Fyzikální praktikum pro JCH, Bc Jméno a příjmení: Zuzana Dočekalová
Datum:
21.4.2010
Spolupracovník:
Aneta Sajdová
Obor:
Jaderně chemické inženýrství
Číslo studenta:
5 (středa 9:30)
Ročník:
II.
Číslo úlohy:
1
Hodnocení:
Název úlohy:
Kalibrace rtuťového teploměru plynovým teploměrem, Závislost odporu termistoru na teplotě
Úvod Rtuťové teploměry na trhu a použití jsou pomalu nahrazovány digitálními teploměry, nutnost kalibrace však zůstává. Pokud je odezva přístroje lineární, kalibrace je jednoduchá pomocí ledové lázně o teplotě přesně 0°C a parní lázně o teplotě přesně 100°C, z definice Celsiovy stupnice (za normálního tlaku). V případě nelineární závislosti se kalibrace může zdát složitější. Termistol je polovodičová součástka, hojně užívaná v průmyslu. Využívá se vlastnosti, že jeho odpor klesá s rostoucí teplotou. Úkoly: Kalibrace rtuťového teploměru plynovým teploměrem: 1. Ocejchujte rtuťový teploměr pomocí plynového teploměru a nakreslete příslušný graf. 2. Vypočítejte součinitele rozpínavosti plynů γ a proveďte kontrolu pomocí teploty absolutní nuly. Závislost odporu termistoru na teplotě: 1. V domácí přípravě nakreslete závislost R = R(T) a ln R = f(1/T) v intervalu teplot 〈 293 ;343〉 K. Předpokládejte B = 2500 K a R∞ = 0,1Ω . 2. V domácí přípravě odvoďte závislost teplotního součinitele odporu a na teplotě T pro termistor a pro rezistor z kovového materiálu. Teplotní součinitel odporu α je definován vztahem: 1 dR α= ⋅ . (1) R dT Závislost odporu termistoru na teplotě je dána vztahem (4), odpor rezistoru z kovového materiálu lineárně vzrůstá s teplotou. Porovnejte oba výsledky. 3. Pomocí PC změřte teplotní závislost odporu daného termistoru v oboru od asi 20 °C (pokojová teplota) do 60 °C (viz pokyny pro měření). Nezapomeňte převést °C na Kelviny. 4. Z naměřených hodnot sestrojte graf, ve kterém na vodorovnou osu vynesete hodnoty 1/T a na svislou ln R. Proč je to výhodné? Rozsah obou os volte tak, abyste mohli extrapolovat do bodu, který odpovídá teplotě 0 °C (viz úkol č. 5). 5. Odpor termistoru při 0 °C odečtěte z grafu, který jste kreslili v úkolu č. 4. Tuto hodnotu získejte prostřednictvím grafické extrapolace ručně, bez pomoci PC. (Je nutno použít extrapolaci, protože pro teplotu 0 °C jste odpor termistoru neměřili.) 6. Vypočítejte hodnoty konstant B a R∞. Za tím účelem vyberte z dat poblíž začátku měření hodnotu teploty T1 a příslušnou hodnotu odporu R1 a obdobně z konce měření hodnoty T2 a R2. Každá z dvojic [T1; R1],[T2; R2] by měla splňovat rovnice R1 = R(T1) a R2 = R(T2). Tyto dvě rovnice tvoří soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé B a R∞, které z nich můžete vypočítat. Jaký je význam konstant R∞ a B? 7. Pomocí B a R∞ (vypočtených v úkolu č. 6) určete, jaký odpor bude mít termistor při teplotě 0 °C (jde o početní extrapolaci). 8. Hodnoty odporu termistoru při teplotě 0 °C získané podle bodů 5 a 7 vzájemně porovnejte.
Teorie: Kalibrace teploměru: Plynový teploměr je baňka spolená kapilárou s rtuťovým manometrem, v níž se rozpíná plyn v závislosti na teplotě okolního prostředí.
Obrázek 1: Plynový teploměr. Zachováme-li izochorické podmínky, pro teplotu [t] = °C platí: t=100⋅
p− po , p 100 − p o
kde p je tlak při teplotě t, po je tlak při teplotě t = 0 °C a p100 je tlak při teplotě t = 100 °C. Jestliže p = hρg a ho položíme rovno 0, dostaneme: h t=100⋅ , h 100
(2)
kde indexy odpovídají indexům u tlaků. Pro součinitel rozpínavosti plynů γ platí podle Gay-Lussaca: γ=
p− po h = , p o⋅t b⋅t
(3)
kde b je barometrický tlak a h je rozdíl výšek sloupce rtuti v manometru při rozdílu teplot t. Odpor termistoru: Termistor je polovodičová součástka, jejíž odpor R klesá se vzrůstající teplotou podle vztahu: RT =R∞⋅e
B T
,
kde B je teplotní citlivost termistoru, kterou lze považovat za konstantu, R∞ je konstanta a T je absolutní teplota.
(4)
Postup a měření: Kalibrace teploměru Úkol 1: Baňku plynového teploměru jsme umístily do ledové lázně, vyrovnaly jsme tlak s okolím poznačily jsme si nulovou úroveň výšky rtuťového sloupce manometru. Na topné spirále jsme baňku zahřívaly na vodní lázni a kalibrovaným teploměrem jsme měřily teplotu lázně. Po určitých časových intervalech jsme topnou spirálu vypnuly, nechaly jsme ustavit rovnováhu a změřily jsme výšku sloupce rtuti v manometru, přičemž jsme dbaly, aby v druhém rameni byla rtuť stále v těsném kontaktu se skleněným zobáčkem. Naměřené hodnoty jsou v tabulce 1, podle které jsem vynesla kalibrační graf (graf 1). t [°C] měř. h [cm] t [°C] kalib.
4,3 0 0
22,7 5,08 20,85
36,3 8,43 34,61
44,7 10,66 43,76
55,8 13,44 55,17
60 14,65 60,14
75,4 18,55 76,15
85,9 21,15 86,82
97,8 24,36 100
Tabulka 1: Kalibrace rtuťového teploměru plynovým. V tabulce1 teplota označená měř. je změřená rtuťovým teploměrem a teplota označená kalib. je vypočtená podle vztahu (2).
120
f(x) = 1,06x - 3,91 100
t [°C] kalib.
80
60
t [°C] kalib. Lineární regrese pro t [°C] kalib.
40
20
0 0
20
40
60
80
100
120
t [°C] měř.
Graf 1: Kalibrační graf rtuťového teploměru – závislost změřené teploty na vypočtené. Úkol 2: Měření probíhalo za tlaku b = 74,52 cm Hg sloupce. Pomocí vzorce (3) jsem spočítala součinitel rozpínavosti γ = (3,27 ± 0,03) · 10-3 K-1. Tato hodnota je o hodně nižší než tabulková γ = 3,67 · 10-3 K-1. Vysvětlení uvedu v diskuzi.
Postup a měření: Odpor termistoru Úkol 1: Pro B = 2500 K a R∞ = 0,1 Ω jsem podle vztahu (4) do grafu 2 vykreslila závislost R = f (T) a do grafu 3 závislost ln R = f (1/T), pro teplotu z intervalu 〈 293 ; 343〉 . 600 500
R[Ω]
400 300
R [Ω]
200 100 0 290
300
310
320
330
340
350
T[K]
Graf 2: Závislost odporu R na teplotě T. 6,5 6,3 6,1
ln R [-]
5,9 5,7 5,5 5,3 5,1 4,9 4,7 4,5
ln R [-]
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
1/T [0,001/K]
Graf 3: Závislost logaritmu odporu lnR na reciproké hodnotě teploty 1/T. Úkol 2: Podle vztahu (1) jsem odvodila součinitel odporu α pro termistor:
B
B
1 d R ⋅B α= ⋅ R ⋅e T =− ∞2 ⋅e T . R dT ∞ T ⋅R
(5)
Pro rezistor z kovového materiálu odpor roste lineárně s teplotou, tedy platí: RT =K⋅T R o , kde K a Ro jsou konstanty, pak podle (1) je pro takový rezistor součinitel odporu α vyjádřen vztahem: 1 d K α= ⋅ K⋅T Ro = . R dT R
(6)
Ze vztahů (5) a (6) vidíme, že zatímco součinitel odporu pro termistor je funkcí teploty T, součinitel odporu kovového rezistoru na teplotě T nezávisí.
