LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω . (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω . (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 3 (Kejadian lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong
(φ) .
(Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 4 (Medan- σ ) Medan- σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri dari himpunan bagian dari ruang contoh Ω , yang memenuhi syarat berikut : 1. . , maka A c . 2. Jika A ∞
3.
Jika A 1 , A 2,…
, maka
U
Ai
.
i =1
(Hogg et al. 2005) Definisi 5 (Ukuran Peluang) Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan adalah medan- σ pada Ω . Suatu fungsi Ρ yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata , atau Ρ : → disebut ukuran peluang jika : 1. Ρ tak negatif, yaitu untuk setiap A ∈ ,
Ρ( A) ≥ 0 . 2.
Ρ bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan A ∩ A = φ, j ≠ k, A 1, A 2,… k j
( ) ∞
∞
n=1
n=1
maka Ρ U An = ∑ Ρ( A ) . 3.
Ρ bernorma satu, yaitu
n
Ρ(Ω) = 1.
Pasangan (Ω, ,Ρ) disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas. (Hogg et al. 2005) Definisi 6 (Kejadian saling bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika :
Ρ( A ∩ B) = Ρ( A)Ρ(B) .
{
Secara umum, himpunan kejadian Ai ; i ∈ I
}
dikatakan saling bebas jika :
( )
Ρ I Ai = ∏ Ρ( Ai ) i∈J i∈J untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmett and Stirzaker 1992) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak) Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ω ∈Ω ke satu dan hanya satu bilangan real
X (ω) disebut peubah acak. Ruang dari bilangan real
X
adalah himpunan bagian
= { x : x = X (ω), ω ∈ Ω} .
(Hogg et al. 2005) Suatu peubah acak dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya X , Y , Z ,sedangkan nilai dari peubah acak dilambangkan dengan huruf kecil seperti x, y, z . Definisi 8 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Hogg et al. 2005) Definisi 9 (Fungsi sebaran) Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang . Misalkan kejadian A = (−∞, x] ∈ , maka peluang dari kejadian A adalah Ρ( X ≤ x ) = FX ( x ) . Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari peubah acak X . (Hogg et al. 2005)
3
Definisi 10 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak 0,1 yang diskret X adalah fungsi : diberikan oleh : p X ( x) = Ρ( X = x) . (Hogg et al. 2005) Definisi 11 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ , λ > 0, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh k −λ λ p X (k ) = e , k! untuk k = 0,1, ... (Ross 2007) Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson) Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut λ1 dan λ2 , maka X + Y adalah peubah acak bersebaran Poisson dengan parameter λ1 + λ2 . (Taylor and Karlin 1984) Bukti : Lihat Lampiran 1.
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke- k atau mk dari peubah acak X adalah k mk = Ε( X ). (Hogg et al. 2005) Definisi 15 (Momen pusat ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke- k atau σ k dari peubah acak X adalah k σ k = Ε(( X − Ε( X )) ). (Hogg et al. 2005) Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X . Nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya disebut ragam dari X . Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X . Definisi 16 (Fungsi Indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi Ι Α : Ω → [0,1] , yang diberikan oleh :
Ι Α (ω ) =
Momen Peubah Acak Definisi 12 (Nilai harapan) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X ( x ) . Nilai harapan dari X , dinotasikan dengan Ε( X ) , adalah Ε ( X ) = ∑ xp X ( x ), ∀x jika jumlah di atas konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005) Definisi 13 (Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X ( x ) dan
Ε( X ) . Ragam dari X , Var( X ) atau σ X2 , dinotasikan dengan
nilai harapan adalah 2
2
2
σ X = Ε (( X − Ε ( X )) ) = ∑ ( x − Ε ( X )) p X ( x ) . x
(Hogg et al. 2005)
Definisi 14 (Momen ke-k)
{
1, jika ω ∈ A 0, jika ω ∉ A
.
(Grimmet and Stirzaker 1992) Dengan fungsi indikator menyatakan hal berikut : Ε(Ι A ) = Ρ( A) .
kita
dapat
Kekonvergenan Peubah Acak Definisi 17 (Kekonvergenan dalam sebaran) , ,…, adalah peubah acak Misalkan pada suatu ruang peluang Ω, , P . Suatu dikatakan konvergen barisan peubah acak dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis , untuk ∞, jika x P P untuk ∞, untuk semua titik x dimana P adalah fungsi sebaran kontinu. (Grimmett dan Stirzaker 1992)
Penduga
4
Definisi 18 (Statistik) Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg et al. 2005) Definisi 19 (Penduga) Misalkan X1, X2,..., Xn adalah contoh acak. Suatu
statistik
U ( X1, X2 ,..., X n )
yang
digunakan untuk menduga fungsi parameter
Definisi 23 (Proses Stokastik) Proses stokastik X = {X (t ), t ∈T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state X (t ). (Ross 2007) Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T,
X (t) adalah suatu peubah acak. Kita
sering menginterpretasikan t sebagai waktu
g(θ ) , dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g(θ ) , dilambangkan dengan gˆ (θ ) .
dan X (t) sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t .
