Kvantum-tömörítés II

LOGO

Kvantum-tömörítés II. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar

A kvantumcsatorna kapacitása

Kommunikáció kvantumbitekkel Klasszikus bitek előnyei  Könnyű kezelhetőség  Stabil kommunikáció  Diszkrét értékek A klasszikus bitek és a kvantumbitek jelentősen különböznek, azonban bizonyos feltételek teljesülése esetén felcserélhetőek

Alapvető fontosságú kérdések:  Kvantumrendszereket hogyan alkalmazhatjuk klasszikus bitek helyett?  Hogyan változik a kvantumbitekben tárolható információ mértéke a klasszikus bitekhez képest?

Kvantumállapotok alkalmazása r = { ji ; pi }

i

1

Forrás: tiszta kvantumállapotok Tömörítés: Neumann-entrópia (kvantumbit/szimbólum)

Kvantumállapotok alkalmazása r = { ji ; pi }

i

2

i

1

Forrás: tiszta kvantumállapotok Tömörítés: Neumann-entrópia (kvantumbit/szimbólum)

Átviteli görbe Forrás :    i ; pi , ahol

i : tiszta kvantumállapot,

r = { ji ; pi }

pi : az állapot előfordulási valószínűsége.

Az  állapot tömörítése a felhasznált klasszikus bitek függvényében: i1,,in : klasszikus információ = ortogonális kvantumállapotok

Kvantumcsatorna átviteli kapacitása: S    Neumann-entrópia Kvantum  klasszikus átviteli görbe: Optimalizációs görbe:

Q*

R=0 bit/jel esetén: Q*  0   S    R  H ( p ) bit/jel esetén: Q*  H ( p )   0.

R

 Q  R   Smin  R  . *

Optimális átviteli görbe megkonstruálása

Kvantumcsatorna leírása A    i ; pi  állapotok Neumann-entrópiája:   S     S   pii  , ahol S     Tr  log  .  i    n  I , pI  , ahol I := i1,,in pI : pi1    pi1 .

Kvantumcsatorna leírása i : tiszta kvantumállapotok: i  i i F  ,   :  és  kevert állapotok azonossága



F  ,    Tr  

. 2

Ha     tiszta állapot, akkor: F  ,        Tr   . További jelölések: d n : d-dimenziós, n állapotú Hilbert-tér Bd n : a d n  n belüli kevert állapotok halmaza.

Vak kódolás A vak tömörítés tulajdonságai n hosszúságú blokkra, R kvantumbit/jel és 1-  minőségre: Kódolás (CPTP-leképezés) : En : Bd n  Bd nR Dekódolás (CPTP-leképezés) : Dn : Bd nR  Bd n . Az átlagos minőség:

p

I

I Dn  En I   I  1   .

I

Az  forrás tömörítése során alkalmazott R kvantumbit/jel kimenetelű tömörítési eljárást vak tömörítésnek nevezzük, ha minden  ,  0 és megfelelően nagy n esetén létezik olyan séma, amellyel az

R+ 

kvantumbit/jel tömörítés legalább 1- minőséggel végrehajtható.

Látható kódolás A "látható tömörítés" tulajdonságai n hosszúságú blokkra, R kvantumbit/jel és 1-  minőségre: Kódolás (tetszőleges): En : Bd n  Bd nR Dekódolás (CPTP-leképezés) : Dn : Bd nR  Bd n . Kvantum  forráskódolás : Az  tiszta kvantumállapotokból álló forrás akkor és csak akkor tömöríthető bármilyen tömörítési eljárással  kvantumbit/jel arányban, ha

  S   .

Vak és látható kódolás: Vak-kódolás: gyengébb, klasszikus értékek nem alkalmazhatóak, bemeneten kvantumállapotok Látható  kódolás : klasszikus tárolás megvalósítható

Kvantumállapotok tárolása kvantumbitekben r = { ji ; pi }

i  i n

2

i

1

Forrás: tiszta kvantumállapotok Tömörítés: Neumann-entrópia (kvantumbit/szimbólum)

Kvantumállapotok tárolása kvantumbitekben r = { ji ; pi }

i i  i 1

2

r

Än

n

 I

I  i1i2 in pI  pi1 pi2  pin

= { jI ; pI }

Az   n állapotot n   mellett tárolhatjuk jelenként R kvantumbitben, amennyiben R  S(  ).

Kódolás a kvantumkriptográfiában 4

3 Publikus csatorna

 2



Kvantumcsatorna

1

   i ;1/ 4

Kódolás a kvantumkriptográfiában 3  1

0  

4   sin 0  cos 1



 4

.

2  cos  0  sin 1

 Adott I = i1i 2 ,…,i n bemenetre :

i  1 vagy i   2 k

k

1  0    i ;1/ 4  S     1 és H  p   2.