Úkol 3: Pomocí počítače jsme měřily závislost odporu na teplotě pomocí kalibračního rezistoru RN = (329,6 ± 0,1) Ω. Termistor byl s kalibračním rezistorem zapojen v sérii, proto pro odpor termistoru R platí: R=
UT ⋅R , UN N
kde UT je napětí na termistoru a UN je napětí na kalibračním rezistoru. Naměřená data a vypočtené hodnoty odporu R jsou v tabulce 2. t[s] 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720 750 780 810 840 870 900 930 960 990 1020 1050
UT[V]
T [K]
UN [V]
0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,97 0,97 0,97 0,96 0,96 0,96 0,95 0,95 0,94 0,94 0,93 0,93 0,93 0,92 0,92 0,91 0,91 0,91 0,90 0,89 0,89 0,89 0,88 0,88 0,87
295,2 295,2 295,2 295,2 295,2 295,2 295,2 295,3 295,3 295,4 295,6 295,7 296,0 296,2 296,5 296,8 297,1 297,4 297,7 298,0 298,4 298,8 299,1 299,5 299,9 300,2 300,7 301,1 301,5 301,9 302,3 302,8 303,2 303,7 304,1 304,5
0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,47 0,47 0,48 0,48 0,48 0,49 0,49 0,49 0,50 0,50 0,51 0,51 0,52 0,53 0,53 0,54 0,54 0,55 0,55 0,56 0,56
R [Ω] 721,74 713,77 710,13 710,13 710,13 710,13 710,13 710,13 710,13 718,06 702,38 698,78 698,78 686,19 682,64 676,81 664,76 654,38 650,94 640,81 630,89 620,50 620,50 611,64 601,65 593,15 583,53 574,74 568,17 560,76 548,31 545,23 535,22 527,36 519,64 512,06
t[s] UT[V] 1080 0,87 1110 0,86 1140 0,86 1170 0,85 1200 0,85 1230 0,85 1260 0,84 1290 0,83 1320 0,83 1350 0,82 1380 0,82 1410 0,82 1440 0,81 1470 0,80 1500 0,80 1530 0,79 1560 0,79 1590 0,79 1620 0,78 1650 0,78 1680 0,77 1710 0,77 1740 0,77 1770 0,77 1800 0,76 1830 0,76 1860 0,76 1890 0,75 1920 0,75 1950 0,75 1980 0,74 2010 0,74 2040 0,74 2070 0,73 2100 0,73 2130 0,73
T [K] 305,0 305,4 305,8 306,2 306,6 307,0 307,5 307,9 308,3 308,7 309,1 309,5 310,0 310,4 310,7 311,1 311,5 311,9 312,2 312,6 313,0 313,3 313,7 314,0 314,3 314,7 315,0 315,4 315,7 316,0 316,4 316,7 317,1 317,4 317,7 318,1
UN [V] R [Ω] 0,57 507,53 0,57 501,69 0,58 492,97 0,58 487,23 0,58 483,03 0,58 480,19 0,59 473,27 0,60 461,22 0,60 458,45 0,60 451,90 0,61 445,45 0,61 441,80 0,62 432,87 0,62 430,19 0,63 423,32 0,63 418,05 0,63 414,74 0,64 408,89 0,64 406,30 0,65 400,01 0,65 394,91 0,65 391,27 0,65 391,27 0,66 386,38 0,66 380,38 0,67 377,53 0,67 375,06 0,67 367,37 0,67 367,37 0,68 364,65 0,68 359,08 0,68 356,66 0,69 354,07 0,69 351,67 0,69 346,75 0,70 344,26
t[s] 2160 2190 2220 2250 2280 2310 2340 2370 2400 2430 2460 2490 2520 2550 2580 2610 2640 2670 2700 2730 2760 2790 2820 2850 2880 2910 2940 2970 3000 3030 3060 3090 3120 3150 3180 3210 3240 3270
