Truhlář Michal 3. 12. 2005
Laboratorní práce č.9 Úloha č. 8
T = 23,1° C
ϕ = 30% p = 97,9kPa
Závislost indexu lomu skla na vlnové délce světla Měření indexu lomu refraktometrem: Úkol: - Proveďte justaci hranolu a změřte jeho lámavý úhel. - Metodou minimální deviace změřte index lomu skla nejméně pro čtyři spektrální čáry. - Určete materiálové konstanty a nakreslete disperzní křivku. Teorie: Při průchodu stětelného paprsku rozhraním dvou isotropních prostředí dochází mimo odraz světla také k jeho lomu. Tento jev je popsán Snellovým zákonem. n sin α = 2 (1) sin β n1 Všechny látky vykazují disperzi tj. závislost lomu na vlnové délce světla λ . V oblasti normální disperze je tato závislot popsána vztahem B C n = A+ 2 + 4 + ⋅⋅⋅⋅ (2) λ λ kde A, B, C jsou materiálové konstanty. Ke studiu disperze, tj. stanovení indexu lomu látky pro různé vlnové délky a stanovení materiálových konstant, využíjeme jako disperzní soustavy hranolu. Na trojboký hranol vyrobený ze zkoumané látky nechceme dopadat rovnoběžný svazek paprsků. Ten se na lámavých plochách láme, takže směr vystupujícího paprsku se liší od směru paprsku dopadajícího. Z principálních důvodů není možné stanovit pro zvolenou vlnovovou délku index lomu ze vztahu (1). Jednou z nejpřesnějších metod stanovení veličiny n je metoda minimální deviace. δ mezi Úhel směrem paprsku dopadajícím na disperzí soustavu a paprskem vystupujícm z této soustavy se nazývá deviace. Z druhého obrázku vyplývá, že: δ = ϕ1+ ϕ 2 (3) a pro lámavý úhel hranolu ω platí ω = β1+ β2 (4) Dále je zřejmé že: α1 = β1+ ϕ1 δ = ϕ1+ ϕ2 (5.1) (5.2) α2= β2+ϕ2 ω = β1+ β 2 Z toho dostaneme závyslost pro výpočet odchýlení paprsku δ : δ = α1+α2−ω (6) Je zřejmé, že úhel Je zřejmé že úhel α 2 nějak závisí na úhlu dopadu na hranol α 1 . Odchýlení δ je minimální, když je jeho derivace nulová (lze odvodit, že není maximální, tady to však bylo ověřeno při měření.) dα 1 dδ = 1+ = 0 (7) dα 1 dα ω 1
Diferencovaný Snellův zákon s indexem lomu vzduchu blízkým jedné a skla n tu má podobu: cos α 1 dα 1 = n ⋅ cos β 1 dβ 1 cos α 2 dα Diferencováním vztahu ω = β 1 + β vyjde
2
= n ⋅ cos β 2 dβ 2 dostaneme dβ 1 = − dβ 2 . Dosazením do Snellova zákona
(8)
2
dα 2 cos β 2 cos α 1 = − ⋅ dα 1 cos β 1 cos α 1 dδ To je možné dosadit pro vztah pro : dα 1
(9)
cos α 1 cos α 2 1 − sin 2 α 1 1 − sin 2 α 2 = ⇒ = (10) cos β 1 cos β 2 1 − sin 2 β 1 1 − sin 2 β 2 Dále je možné opět využít Snellův zákon pro tato rozhraní: sin α = n (11) sin β Po dosazení do předchozího vztahu vyjde 1 − n 2 ⋅ sin 2 β 1 1 − n 2 ⋅ sin 2 β 2 = (12) 1 − sin 2 β 1 1 − sin 2 β 2 Protože úhly β 1 a β 2 jsou ostré, vyplývá z této rovnosti β 1 = β 2 a také α 1 = α 2 . Po dosazení do Snellova zákona platí pro tento případ s úhlem minimální deviace δ min 1 13) sin ( ω + δ min ) sin α 1 2 n= = sin β 1 1 sin ⋅ ω 2 probíhalo nepřímo. Pro šest Měření úhlu minimální deviace vlnových délek byla určena poloha minimální deviace při dvou polohách hranolu na goniometru uspořádání bylo jako na obrázku, měření bylo dvakrát opakováno a použity byly aritmetické průměry. Pro úhel minimální deviace platí tento vztah: ϕ −ϕ2 (14) δ min = 1 2 Vztah plyne z toho, že nulový úhel byl někde mezi hodnotami pro jednu a druhou polohu hranolu na goniometru.
