PENDAHULUAN Latar Belakang Terdapat banyak permasalahan atau kejadian dalam kehidupan sehari–hari yang dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan permasalahan yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang, dengan kata lain perilaku proses stokastik pada waktu yang akan datang tidak dapat diprediksikan dengan tepat. Permasalahan sederhana yang kita jumpai dalam kehidupan seharihari seperti proses pelayanan pelanggan pada suatu pusat servis merupakan salah satu bentuk dari model stokastik yang cukup menarik untuk dipelajari. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Dalam karya ilmiah ini akan di bahas proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat servis dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan
tersebut, fungsi intensitas (lokal) λ (s ) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s . Jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat secara linear terhadap waktu maka kita dapat memodelkannya dengan suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. Pada karya ilmiah ini akan dipelajari penentuan sifat-sifat statistika dari suatu penduga kernel dari suatu intensitas (lokal) pada proses Poisson periodik dengan tren linear. Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini yaitu untuk : (i) Mempelajari bukti kekonvergenan mean square error (MSE) penduga menuju nol jika panjang interval pengamatannya menuju tak hingga. (ii) Mempelajari penentuan aproksimasi asimtotik bagi bias penduga. (iii) Mempelajari penentuan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga. (iv) Mempelajari penentuan aproksimasi MSE bagi penduga. (v) Mempelajari penentuan laju kekonsistenan penduga tersebut.
LANDASAN TEORI (Walpole, 1995)
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Berbagai macam pengamatan diperoleh melalui pengulangan percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalam banyak kasus, hasil percobaan tersebut bergantung pada faktor kebetulan dan tidak dapat diprediksikan dengan tepat. Tetapi, kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan. Definisi 1 [Ruang Contoh] Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan disebut ruang contoh dan dilambangkan dengan Ω . (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 2 [Kejadian] Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω . (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 3 [Kejadian Saling Lepas] Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika A ∩ B = Ø ; artinya A dan B tidak memiliki unsur persekutuan.
Definisi 4 [Medan- σ ] Medan- σ adalah himpunan Y yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut : (a). Ø ∈ Y ∞
(b). Jika A1 , A2 ... ∈ Y maka
UA ∈ Y i
i =1
(c). Jika A ∈ Y maka A c ∈ Y Medan- σ di atas disebut medan Borel jika Ω = (0,1] , dan anggotanya disebut himpunan Borel. (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 5 [ Ukuran Peluang ] Ukuran peluang P pada (Ω,Y ) adalah suatu fungsi P : Y → [0,1] yang memenuhi (a). P(Ø) = 0, P (Ω ) = 1 (b). Jika A1 , A2 ,... adalah himpunan anggotaanggota Y yang saling lepas,
1
yaitu Ai ∩ A j =
Ø
untuk
semua
pasangan i, j, dengan i ≠ j , maka: ⎛ ∞ ⎞ ∞ P ⎜ Ai ⎟ = P ( Ai ) . ⎜ ⎟ ⎝ i =1 ⎠ i =1 Pasangan (Ω, Y, P) yang terdiri atas himpunan Ω , medan- σ Y yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari Ω , dan suatu ukuran peluang P pada ( Ω ,Y ) disebut ruang peluang. (Grimmett and Stirzaker, 1992)
U
∑
Definisi 6 [Kejadian Saling Bebas] Kejadian-kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika : P ( A ∩ B ) = P ( A) P (B ) . Secara umum, {Ai ; i ∈ I } dikatakan saling bebas jika: ⎛ ⎞ P ⎜ Ai ⎟ = P ( Ai ) ⎜ ⎟ ⎝ i∈J ⎠ i∈J untuk semua himpunan bagian terbatas J dari I. (Grimmett and Stirzaker, 1992)
I
∏
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 [Peubah Acak] Peubah acak adalah suatu fungsi X : Ω → R dengan sifat bahwa {ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈ Y untuk setiap x ∈ R. (Grimmett and Stirzaker, 1992) Untuk menotasikan peubah acak biasanya digunakan huruf kapital seperti X, Y, Z . Sedangkan untuk menotasikan nilai dari suatu peubah acak digunakan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran. (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 8 [Fungsi Sebaran] Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah fungsi FX : R → [0,1] yang diberikan oleh
Definisi 10 [Fungsi Kerapatan Peluang] Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p : R → [0,1] yang diberikan oleh p X (x ) = P ( X = x ) . (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 11 [Peubah Acak Poisson] Jika suatu peubah acak X nilai-nilainya dalam himpunan {0, 1, 2, . . .} dengan fungsi kerapatan peluang e −λ ,
k = 0,1… k! dengan λ > 0 , maka X dikatakan memiliki sebaran Poisson dengan parameter λ . (Grimmett and Stirzaker, 1992) Momen, Nilai Harapan, dan Ragam Definisi 12 [Nilai Harapan, Momen, Ragam] Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p(x ) , nilai harapan dari peubah acak X adalah Ε( X ) = xp(x ) .