UT[V] T [K] UN [V] R [Ω] 0,72 318,4 0,70 339,53 0,72 318,8 0,70 337,11 0,72 319,0 0,70 337,11 0,71 319,4 0,71 327,75 0,71 319,6 0,71 330,06 0,71 320,0 0,71 327,75 0,70 320,3 0,72 323,16 0,70 320,6 0,72 320,48 0,70 320,9 0,72 318,20 0,69 321,2 0,73 313,75 0,69 321,5 0,73 313,75 0,69 321,7 0,73 309,37 0,69 322,0 0,73 309,37 0,69 322,3 0,73 309,37 0,68 322,5 0,74 305,04 0,68 322,8 0,74 302,98 0,68 323,1 0,74 300,77 0,68 323,4 0,75 298,76 0,67 323,7 0,75 296,55 0,67 323,9 0,75 291,96 0,67 324,2 0,75 291,96 0,67 324,5 0,75 291,96 0,66 324,7 0,76 288,29 0,66 324,9 0,76 285,68 0,66 325,2 0,76 283,81 0,65 325,4 0,76 281,65 0,65 325,7 0,77 279,82 0,65 325,9 0,77 279,82 0,65 326,2 0,77 277,67 0,65 326,4 0,77 275,87 0,65 326,6 0,77 275,87 0,64 326,9 0,77 273,74 0,64 327,1 0,78 271,63 0,64 327,4 0,78 268,14 0,64 327,6 0,78 268,14 0,63 327,8 0,78 266,04 0,63 328,0 0,79 264,01 0,63 328,3 0,79 261,93
Tabulka 2: Naměřená data závislosti odporu termistoru na teplotě a vypočtené hodnoty odporu R.
Úkol 4: Z hodnot uvedených v tabulce 2 jsem sestrojila graf 4. 7,5
f(x) = 2,92x - 3,35
7
ln R [-]
6,5 ln R [-] Lineární regrese pro ln R [-]
6
T = 273,15 K
5,5
5 3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
1 /T [0 ,0 0 1 /K ] Graf 4: Závislost logaritmu odporu rezistoru lnR na reciproké hodnotě absolutní teploty T s extrapolovanou hodnotou pro T = 273,15 K. Do grafu 4 jsem vynášela závislost ln R = f (1/T). Toto je výhodné, protože složitá závislost R = f (T) v grafu 2 přejde na lineární závislost (obecně graf 3). Z grafu 4 vidíme, že naměřená data s tímto předpokladem korespondují. Úkol 5:
1 1 = =3,66⋅10−3 K−1 odečetla hodnotu ln R = 7,35 ± 0,01, T 273,15 odkud odpor termistoru při T = 0 °C je Ro = (1560 ± 20) Ω. Extrapolací z grafu 4 jsem pro
Úkol 6: Ze začátku a konce měření jsem vybrala vždy 20 dvojic [R;T]. Vztah (4) jsem zapsala jako soustavu dvou rovnic o dvou neznámých s řešením: T ⋅T R B= 1 2 ⋅ln 1 T 2−T 1 R2
−
R∞= R1⋅e
B T1
,
kde za [R1;T1] jsem dosazovala dvojice ze začátku měření a za [R2;T2] jsem dosazovala dvojice z konce měření. Statistickým zpracováním jsem určila B = (2900 ± 40) K a R∞ = (0,038 ± 0,004) Ω. Vzhledem k tomu, že argument exponenciely ve vztahu (4) bude vždy kladný a s teplotou jdoucí k nekonečnu jde exponent do nuly, tedy exponenciela jde k číslu 1, je R∞ teoretická hodnota odporu při nekonečné teplotě. Konstanta B není v celém rozsahu teplot konstantou, ale závisí především na materiálu. Určuje především rychlost růstu odporu s klesající teplotou. Pro T mnohem větší než B se odpor mění hodně, pro T mnohem menší se odpor s teplotou téměř nemění. Úkol 7: Pomocí dvaceti dvojic [B;R∞] jsem pro každou dvojici vypočetla odpor termistoru a tyto výsledky jsem statisticky zpracovala. Určila jsem tak, že odpor při teplotě T = 273,15 K má hodnotu Ro = (1560 ± 30) Ω.
Diskuze: Z grafu 1 a jeho regresní rovnice vidíme, že obě stupnice se víceméně překrývají. Poměrné velký je v regresní rovnici koeficient b, což je dáno tím, že teplotu v kalibrovaném teploměru se nám ledovou lázní nepodařilo dostat níže než na 4,3 °C, jak je vidět z tabulky 1. Stejně tak parní lázní jsme nedocílily teploty 100 °C. Součinitel rozpínavosti plynů mi vyšel γ = (3,27 ± 0,03) · 10-3 K-1, což je o hodně nižší než tabulková γ = 3,67 · 10-3 K-1. Hodnotu s největší pravděpodobností zkreslovala netěsnost aparatury. Závislost odporu termistoru na teplotě námi změřená dobře odpovídá aplikované teorii, jak je vidět z porovnání grafu 3 a grafu 4. Pomocí grafické a početní extrapolace jsem z naměřených dat určila hodnotu odporu při teplotě t = 0 °C. Porovnání je v tabulce 3. Ro [Ω] grafická
Ro [Ω] početní
1560 ± 20
1560 ± 30
Tabulka 3: Porovnání výsledků grafické a početní extrapolace. Z tabulky 3 je vidět výborná shoda výsledků z dvou různých postupů. Postupy se liší chybou měření, zdá se, že grafická extrapolace je přesnější. To může být dáno přímočarostí extrapolace přímo z grafu, zatímco početní vyžadovala výpočet konstant a tedy nutně i zavlečení další chyby. Na druhou stranu relativní chyba měření je srovnatelná a proto bych se klonila spíše k názoru, že i přesnosti obou měření jsou srovnatelné. Závěr: Pomocí plynového teploměru jsme zkalibrovaly rtuťový teploměr, závislost je v grafu 1. Naměřené hodnoty jsme použily k výpočtu součinitele rozpínavosti plynů γ = (3,27 ± 0,03) · 10-3 K-1, což jsem porovnala s tabulkovou hodnotou γ = 3,67 · 10-3 K-1. Pomocí počítače jsme změřily závislost odporu termistoru na teplotě a potvrdily jsme předpokládanou teoretickou závislost vyjádřenou vztahem (4). Grafickou extrapolací jsem určila Ro = (1560 ± 20) Ω. Z naměřených dat jsem vypočetla konstanty B = (2900 ± 40) K a R∞ = (0,038 ± 0,004) Ω, pomocí kterých jsem vypočítala Ro = (1560 ± 30) Ω. Hodnoty z obou typů extrapolace jsem porovnala v tabulce 3. Zdroje: [1] Kolektiv katedry fyziky, Úlohy fyzikálních praktik – Kalibrace rtuťového teploměru plynovým teploměrem, [cit. 24.4.2010] URL: http://praktika.fjfi.cvut.cz/PlynTepl/PlynTepl.pdf [2] Kolektiv katedry fyziky, Úlohy fyzikálních praktik – Závislost odporu termistoru na teplotě, [cit. 24.4.2010] URL: http://fyzika.fjfi.cvut.cz/Termika/Termistor/praktika/ZFM/termistor.pdf [3] OTIPKA, ŠMAJSTRLA, Pravděpodobnost a statistika, [cit. 24.4.2010] URL: http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/