2
Měření: a) lámavý úhel:
ϕ1
° 158°26’46‘‘ 154°16’58‘‘ 152°28’27‘‘ 149°29’58‘‘ 146°11’24‘‘
ϕ
ω
2
° 59°59’49‘‘ 59°30’ 7‘‘ 60° 0’13‘‘ 60° 0’ 7‘‘ 60° 0’11‘‘ ω = 59° 54'5,4"
° 38°26’35‘‘ 34°17’05‘‘ 32°28’40‘‘ 29°30’05‘‘ 26°11’35‘‘
Lámavý úhel mnou měřeného hranolu byl ω = ( 59° 54'5,4"± 0° 7'44") s relativní chybou 0,2% b) index lomu skla pro pět spektrálních čar: Vlnové délky spekter světla: 404,6nm fialová 435,8nm modrá 546,1nm zelená 576,9nm žlutá 623,4nm červená
barva fialová modrá zelená žlutá červená
minimální deviace pro první úhel pro druhý úhel ϕ1 ϕ2 ϕ1 ϕ2 ° ° ° ° 145°37’00” 42°38‘10“ 145°36’28“ 42°38‘11“ 145°14’11” 43°30‘24“ 145°14‘23“ 43°30‘01“ 142°28‘22“ 45°14‘52“ 142°28‘23“ 45°14‘57“ 142°10‘29“ 45°32‘45“ 142°10‘32“ 45°32‘30“ 141°50‘39“ 45°52‘20“ 141°50‘29“ 45°52‘14“
pro třetí úhel ϕ1 ϕ2 ° ° 145°36‘26“ 42°37‘57“ 145°14‘11“ 43°30‘12“ 142°28‘19“ 45°15‘07“ 142°10‘26“ 45°32‘37“ 141°50‘30“ 45°53‘31“
δ min ϕ2 n ° ° ° fialová 146°36'38,1" 42°38' 6,00" 52°59'16,08" 1,6691902320 modrá 145°14'15,0" 43°30'12,35" 50°22' 1,33" 1,6484415645 zelená 142°28'21,3" 45°14'58,67" 48°36'41,35" 1,6257013530 žlutá 142°10'28,9" 45°32'37,32" 48°18'55,79" 1,6226737040 červená 141°50'32,6" 45°52'41,66" 47°58'55,49" 1,6192502030 • Velikosti úhlů ϕ 1 a ϕ 2 jsou brány jako aritmetické průměry z předchozí tabulky • Velikost úhlu ω je brána z prvního výpočtu, tedy ω = ( 59° 54'5,4"± 0° 7'44,27") Velikost index lomu je závislá na vlnové délce světla. barva
ϕ1
3
c) materiálové konstanty a disperzní křivka 1,675 Namerené hodnoty Disperzní krivka
1,670 1,665
Disperzní krivka je polinom 2.rádu, 2 kde X = 1/λ 2 Y = 2,0353 - 0,00137 X + 1,13065E-6 X
1,660
Index lomu skla
1,655
Koeficienty: A = 2,0353 B = -0,00137 -6 C = 1,13065
1,650 1,645 1,640 1,635 1,630 1,625 1,620 1,615 400
425
450
475
500
525
550
Vlnová délka svetla / nm
575
600
625
B C + + ⋅⋅⋅ λ2 λ4 Materiálové konstanty byly určeny programem Microcal Origin jako A = 2,0353 B = -0,00137 a C = 1,13065 -6 n = A+
Materiálové vztahy:
(2)
d) Index lomu kapalin pomocí abbého kulového refraktometru Na závěr byl ještě měřen index lomu dvou kapalin (lihu a vody) pomocí Abbého kulového refraktometru. Využívá se toho, že při osvětlení horní části polokoule ze všech směrù (úhel dopadu až 90_) se světelné paprsky dostanou jen do jisté části polokoule { kulové výseče. Z vrcholového úhlu je možné určit index lomu zkoumané látky. Úhel byl určen dalekohledem, kterým bylo možné posouvat po povrchu polokoule. Nitkovým křížem byla určena hranice světla a tmy. U Abbého refraktometru se tedy využívá Snellova zákona, při tom je vždy α = 90° n sin α = 2 (15) sin β n1 sklo v βm vzduch líh voda líh Voda refraktometru natočení
úhel lomu
0°
34°18’
60°
34°35‘
120°
35°43‘
180°
36°34‘
240°
36°14‘
300°
35°10‘
úhel lomu
úhel lomu
index lomu
50°21 ‘ 50°43 ‘ 51°45 ‘ 52°36 ‘ 52°17 ‘ 51°18 ‘
49°04 ‘ 49°16 ‘ 50°23 ‘ 51°15 ‘ 50°52 ‘ 49°58 ‘
1,774540861 1,761790801 1,712981659 1,678534708 1,691832569 1,736241260 4
index lomu
index lomu
1,366319611
1,340616694
1,363669103
1,335005493
1,345233499
1,319557378
1,333452513
1,309063173
1,338316732
1,312319610
1,355015474
1,329388462
β
m
= 35° 25'40"
n S = 1,725986976
5
n L = 1,350334489
n V = 1,324325135
Index lomu skla použitého v Abbého refraktometru n S = (1,726 ± 0,016) s relativní chybou 0,9% . n1 = sin β ⋅ n2
Pro index lomu vody a lihu platí vztah:
Index lomu lihu je n L = (1,3503 ± 0,0055) s relativní chybou 0,4% Index lomu vody je nV = (1,3243 ± 0,0052) s relativní chybou 0,4% Závěr: Za úkol bylo stanovení lámavého úhlu hranolu, který byl změřen jako ω = ( 59° 54'5,4"± 0° 7'44") , s relativní chybou 0,2% . Za předpokladu, že daný úhel byl rovnostraný, je toto měření docela správné. Dalším úkolem bylo stanovení indexu lomu tohoto hranolu pro alespoň čtyři různé spektrální čáry. Jednotlivé výsledky jsou v tabulce u příslušného měření. Z naměřených hodnot byly pak stanoveny pomocí programu Microcal Origin materiálové konstanty A = 2,0353 B = -0,00137 a C = 1,13065 -6 . Doplňkovou úlohou pak bylo staovení indexu lomu dvou kapalin pomocí Abbého refraktometru. Teroretický předpoklad je splněn při úhlu α = 90° , ale na mnou používaném refraktometru byl tento požadavek mírně porušen. Pro líh byl stanoven index lomu n L = (1,3503 ± 0,0055) s relativní chybou 0,4% . A pro vodu pak nV = (1,3243 ± 0,0052) s relativní chybou 0,4%
6