1   1 , 2 ; 1   3 , 4 ;

Kódolás a kvantumkriptográfiában 4

3 P

 2



1

   i ;1/ 4 S  21 1 1 

1 bit/jel

Z Z

P

Z

H  21 (1  cos )   0.6 kvantumbit/jel

1 2

2 2   S  21 3 3  21 4 4  H  21 (1  cos  )  .



Kódolás a kvantumkriptográfiában 4

3 P

 2



   i ;1/ 4

1

1 bit/jel

Z Z

P

Z

H  21 (1  cos )   0.6 kvantumbit/jel

H  (1  cos )   Q* 1 . 1 2

Neumann-entrópiák kapcsolata

 AB S ( A : B) : S ( A)  S ( B)  S ( AB)

U S ( A': B) S ( A : B)  S ( A': B)

Bob idő

Klasszikus bitek felhasználása i i  i 1

2

n

 I Publikus csatorna: nxR bit

Kvantumcsatorna: nxQ kvantumbit

A kommunikáció általánosított modellje i i  i 1

2

n

 I

Publikus csatorna: nxR bit

Kvantumcsatorna: nxQ kvantumbit

Ortogonális állapotok: Látható tömörítés

i i  i 1

2

n

 I



i , i1 i , i 2  i , i n  I , I 1

2

n

Publikus csatorna: nxR bit

Kvantumcsatorna: nxQ kvantumbit

I

Átviteli függvény

   i ; pi  S(  ) *

Q

0

S(  )

R

H ( pi )

Nem-ortogonális állapotok vizsgálata

 0 ; p  1/ 2,  1   0  1  ; p  1/ 2   2  A Schumacher-korlát értelmében: Q*  R   R  S    .

Kvantummax :  0, S    

Klasszikusmax :  H  0.5  ,0 

Három kvantumbit  1

1  

 2

0

  1  ; p  1/ 3  , 

2   0 ; p  1/ 3,  1

  1  ; p  1/ 3  .  2  Particionálás : 1,  2

3  

0

1   1 , 2 ; 1   3



Kvantummax :  0, S     Klasszikusmax :  H 1/ 3,1/ 3,1/ 3  ,0  Schumacher-korlát: R  H 1/ 3  .

Alkalmazás: Kvantumkriptográfia   /8

1, H 

1 2



(1  cos  )  :

itt a Q*  R  és a felső korlát azonos. Ekkor egyetlen klasszikus bitet használunk.

H  21 (1  cos  )   Q* 1 .

Hibrid kódolás E(I )  

B I, j

 p( j | I ) j

j

C

j

Regiszterek:



ABC

Állapot címke

  pI I I

A

Kvantum



B I, j

Klasszikus

 p( j | I ) j

j

C

I, j

i  1,2,3,4

j PZ

H (I : j )  S( A : C )  nR

Hibrid kódolás Regiszterek:



ABC

Állapot címke

  pI I I

Kvantum A



B I, j

Klasszikus

 p( j | I ) j

j

C

I, j

Teljes rendszer:

 j  I , j ; q( I | j )   

 q  (  ) S( A : B | C )  nQ j

j

j

S ( A : B | C )  S ( AC )  S ( BC )  S ( ABC )  S (C )



Az alsó korlát már adódik 

ABC

  pI I I

A



B I, j

 p( j | I ) j j

C

I, j

Az index regiszter felbontásával:

I

A

 i1

A1

i2

A2

 in

An

n

Láncszabály:

S ( A : B | C )   S ( Ak : B | CA1 A2  Ak 1 ) k 1

S ( A : B | C )  n inf S ( A1 : B | C ) :"kényszer állapotok"

Tökéletes állapotkódolás    i ; pi 

E (i )  i i

B

  p( j | i) j j

Másolat

Nincs tömörítés

M (  , R)  inf p (|) S ( A : B | C ) : S ( A : C )  R Klasszikus csatornára optimalizálva

Állítás : Q ( R)  M (  , R) *

j

C

Optimális átviteli kódolás megkonstruálása

Optimális átviteli kódolás Legyen    pi i i

A

i

  i

B

  p( j | i ) j j

Ekkor az  állapot maximális tömöríthetősége: S( A : C ) bit/jel + S( A : B | C ) kvantumbit/jel.

Tétel : Q (R )  M ( , R ) *

C

j .

Hogyan tömöríthetünk? A két állapot legyen: 1 , 2 pi 

1

2

I  112122112122 1-p

1 p

p( j | i) :

p 2

J  112112122122

1

1-p

2

Hogyan tömöríthetünk?    pi i i  i i A

i

B

  p( j | i) j j

C

j

A B-regiszterben tiszta kvantumállapotok találhatóak

S( A : B | C )   q j  (  j )  q j S(  j ) j

j

A Neumann entrópiák átlaga, a klasszikus C regiszter tartalmára alapozottan Adott I=i1i2…in. Alice előállítja J=j1j2…jn állapotot, a p(J|I)=p(j1|i1)p(j2|i2)…p(jn|in) összefüggés figyelmbevételével. A felosztásban a 1,2,…,n blokkokban ugyanazon a j értékek lesznek. Alice a különálló blokkokat a Schumacher kódolással tömöríti.

