2
LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul.
Secara umum, himpunan kejadian 𝐴𝑖 ; 𝑖 ∈ 𝐼 dikatakan saling bebas jika: 𝐏(⋂∞ 𝑖∈𝐽 𝐴𝑖 ) = ∏𝑖∈𝐽 𝐏(𝐴𝑖 ) untuk setiap himpunan bagian 𝐽 dari 𝐼. (Grimmett & Stirzaker 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 7 (Peubah acak) Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi 𝛸 yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur 𝜔 ∈ Ω ke satu dan hanya satu bilangan real 𝑋 𝜔 = 𝑥 disebut peubah acak. Ruang dari 𝛸 adalah himpunan bagian bilangan real 𝒜 = { 𝑥 ∶ 𝑥 = 𝛸(𝜔), 𝜔 ∈ Ω}. (Hogg et al. 2005)
Definisi 3 (Kejadian lepas) Kejadian 𝐴 dan 𝐵 disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong ∅ . (Grimmett & Stirzaker 1992)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan 𝑋, 𝑌, 𝑍. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti 𝑥, 𝑦, 𝑧. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran.
Definisi 4 (Medan-𝝈) Medan- 𝜎 adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut: i) ∅ ∈ ℱ. ii) Jika 𝐴1 , 𝐴2 , … ∈ ℱ, maka ∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 ∈ ℱ. iii) Jika 𝐴 ∈ ℱ, maka 𝐴𝑐 ∈ ℱ. (Hogg et al. 2005)
Definisi 8 (Fungsi sebaran) Misalkan 𝛸 adalah peubah acak dengan ruang 𝒜. Misalkan kejadian 𝐴 = (−∞, 𝑥] ⊂ 𝒜, maka peluang dari kejadian 𝐴 adalah 𝐏 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝐹𝑋 𝑥 . Fungsi 𝐹𝑋 disebut fungsi sebaran dari peubah acak 𝑋. (Hogg et al. 2005)
Definisi 5 (Ukuran peluang) Ukuran peluang 𝐏 pada (∅, ℱ) adalah fungsi 𝐏 ∶ ℱ → 0,1 yang memenuhi: i) 𝐏 ∅ = 0 , 𝐏 Ω = 1. ii) Jika 𝐴1 , 𝐴2 , … adalah himpunan lepas yang merupakan anggota dari ℱ, yaitu: 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗, maka ∞ 𝐏 ∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 = i=1 𝐏 𝐴𝑖 . (Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 9 (Peubah acak diskret) Peubah acak 𝛸 dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Hogg et al. 2005)
Pasangan Ω, ℱ, 𝐏 disebut ruang peluang.
Definisi 10 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 𝑋 adalah fungsi 𝑝 ∶ ℝ ⟶ [0,1] yang diberikan oleh 𝑝𝑋 𝑥 = 𝐏 𝑋 = 𝑥 . (Hogg et al. 2005)
Definisi 6 (Kejadian saling bebas) Kejadian 𝐴 dan 𝐵 dikatakan saling bebas jika: 𝐏 𝐴∩𝐵 =𝐏 𝐴 𝐏 𝐵 .
Definisi 11 (Peubah acak kontinu) Peubah acak 𝑋 dikatakan kontinu jika ada fungsi 𝑓𝑋 sehingga fungsi sebaran 𝐹𝑋 dapat dinyatakan sebagai
3
𝑥
𝐹𝑋 𝑥 =
𝑓𝑋 (𝑢) 𝑑𝑢 −∞
𝑥 ∈ ℝ, dengan 𝑓𝑋 ∶ ℝ ⟶ 0, ∞ adalah fungsi yang terintegralkan lokal. Fungsi 𝑓𝑋 disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak 𝑋. (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 12 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak 𝑋 disebut peubah acak Poisson dengan parameter 𝜆, 𝜆 > 0 jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh 𝜆𝑘 𝑝𝑋 𝑘 = 𝑒 −𝜆 𝑘! untuk 𝑘 = 0,1, … (Ross 2007) Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson) Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut 𝜆1 dan 𝜆2 . Maka 𝑋 + 𝑌 memiliki sebaran Poisson dengan parameter 𝜆1 + 𝜆2 . (Taylor & Karlin 1984) Bukti: lihat Taylor & Karlin 1984.
Definisi 15 (Fungsi pembangkit momen) Misalkan 𝑋 adalah peubah acak sehingga untuk > 0, nilai harapan dari 𝑒 𝑡𝑋 terdefinisi pada − < 𝑡 < . Fungsi pembangkit momen dari 𝑋 dinyatakan 𝑀 𝑡 = 𝐄 𝑒 𝑡𝑋 , untuk − < 𝑡 < . (Hogg et al. 2005) Definisi 16 (Fungsi indikator) Misalkan 𝐴 adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari 𝐴 adalah suatu fungsi 𝐼𝐴 ∶ Ω ⟶ 0,1 , yang diberikan oleh: 1, jika 𝜔 ∈ 𝐴. 𝐼𝐴 (𝜔) = 0, jika 𝜔 ∉ 𝐴. (Grimmett & Stirzaker 1992) Nilai harapan dari fungsi indikator adalah sebagai berikut: 𝚬 𝐼𝐴 = 1. 𝐏 𝐴 + 0. 𝐏 𝐴𝑐 = 𝐏 𝐴 . Kekonvergenan Peubah Acak Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak, 𝑋𝑛 ⟶ 𝑋 untuk 𝑛 ⟶ ∞.
Momen, Nilai Harapan, dan Ragam Definisi 13 (Nilai harapan) 1. Jika 𝑋 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋 𝑥 , maka nilai harapan dari 𝑋 dinotasikan dengan 𝐄 𝑋 adalah 𝐄 𝑋 =
𝑥 𝑝𝑋 𝑥 𝑥
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika 𝑋 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑋 𝑥 , maka nilai harapan dari 𝑋 adalah ∞
𝐄 𝑋 =
𝑥𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 −∞
Definisi 17 (Konvergen dalam peluang) Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang Ω, ℱ, 𝐏 . Barisan peubah acak 𝑋𝑛 dikatakan konvergen 𝑝
dalam peluang ke 𝑋, dinotasikan 𝑋𝑛 → 𝑋, jika untuk setiap 𝜀>0 berlaku P 𝑋𝑛 − 𝑋 > 𝜀 ⟶ 0, untuk 𝑛 ⟶ ∞. (Grimmett & Stirzaker 1992) Lema 2 (Sifat kekonvergenan dalam peluang) Misalkan 𝑋𝑛 konvergen dalam peluang ke 𝑋 dan 𝑌𝑛 konvergen dalam peluang ke 𝑌 maka 𝑋𝑛 𝑌𝑛 konvergen dalam peluang ke 𝑋𝑌, dinotasikan dengan 𝑝
𝑋𝑛 𝑌𝑛 → 𝑋𝑌. (Hogg et al. 2005)
asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005) Definisi 14 (Ragam) Misalkan 𝑋 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋 (𝑥) dan nilai harapan 𝐄 𝑋 . Ragam dari 𝑋 dinotasikan dengan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) atau 𝜎 2 𝑋 adalah 𝜎 2 𝑋 = 𝐄(𝑋 − 𝐄 𝑋 )2 =
𝑥−𝐄 𝑋
2
𝑝𝑋 𝑥 .
𝑥
(Hogg et al. 2005)
Bukti: lihat Hogg et al. 2005. Definisi 18 (Konvergen dalam sebaran) Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 adalah peubah acak pada suatu ruang peluang Ω, ℱ, 𝐏 . Suatu barisan peubah acak 𝑋𝑛 dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak 𝑋, ditulis 𝑑
𝑋𝑛 𝑋, untuk 𝑛 ⟶ ∞, jika P(𝑋𝑛 ≤ 𝑥) ⟶ P 𝑋 ≤ 𝑥 untuk 𝑛 ⟶ ∞, untuk
4
semua titik 𝑥 dimana fungsi sebaran 𝐹𝑋 𝑥 = P(𝑋 ≤ 𝑥) adalah kontinu. (Grimmett & Stirzaker 1992)
Penduga dan Sifat-Sifatnya Definisi 19 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg et al. 2005) Definisi 20 (Penduga) Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah contoh acak. Suatu statistik 𝑈(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter 𝑔(𝜃) dilambangkan dengan 𝑔 𝜃 , disebut penduga bagi 𝑔(𝜃). Bilamana nilai 𝑋1 = 𝑥1 , 𝑋2 = 𝑥2 , … , 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛 , maka nilai 𝑈(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) disebut sebagai dugaan (estimate) bagi 𝑔(𝜃). (Hogg et al. 2005) Definisi 21 (Penduga tak bias) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter 𝑔 𝜃 , yaitu 𝐄 𝑈 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 = 𝑔(𝜃) disebut penduga tak bias bagi 𝑔(𝜃). (ii) Jika lim𝑛→∞ 𝐄 𝑈 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 = 𝑔(𝜃) maka 𝑈(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) disebut penduga tak bias asimtotik bagi 𝑔(𝜃). (Hogg et al. 2005) Definisi 22 (Penduga konsisten) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter 𝑔(𝜃) disebut penduga konsisten bagi 𝑔(𝜃). (Hogg et al. 2005) Definisi 23 (MSE suatu penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga 𝑊 untuk parameter 𝜃 adalah fungsi dari 𝜃 yang didefinisikan oleh 𝐄𝜃 (𝑊 − 𝜃)2 . Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga 𝑊 dan parameter 𝜃, yang dapat dihitung sebagai berikut: 𝐄𝜃 𝑊 − 𝜃
2
2
= 𝑉𝑎𝑟 𝑊 + 𝐄𝜃 𝑊 − 𝜃 = 𝑉𝑎𝑟 𝑊 + (bias(𝜃𝑛 ))2 dengan bias 𝑈 = 𝐄𝑈 − 𝑔 𝜃 . (Casella & Berger 1990)
Proses Stokastik Definisi 24 (Proses stokastik) Proses stokastik 𝑋 = 𝑋 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑇 adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state. (Ross 2007) Jadi untuk setiap 𝑡 pada himpunan indeks 𝑇, 𝑋(𝑡) adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan 𝑡 sebagai waktu dan 𝑋 𝑡 sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu 𝑡. Suatu proses stokastik 𝑋 disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks 𝑇 adalah himpunan tercacah. Sedangkan suatu proses stokastik 𝑋 disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika 𝑇 adalah suatu interval. Definisi 25 (Inkremen bebas) Suatu proses stokatik dengan waktu kontinu {𝑋 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑇 disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua 𝑡0 < 𝑡1 < ⋯ < 𝑡𝑛 , peubah acak 𝑋 𝑡1 − 𝑋 𝑡0 , 𝑋 𝑡2 − 𝑋 𝑡1 , … , 𝑋 𝑡𝑛 − 𝑋 𝑡𝑛−1 adalah bebas. (Ross 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu 𝑋 disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Definisi 26 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu 𝑋 = {𝑋 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑇} disebut memiliki inkremen stasioner jika 𝑋 𝑡 + 𝑠 − 𝑋(𝑡) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai 𝑡. (Ross 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu 𝑋 disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.
5
Proses Poisson Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks 𝑇 adalah interval bilangan real tak negatif yaitu 0, ∞ . Definisi 27 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik 𝑁 𝑡 , 𝑡 ≥ 0 disebut proses pencacahan jika 𝑁(𝑡) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu 𝑡. Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan 𝑁(𝑡) harus memenuhi syarat-syarat berikut: i) 𝑁(𝑡) ≥ 0 untuk semua 𝑡 ∈ 0, ∞ . ii) Nilai 𝑁(𝑡) adalah integer. iii) Jika 𝑠 < 𝑡 maka 𝑁 𝑠 ≤ 𝑁 𝑡 , 𝑠, 𝑡 ∈ 0, ∞ . iv) Untuk 𝑠 < 𝑡 maka 𝑁 𝑡 − 𝑁(𝑠) sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval 𝑠, 𝑡 . (Ross 2007) Definisi 28 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan 𝑁 𝑡 , 𝑡 ≥ 0 disebut proses Poisson dengan laju 𝜆, 𝜆 > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: i) 𝑁 0 = 0. ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang 𝑡 memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan 𝜆𝑡. Jadi untuk semua 𝑡, 𝑠 > 0, ℯ −𝜆𝑡 (𝜆𝑡)𝑘 𝐏 𝑁 𝑡+𝑠 −𝑁 𝑠 =𝑘 = , 𝑘! 𝑘 = 0,1, … (Ross 2007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh bahwa 𝐄 𝑁 𝑡 = 𝜆𝑡. Definisi 29 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen 𝑋 dengan fungsi intensitas 𝜆 pada titik 𝑠𝜖ℝ adalah 𝜆 𝑠 , yaitu nilai fungsi 𝜆 di 𝑠. (Cressie 1993)
Definisi 30 (Fungsi periodik) Suatu fungsi 𝜆 disebut periodik jika berlaku 𝜆 𝑠 + 𝑘𝜏 = 𝜆(𝑠) untuk semua 𝑠 ∈ ℝ dan 𝑘 ∈ ℤ. Konstanta terkecil 𝜏 yang memenuhi persamaan di atas disebut periode fungsi 𝜆 tersebut. (Browder 1996) Definisi 31 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku 2001) Definisi 32 (Intensitas global) Misalkan 𝑁 0, 𝑛 adalah proses Poisson pada interval 0, 𝑛 . Intensitas global 𝜃 dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai 𝐄𝑁 0, 𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑛 jika limit di atas ada. (Cressie 1993) Lema 3 (Eksistensi intensitas global) Jika 𝑁 [0, 𝑛] adalah proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas 𝜆, maka 𝐄𝑁 0, 𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑛 pada Definisi 32 ada dan nilainya sama dengan 1 𝜏 𝜃= 𝜆 𝑠 𝑑𝑠. 𝜏 0 Bukti: lihat Lampiran 1.
Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 33 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas 𝜆 disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas 𝐵 kita peroleh 𝜇 𝐵 = ∫𝐵 𝜆(𝑠)𝑑𝑠 < ∞. (Dudley 1989) Definisi 34 (𝑶(. ) dan 𝒐(. )) Simbol-simbol 𝑂(. ) dan 𝑜(. ) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi 𝑢(𝑥) dan 𝑣(𝑥) dengan 𝑥 menuju suatu limit 𝐿. i) Notasi 𝑢 𝑥 = 𝑂 𝑣 𝑥 , 𝑥 → 𝐿, menyatakan bahwa 𝑥 → 𝐿.
𝑢 (𝑥) 𝑣(𝑥)
terbatas, untuk
6
𝑢 𝑥 = 𝑜 𝑣 𝑥 , 𝑥 → 𝐿,
ii) Notasi menyatakan
bahwa
𝑥 → 𝐿.
𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥)
→ 0,
untuk
(Serfling 1980) Definisi 35 (Titik Lebesque) Kita katakan 𝑠 adalah titik Lebesque dari 𝜆 jika berlaku 1 lim 𝜆 𝑠 + 𝑥 − 𝜆(𝑠) 𝑑𝑥 = 0. →∞ 2 − (Wheeden & Zygmund 1977) Lema 4 (Teorema deret Taylor) Deret Taylor dari fungsi f di 𝑎 (atau di sekitar 𝑎 atau berpusat di 𝑎) memenuhi persamaan
f ( x) n 0
f ( n ) (a) n!
f ( a)
x a n
f (1) ( a) 1!
x a 1
f (2) a 2!
x a 2 ...
Lema 5 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g memiliki turunan ke- 𝑛 yang berhingga pada suatu titik 𝑥, maka n
g y g x k 1
g k x n k y x o y x , k!
untuk 𝑦 → 𝑥. (Serfling 1980) Bukti: lihat Serfling 1980. Lema 6 (Teorema Limit Pusat) Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … . , 𝑋𝑛 adalah barisan peubah acak bebas dari suatu sebaran yang masing-masing memiliki nilai harapan 𝜇 dan ragam tak nol 𝜎 2 . Jika 𝑛 1 𝑋𝑖 − 𝑛𝜇 𝑌𝑛 = 𝜎 𝑛 maka 𝑌𝑛 konvergen ke sebaran normal baku, dinotasikan 𝑛 → ∞.
𝑌𝑛
𝐷
𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(0,1)
untuk
(Hogg et al. 2005)
(Stewart 1999) Bukti: lihat Lampiran 2.
