3 x b· Daar de twee gelijkweerdige breuken dezelfde noemers. hebben, zoo moeten de twee tellers ook gelijk lijn (139, gevolg lIl), waaruit : 2xb=:1xa 2xb=~xa 3 x X a ---. en b= --. 2 Nu b is een geheel getal, dus moet zijn gelijkweerdig X a door 2 juist deelbaar zijn, zijn. Maar 3 ;X a het ook zijn, en 3 x
2 daar 2 uit veronderstelling onderling ondeelbaar is met 3, zoo moet a noodzakelijk door 2 deelbaar zijn (110). (113). Stellen wij a : 2 == m, waaruit a = 2 x X m, en vervangen wij, in de l'Ok xX aa d ge IIJ"kh el'd b = 3-2-' oor" zIJn ge I"k IJ weer d'Ig;
_3x2xm b---2 vereenvondiging : en, na vereenvoudiging: b == 3 x X m. Daaruit zien wij dat, als a = 2 x X m, men b = = 3 x X m beeft, w. m. b. w.
wij verkrijgen:
-
87-
151. Stelling 111. - Eene breuk wier' ter'men onderlillg ondeelbaar zijn, is onverkleinbaar.
De breuk 1ti2 b. v. waarvan de termen onderling ondeelbaar zijn, is onverkleinbaar. Want, volgens de voorgaande stelling, zijn beide termen van elke breuk gelijkweerdig met 1ti2' gelijke veelvouden van ti en 12. Deze termen kunnen dus
ni~t
12 : zood at de weerde der breuk
kleiner zijn dan ti en
ti
12 door
geene kleinere
termen kan voorgesteld worden. Gevolg I. - Wanneer twee onverkleinbare breuken gelijkweerdig zijn, hebben zij heide dezelfde termen. Gevolg Il. - Om al de breuken te vinden gelijk weerdig met eene gegeven breuk, neemt men de gelijkweerdige onverkleinbare breuk, en vermenigvuldigt beide termen door de geheele getallen 2, 3, 4, ti, enz. 152. Vraagstuk. -
Ee/te breuk tot haren eellvouJig-
sten vorm brengen. Dat wil zeggen (148) de onverkleinbare breuk zoeken die dezelfde wecrde heeft, of ('lM) de gelijkweerdige breuk zoeken wier termen onderling ondeelbaar zijn. Het vraagstuk zal dus opgelost worden dOOI' het deelen van beide termen door hunnen g. g, d" want dan 1° blijft de breuk dezelfde weerde behouden (143), en 2° de beide termen worden onderling ondeelbaar (114). Voorbeeld: 344 4880
=
344 : 8 4880: 8
=
43 610'
-
88-
Regel. - Om eene breuk tot haren eenvoudigsten vorm te bt'engen, deelt men beide termen door hunnen g. g. d. Bemerking. - Practisch is het gewoonlijk gemakkelijker teller en noemer achtereenvolgens te deelen door de gemeene deelers die in het oog vallen. Zij b. v. de breuk ~~. Als men teller en noemer door 4 deelt,
63 63 . be komt men 99' Zoo men nu van 99 belde termAn door 9 deelt, bekomt men
7
TI' 252 63 7 396= 99=rr
Men heeft:
Daar 7 en 11 onderling ondeelbaar zijn, is de breuk tot harf\n eenvoudigstell vorm gebracht. DERDE HERLEIDI~G.
Eene breuk tot eenen gegeven noemer herleiden.
153. ZiJ' h. V. 12 ~ tot 30 en te herleiden. Men kan eerst 10 5 de breuk tot haren een\'oudigsten vorm brengen - = -6 . 12
Opdat eene breuk geJij kweel'dig zij met
~ , is hel nood-
zakelijk en voldoende dat beide termen gelijke veelvouden zijn van 5 en van 6 (150). Nu 30 = 6 x D. Dus moet men beide termen met ö vermenigvuldigen 5
"6 =
5 6
xn
25
x ö = 30'
Deze bel'edeneel'ing is algemeen. Zij toont dat deze herleiding slechts dan .mogelijk is, als de nieuwe noemer een veelvoud is van den noemer der breuk, voorafgaandelijk tot haren eenvoudigsten vorm gebracht. Regel. - Om eelle breuk tot een en gegetlen noemer te herleiden, brengt men eerst de breuk tot haren eenvoudigsten
-
89-
vorm, tenzzj zij reeds onve1'kleinbaar weze : daarna deelt men den gegeven noemer door den noemer van de verkleinde breuk, en vet'menigvuldigt vervolgens beide termen door het gevonden quotient. VIERDE HERLEIDI~G,
Breuken tot gelijken noemer herleiden.
154, De herleiding der breuken tot gelijken noemer steunt op eene hooger bewezen eigenschap (143) : Eene breuk verandert niet vat' weerde, als men beide termen met een zelfde getal vermenigvuldigt. 155. Vraagstuk I. -
Twee breuken tot denzeZ{den
JlOemel' herleiden. Zij b. v.
4
2
"5 en 9'
Vermenigvuldigt men beide termen der eerste breuk
~
<>
met 9. noemer der tweede breuk, dan verandert de weerde van} niet, en de noemer wordt 5 l)
men vervolgens beide termen van
X
9. Vermenigvuldigt
~ door den noemer 5 der
eerste breuk, dan verandert ook de weerde van die breuk niet, en de noemer wordt ook 5 X 9. Dus zij n beide breuken tot denzelfden noemer gebracht. 4 4 X9 36 2 2X 5 10 =---=- en-=---=-. 5 5X 9 45 9 9X 5 45
-
Regel. - Om twee breuken tot dem.el{den noemer te herleiden, v'el'menigvuldigt men beide termen van elke breuk met den noemer del' andere bt'euk. 156. Vraagstuk 11. ~el{den
noemer herleiden.
Verscheidene breuken tot de/!-
2 3 2
x 11 x 5 110 x 11 x 5 - '165 x 3 X 5 30
2 3 2
ff 4
o
90-
i1 X 3 X 5
= 165
4 X 3 X U X 11
=m
= 5 x-3
132
De beide tern;en van elke breuk heeft men vermenigvuldigd met het product der noemers der andere breuken: de nieuwe breuken zijn gelijkweerdig met de oorspronkelijke en hebben als gemeenen noemer het product van al de oorspronkelijke noemers. Regel. - Om verscheidene breuken tot del/zelfden noemer te herleiden, vermenigvuldigt men beide termen van elke breuk met het product der noemers van al de andere breuken. 157. Vraagstuk 111. -
Breuken tot den kleinsten
geme
5
7
11
8
6'9'12'T;f'
De voorgestelde breuken zijn onverkleinbaar. Waren zij het niet, dan zou mr,n moeten beginnen met ze tot hunnen. eenvoudigst en vorm te brengen. Opdat eene breuk gelijkweel'dig zij met ééne der onverkleinbare breuken, moet de noemer een \'eelvoud van den noemer der onverkleinbare breuk zijn (150). Elke gemeene noemer zal dus een veelvoud moeten zijn terzelfder tijd "an 6, 9, 12 en 15, en de kleinste gemeene noemer, het kleinste gemeen veelvoud van 6, 9, 12 en 'l5. Regel. - Om eellige breuken tot den kleinsten gemeenen noemer te herleiden, begillt men met de breuken tot hunnm eenvoudigsten vorm te brengel/. Daama zoekt men het kleinste gemeen veelvoud van de 1/oemers der onverkleinbare breuken~ en meI/ vermenigvuldigt beide termen van elke breuk met het
-
91-
quotient van dit kleinste gemeen veelvoud door den noemer del' breuk. Men schrijft de bewerking volgender wijze: 180 5
6' 7
9 11
12 8
11f
30 20 Ui
12
HiO
180 140
TsO 165 180 96 180
158. Bemerking. - 10 Als de noemers van de brenken twee en twee onderling ondeelbaar zijn, dan is de kleinste gemeene noemer gelijk aan hun product (130, 30 ). 20 Al de mogelijke gemeene noemers van eenige breuken zijn veelvouden van deu kleinsten gemeen en noemer (130, la), en men vindt zedoor dien noemer met de getallen 2, 3, 4, 5, enz. te vermenigvnldigen.
§ 111. -
HOOFDBEWERKINGEN OP DE BREUKEN.
Samentelling.
159. Bepaling. - De samentelling in het algemeen is eene bewerkin~ waardoor men al de eenheden en deelen der eenheid van verscheidene getallen tot een enkel getal vereenigt. 160. Eerste geval. - De breuken zijn gelijknamig. De tellers duiden dan deelen aan van dezelfde grootte, en bijgevolg heeft men slechts de tellel's samen te tellen om de som dier gelijke deel en te bepalen, Regel. - Om gelijknamige breuken samen te tellen. telt m~n de tellers samen en geeft aan de som den gemeenen noemer tot noemer.
- 92Voorheeld : 2 9
+~ +~ 9 9
2 + D + 7 = !! = 1 ~. 9 9 9
=
161. Tweede geval. - De breuken zijn ongelijknamig. De tellers duiden dan deelen aan van verschillende grootte, en om de breuken te kunnen samentellen, moet men de bl'euken tot gelijken noemer herleiden. In het gebruik herleidt men de breuken meest tot hunnen kleinsten gemeenen noemer. Regel. - Om ongelijknamige breukt1n samen te tellen, herleidt men die breuken tot gelijken noemel' en gaat daarna te werk gelijk in het eerste geval.
De bewerking WOïdl gewoon lij k volgender wijze geschikt:
12 2
3 '3 4 D 6
4
8
3
9
2
10 27 3 1 12=212=24'
162. Derde geval. -
Samentelling met gemengde
getallen. Regel. - Om gemengde getallen samen te tellen, maakt men afzonderlijk de som der geheele getallen en die der breuken, en vereenigt de beide sommen tot eell gemengd getal.
-
93-
De bewerking kan volgender wijze geschikt worden:
24 5 ~ 4
6
18
6~
:-1
9
5 12
2
10
4
20
8 5 5 Ij
16
!)7
24 De som is 16
+2 ! =
=2~. 8
18 :.
Aftrekking. 163. Bepaling. - De aftrekking in het algemeen is eene bewerking waardoor men een gelal met al de eenheden of deelen der eenheid van een anc:.er getal vermindert. 164. Eerste geval. - De bt·euken zijn gelijknamig. Wanneer de bl'euken gelijknamig zijn, drukken de tellers deelen van dezelfde grootte uit, en bijgevolg, om de eene breuk met al de deelen van de andere te verminderen, heeft men slechts den teller van de eerste breuk met den teller van de tweede te verminderen. Regel. - Om het verschil te bepalen tusschen twee gelijknamige breuken, zoekt men het verschil tusschen de tellers, en geeft aan dit verschil als noemer den gemeenen noemer der breuken. 5 3 0-3 2 Voorbeeld: '1 - -7 = -=7- = 7·
-
94-
165. Tweede geval. - De breuken zijn ongelijknamig. De tellers duiden dan ongelijke deelen aan en, om de aftrekking mogelijk te maken, moet men eerst de breuken tot gelijken noemer brengen. In het gebruik herleidt men de breuken meest tot hunnen kleinsten gemeen en noemer. Regel. - Om het verschil te bepalen tusschen twee ongelijknamige breuken, brengt men ze eerst tot gelijken noemer en gaat daarna te werk gelijk in het eerste geval. !)
Voorbeeld: '1 -
2
9
4~ 14 31 = 63 - 63 = 63
166. Derde geval. -
Aftrekking met gemengde
getallen. Regel. - Men bewet'kt afzonderlijk de aftrekking der breuken el! der geheele getallen. Zoo nochtans de breuk aftrekker grootet' is dan de breuk aftrektal, t'ermeerdert men deze laatste meI eelle eenheid, door haren noemer bij den teller te voegen; maat', om het vet'schil niet te veranderen, vermeerdert men ook met eelle eenheid het geheel gedeelte val/den aftI ekker,
3 Ö 24 - - 7 4 6
=
9 10 21 10 11 24 - - 7 - = 24 - - 8 - = 1612 12 12 12 '12
Men kan ook de methode van ontleening gebruiken : 3 ti 9 10 21 10 H 24 - - 7 - =24- -7 -=23 - - 7 - =164 Ö 12 12 12 12 12 Vermenigvuldiging. 167, Bepaling. - De yermenigvuldiging in het algemeen is eene bewerking waardoor men op het vermenigvuldigtal werkt om het product te vormen, gelijk men op de eenheid gewerkt heeft om den yermenigvuldiger te vormen, Deze uitbreiding yan het begrip vermenigvuldiging is noodzakelijk als de vermenigvuldiger geen geheel getal is,
-
95 -
Is de vermenig\'Uldi~er een geheel getal, b. v.~ x 3, uan zal men beteekenen dat
~
driemaal term moet
~emaakt
worden eener som, of dat men : driemaal moet nemen. De ·k
UIt
. 3 omst IS 5"
+ 1f3 + B3
nigvuldiger eene breuk b. v.
=
. 5 . [s.wtl)gen dee ld e verme-
9
~ x ~ ,dan heeft het geenen
4 3 zin meer te zeggen dat men ""1 maal "5 moet nemen, daal' een aantal malen altijd een geheel aantal malen aanduidt. 168. - Het toepassen van de nieuwe bepaling der vermenigvuldiging aan de vermenigvuldiging met geheele getallen doet zien dat zij met de eerst gegeven bepaling overeenstemt. Inderdaad, volgens de eer'ste bepaling (36) wil n x 3 zeggen dat men n zoo dikwijls herhaalt als door 3 aangeduid wordt, of 5 x a = 5 + 5 + 0 Volgens de nieuwe bepaling moet men op 0 werken om het product te vormen, zooals men op de eenheid gewerkt heeft om den vermenigvuldiger te vormen. Maar, om den vermenigvuldiger 3 te vormen, heeft men de eenheid a maal term gemaakt eener som; om het product te vormen, moet men het vermenigvuldigtal n insgelijks 3 maal term maken eener som of 5 .x 3 = 5 + 5 + o. 169. De nieuwe bepaling is nu toe te passen aan eene vermenigvuldiging waarvan de vermenigvuldiger een gebroken getal is.
Zij b. v. :
3
4
o x 7·
-
96-
' I d '1ge1' '1 4 te vormen, hee ft men: Om den vermeOlgvu
10 het zevende deel der eenheid genomen; 2° dit zevende deel viermaal herhaald. Op dezelfde manier moeten wij op het vermenigvuldi{ltal te werk gaan, of, om het product te vinden, moeten wij 3 maal het 7e deel van 5' nemen.
Vandaar dat de vermenigvuldiging waarvan de vermenigvuldiger eene breuk is, als volgt kan or.paaltl worden: Bepaling. - De vermenigvuldigi1lg van een getal dool' eene breuk is eeue bewerking waarin men die breuk van het getal neemt; of nog : is eene bewerkil/g waarin men dit getal in zooveel deelen deelt als er eel/heden zijn in den noemer der breuk vermenigvuldiger, en daarna zooveel dier deelen neemt als er eenheden ~iJn in den telle/' der breuk vermenigvuldiger.
Zoo 10 7 x
12
X
i
is 2 maal het 5de deel van 10 nemen;
~ is 3 maal het 11
11 e deel van -12- nemen, enz. ::.!
Men ziet dus dat die vermenigvuldiging hier geene enkelvoudige bewerking is, maar inderdaad bestaat uit eene deeling en eene vermenigvuldiging. 170. Eerste geval. -
Vermenigvuldiging van eene
breuk met een geheel getal. 3
'5 x
Zij: Men moet
7.
3 1f zevenmaal herhalen of zevenmaal grooter
maken, wat men doet (141) door den teller met 7 te vermenigvuldigen, of ook (zoo het mogelijk is) door den noemer met 7 te deelen (142).
~ x 7 = 3 x 7 = ~ en ~ x 5
5
Ö
45
Ö=
~ = 29
45 : 5
9'
-
97-
Regel. - Om eene breuk met een geheel getal te vermenigt'uldigen, vermenigvuldigt men den teller met dat getal, ot deelt er den noemt:w door. 171. Tweede geval. -
Een geheel getal met eene
bt'euk vet·menigvuldigen. 4 3 X-.
Zij:
7
Men moet 4 maal het 7" deel van 3 nemen. Het 7e deel · '1' 3 en 4 maa ld'It 7e dl' 3 x 4 = 3-7x 4 = '1' 12 van 3 IS ee IS "7 Regel. - Om een geheel getal met eene breuk te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt men dit getal met den teller der breuk, en geeft haren noemer tot noemer aan het product. 172. Derde geval. -
Eene breuk vet'menigvuldigen
met eene b,·euk. 3
Zij:
-
5
4
X-.
7
3 Men moet 4 maal het 7e deel van 5" nemen. Het 7e deel
van : is eene breuk die 7 maal kleiner is dan : . Maar, om eene breuk 7 maal kleiner te maken, kunnen wij den noemer met 7 vermenigvuldigen (142); dus is bet 7e deel van { gelijk aan _3_. Wij moeten nu 4 maal dit 78 deel nemen, 'tgeen I) X 7 wij doen door den teller 3 met 4 te vermenigvuldigen (170). Zoo:
3 5
4 7
3 X 4 5 X7
12 35
- x - = - - = -.
Regel. - Om eene breuk met eene breuk te vermenigvuldigen, stelt men het product der tellers op het product dè,. noemers. 7
-
98-
173. Vierde geval. - Vermenigvuldiging met gemengde
getallen. Regel. - Men herleidt die getallen eerst tot onechte breuken, en bewel'kt de vermenigvuldiging volgens de regels del' voorgaande gevallen.
Voorbeelden:
x 3=~ x 3=~= 13 2 ( 4~) 7 777 ( 3 ~) x (4 ~) = ~ x 33 4
7
4
7
=
in x 4
x
33 7
=
17 ~ 28
Bemerking. - Men kan ook die vermenigvuldiging bewerken zonder de gemengde getallen tot breuken te herleiden. bemerker.de hetgeen vastgesteld is over de vermenigvuldiging van eene som met een getal (46), van een getal met eene som (55), of van eene som met ,eene som (56). Voorbeelden:
3) ( 4 7"" X 3= 4 X 3+
3 9 2 '7 X 3 = 12 + '7 = 13 '7
3) 3 9 2 3 X ( 4"""7 = 3 X 4 + 3 X '7 = 12 + """7 = 13 '7
'( 3
!) X (4 ~) =3X4+ ! X4+3X ; + ! X ~ = 12+3+
~ + ~ =15 + ~+15 =17 ~ 7
28
28
28
174. De volgende eigenschappen zijn klaarblijkend:
1° Als de vermenigvuldiger gelijk is aan de eenheid, dan is het product gelijk aan het vermenigvuldigtal. 2° Als de vermenigvuldiger kleiner is dan de eenheid, dan is het product kleiner dan het vermenigvuldigtal. 3° Als de vermenigvuldiger gTooter is dan deeenheid, dan is het product grooter dan het vermenigvuldigtal. Vermenigvuldigen is dus niet noodzakelijk vermeerderen.
-99 175. Product van verscheidene breuken. - Een :gedurig product met breuken moet verstaan worden zooals het gedurig product met geheele getallen (44). Het is de uitkomst der vermenigvuldiging van de eerste breuk met de tweede, van het komende product met de derde, enz. Volgens die bepaling en de regels der vermenigvuldiging is het gedurig product van verscheidene bt'euken gelijk aan het gedurig product del' tel/et's op het gedurig product der noemers,
3
T
4
x
7
"3 x 12
0
X
T =
3x4x7xo 4 x 0 x 12 x 7
Indien er gemeene factoren zijn tusschen beide termen van de ontstane breuk, dan laat men ze weg vooraleer de vermenigvuldiging te bewerken, 3x4x7Xo 4 X 5 x 12 x 7
1. 4
--0
178. De eigenschappen aangaande de vermenigvuldiging der geheele getallen in nummer 46 en volgende gegeven, zijn ook toepasselijk aan de breuken. De bewijzen zouden dezelfde zijn. Deeling. 179, Bepaling. - De deeling is eene bewerking waardOOl' men, het product van twee factoren kennende en één dier factoren, den anderen factor zoekt. Uit die bepaling volgt dat het deeltal steeds gelijk is aan den deelel' vermenigvuldigd met het quotient. 180, Eerste geval. -
Deeling van eene breuk door
een geheel getal. Zij:
ö
8" : 7.
-100 -
Wij moeten een getal zoeken waar 7 mede vermenigvuldigd, : wedergeeft. Zij q dit gelal; wij hebben : 7 x q= : IJ zal dus 7 maal kleiner zijn dan : of (142) :
q=
5 5 --= --. x 7 56
8
Indien de teller een veelvoud is van den deeler, zou men ook den teller door den deeler mogen deel en (141). 25 27 : 5 =
25 : 5
27 =
5 27'
Regel. - Om eene breuk te deelen doOI' een geheel getal, vermenigvuldigt men den noemel' der bt euk met dat geheel getal, of, indien zulks mogelijk is, deelt men den teller der breuk door dat geheel getal. 181. Tweede geval. -
Deeling van een geheel getal
door eelle breuk. 2 8: 3'
Zij:
Wij moeten eeo gelal zoeken waar· ~. mede vermenigvuldigd, 8 wedergeeft, of : 2
3" x waaruit :
en :
1
q""'" 8,
8
3 xq = 2 8x 3 3 q= -2-=8 x 2'
-
101-
Regel. - Om een geheel getal door eene breuk te deelen, vermelligvuldigt men het geheel getal met de breuk deeler omgekeerd.
Deeling van eene breuk dOot·
182. Derde geval. -
eene breuk. 3 . ti
Zij:
8·"7'
Wij moeten een getal zoeken waar ; mede vermenigvuldigd, : wedergeeft.
waaruit : en :
ti 7 1
7
3 8
x q=3 xq=-8 X ti 3 x 7 3 q=--=8 x ti 8
x
7
1f'
Regel. - Om eene breuk door eene breuk te deel eu , vermenigvuldigt men de breuk deeltal door de breuk deeler omgekeerd. Bemerking. - Zijn de termen van de breuk deeltal veelTouden van de overeenkomstige termen der breuk deeler, dan kan men ook teller door teller en noemer door noemer deelen. Zij:
14
2
21 : '7 2 14 '7Xq=~fl 1 14: 2 '7 X q= -21 14:! 7 q= 21: 7= Ir
183. Vierde geval. - Deeling mèt gemengde getallen.
-102 Regel. - Men herleidt de gemengde getallen tot onechte breuken, en zoo komt men op eene der voorgaande gevallen.
e4 ~ ) :
I)
=
5 : (4 : ) =
134 : 5 = 1):
1; =
!!
!!
= 1
1~
. (4 ~)"= 37 : 14 = ~ = 1 13 ( ö ~) 7 . 3 7 3 98 98 . 184. De volgende eigenschappen zijn klaarblijkend: 10 Indien de deeler geJij k is aan de eenheid, dan is het quotient gelijk aan het deeltal; 2° Indien de deeler kleiner is dan de eenheid, dan is het quotient grooter dan het deeltal; 30 Indien de deeler grooter is dan de eenheid, dan is het quotient kleiner dan hel deeltal. Deel en is dus niet altijd verminderen.
-103 -
HOOFDSTUK II.
Tiendeelige breuken. § I. -
EIGENSCHAPPEN DER TIENDEELIGE BREUKEN.
185. Bepaling. - De tie1ldeelige of decimale breuk iseene breuk waarvan de noemer 10 is of eene macht van 10~ De tiendeelige breuk drukt dus uit een aantal tienden. honderdsten, duizendsten, tienduizendsten, enz. van de eenheid: 32, 3254 .. tien . dee I·Ige breu ken. B . v. -5 , _ zIJn
10
100
1000
De tienden, honderdsten, duizend"ten, tienduizendsten, enz., dragen den gemeenschappelijken naam van tiendeelige deelen van de eenheid, of tie1ldeelige eenheden, de tienden, van den 1sten ra1lg ; de honderdsten, van den 2dcn rang; de duizendsten van den 3dn rang, enz. Eene tiendeelige eenheid van willekeurigen rang is tien eenheden weerd van den volgellden rang. Die tiendeelige rangeenheden zijn dus de voortzetting der tientallige rangeenheden. Eene tiendeelige breuk kan, zoowel als de gewone breuken, kleiner of grooter zijn dan de eenheid. B
. v.
34
100
<
1
345
< 100·
De tienueelige breuk wordt ook nog tiendeelig of decimaal getal geheeten. 186. Elk decimaal getal kan altijd aanzien worden als. bestaande uit een geheel gedeelte, dat kan 0 zijn, en uit tiendeelige eenheden van de verschillige ral/gen, z6ó dat het aantal eenheden van elken rang kleiner zij dan 10.
' dee I·Ige breu' - k 10000 32357 ZIJ·· b. v. d e tien
-
104-
Men kan ze op de volgende wijze ontledt'n (160) : 32357 30000 10000 = 10000
2000
300
50
7
+ 10000 + 10000 + 10000 + 10000'
Elke gedeeltelijke breuk kan vereenvoudigd worden met beide termen door eene zelfde maclit van 10 te deelen:
~~~~~
= 3
+ :0 + 1~0 +
5 10 00
+ 10~00
Deze ontleding is algemeen en bewijst de eigenschap. 187. Schrijven van een tiendeelig getal. - Om de tiendeelige getallen zonder noemer te schrijven heeft men de volgende overeenkomsten aangenomen : 1° Ter rechterhand van het cijfer der enkele eenheden plaatst men eene komma (,), die men decimale komma of decimaal punt noemt, en die dienen moet om het geheel gedeelte van het tiendeelig gedeelte af te scheiden. 20 Elk cijfer tel' rechterhand van een ander geplaatst, stelt eenheden voor die tienmaal kleiner zijn. 3° Indien het ~etal geen geheel gedeelte heeft, schrijft men 0 vóor het decimaal punt; men vervangt insgelijks door nullen de' ontbrekende rangeen heden. Volgens deze overeenkomsten en de ontleding van het voorgaande nummer, zullen de volgende getallen: 32357 2057 14 10000 ' 10000 ' 1000 '
geschreven worden: 3,2357
0,2057
0,014.
Bemerkingen. - 10 Elk cijfer ter rechterhand van het decimaal punt geschreven, heet decimaal cijfer. 20 Het aantal decimale cijfers is altijd gelijk aan het aantal nullen van den noemer; zoo, om 100000000 te schrijven, zijn er 6 decimale cijfers; om 10000000 eo , 7 decimale cijfers, enz. 3° Er bestaat overeenstemming tusschen de rangnamen der cijfers welke wederzijds even ver van de enkele eenheden geschreven staan. Alzoo staan de tientallen en de tienden, de honderdtallen en de honder· ,sten, de duizendtallen en de duizendsten wederzijds even ver van de enkele eenheden.
-
105-
4° Om een getal volgens de bovenstaande overeenkomsten zonder noemer geschreven, weder als gewone breuk met eenen noemer t9 schrijven, neemt men als teller het decimaal getal, waarvan het decimaal punt is weggelaten, en als noemer de eenheid gevolgd van zooveel nullen als er decimale ~ijfers waren. Zoo, de decimale getallen: 3,827, 40,530,08 worden geschreven:
3827
4053
8
1000' WO- 100'
188. Uitspreken van een geschreven tiendeelig getal. - 1° Men spreekt het decimaal getal uit alsof het 'een geheel getal ware zonder decimaal punt, en men voegt er den naam bij der laatste tiendeelige eenheden. Voorbeeld: 3,2ö47 zal uitgesproken worden: 32547 tienduizendsten.
2° Men spreekt eerst het geheel gedeelte uit, daarna het decimaal gedeelte alsof het een geheel getal ware, daarbij voegende den naam der laatste tiendeelige eenheden. Voorbeeld: 3,2ö47 zal uitgesproken worden 3 eenheden, 254 7 tienduizendsten. Deze manier is het meest in gebruik. 3° Men spreekt elk cijfer uit, bij elk cijfer den naam voegende der eenheden die het voorstelt. Voorbeeld: 3,2547 zal uitgesproken worden 3 eenheden, 2 tienden, 5 honderdsten, 4 duizendsten, 7 tienduizendsten. Deze manier dient enkel tot oefening. 4° Als het gelal veel tiendeelige cijfers heeft, verdeelt men het tiendeelig gedeelte in vakken van 3 cijfers te beginnen van het decimaal punt; men spreekt eerst het geheel gedeelte uit, daarna achtereenvolgens elk vak van 3 cijfers, na elk vak den naam der eenheden voegende door het laatste cijfer voorgesteld. Voorbeeld: 3,2ö4 73~ 547 2tl kan gelezen worden: 3 eenheden, 254 duizendsten, 732 millioensten, 547 billioensten, 25 honderdbillioensten.
-
106-
Bemerking. - Men zou ook kunnen uitspreken met tiendeeligedeelen die van 100 tot 100 maal kleiner worden of met vakken van 2 cijfers, zooals in het metriekstelsel bij de vlaktematen gedaan wordt.
189. Stelling I. - Een decimaal getal verandert niet, als men el' eenige nullen achter schrijft, of de nullen dieachteraan komen, weglaat.
Zoo:
3,48 = 3,4800.
Het eerste beteekent 3 eenheden, 4 tienden, 8 honderdsten, en het tweede insgelijks. 190. Stelling II. - Een decimaal getal wordt door 10n
vermenigvuldigd of gedeeld, als men het decimaal punt in TangelI naar de rechter- ofnaat' de linkerhand verschuift. Zij het getal :
13,12;).
ZOO" ij, in dit getal, het deCimaal punt b. v. ::3 rangen naar de rechter hand verplaatsen, bekomen wij het getal 1312;), waarin de betrekkelijke weerde van elk cijfer 1000 maal grooter is dan in 13,12;): de tienden zijn honderdtallen geworden; de hondel'dsten, tientallen; de duizendsten, enkele eenheden; de enkele eenheden, duizendtallen; de tientallen, tienduizendtallen. Het is gemakkelijk om zien dat eene verplaatsing van 2 rangen naar de rechterhand, de betrekkelijke weerde van elk cijfer 100 Il).aal, en van eenen rang, 10 maal groote[' hadde gemaakt. Op dezelfde manier doet men zien dat de verplaatsing van het decimaal punt 1, 2, 3, 4, ;) enz. rangen naar de linkerhand het getal 10, 100, 1000, 10000, 100000 enz. maal kleiner maakt. § 11. -
HOOFDBEWERKINGEN OP DE TIENDEELIGE GETALLEN.
191. De bewerkingen op de tiendeelige getallen worden op dezelfde wijze bepaald als die op de gewone breuken.
-
107-
Samentelling.
192. Daar de decimale breuken, voor wat de geschrevene telling aangaat, met de geheele getallen overeenkomp.n, zoo komt ook hunne samentelling met die der geheele getallen overeen. Men maakt afzonderlij k de som van de cijfers die dezelfde tiendeelige eenheden voorstellen, en, indien er geheele gedeelten zijn, van al de cijfers die dezelfde rangeenheden voorstellen, en die verschillige sommen worden in een enkel getal vereenigd. Zij: b. v. de samentelling van 3,4021, 7,234, 0,34 en 17,3.
Men zal hebben : 3,4021 7,234 0,34 17,3 28,2761
Regel. - Om decimale getallen samen te tellen, schrijft men ze onder elkander, z66 dat al de decimale punten in ééne en dezelfde vertikale kolom staan, alsook al de cijfers die dezelfde mngeenheden voorstellen. Vervolgens doet men de samentelling alsof het geheele getallen waren, en in de som stelt men het decimaal punt onder de kolom del' decimale . punten. Aftrekking.
193. Evenals de samentelling, komt de aftrekking der tiendeelige breuken overeen met de aftrekking der geheele getallen. Zij b. v. 7,357 - 6,04. Men heeft: 7,357 6,040 0,817
-
108-
Regel. - Om een decimaal getal af te trekken van een ander, schrijft men het aftrektal en den aftrekker onder elkaar zoodanig dat de decimale punten in eene zelfde vertikale kolom staan, alsook de cijfers die dezelfde 1"angeenheden voorstellen. Zijn er in één der twee getallen meer tiendeelige cijfers dan in het andere, dan kan men .achter het getal waar minst tiendeelige cijfers zijn, nullen voegen. Vervolgens maakt men de aftrekking juist alsof he: geheele getallen wa,.en, en in de nst plaatst men een decimanl punt onder de twee andere decimale punten. Vermenigvuldiging. 194. Voor de vermenigvuldiging met decimale breuken dient opgemerkt te worden wat van de vermenigvuldiging met gewone breuken gezeid is (167). Zoo de vermenigvuldiger een geheel getal is, b. v. 3,5 x 7, beteekent zulks dat 3,5 zevenmaal moet genomen worden, of de bepaling komt overeen met die welke voor de vermenigvuldiging der geheele getallen gegeven is. Maar, wanneer de vermenigvuldiger eene tiendeelige breuk is, b. v. 3,5 X 7,5, zou het geenen zin hebben te zeggen dat men 7,5 maal 3,5 moet nemen. Daarom zal men, de bepaling der vermenigvuldiging met eene breuk toepas<;ende, zeggen dat men 75 maal het 10· deel van 3,5 moet nemen. 195. Eerste geval. - Een decimaal getal met een geheel getal vermenigvuldigen. Zij 2,68 X 13 Men moet 13 maal 268 honderdsten nemen, wat 3484 honderdsten geeft, evenals 13 maal 268 eenheden gelijk is aan -3484 eenheden. Maar 3484 honde,.dsten wordt geschreven: 34,84. Regel. - Om een decimaal getal met een geheel getal te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt men de getallen alsof het vermenigvuldigtal een geheel getal ware; maar, in het bekomen product, snijdt men tel' rechterhand zooveel decimale cijfers af, als er in het vermenigvuldigtal waren.
-109 Bemerking. - De vermenigvuldiging van een geheel getal met eene decimale breuk wordt tot dit eerste geval wedergebracht, daar de factoren mogen verwisseld worden.
196. Tweede geval. - Een decimaal getal vennenigvuldigen met eelt decimaal (jetal. Zij: 24,365 X :12,84. Volgens de bepaling moet men 1284 maal het honderdste deel van 24,365 nemen. Er is hier dus eene dubbele bewerking te velTichten : ie het 100st" deel van 24,365 nemen, 2° de uitkomst met 1284 vermenigvuldigen. Het100,te deel van 24,365 is 0,24365. Om nu 0,24365 met 1284 te vel"Olenigvuldigen, past men den regel van het 1'te geval toe: vermenigvuldigt 24365 met 1284 en snijdt 5 cijfers van het bekomen produkt af. of zoo veel cijfers als er in beide factoren, 24,26t> en 12,84, te zamen zijn. Men schrijve : 24,365 12,84 97460 194920 48730
24365 312,84660
Regel. - Om een decimaal getal te vermenigvuldigen met een decimaal getal, vermenigvuldigt men beide getallen alsof het geheele getallen waren, en, in hel bekomen product, snijdt men let· rechterhand zoo veel decimale cijfers af als el' zijn in het vermeniglJuldiglal en den vermenigvuldiger te zamen;
Deeling. 197. De decling is eene bewerking waardoor men, het product \'an twee factoren en één dier factoren kennende, den anderen factor zoekt. In het beredeneeren der deeling met tiendeelige getallen, veronderstellen wij dat de onbekende factor het vermenigvul-
-
110-
digtal van het product is, anders gezeid, wij beredeneeren de deeling als verdeelingsdivisie, welke beredeneering, zoo wij gezien hebben, (64) algemeen is. Bij de deeling der geheele getallen hebben wij gezien (65) dat de deeling niet altijd opgaat, of dat men niet altijd een geheel getal beeft waal'van het product met den deeler gelijk is aan het deeltal. In zulk geval had de deeling voor doel het geheel gedeelte van het quotient te bepalen, anders gezegd, het aantal eenheden van het quotient te bepalen, of nog bet quotient te bepalen op ééne eenheid na. In het volgende zullen wij die manier van de deeling te beschouwen meer uitbreiden, en de deeling zal nu zijn: het quotient bepalen in tienden, hondet·dsten, duizendsten, enz. Het zoo bepaalde quotient zal juist zijn, zoo het product van hetzelve met den deeler het deeltal wedergeeft. Het quotient zal op min dan één tiende, honde/'dste, duizendste, enz. zijn, als men enkel het grootste aantal tienden, honderdsfen, duizendsten van het quotient heeft bepaald. 198. Eerste geval. - Deeltal en deeler zijn geheele getallen. Zij b. v.15: 7, en zij voorgesteld het quotient te bepalen op 0,001 na. Wij moeten het 7de deel van 15 zoeken. Het 7de deel van 15 eenheden geeft 2 eenheden, welke het geheel gedeelte van het quotient uitmaken. Er blijft 1 eenheid waarvan nog het 7de de~l moet genomen worden. Daartoe herleiden wi~ ze tot tienden en verkrijgen 10 tienden, waarvan het 7de deel 1 tiende aan het quotient geeft. Er blijven 3 tienden te verdeelen, welke, herleid tot honderdsten, 30 honderdsten geven, waarvan het 7de deel 4 honderdsten is. De 2 overblijvende honderdsten zijn gelijk aan 20 duizendsten : het 7de deel er van is 2 duizendsten en er blijven 6 duizendsten onverdeeld. Men schrijve de bewerking:
15 10 30 20 6
I 2142 7 '
-
111 -
Regel. - Otn het quotient van twee geheele getallen te vinden op min dan eelle bepaalde tiendeelige eenheid na, bepaalt men eerst het geheel gedeelte van het quotient, als er een is. Nevens de rest schrijft mt!n eene nul, en uit dit nieuw deeltal bepaalt men het cijfer der tienden. Nevens de nieuwe rest schrijft men nogmaals eelle nul, en uit dit nieuw deeltal bepaalt men het cijfer der honderdsten, enz. tot men de tielldeelige deelen bepaald heeft die verlangd zijn. Bemerkingen. - 10 Het kan gebeuren dat eene der opvolgeude resten 0 zij : dan heeft men het juist quotient gevonden. 20 Als de rest waar men de deeling mede staakt, niet 0 is, dan stelt zij eenheden voor van den laatsten tiendeeligen rang waarvan het cijfer in het quotient bepaald is, b. v" in de bovenstaande deeling duidt de rest 6 duizendsten aan. Men zal, de vergelijking der deeling toepassende (65) hebben: 15 = 2,142 X 7 0,006.