∑ x
Momen ke- k , dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak X adalah mk = Ε X k . Misalkan momen ke-1, Ε( X ) = µ maka momen
( )
σk
pusat ke- k atau
dari peubah acak X adalah
[
]
σ k = Ε ( X − µ )k . Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X , sedangkan ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Ragam (Variance) dari X , dan dilambangkan dengan Var ( X ) atau σ x2 adalah nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya, yaitu
[ = Ε(X
Var ( X ) = Ε ( X − Ε( X ))2
F X (x ) = P ( X ≤ x ) . (Grimmett and Stirzaker, 1992)
Definisi 9 [Peubah Acak Diskret] Peubah acak X disebut diskret jika nilainilainya merupakan himpunan bagian terhitung {x1 , x 2 ,..} dari R . (Grimmett and Stirzaker, 1992)
λk
p X (k ) = P ( X = k ) =
2
]
− 2 XΕX + (ΕX )2
( ) − 2(ΕX )
=Ε X
2
2
)
+ (ΕX )2
= ΕX 2 − [ΕX ]2 .
(Hogg and Craig, 1995) Definisi 13 [Fungsi Indikator] Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi Indikator dari A adalah suatu fungsi I : Ω → [0,1] ,
2
yang diberikan oleh : 1, jika ω ∈ A ⎪⎧ I ( A) = ⎨ ⎪⎩ 0, jika ω ∉ A. (Grimmett and Stirzaker, 1992)
(Hogg and Craig, 1995) Definisi 18 [Penduga Konsisten] Suatu statistik U (X ) yang konvergen dalam peluang ke suatu parameter g (θ ) , disebut penduga konsisten bagi g (θ ) . (Hogg and Craig, 1995)
Kekonvergenan Peubah Acak Definisi 14 [Kekonvergenan Peubah Acak dalam Peluang] Misalkan X 1 , X 2 ,... X adalah suatu peubah acak pada suatu ruang peluang ( Ω ,Y, P). Kita katakan bahwa barisan peubah acak X n konvergen dalam peluang ke X , P dinotasikan X n ⎯⎯→ X , jika setiap ε > 0 , P X n − X > ε → 0,
(
= E (U − EU + EU − g (θ ) )2 = E (U − EU ) 2 + 2 E (U − EU )( EU − g (θ ) + ( EU − g (θ )) 2
)
Penduga Definisi 15 [Statistik] Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter. (Hogg and Craig, 1995) Definisi 16 [Penduga] Misalkan adalah suatu X 1 , X 2 ,... X n peubah acak. Suatu statistik U = U ( X 1 , X 2 ,... X n ) = U ( X ) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g (θ ) , dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g (θ ) , yang dilambangkan oleh gˆ (θ ) . Nilai U ( X 1 , X 2 ,... X n ) dari U dengan nilai amatan X 1 = x1, X 2 = x 2 , . . . , X n = x n disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g (θ ) . (Hogg and Craig, 1995) Definisi 17 [Penduga Tak Bias] (a). Suatu statistik U ( X ) yang nilai harapannya sama dengan parameter g (θ ) , dituliskan Ε[U ( X )] = g (θ ) disebut penduga tak bias bagi g (θ ) . Selainnya, statistik dikatakan berbias. (b). Jika lim Ε[U ( X )] = g (θ ) , maka penduga n →∞
disebut penduga tak bias
asimtotik.
