T = 23,6° C ϕ = 39% p = 99,8kPa Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:
Truhlář Michal 13. 11. 2005
Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5
Úkol: Wheatstoneovým mostem změřte hodnoty odporů dvou rezistorů, jejich sériového a paralelního zapojení a ověřte platnost vztahů pro sériové a paralelní zapojené odporů. Určete citlivost můstku. Pomocí střídavého můstku a normálu indukčnosti určete indukčnost dvou cívek a jejich vzájemnou indukčnost. Pomocí střídavého můstku změřte kapacitu kondenzátorů. - Teplotní závislost pohyblivosti iontů elektrolytu. Určete odporovou kapacitu elektrolytické cely pomocí nasyceného roztoku sádrovce o známé měrné vodivosti v teplotním intervalu 15 až 21°C Změřte teplotní závislost elektrické vodivosti 0,02n roztoku KCL v rozmezí teplot 15 až 70°C. Měření odporu provádějte laboratorním RLCG mostem. Za předpokladu stejné pohyblivosti obou iontů vypočítejte a nakreslete do grafu teplotní závislosti vodivosti a pohyblivosti. Porovnejte s tabelovanými hodnotami. Teorie: Všechna měření byla založena na využití můstků ke stanovení různých veličin, v tomto případě elektrického odporu a indukčnosti cívek. V první úloze byl určován odpor rezistorů Wheatstonovým můstkem. Jeho obecné zapojení je na obrázku. Uprostřed schématu je galvanoměr. Pokud jím neprochází žádný proud, je mezi body B a D nulové napětí, tedy U BD = 0 . Napětí mezi těmito body lze vyjádřit i takto U BD = U BA − U DA = U BC − U DC = 0 (1) Dostaneme tak U BC = U DC U BA = U DA (2.1) (2.2) Neprochází-li mezi body B a D proud, což je předpokládáno, prochází odpory R1 a R2 stejný proud I12 a odpory R3 a R4 proud I34. Přepíšeme-li výše uvedené rovnosti napětí, vyjde I 12 ⋅ R1 = I 34 ⋅ R3 I 12 ⋅ R2 = I 34 ⋅ R4 (3.1) (3.2) Dělením rovnic dostaneme R1 R3 = (4) R2 R4 Při vlastním měření byl určovaný odpor neznámý, např. R1 = R X a jeden srovnávací, R2 = R N . Odpory R3 a R4 byly nahrazeny odporovým drátem s délkovým měřidlem, pomocí něhož byly určeny délky a; b. Potom pro odpor RX platí: a R X = RN ⋅ (5) b Byl určován odpor dvou rezistorů R1, R2, jejich sériového spojení R3 = R1 + R2 a paralelního spojení R ⋅R R4 = 1 2 (6) R1 + R2 pomocí srovnávací odporové dekády nastavené postupně na několik velikostí odporu.
1
Měření: RN 1 2 3 4 5 6 7
Ω 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
b− a
a
cm 63,05 56,00 50,45 45,95 42,20 39,05 36,25
δx =
cm 36,95 44,00 49,55 54,05 57,80 60,95 63,75
RX
Ω 1023,816 1018,182 1018,163 1020,167 1022,145 1025,103 1023,529 R x = 1021,586Ω
Σ ∆ i x2 n ⋅ ( n − 1)
Odpor prvního rezistoru je R = (1021,6 ± 1,1) Ω s relativní chybou 0,13% . Výrobce udává hodnotu R X = 1kΩ RN 1 2 3 4 5 6
Ω 200 400 500 600 700 800
b− a
a
cm 70,45 54,05 48,55 44,0 40,30 37,15
δx =
cm 29,55 45,95 51,45 56,00 59,70 62,85
RX
Ω 476,8190 470,5114 471,8173 471,4286 472,5293 472,8719 R x = 472,6629Ω
Σ ∆ i x2 n ⋅ ( n − 1)
Odpor druhého rezistoru je R = ( 472,7 ± 0,8) Ω s relativní chybou 0,17% . Výrobce udává hodnotu R X = 470Ω
2
- sériové zapojení: RN 1 2 3 4 5 6
b− a
a
cm 55,30 53,25 51,45 49,80 48,15 46,75
Ω 1200 1300 1400 1500 1600 1700
δx =
cm 44,70 46,75 48,55 50,20 51,85 53,25
RX
Ω 1484,564 1480,749 1483,625 1488,048 1485,824 1492,488 R x = 1485,883Ω
Σ ∆ i x2 n ⋅ ( n − 1)
Odpor sériového zapojení rezistorů je R P = (1485,9 ± 1,7 ) Ω s relativní chybou 0,11% . - paralelní zapojení: RN Ω 1 200 2 300 3 350 4 400 5 500
b− a
a
cm 61,85 51,75 48,15 44,70 39,35
δx =
cm 38,15 48,25 51,85 55,3 60,65
RX
Ω 324,2464 321,7617 325,0241 323,3273 324,4023 R x = 323,7524Ω
Σ ∆ i x2 n ⋅ ( n − 1)
Odpor paralelního zapojení rezistorů je RS = ( 323,8 ± 0,6 ) Ω s relativní chybou 0,18% . - citlivost můstku
+ ∆ RN
dílky
3,5 7,0 11,0 14,5 0 , 7 dílků ⇒ citlivost =
R N = 1000
5 10 15 20
1Ω
a = 50,45 b − a = 49,55 R X = 1018,16
Ověření platnosti měření: RS = R1 + R2 = 1021,586Ω + 472,663Ω = 1494,249Ω rˆ =
rˆ12 + rˆ22 =
( 0,13% ) 2 + ( 0,17% ) 2
= 0,214%
2 2 δˆ = δˆ´12 + δˆ22 = (1,1) + ( 0,8) = 1,36Ω Teoretickým výpočtem jsem pro sériové zapojení získal RS = (1494,3 ± 1,4) Ω s relativní chybou 0,2% Měřením byl získán údaj R P = (1485,9 ± 1,7 ) Ω s relativní chybou 0,11%
3
R P− 1 = R1− 1 + R2− 1 = (1021,586) Ω + ( 472,663) Ω ⇒ R p = 323,1495Ω −1
rˆ =
rˆ12 + rˆ22 =
−1
( 0,13% ) 2 + ( 0,17% ) 2
= 0,214%
1 ˆ2 1 ˆ2 1 1 (1,1) 2 + ( 0,8) 2 = 0,63Ω δ + 4δ2 = 4 ´1 4 4 µˆ 1 µˆ 2 (1021,586) ( 472,663) Teoretickým výpočtem jsem pro paralelní zapojení získal R P = ( 323,15 ± 0,63) Ω s relativní chybou 0,2% Měřením byl získán údaj RS = ( 323,8 ± 0,6 ) Ω s relativní chybou 0,18% .
δˆ =
- Měření indukčnosti V dalším měření bylo za úkol stanovit indukčnost dvou cívek včetně jejich vzájemné indukčnosti. Při měření byl použit obdobný můstek, jako v předchozím úkolu, jen místo galvanoměru byl použit osciloskop, protože obvod byl napájen G f = 1 kHz střídavým proudem o frekvenci . Srovnávací cívka měla indukčnost L N = 0,1H . Pro indukčnost měřené cívky L X platí obdobný vztah jako v předešlém úkolu. R LX = 3 (7) D L N R4 Zapojení můstku je podobné, jako na prvním obrázku, R3 a R4 jsou odporové dekády. Místo odporů R1 a R2 byly zapojeny cívky LX a LN. Jejich ohmický odpor byl vyrovnáván potenciometrem, který byl zapojen místo horního uzlu. Tím bylo umožněno, aby platil výše uvedený vzorec. Byla provedena třikrát čtyři měření s odporem R4 rovným 1000; 2000 a 3000 pro dvě cívky L1 a L2 se společným jádrem. Cívky byly zapojovány jak zvlášť, tak dohromady, jednou se souhlasným směrem vinutí (L3), jednou s opačným (L4). Zapojení cívek a) souhlasné Hodnoty jsou v tabulkách. b) nesouhlasné
Měření: R3
1 2 3
S 1 2 3
R4
Ω 1000 2000 3000
Ω 2200 4500 6800
R3
R4
Ω 1000 2000 3000
Ω 1050 2080 3110
R3
LX
mH 45,45 44,44 44,12
1 2 3
N
LX
mH 95,24 96,15 96,46
1 2 3
Ω 1000 2000 3000
R4
Ω 2200 4400 6700
LX
R3
R4
LX
Ω 1000 2000 3000
Ω 1210 2380 3610
mH 45,45 45,45 44,78 mH 82,65 84,03 83,10
Schémata vedle tabulek symbolicky naznačují zapojení cívky (cívek) do obvodu. Podle velikosti změřené indukčnosti L X pro zapojení dvou cívek série, lze určit, které z těchto zapojení je zapojení souhlasné (S) a které nesouhlasné (N). To můžeme ověřit i podle následujících vzorců. Pro změřené hodnoty tyto vzorce odpovídají. 4
1 ( LS − Ln ) 4 Z měření vychází indukčnost první cívky L1 = ( 44,8 ± 0,4) ⋅ 10 − 3 H s relativní chybou 0,9% Z měření vychází indukčnost druhé cívky L2 = ( 45,2 ± 0,2 ) ⋅ 10 − 3 H s relativní chybou 0,5% Z měření vychází indukčnost souhlasného zapojení cívek LS = ( 95,9 ± 0,3) ⋅ 10 − 3 H s relativní chybou 0,4% Z měření vychází indukčnost nesouhlasného zapojení cívek LN = ( 83,3 ± 0,4 ) ⋅ 10 − 3 H s relativní chybou 0,5% L12 se pak rovná L12 = ( 3,15 ± 0,11) ⋅ 10 − 3 H s relativní chybou 1,0% LS = L1 + L2 + 2L12
Ln = L1 + L2 − 2L12
5
L12 =
Teorie: - Teplotní závislost pohyblivosti iontů v elektrolytu: Tato část měření se zabývala elektrolyty. Nejprve měla být určena odporová kapacita nádobky se dvěma elektrodami { elektrolytické cely. Odpor nádobky s elektrolytem RX, odporová kapacita A a vodivost σ jsou svázány vztahem A RX = (8) σ Nádobka byla naplněna roztokem CaSO4 a byla postupně zahřívána od 13°C do 21°C. Hodnoty vodivosti sádrovce uvedené v návodu narůstají v tomto rozpětí teplot lineárně, takže je bylo možné přepočítat pro námi změřené teploty. Byly zjištěny tyto hodnoty teploty a odporu, a to digitálním teploměrem a laboratorním RLCG mostem. mol −5 −3 c m = 0,02 N = 2 ⋅ 10 mol ⋅ m KCl l Dále se měření týkalo roztoku s koncentrací . Nejprve byla určena závislost odporu roztoku v nádobce na teplotě. Hodnoty jsou zaznamenány jak v tabulce, tak v grafu. Nakonec bylo za úkol vytvořit graf závislosti vodivosti a pohyblivosti iontů K + , Cl − a to za předpokladu, že oba ionty mají pohyblivost stejnou. Pohyblivost je dána vztahem σ σ µ = = (9) 2 Fc m 2 N A ecm Ve vztahu vystupuje vodivosti σ, Faradayova konstanta F = N A ⋅ e , Avogadrova konstanta N = 6,023 ⋅ 10 23 , elementární náboj elektronu e = 1,602 ⋅ 10 − 19 C a koncentrace KCl c m = 2 ⋅ 10 − 5 mol ⋅ m − 3 . Po dosazení vodivosti dostaneme A µ = (10) 2 R X Fc m Měření: Cp 10σ − 1 − 1 RX Rp A −1 T Ω ⋅m °C Ω µF m Ω 1 12,6 0,1812 619,3 413,7 2 15,0 0,1919 590,2 391,8 1,734 67,94 3 16,9 0,1951 582,0 385,7 1,831 70,62 4 18,0 0,1981 571,1 379,4 1,880 71,33 5 19,0 0,2021 562,2 372,4 1,928 71,80 6 20,0 0,2046 554,0 367,6 1,976 72,64 7 21,0 0,2070 547,7 363,3 2,024 73,53 A = 71,31m -1 RX =
A σ
σ =
A RX
RX = R p ⋅
1 1 + ω ⋅ R p2 ⋅ C p2 2
ω = 2 ⋅ π ⋅ 10 3
A = RX ⋅ σ Dostaneme tak odporovou kapacitu A = ( 71,3 ± 0,8) m − 1 s relativní chybou 1,1% .
6
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
°C
10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0 26,0 27,0 28,0 29,0 30,0
Rp
σ
Ω −1 0,2037 0,2081 0,2122 0,2172 0,2217 0,2256 0,2293 0,2340 0,2385 0,2424 0,2467 0,2498 0,2547 0,2594 0,2631 0,2670 0,2709 0,2740 0,2785 0,2822 0,2853
µF 0,1662 0,1682 0,1710 0,1750 0,1786 0,1825 0,1859 0,1897 0,1936 0,1972 0,2008 0,2038 0,2080 0,2124 0,2152 0,2189 0,2224 0,2257 0,2285 0,2309 0,2350
Ω 350,01 342,64 336,01 328,25 321,59 316,07 311,02 304,72 298,97 294,14 289,07 285,48 279,97 274,86 271,03 267,05 263,19 260,30 256,04 252,68 249,95
Ω 416,1 405,6 397,2 388,0 380,1 374,3 368,7 361,2 354,6 349,2 343,3 339,4 333,0 327,3 322,6 318,2 313,8 310,9 305,2 300,8 298,5
A = ( 71,3 ± 0,8) m − 1
Cp
RX
10 3 µ 52,79 53,92 54,99 56,29 57,45 58,46 59,40 60,63 61,80 62,81 63,92 64,72 65,99 67,22 68,17 69,19 70,20 70,98 72,16 73,12 73,92
360
Namerené hodnoty Polynomická regrese
350
A σ = RX
340 330
c m = 2 ⋅ 10 − 5 mol ⋅ m − 3
N A = 6,023 ⋅ 10 23 e = 1,602 ⋅ 10 − 19 C
µ =
A 2 R X Fc m
Odpor RX / Ω
F = NA ⋅ e
320 310 300 290 280 270 260 250 240 10
12
14
16
18
20
Teplota / °C
7
22
24
26
28
30
Graf vodivosti 0,29
Vypoctené hodnoty Lineární regrese
0,28 0,27
Vodivost σ / Ω
-1
0,26 0,25 0,24 0,23 0,22 0,21 0,20 10
12
14
16
18
20
22
Teplota T / °C
24
26
28
30
32
24
26
28
30
32
Graf pohyblivosti 74
Vypoctené hodnoty Lineární regrese
72
-1 -1
66
3
Pohyblivostµ / 10 m V s
68
2
70
64 62 60 58 56 54 52 10
12
14
16
18
20
22
Teplota T / °C
8
Závěr: První část měření týkající se můstkové metody měření odporu byla úspěšná, a to i pro některé nevhodné zvolené srovnávací odpory R3 a R4. U měření indukčnosti nelze úspěšnost určit, protože naměřené hodnoty není s čím porovnat. To, že vyšly pro každé zapojení tři téměř shodné hodnoty, je způsobeno nízkou citlivostí použitého zapojení. Podařilo se však alespoň rozhodnout, které zapojení cívek bylo souhlasné (S), a které nesouhlasné (N). Při měření pohyblivosti iontů v elektrolytu se vyskytlo několik potíží. Z naměřených hodnot vyšla odporová kapacita A závislá na teplotě. Její vypočítané relativní a absolutní střední chyby proto neodpovídají skutečnosti, předpoklad byl, že jde o konstantu. Další chyby se objevily při odečtu teploty a odporu při zahřívání roztoku KCl . Chvílemi se hodnoty měnily velice rychle, přesný odečet tak nebyl možný. Naměřil jsem také pohyblivost roztoku KC ve vodě. Pro t = 18° C je pak vodivost µ = 61,80 ⋅ 10 3 m 2 V -1 s − 1 což by odpovídalo docela dobře. Hodnoty pohyblivosti pro K + µ = 6,62 ⋅ 10 8 m 2V − 1 s − 1 při teplotě t = 18° C a µ = 6,64 ⋅ 10 8 m 2V − 1 s − 1 pro Cl −
9