+
3° Om het juist quotient aan te dniden kan men nevens het laatste cijfer van het quotient eene breuk stellen, die de rest, als geheel getal aanzien, voor teller, en den deeler voor noemer heeft; b.v. in de bovenstaande
~.
Die breuk
~
is eene breuk van de
laatste tiendeelige eenheid, en beteekent hier
~
van dui.endste.
deeling is het quotient 2,141
.
4° Om aan te duiden hoe het met 2,142 ten opzichte van het juist quotient gelegen is, gebruike men eene der volgende schrijfwijzen:
15
7 of
=
2,142
2,142 op 0,001 na,
<
15
7
< 2,143.
199. Tweede geval. - Een decimaal getal te deelen door een geheel getal. Zij b. v. 27,25: i3, en zij voorgesteld het aantal1000 slen van het quotient te bepalen. Het 13de deel van 27 eenheden geeft 2 eenheden en er blijft nog 1 eenheid te verdeelen. Herleiden wij ze tot 10den en voegen wij er de 2 tienden van het deeltal bij : zoo bekomen wij 12 tienden, waarvan het 13e deel 0 tienden geeft. Herleiden wij de twaalf tienden tot 1OOsten en voegen wij er de
-112 -
3 honderdsten van het deeltal bij. Zoo bekomen wij 123 honderdsten, waarvan het 13de deel 9 honderdsten geeft en er blijven 8 honderdsten over, Herleiden wij die tot 1000,ten : het 13de deel van 80 duizendsten is 6 duizendsten en er blijven 2 duizendsten over, Men schrijve als volgt: 27,23
26 125 117 80
13 2,096
78
--2 Regel. - Om het quotielzt van een tiendeelig getal door een geheel gelal te vinden, bepaalt men eerst het geheel gedeelte van hel quotient (zoo er een is) met het gehpe[ gedeelte van het deeltal door den deeler te deel en , Daama schrijft men nevens de t'est het cijfer del' lOden van het deeltal, en bepaalt uit dit gedeeltelijk deeltal het cijfer de,' 10den van het quotient; nevens de rest schrijft men het cijfe,' der 100· teo van het quotient. Zoo gaat men voort met nevens de resten de volgende cijfers van het deeltal af te halen, en de opvolgende tiendeelige cijfers te bepalen tot het cijfe,' dat gevmagd wordt. Als er geene cijfers meer van het deeltal af te halen zijn, schrijft men nevens de rest eene 0, om het volgende gedeeltelijk deeltal te vormen. Bemerking. - De vier bemerkingen van het eerste geval zijn ook toepasselijk aan het 2d., uitgenomen dat de rest 0 slechts eene opgaande deeling aanduidt, wanneer er geene cijfers van het deeltal m.eer afte halen zijn.
200. Derde geval. - Eell decimaal of geheel gelal te deeien door een decimaal getal,
Zij b. v. 0,3405: 2,9; en zij voorgesteld het aantal 1000sten van het quotient te bepalen.
-
113-
Het quotient van twee getallen verandert niet als men deeltal en deele," met een zelfde getal vermenigvuldigt (76). Vermenigvuldigen wij hier beide getallen met 10, zoo bekomen wij: 0,3405 : 2,9 = 3,405 : 29
of de deeling wordt wedergebracht tot eene deeling van het 2de geval. Zoo beide decimale getallen hetzelfde aantal decimale cijfers hebben, of zoo de deeler er meer heeft dan het deeltal, dan wordt de deeling wedergebracht tot het eerste geval. B. v. 0,345 : 2,753 = 345 : 2753 en : 0,34 : 0,235 = 340 : 235. Zoo het deeltal een geheel getal is b. v. 9 : 2,07, heeft men: 9 : 2,07
=
900 : 207.
Regel. - Oin een tiendeelig of geheel getal te deelen door een tiendeelig getal, laat men in den deeler het decimaal punt weg, en verplaatst in het deeltal het decimaal punt zooveel rangen naar de rechter hand als el' decimale cijfers in den deeler waren. Vervolgens bewerkt men de deeling volgens de regels voor het is!. of het 2de geval gegeven. Men sChrijve als volgt: 0,3405 : 2,9 = 3,405 : 29 3,405 129 0117 , 50 29
29 -
215 203
12 Bemerkingen. - 10 De deeling zal, zooals in de twee eerste gevallen, het juist quotient geven, indien ééne der opvolgende resten 0 is, en er geene andere cijfers vim het deeltal meer af te halen zij n dan nullen.
s
-114 2° De rest der deeling in het bovenstaande voorbeeld is 0,012; maar dat is de rest der deeling van 3,405 door 29. De rest der deeling van 0,3405 door 2,9 zal (76) 10 maal kleiner zijn of 0,0012, en: 0,3405 = 0,117 X 2,9
+ 0,0012.
30 Het juist quotient zal voorgeateld worden door 0,117
i:
voor
beide deelingen. 40 Men zal ook hebben: 0,3405: 2,9 = 0,117 op 0,001 na
o, 117
of
§ 111.
< ~3405 118 2,9. < 0, .
HERLEIDING VAN EENE GEWONE RREUK TOT EENE TIENDEELIGE.
201. Bepaling. - Eene gewone breuk tot eene tiendeelige herleiden is de weerde van die breuk bepalen in tiendeelige eenheden. 202. Vraagstuk. -
Eene gewone breuk tot eene
tiendeelige herleiden. Zij b. v. Volgens het tweede begrip der breuk (138) mag men ;5 aanzien als het quotient der deeling van 15 door 7. Om ,de weerde van de breuk in tiendeelige eenheden te bepalen, zal men dus den regel moeten volgen voor het eerste geval der deeling gegeven (198). Daar echter de benadering niet aangewezen is, zal men de deelingen onbepaald moeten woortzetten, tenzij ééne der opvolgende resten 0 weze. '203. Twee gevallen. - In het herleiden van eene -gewone breuk tot eene tiendeelige kunnen er dus slechts 2 gevallen voorkomen: ofwel de bewerking gaat op, of zij gaat niet op. 10 De bewerking gaat op, daar ééne der opeenvolgende .resten 0 is. 3 B. v. 8""" 0,375.
-
115-
2° De bewerking gaat niet op, geene der opeenvolgende "t'esten 0 zijnde. De voorgestelde breuk is dan gelijk aan eene oneindig VOo7'tloopende tiendeelige breuk. Wij gaan daarbij bewijzen dat, in die oneindig voortloopende tiendeelige breuk, eenige cijfers oltbepaald in dezelfde orde wederkeeren, Inderdaad al de opeenvolgende resten zijn kleiner dan de deeler. Overigens, volgens de veronderstelling, is geene dier resten O. Daarom zal ten hoogste na zooveel deelingen als er eenheden in den deeler zijn, eene rest wederkeeren die men reeds ~ehad heeft, en te beginnen van die rest zullen dezelfde deeltallen, quotienten en resten wederkeeren in dezelfde orde en onbepaald. Zij b. v. 3 : 14. 30 20 0,2142857 142857 .... 60 40 120 80 100 20 De mogelijke resten zijn één der geheele getallen kleiner dan 14. De eerste rest is 3. Er blijven nog 13 andere mogelijke resten. Voordat men dus 14 deelingen zal bewerkt hebben, zal noodzakelijk eene dier resten voor de tweede maal voorkomen: maar dan wordt het volgende gedeeltelijk deeltal een deeltal dat men reeds gehad heeft. Hier is 2 de eerste wederkeerende rest, welke het wederkeeren van dezelfde gedeeltelijke deeltallen en van dezelfde cijfers aan het quotient med.ebrengt.
I
203. Bepalingen. - De repeteerende tiendeelige breuk is eene oneindig voortloopende tiendeelige breuk, waarin eenige cijfers gestadig in dezelfde orde wederkeeren. Dewederkeerende cijfers, dragen den naam van repetent. Zoo, in 0,333 .... is het repetent 3; in 0,2343434 .... is het repetent 34.
-- 116 De repeteerende tiendeelige breuk wordt zuiver repeteerende tiendeelige breuk genoemd, wanneer het repetent onmiddellijk na het decimaal punt begint, en gemengd repeteet'ende tiendeelige bt'euk, wanneer het repetent niet onmiddellijk na het decimaal punt begint. Zoo is 0,34:1434 .... eene zuh er repeteerende tiendeelige breuk, en 0,2343434 .... eene gemengd repeteerende tiendeeIige breuk. In de gemengd repeteerende tiendeelige breuk worden de niet wederkeerende cijfers het niet repetent genoemd. Bemerkingen. - 10 Elke oneindig voortloopende tiendeelige breuk is daarom niet noodzakelijk repeteerend ; maar zij is het noodzakelijk (202), wanneer zij voorkomt van de herleiding eener gewone breuk tot eene tiendeelige. 2° In het volgende zullen wij altijd beredeneeren op breuken kleiner dan 1. Het is duidelijk dat, wanneer men eene breuk grooter dan 1 te herleiden heeft, men er eerst de eenheden kan uittrekken en daarna de bijbehoorende breuk herleiden. b. v,
i~ =2+ l~
= 2,090909 ...•
204. Stelling I. - Elke onherleidbare gewone breuk wam'van de noemer geene ande1'e ondeelbm'e {actoren bevat dan 2 en 5, is gelijk aan eene eindigende tiendeelige breuk.
,
Zij b. v. de breuk !~~ die onverkleinbaar is en waarvan de noemer geene andere factoren heefl dan 2 en 5 : ik zeg dat .àie breuk gelijk is aan eene eindigende tiendeelige breuk. 123 123 400 = 24 X 52 Zoo men beide termen met 52 vermenigvuldigt, zal men hebben: ~ = 123 X 52 = 2975 = 0 2975 24 x 52 24 X 5' 10000 ' . Inderdaad:
Bemerkingen. - 10 De bovenstaande beredeneering geeft terzelfder tijd een ander middel dan de deeling, om de herleiding van zulke breuken te bewerken.
-117 2° Wij zien ook dat het aantal decimale cijfers van de bekomen tiendeelige breuk altijd gelijk is aan den grootsten exponent van 2 of 5 in den noemer.
205. Stelling 11. - Elke onhet'leidbare gewone breuk, waarvan de noemer geen del' factoren 2 of ti in zich bevat, ~{wel ze bevat met nog andere {actoren, geeft aanleiding tot .ee,ze repeteerende liendeelige breuk.
Zij b. v. de onherleidbare
breuk~, waarvan de noemer .'l
geen der factoren 2 of 5 bevat: ik zeg dat zij zal aanleiding ~even tol eene repeteerende tiendeelige breuk. Inc;.erdaad, daar de breuk ~ onverkleinbaar is, zoo hebben al de gelijkweerdige breuken tellers en noemers die gelijke veelvouden zijn van 2 en van 3 (HW). Maar geen veelvoud van 3 kan eene macht van 10 zijn, daar de machten van 10 geene andel'e ondeelbare factoren bevatten dan 2 en 5. De breuk kan dus niet gelijk zijn aan eene eindigende tiendeelige breuk, of anders gezegd, de deeling van 2 door .3 zal niet opgaan, en, gaat zij niet op, dan geeft zij aanleiding tot eene repeteerende tiendeelige breuk (203, 2de geval). w. m. b. w. Men zal op dezelfde manier hetzelfde bewijzen, b. v. voor ;5 ' onverkleinbare gewone breuk waarvan de noemer 5 bevat met nog andere factoren. Gevolg. - Wij hebben bewezen (204) dat al de onverkleinbare gewone breuken, waarvan de noemer· slechts de factoren 2 of 5 bevat, gelijk zijn aan eene eindigende tiendeelige breuk, en (205) dat al de andere onherleidbare breuken aanleiding geven tot I'epeteerende breuken. Daaruit besluit men dat de eerste alleen aanleiding geven tot eindigende tiendeelige breuken.
-118 § IV. HERLEIDING VAN EENE TIENDEELIGE BREUK TOT EENE GEWONE.
206. Bepaling. - l\'Ien noemt voortbrengende breuk van eene tiendeelige breuk, de gewone breuk welke tot die tiendeelige aanleiding geeft. 207. Eerste geval. De tiendeelige breuk is eindigend.
Zij b. v. 0,4125 Zoo wij gezien hebben (187, bemerking 4°), kan die 4125 . breuk geschreven worden 10000 welke, tot haren eenvoudIgsten vorm gebracht, gelijk is aan
:~: die breuk :~
en al de
gelijkweerdige zijn klaarblijkend voortbrengende van 0,4125. Regel. - Om de voortbrengende van eene ei1ldigende tiendeelige breuk te vinden, schrijft men die breuk onder vorm van eene gewone breuk en herleidt ~ vervolgens tot haren eenvoudigsten vorm. De bekomen breuk is eene voortbrengende. Men zal daarna zooveel voortbrengende vinden als men wil, dool' beide termen dier' eerste met geheele getallen te verme1ligvuldigen. Bemerking. -
Hadde men b. v. de uitdrukking 3,478 -} tot
eene gewone breuk te herleiden: 3,478 {-
=
3478 1000
+ _2_ = 3000
= 3,478 +
~~8 X 3i-~ 3000
=
104~~ 3000
10100 X {-
=
~609 750 •
208. Tweede geval. - De tiendeelige breuk is eene zuiver repeteerende. Zij b. v. 0,4645 ..... Door x de voortbrengende dier breuk voorstellende. heeft men: x = 0,4!S4ö ....
-119Zoo wij beide gelijke getallen met 100 vermenigvuldigen, opmerkende dat zulks, bij tiendeelige breuken, geschiedt door het decimaal cijfer twee rangen naar de rechter hand te verplaatsen, heeft men:
100 x = 45,4545 ..... 100 x = 45 + 0,4545 .....
of:
Daar x gelijk is aan 0,4545 ..... zoo kan men ook schrijven: 100 x = 45 + x. Beide gelijke getallen met x verminderende: 99 x =- 45 45 x = -- . 99
waaruit:
Op dezelfde manier zou men hebben : 0,375375 .....
= -375 ; want 1000 x =
375 999 45 999 ; want 1000 x = 45
+x
0,045045 ..... = 0,35843584 ....
+x
=
3584 9999 ; want 10000 x
=
, 3584
+
x enz.
Regel. - De voortbrengende eener zuiver repeteerende tiendeelige breuk is de gewone breuk die het repetent voor teller heeft, en waarvan de noemer uit zooveû negens bestaat als er cijfe1 s zijn in het 1'epetent. Bemerking, - Men kan vervolgens die voortbrengende tot haren eenvoudigsten vorm brengen : al de breuken gelijkweerdig met de bekomen onverkleinbare breuk zijn voortbrengende van' de opgegeven breuk.
209. Derde geval. -
De tiendeelige breuk is eene
gemengd 1epeteerende. Zij b. v.
0,34545 .....
-
120-
Stellen wij de voortbrengende door x voor: waaruit:
x = 0,34;)41> .... . 1000 x = 341>,41)41> .... .
en : 10 x of anders geschreven :
~
3,4ö4ri ....•
+
1000 x = 345 0,4545 .... . 10 x = 3 + 0,4545 .... .
aftrekkende------'--.:......----
1000 x - 10 x = 345 + 0,4545 .... - 3 - 0,4545 ..... 990 x = 345 - 3 en: x =345-3 -__990 of :
Op dezelfde manier heeft men :
o,273273 " . ~ 273990-
2
0347373 ... . .
=
3473 - 3.4 9900
03452323 ... ,
=
34523 - 345 99000
Regel. - De voortbrengende eener gemengd repeteerende tiendeelige breuk ,is de gewone breuk die voor teller heeft een getal bestaande uit het niet repetent, gevolgd van het repetent verminderd met het niet repetent, en voor noemer een getal bestaande uit zooveel negen$ als er cijfers zijn in het repetent gevolgd van zooveel nullen als er cijfers zijn in het niet f'epetent. Bemerkingen. - 10 De voortbrengende kan vervolgens tot haren eenvoudigsten vorm gebracht worden : al de breuken, er gelijkweerdig mede, zijn ook voortbrengende van de opgegeven breuk. 20 De teller der voortbrengende vaN' eene gemengd repeteerende tiendeelige breuk, volgens den opgegeven regel gezocht, kan nooit op 0 eindigen, want het laatste cijfer van het repetent zou dan moeten gelijk zijn aan het laatste cijfer van het niet repetent, en dan zou, wat tegen de veronderstelling is, het repetent een cijfer vroeger beginnen. B. v.
o,347272 =
34~_ - 3~ 9\)00 .
-
U1-
De teller is 3472 - 34. Dit verschil kan eindigen op 0, indien het laalste cijfer van het repetent gelijk is aan het laatste cijfer van het niet repetent, anders gezegd, indien men heeft 3472 - 32 ot 3474 - 34. Maar, in het eerste geval, zou men hebben 0,327272, en het repetent zou 27 zijn, en, in het tweede geval, 0,347474, en het repetent zou 47 zijn, en niet 72.
§ V.
BEPALING VAN DE NATUUR DER T1ENDEELIGE BREUK TOT WELKE EENE GEGEVEN GEWONE BREUK AANLEIDING GEEFT.
210. Te dien opzichte verdeelen wij al de onherleidbare gewone breuken in 3 soorten : 1° de onverkleinbare gewone breuk, waarvan de noemer geene factoren bevat dan 2 of 3. 2° de onverkleinbare gewone breuk, waarvan de noemer geen der factoren 2 of 3 bevat. 3° de onverkleinbare gewone breuk, waarvan de noemer de factoren 2 of 3 bevat met nog andere ondeelbare factoren. 211. Wij hebben gezie!l dat de eerste soort van gewone
breuken, en zij alleen, gelijk is aan eene eindigende tielldeelige breuk (203, gevolg). Wij ",eten dat al de andere aanleiding geven tot repeteerende tiendeelige breuken. Wij moeten nu enkel nog bepalen, welke gewone breuken aanleiding geven tot zuiver repeteerende tiendeelige breuken, en welke tot gemengd repeteerende tiendeelige breuken. 212. Stelling I. - De noemer eenel' onverkleinbare gewone breuk die aanleiding geeft tot eene zuive1· repeteerende tielldeelige breuk, bevat geen der factoren 2 of 3. Want de voortbrengende van eene zuiver repeteèrende tiendeelige breuk heeft eenen noemer (208) die, vóor alle vereenvoudiging, uitgaat op 9 en dus geen der factoren 2 of 3 beval. Die noemer zal ze nog min bevatten na de vereenvoudiging. 213. Stelling Il. - De noemer eeller onverkleinbare gewone breuk die aanleiding geeft tot eene gemengd repeteerende tiendeelige breuk, moet de factoren 2 of tS, of beide, met nog andere factoren bevatten.
-122 Want 1° de voortbrengende van eene gemengd repeteerende tiendeelige breuk heeft een en noemer die, vóor alle vereenvoudigin~, uitgaat op nullen (209) en dus een- of meermaal de factoren 2 en 5 samen bevat. Daarbij kan de teller niet op 0 uitgaan (209, bemerking 2°), of terzelfder tijd de factoren 2 en 5 bevatten. Dus, na vereenvoudiging, zal ten minste één der factoren 2 of 5 nog in den noemer overblijven. 2° De noemer moet ook nog andere factoren dan 2 of ö bevatten, want anders zou de breuk aanleiding geven tot eene eindigende tiendeelige breuk (205, gevolg). 214. Regel. - Om te bepalen tot welke tiendeelige breuk eeM gewone breuk aanleiding geeft, brengt men ze eerst tot haren eenvoudigsten vOl'm. Bevat dan de noemer slechts de factoren 2 of5, zoo is de bl'euk aan eene eindigende tiendeelige breuk gelijk. Bevat de noemer geen der factoren 2 of 5, dan geeft de breuk aanleiding tot eene zuivet' repeteerende tiendeelige breuk. Bevat de noemer de factoren 2 of 5 met nog andere factoren, dan geeft de breuk aal/leiding tot eene gemengd repeteerende tiendeelige breuk. 215. - Hoofdbewerkingen met repeteerende tiendeelige breuken. Regel. - Om op de repeteerende tiendeelige breuken de hoofdbewerkingen te verrichten, kan men de voortbrengende van elke breuk zoeken en daarna de bewerkingen uitvoeren. Zoo:
4 543 983 0.44 .... + 0,54848 .... =9+990=990' 0,5858 .... - 0,33.... =
58
3
99 -9 =
25 99'
45 47 2115 0,4545 .... X 0,4747.•.. = 99 X 99 = 98"0ï' 31 23 341 0,344 .... : 0.2323 .... = 90 : 99 = 230'
-
123-
HOOFDSTUK 111.
Uitbreiding van het begrip breuk. 216. Tot hiertoe hebben wij de breuken beschouwd als geheele termen hebbende. Daar echter de breuk als een quotient mag beschouwd worden, kan men elk quotient hetzij van geheele, hetzij van· gebroken getallen, als eene breuk aanzien. Vandaar: Bepaling.-Eene breuk, in het algemeen, is het quotient van een willekeurig getal door een willekeurig getal. Zoo kunnen de volgende uitdrukkingen: 3
-
!
4 ~, 3
7,35 2'
--
4,333 ..... x
3,45
~ ,enz.
3 welke quotienten voorstellen, als breuken aanzien worden.
217. Al de algemeene eigenschappen die wij voor de gewone breuken bewezen hebben, zijn ook aan die samengestelde breuken toepasselijk. Wij gaan de bijzonderste bewijzen. 208. Stelling I. - Eene breuk verandert niet van weerde als men beide termen met een zelfde getal vermenigvuldigt. " a a X m. WIJ.. moeten b eWIJzen: -b = -b-x m.
a, b, m willekeurige getallen voorstellende. Zij q het quotient der deeling van a door b; men heeft: a=b x q Beide leden met m vermenigvuldigende : axm=bxmxq
-124 -
Deze gelijkheid doet zien dat bet quotient der deeling van a X m door b X m ook q is, of hetzelfde als bet quotient der deeling van a door b. w. m. b. w. Gevolg J. - Uit die stelling volgt dat de regels aangaande de herleiding der breuken tot gelijken noemer, ook doorgaan voor de breuken op deze uitgebreide manier verstaan, en bijgevolg dat de regels gegeven voor de samentelling en de aftrekking der breuken met geheele termen, ook toepasselijk zijn aan de breuken met gebroken termen. Gevolg 11. - Eene breuk verandert niet van weerde als men beide termen door een zelfde getal deelt. Want deelen is anders niets dan vermenigvuldigen met het omgekeerde van
het getal: b. v. deelen door! is vermenigvuldigen met : ; deel en door {) is vermenigvuldigen met 219. stelling 11. -
!.
Om eene breuk met eene breuk te
vermenigvuldigen, vermenigvuldigt men teller met teller en noemer met noemer. ·· a Ik moe t beWIJzen··. ·b
c= a X- c. d bxd
X -
AI de letters stellen willekeurige gebeele of gebroken getallen voor. Indien wij door q en q' de qllotienlen der deeling van a door b, en van c door d voorstellen, heeft men :
en :
a =b X q c=dxq'
lid aan lid vermenigvuldigende: of:
a X c = b X q X d X q' a X c = (b X d) X (q X q')
-125 -
Wat doet zien dat q x q' het quotient is der deeling a c a X c door b X d, of, daar q X q' = b X d' dat men heeft
a c aXc b"X(f= bxd
w. m. b. w.
220. Stelling III. Om eene breuk dool' ee17e breuk te deelen, vermenigvuldigt: men de breuk deeltal met de breuk deelel' omgekeerd.
Xc'
Ik. moe tb" a : dc= a eWIJzen: IJ b d
Al de letters stellen willekeurige geheele of gebroken getallen voor. Zoo q het quolierlt der deeIing van : door ~ voorstelt, heeft men:
a
c
b = (fX q. Zoo wij nu beide j;!'ehjke hoeveelheden met!!.. vermenig-
c
vuldigen, bekomt men: a d c d b X c=(j xqx ti a d of : - X - = q. w. m. b. w. b c
VIERDE DEEL. Het metriek stelsel.
221. Bepaling. - Het metriek stelsel is de verzameling van maten, gewichten en munten die van den meter afstammen. Men noemt het ook wettig stelsel van maten, gewichten en munten, omdat het in België door de wet is ingevoerd. Het heet nog decimaal stelsel van maten, gewichten en munten, omdat het bestaat uit hoofdeenheden en hulpeenheden die aan elkander verbonden zijn door de decimale wet: elke grootheid heeft hare hoofdeenheid en hulpeenheden die de eene tientallige veelvouden, de andere tiendeelige deel en van de hoofdeenheid zijn. Tot het begrip van geheel het stelsel behoort de kennis van 12 woorden: 1 Vijf grondwoorden: meter, are, stet'e, liter, gram; 2° Vier Grieksche voorvoegsels om de tien-, honderd-, duizend-, en tienduizendtallen uit te drukken : deca, hecto, kilo, myria; 3° Drie Latijnsche voorvoegsels om de tienden, honderdsten en duizendsten uit te drukken: deci, cellti, milli. 0
-1!7 § I. -
LENGTEMATEN.
122. De hoofdeenheid is de meter, die ook de grondeenheid van het metriek stelsel is. De meter wordt beschouwd als het 40000000,te deel van eenen middagcirkel. De eenheden grooter dan de meter zijn lengten van 10, 100, 1000, 10000 meters; zij zijn genoemd: decameter, hectometer, kilometer-, myriameter. De eenheden kleiner dan de meter zijn één 10d., één 100·te , één 1000ste van den meter; zij zijn genoemd decimeter, centimeter, millimeter. . De eenheden der lengtematen zijn dus: Myriameter, Mm, 10000 m. Kilometer, Km, 1000 m. Hectometer, Hm, 100 m. Decameter, Dm, 10 m. Meter, m, 1 m. Decimeter, dm, 0,1 m. Centimeter, cm, 0,01 m. Millimeter, mm, 0,00-1 m. In die reeks eenheden is elke eenheid tienmaal kleiner dan de voorgaande. 223. Gebruik der lengtematen. - 1° De centimeter en millimeter zijn de bijzondere eenheden der kleine lengten. 2° De meter is de bijzondere eenheid der gewone lengten. 3° De kilometer is de bijzondere eenheid der wegafstanden. 4° De myriameter is de bijzondere eenheid der zeer -groote afstanden. Bemerking. - De wegafstanden worden ook dikwijls gemeten in metrieke mijlen. Eene metrieke mijl is gelijk aan 5 km. De Vlaamsche 5 mijl, of zeemijl, of mijl van 20 in éénen graad, bedraagt 5555 9" m. De Fransche mijl of mijl van 2{j in éénen graad bedr:aagt 4444
4
9" m.
-128 224. Schrijven en lezen der getallen die lengtematen voorstellen. Eene lengte wordt in cijfers voorgesteld door eerst het geheel getal der eenhedt'n te schrijven, daarna een decimaal punt en het aantal tiendeelige ondervouden. De naam der eenheid wordt nevens het tiendeelig getal geschreven : Voorbeelden: 32,457 m., 7,5 dm., 34,5 Km. Men leest die getallen bij7.0nderlijk op 2 manieren: 1 Men spreekt eerst het geheel gedeelte uit, daarbij den naam del' eenheid voegende; daarna het decimaal gedeelte, daarbij den naam van het laatste tiendeelig deel voegende. 0
Voorbeeld : 47, 523 m. wordt gelezen: 47 meters, 523 millimeters.
2° Men leest elk cijfer met de benaming van de eenheden die het voorstelt. Deze manier dient enkel tot oefening.
225.Verandering van eenheid.-Z ij b. v. 3435,678 m. te herleiden tot cm. Men bepaalt het cijfer dat cm. voorstelt en verplaatst het decimaal punt achter dit cijfer. Het getal stelt het aantal cm. voor. Zoo ook voor elke andere eenheid. § 11. -
VLAKTEMATEN.
226. De lJoofdeenheid der vlaktematen is de vierkante meter. De vierkante meter is het vierkant waarvan de zijde 1 meter lang is. Het vierkant, volgens de bepaling der meetkunde, is de vierhoek waarvan de vier zijden en de vier hoeken gelijk zijn. De hulpeenheden grooter dan de vierkante meter zijn de vierkante decameter, hectometet·, kilometer, myriameter; die vierkanten zijn respectievelIjk van éénen decameter, hectometer, kilometer. myriameter zijde.
-
'129 -
De hulpeenheden kleiner dan de vIerkante meter, zijn de vierkante decimeter, centimeter, millimeter, die vierkanten zijn respectievelijk van 1 decimeter, centimeter, millimeter zijde. 227. Verhouding der vlaktematen. - De veelvouden van den vierkanten meter, de vierkante meter en zijne onderdeel en vormen eene reeks eenheden waarvan iedere honderdmaal grooter is dan de volgende. Ik zeg b. v. dat de vierkante meter 100 vierkante decimeters bevat. Inderdaad, de vierkante meter kan eerst verdeeld worden in 10 rechthoekige banden elk van 1 meter lang en 1 decimetcr breed. Elkeene dier banden kan vervolgens verdeeld worden in 10 vierkanten elk van 1 decimeter zijde. Zoodat men 10 x 10 of 100 zulke vIerkanten in den vierkanten meter heeft. 228. De eenheden der vlaktematen zijn dus:
Vierkante myriameter. » kilometer, » hectometer, decameter, laeter, .:ecimeter, » .entimeter, » ~lIiIlimeter , ))
Mm2, 10J 000 000 m2• Km2, 1000000 m2• Hm 2 , 10000 m2• Dm2, m2 • 100 2 1 m2 • m, 2 dm , 0,01 m'. 0,0001 m2 • cm2 , 0,000 001 m2 • mm 2 ,
229. Gebruik der vlaktematen. - 1° De vierkante kilometer wordt gebruikt als bijzondere eenheid voor de zeer groote oppervlakten. B. v. provinciën en landen in de aardrijkskunde. 2° De vierkante hectometer, decameter en meter zijn de bijzondere een'heden voor de oppervlakte van landerijen, maar dragen dan bijzondere namen waal'over verder. 23Q. Schrijven en lezen der getallen die vlaktematen voorstellen. 9
-
130-
Daar elke eenheid honderdmaal grooter of kleiner is dan de naaste, zoo wordt elke groep eenheden van dezelfde soort met 2 cijfers geschreven. Zoo zal 02 Dm2, 40 m2 , 23 dm2, 2 cm 2 geschreven worden: 0245,2302 m2 • Men vervangt door nullen de cijfers die ontbreken, opdat elk cijfer, ten opzichte van het decimaal punt, op zijnen rang sta. Voor het lezen van een getal dat vlaktematen voorstelt kan men bijzonderlijk twee manieren volgen: 10 Men spreekt eerst het aantal eenheden uit daarbij den naam der eenheid voegende; vervolgens, het tiendeelig gedeelte bestaande uit een even aantal cijfers, daarbij den naam van het laatste ondervoud voegende. 240,4534 m2 wordt uitgesproken : 245 m2, 4034 cm 2 • 245,432 m2 wordt uitgesproken : 240 m2, 4320 cm 2 • 2° Men kan beurtelings het aantal eenheden van elke soort uitspreken: 3457, 324 m2 , wordt uitgesproken, 34 Dm 2 , 07 m2, 32 dm2 en 40 cm2. Deze manier dient meest tot oefening. "'231. Verandering van eenheid. - Om tot eene andere eenheid over te gaan, verplaatst men het decimaal punt achter het vak van 2 cijfers dat de eenheden van die soort voorstelt. 34,230732 m2 = 3423,0732 dm 2 = 342307,32 cm2 = 34230732 mm 2 • 232. Landmaten. - Als men velden meet, gebruikt men gewoonlijk als eenheid de Dm2, dien men are noemt. Het eenig veelvoud van de are is de hectare of Hm 2 • Het eenig onderdeel van de are is de centiare of m2 • Hectare, Ha, 100 a, 10000 1112. Are, a, 1 a, 100 m2 • Centiaren, ca, 0,01 a, 1 m2 • 25 Ha, 3 a, 5 ca worden geschreven: 2503,05 a = 25,0305 Ha = 200305 ca.
-
131-
233. De oppervlakten worden in de meetkunde afgeleid van de lengte van zekere lijllen. Wij geven hier de bijzonderste formulen welke de maat van oppervlakten voorstellen. Oppervlakte vierkant = Z· rechthoek = B X H parallelogram = B X H • ruit = B X H =
!
D X D'
Oppervlakte driehoek = -~ B X H . 2 . 1 " trapezlUm=2" (B+B')X H 1 " regelmat. veelhoek= 2" PXA
" cirkel
=
R" X
?>.
Z is de zijde; B, de hasis; H, de hoogte; D en D', dwarslijnen ; P,perimeter; A,apothema; R, radius ofstraal; ?> = 3,1416 op 0,0001 na.
§ lIl. -
RUlMTE~IATEN.
234. De hoofdeenheid der ruimtematen, ook gezegd kubieke malen, is de kubieke meter.. De kubieke meter is een kubus waal'van de ribbe 1 meter lang is. Volgens de bepaling der meetkunde is de kubus een veelvlak dat onder 6 gelijKe vierkanten begrepen is. Hij heeft 8 hoekpunten en 12 gelijke randen of ribben. De hulpeenheden grooter dan de kubieke meter, zijn de kubieke decameter, hectometer, kilometer, myriameter, die kubussen zijn respectievelijk van éénen decameter, hectometer, kilometer, myriameter ribbe. De hulpeenheden kleiner dan de kubieke meter, zijn de kubieke decimeter, centimeter, millimeter, die kubussen zijn respectievelijk van éénen decimeter, centimeter, millimeter ribbe. 235. Verhouding der ruimtematen. - De veelvouden van den kubieken meter, de kubieke meter en zijne onderdeel en maken eene reeks eenheden uit, waarvan iedere 1000 maal grooter is dan de volgende. Ik zeg b. v. dat de kubieke meter 1000 kubieke decimeters bevat. Inderdaad de kubieke meter' kan eerst verdeeld worden in tien planken, elk van 1 m. lengte, 1 m. breedte en 1 dm.
-
132-
hoogte. Elke plank kan vervolgens verdeeld worden in tien latten, elk van 1 m. lengte, 1 dm. breedte en 1 dm. hoogte. Elke lat kan eindelijk verdeeld worden in tien kleine kubussen elk van 1 dm. ribbe. Eene lat bevat dus10 kubieke decimeters, 10 latten of eene plank bevat er 10 X 10, en 10 planken of de kubus 10 X 10 X 10 of 1000. 236. De eenheden der ruimtematen zijn dus:
Kubieke myriameter, Mm 3 • 1 000 000 000 000 m3 • » kilometer, Km 3 • 1000000000 m3 • » hectometer, Hm 3 , 1000000 m:;. l) decameter, Dm3 , 1 000 m3 • » meter, m3 , 1 m3 • » decimeter, dm 3 , 0,001 m:1• » centimeter, cm3 , 0,000001 m3 • 3 l) millimeter, mm , 0,000000001 m3 • Bemerking. -
De veelvouden van den kubieken meter worden
schier niet gebruikt.
237. Schrijven en lezen der getallen die ruimtematen
voorstellen. Daar elke eenheid duizendmaal grooter of kleiner is dan de naaste eenheid, zoo wordt elke groep eenheden van dezelfde soort met 3 cijfers geschreven. Zoo zal 23 m3 , 412 dm 3 , öOcm3 , 3 mm 3 , geschreven worden 23, 4120Ö0003 m3 • Voor het lezen kan men te werk gaan gelijk voor de vlaktematen, opmerkende dat het aantal tiendeelige cijfers altijd een veelvoud van 3 moet gemaakt wortIen. 238. Brandmaten. - De kubieke meter als hoofdeellbeid der brandmaten heet stere (s.). . Het eenig veelvoud van de stere is de decastere of 10 steren. Het eenig onderdeel is de decistel'e of 'lOde deel del' stereo
-133 -
Decastere, ds., 10 s. Stere, s., 1 s. Decistere, ds., 0,1 s.
of 10 m3 • of 1 mS. of 100 dm 3 •
239. Inhoudsmaten. - Voor de granen en vloeistoffen gebruikt men maten waarvan de hoofdeenheid de liter is. De liter is de maat die 1. kubieken decimeter inhoudt. De veelvouden van den liter, de liter enzijneonderdeelen maken eene reeks eenheden uit die, zooals de lengtematen, van 10 tot 10 maal k~einer worden.
De inhoudsmaten zijn: Myrialiter, MI. 10 000 I. Kiloliter, Kl. 1000 I. of 1 m3 • Hectoliter, Hl. 100 I. Decaliter, Dl. 10 l. Liter, I. 1 l. of 1 dm 3 • Deciliter, dl. 0,1 I. Centiliter, cl. 0,01 l. Milliliter, mI. 0,001 I. of 1 cm3 • 240. -
241. Schrijven en lezen der getallen die inhoudsmaten voorstellen. Hiervoor alsook voor het veranderen van eenheid gaat men te werk gelijk voor de lengtematen. 142. Herleiding van gewone ruimtematen in inhoudsmaten en omgekeerd. Men sla de overeenkomsten gade die in de bovenstaande tafel gegeven worden tusschen zekere ruimtematen en zekere in houdsmaten. B. v. 112 Hl = 11200 I = 11200 dm 3 • 173,23 1 = 173230 mi = 173230 cm 3 • 224578 Hl = 22457,8 kl = 22457,8 m3• 0,3257 m3 = 325,7 dm 3 = 325,7 I, enz. 243. Gebezigde inhoudsmaten. - De reeks werke-
lijk bestaande inhoudsmaten
VOOl'
natte waren begint met
-
134-
den hectoliter en eindigt met den centiliter. Zij zijn ten getalIe van 13, want VOOT elke maat bestaat het tweevoud en de helft, uitgenomen dat de hectoliter geen tweevoud heeft, en de centiliter geene helft. De werkelijk bestaande inhoudsmaten voor droge waren zijn ten getalIe van 11, dezelfJe als voor natte waren. uitgenomen de twee kleinste, te weten, de centiliter en de dubbele centiliter. AI deze maten hebben den vorm van cylinders. De diameter der basis is gelijk aan de hoogte. uitgenomen voor de acht kleinste maten voor natte waren, waarvan de hoogte gelijk is aan tweemaal de diameter der basis. De ti grootste inhoudsmaten voor natte waren moeten in koper, plaatijzer of gegoten ijzer verveerdigd zijn. De andere, te beginnen van den dubbelen liter, mogen in tin, blik, glas of gleierwerk gemaakt zijn. De inhoudsmaten voor droge waren zijn uit koper, plaatijzer of hout verveerdigd. 244. In de meetkunde leidt men het volumen der lichamen af van zekere a1metingen. Wij geven hier eenige formulen . Volumen kubus
= Z3.
Volumen spitzuil
kantzuil = B X H.
~-
B X H.
!
B X H.
kegel bol
rolzuil = B X H.
4
3" R3 X
Z beteekent ribbe; B, basis; H, hoogte; R, straal op 0,0001 na.
§ IV. -
'Ir
'Ir.
=3,1416
GEWICHTEN.
245. De hoofdeenheid der gewichten is de gram. De gram is het gewicht van eenen kubieken centimeter gedistilleerd water, bij zijne grootste dichtheid genomen en in het luchtledige gewogen. 1° Het water wordt gedistilleerd om het te zuiveren van de zelfstandigheden die, er in opgelost zijnde, er het gewicht van onder een zelfde volumen veranderlijk maken.
-
135-
2° Men heeft water genomen bij eene bepaalde temperatuur, omdat het gewicht van een zêlfde volumen water verandert met de temperatuur. De gekozene temper~tuur is liie waarbij het water zijne grootste dichtheid heeft of 4° Celsius. 30 Het water is in het luchtledige gewogen, omdat een lichaam in de lucht een deel van zijn gewicht verliest gelijk aan het gewicht van de verplaatste lucht. 246. De veelvouden van den gram, de gram en zijne onderdeelen maken eene reeks eenheden uit die van 10 tot 10 maal kleiner worden.
Myriagram, Mg, Kilogram, Kg, Hectogram, Hg, Decagram, Dg, Gram, g, Decigram, dg, Centigram, cg, Milligram, mg,
10000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
g. g. g. g. g. g. g. g.
Voor de groote gewichten heeft men de centenaar of kwintaal gelijk aan 100 kg. Voor de scheepslading, de scheepston of ton gelijk aan 1000 kg. 247. Schrijven en lezen. - Zelfde bemerkingen als voor de lengtematen. De verandering van eenheid geschiedt insgelijks op dezelfde manier. De meest gebruikte eenheden zijn de Kg. en de g. 248. Overeenkomsten tusschen gewichten en ruimtematen. f scheepston is het gewicht van 1 m3 water.
1 Kg,
1 g,
»»» »» l)
dm 3 » of 1 I. »1 cm3 »» 1 mI.
» 1
-
136-
Daaruit volgt dat het gewicht en het volumen van water door hetzelfde getal uitgedrukt worden, wanneer men de bo~enstaande overeenkomstige eenheden neemt. 1,063 m3 water weegt 1,053 scheepston. » dm 3 » 10,345 Kg. » 103,4 Kg. I » cm 3 33,4 g. mI g. 15
1-0,345 103,4 33,4 15
J)
J)
J)
J)
249. Bestaande gewichten. - De reeks bestaande gewicbten begint met 5 Mg (50 Kg) en eindigt met den mg. Zij bevat het dubbel en de helft van al de opgegeven eenheden Vlm nummer 246. 250. Soortelijk gewicht. - Men noemt soortelijk gewicht of dichtheid van een lichaam, 't zij vast, 't zij vloeibaar, het onbenoemd getal dat aanduidt hoe dikwijls het lichaam zooveel weegt als hetzelfde volumen wa te 1', anders gezeid, de verhouding tllsschen de zwaarte van dit lichaam en die van het water, onder geJij ke volumen. Zegt men b. v. dat een lichaam voor soortelijk gewicht 7,5 heeft, dat wil zeggen dat het gewicht van hetzelfde volumen water, met 7,5 vermenigvuldigd, gelijk is aan het ,gewicht van het lichaam. . Wij geven hier in ronde getallen de dichtheid van eenige lichamen. . VAS TE
Platina Goud Lood Zilver Koper IJzer Zink Graniet Marmer
21,5 19,25 11,25 10,5 8,5 7,5 6,0 2,7 2,5
LlCHA~IEN.
Amber Glas Porcelein Sulfer Suiker IJs Denenhout Populierenhout Kurk
2,5 2,5 2 2 1,5 0,9 0,7 0,4 0,25
-
137-
VLOEI~TOFFEN.
Kwikzilver Melk Zeewatel' Wijn van Bordeaux
13,5 1,03 1,025 0,994
§ V. -
Olijfolie TeI'pentijn Naphte AlcooI
0,915 0,87 0,85 0,8
MUNTEN.
251. De hoofdeenheid der munten is de fra1lk (fr), De frank is de weerde van een zilveren geldstuk dat 5 gr. weegt en waarvan het gehalte 0,900 is. Het gehalte van eene staaf gemengd metaal is het onbenoemd getal dat aallduidt welk deel van het gewicht aan het hoofd metaal toebeboort; is b. v, het gehalte van een zilveren voorwerp 0,900, dan beteekent zulks dat, op 1000 deelen, er 900 zuiver zilver zijn. De tientallige veelvouden van den frank hebben geenen bijzonderen naam; men zegt: 10 fr., 100 fr. De tientallige onderdeelen van den frank zijn de deciem en de centiem (c). De deciem wordt ook weinig gebruikt; men zegt liever 10 c. De aangeduide veelvouden van den frank, de frank zelf en de ondervouden maken eene reeks eenheden uit die van 10 tot 10 maal kleiner worden. 252. Bestaande munten. - Buiten de opgegeven eenheden, gebruikt man nog speciën die het dubbel en de helfl van elke eenheid weerd zijn, uitgenomen dat 100 fr. geen tweevoud en 1 c. geene helft heeft. Tafel der bestaande munten. Gouden munt.
I Zilveren munt. I Nickelen munt: I
~ 01 '" .., Z
-<
~
~ OEWICHr
'Z 01
... '"
);l ~ o 01 Z01
IN O.
~
100 50 20 10 5
..,01 '"z
-< ... ~
:s
);l ~ o 01 Z 01
5 2 1 0,50
~ ~
OE-
..,01 '"z
~ );l~ 001 Z 01
WICHT
Z 01
WICHT,
Z 01
IN O.
01 '"
WICHT
Z 01
'"
IN O.
25 10 5 2,5
0,20 0,10 0,05
-< ...
i~ o 01
.
OE-
~
~
~
32,258 16,129 6,452 3,226 1,613
~
~ OE-
IN O.
Koperen munt.
7 4,5 3
0,02 0,01
4 2.
-138 -
De gouden munten en het zilveren stuk van 3 fr. hebben hel wettig gehalte van 0,900. Het gehalte der andere zilveren stukken is 0,833. De wettige munteenheid is dus verschillend van het wezenlijk stuk van 1 tI'. De wettige munteenheid bestaat in het stuk van 3 fr., maar vermenigvuldigd met ö. 253. Verhouding der muntweerde. - De weerde van het gemunt goud is gelijk aan die vall hetzelfde gewicht gemunt zilver (gehalte 0,900) vermenigvuldigd met 13,3; en de weerde van het gemunt zilver (gehalte 0,900) is gelijk aan 40 maal de weerde van hetzelfde gewicht gemunt koper. 1 kg gemunt goud heeft dus dezelfde weerde als 13,3 kg gemunt zilver en als 13,3 X 40 = 610 kg gemunt koper. Deze verhouding van weerden, door de wet vastgesteld, heeft gediend om het gewicht der gouden muntstukken te bepalen. Uit die verhouding vindt men dat 1 kg gemunt koper, 3 fr; 1 kg gemunt zilver 200 frank, en 1 kg gemunt goud 3100 fr. weerd is. 254. - Eenieder in België mag goudstukken of vijffrankstukken doen slaan in de Munt. Daarvoor betaalt hij 1,30 fr. per kg zilveren, en 6,70 fr. per kg gouden munt. De Staat alleen mag zilveren stukken van 0,833 gehalte, en koperen en nickelen stukken doen sl~an. 255. Weerde van het zuiver zilver' of goud. 1° Daar 1 kg gouden geld 3100 fr. weerd is, en men 6,70 fr. aan de Munt moet betalen,zoo is de eigenlijke weerde van 1 kg gemunt goud 3100 - 6,70 = 3093,30 fr.; daar de weerde
van het koper als niets mag gerekend worden, zoo mag men zeggen: en :
0,900 kg. zuiver goud is weerd 3093,30 fr. 1 »» » » 3473 fr.
2° Op dezelfde manier vindt man als weerde van '1 kg. zuiver zilver omtrent 2~0,56 fr.
256. Aanmerking. -
139Alle hoofdeanheden van het metriek
stelsel hangen van den meter af : 1 m. zijde. 10 m. 1 m. rand. de ro', een kubus van de stere, • 1 m. de liter, inhoud roetende 1 dm'. de gram, gewicht van 1 cm' zuiver water. de frank, die zooveel weegt als ;; cm' zniver water.
1° de m', een vierkant van
2° de are, " 3° 40 50 6° 7°
VIJFDE DEEL. HOOFDSTUK I. Ddachtsverheffing.
257. Macht. - Eene macht is het product van gelijke factoren. Eene tweede macht is het product van twee gelijke factoren; eene derde macht is het product van drie gelijke factoren; in het algemeen eene nde macht is het product van n gelijke factoren. De tweede macht heet ook vierkant, en de derde macht kubiek (45). 258. Aanduiding der macht. - De macht van een getal wordt aangeduid door den exponent (45) of graad van de macht: 3
X
3 = 32
;
3
X
3
X
3 = 33
;
3
X
3
X
3
X
3 = 3· .
Om de macht van eene som, van een verschil, van een product, van een quotient aan te duiden, stelt men die uitdrukkingen tusschen haken: (5
+ 2)2;
(5 - 3)3; (2 X 5)';
(52 )3 .
-
'141-
259. Wortel. - Het getal zelf dat als wederkeerende factor eener macht voorkomt, noemt men wortel. De graad der macht is ook de graad van den wortel: zoo is 3 de tweede wortel van 32, de derde wortel van 33, enz. De tweede wortel wordt ook vierkantswortel,. en de derde wortel, kubiekswortel genoemd. 260. Vorming der macht van een enkelvoudig getal. - De machtsverheffing geschiedt door opeenvolgende vermenigvuldig-ingen, want:
32 ~ 3
x
3; 33 = 3
x3x
~;
34 = 3
x 3 x 3 x 3, enz.
Bij het ontwikkelen eener gep:even macht is het niet noodzakelijk het getal achtereenvolgens tot al de lagere machten te verheffen (51, gevolg I).
34
Zoo heeft men b. v. : = 32 X 32 ; 35 = 32 X 32 X 3; 36 = 32 X 32 X 32•
261. Vorming der macht van een product. - Om een product tot eene zekere macht te verheffen, verheft men eiken factor tot die macht (51, gevolg 11).
(2 X 5)3 = 23 X 53; (2
x
5
x
7)3 '= 23 X 53 X 73•
Hieruit volgt dat de tweede macht van een aantal tientallen altijd zuivere honderdtallen oplevert, en de derde macht altijd zuivere duizendtallen. (10
x
a)2 = 100
x
a2 en (10
x
~)3
= 1000 x
a3•
262. Vorming der macht eener som.-Wij bepalen ons hier bij de 2de en 3d• macht van eene som van 2 getallen. a) Het vierkant van eene som van 2 getallen is gelijk aan het vierkant van het eerste getal, plus tweemaal het product van het eerste met het tweede, plus het vierkant van het tweede (56, gevolg).
(a
+ b)2 =
a2 + 2 ab
+b
2•
-142 Hieruit volgt dat het vierkant van eene som bestaande uit tientallenm enkele eenheden uit de volgende drie deelen samengesteld is :. 1 Het vierkant del' tientallen, 20 het dubbel product der tientallen met .de enkele eenheden, 3° het vierkant der enkele eenheden. 0
+
43 2 = (40 + 3)2 = 40 2 + 2 X 40 X 3 32 • De eerste dier termen geeft altijd zuivere honderdtallen; de tweede, zuivere tientallen. b) De derde, macht van a + b is gelijk aan de tweede macht van a + b, vermenigvuldigd met a + b of:
+
(a+ b)3=(a b) (a + b) (a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a+b). Die vermenigvuldiging volgens den gegeven regel (56) bewerken de, verkrijgen wij : (a + b)3 = a3 + 2a2 b + ab 2 + a2 b + 2ab 2 + b3 , Maal' bemerkende dat : 2 a2 b + a2 b = 3 a2 b en ab 2 + 2 ab 2 = 3 ab z, bekomt men: (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3• De derde macht van eene som van twee getallen is dus gelijk aan de derde macht van het eerste getal, plus driemaal het vierkant Van het eerste vermenigvuldigd met het vierkant van het tweede, plus de derde macht van het tweede. Uit de voorgaande eigenschap volgt dat de derde macht van een getal bestaande uit tientallen en enkele eenheden uit vier deelen samengesteld is : 1 De derde macht del' t'Ïentallen, 2° dl'iemaal het product van het vierkant del' tientallen met de enkele eenheden, 3° driemaal het product der tientallen met het vierkant del' enkele eenheden, 4 de derde macht der enkele eenheden: 48 3 =(40+8)3=40 3+3 X 402 X 8+3 X 40 X 82 +83 • Het eerste deel geeft zuivere duizendtallen; het tweede, zuivere honderdtallen; het derde, zuivere tientallen. 0
0
-
143-
263. Vorming der macht eener breuk. - Men verheft een gebroken getal tot eene macht met eIken term tot die macht te verheffen : aa)33 a a a a33
("b)=[;XTXT=V' (b =[;XTXT=V'
Bemerking. - De machten der echte breuken zijn altijd kleiner dau de breuk zelf en hoogere machten zijn altijd kleiner Jan lagere (174).
(-4-3)2
3 en (3)3 < -r 4 < (8)2 -r .
Het tegenstrijdige is waar voor onechte breuken:
(+Y>
+
en ( :
-y > (-}-y.
264.. Stelling I. - Het vi~l'kant van eelle onverkleinbare breuk is.eene onverkleinbm'e breuk.
Zij b. v. de breuk ~, welke onverkleinbaar is, ik zeg dat het vierkant
!:
ook onverkleinbaar zijn zal.
Inderdaad, daar de breuk onverkleinbaar is, heeft zij beide termen onderling ondeelbaar (149). De machtsverheffing brengt in den teller geene andere factoren dan 3, en in den noemer, geene andere dan 4, zoodat de twee termen nog geene andere gemeene factoren zullen hebben dan de eenheid of onderlin~ ondeelbaar zullen zijn. 265. Stèlling Il. - Een geheel getal dat het vierkant niet is van een geheel getal, is ook niet het vierkant van een gebroken getal.
Zij b. v. 5, een geheel getal dat het vierkant niet is van een geheel gelal, ik zeg dat D ook het vierkant niet zijn zal van eene breuk. Veronderstellen wij 5 het vierkant van eene breuk en die breuk, tot haren eenvoudigsten vorm gebracht, : .
-144 Men zou moeten hebben: . a2 5 = b2 ' l\Iaar deze gelijkheid is onmogelijk, daar : onverkleinbaar is en bijgevolg (264) ook
~:.
Nu, eene onverkleinbare
breuk kan aan geen geheel getal gelijk zijn. 266. Stelling IIl. - Opdat een getal een l'ierkant zij van een geheel getal is het noodzakelijk en voldoende dat al de exponenten van zijne ondeelbare factoren door 2 deelbaar zijn. Want veronderstellen wij den wortel van dit vierkant ontbonden in ondeelbare factoren : 1° Het vierkant van den wortel zal geene andere ondeelbare factoren bevatten dan die van den wortel; 2° Al de exponenten van die ondeelbare factoren van den wortel zullen in het vierkant met 2 vermenigvuldigd zijn (51, gevolg 11). Indien men dus, omgekeerd, het vierkant in zijne ondeelbare factoren ontbindt, zullen al die ondeelbare factoren dezelfde zijn als die van den wortel, en de exponenten er van in den wortel zullen gelijk zijn aan de helft der exponenten van het vierkant. 267. Stelling IV. - Opdat eene onverkleinbare breuk het vierkant zij van eene breuk is het noodzakelijk en voldoende dat beide termen vierkanten van geheele getallen zijn.
Want, opdat eene onverkleinbare breuk b. v.
~ het
vierkant zij van eene breuk : ' welke men altijd onverkleinbaar mag veronderstellen, moet men hebben: A a2
B
=
V'
-145 -
: onverkleinbaar zijnde, is :: het ook (264). A •. d Ben ba22 zIJn us
b'd . bare breuken: opdat el eonver kl em
zij gelijkweerdig zijn, moet men hebben (151, gevolg I) : A = a2 en B = b2 • Bemerking. - Men noemt volkomen vierkant het vierkant van een geheel of van een gebroken getal.
268. Overeenkomstige eigenschappen met die door de vier voorgaande stellingen uitgedrukt, bestaan ook voor de derde macht. Wij zullen ze enkel aanhalen, daar zij op dezelfde manier bewezen worden als voor de tweede macht. 10 De derde macht van eene onverkleinbare breuk is eene onverkleinbare breuk. 2° Elk geheel getal dat de derde macht niet is van een
geheel getal, is ook de derde macht niet van een gebroken getal. 3° Opdat een geheel getal de derde macht zij van een. geheel getal, is het noodzakelijk en voldoende dat al de exponenten van zijn ondeelbare factoren door 3 deelbaar zijn. 4° Opdat eene onverkleinbare breuk de derde macht zij van eene breuk, is het noodzakelijk en voldoende dat beide termen derde machten van geheele getallen zijn. 269. Vierkanten en derde machten der 10 eerste getallen. 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Vierkanten 1,4, 9, i6, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Kubieken 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 72~ 1000. Bemerking. - Een vierkant van een getal grooter dan 10 is grooter dan 100, en omgekeerd, een vierkant grooter dan 100 heeft eenen vierkantswortel grooter dan 10. Het kubiek van een getal grooter dan 10 is grooter dan 1000, en omgekeerd, een kubiek grooter dan 1000 heeft eellen kubiekswortel grooter dan 10. 10
-
146-
270. Geheele getallen die zeker geene volkomen vierkanten zijn: 10 Elk even getal dat niet deelbaar is dool' 4. Is een even getal een vierkant, dan meet 2 er in voorkomen met eenen exponent deelbaar door 2, of ten minste met exponent 2 (266). Nu 22 = 4, 24 = 22 X 22, 26 = 22 X 24 enz.
2° Elk getal dat deelbaal' is door een ondeelbaar getal a, en niet deelbaar is door a 2• Dit geval is eene uitbreiding van het voorgaande, en wordt op dezelfde ma nier bewezen. 3° Elk oneven getal dat, verminderd met 1, niet deelbaar dool' 4. Elk oneven getal kan slechts het vierkant zijn van een oneven getal, want een even getal. door zich zelf vrrmenigvuldigd, geeft als product een even getal. Stellen wij den vierkantswortel van dit oneven getal voor door 2n + 1.
word~
Men heeft: (2n
+ 1)2 =
4n2
+ 4n + 1 =
4 (n 2 + n)
+ 1.
40 Elk getal dat uitgaat op één der cijfers 2, 3, 7, 8. Ingezien de samenstelling van het vierkant van een geheel getal bestaande uit tientallen en enkele eenheden, kan het cijfer der enkele eenheden slechts voortkomen uit het vierkant der enkele eenheden (262). Nu geene der machten van de 9 eerste getallen gaat op 2, 3, 7 of 8 uit. 5° Elk getal dat uitgaat op 5, en waarvan het cijfer der tientallen niet 2 is. Het cijfer der enkele eenheden van het vierkant komt voort van het vierkant der enkele eenheden van den wortel. Nu 52 of 25 alleen gaat uit op 5. Het laatste cijfer van den wortel moet dus noodzakelijk 5 zijn, en de wortel kan voorgesteld worden door 10 n + 5, of n tientallen, plus 5 enkele eenheden. Men heeft :
+ 5)2 =
+
100 n2 + 100 n + 25 = 100 (n 2 n) + 25, of het vierkant is gelijk aan een aantal honderdtallen, plus 2 tientallen, plus 5 enkele eenheden. (10 n
-147 -
6° Elk getal uitgaande op een oneven getal nullen. Wanneer het vierkant op nullen uitgaat, moet de wortel
1 Zij een geheel getal a ; het daarop volgende geheel getal is a + 1. 0
(a
+ 1)2 = (a)2
=
a2 a2
+2a+1
aftrekkende ____ (a + 1)2 - (a)2 = a2 + 2 a + 1 - a2 = 2 a + 1. Het verschil tusschen de vierkanten van twee opeenvolgende geheele getallen is gelijk aan tweemaal het kleinste getal, plus de eenheid. 2° Zij wederom a een geheel getal en a + 1 het daaropvolgende geheel getal. (a 1)3 = a3 + 3a2 + 3a + 1 (a)3 = a3 aftrekkende __ (a + 1)3 - (a)3 = a3+ 3a2 + 3a + 1 - a3= 3a2 + 3a + 1. Het verschil tus$chen de derde machten van twee opeenvolgende geheele getallen is gelijk aan driemaal het vierkant van het kleinste getal, plus driemaal het kleinste getal, plus de eenheid.
+
-
148-
HOOFDSTUK 11.
Vierkantsworteltrekking . 272. Bepaling. - Den vierkantswortel uit een getal trekken, is het getal zoeken waarvan het gegeven getal het vierkant is. Om aan te duiden dat de vierkantswortel uit een getal moet getrokken worden, gebruikt men het teeken V , dat wortelteeken heet en gelezen wordt. vierkantswortel uit.
Villfwordt gelezen vierkantswortel uit 25. 273. De vierkantswortel met benadering. - Wij hebben gezien dat niet alle getallen volkomen vierkanten zijn, 't is te zeggen. dat hun vierkantswortel door geen geheel noch gebroken getal kan voorgesteld worden. B. v. V10kan noch in eenheden, noch in gelijke deelen der eenheid voorgesteld worden'(26ö), en is een onmeetbaar getal (3). Wanneer de wortel onmeetbaar is, kan men zich nochtans voorstellen, het aantal eenheden of tienden of honderdsten of acntsten, enz. te zoeken, dat in dien wortel begrepen is. Dat heet men den wortel zoeken op één na, op één tiende na, op één achtste na, enz. Zelfs indien het getal een volkomen vierkant is, zal men zich hetzelfde kunnen voorst@lIen bij het bepalen van den vierkantswortel. Wij hebben dus het volgende vraagstuk ·op te lossen : Den juisten vierkantswortel bepalen, o{ dien vierkantswortel bepalen met eene gegeven benadering. § I. -
VIERKANTSWORTEL OP ÉÉN NA.
274. Uit een geheel getal. - Den vierkantswortel uit een geheel getal tl'ekken op één na, is den vierkantswortel trekken uit het grootste geheel vierkant dat in het voorgestelde getal begrepen is.
-149 -
Het getal is klein et· dan 100. Al de vierkantswortels van geheele getallen kleinel' dan 100 moeten uit het hoofd kunnen berekend worden, door de kennis der vierkanten vlln de 9 eerste getallen (269). 275. Eerste geval. -
of:
V46= 6 op 1 na 6 < V46 < 7. 276. Tweede geval. -
Het getal is gt'ooter dan 100
en kleiner dan 10000. Zij: V 4329 te bepalen op 1 na. Het voorgestelde getal ligt tusschen 100 en 10000; zijn wortel ligt tusschen 10 en 100 of bestaat uit tientallen en enkele eenheden. Het getal 4329, of, zoo het geen volkomen vierkant is, het grootste vierkant daarin begrepen, bevat (262) : 1° het vierkant del' tientallen van den wortel, 2° het dubbel product der tientallen met de eenheden, en 3° het vierkant der eenheden van den wortel. Maar het vierkant der tientallen bestaat uit zuivere honderdtallen, en ligt in de 43 honderdtallen van 4329, welke men met een punt afscheidt. De wortel uit 43 of 6 is het cijfer der tientallen van den gevraagden wortel; want 4329 ligt tusschen 3600 en 4900, en de wortel tusschen 60 en 70. Om het cijfer del' eenheden te bepalen, trekt men eerst van 4329 het eerste deel af, namelijk, het vierkant van 6 tientallen of 3600; de rest 729' bevat nu nog de twee overige deelen. Maar het dubbel product del' tientallen met de eenheden geeft zuivere tientallen (262) en ligt in de 72 tientallen der rest, welke men met een punt afscheidt. Indien men nu de 6 tientallen van den wortel verdubbelt en de 72 tientallen der rest door de 1~ tientallen deelt, dan is het quotient 6 het cijfer der eenheden van den wortel, of grooter dan dil cijfer: men moet dus beproeven of 6 niet te groot is.
-
HiO-
Is 6 het cijfer der eenheden, dan beval 729 het dubbel product van 6 tientallen door 6, plus het vierkant van 6. Die som 756 is grooter dan de rest, en bijgevolg is 6 grooter dan het cijfer der eenheden. Men beproeft achtervolgens met de getallen kleine!' dan 6, te beginnen met 6 - 1. Men vindt dat 5 het juist cijfer der eenheden is, want het dubbel product van 6 tientallen met 5, plus het vierkant van 5, geeft 625, getal dat van 729 kan afgetrokken worden. 65 is dus de wortel uit 3600 625 = 4225, en de wortel uit 4329 op één na.
+
Bemerking. - Om het proeftal te vormen, schrijft men achter het dubbel aantal der tientallen (hier 12) het vermoedelijk cijfer der eenheden (hier 6), en men vermenigvuldigt 126 door 6. Dit product is de som der twee laatste deelen, 2 a b b! = (2 a b) b.
+
277. Derde geval. -
+
Het getal is gl'ootCl' dan 10000.
Zij : V 432964. Het getal 432964 is grooter dan 100; zijn wortel, grooterdan 10 : het getal kan dus beschouwd worden als de som zijner tientallen en enkele eenheden. 432964, of het grootste vierkant er in begrepen, bevat 3 deelen, in de beredeneering van hel tweede geval genoemd. Het eerste deel, te weten, het vierkant der tientallen bestaat uit zuivere honderdtallen en ligt in de: 4329 honderdtallen van het voorgestelde getal, welke men met een punt afscheidt. De wortel uit 4329 is het aantal der tientallen van den gevraagden wortel. Inderdaad, zij a2 het grootste vierkant in 4329; dan ligt 4329 tusschen a2 en (a + 1)2; het voorgestelde getal, tusschen a2 X 100 en (a 1)2 X 100, en de gevraagde wortel, tusschen a X 10 en (a 1) X 10; deze bevat dus a tientallen. Door toepassing van het tweede geval vindt men dat 65 de wortel is uit 4329; de gevraagde wortel heeft dus 65 tientallen.
+
+
-
151 -
Het bepalen van het cijfer der eenheden geschiedt zooals in het tweede geval. 43.29.6416Ö8
~
72.9 62 iJ 10.46.4 10464 0
125 ti
1308 8
34.ö7 .89. 78.23 2ö 9ö.7 864 93.89 9344 '457.82.3 352809 - ----'105014
ö8803 '101:\
8 11688 117603 3
Zij een willekeurig getal verdeeld in vakken van twee cijfers van de rechter- naar de linkerhand,b. v. 34.57.89.78.23.
V
34 geeft het aantal tientallen vanV3457 V3"457» » » V 345789 V 345789 D • » V 34578978 V 34ti78978» » :. V 34ö7897823.
Uit de bovenstaande beredeeneringen trekt men: Regel. - Om den vierkantswortel uit een geheel getal te trekken, verdeelt men dit in vakken van twee cijfers van de rechter- naar de linkerhand : het eet·ste vak links kan min dan twee cijfers hebben; het aantal vakken is gelijk aan het aantal cijfers van den vierkantswortel. Men zoekt uit het hoofd den wortel van het grootste vierkant begrepen in het getal voorgestdd, door het eerste vak links, en zoo bekomt men het eerste cijfer van het quotient. Men l1;ekt het vierkant van dit cijfer af van het eerste vak, en nevens de rest schrijft men het volgende vak; in het zoo bekomen getal scheidt men de tientallen door een punt af. Dit aantal tientallen deelt men door hel dubbel van het reeds gevonden cijfer van den wortd: het geheel gedeelte van het quotient is het tweede cijfer van den wortel of een te groot cijfer.
-
152-
Om dit tweede cijfer t~ beproeven, schrijft men het nevens het dubbel van het eerste cijfer van den wortel, en vermenigvuldigt het zoo gevormde getal met hel voorwaardelijk cijfer~ Kan het product afgetrokken worden van het getal na afhaling van het tweede vak bekomen, dan is het cijfer juist; ;00 niet, dan beproeft men op dezelfde manier de cijfers die er afdalelld op volgen, totdat men het juist cijfer vinde. Wanneer het tweede cijfer bepaald is en het proeftal is afgetrokken, schrijft men ne/Jens de nieuwe rest het derde vak; van het zoo bekomen getal scheidt men wederom de tientallen door een punt af, en dedt dit aantal tientallen door het dubbel van het getal uitgedrukt doOf' de twee eerste cijfers van den wOt'tel: het geheel gedeelte van het bekomen quotient is het derde cijfer van den wortel of een te groot cijfer; men beproeft het op dezelfde manier als het tweede cijfer, Men gaat zoo voort tot al de vakken zijn afgehaald en al de cijfers van den wortel bepaald zijn. 278. Bemerkingen. - 10 Het kan gebeuren dat het geheel gedeelte van het quotient van eene der deelingen van den voorgaanden regel grooter zij dan 10: in dat geval begint men de beproevingen met het cijfer 9. 2° Het kan ook gebeuren dat het geheel gedeelte van het quotient ozij : alsdan schrijft lIIen 0 bij den wortel, en haalt aanstonds het volgende vaka!". 3 0 Om het gevonden deel van den wortel 'te verdubbelen, b. v, 65 in het eerste gegeven voorbeeld, kan men de twee factoren van het proeftal 125 X 5 samentellen, hetgeen gemakkelijk is, daar zij onder elkander geschreven staan. Zoo bekomt men 130 als nieuwen deeler. 4° Is de laatste rest 0, dan drukt het gevonden getal nauwkeurig den wortel nit; is de laatste rest grooter dan 0, dan duidt die laatste rest aan, hoeveel het vierkant van het gevonden getal kleiner is dan het getal waaruit de vierkantswortel gevraagd wordt: B. v.
3457897823 = 58803'
+ 105014.
5° Als men in de worteltrekking, om ieder cijter van den wortel te bepalen, den gegeven regel volgt, zal men nooit een te klein cijfer aan den wortel schrijven. Maar, om herhaalde beproevingen te vermijden, vermindert men dikwijls opzettelijk het voorwaardelijk cijfer in eens met eenige eenheden. Het kan dan gebeuren dat het beproefde cijfer te klein zij, Men zal zulks op de volgende manier erkennen. Wij hebben gezien (271) dat, indien men bij het vierkant van een geheel getal, tweemaal dit getal plus de eenheid voegt, men het vierkant Iran het volgende geheel getal bekomt.
-153 Zij DU G eeD geheel getal, a het voorwaardelijk geheel gedeelte vaD :zijDeD wortel, eD r de rest der bewerking. Is r grooter dan 2a, dan is het ten minste gelijk aan 2a 1. Maar dan bevat G, buiten het vierkant a 2 , ,DOg 2a 1, dat iD r besloten is. Dus bevat G het vierkaDt van a 1, en bijgevolg is het geheel .gedeelte van den wortel uit G grooter dan a. Indien wij dip beredeneering toepassen niet alleen aan de laatste rest, maar ook aan elkeen der opvolgende resten, die alle resten zijn van gedeeltelijke worteltrekkingen, zoo zullen wij er deD volgenden regel van afleidtm. Een beproefd cijfer is te klein, iedermaal dat de overeenkomstige rest grooter is dan het dubbel van het getal uitgedrukt door de reeds gevonden cijfers van den wortel.
+
+
+
6 0 Men kan. zooals bij de deeling, terzelfder tijd het proeftal vormen en aftrekken.
279. Proef der vierkantsworteltrekking. - De vierde bemerking van het voorgaande nummer geeft ons den middel om die proef door eene vermenigvuldiging, of door ~ene vermenigvuldiging en eene samentelling te bewerken. Men kan ook de negen- of elfproef maken. Voorbeeld: 3457897823 = v. 9 2= v. 9 2= v. 9 2 =
+ + +
+ + + + + + + +
588032 105014. (v. 9 6) (v. 9 6) v. 9 v. 9 36 v. 9 2 v. 9 2.
+2
280. Vierkantsworteltrekking uit een gebroken .getal op 1 na. - Men verstaat daardoor den vierkantswortel
uit het grootste geheel vierkant dat in het gebroken getal be/;!'repen is. Daar het grootste geheel vierkant altijd noodzakelijk een geheel gelal is, mag men, na de breuk tot een gemengd getal herleid te hebben, het gebroken deel verwaarloozen. Regel. - Om, op 1 na, den vierkantswortel uit een gebroken getal te trekken, trekt men op 1 na den vierkantswortel uit het geheel gedeelte. Diezelfde regel geldt klaarblij kend ook, oor de gemengde getallen.
-154 § II. -
1 n
VIERKANTSWORTEL TREKKING OP -
NA.
281. Evenals wij in de yierkantsworteltrekking op 1 na het grootste aantal eenheden zoeken, waarvan h('t vierkant in een getal begrepen is, zoo kan men· ook het grootste aantal sten , enz. zoeken, waarvan het vierkant 1OOsten, 8sten , 10d,n, 20,len, 100 in een getal begrepen is. :Men heet dat den vierkantswortel 111 1 zoeken op 8 ' op 10 ' op "2ö ' op 100 na.
282. Vraagstuk. -
De vierkantswortel uit A bepalen
1 op - na. n
Zij A een willekeurig geheel of gebroken getal. Men heeft klaarblijkend: A n't A A == -A- -x; :n't -n2
-_JAxn2 V
VA=Ax~ VA- / n2
waaruit
n2
:Maar, daar de noemer n2 een volkomen vierkant is, kan men er den vierkantswortel uit trekken en :
VA=VA x n
2
n
Het is nu klaarblijkend· dat, wanneer men den vierkantswortel uit A X n2 trekt op 1 na, men het grootste getal nde deelen zal hebb~n, waarvan het rierkant in A begrepen is~ en zij A X n2 == w op '1 na.
V
w V-A <w+1 -< -n n Regel. -
Om den vierkantswortel uit een getal A te
trekken op ~ na, moet men 1 A vermenigvuldigen met het 0
ft
-
1551öö-
vief'kant van den noemer noemel' der benaderingsbreuk, benadel'ingsbreuk, 2° den vierkantswortel u1t dit dil product trekken op 1 na, 3° dien vierkalltswortel door dool' den noemer der benaderingsbreuk deelen. Voorbeelden:
i. =V V ö9Ö~Ö2 =V~=V~= 3: ! /~ V !~ ~ V i~V V V =~op V
V
V 1ill 59=-
_ /
j 59~~52
=V59X25=V 1475 = 38 op op 5
ij
0-9 X7'
=
t>
5
5
na, na,
j-
-
473 14;1 _= - / 473 77 77
-
72
11 -7 na. = -741 op -7 na . 7
Bemerking. - Indien de noemer der benaderingsbreuk dezelfde brenk waaruit de wortel met die benadering gevraagd is als die van de breuk vereenvoudiging, wordt, dan beetaat bentaat er vereenvoudiging.
V26 """5
Voorbeeld: __ /j V V
-
26 = 5
5
I
bel'ekenen berekenen op -""""5 na, na.
5
V26 5'X 5 = V13~ = = ~ op _1 na. 5 5 5
283. Vierkantsworteltrekking met tiendeelige benadering. benadering, - Die worteltrekking is een bijzollder geval van den algemeenen regel (282).
Voorbeeldeu VoorbeeldelI ': ./_ V45 V 4ö =
__
-
// 4R ~X
V
1002 = = 10022
ti 450000 4öOOOO = =
6,70 op 0,01 na.
100
/ 3,578 3,ö78 X 10002 == ~ 3578000 3ö78000 ==1,891 1,891 op opO,001 0,001 na. 10002 1000
V3,ö78=V V3,578=V
v~ XX 1000 /666666 ~ V~= 2 =v! 1000 -= ~666666! V 3 10002 =- V- 1000 3 22
A l\1l1\.,)
-
A I\l\l\
= 0,816 0,816 op op 0,001 0,001 na. na.
-
156-
Regel. - Men herleidt het gegeven getal tot eene decimale breuk die tweemaal zooveel decimale cijfers heeft als men er aan den wortel wil hebben; men laat vervolgens het decimaal punt weg, trekt den vierkantswortel op 1 na uit het zoo bekomen getal, en snijdt van dien wortel zooveel decimale cijfers af, als men el' in den wortel moest hebben. 284. Bemerking I. - De voorgaande regel wordt practisch vereen voudigd : 10 Wanneer het getal waaruit men den vierkantswortel met eene decimale benadering moet trekken, een geheel getal is, zoekt men eerst den vierkantswortel op 1 na, en men schrijft een vak van twee cijfers achter elke rest, voor elk tiendeelig cijfer dat men wil bepalen. Voorbeelden:
Vf op 0,001 na, en V723 op 0,01 na.
7 30.0 276 - 240.0 2096 30400 26425 3975
2,645 46 6 524 4 5285 5
7,23 4 -32.3 276
26,88 ~
4W.O
4224 ~60.0 42944
6 528 8 5368 8
4656 20 Wanneer het getal waaruit men den vierkantswortel met eene decimale benadering moet trekken, geen geheel getal is, herleidt men het tot eene decimale breuk van tweemaal zooveel decimale cijfers als er in den wortel moeten zijn, en trekt dan eerst den vierkantswortel uit het geheel gedeelte. Om de decimale cijfers van den wortel te bepalen, schrijft men nevens elke rest de twee volgende cij.fers van het getal. Voorbeelden:
V3,578 en V0,66 .... op 0,001 na.
3,57.80.00 1 25.7 224 338.0 3 32 1
-rro.O
1,891
2s8 369 9 3781 1
0,66.66.66 64 26.6 16 1 10 1'6.6 9 75 6
0,816 1611 1626 6
SlO
3 78 1 2 11 9
Het is gemakkelijk om zien hoe die manier van werken met den regel overeenkomt.
-157 285. Bemerking 11. - Zoo men zich voorstelt onbepaaldelijk d. opvolgende decimalen van den wortel uit eene breuk te bepalen, kunnen er 3 gevallen voorkomen: men komt ofwel op eene eindigende tiendeelige breuk, ofwel op een" repeteerende tiendeelige breuk, ofwel op eene oneindig voortloopende, alhoewel niet repeteerende, tiendeelige breuk. 10 Men komt op eene eindigende tiendeelige breuk, als de gegeven breuk een volkomen vierkant is en daarbij herleidbaar tot eene eindigende tiendeelige breuk. Het is klaarblijkend dat in zulk geval het aantal decimale cijfers van de breuk, na die herleiding, even is. 20 Men komt op eene repeteerende tiendeelige breuk, als de breuk een volkomen vierkant is, doch niet herleidbaar tot eene eindigende tiendeelige breuk, b. v.
V~
0.6666 ....
30 Men komt op eeue oneindig voortloopeude tiendeelige breuk. alhoewel niet repeteereud, als de bl'oluk geen volkomen vierkant is.
-
158-
HOOFDSTUK lIl.
Kubieksworteltrekking . 286. Bepaling. - Den kubiekswortel uit een getal trekken, is een getal zoeken waarvan het gegeven getal de del'de macht is. Om aan te duiden dat de kubiekswortel uit een getal moet getrokken worden, gebruikt men ook het wortelteeken, maar met den wijzer 3 bovenaan (tY) : het wordt gelezen kubiekswortel uit.
t7 27 beteèkent kubiekswol'tel uit 27. Bemerking. - In het algemeen, om aan te duiden dat een wortel uit een getal moet getrokken worden, gebruikt men hetzelfde wortelteeken, maar de wijzer duidt aan welken wortel men uit het getal moet trekken.
287. Kubieksworteltrekking met benadering. -
In de kubieksworteltrekking komt dezelfde moeilijkheid voor als in de vierkantsworteltrekking (273) : de kubiekswortel kan onmeetbaar zijn.
De vraag dus die wij ons voorstellen, is de volgende: den juisten kubiekswol'tel bepalen, of dien kubiekswortel bepalen met eene yegeven benadering. . § I. -
KUBIEKSWORTELTREKKIl'iG OP ÉÉN NA.
288. Uit een geheel getal. - Den kubiekswortel trekken uil een geheel getal op één na, is den kubiekswortel zoeken van het grootste kUbiek dat in het getal begrepen is. 289. Eerste geval. - Het getal is kleiner dan 1000. Al de kubiekswortels van getallen kleiner dan 1000 moeten uiL het hoofd kunnen berekend worden, door de kennis der kubieken van de 9 eerste getallen (269).
of :
tY 132 Ö op 1 na ö < t7 132 < 6.
-
159-
290. Tweede geval. - Het getal is g1'ootel' dan 1000 en kleiner dan 1000000.
Zij den wortel uit 13797 te bepalen. Het voorgestelde getal ligt tusschen 1000 en 1000000, zijn wortel ligt tusschen 10 en 100, of bestaat uit tientallen en enkele eenheden. Het getal 13797, of het grootste kubiek daarin begrepp.n bevat (262) : 1° het kubiek der tientallen van den wortel, 2° driemaal het product van het vierkant der tientallen met de enkele eenheden, 3° driemaal het product der tientallen met het vierkant der enkele eenheden, 4° het kubiek der enkele eenheden. Maar het kubiek der tientallen bestaat uit zuivere duizendtallen en ligt in de 13 duizendtallen van 13797, welke men met een punt afscheidt. De wortel uit 13 of 2 is het cijfer der tientallen van den gevraagden wortel, want 13797 ligt tusschen 8000 en 27000; en de wortel, tu:sschen 20 en 30. Om het cijfer der eenheden te bepalen, trekt men eerst van 13997 het eerste deel af, namelijk, het kubiek van 2 tientallen of 8000 : de rest 5997 bevat nu nog de drie overige deelen. Maar het driedubbel product van het vierkant der tientallen met de enkele eenheden geeft zuivere honderdtallen (262), en ligt in de D9 honderdtallen der rest, welke men met een punt afscheidt. Indien men nu de twee tientallen van den wortel in het vierkant brengt, dit vierkant 3 maal neemt en de D9 honderdtallen van de rest door de bekomen 12 honderdtallen deelt, dan is het quotient 4 het cijfer der eenheden van den wortel, of grooter dan dit cijfer : men moet dus beproeven of 4 niet te groot is. Is 4 het cijfer der eenheden, dan bevat 5797 het product van het vierkant der tientallen met de enkele eenheden, plus driemaal het product der tientallen met het vierkant der enkele eenheden, plus het kubiek der enkele eenheden of 3 x 20 2 X 4 3 X 20 X 42 43 • Die som, tl824, is STooter dan de rest, en bijgevolg is 4 grooter dan het cijfer der eenheden.
+
+
-160 -
Men beproeft achtervolgens met de getallen kleiner dan 4, te beginnen met 4 -1. Men vindt dat 3 het juist cijfer der eenheden is, want 3 x 202 X 3 + 3 x 20 X 32 + 33 = 4167, getal dat van ö797 kan afgetrokken worden. 23 is dus de wortel uit 8000 + 4167 = 12167 en de wortel uit 13797 op 1 na. Bemerking. - Om op eena gemakkelijkere wijze het proeftal tevormen, schrijft men onder elkaar: 10 driemaal het vierkant der tientallen, 20 driemaal het product der tientallen met de enkele eenheden, 30 het vierkant der enkele eenhedeu; maakt vervolgens de som vau die drie termen, en vermenigvuldigt ze met de enkele eenheden. Inderdaad: 3a' b
+ 3ab' + b' = b (3a' + 3ab + b' ).
Om in het voorgaande voorbeeld 4 en 3 te beproeven, heeft men: Beproe\ell van 3a' = 3ab = b' = 3ab b') =
+ +
~--~~~~
b (3a'
4. 1200 240 16 1456 X 4
b (3a'
Beproeven van 3. 3a' = 1200 3ab = 180 b' = 9 3ab b') = 1389 X 3.
+
+
~~~
291. Derde geval. - Het gdal is grooter dan 1000000.
Zij : V13797889. Het getal is grooter dan 1000; zijn wortel, grooter dan 10, en kan beschouwd worden als de som zijner tientallen en enkele eenheden. Het getal 13797889 of het grootste kubiek erin begrepen, bevat 4 deel en in de beredeneering van het tweede geval genoemd. Het eerste deel of het kubiek der tientallen bestaat uit zuivere duizendtallen, en ligt in 13797 duizendtallen van het voorgestelde getal, welke men met een punt afscheidt. De wortel uit 13797 is het aantal der tientallen van den gevraagden wortel. Inderdaad, zij a3 het grootste kubiek in 13797 ; dan ligt 13737 tusschen a3 en (a X 1)3;. het voor~estelde getal, tussehen a3 X 1000 en (a X 1)3 X 1000, en de gevraagde worlel, tussehen a X 10 en (a X 1) X 10 : deze bevat dus a tientallen.
-
161-
Door toepassing van het tweede geval vindt men dat 23 de wortel is uit 13797 : de gevraagde wortel heeft dus 23 tientallen. Het bepalen van het cijfer der eenhedl'n geschiedt zooals in het tweede geval. Korter. '13.797.889\239 ~ ---::1=2--:-(e-er-st-e"7deeler) 57.97 1200 ~1 67 (18~ 16308.89 , 14 849 19 ) 1389 x 3 (eerste proeftal) 145970 I 9 1587 (tweede deeler) 158700 62'10 81 164991 x 9 (tweede proeftal)
13.79'7.889\ 239 8, -;1:-:::2-::-00=---57.97 180 4167 9 16 308.89 1389 x 3 14 849 19 9 . 1 459 70 158700 6210 ·81 164991 x 9
Om in de bovenstaande bewerking, den tweeden deeler te bekomen, wezende het driedubbel vierkant van het aantal tientallen of van 23, maakt men gebruik van de reeds gevormde getallen 189, 9, 1389. Zoo men bij die getallen het vierkant van het laatste cijfer 3 voegt, bekomt men het driedubbel vierkant van 23. Inderdaad, zoo wij 20 door a, en 3 door b voorstellen, heeft men: 180 = 3ab 9 = b2 '1389 = 3a2 9
=
+ 3ab + b
2
b2
1587 = 3=-a--:-b-+---:-b72-+---::-3a-;;2:-+--:--;3:::--a7b-+--:-7b2=--+----;-;b2:---;3:::--a-:;;-2-:-+ 6ab + 3b 2 -= 3 (a2 2ab + b2 ) = 3 (a b)2 = 3 (20 + 3)2 = 3 X 232 • Zij nu een willekeurig getal verdeeld in vakken van drie cijfers van de rechter- naar de linkerhand. B. Y. 91.632.508.641.
+
+
11
\791
162-
geeft lid aantal tientallen van
tY9163f
J)
»
»
»
»
1791632;>08
l>
»»
»
»
tY9t632 tY 91632;>08 tY 91632;>1)864'1
zoodat de gang gevolgd voor 13797889, ook aan elk ander getal kan toegepast worden. Geven wij nog twee voorbeelden van bewerking: 9'1. 782.698. 720.0001 4;>108 91.632.508.641 I 4508 64 4800 64 4800 277 .82 ( 600 276.32 ( 600 271 2;> , 25 27'l 2;> l 2ö ti 576.98 )M25 x ;> 5 07;>.086.41 ) ;>42;> x ;> 608851 (2ö 4 868 64;> 12 ~ 2;> 206-44f29- 60750000 488477.200.00 607500 108000 488 248 997 12113;>0 64 28820288 1 608;>8064 x 8 6088;>1 x 1 1 6102030000 1082400 64 6103112464 Regel. - Om dw kub-iekswortel uit een geheel getal te trekken, verdeelt men dit getal in vakken van 3 cijfers, te beginnen van de rechter hand : het eerste vak links kan dan min dan 3 cijfers hebben; het aantal vakken is gelijk aan het aantal cijfers van den wortel. Men bepaalt uit het hoofd den kubiekswortel op 1 na van het getal voorgesteld door het eerste vak links, en men bekomt zoo het eerste cijfer van den wortel. Men trekt het kubiek van dit cijfer at van het eerste vak, en men schrijft nevens de rest het volgende vak; in het zoo bekomen getal scheidt men de honderdtallen door een punt af; dit aantal honderdtallen deelt men door het drievoudig vierkant van het reeds gevonden cijfer van den wortel: het geheel
x
8.
-
163-
'gedeelte van het quotient is het tweede cijfer van den wortel, of een te groot cijfer. Om dit tweede cijfer te beproeven, maakt men de som det' drie laatste deelen (3a 2b + 3ab2 + b2) van het kubiek des fletals uitgedrukt door de twee eerste cijfers 1'an den wortel. Zoo die som kan afgetrokken worden van het getallla afhaling van het tweede vak bekomen, dan is het voorwaardelijk cijfer juist; zoo niet, dan beproeft men op dezelfde manier de cijfers die el' afdalend op volgen, totdat men het juiste cijfer vinde. Wanneer het tweede cijfer bepaald is en het proeftal is afgetrokken, schrijft men nevens de nieuwe rest het derde vak, van het zoo bekomen getal scheidt men wederom de honderdtallen door een punt af, en deelt dit aantal honde/'dtallen door het drievoudig vierkant van het getal uitged/'ukt door de twee ee/'ste cijfe/'s van den wortel: het geheel gedeelte van het Jlekomen quotient is het de/'de cijfer van den wortel, of een te groot cijfer, en men beproeft het op dezelfde mal/iet· als het tweede cijfe/'. Men gaat zoo voort tot al de vakken afgehaald en al de cijfers van den wortel bepaald zijn. 292. Bemerkingen. - 1° Het kan gebeuren dat het geheel gedeelte van het quotient van eene der deelingen van voorgaanden regel grooter is dan 10 : in dat geval begint men de beproevingen met het cijfer 9. 2" Het kan gebeuren dat het geheel gedeelte van het quotient 0 is : alsdan schrijft men 0 bij den wortel en haalt aanstonds het volgende vak af; om den volgenden deeler te vormen, voegt men twee nullen bij den voorgaanden. 30 Is de laatste rest 0, dan drukt het gevonden getal nauwkeurig dtln wortel uit; is de laatste rest grooter dan 0, dan duidt die laatste rest aan, hoeveel het kubiek van het gevonden getal kleiner is dan het getal waaruit de kubiekswortel gevraagd wordt. B. v.
13747889 = 239'
+ 145970.
4° Als men, in de worteltrekking, om ieder cijfer van den wortel te bepalen, den gegeven regel volgt, zal men nooit een te klein cijfer aan den wortel schrijven. Indien men, om herhaalde beproevingeu te vermijden, het voorwaarselijk cijfer in eens met eenige eenheden vermindert, zal men, gelijk in de vierkantsworteltrekking, steunende op de eigenschap van nummer 271, kunnen erkennen of dit cijfer niet te klein is j
-164 Een beproefd cijfer is te klein, iedermaal dat de over>eenkomstige' ovel'eellkomstige' rest grooter is dan driemaal het viel'kant viel"kant van het getal uitgedrukt door wortel, plus drimnaal de reeds verkregene cijfers van den wortet, driemaal dit getal. 5 woals bij de deeling, terzelfder tijd bet ploeftal 5°0 Men kan, zooals proeftal vormen. en aftrekken.
293. Andere manier van va.n kubieksworteltrekking. kubieksworteItrekking. - Zij, verscbilt verschilt hierin met de voorgaande, dat men, wanneer de tientallen van eenen wortel gekend zijn. om het bet vermoedelijk cijfer der eenheden, eenbeden. proeftal neemt de derde macht van den vermoedelijken te beproeven, als proeftal wortel zelf (tientallen en eenheden). Die derde macht moet dan kunnen. zelf waaruit men den wortel zoekt. zoekt . afgetrokken worden van het getal zeil Zij
•
V v' -=-137: 13797889: 7:-:9=7:::-88::-:9,..-.. Zoeken
•
wij eerst
•
V v' "13797. -Ï3797.
Het cijfer der tien-
tallen is V v' 130p l30p 1 na of 2. Gelijk bierboven hierboven 57: 2 geeft bet vermoede-· vermoede-lijk cijfer der eenheden of 4. Zoeken wU wij 24' 24 3 = 13824. Daar 13824 niet kan afgetrokken worden van 13797, is 4 te groot. Zoeken wij 23' == 12167. Daar 12167 kan afgetrokken worden, is 3 het juist cijfer. De rest bepaald zijnde (hier 1630), schrijven wij er het volgende vak vak: nevens, en bekomen 16308.89, waarin men de honderdtallen afscheidt. De nieuwe deeler of 3 X 23' 23" wordt gezocht, en hierin heeft beeft men dit gemak dat 23' 23" reeds gevonden is in de bewerkingen om 23' tete· zoeken, 3 X 23' = 3 X 529 = 1587. De deeling van 16308 door 1587 geeft het bet voorwaardelijk cijfer der eenheden van den wortel uit 13797889. Om dit cijfer 9 te heproeven, beproeven, zoeken wij 239' ,,en en zien of het van 13797889< kan afgetrokken worden. Bewerkiug. 13.790.889 13.79ti.889 /239 8 239(eerste deeler) 3 X 529 = 1587 (2 de deeler) 12 57 (eerste deeltal) 1 23 239 23 239 12167 26 2151 1 630 8 (2de deeltal) 46 717 13651919 529 478 529 145 970 (rest) 23 57121 239 1587 514089 1058 12167 (eerste proeftal) 171363 114242 13651919 (2de proeftal). Deze methode, metbode, gelijk men ziet, leidt tot aanzienlijke vermenigvuldi. gingen, bijzonderlijk als er veel vakken zijn.
-
16;> -
294. Proef der kubieksworteltrekking. - In nummer 292, 3de bemerking, vinden wij eenen middel om ·die proef door vermenigvuldigingen en samentelling te .bewerken. Men kan ook de negen- of elfproef maken:
+
+ + v. 9 + 8 =
13797889 = 2393 14;>970 = (v. 9 ;»3 v. 9 125 v. 9 + 8 = v. 9
+
+
+ 7.
295. Kubiekswortel, op 1 na, uit een gebroken getal. Men verstaat daardoor den kubiekswortel uit het grootste geheel kuhiek dat in het gebroken getal begrepen is. Daar dit grootste kubiek altijd een geheel getal is, mag .men, na de breuk tot een gemengd getal herleid te hebben. het gebroken deel verwaarloozen. Regel. - Om, op 1 na, den kubiekswortel uit eell gebroken getal te trekken, t"ekt men, op 1 na, den kubiekswortel uit
. hel geheel gedeelte. § 11.
1 n
KUBIEKSWORTEL OP -
NA.
296. Men slelt zich dikwijls voor den kubiekswortel te zoeken op een evenmatig deel van de eenheid na, b. v. het .aantal 7dcn , 11 den, 1Oden, 1000sten te bepalen waarvan het kubiek in het getal begrepen is. 297. Algemeen vraagstuk. -
Den kubiekswortel
uit A bepalen op _1_ na. n Zij A een willekeurig geheel of gebroken getal.
A =A x n3 n3
waaruit:
3 -
.3/1j3Ax n
t/'A=v
3
- 166-
Maar, daar n3 een volkomen kuhiek is : 3 \7A x n 3. V'A= n
Het is nu klaarblijkend dat, indien men den kubieksworte~ uit A x n3 trekt op 1 na, men het aantal malen zal hebben dat _1_ in \7Abegrepen is. n Men ziet dus dal al de regels, gegeven voor het zoeken, van
d~n vierkantswortel
met de benadering _1_, ook toepasn selijk zijn aan de kubieksworteltrekking, met de enkele voorbehouding dat men vermenigvuldigt met n3 iJl plaats. van n2 •
ZESDE DEEL. Verhoudingen en evenredigheden. § I. -
VERHOUDINGEN.
298. Verhouding van twee grootheden. - ~Ien noemt verhouding of "eden van twee ~elijksoortige grootheden het getal dat de eerste meet, wanneer men de tweede als eenhrid neemt. B. V., de verhouding der hectare tot de are is 100. 299. Verhouding van twee getallen. - Heeft men twee grootheden, beide met eene zelfde eenheid vergeleken, of door gelijknamige getallen uitgedrukt, dan is hunne verhouding of reden het quotient van het eerste getal dool' het
tweede. Deze bepaling der verhouding komt overeen met die van de breuk in uitgebreide beteekenis genomen (216). Daarom schrijft men de verhouding ofwel bij middel van het teeken der deeling (:), ofwel onder den v{)rm eener breuk. Voorbeelden:
4: 3 7 2
of
4 3
of
1/3 2/5.
300. Eene verhouding bestaat uit twee termen : de eerste term, ook genoemd voorgaande term, deeltal, of teller, en de tweelte term, ook genoemd volgende term, deeler of noemer.
-
t68-
301. Eigenschap. - Eene verhouding verandert niet van weerde, als men beide termen door eelt zelfde getal vermenigvuldigt of deelt.
Overigens zijn al de eigenschappen bewezen voor de breuken, ook toepasselijk aan de verhoudingen. § 11. -
EVENREDIGHEDEN.
302. Men zegt dat vier getallen in evenredigheid zijn, als de verhouding van het eerste tot het tweede gelijk is aan de verhouding van het derde tot het vierde.
De el1enredigheid is dus de uitgedrukte gelijkheid van twee verhoudingen (evene redens). De verhouding van 12 tot 4 dezelfde zijnde als die van 24 tot 8, vormen de 4 getallen 12, 4, 24 en 8 eene evenredigheid. Die evenredigheid wordt op 2 manieren geschreven: 12 24 12 : 4 = 24: 8 of 4" = 8; en
gelezen: 12 staat tot 4 gelijk 24 staat tot 8; of 12 gedeeld dool' 4, is gelijk aan 24 gedeeld door 8.
~vordt
303. De vier termen eener evemedigheid worden, volgens de orde waarin zij voorkomen, eerst~, tweede, derde en vierde term genoemd. De eerste en vierde term heetell uiterste termen, of uitersten; de tweede en derde term, middel.~te termen of middelsten. In elke vel'houding is er één voorgaande en één volgende term: in de evenredigheid zijn er dus twee voorgaande en twee volgende termen. 304, Gedurige evenredigheid. - Eene evenredigheid is gedurig, wanneer de twee middelsten gelijk zijn.
Voorbeeld: 12 : 6 = 6 : 3.
-
169-
305. Vierde evenredige. - Men noemt vierde evenredige tO! 3 getallen, de vierde term eener evenredigheid waarvan de 3 gegeven getallen de 3 eerste termen uitmaken. Zoo, in de evenredigheid 12 : 4 = 24 : 8, is 8 ,'ierde ,evenredige tot de getalleri 12, 4, 24. 306. Derde evenredige. - Men noemt derde evenredige tot 2 getallen, de vierde term eener gedurige evenredigheid waarvan de eerste tel'm het eerste getal, p,n de middelste termen het tweede getal zijn. Zoo, in de evenredigheid 12 : 6 = 6 : 3, is 3 derde evenredige tot 12 en 6. 307. Middelevenredige. - Men noemt middelevenredige LUsschen 2 getallen de middelste term eener gedurige evenredigheid waarvan de twee getallen de uitersten zijn. Zoo, in de evenredigheid 12: 6 = 6 : :1, is 6 middelevenredige tusschen f2 en 3. 308. Reeks van gelijke verhoudingen. - De uitgedrukte gelijkheid van meer dan 2 verhoudingen heet J'eeks van gelijke verhoudingen. Voorbeeld:
3 : 4 = 6 : 8 = ·12 : 16 = 24 : 32. § III. -
EIGENSCHAPPEN.
309. Stelling I. - ln elke evenredigheid is het product der uitersten aan dat del' middelsten gelijk. Zij de evenredigheid : a:b=c:d en q de weerde der redens; dan is a = bq en c = dq, Men kan de evenredigheid schrijven:
bq : b = dq : d.
Nu is het duidelijk dat het product der uitersten uit dezelfde factoren bestaat als dat der middelsten.
-
Toepassingen. getallen zoeken.
170-
I. Een vierde eveuredige tot drie
a:b=c:x ax= bc bc x= -. a
11. Een derde evenredige tot twee getallen zoeken. a:b=b:x
lIl. Een middelevenredige tusschen twee getallen zoeken.
a:x= x:b x2 = ab x.=V ab . 310. Stelling 11. - Omgekeerd, opdat vier getallen evenredig zijn, is het voldoende dat het product der uitersten aan dat der middelsten gelijk zij.
Zij gegeven :
ad
=
bc.
Zoo men beide leden dier gelijkheid deelt door bd,. bekomt men:
ad bd of:
bc
-biJ
a c T=(i'
Gevolg I. - In elke evenredigheid mag men: 1° de uitersten verwisselen, 2° de middelsten verwisselen, 3° de middelsten in plaats del' uitersten stelll!n. .
-
'171 -
Er bestaan dus 8 verschillende manieren van dezelfde evenredigheid te schrijven.
a:b=c:d a:c=b:d c:a=d:b c:d=a:b d:c=b:a d:b=c:a b:d=a:c b:a=d:c Er kunnen maar 2 schikkingen zijn beginnende met a, want, als a de eerste term is, dan is de laatste noodzakelijk d. De evenredigheden met a beginnende, kunnen dus slechts verschillen volgens de schikkingen der middelste termen die ten getalIe van twee zijn. Hetzelfde voor de evelll'edigheden beginnende met b, met c en met d.
11. lllen mag een en de,. uite/·sten door een getal vermenigvuldigen, en den anderen uiterste dool' dit getal deelen: hetzelfde voor de middelstelI. a a m
Uit: trekt men:
b
c
d
b = c
dm
b a : - = cm m
d enz.
111. Men mag beide voorgaanden of beide volgenden dool' een zelfde getal vermenigvuldigen of deelen. Uit : trekt men:
a am a
m.
b
b b
c cm c m
d d d enz.
-
172-
311. Stelling lIl. - Wanneer men eenige evenredigheden term aan term vermenigvuldigt, zijn de producten evenredig. Stelt men, in de evenredigheden:
a:b=c:d e:f=g:k de weerde der verhoudingen van de eerste voor door q, en van de tweede, door q', dan heeft men:
a = bq e={q'. Vermenigvuldigt men deze gelijkheden lid aan lid, dan uekomt men: af. = bf X qq' waaruit : ae : bf= qq' ~f,
wanneer. men, van twee deelingen, de deeltallen onderling en insgelijks de deelers vermenigvuldigt, dan is het quotient dier producten het product der eerste quotienten. cg : dk is dan ook aan qq' gel ij k, en men heeft :
ae : bf = cg : dk. 312. Stelling IV. - Wamuer men twee evenredigheden tel m aan term deelt, zijn de vier quotienten evenredig.
Stelt men, in de evenredigheden:
a:b=c:d e:f=g:k
a -= bq e={q'. Deelt men deze gelijkheden lid aan lid :
~=bq =~ x!L e
fq'
{
q'
-
173-
waar men van afleidt :
!!..- =_t
a c
f
q'
of, wanneer men het quotient van twee deeltallen door het quotient hunner deelers deelt, verkrijgt men het quotient der oorspronkelijke quotienten. c g
~ is dus ook aan q- ~elijk, en men heeft : q'
abc e T- g
d
-Ti'
213. Stelling V. - WalIneer men at de termen eelle,' eve1l7'edigheid tot dezelfde macht verheft, zijll de machten evenredig.
Is, in de evenredigheid : a:b,=c:d
de weerde der redens q, dan heeft men: a = bq.
Verheft men beide leden dezel' gelijkheid tot de nd , macht, dan bekomt men: a"
=
(bq)"
=
bn qn
waaruit: of, wanneer men deeltal en deeler tot dezelfde macht verheft, is ook het quotient tot die macht verheven. en:
c" : d" geeft dan ook qn an : bn = en : (In.
314. Stelling VI. - In elke evenredigheid staat de som of het verschil der voorgaandell tot de som of het verschil der volgenden, als eenvoorgaallde tot zijl/en volgende.
-
174-
Zij de evenredigheid :
a:b=c:d en q de weerde der redens. Men moet bewijzen :
a + c : b + d = a : b. Als men de som of het verschil der volgenden : b + d door q vermemgvuldigt, is het product bq + dq of a + c. De verhouding a + c : b + d heeft dus voor weerde q, evenals de opgegevene verhoudingen. 315. Stelling VII. - In elke evenredigheid staat de som of het verschil der twee eerste termen tot den tweeden, gelijk de som of het verschil det· twee laatste termen tot den vierden.
Uit de evenredigheid :
a:b=c:d mag men afleiden :
a+b:b=c+d:d want de weerde dezer verhoudingen is gelijk aan die der opgegevene vermeerderd of verminderd met eene eenbeild. 316. Stelling VIII. - 1n elke evenredigheid staat de som of het verschil der twee eerste termen tot den eersten, als de som of het verschil der twee laatste termen tot den derden.
Zij de evenredigheid :
a:b=c:d en q de weerde der redens. Men moet bewijzen :
a + b : a = c + d : c.
-175 -
Deze verhoudingen kan men schrijven:
zdfgsgfsfhsfhsfsdfhshsfhf Beide hebben voor weerde 1
+ i-, en zijn derhah'e -- qq
gelijk. 317. Stelling IX. -- In eene reeks van qelijke vel' houdingen staat de som de7' der voorgaallden vool'gaanden tot de som der volgenden, als een voorgaande tot zijnen volgende. In de reeks: a : b = c : d = e : f = g : k, en q de weerde der redens. Men moet b.ewijzen : a
+ c + e + g : b + d+f +k =
a: a : b.
Vermenigvuldigt men de som der volgenden b + d + f + k door q, dan bekomt men: bq + dq + fq + kq of a + c + e + g. De verhouding a + c + e g9 : b + d + f + k heeft dus voor weerde q, evenals de opgegevene verhoudingen.
+
ZEVENDE DEEL. Reeksen en Logarithmen. HOOFDSTUK I.
Rekenkundige reeksen. 318. Bepaling. - Eene rekenkundige reeks (R.R.) is eene rij getallen waarin elk getal gelijk is aan het voorgaande vermeerderd of verminderd met een zelfde standvastig getal. Elkeen der getallen draagt den naam van tet'm det' reeks. Het standvastig getal heet reden det' reeks. De reeks is klimmend wanneer de reden bij het voo\'gaande getal gevoegd wordt, en dalend wanneer de reden van het voorgaande getal afgetrokken wordt. 319. Schrijven der reeks. - Om eene rekenkundige reeks te schrijven, schrijft men de rij termen voorafgegaan van het teeken -:- en van elkander gescheiden door een punt. Voorbeelden: . 2. ti. 8 . 11 . 14 ~ j 2 . 18 . 8. 6. 4 ~ a. b. c. d. e. Men leest gelijk 2 staat tot ö, zoo staat ö tot 8, 8 tGt 11, 11 tot '14. De eerste reeks is klimmend en de reden 3.
-177 De tweede reeks is dalend en de reden 2.
De derde reeks is de algemeene reeks, waarvan de reden door r wordt voorgesteld. Die reeks beschouwt men als klimmend, als a < b, en als dalend, wanneer a > b. 320. Vraagtuk. - De weerde eens terms van willekeurigen rang bepalen in {unctie van den eersten term en de ,'eden der reeks.
Zij de klimmende reeks: -7- a , b . C • d ..... g • h . k . 1. waarvan de eerste term a, de reden 1',. het aantal termen nis, en zij voorgesteld de nd • term of 1 te bepalen. . De eerste term a zijnde, is de tweede a + r, de derde a + 21', de vierde a + 3 I' enz. De nd • term zal dus a + (n - 1) I' zijn. Elke term is dus gelijk aan den eersten, plus zooveeZ maal de reden als er termen zijn voor den beschouwden. Hieruit de formuul: 1= a + (n -1) r. Men zou op eene overeenkomstige manier bewijzen dat. indien de reeks dalend is, men zal hebben : 1 = a - (n-1) r. Toepassing- Welke isdd5 de term van de reeks:-;' 6.8 , 10 ... ~ 1= 6
+ (15 -1) X 2 = 16 + 14 X 2 = 44.
321. Vraagstuk. Tussçhen twee getallen een aantal rekenkundige middeltermen inlasschen.
Daardoor verstaat men het inschrijven, tusschen twee getallen, van eenige getallen, zoodanig dat zij in eene rekenkundige reeks staan waarvan de twee gegeven getallen de uiterste termen zijn. Zij, tusschen a en Z, m rekenkundige middeltermen in te lasschen.
12
-
178-
Om hel vraagstuk op te lossen, zal men de reden der reeks moeten bepalen. Indien de reeks klimmend is, heeft men (320) : I == a
waaruit:
+ (n -
1)
1"
1- a
1'=--.
n-1 Maar het aantal termen der evenredigheid is gelijk aan m + 2; dus is n = m + 2 en n - 1 = m + 1, dus: l-a 1'=--. m+1 Indien de reeks dalend is, zal men op eene overeenkomstige manier vinden : a -- 1 1'=---. m+1 De reden van de te vormen reeks is gelijk aan het verschil der twee gegeven getallen, gedeeld door het aantal in te lasschen termen, plus de eenheid. Toepassing, - Tusschen 16 en 20,5 rtkenkundige middelurmen inlasschen.
20 -
16
2
r=5+T = 3· De reeks zal dus zijn:
• 2 -;- 16 . 16 3
1
2
1
. 17 :3 • 18 . 18 :3 • 19 3 . 20 .
322. Stelling I. - Wanneer men een zelfde getal middeltermen tusschen elke twee opvolgende termen van eene R. R. inlascht, bekomt men eene dool'loopende R. R. Zij de R. R. -:- a . b . c . d •.... welke wij klimmend veronderstellen. Indien wij, tusschen elke twee opvolgende termen, m rekenkundige middeltermen inlasschen, zullen wij zoo veel afzonderlijke reeksen vormen, elk van m + 2 termen, als er termen min één bestaan in de oorspronkelijke reeks.
- 179-
De redens dier verschillige reeksen zullen zijn (321) : b-a c-b d-c m + l' m + l' m + l' enz. Maar de bepaling der reeksen geeft : b - a == c - b == d -- c; b-a c-b d- c waaruit: m+1 =m+1 =m+1 of al de redens der veJ'schillige reeksen zijn dezelfde. Daar nu de laatste term van elke afzonderlijke reeks ook de eerste term is van de volgende, zoo ziet men dat al de afzonderlijke reeksen samen ééne en dezelfde doorloopende reeks zullen vormen. Voorbeeld. - Zij de R. R. -;. 3. 6 . 9 : indien men tusschen elke twee opvolgende termen 3 rekenkundigen middeltermen inlascht, zal men hebben: . r=
6-3
3
3
4
+1
--=-
9-6 3 -- = . = 3+1 3+1 = 4,' 4'
~", = j"
De nieuwe reeks is dus:
-'-3 ,
~4
4!
2'
5!
4'
6
.
3 1 6 4, • 7 2
.
1 8 4, • 9.
323 Stelling 11. - De som van twee termen een er R, R. R., op gelijken afstand der twee uiterste termen genomen, is gelijk aan de som dier uiterste termen.
Men noemt uiterste termen de eerste en laatste term eener bepaalde reeks. Zij a en 1 de twee uiterste termen eener R. R., x een term die er p vóór zich heeft, en y een term die er 11 na zich_ heeft. Men heeft (320) : x=a+pr y"= 1- pr. en Die vergelijkingen lid aan lid samentellende : x + y == a + 1.
-
180-
324. Vraagstuk. - De som van al de termen R. R. bepalen. Zij de R. R. : -;'-a • b • C • d .••..• g . h • k . Z. Zij S de som der termen dezer reeks; men heeft :
eeflel.~
S=a+b+c+d ....... +g+h+k+Z en: S = I + k + h + g •.•...• + d + c + b + a. Want eene som blijft dezelfde, wanneer men de termeili in verschillende orde optelt. Zoo wij nu die vergelijkingen lid aan lid samentellen, en in het tweede lid de overeenkomstige termen twee en twee samenvatten, komt er : 2 S = (a + ~ + (b + k) + (c + h) + (d + g) ...• + (g + d) + (h + c) + (k + b) + (I + a).
In deze nieuwe vergelijking hebben wij, in het tweede lid, zooveel gedeeltelijke sommen als er termen zijn in de oorspronkelijke reeks. Elke gedeeltelijke som is ofwel de som der uiterste termen, ofwel de som van twee termen genomen op gelijken afstand der twee uiterste, en bijgevolg gelijk aan de som der uiterste (323). Het tweede lid is dus gelijk aan n maal de som del' uiterste termen of : 2 S = (a + I) n S = (a + Z) n. en: 2
De som van al de termen eener R. R. is gelijk aan het half product van de som del' uiterste termen met het aantal' termen. Toepassing. - Zoek de som der 12 eerste termen van de reeks .:- 8 . 14 . 20 ...... r
+ (12 -1) X 6 = 74. S = ~ +-~~~~ 2
De 12de term = 8
49 9
-~.
-
181-
HOOFDSTUK 11.
Meetkundige reeksen. 32~. Bepaling. - Eene meetkundige reeks (M. R.) is eene rij getallen, waarin elk getal gelijk is aan het voorgaande vermenigvuldigd met een standvastig getal, dat men de reden der reeks noemt. De reeks is klimmend, wanneer de reden (q) grooter is -dan 1, en dalend, wanneer de reden kleiner is dan 1.
326. Schrijven der reeks. - Om eene M. R. te schrijven, schrijft men de rij termen voorafgegaan van het teek en -;-:- , en van elkaar gescheiden door twee punten.
:-:- 2 : 4 : 8 : 16 : 32 ~
32 : 16 : 8: 4 : 2.
Men leest gelijk 2 staat tot 4, zoo ,~taat 4 tot 8, 8 tot 16, 16 tot 32.
De eerste reeks is klimmend en de reden is 2. De tweede reeks is dalend en de reden is
!.
Bemerkingen. _1° Uit de manier van de M. R. te lezen, blijkt dat men de M. R. mag aanzien als eene reeks gelijke verhoudingen (zie 308). 2° De reden der reek! is het getal waarmede men eenen term der M. R. moet vermenigvuldigen om den volgenden te bekomen. dus is de reden het quotieut van eiken term der reeks door den voorgaanden.
327. Vraagstuk. - De weerde eens tet·ms van willekeurigen mng bepalen in functie van den eersten tet·m en de reden der M. R.
Zij de M. R.: ~ a : b : c : d ••••••• : Z. Volgens de bepaling der M. R. is de tweede term aq; de derde term, aq2; de vierde, aq3; de nd., aq'" - 1.
-182 -
Elke term is dus gelijk aan den eersten vermenigvuldigd dool' de reden in dezooveelste macht als el' termen voorafgaan. Indien 1 de nd • term is, heeft men : 1= aq"'-I. Toepassing. - Welke is de 7de term der M. R. -:-:- 4 : 12 : 36 ... 1 l
=
4 X 36
=
2916;
328. Vraagstuk. - Tusschen twee getallen a en I, m meetkundige middeltermen inlasschen. Daardoor verstaat men tusschen a en I, m getallen schrijven welke met a en 1een M. R. samenstellen. Om bet vraagstuk op te lossen, zal men de reden der reeks moeten bepalen. Uit de formuul : 1 = aqn-l. 1-
l
trekken wij :
q=
-.
\/
a
+
Daar de reeks uit m 2 termen zal bestaan, zal men hebben : n= m+2 waaruit: n - 1 = m + 1. De bovenstaande weerde van q zal dus worden:
:t+ïl
q=V
(i'
De reden van de te vormen reeks wordt gevonden dool' uit het quotient van het tweede getal door het eerste eenen wortel te tt'ekkell, waarvan de wijzer gelijk zij aan het aantal in te lasschen termen plus één. 329. Stelling I. - Wamleer men een zelfde aantal middeltermen tusschen elke twee opvolgende termen een er M. R. inlascht, bekomt men eene en dezelfde dool'loopende
M. R.
-
183-
Zij de M. R. : :: a: a : b : e : d ....... .
-\7 \7+1 \7 \71-a ; VI c; c;
De redens der verschiIlige verschillige reeksen zullen zijn (328) : 1 -
q ==
b, q =
m\71 -e "
m+I
'I;; Ob; q ==
mI
-
d
enz.
Maar .!!..- == ebeb ==!!:...!!:.uit de bepaling der M. R. . a e Dus is q = q' ==== q". Oe redens der afzonderlijke reeksen zullen dus gelijk zijn. Daar nu de laatste term van elke afzonderlijke reeks ook de eerste term is van de volgende, zoo volgt daaruit dat al de afzonderlIjke reeksen ééne en dezelfde doorloopende reeks v(jrmen. 330. Stelling II. - Het product van twee termen eener M. R-, R., op gelijken afstand der twee uiterste termen genomen, is gelijk aan het product der uiterste termen. Zij a en 1 de uiterste termen eener M. R., x een term die er p vóór zich heeft, en y een term die er p achter zich heeft, wij zullen hebben (327) : x = aqp.
en :
1 . yy= = qP' qP
Waaruit, door vermenigvuldiging lid aan lid : xy = al. 331. Vraagstuk. - De som van al de termen eener M. R. bepalen. 1° Zij de bepaalde klimmende,M. R. : -;-:....;-:- a : b : ec : d : ..... k : l.Z. Verbeelden wij de som der termen door S, zoodat men hebbe: S = a + b c d + ..... k + Z. (1)
+ +
-184 Vermenigvuldigen wij beide leden der gelijkheid door q :
+
+
Sq = aq bq + cq + dq + ", .. kq lq. Maar, uit de bepaling der reeks, heeft men: aq
= b, bq = c, cq = d ..... kq = 1
Sq = b
dus :
+ c + d + .... ' I + Iq, (2)
De gelijkheid (i) aftrekkende van de gelijkheid (2) lid aan lid:
Sq-S=lq-a = Iq - a Iq - a
of:
S (q - 1)
en:
S=--. q -1
Dus de som der tel'men eener bepaalde klimmende M. R. is gelijk aan het product van den laatsten term met de reden, verminderd met den eersten term, op de reden min de eenheid. 20 Zij de bepaalde dalende M. R. : -:-:- a : b : c : d : ..... k : l.
Men heeft: S= a
+ b +" c + d + ..... k + I, (1)
Waaruit als hierboven :
Sq
= b
+ c + d + .... , I + Iq. (2)
Zoo men de gelijkheid
(~)
aftrekt van (1) :
S - Sq == a -lq S (1 - q) = a - ll[ a-Iq S=--. i-q
Dus de som del' termen eener tJepaalde dalende M. R, is gelijk aan den eersten term, min het product van den laat6ten met de reden, op de eenheid min de reden,
-185 Toepassingen. - 10 De som der 6 eerste termen der M. R. : : 4: 12: 36 ..... De zesde term
=
4 X 3" = 972. S
=
972 X 3 - 4 3-1
1456.
20 De som der 6 eerste termen del' M. R. : -:-.: 36 : 12 : 4.
De zesde term = 36 X
4 (-1)" 3 27 = --
4
s=
1
36- 27 X3' -----:1:---
1 - -3-
53~ 27 .
332. De som der termen van eene klimmende M. R. wordt gedurig grooter, naarmate het aantal termen grooter wordt, en, loopt die reeks oneindig voort, dan wordt die som oneindig groot. Hetzelfde bestaat niet voor de oneindig voortIoopende dalende M. R. 333. Stelling 111. - De grens der' som eener oneindig voortloopende dalende M. R. is het quotient van den eersten term der reeks, gedeeld dool' het verschil van de eenheid en de reden. Volgens de formuul: S= a -Iq (331). 1-q
Indien het aantal termen onbepaald aangroeit, zall gedurig kleiner worden of naderen tot 0, zoo ook het product lq. De grens der weerde van S is dus klaarblijkend a -
0
1-q
.(jf
a 1-q' Toepassing. - Welk is de grens der som van de volgende M. R.
--;--;-3:1:
De reden is
~:~ ~.
...... ,
-
Welk is de grens der M.
De reden is
186-
R.~
§: ~ : b:
...
f
~. 1
,
3 1 ürens= - 1 =2' 1- 3 334. Toepassing aan de repeteerende tiendeelige breuken. 1° Zij de zuiver repeteerende breuk 0,5454 ..... welke geen geheel deel heeft : 0,5454 ..... = 0,54 + 0,0054 + 0,000054 + ..... of aan eene oneindig voortloopende dalende M. R. waarvan de reden 0,01 is. Volgens de formuul :. a
Grens S = - - (332), heeft men: 1- q Grens 0,5454.. ...
= 1 ~~401 = ~:~: = ~:.
2° Zij de gemengd repeteerende breuk 0,43535.. ... Men beeft : 0,43535 ..... = 0,4 + 0,035 + 0,00035 + 0,0000035 + ..... Te beginnen van den tweeden term hebben wij bier eene oneindig voortloopande dalende M. R. waarvan de reden 0,01 is. Dus: 0,035 0,035 ~':15 Grens 0,0353535 ..... = 1 _ 0,01 - 0,99 - 99Ö' Daaruit : 4 35 0,43535 .... = -0 + 1 990
4(100-1)+35 990
400 -4 + 35 _ 435-4 990 - -990 •
-187 -
HOOFDSTUK lIl.
Logarithmen. 335. Bepaling. - Indien wij eene M. R. beschouwen beginnende met 1, en eene R. R. beginnende met 0, dan zijn de termen del' R. R. de logarithmen der termen van denzelfden rang in de M. R. Zijn de reeksen: -;-:-1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 ; 64 : 128 : 2ö6 ... .. -:- 0 • 3 . 6 • 9 . 12 . 1ö . 18. 21 . 24 .... . de getallen van de R. R., zijn de logarithmen der overeenkomstige getallen van de M. R. B. v. log. 16 = 12; log. 128 = 21, Indien de beschouwde reeksen waren: : : 1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 : 128 : 256 .... . ';'-:0.1.2.3.4.ö.6. 7 . 8 .... . zou men hebben log. 16 = 4, log. 128 -== 7. Daar men nu, dezelfde M. R. bewaren de, de R. R. kan vervangen door een onbepaald getal andere beginnende met 0, zoo volgt daaruit dat de logarithmen der termen van de lU. R. slechts bepaald zijn, wanneer de R. R. bepaald is : de' twee reeksen te zamen vormen een logarithmenstelsel. 336. Negatieve logarithmen. - In het opgegeven stelsel schijnen de getallen kleiner dan 1 geene logarithme~ te hebben. Om terzelfder tijd in de M. R. getallen kleiner en, grooter dan 1 te begrijpen, kan men de M. R. naar de linkerzijde verlengen, daartoe de eenheid door de reden deelende, den bekomen term wederom door de reden deelend,e, enz. Om nu de logarithmen dier getallen te bekomen, zal men insgelijks de R. R. naar de linkerzijde verlengen, daartoe van den eersten term 0 de reden aftrekkende : daar echterdie aftrekking niet mogelijk is, zal men ze enkel kunnen aand uiden door het teeken - vóór de reden te stellen; men
-188 -
.zal daarna nog eens de reden van den bekomen term aftrekken, enz. Op zulke manier bekomt men oneindig voortloopende reeksen naar heide zijden : ..
.
1 .
1
.
1 .
1 . 1 . 2 . 4 . 8 . 16'
;-;- .... · 1 6 · 8 · 4 · 2 · · · · ·
... ..
-:- ..... (- 4) . (- 3) . (- 2) . (- 1) . 0 • 1 . 2 . 3 . 4 ... ..
en de termen der tweede reeks zullen de logarithmen zijn van de overeenkomstige termen der eerste. § l. -
ALGEMEENE EIGENSCHAPPEN DER LOGARITHMEN.
337. Stelling 1. - De logal'ithme van het product van .twee getallen is gelijk aan de som del' logarUhmen dier getallen. Schrijven wij een logarithmenstelsel, en nemen wij in de M. R. twee termen a en b : zij c een verdere term dier reeks, zoodanig dat er tusschen hem en b zooveel termen zijn als tusschen a en de eenheid; volgens eene eigenschap der M. R. ,(330), zal men hebben: 1 x c = a X b of c = a X b. Nemen wij nu in de R. R. de overeenkomstige termen met 1, c, a en b : zij zullen volgens de bepaling (33~) de logarithmen zijn van de getallen 1, c, a en b. Indien wij aan -die. getallen de eigenschap der R. R. (323) toepassen, bekomen wij :
log. 1 + log. c = log. a + log. b. Maar log. 1 = O. Dus: log. c = log. a + log. b. En daar c = a X b : log. a
X
b = log. a
+ log. b.
Gevolg. - Om het product te vinden van twee termen del' M. R. kan men de loga1'ithmen samentellen, en in de M. R. Jtet getal nemen dat met hunne som oVeI'eenkomt.
-189 338. Stelling Il. - De logarithme van een gedul'ig product is gelijk aan de som del' logarithmen der factoren.
Zij het product: a
X b X
c X d.
Indien wij opvolgentlijk de eigenschap van het vorig. nummer toepassen : log. a X b = log. a + log. b log. a X b X c=log. a X b + log. c= log. a+log. b + log. c log.axb X cxd=log.aXb xc+log.d= log.a+ log.b + log.c +log.á. Gevolg.- Om het product van verscheidene termen eene1' M. R. te vinden, mag men de logarithmen samentellen, en in de M. R. den term zoeken die met de bekomen som overeenkomt. 339. Stelling UI. -
De logarithme eener macht van
een getal is gelijk aan hel product van de logarithme van dit getal met den exponent del' macht. Zij de logarithme te zoeken van an • Volgens de bepaling del' macht zullen wij hebben:
an = a
X
a
X
a
X
a
X .....
n {actoren.
De vorige stelling (338) geeft : log an = log. a + log. a Dus:
+ log. a +
log. an = n
X
log. a ..... n termen.
log. a.
Gevolg. - Om eene macht te vormen van eellen term der M. R., kan men de logarithme van dien term vermenigvuldigen met den exponent der macht, en in de -'1. R. den term zoeken die met dit product. overeenkomt. 340. Stelling IV. -- De logarithme van een quotient van twee getallen is gelijk aan de logarithme van het deeltal, verminderd met de logal'ithme van den deeler.
-190 Inderdaad in elke deeling is het deeltal gelijk aan den deeler vermenigvuldigd met het quotient. Dus (337) : log. deeltal = log. deeler log. quotient. en : log. quotient = log. deeltal - log. deeler.
+
Gevolg. - Om het quotie1it van twee termen eene7' M. R. te vinden, kan men de logarithme valt den deeler aft7'ekken van de loga7'ithme van het deeltal, en in de M. R. den term zoeken die met dit verschil overeenkomt. 341. Stelling V. - De logarithme van eenen wortel uit een getal is gelijk aan het quotient van de logarithme van dit getal dom' den wijzer van den wortel.
Zij:
a"'/x=V a.
Indien wij beide leden tot de nd • macht verheffen : X" = a. Maar, volgens de voorgaande stelling (340) heeft men daaruit: n X log. x = log. a ' . I og. x = log. of - -a. n Maar: Dus:
."'/x=V a. ."/_ log. a log. V a =---;-.
Gevolg. - Om eellen machtswortel uit een en term van eene M. R, te trekken, kan men 'de logarithme van dien term deelen door den wijzer van den gevmagd'3n machtswortel, en in de M. R. het gelal zoeken dat met dit quotiellt overeenkomt. § H. GEWONE LOGARITHMEN.
342. Het meest gebruikte logarithmenstelsel is datj?:ene waarin 10 de eenheid als logarithme heeft, anders gezeid, waarvan de basis 10 is.
- 191Dit stelsel wordt bepaald door de volgende reeksen: ..;-;- f : 10 : 102 : 103 : 104 : 105 : •••••• -;- 0 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ...... . 343. In ae bovenstaande M. R. ontbreken al de getallen tusschen 1 en 10,10 en 100, enz., in het algemeen, tusschen de opeenvolgende machten van 10. Wij moeten 098 echter niet laten voorstaan dat die getallen geene logarithmen hebben. Men begrijpt dat men, door het inlasschen van een genoegzaam aantal middeltermen in beide reeksen (322 en 329), de logarithme van elk getal geheel of gebroken met eene genoegzame benadering zou kunnen voorstellen. Het is zoo dat men de logarithmentafels heeft berekend, waar elk geheel getal zijn logarithme heeft, aan welke al de algemeene eigenschappen der logarithmen toepasselijk zijn. 344. Bijzondere eigenschappen der gewone logarithmen. - Uit het beschouwen der reeksen die het stelsel
bepalen (342), volgt: 1° Enkel de machten van 10 hebben een geheel getal voor logarithme, namelijk, de exponent der macht. 2° De getallen tusschen 1 en 10, 10 en 100, enz. hebben voor logarithme een decimaal getal berekend met zulke benadering als men wil. Het bestaat uit een geheel gedeelte of aanwijzer van de logarithme, en een decimaal gedeelte of mantisse. 3° De aanwijzer van eene logarithme is 0 voor getallen tusschen 0 en 10, 1 voor getallen tusschen 10 en 100, 2 voor getallen tusschen 100 en 1000, enz. : in het algemeen, de aanwijzer der logarithme van een willekeurig getal heeft zooveel eenheden min één, als er cijfers zijn in het geheel gedeelte van het getal. . 4° Hebben de logarithmen van twee getallen dezelfde mantisse, dan blijkt uit de 1st. algemeeneeigenschap der logarithmen (337) dat één der getallen gelijk is aan het ander vermenigvuldigd met 10 of eene macht van 10. Want: g.82020 = log.8202 + 1 = log.830,2 + 2 = log.82,02 + 3 = log.8,202 + 4.
-192 345. Negatieve logarithmen. - Daar in elk logarithmenstelsel de logarithme der eenheid 0 is, zoo heeft men, aan de getallen tusschen 0 en 1, als logarithmen gegeven getallen voorafgegaan van het teeken - (336). Hernemen wij de reeksen die het gewoon logarithmenstelsel bepalen, en veronderstellen wij ze oneindig voortloopende langs beide kanten :
.. . 1 . 1 . 1 . -;-: ..... 104 • 103 . 102 •
1 . 1 . 10 . 102 . 103 . 104 . 10' . . . . ... .
-;- ..... (- 4) . (- 3) . (- 2) . (- 1) . O. 1 . § lIl. -
~
. 3 . 4 ... ~
GEBRUIK DER LOGARITH~IENTAFEL.
346. In het volgende veronderstelt men dat de leerling eene tafel gebruikt waarin de logarithmen der 10000 eerste geheele getallen, in 3 decimalen berekend, opgegeven zijn.
A. -
DE LOGARITHME VAN EEN GETAL ZOEKEN.
347. Eerste geval. dan 10000.
Het getal is geheel en kleiner
De logarithme wordt door de tafel gegeven. Voorbeeld: log. 2338 = 3,37234. Bemerking. - Zoo men, in de logarithmentafel. den aanwijzer, niet aangeeft, zal die aanwijzer gevonden worden door wat in nummer 344 3°, bemerkt is. '
348. Tweede geval. dan 10000.
Het getal is geheel en grooter
Als de tafel in 5 decimalen berekend is, kan men met juistheid berekenen de logarithmen van getallen kleiner dan 100000 of met 3 cijfers geschreven. Zij b. v. log. 23572. en :
23372=2337,2 x 10 log. 23372 = log. 2337,2 + 1 (337).
-
193-
Zoeken wij log. 2357,2. Log. 2358 -= 3,37254 Log. 2357 = 3,37236 Versehil = 0,00018. Dit verschil van twee opeenvolgende logarithmen staat in sommige tafels aangeduid, zoodat alsdan de bovenstaande aftrekking onnoodig wordt. Nu, log. 2357,2 is gelijk aan log. 2357 of 3,37236, plus een deel van het verschil 0,00018. Om dit deel van het verschil te hepalen, nemen wij de volgende eigenschap aan: De vergrooting van een getal, indien zij kleiner is dan 1. is evenredig met de vergrooting zijner logarithme. 1 bij het gelal geeft 18 honderdduizendste bij de logarithme 0,2»
»
»
» 18 X 0,2 = 3,6»
»»
»
Om de log. van 23~;7,2 te bekomen, moet men dus 3,6 honderdduizendsten bij log. 2357 voegen en daar 3,6 nader is bij 4 dan bij 3, voegt men erbij 4 honderdduizendsten. Men heeft dus: Log. 2357,2 = 3,::17236 Log. 23572 = 3,87240
+ 0,00004 = +1 =
3,37240 4,37240.
Regel. - Om de logarithme van een getal van 5 cijfers te bekomen, scheidt men door eene komma de eerste vier cijfers links af, en zoekt in de tafel de logarithme van het geheel gedeelte. Mm vermenigvuldigt vervolgens het verschil der tafel dom' he: decimaal gedeelte, en voegt bij de logarithme van het geheel gedeelte zooveel honderdduizendsten als er in het product zijn. Zoo er, bij dit product, ,een decimaal gedeelte is grooter dan 0,5, vermeerdert men met 1 eenheid het geheel gedeelte van het product. Wat den aanwijzer aangaat, hij bestaat uit zooveel eenheden min één, als er cijfers zijn in het gegeven getal, namelijk 4. 13
-
194-
Bemerking. - De verschillen tusschen de logarithmen der 0reenvolgende geheele getalleu zijn niet de reden eener R. R., omdat de opeenvolgende geheele getallen niet de opeenvolgende termen eener M. R. zijn. Daarom ook zijn die verschillen niet standvastig, maar worden kleiner naarmate de geheele getallen gl'ooter worden.
349. Derde geval. .
Het getal is tiel1deelig en grootel'
'dan 1.
log. 2,31)72.
Zij b. v.
Men laat het decimaal punt weg, en zoekt de logal'ithme van 231)72 volgens de manier aangewezen in het voorgaande geval. log. 231)72 = 4,37240. Daar echter 2,3c72 = of :
~~~~~ , zoo is (340)
:
Log. 2,31)72 = log. 231)72 - log. 10000 Log. 2,31)72 = 4,37240 - 4 = 0,37240. Zij nog log. 13,14. Log. 1314
=
3,11860
Log: 13,14 = 3,11860 - 2 = 1,11860. Regel. - Men zoekt de logarithme van het getal alsof het een geheel ware, en geeft aan de gevonden mantisse als aanwijzer zooveel eenheden min één, als el' cijfers zijn in het geheel gedeelte van het· gegeven getal. Bemerking. - Als het decimaal getal, na achterlating van het decimaal punt, een geheel getal voorstelt bestaande uit meer dan 5 cijfers, kau men met onze tafel de logarithme niet bepalen. B. v. 3,45732 zal met 5 decimalen geene logarithme hebben verschillend van die van 3,4573.
350. Vierde geval. -
Het getal is eene gewone breuk
en grooter dan. 1. Zij :
3M
log. 271).
195-
-
Wij weten (340) : 3M
Log. 275
== log. 354 -- log. 375
354 'waaruit: Log. 275 = 2,;>4900 - 2,43933 = 0,10967.
Men trekt de logarithme van den noemer af van de logarithme van den teller. Regel. -
351. Vijfde geval. -
Het getal is eene tiendeelige
breuk en kleiner dan 1. log. 0,03572.
Zij b. v. Wij weten (340) : 3572 Log. 100000
waaruit: Log.
=
1~~~~0
log. 3572 - log. 100000 =
3,~;5291
- 5= - 1,44709.
In het voorgaande, daar het onmogelijk is 5 van 3,55291 -at te trekken, is de logarithme negatief. Men bekomt die met .3,55291 af te trekken van 5. Daar echt.er de volkomen negatieve logat'ithmen in de berekeningen van een moeilijk gebruik zijn, vervangt men die door onvolkomen negatieve logarithmen, in dewelke de aanwijzer alleen negatief is en de mantisse positief. log: 0,03572 = 3,M291 - 5 Hernemen wij : Men kan hetzelfde schrijven: log. 0,03572 = 3 + 0,5529 1- 5 log. 0,03572 = - 2 + 0,55291. of Om dit korter uit te drukken, schrijft men : log. 0,03572 = "2,55291. Wanneer dus het teeken - boven den aanwijzer staat, is deze alleen negatief en de mantisse positief.
-
196-
Regel. - Om de logarithmen van een tiendeeUg getat kleiner dan 1 te bepalen, neemt men als lIegatieven aanwijzeI' het getal dat den rang van het eerste beduidend cijfer na het' decimaal punt aanduidt, en als positieve mantisse, de mantisse der logat'Uhme van het getal na achterlating van het decimaal punt bekomen, 352. Zesde geval. -
Het getal is eene gewone breuk
en kleiner dan 1. Z"IJ Iog. 72 35 35 = 350 . 10 72
log. log.
350 72 -== log. ~ - log. 3ÖO
~
log.
72'
35
n35
10
== 0,68674, (350) =
-0,68674 -1 = 1 ,68674.
Regel. - Om de logal'ithme van eene gewone breuk klein et· dan 1 te bepalen, vermenigvuldigt men de breuk met eene genoegzame macht van 10, opdat zij grooter wordt dan 1 : men zoekt vervolgens de logal'ithme van de zoo bekomen breuk, en aan de positieve mantisse geeft men als negatieven aanwijzer den exponent der macht van 10 waar men de breuk mede vermenigvuldigd heeft. 353. Er kan gevraagd worden volkomen negatieve logarithmen tot onvolkomen negatieve logarithmen te herleiden ..
Men heeft b. v. : - 0,34378 = 1 - 0,34ö78 -1 c= 0,63422 -1 = 1,60422' -1,34378 = 2 -1,34378 - 2 = 0,6M22 - 2 = 2,60422 - 2,34378 = 3 - 2,34378 - 3 = O,6ö422 - 3 = 3,6042~
enz.
-197 Regel. - Om eene volkomen negatieve logarithme te herleiden tot eelle onvolkomen negatieve logarithme, plaatst men het teeken - boven den aanwijzer met 1 vermeerderd, achter dien negatieven aanwijzer schrijft men eene positieve mantisse, welke men bekomt door al de cijfer,~ van de negatieve mantisse, te beginnen van de komma, af te trekken van 9, en net laatste van 10.
Men heeft ook: 1,65422 = 0,65422 -1 = - 0,34578 2,65422 = 0,65422 - 2 = - 1,34578 3,61>422 = 0,65422 - 3 = - 2,34578 enz. Regel. - Om eelle onvolkomen negatieve loga/'ithme te herleiden tot eene volkomen negatieve, plaatst men het teeken - voor den aanwijzel' met 1 verminderd; achter het decimaal punt schdjft men de mantisse bekomen
dOOf'
al de cijfers van
de positieve mantisse, te begin/ten van het decimaal pun.t, af te trekken van 9. en het laatste van 10. B. -
HET GETAL ZOEKEN WAARVAN DE LOGARITmIE GEGEVEN JS.
354. Eerste geval. - De logarithme is positief en het decimaal gedeelte daarMn staat in de tafel. Zij 1,55315 = log. x
Zoeken wij in de tafel het decimaal gedeelte van die logarithme met aanwijzer 3. Wij vinden: 3,55315.= log. 3574 Waaruit (344, 4"): 1,55315 = log. 35,74. Bemerking. - Bij het opzoeken van het overeenkomstig getal :zoekt men in de tafel de mantisse met aanwijzer 3. De rilden daarvan is gemakkelijk om vatten. Zoo wij in het voorgaande voorbeeld zoeken onder de mantissen met aanwijzer 0, dan vinden wij : log. 3
< 0,55315 <
log. 4.
-
198-
Zoeken wij met aanwijzer 1 : log. 35
<
1,55315
<
log. 36.
<
log. 358.
Met aanwijzer 2 vindt men : log. 359
<
2,55315
Eindelijk met aanwijzer 3 : log. 3;-'74 = 3,55315. Waaruit
log. 35,74 = 1,55315.
355. Tweede geval. - De logarithme is positief en het decimaal deel staat niet in de tafel.
Zij:
log. x = 4,86823.
Wij vinden in de tafel:
t
log. 7383-= 3,86823 h'l 6 h d dd' d log., 7384 = 3,86829 , versc 1 on er Ulzen sten. 3,86824 is grooter met 2 honderdduizendsten dan 3,86823. zoodat het getal tusschen 7383 en 7384 gelegen is. Wij kunnen nu, gebruik makende van de evenredigheid in nummer 348 aangeduid, volgender wijze redeneeren :
6 honderdduizendsten bij de log. geeft 1 bij het getal. 1 »
1
»
2
»
»
»
In het herleiden van
»
~
»
""6
2 -=03 6
'
)j
in decimalen, mag men slecht&
op de juistheid van het eerste decimaal cijfer rekenen. Men heeft dus:
en:
3,86823 = log. 7383,3 4,86823 = log. 73833.
Het getal waarvan 4,86823 de logal'ithme is, zal dus, op 1 na, 73833 zijn.
-
199-
Bemerking. - Men kan met onze tafel nooit meer dan de 5 eerste cijfers bepalen. 0,86825 = log. 7.3833 6,86~25 = log. 7383300.
Zoo, en:
Iu het eerste voorbeeld is het getal juist tot de 10000sten; in het tweede, tot de honderdtallen.
356. Derde geval. - De aanwijzer is negatief en de
mantisse positief. A) De mantisse staat in de tafel.
Zij:
R)
log. x = 1,84516 3,84ö16 = log. 7001 1,84016 = 3,84316 - 4
= log.
0,7001.
De mantisse staat niet in de tafel. log. x = 2,8471)9.
Zij:
Men zoekt het getal waarvan 3,84709 de logarithme is (305), en men bekomt: 3,84709 2,84709
-=
log. 7040,3
=
3,84709 -
0
= log.
0,070403.
357. Vierde geval. - De logarithme is geheel negatief.
log. x = - 2,34078.
Zij:
Men verandert die volkomen negatieve logarithme in eene onvolkomen negatieve, en zoekt de logarithme zooals in het vorige geval : -
2,34078 = 3,60422 ,3,604t8 =a log. 4510 3,60422 = log. 4010,4 3,604:22 = log. 0,0040104.
-
c. -
200-
BEWERKINGEN MET LOGARlTHMEN.
358. Indien men de getallen door hunne logarithmen vervangt, zal men, volgens de algemeene eigenschappen der logarithmen (337 en volgende), de logarithme kunnen .bekomen: 10 van een product door optelling, 20 van een quotient door aftrekking, ,30 van eene macht door vermenigvuldiging, 4 van eenen machtswortel door deeling. Daarin bestaat het voordeel der logarithmische bewerkingen. Het nadeel is, dat men, bij de berekeningen met log arilhmen, de uitkomst slechts tot eenen bepaalden graad nauwkeurig kan bekomen, b. v. met onze tafel in adecimalen, kan men ten hoogste ~ beduidende cijfers van de uitkomst berekenen. 0
359. Bewerkingen op log. met negatieve aanwijzers. - De hoofdbewerkingen leveren geene moeilijli.heid op, wanneer de logarithmen positief zijn. Voor de onvolkomen negatieve logarithmen is eenige oefening noodzakelijk. Voorbeelden:
SAMENTELLING.
1, 07918
IQ
1
= 0,07918 2,72428 = 0,72428 -
1 2
T, 64345
20
1
T,
3 , 80346 = 0,80346 -" 3
2, 51851
30
1 3,11394 1 , 63245
AFTREKKING.
1°
I
= 0,51851 =
40
Voorheelden :
T,88649 = 0,88649 - 1 2,17609=0,17609-2 1,71040 = 0,71040 -1
+2
1 1
1 , 44963 = 1,44963 -- 2
2
+3 0,63245 + 1
= 0,11394
= 0,64345 80618 = 0,80618 -
20
, 1,71600 = 0,71600 2, 46240 = 0,46240 \ 2, 17840 = 1,17840
1
+2 +1
{
l'
2,81954 = 0,81954 - 2 f ,43136 = 0,43136 - I
-
1 ,38818 = 0,38818 - 2
+1
:30
201 -
2,49136 = 1,49136 - 3 T~8649 = 0,88649 -1
1
T ,38021 =
4°
2,60487 = 0,60487 - 3 + 1 50
2, 50515 = T, 87506 =
2,50515 0,87506 - 1 2,63009 = 1,73009 + 1
1
1,38021 - 2 ,83251 = 0,83251 - 2 0,54770 = 0,54770 - 2+ 2
12"
I
T, 23045 =
60
3,23045 2 , 89763 = 2,89763
4
4 , 33282 = 0,33282 -
4
Voorbeelden:
-VERMENIGVULDIGING.
2, 04139 X 4 = (0,04139 - 2) X 4 = 0,16556 - 8 = 8, 16556. 1,55630 X 5 = (0,55630 - 1) X 5 = 2,78150 - 5 = 3,78150. DEELING.
Voorbeelden:
6,51054 : 2 = (0,51054 - 6) : 2 = 0,25527 - 3 3,25527. 5,70460 : 3 = (1,70460 - 6) : 3 = 0,56820 - 2 =2,56820.
360. Logarithme der eenheid gedeeld door een getal. - In de berekeningen met logarithmen is de loga-
rithme dikwijls voordeelig om eene aftrekking door eene samentelling te vervangen. 10 Zij de log. 34175 te zoeken (352). 1
Log. = log. 1 -log. 3475 = 0 - 3,54095 = - 3,54095. 3475 Maar de negatieve logarithme - 3,54095 tot een onvolkomen negatieve (353) herleid, geeft 4,45905. 1
2° Zij de log. 0,3475 te zoeken. Log.
0,3~75 = log. i-log. 0,3475 = 0 -1,54095 =1-0,54095. Maar de negatieve logarithme - 0,54095 = 1:45905 1
-
waaruit: log. 0,3457 = 1 - 1,45905 = 0,45905.
-
202-
Regel. - In het algemeen om de logarithme te vinden' van de eenheid gedeeld door een getal, voegt men + 1 bij den aanwijzer del' logarithme van den noeme,', verandert daarna het teeken der uitkomst, en, om het decimaal gedeelte te bepalen, trekt men al de decimalen, te beginnen van de komma, af van 9, en de laatste van 10. 361. Voorbeelden van logarithmische bewerkingen. I" Bereken: x
=
234,56 x 0,02362 x
= 2,37025
log. 234,ö6 log. 0,02362 log. 0,64ö24 log. x
= 2,37328
= 1,80972 = 0,öö32ö
x = 3;ö747. 20 Bereke . x = 664,8ö x 801,32
927,68'
n.
log. 664,8ö log. 801,32 log.
=
1
927,68 = log. x
2,82273 2,90381
=
-
=
3,03260 2,7ö914
x = ö74,3. 1,4ö19 x 6,4ö78 3° Bereken . x = -=--:-:-:-:;-:-:----,,-,'-,--~ . 84ö47 x 0,02ö748'
= = =
0,16194 0,81009
o,ö2rns =
1,ö892ö
log.1,4ö19 log. 6,4ö78 1 log. 84ö47 log.
1
if,07290
log. x == 3,63418 x = 0,0043071
0,64ö24~
-
80 Bereken' x = .
204-
231ö_
(1,OÖ)3
log. x = log. 2315 - 3 log. 1,OÖ log. 23Hi = 3,364ö5 3 log. 1,ot> = 0,06357 log. x
x
=
---
3,30098 = 1999,8.
9° Bereken : x =- 264
log. x
=
log. 2 =
ïog. x = x=
één tien trillioen na.
64 log. 2 0,30103 x 64 19,26592 184 470 000 000 000 000 op
ACHTSTE DEEL. Oplossing van vraagstukken. HOOFSTUK I.
Regel van drie. 362. Rechtstreeks evenredige grootheden. -
Men zegt dat twee grootheden rechtstreeks evenredig zijn, wanneer. het eenige malen grooter of kleiner worden van de ééne voor gevolg heeft dat de andere evenveel malen groote1' of kleiner wordt. Dat eenige malen kan hier een gebroken, zelfs een onmeetbaar getal zijn. De verhouding van twee weerden der ééne grootheid is dus gelijk aan de verhouding van twee overeenkomstige weerden van de andere.
363. Voorbeelden van rechtstreeks evenredige grootheden : De loon en de tijd dat men gewerkt heeft; De hoeveelheid en de prijs eener koopwaar; De intel'est en het kapitaal; De interest en de tijd dat het kapitaal uitstaat; De gelijkstandige zijden van twee gelijkvormige driehoeken; De weerde eener breuk en hare teller; In den val der lichamen, de doorloopene ruimte en het vierkant den gebruikten tijd.
171il11
-
206-
364. Omgekeerd evenredige grootheden. - Men zegt dat twee grootheden omgekeerd evenredig zijn, wanneer het eenige malen grooter of kleiner worden van de ééne voor gevolg heeft dat de andere evenveel malen kleiner of grooter wordt. De vMhouding van twee weerden van de ééne grootheid is gelijk aan de omgekeerde verhouding van twee overeenkomstige weerden van de andere.
365. Voorbeelden van omgekeerd evenredige grootheden : Het aantal werklieden en de tijd besteed aan een werk; Het kapitaal en het percent om eenen zekeren interest te winnen; Het volumen van een lichaam en zijne dichtheid; Het aantal dagen tot een werk noodig en het aantal uren dat men per dag werkt; De weerde van eene breuk en hare noemer.
366. Regel van drie. - Men noemt regel van drie de oplossing van een vraagstuk door het zoeken van een vierde evenredige tot 3 getallen (30ö). Die oplossing hangt afvan het vormen van evenredigheden in welke 3 termen gekend zijn, en één onbekend: twee van die termen behooren tot ééne grootheid, en twee, tot eene andere, en die twee groothedtln moeten rechtstreeks of omgekeerd evenredig zijn.
367. Is het vraagstuk oplosbaar door eene enkel evenredigheid, dan heet men die oplossing een enkelvoudige "egel van drie; is het oplosbaar door verscheidene evenredigheden, dan heet men de oplossing samengestelde regel van drie. Wij laten hier voorbeelden volgen. 368. Enkelvoudige regel van drie. - VRAAGSTUK I. 14 Kg. van zekere waal' kosten 136 fr. ; welk is de prijs van 1ö Kg. van dezelfde waar? Het is klaarblijkend dat een 2, 3, 4 maal grooter gewicht van die waar 2, 3, 4 maal meer zal kosten; dus, zoo dikWijls het eerste gewicht het tweede zal bevatten, zoo dikWijls zal de eerste prijs den tweeden bevatten: men heeft dus de evenredigheid :
14 Kg. : 15 Kg. = 136 fr. : re fr.
-
207-
Daar nu het quotient van 14 Kg. door 15 Kg. gelijk is aan het iluotient van 14 door 15, mag men de eerste verhouding vervangen door Ile gelijkweardige verhouding der twee onbenoemde getallen, en men heeft: 14 : 15 = 136 fr. : x fr. -waaruit (305) :
x=
136 fr. X 15 14
145,7lfr.opO,Olfr.na.
Practisch schrijft men de berekening volgender wijze: TAFEL DER OPGAVEN. Kg. 14 15 14 : 15 = 136 : x US X 136 x = --:f.:l-
fr. 136
=
145,71 fr. op 0,01 na.
VRAAGSTUK 11. 28 werklieden kunnen een zeker werk in 18 dagen voltrekken : op hoeveel dagen kunnen 32 zulke werklieden hetzelfde werk afmaken?
Het is klaarblijkend dat, indien het aantal werklieden 2, 3, 4 maal kleiner ware, het aantal dageu 2, 3, 4 maal grooter zou moeten zijn; dus, zoo dikwijls het tweede aantal werklieden het eerste zal bevatten, zoo dikwijls zal het eerste aantal dagen het tweede bevatten: men heeft dus de evenredigheid: 32 werk!. : 28 werk!. = 18 d. : x d. En de eerste verhouding vervangende door de gelijkweerdige van onbenoemde getallen: 32 : 28 = 18 d. : x d. waaruit (305) :
x=
~~~~ 32
=15
~4
d.
Praktisch schrijft men de berekening volgender wijze. Tafel der opgaven. Werk!. dagen. 28 18
32
x
32: 28 = 18: x 28 X 18 x= 32 =15
3
Td.
-
208-
Bemerking. - In het eerste der bovenstaande vraagstukken zijll' de grootheden rechtstreeks, in het tweede omgekeerd evenredig.
369. Samengestelde regel van drie. - VRAAGSTUK. 28 werklieden, 10 uren daags werkende, hebben öp 15 dagen eenen gracht gedolven van 560 m. lengte, 6 m. breedte en 4 1/2 m. diepte. Hoeveel dagen zullen 36 werklie-
den, 18 uren daags werkende, besteden om eenen anderen' gracht te delven van 780 m. lengte, 9 m. breedte en 3 -1/2 m. diepte? Om dit vraagstuk op te lossen, gebruikt men 5 achtereenvolgendeenkelvoudige regels van drie, waarvan wij Je voorstelling laten volgen. TAFEL DER OPGAVEN. WERKLIEDEN
UREN
LENGTE
BREEDTE
28
10
560
6
36
8
780
9
DAGEN
DIEPTE
1 4-21 3-3-
15
X.
{28 werk!. 36 werk!.
15 d.} x d.
36:
2° I 8 uren
110 uren
x d., x' d. {
8:
10
=
x : x'
30 , 560 m. lengte 1780 m. lengte
~:, ~:} 560 : 780
=
x' : x"
10
6 m. breedte 9 m. breedte 4 50
\
3
+ +
d'J
x" ::c"/d.
m. diepte x"'d j' . 4 m. diepte X d.
28 = IS : x
6:
~:
3
9
= x"
!
= x"': X.
: x'"
De eerste enkelvoudige regel van drie geeft de oplossing van het volgende vraagstuk: 28 werklieden doen het werk op 15 dagen: op hoeveel dagen doen $6 werklieden hetzelfde werk 1 De weerde van x geeft dit aantal dagen: maar die weerde laat men onberekend. De tweede regel van drie is over het volgende vraagstuk: $6 werk. lieden, 10 uren daags werkende, doen het werk op x dagen, op hoeveel dagen zullen evenveel werlieden, 8 uren daags werkende, hetzelfde werk verrichten? x' stelt dit aantal dagen vóor.
-
209-
De derde regel van drie is over het volgende: 56 werklieden, 8 uren daags werkende, delven op x' dagen eenen gracht van 560 m. lengte; op hoeveeL dagen zullen evenveel werklieden, evenveel uren daags werkende, eenen gracht maken van 780 m. lengte? x" stelt dit aantal dagen vóor. De vierde regel van drie lost het volgende vraagstuk op : 56 werklieden, 8 uren daags werkende, delven op x" dagen eenen gracht van 780 m. lengte en 6 m. breedte: hoeveel dagen zullen zij moeten werken, indien de gracht 9 m. breed is , X"I stelt dit aantal dagen vóor. De vij fde regel van drie is over het volgende : 36 werklieden, 8 uren daags werkende, delven op x"' dagen eenen gracht van 780 m. lengte, 9 m. breedte en 4 1/2 diepte: hoeveel dagen zullen zij moeten werken, zoo de gracht 3 1/3 m. diep is ~ X stelt dit aantal dagen vóor. Om nu gemakkelijk de weerde van X te berekenen zonder de weerden van x, x', x" en x'" te bepalen, vermenigvuldigt men de 5 evenredigheden term aan term; dan zijn de producten nog evenredig (3ll); en daar de onbekenden x, x', x" en X"I gemeene factoren zijn van beide termen van de tweede verhouding der evenredigheid-product, heeft men:
36 X 8 X 560 X 6 X 4 ~ : 28 X 10 X 780 X 9 X 3 ~ = 15: X. Waaruit X = 15 d. X
28
10
36 X 8
3~
780 9 3 5 X 560 X 6" X -1- = 22 dagen 4 9" uren.
42" 370. Praktische oplossing van vraagstukken over
den samengestelden regel van drie. Bemerke men eerst wel hoe de tafel der opgaven in het oplossen van het voorgaande vraagstuk opgemaakt is : deze manier -dient in al de dergelijke vraagstukken gevolgd te worden. Men schrijft de gegeven getallen en het onbekend getal X op twee horizontale reien: in de onderste rei staat X het laatste, voorafgegaan van al de getallen waarvan het afhangt: men draagt zorg dat al de getallen die dezelfde grootheid voorstellen, in dezelfde vertikale kolom onder elkander staan. Als de tafel der opgaven op zulke manier geschikt is, ziet men gemakkelijk bij het aanschouwen der weerde van X uit het voorgaande vraagstuk, hoe men in eens die weerde ka.n schrijven, zonder de verschillige evenredigheden vast te stellen. Men vermenigvuldigt het bekend getal gelijksoortig met X (hier' 15) met de verhoudingen der andere gelijksoortige getallen: het getal van de bovenste rei is de volgende of de voorgaande van elke verhouding,
14
-
2'lO -
'Volgens dat de grootheid, er door uitgedrukt, rechtstl'eeks of omgekeerd evlmredig is met de grootheid uitgedrukt door X,
371. Methode van herleiding tot de eenheid. Al de vraagstukken die door den regel van drie kunnen opgelost worden, kunnen het insgelijks door dp. analytische methode of methode van de herleiding tot de eenheid, welke alleszins in de scholen den voorkeur verdient. Een voorbeeld zal genoegzaam die methode doen kennen,
Vraagstuk. - 25 werklieden, 8 uren daags werkende, met eene kracht 4, hebben eenen gracht gedolven die 30 m. lang, 5 m. breed en 2 m. diep is. Welke zal de lengte zijn van den gracht 4 m. breed en 3 m. diep, gedolven op evenveel dagen dool' 14 werklieden, 9 uren daags werkende, met eene kracht voat'gesteld door iS? TAFEL DER OPGAVEN. Werklieden. Uren. Kracht. Breedte. Diepte. Lengte. 25 8 4 2 30 5 14 9 al 4 3 5
25
8
4
5
2
1
S
4
5
2
14
8
4
5
2
1
4
5
2
9
4
5
2
1
5
2
5
5
2
1
2
4
2 1 3
30 30
-2S 30 X 14
-25-
30 X 14 25 X 8 30 X 14 X 9 25 X 8 30 X 14 X 9 25X8X4 30 X 14 X 9 X 5 25X8X4 30XUX9X5X5 25X8X4 30 X 14 X 9 X 5 X 5 25X8X4X4 30X14X 9X5 X5X2 25X8X4X4 30X 14 X 9X5X5 X 2m .=19 6875 25X8X4X4X3 '
-
211-
Practisch schrijft men eerst de tafel der opgaven, om klaarder het vraagstuk voor oogen te hebben; daarna neemt men het bekend getal van dezelfde soort als x, en volgens de bereedeneering die hierboven in ,het lang geschreven staat, maar welke men kortheidshalve niet SChrijft, vermenigvuldigt of deelt men het beurtelings met elkeen der andere f/etallen van de bovenste en onderste rei.
-
212-
HOOFDSTUK 11.
Enkelvoudige interest. 372. De
interest is de vergoedin~ over geleend geld.
Het uitgeleende geld heet het kapitaoll. Het percent is de interest van 100 fr. op 1 jaar. Het woord percent beteekent ten·honderd en wordt korter geschreven 010 of pct. De tijd is het aantal jaren, maanden, dagen, dat de som uitstaat. Men rekent 30 dagen in elke maand, en 360 dagen in elkjaar.
373. De interest kan enkelvoudig of samengesteld zijn. De interest is enkelvoudig, wanneel' het kapitaal onveranderd blijft, en samengesteld, wanneer op het einde van elk jaar de interest bij het kapitaal gevoegd wordt, om het kapitaal van bet volgende jaar te maken. In dees hoofdstuk handelen wij enkel ove r den enkel voudigen interest.
374. Een der hoeveelheden welke in de interest-rekening
besehouwd worden onbekend zijnde, kan men zich voorstellen die te bepalen bij middel van de drie andere; daaruit vier soorten van vraagstukken in de interest-rekening: 1° Berekening van den interest, als het kapitaal, den tijd en het percent gekend zijn; 20 Berekening van het kapitaal, als de interest, de tijd en het percent gekend zijn; 30 Berekening van den tijd, als het kapitaal, de interest en het percent gekend zijn; 4" Bel'ekening van het percent, als het kapitaal, de interest en de tijd gekend zijn.
§ I. -
BEREKENING VAN DEN INTEREST.
375. De interest, zoo men het gemakkelijk bestatigen kan (363), is rechtstreeks evenredig met het kapitaal en den tijd. Men kan dus in het berekenen van den interest de methode met evenredigheden volgen; maar de methode van herleiding tot de eenheid verdient den voorkeur. ·376. Algemeen vraagstuk. - Welke is de interest van een kapitaal van a fr. op tjaat', tegen i fr. % 's jaars uitstaande?
-
213
-
Kapitaal. Tijd. Interest. 100 fr. Ij. i fr. t" x". a" w =
i fr. X
a
X
WO
ait 100
t 1
fr.
Eene beredeneering volgens de methode van herleiding tot de ee nheid kan b. v. volgender wijze geschreven worden:
100 fr. op 1 jaar winnen i fr. 1 a a
»
1 "
"
" 1
»
»
t
"
i
" 100" ai -" 100 ait 100 ".
Zoo men door R, den interest voorstelt, trekt men uit dit algemeen vraagstuk de formuul :
R =
ait 100 in welke a het kapitaal, i het percent en t het aantal jaren voorstelt. ne interest is dus gelijk aan het product van kapitaal, percent en aantal jaren, gedeeld door 100.
Bemerking. - Wordt de interest gevraagd voor een aantal maanden, dan zal men als weerde van tin de bovenstaande formuul zooveel 12~e deelen van het jaar hebben als er maanden zijn; wordt de interest gevraagd voor een aantal dagen, dan neme men als weerde van t zooveel 360'1. deelen van het jaar als er dagen zijn. Het kapitaal en het percent ook zijn soms gebroken of gemengde getallen. Dit voor oogen hebbende ziet men gemakkelijk, van welke vraagstukken de oplossing gegeven wordt in de twee volgende voorbeelden: 2050,5 X 3,5 X
R= R =
5 12
100 _39 X 223 8 360 100
322,5 X
20,505 X 3,5 X 5 12 3,225 X 39 X 233 = 2880
29,~0
op 0,01 fr. na.
iO,lS op 0,01 fr. na.
377. Handelsmethoden. -In den handel geeft men meestal aan de interest-berekeningen eenen bijzonderen vorm. Men onderscheidt twee getallen, yolgens dat de interest voor jaren en deelen vanjaren, ofwel voor dagen berekend wordt.
1 5 1 -
2
%
op 2250 fr.
%
•
%
"
1 % 4 3 5-% 4 -
21422,50 fr. X5 = 112,50 fr. 11,25 5,625 •
"
129,375 fr. op 1 jaar ~
X4 517,500 fr. op 4 jaar. 1 64,687 " 2 1 32,343 • 4
----r "4 Jaar.
614,53 fr. op 4
379. Interest bij dagen. - Als de interest bij dagen berekend wordt, is men meestal gewoon het jaar op 360 dagen, en elke maand op 30 dagen te rekenen. Om het aantal dagen te bepalen, rekent men den dag waarop het kapitaal wordt uitgezet en dien waarop het terug wordt betaald niet beide mede, maar slechts éénen der twee. Om b. v. te bepalen hoeveel dagen er zijn van 4 tot 15 Mei, trekt men den éénen datum van den anderen af: 15 - 4 = 11 dagen. Van 1 Mei tot 14 Mei zijn er 14 - 1 = 13 dagen, en niet 14. Van 30 April tot 17 Mei zijn er 17 dagen; van 21 Mei tot 16 Juni, 30 - 21 16 = 25 dagen; van 14 Mei tot 15 September, 30 - 14 30 30 30 15 = 151 dagen. Om den interest bij dagen te berekenen, heeft -men twee bijzondere methoden, welke wij beurtelings gaan voorstellen.
+ + + + +
380. Methode met evenmatige deelen van dagen.
- In die methode weet men op voordeel op hoeveel dagen een
kaPitaal1~0 van zijne weerde als interest opbrengt. Tegen 3 0/0' 100 fr. winnen 1 fr. op Tegen 4.%, 100 .. 1
:2 0/0,
360 1 "
100 "
1
Tegen 5 0/0, 100 "
1
Tegen 6 0/0, 100 "
1
Tegen 4
360
3 =
"
4"=
120 dagen. 90
360 -= 80 4,5 360 72 . 5 360 60
"6
.
VRAAGSTUK.- Welk
215-
is de interest van 4500 fr., tegen 6 %
•
op 157 dagen. Interest 60 dagen = 60 30 5 1 1
45 45 22,5 3,75 0,75 0,75 = 117,75
157
fr.
w
" " ..
381. Methode met vaste deelers. - In die methode weet men op voordeel welk de interest is van 1 fr, op 1 dag. Die interest is daarbij voorgesteld door eene breuk, waarvan de teller de eenheid is, en de noemer een getal dat men vasten deeler noemt. 3
1
Tegen 3
010,
1 fr. op 1 dag brengt 36000 fr. = 12000 fr. op.
Tegen 4
%'
1 ..
.. 1
~
%,
1 "
.
1
Tegsll 5
%,
1
. ..
1
Tegen 6
%,
1 "
.. .. ..
Tegen 4
1
2
" 1
4 36000 4,5 36000 " 5 36000 6 36000 "
=
1 9000 1 8000
=
7200
=
6000
=
1 1
Men bekomt dus den vasten deeler met 36000 door het percent te deelen. Mell bemerke ook de overeenkomst tusschen de honderdtallen Tan den vasten deeler met het aantal dagen waarop een kapitaal zijn honderdste als interest wint (380). VRAAGSTUK. -
Welk is de interest van 4500 fr., tegen
6 0/0' op 157 dagen? 1 fr. op
4500 ..
1 dag wint _1_ fr.
,,157
..
7200 4500 / 157 = 117,75 fr. 7200
Om den interest te berekenen, deelt men het product van het kapitaal met het aantal dagen door den vasten deeler. Zoo men door D den vasten deeler, door a het kapitaal, door t het at aantal dagen voorstelt, heeft men als formuul : R = D'
§ 11. -
216-
BEREKENING VAN HET KAPITAAL.
382. Algemeen vraagstuk. - Welk is het kapitaal dat gedurende t jaar tegen i fr. "/0 uitstaande, R fr. intet'est geeft? Het kapitaal is rechtstreeks evenredig met den interest en omgekeerd met den tijd. Interest. Kapitaal. Tijd. i fr. 1 j. 100 fr. R. t j. R i
w=100fr. X -
X -
1 t
=
100 R fr. it
Eene beredeneering, volgens de methode van herleiding tot de eenheid, kan volgender wijze geschreven worden: Om i fr. te winnen op 1 j. moet men 100 100 .. 1 .. 1 ..
fr. uitzetten.
i
100R
.. R
.. 1 ..
..
- -i - "
" R " "
.. t ..
..
lOOR -it-"
De formuul der kapitaal-berekening is dus: a =
100 R -i-t-'
Het kapitaal is gelijk aan 100 maal den interest, gedeeld door het product van het percent met het aantal jaren.
383_ Handelsmethode bij jaren. -- Men zoekt eerst den interest van 100 fr. door den gegeven tijd. VRAAGstUK. Welk kapitaal geeft op 2 j. 3 m. 11> d., tegen 3,60 fr. % ' 4000 ft .. interest? op 1 j. geeft 100 fr. 3,6 fr. interest. Op 2 j. geeft 100 fr. 7,2 fr. interest. 1 Op 4: .. 100 .. 0,9 1 Op 24 ..
100 .. 0,15 "
Op 2 j. :3 m. 15 d.
100 .. 8,25 ..
4000 Kapitaal = 100 fr. X 8 25 = 48484,85 fr.
,
-
217-
384. Handelsmethode bij dagen. - 1° ./)fet evenmatige deelen. Men stelle zich voor op hoeveel dagen een kapitaal, tegen een zeker percent uitstaande, zijn honderdste als interest opbrengt (380).
Welk kapitaal geeft op '100 dagen, tegen fr. interest1
VRAAGSTUK. -
Ö °10' 824
Interest 100 dagen. . . . . 824 .412 • 82,4 · 82,4 · 16,48 .593,28 fr.
Interest 50 dagen. 10 10 2
72 Kapitaal = 59328 fr.
386. Handelsmethode bij dagen. - 2° Met vasten deeler. Men stelle zich vóór wat de vaste deel ers zijn en hoe
men ze bekomt (381). Welk kapitaal geeft op 200 dagen, tegen ft'. interest?
VRAAGSTUK. -
Ö °1o, 824 I
.
Om 7200 fr. te wmuen staat gedurende 1 dag 'Ûm
1
fr. uit
I.. 7200 1 .. 7200X824 7200 X 824 .. " = 29664 fr. 200 " 200
I
Om 824 .... Om 824 De algemeene formuul is : a
=
DR. in welke a het kapitaàl, t D den vasten deeler, R den interest en t het aantal dagen voorstelt. Het kapitaal is dus gelijk aan het product van den vasten deeler met den interest gedeeld door het aantal dagen.
§ 111.
BEREKENING VAN DEN TIJD.
386. Algemeen vraagstuk. - Op hoeveel tijd geeft een kapitaal a, uitstaande tegen i fr. °10 's jaars, ft fr. interest?
-
218-
De tijd is omgekeerd evenredig met het kapitaal en rechtstreeks met den interest. Kapitaal. 100 fr. a "
[1)= {)J=lj. Ij.
X
Interest. Tijd. i fr. 1 j. R. [1)" {)J" R" 100 R 100R X i = - - - - j. a ai
Eene beredeneering, volgens de methode van herleiding tot de worden : eenheid, kan volgender wijze geschreven worden: 100 fr. om i fr. te winnen moeten 1 I" " i aa""
" " ii
a"
,,1
a"
"R
1 j. uitstaan. 100 " 100 a 100 ai 100R ai
-
.
.. , lOOR .. 100 R De formuul lormuul der tIJd.berekenmg tIJd.berekemng IS IS dus: t = = --;;,r-' ~ IJa D<J tijd (uitgedrukt in jaren) is gelijk aan 100 maal den interest gedeeld door het product van het kapitaal met het percent.
387. Handelsmethode bij jaren. - Men zoekt eerst jaar : zoo dikwijls den interest van gansch het kapitaal op 1 jaar: die interest in den opgegeven interest begrepen is, zoo dikwijls zal de tijd één jaar zijn. VRAAGSTUK. Op hoeveel tijd geeft een kapitaal van 30000 {r., 35000 fr., uitstaande tegen 3,00 fr. % 's jaars, 490 fr. interest?
0/0
1
350 fr.
X3 3 % 30fa
1050 "..
1
175 ..
f Ofa 2%
1~
3
. Aantal Jaren
2% %
=
........ ....... .
490 1225
2 .
="5
Jaar
=
1225 .."
4 m. 24 d.
-
219-
388. Handelsmethode hij dagen. - 1 Met evenmatige deelen. - Men stelle zich nogmaals vóor, op hoeveel dagen een kapitaal zijn honderdste deel als interest kan opbrengen (380). 0
VRAAGSTUK. -
Op hoeveel dagen zullen 36000 fr., tegen
4 Ojo, 450 fl'. interest geven?
360 fr. op 90 90"" 90
450 »"
» ..
d. 1 22-w 22 2
2"
112
1
2 »..
389. Handelsmethode hij dagen. - 2 Met vasten deeler. Men stelle zich vóór wat de vaste deeler is en hoe men dien bekomt. VRAAGSTUK. - Op hoeveel dagen zullen 36000 fr., tegen 4°/0, 450 fr. interest geven? 0
1
.
Om 9000 fr. te wumen moet Om 1 Om 450 .. "
1
1
fr.
d. uitstaan.
9000 "9000X450 .. 9000 X 450 ---36060-- ".. 36000 ".. -360601
1
Om 450 .... " ..
. De algemeene formuul is: IS : t =
DR .
D:.' in A lil welke t het
=
1 112:2 d.
aantal dagen,
D den vasten deeler. deeler, R den interest en a het kapitaal voorstelt. Het aantal dagen is gelijk aan het product van den vasten deeler met den interest gedeeld door het kapitaal.
§ IV.
-
BEREKENING VAN HET PERCENT.
390. Algemeen vraagstuk. - Op hoeveel tijd, geeft een kapitaal a, uitstaande tegen i fr. 010 's jaars, R tI'. interest? De interest (het percent is een interest) is rechtstreeks evenredig met het kapitaal en met den tijd. Kapitaal. Tijd. Interest. a Ir. t j. R fr. 1 ,. x ".. 100 »" 1 100 100 R fr. x=Rfr. X X-t a at
X7
-
220-
Eene beredelleering,volgeus de mettlode van herleiding tot de eenheid, kan volgender wijze geschreven worden: a fr. winnen op t j. 1 ..
w
t ..
R
a 100R .. t " - a 100 R ..1 .. - at
100 ..
lOO ..
fr. interest.
R
. .
.. • lOO R De formuul der percent-berekenmg IS dus, = - - . at Het percent is gelijk aan honderdmaal den interest, gedeeld door het p"oduct van het kapitaal met het aantal jaren.
§ V.
-
EENIGE ANDERE VRAAGSTUKKEN.
- Hoeveel worden 5000 {r., jaar, met kapitaal en enkelvoudigen
391. VRAAGSTUK I.
tegen 5 0/0' op 2 interest?
1/2
100 fr. worden op 2 2000 ..
1
"2
j.
1
.. 2
"2
100+ 5 X 2
1
-f
= 112,50 fr.
2250
Welk is het kapitaal dat op jaar, 221>0 fr. gewoI'den is met enkelvoudigen interest?
392. VRAAGSTUK 11. -
2
1/2
112,50 fr. kapitaal en interest komen "an 100 fr. 100 X 2250 .. 112,50
2250
393. VRAAGSTUK 111. -
= 2000 fr.
Op hoevet!l tijd brengen
3300 fr. zooveel interest op, tegen een zeker percent, als 700 ft". op 5 maand, 1200 fr. op 3 maand, 400 fr. op 8 maand, 1000 {I'. op 9 maand te zamen tegen hetzel{de
lJel'Cent opbrengen?
700 fr. 1200 • 400 • 1000" 3300 "
221-
op • • • •
5 m. geeft zoo veel als 3500 fr. op 1 m. 3 3600 • • 1 8 3200 • • 1 • 9 9000 • • 1 . x 19300 " " 1 " 193ÓO fr. geven den interest op 1 m. 100 • • 193" 193 3300 • • 33 = 5 m. 25 d. op 1 dag na.
394. VRAAGSTUK IV. Op hoeveel tijd brengen 1öOOO ft·. zooveel intet'est op, tegen een zeker percent, als 4000 fr. op 2ö dagen, 2ÖOO fr. op 40 d., 4ÖOO fr. op 80 dagen
te zamen tegen hetzelfde percent opbrengen? 4000 fr. op 25 d. geeft zooveel als 100000 fr. op 1 d. 2500" ,,40. • 100000 " " 1 • 4500. "80,, " 360000 " • 1 " De gewonnen interest is die van560000 fr. op 1 d. 560000 fr. winnen dien interest op 1 d. 1000 • " 560 • 560 1 • 15 = 37 3 dag. 15000 '.
395. VRAAGSTUK V. - Op hoeveel tijd geven 3600 fr. zooveel interest tegen een zeker percent, als 3 kapitalen elk van 1200 fr. samen zouden geven, het eerste op ö, het tweede op 4, en het derde op 6 maand? 1200 1200 1200 3600
fr. op 5 m. geven zooveel als 1200X5 fr.oplm. " • 4 " 1200 X 4 ." 1 " • • 6 • 1200 X 6 •• 1 " • • x. " 1200 (5 + 4 + 6)" • 1 •
1200 (5 + 4 + 6) fr. geven den interest op 1 m. 1200 ,,5+4+6m. 5+4+6 1200 X 3 • 3 = 5 m.
396. VRAAGSTUK VI. Iemand heeft een kapitaal uitstaan tegen een zeker percent en bekomt daarover 225 ft', iaal'lijkschen intet'est, Had hij 1000 fr. meer uitstaan, dan zou hij jaarlijks 271) fr, interest genieten. Bereken het kapitaal en het percent,
-
222-
1000 fr. geven 275 - 225 = 50 fr. interest. 100 " 5 " Het percent is dus 5 fr. Welk kapitaal geeft 225 fr. interest op 1 j., tegen 5 °10 î a
100R
22500
= -. - = -5- = tt
4500 fr.
397. VRAAGSTUK VII. - Iemand heeft 12500 {r. geplaatst, gedeeltelijk aan 4,50 en gedeeltelijk aan 4,25 % , Hij ontvangt hierover 548,75 fr. jaarlijkschen interest. Welk is elk kapitaal? %,
Indieu de gansche som uitstond tegen 4,50 0/0, zou hij 4,5 X 125 = 562,50 fr. jaarlijkschen interest ontvangen. Nu echter ontvangt hij 562,50 - 548,75 = 13,75 fr. min, omdat een deel tegen 4,50 - 4,25 = 0,25 fr. % min uitstaat. Als er 0,25 fr. min is staan er "
"
1
"
"13,75,,
"
100 fr. tegen 4,25 % , 100 4,25 0/0' 0,25 1375 4,25 0/0' 0,25 4,25 % , of: 5500 " 4,50 0;.. en: 7000 "
398. VRAAGSTUK VIII. - Iemand heeft 3 gelijke kapitalen uitgezet, respectievelijk tegen 3 3/4, 4 1/4 en 6 0/0, Welk gemiddeld percent trekt hij van zijn geld? Voor 300 fr. trekt hij 3 "
~+4}
+6 =
100"
14 fr.
14
"3
= 4
2
3" fr.
399. VRAAGSTUK IX. - Tegen welk percent geven 8000 fr. zooveel interest op een en zekeren tijd, als op denzelfden tijd samen zouden geven, 2000 fl'. tegen 4 %,3000 fr. tegen 5 %' 2500 fr. tegen 4,5 0;. en 500 fr. tegen 6 o;.? 2000 fr. tegen 4 % geven zooveel als 3000" " 5 " 2500" .. 4,5" " 500" " 6 , , 8000" " x "
8000 fr. tegen 1 % , 15000.. " 1" 11250" " 1 .. 3000" " 1 .. 37250.. " 1"
-
223-
37250 fr. geven den interest tegen 1 % 10 .. • 3725 .. 3725 8000 .. 8öO = 4,66
°10
omtrent.
400. VRAAGSTUK X. - Van twee kapitalen, samen 6000 fr., staat het eene uit tegen 3 3/4 en het andere tegen 4 1/2 %, Werden de pet'centen vet'wisseld, dan zou men jaarlijks 7,nO tI'. min intet'est ontvangen. Hoe g1'oot is elk kapitaal? %
Daar bij verwisseling der percenten de interest kleiner wordt, zoo staat het grootste kapitaal uit tegen het grootste percent. Was het kapitaal uitstaande tegen 4,5 0/0, 100 fr. grooter dan het andere, dan zou bij verwisseling der percenten 4,5 - 3,75 = 0,75 fr. min interest bekomen worden. Om 0,75 fr. min interest, staan er 100 fr. meer uit tegen 4,5 % , .. 7,5 .. .. 1000 .. » .. Kapitaal tegen 4, 5
010 =
3,75 .. =
1000
+ 6000 -1000 2 =
3500 fr. 2500 ..
-
224-
HOOFDSTUK 111.
Korting. 401. Een handelseffekt (wissel of remise), betaalbaar op een en gegeven vervaldag, heeft twee weerden : de nominale en de actuëeleweerde. De nominale weerde is de som die voluit moet betaald worden op den vervaldag. De actuëele weerde is de som die van nu af aan op interest uitgesteld,. tegen een zeker percent, op den vervaldag met kapitaal en interest gelijk is aan de nominale weerde. Iemand die voor een handelseffekt geld geeft vóor den vervaldag, mist den interest dien zijn geld tot aan den vervaldag zou gewonnen hebben, en heeft dus natuurlijk recht tot eene schadeloosstelling, welke van de nominale weerde Tan het effekt afgetrokken wordt. Men noemt korting, den aftrok op de nominale weerde van een handelseffekt dat vóor den vervaldag betaald wordt. Om billijk te zijn, zou de korting moe.ten gelijk zijn aan den interest der actuëele weerde: in den handel nochtans, rekent men altijd, als korting, den interest der nominale weerde af.
§ I. -
HANDELSKORTING OF KORTING BOVEN 'T HONDERD.
402. De handelsk01,ting of korting boven 't honderd van een effekt is de interest der nominale weerde, berekend naar een zeker percent, en voor den tijd die nog tot den vervaldag te verlpopen is. Die korting wordt geheel en gansch berekend zooals de enkelvoudige interest.
403. VRAAGSTUK I. - Welk is de korting van eenen wissel van 4500 ft·., betaalbaar na 34 dagen, tegen 6 °10 's jaars gekort? Men moet den interest zoeken van 4500 fr., voor 34 dagen, tegen 6 % " Men heeft (381):
R =
~ D
= 4500 X 34 = 25,50 fr.
6000
404. VRAAGSTUK II. - Welke wissel geeft VOOl' 34 dagen eene korting van 25,50 fr., tegen 6 Oio? Men heeft (385) : a
DR
= t =
6000 X 25,5 34
= 4500 fr.
-
225
405. VRAAGSTUK lIl. Op hoeveel tijd zal een wissel van 4500 fr., tegen 6 0/0' eene korting van 25,50 fr. geven? Men heeft (389) : t =
DR 6000 X 25,5 --;- = 4500 = 34 d.
406. VRAAGSTUK IV. - Tegen welk percent geeft een wissel van 4500 tl'., gekort 34 dagen vóór den vervaldag, eene korting van 25,50 f7.? Men heeft (390) : i =
§ II. -
100 R
2250
at
34 =6fr. 4500 X 360
KORTING BENEDEN 'T HONDERD.
407. De korting beneden 't honderd is de interest van de actuëele weerde, berekend naar een zeker percent, voor den tijd die tot den vervaldag te verloopen is. De korting beneden 't honderd is de billijke korting, daar zij gelijk is aan den interest der actuëele weerde. De andere korting of handelskorting is ten nadeele van den schuldeisscher, want, daar de nominale weerde gelijk is aan de actuëele weerde plus de korting binnen het honderd, zoo volgt daaruit dat de handelskorting gelijk is aan den interest der actuëele weerde, plus den interest van dien interest.
408.
VRAAGSTUK
I. -
BEREKENING
DER KORTING.
-
Welke is de korting beneden 't honderd, tegen 6 °10' van eene schuld van 4000 fr:, betaalbaar binnen 90 dagen? Men zal eerst berekenen wat 100 fr. zouden voortbrengen tegen 6 0/0, op den tijd welke tot den vervaldag nog te verloopen is, of 90 dagen. Die interest = 6 fr. X 39;0 = 1,50 fr. Dus: fr. 1,50 1,5 101,5 4000 X 1,5 101,5 "= 59,11 fr. op 0,01 fr. na.
Op 101,50 fr. nominale weerde, korting
"
1
" 4000
11\
-
226 -
Fórmuul. - Indien men door a de nominale weerde, door i het percent, door t den tijd in jaren voorstelt, dan is de korting k gegeTen door de formuul : k =
ait 100 it"
+
409. VRAAGSTUK 11. - Berekening der actuëele weerde. - Welke is de actuè'ele weerde van 4000 betaalbaar binnen 90 dagen, tegen 6 ?
rr.
%
Men kan eerst de korting zoeken, zooals in het voorgaande vraagstuk, en ze aftrekken van de nominale weerde. Men bekomt: Act. weerde
=
4000 - 59,11
=
3940,89 fr. op 0,01 fr. na.
Men kan ook, na den interest van 100 fr. tot op den vervaldag gezocht te hebben, volgender wijze redeneeren : Voor 101,50 fr. nominale weerde is er
100 fr. a<:tuëele weerde 100 101,5 100 X 4000 101,5 of 3940,89 fr. op O,Û1 fr. na.
1
"
4000
Formuul. - Zoo men door a de nominale weerde, door t den tijd in jaren, door i het kortingspercent voorstelt, heeft men de formuul :
100 a Act. weerde = 100
+ it'
410. VRAAGSTUK III. - Berekening van den tijd. Een schuldbl"ief van 10000 fr. is tegen 6 0;0, met 240 fr. gekort beneden 't honderd: wanneer was hij betaalbaar? 240 fr. is de interest der actuëele weerde, of van '10000 - 240 = 9760 fr_ Het vraagstuk is dus: Op hoeveel tijd geven 9760 fr. eenen interest van 240 fr., tegen 6 Ofo r t=
100 R
-;r-
=
100 X 240 9760 X 6 jaar = 4 maand en 28 dagen omtrent.
-
227-
411. VRAAGSTUK IV. - Berekening van het percent.
-Tegen welk percent ondergaat een schuldbrief van 4000 fr., betaalbaar binnen 4 maand, eene korting beneden 't honderd van 60 fr.? 60 fr. is de interest der actuëele weerde, of van 4000 - 60 = 3940 fr. Het vraagstuk is dus : Tegen welk percent brengen 3940 fr., op 4 maand, 60 fr. interest op' . t
=
100 R
---;a- =
100 X 60 4 = 4,59 fr. op 0,01 fr. na. 3940 X 12
412. VRAAGSTUK V. - Berekening der nominale weerde. - »'elke is de nominale weenle van eenen schuldbrief, betaalbaat· binnen ö maal/d, waarvan de k01'ting beneden
't honderd, tegen 6 0/0' öOO fr. bedraagt? ]00 fr. op 5 m. geven 6 fr. X Voor
2,5 fr. korting is er 1
"
500
~ = 2,50 fr.
102,50 fr. nominale weerde 102,5 2,5 102,5 X 500 -~"
of
interest.
20500
fr.
-
228-
HOOFDSTUK IV.
Tijdrekening van betaling.
413. Als eene schuld, in verschillige deelen, op verschillige tijdstippen, moet betaald worden, kan de schuldenaar begeeren zijne schuld in eens te betalen, of, als een deel van de schuld vóór den vervaldag betaald is, kan men vragen wanneer het ander deel van de schuld zal moeten betaald worden : dergelijke vraagstukken worden opgelost door de tijdrekening vaJi betaling. 414. VRAAGSTUK I. - Iemand moet 700 fr. betalen binnen ä maand, 1200 fl'. binnen 3 maand, 400 fr. binnen 8 maand, en 1000 ft'. binnen 9 maand. Men vraagt wanneet' hij die sommen in eens kan voldoen. Zoo de korting boven 't honderd berekend wordt, heeft de schuldenaar recht op den interest van 700 fr, gedurende 5 m., van 1200 fr. gedurende 3 m., van 400 fr. gedurende 8 m. en van 1000 fr. gedurende 9 m. Hij mag dus de 3300 fr. houden totdat dit kapitaal de som van die interesten opgebracht heeft. Het vraagstuk zal dus hetzelfde zijn dat in nummer 393 opgelost is : de 3300 11'. zullen na 5 m. 25 d. moeten betaald worden.
Bemerking. - De voorgaande oplossingsmanier is maar juist, voor zooveel er bepaald is dat de sommen die iu handen van den schuldenaar blijven, geenen inte"rest ten voordeele van den schuldeisscher geven. 111 de practijk echter is zij algemeen aangenomen en gevolgd.
415. VRAAGSTUK II. -...: Iemand moet 4000 fr. betalen binnen ö m. Als hij 1000 fl'. kontant betaalt, wanneel' moet hij de rest belalen ? Hij behoudt nog 4000-1000 =3000 fr. en heeft recht op den interest Tan 4000 Ir. gedurende 5 m. ofvan 20000 fr. gedurende 1 m. Op hoeveel tijd zullen 3000 fr. hem dien interest winnen t Met 20000 fr. wint hij dien interest op 1 m. ,,1000 .. 20 " " 3000 ..
~
=
6
~
m. =
6 m. 20 d,
-
229-
416. VRAAGSTUK lIl. - Iemand koopt een huis voor 20000 fl'. onder de volgende voorwaarden : 5000 fr. zullen kontant beta,ald w01'den, 5000 binnen 2 jaal' en de ,'est
binnen 3 jaat·. Op welk tijdstip zou hij alles in eens kunnen voldoen? 5000 fr. geven geenen interest aan den schuldenaar. 5000 fr. 2 j. geven den interest van 10000 fr. op 1 j, 10000nn3p n30000 nl" 20000 " " IX: " "40000 "1" .
op
40000 fr. geven den Interest op 1 j. 20000 n " 2 ". Hij zal dus alles na 2 jaar moeten betalen.
417. VRAAGSTUK IV. - Eell koopman koopt voor 9000 fr. koopwat'en. waarvan 1500 fr. betaalbaar na 1 m., 3000 fr. na 3 m., 2000 fr, na 5 m. en 2500 fr. na 8 m. Na 4 m. betaalt hij 7500 fr. Hoe lang zal hij het overige del'
verschuldigde som mogen behouden? De koopman heeft recht op de' interesten van: 1500 fr. 3000 " 2000 " 2500" of op den
op 1 m. of 1500 fr. op " 3 9000 » " " 5 " " 10000 " " "8,, "20000 .... interest van 40500 .. "
1 m. 1 " 1 P 1,, 1 "
Dool' 7500 fr. 4 m. te houden, heeft hij den interest genoten van 7500 fr. op 4 m., of 30000 fr. op 1 m. Hij heeft dus nog recht op den interest van40500-30000= 10500 fr. op 1 m. 10500 fr. winnen dien interest op 1 m. 100" " " 105 " 1500 "
"
105
15
= 7 m.
Hij moet dus 1500 fr. na 7 m. betalen.
418. VRAAGSTUK V. - Een koopman was 5000 fl'. schuldig, betaalbaar' na 8 m. Hij betaalt er 4000 vóór den vel'valdag, zoodat hij de 1000 overblijvelJde slechts na 15 m. moet betalen. Op welk tijdstip heeft de eerste betaling plaats gehad?
-
230-
De koopman heeft recht op den interest van 5000 fr. op 8 m., of 40000 fr. op 1 m. Nadat hij 4000 fr. betaald heeft, is hij nog 1000 fr. schuldig, welke hij gedurende 16 m. bewaart. Hij geniet zoo den interest van 1000 fr. op 16 m., of 16000 fr. op 1 m. Met de 4000 fr. moet hij dus de!! interest van 40000 - 16000 = 24000 fr. op 1 m. gewonnen hebben. 24000 fr. geven den interest op 1 m. 1000 .. .. 24 .. 4000 H H 6 .. H
De eerste betaling heeft dus na 6 m. plaats gehad.
419. In het oplossen van de voorgaande vraagstukken hebben wij verondersteld dat de ingeziene korting de handelskorting is. Wierd er echter met korting beneden 't honderd gerekend, dan is de voorwaarde van oplossing, dat de actuëele weerde van de vereenigde schuld gelijk zij aan de som der aetuëele weerden der verschiIIige schulden. Daarom zal het kortingspercent niet onverschillig zijn. Hernemen wij Vraagstuk I. VRAAGSTUK. Iemand moet 700 ft·. betalen binnen ö m., 1200 {r.. binnen 3 m.,400 {r. binnen 8 m. en 1000 fl'. binnen 9 m. Men vraagt wanneer hij de schuld in eell.~ zal mogen betalen, zoo de korting beneden 't honderd, tegen 6 0/0' inge-
zien wordt? Zoeken wij eerst de som der actuëe!e weerden van de vier schulden. daartoe de formuu! van nummer 408 gebruikende: 100 X 700 70000 101e Act Act.. weerde = = - - - - = 5- == -= = 682,93 fr. 102,5 100+6 X 12 2de
34•
4de
100 X 1200 120000 --:"":"'-""3:3 = 101,5 = 1182,27 fr. 100+6 X ï2 100 X 400 40000 ----...,8::8 = 104 = 384,62 fr. 100+6 X ï2 100 X 1000 100000 ----'--...,9;:104,5 = 956,65 fr. 9 = 1045 100+6 X 12 ' Som der actuëele weerden = = 3206,47 fr.
-
231-
De korting beneden 't honderd van de eenige schuld van 3300 fr. zal dus moeten zijn: 3300 - 3206,47 = 93,53 fr. Het vraagstuk wordt nu (410): Op hoeveel tijd zal een kapitaal van 3206,47 fr., tegen 6 %, een en intrest van 93,53 fr. geven ~ t
=
100R
9353
-ar- = 3206,47 X 6 jaar = 5 m. 25 d. omtrent.
- 232HOOFDSTUK V.
Winst en verlies, tare, commissie, plaatschange, afslag, verzekerings-premie. 420. De berekening percentsgewijze, waarvan wij in de vraagstukken over interest en korting menigvuldige voorbeelden gezien hebben, wordt ook dikwijls gebruikt in de vraagstukken over winst en verlies, tare, commissie, plaatschange, afslag, verzekerings-premie. De tare is de aftrok op het bruto-gewicht van koopwaren om de kisten, balen, vaten, enz., in welke die koopwaren ingepakt zijn. Het verschil tusschen de tare en het bruto-gewicht is het netto-gewicht. De commissie en de courtage zijn de loon die de makelaars in koopwaren en geld weerden genieten voor eIken koop of verkoop dien zij sluiten. De plaatschange is de aftrok dié:n een bankier doet op eenen koophandelseffect betaalbaar op eene afgelegen plaats. De afslag is een aftrok die den kooper voor kontante betaling toegestaan wordt. De verzekerings-premie is de som welke jaarlijks of in eens aan de verzekeringsmaatschappij betaald wordt.
421.
I. - Iemand koopt wal'en VOO1' 415 {7'. winnen op den inkoopprijs. Welke zal zijne
VRAAGSTUK
Hij wil 15 winst zijn?
%
Winst
=
4,15 X 15
=
62,25 fr.
422, VRAAGSTUK 11. - ZOO men eene koopwaar 40,50 f", verkoopt, verliest men 9 % , Hoeveel zal men ze moeten Ve1'koopen om 15 % te winnen? 0,91 inkoopprijs = 40,5 fr. 1 1,15
=
40,5 0,91 " 40,5 X 1,15 0,91
=
~
51,18 ir. op 0,01 na.
423. VRAAGSTUK 111. - Iemand wint 5 partij koopwaren en 10 % op de rest. Hoeveel geheel de partij?
%
%
op 3/7 eene,' wint hij op
-- 233 3
4°10 op --77 10
0oio !0 "
= partij =
4 7
12
7°/0 7°/0 op gansch de partij. 40
- -7" =
% %
"
"
~ Samen 7" °10 op gansch de partij. 7
'ó% en 424. VRAAGSTUK IV. - Iemand wint op 3/7 partij nO/o (Jp de rest 1'est verliest hij 10 %,' Hoeveel °10 wint ofv~rliest ofW1'liest hij op gansch de partij? 15 3 .. 5 °10 winst op '"77 partij = = ""7 7"
10 010 verlies "
4
°10 winst op de gansche partij.
40
7"
7 °l. °10 verlies" Verschil
"
~
""7 "7 °10 verlies op de gansche partij.
425. VRAAGSTUK V. - Iemand wint n 'ó % op den verkoopve1'koopprijs. Hoeveel wint hij op den inkoopprijs? %
op 100 fr. verkoopprijs is er 5 fr. winst. Dns: Op 95 fr. Cr. inkoopprijs is er 5 fr. winst. Op
5
1 "
95 500 95
Op 100 "
5 Hij wint dus 5 19
%
= =
5 5 19 fr.
op den inkoopprijs.
426. VRAAGSTUK VI. -- Een handelaar' handelaal' ontvangt eene kist koopwaren wegende bmto 240 Kg. Wat zal hij moeten betalen, zoo de tare 2 010 is, hem eenen afslag van 3 0i" % wordt koopwa1'en 16, 16,öO fr, den Kg. Kg, netto kosten? toegestaan en de koopwaf'en DO tI'. %
= 4,8 Kg. Tare, 2 °10 op 240 Kg. = Nettogewicht, 240 - 4,8 = = 235,2 Kg.
Prijs 235,2 Kg. aan 16,5 fr. = 3880,80 Cr. fr. Afslag 3 °10 == 116,42 fr. fr, Blijft te betalen 3764,38 fr.
-
234-
427. VRAAGSTUK VII. - De lading van een schip is vel'zekerd tegen 4, 0/0, voor eene weerde van 900,000 fr. Deze lading ondergaat eene schade van 41>900 fr. Wat verliest de verzeket'ingsmaatschappij? De maatschappij betaalt. . . . . . . . . . 45900 fr. ontvangt 4 % op 900000 fr. 36000 .. verliest . . . • . . . . 9900 fr.
428. VRAAGSTUK VIII. - Iemand heeft zijne meubelsverzekerd tegen brandgevaat· voor eene geschatte weerde Vall 71>00 fr. tegen 3,1> 0/00' Welke is de verzekeringspremie? Premie = 7,5 X 3,5 = 26, 25 fr.
429. VRAAGSTUK IX. - Iemand verkoopt eenzge Kg. koffie voor 1,60 fr. den Kg. en wint hierdoor 16 fr. Hij krijgt echter van 12 Kg. geene betaling en verliest nu 1> 0/0. Hoeveel Kg. heeft hij verkocht en hoeveel is de Kg. ingekocht? Als hij van 12 Kg. geen geld krijgt, ontvangt hij 1,6 X 12 = 19,20 fr. min. Daardoor verliest hij
19,20 - 16 = 3,20 fr. 0,5 inkoopprijs = 3.20 fr. 3,2 = 64 0,5 De verkoopprijs = 64 16 = 80 Het aantal Kg. = = 50 1,6 I
=
+
.. Kg.= 50 64 = DeprlJsper
r. 80 fr. Kg.
128fi , r.
430. VRAAGSTUK X. - Een vat tabak wordt vel'kocht met 10 Kg. tare, tegen 2,40 2 1/2 afslag. Hoeveel heeft men voor dit betaald, als men rekent 12 1!l. % gewonnen te %
f
zwaar 681> Kg. fr. per Kg. en vat bij inkoop hebben?
Nettogewicht = 685 -10 = 675 Kg. 675 Kg. aan 2,40 fr. den Kg. . . . • . 1620 2
I
'2 "/0 afslag.
•...•..•... BI~ft
te betalen.
fr.
40,50 1579,50 fr.
-
235-
Daar bij die betaling 12,5 °10 gewonnen wordt: 1,125 inkoopprijs = 1579,50
=
1
1579,5 1,1125
=
1404 fr.
431. VRAAGSTUK XI. - Vijftien balen koffie, elk van 72 Kg. nettogewicht, worden gekocht tegen 0,84 fr. den Kg. Door het branden verliest de koffie 25 % aan gewicht, en dool' den verkoop in h~t klein verliest men nog 10 Kg. Tegen welken prijs zal men 1 Kg. moetenverkoopen om 111/9 te wintten? %
Elke baal wordt, na het branden, van 72: 3 = 54 Kg. Elke baal, verkocht in 't klein, geeft 54 Die 53
~
~ = 53
Kg. moeten opbrengen:
Voor inkoopprijs van 72 Kg. aan 0,84. . . •. Voor 11
I
'9
%
of
1
"9
2.3 Kg.
15
inkoopprijs winst. • ••
60,48 fr. 6,72 fr.
Samen 67,20 fr. 67,2 1 Kg. moet dus verkocht worden 53 1/3 = 1,26 fr.
432. VRAAGSTUK XII. - Een koopman koopt 1600 Kg. rijst, die hij, na eene korting van 2 1/2 % voor kontante weerde, met 1372,80 fr. voldoet. Bepaal den inkoop pel' tiO Kg. 1 inkoopprijs - 0,025 inkoopprijs
=
1372,80 fr.
0,975
= 1372,80 fr.
1
=
1372,8 0,975 = 1408 fr.
1600 Kg. kosten 1408 fr. 1408 50. .. 32"= 44 fr.
433. VRAAGSTUK XIII. - Een winkelier heeft koffie ingekocht en verkoopt die met 19 °10 winst. Had de koffie dOOIhet branden niets aan gewieht verloren, dan zou hij 40 °(0 gewonnen hebben. Hoeveel is de koffie ten honderd ingebmnd?
-
236-
Ware de koffie niolt ingebrand, clan zou hij voor elke 100 Kg. den inkoop van 140 Kg. ontvangen hebben. Nu ontvangt hij slechts den inkoop van 119 Kg. of 21 Kg. min. Op 140 Kg. zijn er dus 21 Kg. ingebrand. 3
"
10 "
" 100
"
'2 " .. 15 "
434. VRAAGSTUK XIV. - Iemand verkoopt van eene partij koopwaren, de helft tegen 4 ft', per Kg. en de andere ,helft met 0,40 fr. winst per Kg. Hij wint zoo gemiddeld 12 1/2 0/0' Welk was de inkoopprijs van 1 Kg.? Had hij voor eIken Kg. der eerste helft 0,40 fr. meer ontvangen, -en voor eIken Kg. der tweede helft 0,40 fr. min, dan zou hij in 't geheel ·dezelfde som ontvangen hebben. Elke Kg. der eerste telft zou dan 4,40 fr. kosten, en elke Kg. der tweede helft tegen den inkoopprijs verkocht worden, zoodat hij op de eerste hel1t alleen zou winnen. Om op de gansche partij 12 rf2 oio te winnen, moet hij op de helft der partij 12 Ij2 X 2 = 25 % winnen. 1,25 inkoopprijs = 4,40. 4,4 1 = 1 25 = 3,52 fr. ,
435. VRAAGSTUK XV. - Een handelaar koopt eene partij tabak tegen 1,00 fr. den Kg. en krijgt 10 ovel'wicht. Daar hij later genoodzaakt i.s de partij tegen 1,20 fr. den Kg. te .verkoopen, verliest hij in 't geheel 270 ft'. Hoe zwaar weegt .de partij? %
1,1 Kg. kost bij inkoop 1,50 fr. 1,5 15 1 l,l=ïïfr. 1 Kg. wordt verkocht 1,2 fr.
6
= '"5
15 Hij verliest per Kg. 11 -
6
5'
9 Om 55 fr, te verliezen verkoopt hij 1 ..
" 270 ..
fr. per Kg.
9
=
55 fr.
1
Kg.
55 9
55 X 270 - - 9-
"
=
1650 Kg.
-
237-
436. VRAAGSTUK XVI. - Iemand koopt twee even g/'ootestukken laken, het eerste tegtn 12 en het tweede tegen 15 fr. den m. Hij verkoopt het eerste met 16 2/3 nlg verlies. Het tweede verkoopt hij, 2/5 met 12 % winst, en de rest met 20 winst. llij willt in 't geheel 26 rr. Hoeveel meet elk stuk? %
. 16 2/3 Op 1 m. eerste stuk is 12 X - = 2 fr. verlies. 100 Op het tweede stuk wint hij gemiddeld 2 3 4 5 X 0,12 5 X 0,2 = 16 5 % ,
+
Op 1 m. tweede stuk is er 15 X
16
4/5
100 =
Op 1 meter I·to en 1 m. 2de stuk is er 2,52 -
2,52 fr. winst. 2 = 0,52 fr. winst.
Om 0,52 fr. te winnen is er 1 m. van elk stuk. 1 1 " 0,52 " 26 26 .. = 50m. 0.52 "
437. VRAAGSTUK XVII. -Men l.erkoopt een handelseffect betaalbaar binnen 20 dagen, met korting tegen 6 0/0' plaatschange 1/2 %, commissie 1/3 % , cou7·tage 3/4 %0' Welk is het bedrag van dit effect, zoo men el' 2957,75 fr. van bekomt? Aftrok op een effect van 100 fr. nominale weerde: 1 Korting op 100 fr. voor 20 d. tegen 6 0/0' 3 fr. 1
2
%
. plaatscliange
1 .. • % commISSIe 2 3 4
0/00
0,50
"
0,50
"
0,075 "
courtage. Samen.
. (1,075
Op een effect van 100 X 3 fr. zal de aftrok zijn (1,075
+ Dfr.
+DX 3 =
4,225 fr.
Men k~i.!gt300 -- 4,225= 295,775 fr. voor 300 fr. nominale weerde. 2957,75 " "3000,,
438. VRAAG~TUK XVIII. - Welke wissel, die bij het negot:eeren 1 "/0 verliest, zal heden 7250 fr. weerd zijn? Zoo dikwijh; de wissel heden 99 fr. weerd is, is de nominale weerde 100 fr.
- 238 Nominale weerde = Practisch, daar
100
99
7250 X 100 99
7323,23 fr. op 0,01 fr. na.
= 1,010101 ..... = 1
+ 0,01 + 0,0001 +
+ ....., kan men het bovenstaande product volgender wijze
0,000001 berekenen:
7250 X 1 fr. 7250 X 0,01 7250 X 0,0001 "
439.
= 721>0 fr. 72,50 0,725 " 7323,23 fr.
XIX. - Welke wissel, die bij het verliest, zal heden 7800 fr. weerd zijn?
VRAAGSTUK
uegotieeren 3/4
%
Zoo dikwijls de wissel heden 99,25 fr. is, zal de nominale weerde 100 fr. zijn. . 7850 X 100 Nommale weerde = 99,25 = 7909,32 fr.
440. VRAAGSTUK XX. - Een bankier van Antwerpen neemt van eenen handelaar de volgende effecten : 1 een effect op Luik, van 10000 fr., betaalbaar na 20 dagen, 20 een effect van 3000 fr. op Gent, betaalbaar op ot) dagen, 3° een effect op Brussel, van 4000 fr., betaalbaar na 80 dagen. Maak de kortingsl'ekening op, zoo de bankier kort tegen 6 0/0, met 1/2 oIo commissie, 1/4 % plaatschange en 3/4 0/0• courtage. 0
NOMINALE WEERDEN. \
DAGEN.
GETALLEN.
10000 3000 4500 17500 fr.
25 55 80 Som der getallen
250000 165000 360000 775000
129,17 fr. korting (775000 : 6000)
010
op 17500)
43,75 fr. plaatschange ( {
010
op 17500)
13,13 fr. courtage
0/00
op 17500)
87,50 fr. commissie
273,55 fr. ---=-=-~~
17,226,45 fr.
({
( }
Netto.
In de bovenstaande rekening zijn de getallen het product van de nominale weerde met het aantal dagen : zij duiden hier 6000,te van eenen frank aan, daar de vaste deeler 6000 is.
-
239-
HOOFDSTUK VI.
Fondsenrekening.
§ I.
RENTE OP DEN STAAT.
441. Staatseffecte~ of obligatiën zijn schuldbekentenissen door den Staat afgelevel'd over geleend geld, voor hetwelk ·een interest betaald wordt. In België, hebben de staatseffekten eene nominale weerde van 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000 en 10000 fr. en brengen eenen jaarlijkschen interest of rente op van 2 1/2, 3 of 4 0/0. berekend op die nominale weerde. Volgens het percent onderscheidt men de 2 I/Z, 3 of 4 % ·effecten, of de rente 2 I/Z. 3 of 4 "/0. De interest wordt betaald op bepaalde kantoren en tweemaal 's jaars, -den 1 Mei en den 1 November.Daartoe zijn bij elk effect Coupons gevoegd, welke men moet afgeven als men den interest gaat ontvangen. Elk coupon draagt de dagteekening waarop men er geld kan voor krijgen, en heeft voor weerde de helft van den jaarlijksehen interest. Benevens de onverandArlijke nominale weerde hebben de effecten nog -eene veranderlijke reëele weerde, die niets anders is dan de prijs tegen welken zij op de Beurs verkocht worden. De prijs op de Beurs van een effect van 100 fr. heet de koers der rente. Zegt men b. v. de koers der rente 4 % is 104,25, dan beteekent men dat, op de Beurs, eene obligatie van 100 fr., 4 fr. rente gevende, 104,25 fr. verkocht wordt. De staatseffecten worden op de Beurs gekocht en verkocht door tusschenkomst van makelaars die eenen loon of courtage ontvangen van 1 0/00 op elk stuk dat zij koopen of verkoopen. Als men effecten koopt, moet men, benevens den prijs volgens den koers van den dag berekend, nog aan den verkooper betalen de verloopen .interesten, te beginnen van den laatsten vervaldag der Coupons. Op die interesten nochtans ontvangt de makelaar geen courtage.
442. VR4.AGSTUK I. - Hoeveel moet een makelaar op 1 Mei betalen voor 4 obligatiën van 100 Belgische rente 2 1/2 °10, als de koers 57,50 is?
rr.
rr.
Daar de coupons op 1 Mei vallen, is er geene schadeloosstelling voor verIoopen interest. Inkoopprijs
=
57,5 X 4
=
230 fr.
-
240-
443. VRAAGSTUK 11. - Hoeveel moet een makelaar den 1 November betalen voor 5 obligatiën van 1000 rr. 3 °10' als de koers 61,30 rr. is? Inkoopprijs = 61:3 X 5 = 3065 fr,
444. VRAAGSTUK lIl. - Hoeveel moet iemand, iu elkeen del' gevallen van de voorgaande vraagstukken, aan den makelaar betalen met de courtage? 4 obligatiën, rente 2 Ijz °jo, koers 57,50, , , , Courtage 1 °/00 ' • ' , , " "". Samen,
230 fr, 0,23 " 230,23 fr.
5 obligatiën, rente 3 °10, koers 61,30 , , , , • Courtage 1 0/00 " " . . . , Samen, ,
3065 fr. 3,07 " 3068,07 fr,
445, VRAAGSTUK IV. - Iemand koopt, den 1 Meert, 6 obligatién van 100 rl' ,'eu te 4 °10' aan den koers 105,75. Hoeveel moet hij betalen VOOI' den interest verZoopen sedert den vervaldag der coupons? Van 1 November tot 1 Meert zijn er 30 X 5 = 150 dagen, Daar de interest voor elke obligalie 2 fr, op 180 dagen is, heeft men Interest voor de 6 obligatiën = 2 X
446, VRAAGSTUK 10 obligatiën ,'eute 2
150
i80
~
X 6 = 10 fr,
V, - Iemand koopt den 27 Augustus, 1/2 % , aan den koers 57,50. Hoeveel
moet hij betalen met interest en courtage? 10 stuks van 100 Cr" 21fz 010, koers 57,50. , Interest voor 116 dagen , • , , • • Courtage 1 °/00 op 575 fr, • , • , , • , • • Samen,
575,00 fr. 16,11 " 0,58 " 591,69 fr.
447. VRAAGSTUK VI. - Welk is, met interest en courtage, de prijs van 810 fr. rel/te 3 0/0, aan den koers 72,50, gekocht den 7 Augustus?
-
241-
Om 810 fr. rent te bekomen, moet men
810 3 = 270 obligatiën van
100 fr. koopen. 270 stuks van 100 fr., 3 % , koers 72,50 19575,00 fr. Interest voor 96 dagen. 216,00 " Courtage 1 %0 op 19575 fr. 19,58 " Samen': 19810,58 fr.
448. VRAAGSTUK vno - Welk percent kt'ijgt men van zijn geld, zoo men rente 4 % koopt, aan den koers 105? De interest van 105,5 fr. is 4 fr.
,,100
449.
""
4 X 100
lo55 , =
VRAAGSTUK VIII. -
koopen aan den koers 70, of 4
%
3,79 fr. op 0,01 fr. na.
Wat is vool'deeligel', 3 % te aan den koers 105?
1 fr. rente 3 % aan den koers 70 kost 1"
"4,,
" 105
70
3" =
23,33 fr.
105 "--,=26,,26.,, 4
Dus is de rente 3 % voordeeliger.
450. VRAAGSTUK IX. - Als de koers der rente 3 % staat op 73, welk moet dan in overeenkomst de koers der rente .. % zijn? 3 fr. rente kost 73 fr. 73 1 " " 3"
4 "
73 X4 " - 3 - = 97, 33 fr. op 0,01 fr. na.
451. VRAAGSTUK X. - Men heeft, zonder courtage noch interesten, eene rente van 300 ti·. 3 °1o, 7250 fr. betaald, welk is de koers? Hr zijn
3~0 =
100 obligatiën van 100 fr.
Elke obligatie kost 72,50 fr.
46
-
452. 1 Mei, voor
242-
XL Hoeveel rente 3 010 zal men, op ft'. kunnen koopen aan den koers 84,7, de
VRAAGSTUK
~oooo
courtage medegerekend? Eene obligatie vat) 100 fr. kost. . . . Courtage 1 0/00 per obligatie . . . . . Samen.
84,70· f.... 0,0847 • 84,8747 fr.
Zoo dikwijls men 84,7847 fr. heeft, kan men 1 obligatie van 100 fr. 30000 koopen, of 84,7847 = 353 obligatië:J. Uit de deeling ziet men dat er nog ïl fr. moet overblijven. Hij kan dus 3 X 353 = 1059 fr. rente koopen.
453. VHAAGSTUK XII. - Hoeveel rente 3 "10, zal men, op 1 Februari, mei interesten en courtage koopen voor 30000 fr., aan den koers 84,7 ? Eene obligatie van 100 fr. kost. . . Courtage 1 0/00 per obligatie . . . . Interest voor 90 dagen per obligatie . Samen.
84,70 fr. 0,0847 • 0,75 85,5347 fr.
Zoo dikwijls men 85,5347 fr. heeft, zal men 1 obligatie van 100 fr. 30000 . kunnen koop en of 85,5347 = 350 obllgatiën. De deeling wijst aan dat er 62,86 fr. overblijft. Hij kan dus 3 X 350 = 1050 fr. rente koopen.
§ 11.
ACTlgN E:'
454. Het kapitaal van een genootschap bestaat uit actië'n die eene vaste nominale weerde hebben. Deze actiën geven geenen interest, maar hebben deel aan de jaarlijksche winst. De winst die aan elke actie toekomt, is de dividende. Het genootschap kan obligatiën uitgeven. die, evenals de obligatiën op den Slaat, eenen vasten interest opbrengen. In geval van likwidatie, ûjn de obligatiën bevoorrecht, 't is te zeggen, dat zij vooruit moeten betaald worden. De actiën en obligatfen worden op de beurs aan veranderlijke prijzen gekocht en verkocht.
-
243-
455. Steden of provinciën kunnen ook leeningen aan:gaan en obligatiën uitgeven. Elke titel heeft eene vaste nominale weerde, dikwijls van öO tot 100 fr., en eene veranderlijke reëele weerde. Die obligatiën worden meestal terugbetaald volgens trekkingen, die op bepaalde tijdstippen plaats hebben. Sommige leeningen zijn met premiën, wanneer hij die trekkingen de eerst uitgekomene nummers boven de nominale weerde uitbetaald worden. 456. VRAAGSTUK I. - Iemand koopt, tegen den koers 94, obligatién die 9494 fr. 1'eëele weerde hebben, en 4 % opbrengen. Hoeveel titels koopt hij? Welke rente verkrijgt hij? Tegen welk percent is zijn geld geplaatst? Hij koopt
9494
94
= 101 titels.
4 X 101 = 404 fr. 404 Percent = 94 94 = 4,25 fr. °fo op 0,01 fr. na.
Rente
=
,
457. VRAAGSTUK Il. - Iemand koopt obligatiè'n van 1200 fr. nominale weerde VOOI' 7524 fr. Deze obligatièil geven 4 1/2 % interest. Tegen welken koers heeft hij ze gekocht en welke rente bekomt hij? Koers = Rente
=
7524
"72" 4,5
= 104,50
fr.
X 72 = 324 fr.
458. VRAAGSTUK lIl. - Iemand koopt den 1 Juli, aan den koers 103, ;) obligatiè'n van 100 fr. en verkoopt ze den 1 October, aan den koe1's 104,7;). Wat zal hij ontvangen? Hoeveel heeft hij gewonnen? Welk waar percent wint hij met zijn geld? De coupons vervallen op 1 Januari en 1 Juli. De. courtage is 1 %0' 5 ohI. aan 103 fr . • . . . Courtage 1 °foo op 515 fr . Inkoopprijs.
• 515,00 fr. 0,52 " • 515,52 fr.
-
244-
5 obI. aan 104,75. • • . • • 523,75 Cr. 3 maand interest • • • • • • 5,63 .. Som . . • (29)8 fr. 1 a/aa courtage op 523,75 af te trekken. 0,52 .. Verkoopprijs. • . 528,86 fr. Inkoopprijs af te trekken. • . 515,52 .. Winst van 515,52 fr. op 3 m. . •• 13,34 fr. 100 R 1334 1 =10,35 fr. 010 's jaars op 0,01 fr. na. Percent = -;;e = 515,52 X 4"
459. VRAAGSTUK IV. - Iemand bezit obligatiën aan n0/0 die hem 400 fr. rente opbrengen en waarvan de koers 98 is. Eene daling voorziende, verkoopt hij ze, en, daar de daling inderdaad plaats heeft en de koers 95 wordt, koopt hij aan dezen koers eene rente van 400 fr. Hoeveel heell hij gewonnen. zoo men courtage en coupons buiten rekening laat? 400 Hij heeft 5 = 80 obligatiën. Verkoopprijs: 80 obligatiën aan 98. •. 7840 fr. .. 95.. . . 7600 fr. Inkoopprijs: 80 Winst . • • . . . . . . • • • • . • . • .~
460. VRAAGSTUK V. - Ik verkoop 10 actië'n van eenen ijzerweg aan den koers n2ö. Een jaar later verkoop ik ze aan den koe/'s 53n, na 24n fl'. dividenden genoten te hebben. Welk pct heeft mijn geld voortgebracht? Boni bij verkoop 10 X 10 fr. . • Dividenden. • • • • • • • Winst met 5250 fr. op 1 j •• 100R 34500 Percent = at = 5250 .
.100 fr . • 245 fr. • 345
fr:
•
6,57
%
op 0,01 na.
461. YRAAGSTUK VI. - Iemand heeft actiëh gekocht aan 480 fl'. 't stuk. Na één jaar verkoopt hij ze aan 500 fr., na eerst 9 1/6 % van zijn geld getrokken te hebben. Indien de Maatschappij 5000 actiën heeft· uitgegeven, vraagt meI, de uitgedeelde dividenden.
-
245-
Hij wint op 480 fr., 9 lIs 010' • • • 44 20 " uit verhooging van prijs 500 - 480 " uit dividende het verschil. • • . • 22 De dividende is 22 fr. per actie en in het geheel 22 X 110000 fr.
fr. " fr. 5000
462. VRAAGSTUK VII. - Iemand koopt 50 actiën aan 1250 fr., betaalbaar op het einde der maand. Hij verkoopt ze op staanden voet, betaalbaar op hetzelfde tijdstip, voor eene totale som van 63050 fr. Hoeveel percent wint hij? Bij verkoop is de koers
63050
50
= 1261 fr.
Op 1250 fr. wint hij 1261- 1250 = Op 100 "
§ 111.
11 fr. 110 125 = 0,89 010 op 0,01 na.
SPAARKAS ONDER WAARBORG VAN [JEN STAAT.
463. De Spaarkas onder waarborg van den Staat \lntvangt geld ten interest in hare bijzondere bureelen, in die der Nationale Bank en in al de postbureelen van 't land. De kleinste storting is van 1 fr. en elke storting van een juist aantal franken. De storter onhangt een Spaarboekje dat als titel dient. De opvolgende stortingen worden op het boekje gebracht door den agent die ze ontvangt. In geval van verlies, kan het boekje vervangen worden door een ander, mits betaling van 0,30 fr. In de postbureelen kunnen de gestorte gelden geheel of gedeeltelijk terugbetaald worden, 'tzij zonder voorafgaande aanvraag, indien de som kleiner is dan 100 fr.; 'tzij mits aanvraag, 15 dagen, 1 maand, 2 maanden, 6 maanden vooraf gedaan, volgens dat de terug te betalen som grooter dan 100, 500, 1000 of 3000 fr. is. Men ontvangt er niet meer dan 5000 fr. op éénen naam gestort. De gestorte gelden brengen ir.terest op te beginnen van den opvolgenden 1ston of 16den der maand. Zij houden op interest te geven, van den l sten ofl6 den die de terugbetaling voorafgaat. De interest is berekend aan 3 010; maar hij kan alle 5 jaar vermeerderd worden door de verdeeliug, tusschen de boekjes die minstens sedert een jaar bestaan, van elln deel van het reservefonds, naar evenredigheid van de geboekte interesten. Zoo is van het einde van 1875 tot het einde van 1880, de ware interest 3, 4 % 's jaars geweest.
-
246-
Wanneer de interesten op het einde van elk jaar niet worden opgehaald, voegt men ze bij het kapitaal, ZDodat zij, van den 1 Januari af, zelf in terest geven.
464. VRAAGSTUK I. - Iemand stort op 31 December 1882, eene som van '100 fr. in de spaarkas, en trekt ze er uit op 2 Januari 1885. Hoeveel ontvangt hij? Kapitaal, 1 Januari 1883 . Interest, 3 0/0' . . . . . Kapitaal, 1 Januari 1884 . Interest, 3 % , • , • • • Weerde op 1 Januari 1885
100 fr. 3 103 3,09 .. 106,06 fr.
465. VRAAGSTUK Il. - Iemand stort op 13 Februari. 1250 fr. in de Spaarkas, en trekt ze er uit op 27 September.
Hoeveel ontvangt hij? De interesten loopen van 16 Februari tot 16 September of 7 maand. Hij zal dus ontvangen: Voor het kapitaal . . . . . . . . Voor den interest, 12,5 X 3 X
. 1250
1~ .
fr.
21,87 ..
Samen.
, 1271,87 fr.
466. VRAAGSTUK 111. - Iemand stort, den laatsten dag van elke maand, 10 fr, in de spaarkas. Hoeveel zal hij op 't einde van 't jaar hebben? Interesten op het einde van '1 jaar: Op de storting van laatsten Januari,
11 0,30 X 12'
0,27 fr.
Februari,
10 0,30 X 12'
0,25 ..
Maart,
0,30 X
12'
0,22 ..
April,
8 0,30 X 12'
0,20 ..
Mei,
0,30 X
12'
Juni,
0,30 X
Th' •
9
7
6
0,17 .. 0,15 ..
247 5
12'
0,12
»
4 Augustus, 0,30 X 12'
0,10
»
Juli,
0,30 X
September, 0,30 X October,
0,30
3
12' 2
X 12'
November, 0,30 X
1
12'
December . . . . . . Som der interesten . . . . . . Som der gestorte sommen 10 X 12 Kapitaal en interesten op 31 December
0,07 " 0,05 • 0,02
»
0,00 » 1,62 tj:. . 120,00 » . 121,6Ü-;:.
Bemerking. - Bij het berekenen der interesten worden de breuken van centiemen verwaarloosd.
467. VRAAGSTUK IV. - Iemand doet stortingen zooals in het voorgaande vraagstuk gedurellde 3 jaar. Hoeveel zal hij op het einde van dien tijd bezitten? Volgens de oplossing van het voorgaande vraagstuk, bezit hij, na het l,te jaar, 121,62 fr. Daar de stortingen voortgaan, zal het kapitaal elk jaar 121.62 fr. grooter wordelI. Op het einde van elk jaar zal men nog bij het kapitaal moeten tellen den interest van het iogangskapitaal van dat jaar. opmerkende dat, in de berekening van den interest, de centiemeu van het kapitaal verwaarloosd worden. Kapitaal van het 2de jaar . . . . . . Interest tegen 3 % van 121 fr . . . . . Gestorte gelden met interest (2 de jaar) Kapitaal van het 3de jaar . . . . . . Interest tegen 3 % van 264 lr. . . . . Gestorte gelden met interest (3 d • jaar) Eindweerde .
· 121,62 fr. 3,63 " · 121,62 » • 246.• 87 "
7,38 " · 121,62 " · 375,87 fr.
-
248-
HOOFDSTUK VII.
Evenredige verdeeling en gezelschapsrekening. 468. Een getal in evenredige deelen met gegeven getallen vel'deelen, is het verdeelen in deelen waarvan de verhoudingen tot die getallen onderling gelijk zijn. 469.
VRAAGSTUK
I. -
360 verdeelen in 3 deelen even-
redig met de getallen 2, 3 en Zoo men de drie deelen IV:
IV,
o.
y, z noemt, zal men bebben :
2 = Y : 3 = z : 5.
WaarAit, als gevolg van de eigenschap van nummer 317 :
+y +z : 2+3 +5 = 2 = Y : 3 = Daar nu x + y + z = 360, beeft men: IV
IV :
360 : 10
= IV : 2 360: 10 = y: 3 360: 10 = z : 5
}
waaruit:
l
[1)=
z : 5.
72
y = 108 z = 180
Oplossing door herleiding tot de eenheid. - Daar 2 zoo dikwijls in bet eerste deel begrepen is, als 3 in het tweede, en 4 in bet derde, mag men de oplossing schrijven zooals door de volgende tafel voorgesteld wordt : Op 10 "
1
" 360
l_ to deel. 2 2 10 2 X 360 10 of: 72
2de deel. 3 3 10 3X 360
---w108
3do deel. 5 5
ïO 5X 360
10 180
In het algemeen, om een getal te verdeelen in deelen evenredig met gegeven getallen, deelt men het door de som dier getallen, en vermenigvuldigt het quotient door elkeen dier getallen.
470.
VRAAGSTUK
t 3;)
d'
249-
11. - 1521 verdeelen in 3 deelen even4
re tg me 5'""6 en 9'
Men herleidt eerst de breuken tot hunnen kleinsten gemeen en .. 54 75 40 noemer; ZIJ worden 90' 90 en 90' Daar deze gelijknamige breuken -evenredig zijn met hunne tellers, zoo zal het vraagstuk nu worden: 1521 verdeelen in 3 deelen evenredig met 54, 75, 40. 1521 : 169 = x : 54 1521 : 169 = y : 65 1521 : 169 = Z : 40
,
~
waaruit:
x=486 y=675 z=360
Oplossing door herleiding tot de eenheid.
Op "
deel. 3
3d• deel. 4
x
5
169
54
2de deel. 5 6 75
90
4ö
9ö
9ö
75 75 169 75 X 1521 169 675
40 40
late
" 169 1 " 1521
54 54 169 54 X 1521 169 486 of:
9" 40
16 40 X 1521 169 360
471. VRAAGSTUK UI. Verdeel 1060 in 3 deelen, zoodallig dat het eerste sta tot het tweede gelijk 3 : 5; en tot het derde, gelijk 4 : 7. Zoo de 3 onbekende voorgesteld worden door x, y. z, heeft men:
x:y=3:5 x:z=4:7 Vermenigvuldigen wij beide termen der verhouding 3 : 5 met 4, en beide termen der verhouding 4 : 7 met 3, dan veranderen de weerden der verhoudingenniet,en de voorgaande termen worden gelijk. Men heeft: x: y = 12: 20 x: z = 12: 21
bijgevolg : en : x
} waaruit (310) : { x : 12
=
y : 20
=
z : 21
x :.12 = y: 20 x: 12 = z : 21
+ y + z : 12 + 20 + 21 = x : 12 = y : 20 = z : 21.
1060 : 53 = x : 12 1060 : 53 = 11 : 20 1060 : 53 = Z : 21
~
~
250 . waarUIt:
{(
x= 240 y=400 <:=420
Oplossing door herleiding tot de eenheid. I ste deel. 2de deel. 3de deel. 5 3 7 4 7 1 4 21 3 5 4 21 Op 53 12 20
l't. deel =
1060
-53"
X 12 = 240
1060 2d • deel = - - X 20 = 400 53 1060 3d• deel = - - X 21 = 420. 53
472. VRAAGSTUK IV. - Drie ]Jä'sonen drijven samen handel; hunne inleggen staan tot elkaar gelijk 7, 5 en 6. Hoeveel heeft ieder van de winst, die 3600 fr. is? Hunne winsten zijn evenredig met hunne inleggen. Zoodat de winst moet verdeeld worden in evenredige deel en met 7. 5 en 6. De eerste heeft
3600
18 X
7 = 1400 fr.
3600
De tweede heeft 18 X 5 = 1000 fr. De derde heeft
3600 -18 X 6 = 1200 fr.
473. VRAAGSTUK V. - A, B en C drijven samen handel. maal de inleg van A is gelijk aan 7 maal de inleg van B. en 6 maal de inleg van B is gelijk aan 5 maal de inl~g van C. Hoeveel heeft ieder van de winst, die 3600 fr. bedraagt? t)
A heeft zoo dikwijls 7 fr. als B 5 fr. ingelegd, want 7 fr. X 5=5fr. X 7. Om dezelfde reden heeft B zoo dikwijls 5 fr. als C 6 fr. ingelegd. Men heeft dus, daar de winst evenredig is met den inleg: Op 18 fr. winst " 3600
A 7 fr. 1400 "
B 5 fr. 1000"
C 6 fr. 1200"
-
251-
VRAAGSTUK VI. - A, Ben C drijven samen handel, winst van A is gelijk aan 7/12 der winst van B, en 3 maal de winst van B is gelijk aaH 4/21 der winst van C. Hoeveel heeft elk ingelegd, zoo de inleg van A 4900 fr. is?
474.
4/7 der
A heeft zoo dikwijls
7
~ fr. winst als B ~ fr., 4
12 fr. X 7
want:
4
7
7 fr. X 12'
=
Om dezelfde reden heeft B zoo dikwijls
~ fr.
als C 3 fr.
Men heeft dus, zoowel voor den inleg als voor de winst : A
B
7 fr. 12
4
C fr.
7
4
2ï " 4
7 12
49 " 4900"
3 fr.
7 48 " 4800 "
756 " 75600 "
475. VRAAGSTUK VII. - Drie kooplieden moeten eene winst van 1-770 fr. deelen welke zij in eene onderneming gewonnen hebben : de eerste heeft 4000 fr. gedurende 3 maand daarin gelaten; de tweede 3000 fr. gedurende 3 maand; de der'de 6000 fr. gedurende 4 maand. Hoeveel komt aan elk toe? Men neemt aan dat de aandeel en evenredig zijn met de inleggen en de tijden. 4000 fr. gedurende 5 m. komt overeen met 20000 fr. gedurende 1 m. 5000 3 " 15000 1 " 6000 4 " 24000 1 " Men moet dus 1770 fr. verdeelen in evenredigheid der getallen 20000, 15000 en 24000 of 20, 15, 24. . 1770 De eerste heeft 59 X 20 = 600 fr. De tweede heeft De derde heeft
1770
59
1770
59-
X 15 = 450 fr. X 24 = 620 fr.
-
252-
476. VRAAGSTUK VIII. - Iemand heeft dt'ie soot'ten koffie, waarvan de prijzen evenredig zijn met de getallen 7, fO en 1~. Hij keeft voor een gelijk aantal fr. van elke soort, en in het geheel 68ö Kg. Hoeveel Kg. heeft hij van elke soort? 1 1 1 De hoeveelheden zijn evenredig met de getallen 7- , 10 en Î2' 111 want 7 X -;; = 10 X iö = 12 X 12'
2de soort.
l ste soort.
1
1
7 Kg. Op 131 Kg. .. 685
..
60 300
"
iö
Kg.
42
"
210
~
3de soort. 1 Kg.
12
35 175
"
. .
477. VRAAGSTUK IX. - Eene som weegt 31,821> Kg. en bestaat uit gelijke weerden gouden, zilveren en koperen munt. Welk is die som? Zilveren munt. 15,5 gr. 31 775
Gouden munt. 1 gr. Op 1273 gr. 2 .. " 31825 " 50 ..
775
775 gr. geIilUut zilver zijn -;;;)
Koperen munt. 15,5 X 40 gr. 1240 31000
= 155 fr. weerd.
De som is dus 155 X 3 = 465 fr.
478. VRAAGSTUK X. - Iema1ld beveelt in zijn testament dat zijn erfdeel zal verdeeld wot'den tusschen zijne 3 neven in omgekeerde ,'eden van hunnen ouderdom. Het erfdeel bedraagt 123ÖO fr, De ouderdom der neven is respectievelijk 18, 24 en 25 jaar, Hoeveel heeft elk?
Op 247 fr. Op 12350 ..
Eerste. 1 fr. 18 100 5000 ..
.
Tweede. 1 24 fr.
..
75 3750 ..
Derde. 1 fr. 25 72 3600 ..
-
253-
HOOFDSTUK VIII.
Mengingsrekening . 479. VRAAGSTUK I. - Men mengt 50 Z. wijn aan 0,60 /i'. den liter, met 24 aan 0,75 fr. en 20 aan 0,90 fr. Hoeveel kost 1 liter van het mengsel? 50 I. aan 0,60 fr. kosten 30 fr. 24" " 0,75" 18 " . 20.. .. 0,90.. .. 18 ..
" 66 .. 1 ..
"
66 94 = 0,70 fr. op 0,01 fr. na.
480. VRAAGSTUK II. - Men smelt samen 3 staven goud: de eerste weflende 8 Kg. heeft voor gehalte 0,850; de tweede wegende 3 Kg., 0,900; de derde wegende 0,2;)0 Kg., 0,920. Welk is het gehalte van het mengsel? 8 Kg. van 0,850 gehalte bevatten 3 " 0,900 0,25" .. 0,920 11,25 .. 1
6,80 Kg. fijn goud. 2,70 " 0,23 " 9,73 ". 9,73 11,25 = 0,865 Kg. op 0,001 Kg. na.
Het gehalte is dus 0,865 op 0,001 na.
481. VRAAGSTUK lil. - In welke evenredigheid moet men twee soorten WiJll mengen, de ééne aan 120 /i'. den Hl., en de andere aan 136 fr. den Hl., om wijn te bekomen aan 127 fr. den Hl.? Hoeveel Hl. van elke soort zullen el' in 50 Hl. van dit mengsel zijn? op 1 Hl. l ste soort 127 - 120 = 7 fr. winst. Op 1 " 2de " 136 - 127 = 9 " verlies. Om noch te winnen, noch te verliezen, zal men 9 Hl. der 1ste soort tegen 7 Hl. der 2de soort moeten nemen, want dan heeft men 7 fr. X 9 winst tegen 9 fr. X 7 verlies, of zoo veel winst als verlies. Op 16 Hl.
9 Hl. 181• en 7 Hl. 2de s. 9X50 7X50 ., 50" -16- " " " _16 .- " " " of 28,125 Hl. Isl6 en 21,825 Hl. 2de soort.
-
254-
482. VRAAGSTUK IV. - Een goudsmid heeft 2 staven goud waarvan het gehalte respectievelijk 0,880 en 0,970 is. In welke evenredigheid zal hij van beide staven moeten nemen om goud te bekomen, waa/'van het gehalte 0,920 zij, en hoeveel gr. op 100 zullen el' van elkeen der gemengde soorten zijn? op I g. Iste staaf is er 0,92 - 0,88 = 0,04 g. goud te weinig. Op I , 2de , , 0,97 - 0,92 = 0,05 " te veel. Om in het mengsel noch te veel noch te weinig te hebben, zal hij moeten 0.05 g. der eerste soort tegen 0,04 g. der tweede soort nemen, of 5 der eerste tegen 4 der 2de , want dan heeft hij 0,04 g. X 5 te weinig tegen 0,05 g. X 4 te veel. Op 9 g.
5
500 Op 100"
g. eerste en 4 g. tweede soort. 400
T '
, '""9 '
5
of: 55 ij g. eerste en 44
4
9 g.
tweede soort.
483. VRAAGSTUK V. - Men heeft zilver dat 1/7 van zijn gewicht, en zilver dat 1/12 van zijn gewicht koper bevat. Hoeveel zal men van beide soorten moeten nemen om 3125 fr. in vijffi'ankstukken te slaan? I Het gehalte der vijffrankstukken is 0,900 of zij bevatten 10 koper. Brengen wij eerst de breuken
I
I
7' 12
en
I
ïö
tot denzeJfdell
60 35 42 noemer; men bekomt: 420' 420 en 420' Op I Kg.I,te soort is er
60-42
~ =
42-35
Op I"
2de
"
"--::t20 =
18 420 Kg. te veel koper. 7
420"
te weinig "
Er zijn dus 7 Kg. der eerste tegen 18 Kg. der tweede soort. 3125 fr. wegen 0,005 X 3125 = 15,625 kg. 7 Kg. der I8te en 18 Kg. der 2de s. 7 X 15,625 18 X 15,625 Op 15,625 " 2 5 25 Op
25 Kg. zijn er
of 4,375
11,250
-
2öö-
484. VRAAGSTUK VI. - Hiero, koning van Syracusa, had door eellen goudsmid eene kroon doen maken, en hem daartoe 10 pond goud gegeven. Als de kroon verveerdigd was, vond Hiero dat zij werkelijk 10 pond woog, maar vermoedende dat er zilver ol/der het metaal gemengd was, ging hij Archimedes te rade. Deze voorhebbende dat goud in water 1;19 van zijn gewicht verliest, en zilver 1(10, dompelde de kroon in water, waal' zij nog 9 3/8 pond in woog. Hoeveel goud en zilver was er in de kroon? 5
De kroon verliest in water 8" pond, of, daar 10:
5
8' =
16, verliest zij
1 . 16 van haar geWICht. 1
Brengen wij de breuken 19'
1
1
10' 16
tot denzelfden noemer: wij
80 152 95 bekomen 1520' 1520 en 1520' 95 - 80 15 Op 1 pond verliest het goud J:52() = 1520 pond te weinig. Op 1 "
"
152 -95 57 zil ver ~ = 1520
"te veel.
Er waren dus 57 pond goud tegen 15 pond zilver. Op 72 pond mengsel 57 pond goud en 15 pond zilver. Op 10
57 7,2 11
" of
7 1'2
15 " " 7,2 " 1 "
" " 2 12
"
485. VRAAGSTUK VII. - Iemand heeft eene partij koffie gekocht tegen 1,60 fr. den Kg. en verkocht gedeeltelijk tegen 1,80 fr. en gedeeltelijk tegen 1,40 fr. den Kg. Welk deel is er van elke soort, indien hij 1/33 van den geheelen verkoop wint? 1 inkoopprijs per Kg. =
32
33 verkoopprijs per Kg. =
1
=
1,60 fr. 1,6 X 33
-~=1,65fr.
De gemiddelde verkoopprijs is 1,65 fr. Het vraagstuk wordt nu : in welke evenredigheid moet men looffie aar'! 1;80 fr. en van 1,40 fr. men'gen"om koffie aan 1,65 fr. te bekomen.
-
256-
Op 1 Kg. eerste soort 1,80 - 1,65 = 0,15 fr. verlies. Op 1 " tweede " 1,65 - 1,40 = 0,25 fr. winst. Dus 0,25 Kg. der eerste tegen 0,15 Kg. der tweede soort, of 5 Kg. der eerste tegen 3 Kg. der tweede. Op 8 Kg. zijn er 5 der eerste en 3 der tweede soort. Op de partij zijn dus
~ partij der eerste en ~ partij der tweede soort.
486. VRAAGSTUK VIII. - Iemand koopt eene partij koffie, een gedeelte met 20 % winst en de rest, die 4 Kg. meer bedraagt, met 15 verlies. Hoeveel Kg. heeft hij met verlies verkocht, indien hij in 't geheel 111/19 % wint? %
11 20-1}9
Op 1 Kg. eerste soort
-----wo- =
350 1900 prijs van 1 Kg. te veel.
11
15+;1 Th "1 " tweede
100
315 = 190Ó
" 1 " te weinig.
11 Om noch meer, noch min te winnen dan 1 i9 °jo, zal hij dus 315 Kg.
der ls l• tegen 350 Kg. der 2de moeten nemen of 63 Kg. der lsl. tegen 70 Kg. del' 2de • Op 133 Kg. zijn er 63 van het eerste en 70 van het tweede deel. . 70.. 63 .. Dus IS het 2de deel 133 partij en het eerste 133 partij. 70-63 7 Het verschil = ~ = 133 partij = 4 Kg. 70 partij.. = 40K g. . 133 W aarUlt
487. VRAAGSTUK IX. - Wijn maken aan 90 c. den liter met wijn van 60, 75, 85, 100, 110 en 115 c. den liter. Indien men evenveel van elkp.en der duurdere stoffen, alsook van elkeen der goedkoopere als 90 c. moest nemen, zou he~ vraagstuk bepaald zijn, en de volgende oplossing hebben:
+ +
Som der verschillen der lagereprijzenmet den middelprijll: 30 15 5 =50c. .. "hoogere " . . : 10+20+25=55c. Men zal dus 55 1. van elkeen der lagerll prijzen moeten nemen, en 50 van elkeen der hoogQl'e, of 11 van elkeen der lagere tegen 10 van elkeen der hoogere.
-
257-
Indien meu niet evenveel liters van elkeen tm der hoogere en elkeen eu der lagere prijzen moet nemen, dan is het vraagstuk onbepaald en geeft aanleiding tot een oneindig aantal oplossingen. Prijzen. Verschillen. Liters. Liters. Liters. Liters. Liters.
Lagere prijzen. Middelprijs .
1
60 75 85
30 15 5
10 20 25
10 20 25
30 15 5
5
3 8 10
2 12 15
4 4 15
:3 3 1
9 6 2
6 9 3
12 3 3
1 4
90
I
Hoogere prijzen.
I
100 110 115
Men schikt hierboven, van den eenen kaut de 3 lagere prijzen in willekeuri\{e orde, en, van den anderen kant, de 3 hooge re prijzen insgelijks in willekeurige orde, en schrijft nevens de hooge re en lagere prijzen de verschillen met den middelprijs. Men mengt een aantal liters van elkeen en der lagere prijzen met een aantal liters van éénen der lagere, zoodat het mengsel 90 c. koste. Men heeft dus hier 3 mengingsrekenillgen, en de uitkomst staat in de 3d • kolom nevens de verschillen. Men bekomt andere oplossingen, indieu men in elkeene der mengingsrekeningen van bovenstaande tafel, het aantal liters van den duurderen en dat van u.en goedkooperen prijs beide met één zelfde getal vermenigvuldigt of deelt. Zoo staan in de 4de, 5de , 6de en 7de kolom andere oplossingen. De oplossingen zullen nog verschillend zijn, indien men de prijzen in verschillende orde vergelijkt.
Bemerking. - Er moeten zooveel hoogere als lagere prijzen zijn; maar, waren er bij de hoogere of lagere prijzen min, dan kan men denzelfden prijs verscheidene malen herhalen.
17
- 2ö8HOOFDSTUK IX.
Samengestelde interest en annuïteiten. § I. -
SAMENGESTELDE INTEREST.
488. Wij hebben gezien (273) dat de interest samengesteld genoemd wordt, wanneer, op het einde van elk jaar, de interest bij hel kapitaal gevoegd wordt om het kapitaal van het volgende jaar uit te maken. In de vraagstukken over samengestelden interest, berekent men i" de eindweerde, 2° de aanvangsweerde, 3° het percent, 4° het aantal jaren. 4:89. Berekening der eindweerde. - VRAAGSTUK • .- Wat wordt op 10 jaar een kapitaal van 1ö30 fr. op sameng,stelden interest, tegen 4 "/0, uitgezet? 1 fr. wordt op 1 jaar 1,04 fr. Een kapitaal van 1530 fr. wordt dus: na het l st• jaar »
" » »
1,04 fr. X 1530 = 1530 X 1530 X 1,04 X 1,04 = 1530 X 1550 X " 3d• " " 4de • 1530 X • 10de " 1530 X »
2de
"
1,04 fr. 1,04' " 1,04' " 1,04' " 1,04'0
»
Of, zoo wij door A de eindweerde voorstellen:
A = 1530 X 1,04'0. Dus, log. A = log. 1530
+ 10 log. 1,04.
log. 1530 = 3,18469 10 log. 1,04 = 0,17030 log. A = 3,35499 A = 2264,60 fr. In het algemeen, zoo wij door A de eindweerde, door a de aanvangsweerde, door r den interest van 1 fr. op 1 jaar, door n het aantal jaren voorstellen, hebben wij: A = a (1 r)n.
+
490. Berekening der aanvangsweerde. - Van de bovenstaande formuulleidt men gemakkelijk de volgende at, welke de aanvangsweerde geeft : A
+ ,.)n·
a=----
(1
-
259-
VRAAGSTUK. Welke som, aan 4 0(0 op samengestelden interest uitstaande, zal na 10 jaar, 2264,60 rl'. gewordelI zijn?
De bovenstaande formuul toepassende, heeft men: 2264,6 a = 1,04'. log. a=log. 2264,6-10Iog. 1,04. log. 2264,6 = 3,35499 -10 log. 1,04 = 0,17030 log. a = 3,18469 a = 1530 fr.
491. Berekening van het percent. - Uit de formuul der eind weerde trekt man insgelijks deze die dienen kan om het percent te berekenen: (1
+ r)n =
A
-
a
of 1
+r =
JA
-
a
.
VRAAGSTUK. - Tegen welk percent worden 1530 fr., op samengestelden interest uitgezet, na 10 jaar 2264,60 rr.?
Door toepassing van de bovenstaande formuul heeft men: 10
+ log. (1 + r) = 1
--
_ '"/2264,6 r = 1530
V
log. 2264,6 - log. 1530 10
log. 2264,6 - log. 1530 10 log. (1 r) r) log. (1 1 r
+ + +
= 3,35499 = 3,18469 = 0,17030 = =
0,01703 1,04.
Het percent is bijgevolg 4.
492. Berekening van den tijd. - Uit de formuul der eindweerde, voorgesteld in logarithmen, te weten:
+
bekomt men :
log. A = log. a n log. (1 log. A - log. a n = log. (1 r) .
+
+ r)
~
260-
VRAAGSTUK. Op hoeved jaar w01'den 1l.i30 fr., tegen 4"10 uitstaande op samengestelden interest, aan 2264,60 f"· gelijk?
De bovenstaande formuul geeft: n
log. 2264,6 - log. 1530 log. 1,04 log. 2264,6 = 3,35499 - log. 1530 = 3,18460 Verschil = 0,17030 log. 1,04 = 0,01703 0,17030 . n = 0,01703 = 10 Jaar.
=
§ [I. -
ANNUITEITEN.
493. Op eene eerste manier verstaan, is eene annuïteit de vaste som welke men jaarlijks voegt bij een kapitaal dat samengestelden interest voortbrengt. 494. Berekening der eindweerde. - Men plaatst in 't begin van elk jaar 100 f". op de spaarkas aan 3 0/0' samengestelden intet'est, welk zal het kapitaal zijn na 6 jaar? De eerste annuïteit van 100 fr., zal op samengestelden interest uitstaan gedurende 6 jaar j de tweede, gedurende 5 jaar; de derde, gedurende 4 jaar, en z . Men zal dus hebben: Iele
2d• 3d• 4de
5de 6d•
annuïteit wordt 100 100 100 100 100 100
X X X X X X
1,036 1,03' 1,03' 1,03' 1,03' 1,03.
De annuiteitetl worden samen:
+ + + +
+ +
+ +
+ +
100 X (1,03 1,03' 1,03' 1,03' 1,03' 1,03 6 ) of: 100 X 1,03 ~< (1 1,03 1,03" 1,03' 1,03' 1,03'). De som tusschen haken is de som del' termen eener M. R. waarvan de l ste term I is, de laatste 1,03' en de reden 1,03. Zij is dus gelijk (331) aan: 1,03' X 1,03 -1 1,0?" - I 1,03 - I 0,03
-
261 -
Zoo men dus door A de eindweerde voorstelt, heeft men : A= Log. A = log. 100
100 X 1,03 X (1,03 6 - 1) 0,03-
+ log. 1,03 + log. (1,03
Berekenen wij oorst 1,03 6
-
6 -
1) -log. 0,03.
1:
log. 1,03 = 6 log. 1,03 = 1,036 = 1,036 - 1 =
0,01284 0,07704 1,1941 0,1941
Wij hebben dus: Log. A = log. 100
+ log. 1,03 + log. 0,1941 -
log. 100 log. 1,03 log. 0,1941 Som - log. 0,03 log. A A
= = = = =
= =
log. 0,03.
2,00000 0,01284 1,28803 1,30087 2,47712 2,82375 666,43 fr.
In het algemeen, zoo men, door A, de eindweerde; door a, de annuiteit: door r, den interest van I fr. op 1 j.; door n, het aantal jaren voorstelt, heeft men de formuul : . A = _a-'--(l_+'----'-r)-=.[('-l-.:+_r-'-)"_----=I] r
495. Berekening der annuïteit. - Uit de voorgaande formuuI trekt men de volgende weerde der annuiteit : Ar a = (=-l-:-+-r7')-:-:-[(1=-+ r)n _ 1] VRAAGSTUK. - Hoeveel fr. moet men in den beginlIe van elk jaar op de spaarkas storten om, na 6 jaar, een kapitaal van 666,43 fr. te bezitten?
De formuul toepassende heeft men : 666,43 X 0,03 a = 1,03 X (1,03 6 - 1) log a = log. 666,43 log. O,03-log. 1,03 -log. (1,03 6 -1).
+
Berekenen wij eerst 1,036
-
262 1
log. 1,03 = 6 log. 1,03 = 1,03 6 = 1,03 6 - 1 =
0,01284 0,07704 1,1941 0,1941
Men heeft dus: log. a = log. 666,43
+ log. 0,03 -log. 1,03 -
log. 0,1941.
log. 6/;6,43 = 2,82375
log. 1,03 = 0,01284
0,03 = 2.47712
log. 0,1941 = 1,28803
Som = 1.30087
Som = 1,30087
log.
log. teller
= 1,30087 - log. noemer = ï,30087 log. a = 2,00000 a = 100 fr.
496. Op eene tweede manier verstaan, is eene annuiteit eene vaste som die men jaarlijks betaalt om, op eenen zekeren tijd, een geleend kapitaal met zijne samengestelde interesten af te lossen. 497. Berekening der annuïteit. -
VRAAGSTUK. -
Welke annuiteit moet menjaal'lijks betalen om, op 6jaar, een kapitaal van 10000 fr. met samengestelden interest tegen ö 0/0 al te lossen? Indien de som In 6 jaar in éénmaal betaald werd. zou de te betalen som ZIjn (489): 10000 X 1,05 6 fr. Maar zoo men, op het einde van het eerste jaar. eene anuuiteit van a fr. betaalt, zoo zal de schuldenaar eene weerde terugbetalen die, na het 6de jaar, uitgedrukt zou zijn door a X 1,05". Zoo hij die annuiteit op het einde van elk jaar betaalt, zal men hebben: a fr. na het l,te jaar voldoet a X 1,05" fr. na het 6de j . a 2de a X 1,05' a 3d• a X 1,05' a id. a X 1.05' a !5de a X 1,05 ,3de a a
-
263-
De voldoende weerde der 6 annuiteiten is dus:
a
+ a X 1,05 + a X 1,05' + a X 1,05' + a X 1,05' + a X 1,05'
of (494) :
a X
1,056 - 1 0,05 .
Maar, daar de weerde der 6 annuiteiten moet gelijk zijn aan 10000 fr. vermeerderd met den samengestelden interest, of aan 10000 X 1,056 fr., heeft men : 1,056 - 1 a X 005 = 10000 X 1,056 •
,
Waaruit: log. a = log. 10000
a=
10000 X 0,05 X 1,056 1,056 - I
+ log. 0,05 + 6 log . 1,05 -
Berekenen wij eerst 1,05
log. (1,05 6
-
1).
1:
6 -
0,02119 0,12714 1,3713 0,3713.
log. 1,05 = 6 log. 1,05 = 1,05' = 1,05' - 1 = Wij hebben dus : log.
(J
=
log. 10000
+ log. 0,05 -
6 log. 1,05 - log. 0,3713.
log. 10000 = 4,00000 log. 0,05 = 2,69897 6Iog.1,05=O,I2714 Som = 2,82611 - log. 0,3713 = 1;56972 log. a = 3,25639 a = 1804,60 fr. In het algemeen, zoo men door a de annuiteit voorstelt; door A het geleend kapitaal; door r, den interest van 1 fr. op 1 jaar.; door n, het aantal jaren, heeft men de formuul : a=
+ r)n + r)n- I
Ar (1
(I
498. Berekening van het kapitaal. - De boven-
staande formuul leidt tot de volgende: A=
+
a [(1 r)n - 1] . r (I r)n
+
-
264-
VRAAGSTUK. - lemand betaalt, 6 jaar lang, op het einde van elk jaar eene annuiteit van 1804,60 fr. om eelle leening aan Ö 0/0, samengesteldell interest, af te lossen. Hoe groot is die leening?
'" _ 1804,6 X (1,05· - 1) "IJ hebben A 0,05 X 1,056 . Log. A = log. 1804,6
+ log. (1,05
Zoeken wij ee,rst 1,05 6
-
6
-1) -
log. 0,05 -
6 log. 1,05.
1.
log. 1,05 = 6 log. 1,05 = 1,056 = 1,056 - 1 =
0,02119 0,12714 1,3713 0,3713
Wij hebben dus : log. A = log. 1804,6
+ log. 0,3713 -
log. 1804,6 = 3,25639 log. 0,3713 = ï,56972 Som = 2,82611
log. 0,05 - 6 log. 1,05 log. 0,05 = 2,69897 6 log. 1,05 = 0,12714 Som = 2,82611
log. teller = - log. noemer = log. A = A =
EINDE.
2,84611 2,84611 4,00000 10000 fr.
BLADWIJZER. Voorafgaande begrippen.
Eerste deel. -
GEHEELE GETALLEN.
I. Il. lIl. IV. V.
Tweede deel. -
Tientallige telling Samentelling . . Aftrekking . . . Vermenigvuldiging. Deeling . . . . . .
I. Kenmerken van deelbaarheid . . lIl. Ondeelbare getallen . . . . IV. Onderling ondeelbare getallen V. Ondeelbare factoren
Zesde deel. -
14 20 32
44 55 61 64 69
BREUKEN.
1. Gewone breuken. • . . . . . . Il. Tiendeelige breuken . . . . . . III. Uitbreiding van het begrip breuk.
76 103 123
METRIEK STELSEL.
126
Vierde deel. Vijfde deel. -
5 11
EIGENSCHAPPEN DER GEHEELE GErALLEN.
IJ. Grootste gemeene deeler
Derde deel. -
3
MACHTEN.
1. Machtsverheffing. II. Vierkantsworteltrekking lIl. Kubieksworteltrekking .
148 158
VERHOUDINGEN EN EVENREDIGHEDEN
167
Zevende deel. -
140
REEKSEN EN LOGARITHMEN.
I. Rekenkundige reeksen II. Meetkundige reeksen • lIl. Logarithmen . . • •
176 181 187
Achtste deel. -
266-
OPLOSSING VAN VRAAGSTUKKEN.
1. Regel van drie. . . .
205
11. Enkelvoudige interest.
212
III. Korting. . • . . . . IV. Tijdrekening van betaling. V. Winst en verlies, tare, commissie, plaatschange , afslag. verzekeringspremie. . . VI. Fondsenrekening . . . . . . . . . . . . VII. Evenredige verdeeling en gezelschapsrekening . . . . . . . . • • . . . . VIII. Mengingsrekening . . . . . . . . . IX. Samengestelde interest en annuiteiten .
224 228 232 239 248 253 258
ERRATA.
Bladz. 3, linie 19, in plaats van: eenheid der afgebroken grootheid, stel: eenheid der onafgebroken grootheid. Bladz. 10, linie 24, in plaats van: is eene samentelling, stel: is eene samenstelling. Bladz. 12, linie 34, in plaats van: mededragen, stel: medegedragen. Bladz. 19, linie 17, in plaats van: 100 5, stel: 1000 5. Bladz. 43, linie 3, in plaats van: den exponent van den deeler met den exponent van het deeltal, stel: den exponent van het deeltal met den exponent van den deeler. 3 7 8 9, stel: Bladz. 48, linie 5, in plaats van: v. 9 v.9+3+7+8+7. Bladz. 96, linie 6, in plaats van: maal het 7e deel, stel: 4 maal het 7de deel. Bladz. 106, linie 11, in plaats van: als men het decimaal punt in rangen, stel: als men het decimaal pnnt n rangen.
+
+
+ + + +
Bladz. 167, linie 19, in plaats van :
~/I~, 2 5
stel:
!l/~ 25
.
Bladz. 176, linie 17, in plaats van: -;- 12.18.8, stel: --:- 12.10.8. Bladz. 177, linie 22, in plaats van: 16 14 X 2, stel: 6 14 X 2
+
+