MSE (U ) = E (U − g (θ ) )2
untuk
untuk n → ∞ . (Grimmett and Stirzaker, 1992)
U(X )
Definisi 19 [MSE suatu Penduga] Mean Square Error (MSE) adalah rataan kuadrat error dari suatu penduga U bagi parameter g (θ ) yang didefinisikan sebagai berikut
= E (U − EU ) 2 + ( EU − g (θ )) 2 = Var (U ) + (bias (U )) 2 dengan bias (U ) = ΕU − g (θ ) .
Proses Stokastik Definisi 20 [Proses Stokastik] Proses stokastik X ={X(t),t ∈T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S . (Ross, 1996) Dengan demikian, X (t ) merupakan suatu peubah acak untuk setiap t pada himpunan indeks T, dengan t merupakan interpretasi dari waktu dan X (t ) kita sebut sebagai keadaan (state) dari proses pada waktu t. Dalam hal ini ruang state S dapat berupa himpunan bilangan bulat (atau himpunan bagiannya) atau dapat juga berupa himpunan bilangan real (atau himpunan bagiannya). Definisi 21 [Proses Stokastik dengan Waktu kontinu] Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. (Ross, 1996) Definisi 22 [Inkremen Bebas] Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X (t ), t ∈ T } disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t 0 < t1 < t 2 < ... < t n , peubah acak X (t0 ) − X (t1 ), X (t2 ) − X (t1 ),..., X (tn ) − X (tn −1 ) adalah bebas. (Ross, 1996) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen 3
bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Definisi 23 [Inkremen Stasioner] Suatu proses stokastik dengaan waktu kontinu {X (t ), t ∈ T } disebut memiliki inkremen stasioner jika X (t + s ) − X (t ) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. (Ross, 1996) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut , dan tidak bergantung pada lokasi titik-titik tersebut. Proses Poisson Proses Poisson merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, kita anggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif, yaitu [0, ∞ ) . Definisi 24 [Proses Pencacahan] Suatu proses stokastik {N (t ), t ∈ T } disebut proses pencacahan jika N (t ) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses pencacahan N (t ) harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut : (i) N (t ) ≥ 0 untuk semua t ∈ [0, ∞ ) . (ii) Nilai N (t ) adalah integer (iii) Jika s < t maka N (s ) ≤ N (t ) (iv) Untuk s < t maka N (t ) − N (s ) , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang [s, t ] . (Ross, 2000) Definisi 25 [Proses Poisson] Suatu proses pencacahan {N (t ), t ≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju λ , λ > 0 , jika dipenuhi tiga syarat berikut
(i) N (0) = 0. (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan
rataan (mean) λ t. Jadi untuk semua t,s > 0, e − λt (λ t )k , k = 0,1,... k! Dari syarat (iii) bisa kita ketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa E (N (t )) = λ t , P(N (t + s ) − N (s ) = k ) =
yang juga menjelaskan kenapa dari proses tersebut.