Probléma: Alice hogyan közölje a J állapotokat Bobbal?

Shannon-tétel felhasználása Zajmentes csatorna

Zajos csatorna Er(I)

I

nH (i : j ) bit

p(j|i)

m megosztott véletlen bit J

1    Dr ( Er ( I )); m   J ( I ) 2  

Dr(Er(I))

Véletlenszerűség implementálása A dekódolás minősége a megosztott bitek függvényében:

 pI I I

1 2m

 

I ,r

I  1  

r

Így léteznie kell olyan r0 –nak, amelyre:

p

I

I I ,r I  1   0

I

Továbbmenve, O(log n) megosztott véletlen bittel minden tipikus l bemeneti sztring esetén megvalósítható a magas minőségű kódolási és dekódolási folyamat!

Ismétlés

 0 ; p  1/ 2,  1  0 1 ; p 1/ 2        2 

1 2 

pi 

1

2

1 2

A Schumacher-korlát értelmében: Q*  R   R  S    .

Kvantummax :  0, S    

Klasszikusmax :  H  0.5  ,0 

Az optimális protokoll Adott R, találjunk olyan p értéket, amellyel megvalósítható a bsc modell 1-p

1 p

1 Bináris Szimmetrikus Csatorna - R kapacitással.

p

2

1-p

2

Alice az I sorozat hiányos változatát küldi Bobnak. Bob ekkor úgy látja, mintha a sorozat már n zajos csatornán keresztülhaladt volna.

Egyetlen kvantumbit küldése

A görbe sehol sem éri el az Q=0 tengelyt Ennek következtében egy kvantumbit információtartalma sem adható meg véges mennyiségű klasszikus Rmax információval

Egy kvantumbit hány klasszikus bittel írható le? Továbbra sem adhatjuk meg pontosan, a bemenetek bizonytalansága következtében! Megoldás: Csökkentsük le a bemeneti bizonytalanság mértékét! – Tipikus sorozatok

Tipikus sorozatok

Tipikus üzenetek Általános minőségi követelmény:

å pI

jI jI jI > 1 - e

I

ji1 ji 2  jin = jI

Változó forrásra:

jI jI jI > 1 - e minden I - re ji1 ji 2  jin = jI

Tipikus üzenetek Egy adott valószínűséghez tipikusan előforduló bemenetek rendelhetőek

I  112121112112 Az I üzenet tipikus a következő valószínűségek mellett:

p1  812

p2  412

Bizonyos üzeneteket megjelenését így előzetesen kizárhatjuk, a valószínűségek alapján pedig megjósolhatjuk a tipikus bemenetek halmazát

Tipikus üzenetek Ha az előforduló üzenetek lehetséges számára teljesül, hogy

( N(1|I), N(2|I),…, N(m|I) )  (n+1)m akkor Alice O(log n) biten elküldi üzenetét, majd tömöríti. A tömörítés feltétele:

1 pi = N ( i | I ). n

Tipikus üzenetek Legyen    i

 a bemeneti kvantumállapotok

halmaza, és legyen P a  felett értelmezett valószínűségeloszlások halmaza. Ekkor az eloszlás felső határa :

Q ( R ) = sup pÎP M ({ ji ; pi } , R ). *

Egyetlen kvantumbit küldése

A görbe sehol sem éri el az Q=0 tengelyt Ennek következtében egy kvantumbit információtartalma sem adható meg véges mennyiségű klasszikus Rmax információval

Összefonódott állapotok alkalmazása 01  10

  bemérése

 Alicenek csak a mérés kimenetelét kell közölnie Bobbal, amelyhez átlagosan elegendő 1 bit/jel. Az összefonódottság kialakítása és megosztása azonban többletkommunikációval jár.

Mennyire hatékony? Szupersűrűségű tömörítés: EPR megosztása + 1 epr-kvantumbit küldése Teleportáció: 1 epr-kvantumbit + 2 klasszikus bit Elvileg: 1 epr-kvantumbit + 1 klasszikus bit elég Átviteli függvény alapján: R klasszikus bit Q*(R) kvantumbit Q*(R) epr-kvantumbit + Q*(R) klasszikus bit

R klasszikus bit

E * (R ')  Q * (R ), ha R '  R  Q * (R )

Átviteli függvény összefonódott állapotok esetén Összefonódott állapot:

 AB   i

AB

; pi



 B S   pii   i 

E

*

B p S (   i i) i

  B 

R

H  pi 

LOGO

Köszönöm a figyelmet! Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar