II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui tetapi hasil pada percobaan selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak. Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu peubah acak dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 3 (Kejadian saling lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong . (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 4 (Medan - ) Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut: 1.
2. Jika
Ai
, maka i 1
3. Jika
, maka (Hogg et al. 2005)
Jika , maka medan- disebut medan Borel. Anggota medan Borel disebut himpunan Borel. Definisi 5 (Ukuran peluang) Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan adalah medan- pada Ω. Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata , atau disebut ukuran peluang jika 1. P tak negatif, yaitu untuk setiap
2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan maka P An = P An . n 1 n 1 3. P bernorma satu, yaitu P(Ω)=1. Pasangan disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas. (Hogg et al. 2005) Definisi 6 (Kejadian saling bebas) Kejadian dan dikatakan saling bebas jika: Secara umum, himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika:
untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmett & Stirzaker 1992) 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak) Misalkan adalah medan- dari ruang contoh Suatu peubah acak adalah suatu fungsi dengan sifat bahwa untuk setiap (Grimmett & Stirzaker 1992) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran. Definisi 8 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 9 (Fungsi sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak adalah yang didefinisikan oleh Fungsi acak X.
disebut fungsi sebaran dari peubah (Grimmett & Stirzaker 1992)
3
Definisi 10 (Peubah acak kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat ditulis sebagai
untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X. (Hogg et al. 2005) Definisi 11 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi yang diberikan oleh
Definisi 14 (Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan . Ragam dari X, dinotasikan dengan atau , adalah
(Hogg et al. 2005) Definisi 15 (Fungsi indikator) Misalkan adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari adalah suatu fungsi yang diberikan oleh
(Grimmett & Stirzaker 1992)
(Hogg et al. 2005) Definisi 12 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter , jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh
untuk k=0,1,… (Ross 2007) Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut dan . Maka memiliki sebaran Poisson dengan parameter (Taylor & Karlin 1984) Bukti : lihat Lampiran 1. 2.3 Nilai Harapan dan Ragam
2.4 Kekonvergenan Peubah Acak Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak. Definisi 16 (Konvergen dalam peluang) Misalkan adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang . Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan , jika untuk setiap berlaku , untuk (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 17 (Konvergen dalam sebaran) Misalkan adalah peubah acak pada suatu ruang peluang . Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis , untuk
Definisi 13 (Nilai harapan) 1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari X dinotasikan dengan E(X) adalah
jika
untuk , untuk semua titik x dimana fungsi sebaran adalah kontinu. (Grimmett & Stirzaker 1992) 2.5 Penduga
2.
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang , maka nilai harapan dari X adalah
asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005)
Definisi 18 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg et al. 2005)
4
Definisi 19 (Penduga) Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik yang digunakan untuk menduga fungsi parameter dilambangkan dengan Bilamana nilai maka nilai disebut sebagai dugaan (estimate) bagi (Hogg et al. 2005) Definisi 20 (Penduga tak bias) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yaitu
Definisi 24 (Proses stokastik waktu kontinu) Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika berupa suatu interval. (Ross 2007) Definisi 25 (Inkremen bebas) Suatu proses stokatik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua peubah acak adalah bebas. (Ross 2007)
disebut penduga tak bias bagi (ii) Jika maka disebut penduga tak bias asimtotik bagi (Hogg et al. 2005) Definisi 21 (Penduga konsisten) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter disebut penduga konsisten bagi (Hogg et al. 2005) Definisi 22 (MSE suatu penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga untuk parameter adalah fungsi dari yang didefinisikan oleh Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga dan parameter , yang dapat dihitung sebagai berikut:
Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Definisi 26 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai . (Ross 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut. 2.7 Proses Poisson
dengan (Cassela & Berger 1990) 2.6 Proses Stokastik Definisi 23 (Proses stokastik) Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state (Ross 2007) Jadi untuk setiap pada himpunan indeks adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan sebagai waktu dan sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu
Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks adalah interval bilangan real tak negatif yaitu Definisi 27 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut: (i) untuk semua (ii) Nilai adalah integer.
5
(iii) Jika maka untuk (iv) Untuk maka sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (Ross 2007) Definisi 28 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju , jika dipenuhi tiga syarat berikut: (i) . (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan Jadi untuk semua ,
dengan k=0,1,… (Ross 2007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat (iii) juga dapat diperoleh Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu disebut proses Poisson homogen (homogeneous Poisson process). Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu , maka disebut proses Poisson tak homogen (inhomogeneous Poisson process). Untuk kasus ini, disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas harus memenuhi syarat untuk semua Misalkan adalah proses Poisson dan adalah suatu selang bilangan nyata. Jika adalah proses Poisson homogen, maka dengan adalah panjang selang , sedangkan menyatakan banyaknya kejadian dari proses Poisson pada selang Jika adalah proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas , maka
Dengan kata lain, jika Poisson tak homogen maka
adalah proses memiliki sifat
(i)
k=0,1,…
untuk setiap selang dengan (ii) Untuk setiap bilangan bulat positif dan adalah selangselang yang disjoint dengan proses merupakan peubah acak yang saling bebas. Definisi 29 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas pada titik adalah yaitu nilai fungsi di . (Cressie 1993) Definisi 30 (Fungsi periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika berlaku untuk semua dan . Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode fungsi tersebut. (Browder 1996) Definisi 31 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku 2001) 2.8 Beberapa Definisi dan Lema Definisi 32 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas kita peroleh B s ds . B
(Dudley 1989) Definisi 33 (O(.) dan o(.)) Simbol-simbol O(.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi dan dengan menuju suatu limit . (i) Notasi menyatakan bahwa
terbatas, untuk
6
(ii) Notasi menyatakan bahwa
untuk (Serfling 1980)
Definisi 34 (Titik Lebesque) Kita katakan adalah titik Lebesque dari jika berlaku
(Wheeden & Zygmund 1977) Lema 2 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan memiliki turunan ke- yang berhingga pada suatu titik , maka
untuk (Serfling 1980) Bukti : lihat Serfling 1980. Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam , maka untuk setiap
(Ross 2007) Bukti: lihat Lampiran 2.