λ
disebut laju (Ross, 2000)
Definisi 26 [Proses Poisson Homogen] Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan konstanta untuk semua waktu t. (Ross, 2000) Definisi 27 [Proses Poisson Tak Homogen] Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju λ pada sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu λ (t ). (Ross, 2000) Definisi 28 [Intensitas Lokal] Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen X dengan fungsi intensitas λ pada titik s ∈ R adalah λ (s ), yaitu nilai fungsi λ di s. Definisi 29 [Fungsi Periodik] Suatu fungsi λ disebut periodik jika λ (s + kτ ) = λ (s ) untuk semua s ∈ R dan k ∈ Z , dengan Z adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut. (Browder, 1996) Definisi 30 [Proses Poisson Periodik] Proses Poisson Periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Dudley, 1989)
Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 31 [Fungsi Terintegralkan Lokal] Fungsi intensitas λ dikatakan terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh
µ (B ) = λ (s )ds < ∞ .
∫ B
(Dudley, 1989) 4
Definisi 32 [ (O(.)) ] Simbol ‘big-oh’ ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u (x ) dan v(x ) dengan x menuju suatu limit L. Notasi u (x ) = O(v(x )), x → L,
u (x ) terbatas, untuk menyatakan bahwa v(x ) x → L. (Serfling, 1980)
Definisi 33 [o(h)] Suau fungsi f disebut o(h), h → 0, jika f (h ) lim = 0. h→0 h Hal ini berarti f (h ) → 0 lebih cepat dari h → 0. (Ross, 2000) Dengan menggunakan Definisi 32 dan 33 kita peroleh hal berikut (i) Suatu barisan bilangan nyata {a n }
disebut terbatas dan ditulis a n = O(1) untuk n → ∞ , jika ada bilangan terhingga A dan B sehingga B < a n < A untuk semua bilangan asli n. (ii) Suatu barisan {bn } yang konvergen ke nol untuk n → ∞ kadang kala ditulis bn = o(1) untuk n → ∞ . (Purcell and Varberg, 1998)
1 h →0 2 h lim
s+h
∫ λ (u ) − λ (s )du = 0 .
s −h
(Wheeden and Zygmund, 1977) Lema 1 [Ketaksamaan Cauchy-Schwarz] Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka
[ ] [ ]
E [XY ] ≤ E X 2 E Y 2 dan akan bernilai ’sama dengan’ jika dan hanya jika P( X = 0) = 1 atau Ρ(Y = aX ) = 1 untuk suatu konstanta a . Bukti : Lihat Lampiran 1. Lema 2 [Formula Young dari Teorema Taylor] Misalkan g memiliki turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x. Maka
g ( y ) = g (x ) +
(
+o y−x
n
)
n
∑ k =1
g k (x ) ( y − x )k k!
untuk y → x. Bukti : lihat Serfling (1980). Lema 3 [Pertidaksamaan Chebyshev] Jika X adalah peubah acak dengan rataan µ
dan ragam σ 2 , maka untuk setiap k > 0, P{ X − µ ≥ k } ≤
σ2 k2
.
(Helms, 1996) Bukti : lihat Lampiran 2.
Definisi 34 [Titik Lebesgue] Suatu titik s dikatakan titik Lebesgue dari λ jika
HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson pada interval [0, ∞ ) dengan fungsi
intensitas λ (s ) (tidak diketahui) yang diasumsikan memiliki dua komponen, yaitu komponen periodik atau siklik dengan periode (diketahui) τ > 0 dan komponen tren linear yang tidak diketahui. Dengan kata lain untuk sembarang s ∈ [0, ∞ ) fungsi intensitas λ (s ) dapat dituliskan sebagai berikut : (1) λ (s ) = λ c (s ) + as
dengan λ c (s ) adalah fungsi periodik dengan periode (diketahui) τ > 0 dan a menyatakan kemiringan tren linear. Karena λ c (s ) adalah fungsi periodik maka memenuhi persamaan berikut : λ c (s + kτ ) = λ c (s ) (2) untuk setiap s ∈ [0, ∞ ) dan k ∈ Z , dengan Z adalah himpunan bilangan bulat. Karena λ c (s ) adalah fungsi periodik dengan periode τ maka untuk menduga λc (s ) pada s ∈ [0, ∞ ) cukup diduga nilai
5
λc (s ) pada
s ∈ [0, τ ) .