X1 = x1, X2 = x2,..., Xn = xn , maka nilai U ( x1, x2 ,..., xn ) disebut sebagai
nilai dugaan (estimator) bagi g(θ ) . (Hogg et al. 2005)
Definisi 24 (Proses stokastik waktu kontinu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. (Ross 2007)
Definisi 20 (Penduga Tak Bias) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya
Definisi 25 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
Bilamana
nilai
sama dengan parameter
g(θ ) , yaitu
Ε[U(X1, X2,..., Xn)] = g(θ) , disebut penduga
tak bias bagi g(θ ) . Apabila sebaliknya, penduga di atas disebut berbias. lim Ε[U(X1, X2,..., Xn)] = g(θ) , (ii) Jika n→∞
maka U( X1, X2,..., Xn) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi g(θ ) . (Hogg et al. 2005)
Definsi 21 (Penduga konsisten) Suatu penduga yang konvergen
dalam
peluang ke parameter g(θ ) , disebut penduga konsisten bagi g(θ ) . (Hogg et al. 2005) Definisi 22 (MSE suatu penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu
U bagi parameter penduga didefinisikan sebagai
g(θ )
2 2 MSE(U ) = Ε(U − g(θ )) = (Bias(U )) + Var(U ) dengan Bias(U) = ΕU − g(θ ) .
Proses Poisson Periodik
{X (t), t ∈T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t0 < t1 < t2 < ... < tn , peubah acak X (t1) − X (t0 ), X (t2 ) − X (t1),..., X (tn ) − X (tn−1)
adalah bebas. (Ross 2007) Berdasarkan definisi di atas, maka suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Definisi 26 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
X = {X (t ), t ∈T}
disebut
memiliki
inkremen stasioner jika X(t +s) −X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t . (Ross 2007) Berdasarkan definisi di atas, maka suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.
5
Definisi 27 (Proses Pencacahan)
Suatu proses stokastik {N(t), t ≥ 0} disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t . (Ross 2007) Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan N(t) harus memenuhi syaratsyarat berikut :
N(t) ≥ 0 untuk semua t ∈[0, ∞) . (ii) Nilai N(t) adalah integer. ( ) dengan (iii) Jika s < t maka N(s) ≤Nt (i)
s, t ∈ [0, ∞). (iv) Untuk s < t maka N(t) − N(s) sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval (s, t ] . Definisi 28 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan {N(t), t ≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju λ , λ > 0 , jika dipenuhi tiga syarat berikut : (i) N (0) = 0 . (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t , memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λt . Sehingga untuk semua t, s > 0 , − λt k (λ t ) e , Ρ ( N (t + s ) − N ( s ) = k ) = k! k = 0,1, ... (Ross 2007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh :
Ε( N (t )) = λ t .
Definisi 29 (Proses Poisson tak homogen)
Suatu proses Poisson {N(t), t ≥ 0} disebut proses Poisson tak homogen jika laju pada sembarang waktu t merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu λ (t ) . Definisi 30 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen X dengan fungsi intensitas λ
pada titik fungsi λ di s .
adalah
λ(s)
yaitu nilai
(Cressie 1993) Definisi 31 (Fungsi periodik) Suatu fungsi λ disebut periodik jika
λ(s + kτ ) = λ(s) untuk semua dan . Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut. (Browder 1996) Definisi 32 (Proses Poisson Periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku 2001) Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 33 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh μ ( B) = ∫B λ ( s)ds < ∞. (Dudley 1989)
ο (.) ) Ο(.) dan ο(.)
Definisi 34 ( Ο(.) dan
Simbol-simbol merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u( x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L . (i) Notasi u(x) =Ο(v(x)), x →L, menyatakan bahwa
u ( x) v( x)
terbatas, untuk x → L .
(ii) Notasi u(x) =ο(v(x)), x →L, menyatakan bahwa
u ( x) v( x)
→ 0 , untuk x → L . (Serfling 1980)
Definisi 35 (Titik Lebesque) Kita katakan s adalah titik Lebesque dari jika berlaku
λ
1 h lim ∫ λ ( s + x) − λ ( s ) dx = 0. h→0 2h −h
(Wheeden and Zygmund 1977) Lema 2 (Formula Young dari Teorema Taylor)
6
Misalkan g memiliki turunan ke- n yang berhingga pada suatu titik x . Maka n g ( k ) ( x) n k g ( y ) = g ( x) + ∑ ( y − x) + ο y − x , k =1 k !
(
)
untuk y → x .
(Serfling 1980) Bukti : Lihat Serfling 1980. Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan
μ dan ragam σ 2 , maka untuk
setiap k > 0
(
)
Ρ X −μ ≥ k ≤
σ k
2 2 .
(Ross 2007) Bukti : Lihat Lampiran 2. Lema 4 (Teorema Limit Pusat) Misalkan 1, 2,..., n adalah suatu contoh acak dari suatu distribusi yang mempunyai nilai-harapan µ dan variance σ2. Maka peubah acak Yn = ∑1n X i − nμ / nσ = n ( X n − μ ) / σ konvergen ke sebaran normal dengan nilaiharapan nol dan ragam 1. (Hogg and Craig 2005)
(
)
Bukti : Lihat Hogg and Craig 2005
