Penting:
Modul 1
Kuadrat dari bilangan yang terdiri dari satu angka bilangan pokok selalu menghasilkan bilangan yang paling banyak terdiri dari 2 angka. Sebagai contoh angka paling besar adalah 9 yang jika dikuadratkan menjadi 81 (2 angka). Hasil kuadrat satu angka kadang ditulis dengan format 2 angka dengna menambahkan angka nol di depan. Sebagai conoth 12 = 01, 22 = 04, 32 = 09.
Kuadrat Umum
1.2 Kuadrat Bilangan 2 Angka Dengan mengetahui sifat kuadrat (dan perkalian) di atas maka bisa diketahui bahwa hasil kuadrat 2 angka selalu menghasilkan bilangan yang paling banyak terdiri dari 4 angka. Hasil 3 angka boleh ditulis dengan menambah angka nol di depan. Contoh: 102 = 0100, 122 = 0144, 132 = 0169. 1.2.1 Keunikan kuadrat Bilangan 2 Angka Kuadrat dari bilangan yang terdiri dari 2 Angka dapat dihitung dengan cara berikut:
1.1 Pangkat Dua atau Kuadrat Pangkat dua atau kuadrat adalah perkalian dari 2 buah bilangan yang sama. Pangkat 2 atau kuadrat dilambangkan dengan angka 2 yang posisinya agak naik ke atas.
1. Kuadratkan angka pertama.
Contoh:
3. Kuadratkan angka kedua 12 = 1 x 1 = 1
2. Kalikan masing-masing angka penyusun yang tertera pada bilangan kuadrat. Contoh:
2
2 =2x2= 4
122
2
= 12
3 =3x3= 9
= 01
42 = 4 x 4 = 16
= 144
2
5 = 5 x 5 = 25
322
2
= 32
6 = 6 x 6 = 36
= 09
72 = 7 x 7 = 49
= 1024
2
8 = 8 x 8 = 64
1x2 x 2 22 04
04
3x2 x 2 22 12
04
Catatan: Hasil kali bilangan di tengah harus dibagi menjadi 2 angka. Angka
2
9 = 9 x 9 = 81
1
2
pertama untuk kuadrat bilangan pertama dan angka kedua untuk kuadrat bilangan kedua. Cara yang lebih muydah adalah dengan menuyliskan secara bersusun seperti conoth berikut: 682
= 62
6x8 x 2 82
= 36 = 9
.. x … x 2
= …
31
=…
2
= …
352 = …
…2
2.
122 = …
22
362 = …
…
…
3.
132 = …
23
372 = …
4.
142 = …
24
382 = …
5.
152 = …
25
392 = …
6.
162 = …
26
412 = …
7.
172 = …
27
422 = …
8.
182 = …
28
432 = …
9.
192 = …
29
442 = …
10. 212 = …
30
452 = …
11. 222 = …
31
462 = …
…2
12. 232 = …
32
472 = …
…
13. 242 = …
33
482 = …
14. 252 = …
34
492 = …
15. 262 = …
35
512 = …
.. x … x 2
…
…
…
2
= … 2 .. x … x 2
…2
= …
…
= …2 =…
…
…x…x2 …
= … 422
= …2
…
21
= … 322
…
…2
112 = …
= … 232
(.. x …) x 2
1.
= … 2
…
= …
Cobalah = 22
= …2 = …
6
= 4614
212
…
= … 242
64
96
= …
... x … x 2
…2
3
4
2002 = 22 ditambah 4 angka nol = 40000
16. 272 = …
36
522 = …
17. 282 = …
37
532 = …
18. 292 = …
38
542 = …
5002 = 52 ditambah 4 angka nol = 250000
19. 312 = …
39
552 = …
6002 = 62 ditambah 4 angka nol = 360000
20. 322 = …
40
562 = …
7002 = 72 ditambah 4 angka nol = 490000
3002 = 32 ditambah 4 angka nol = 90000 4002 = 42 ditambah 4 angka nol = 160000
8002 = 82 ditambah 4 angka nol = 640000
1.3 Kuadrat Bilangan 2 Angka Berakhiran Nol
9002 = 92 ditambah 4 angka nol = 810000
Untuk bilangan kuadrat dengan akhiran nol, kuadratkan angka yang bukan nol, kemudian tambahkan angka nolnya sebangak 2 kali angka nol pada bilangan pokok.
1102 = 1102 ditambah 2 angka nol = 12100 1202 = 1202 ditambah 2 angka nol = 14400 1302 = 1302 ditambah 2 angka nol = 16900
Contoh: 102 = 12 ditambah 2 angka nol = 100 202 = 22 ditambah 2 angka nol = 100 302 = 32 ditambah 2 angka nol = 100 402 = 42 ditambah 2 angka nol = 100 502 = 52 ditambah 2 angka nol = 100 602 = 62 ditambah 2 angka nol = 100 702 = 72 ditambah 2 angka nol = 100 802 = 82 ditambah 2 angka nol = 100 902 = 92 ditambah 2 angka nol = 100
1.4 Kuadrat Bilangan 3 Angka Berakhiran Nol Kuadrat berapapun yang berakhiran nol, dapat dihitung dengan mengkuadratkan angka yang bukan nol, kemudian tambahkan angka nolnya sebangak 2 kali angka nol pada bilangan pokok. Contoh: 1002 = 12 ditambah 4 angka nol = 10000
5
6
20x28 = 560 karena 2x28=56, sehingga bila ditambahkan satuangka nol, maka hasilnya adalah 560.
Modul 2 Keunikan 10 dalam Kuadrat dan Perkalian
Kabar baik tentunya jika kamu diberi tahu bahwa kamu bisa mengubah perkalian atau kuadrat berapapun menjadi perkalian nol sehingga jauh lebih mudah dan cepat. Ingin tahu caranya? Ikuti saja penjelasan berikutnya.
2.2 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 1 atau 9 Ada sifat unik perkalian yang sangat jarang diperhatikan dan dibahas. Padahal, keunikan ini dapat sangat membantu kita mempermudah perhitungan. Mari kita lihat contohnya: 22 = 1x3 +1 32 = 2x4 +1 42 = 3x5 +1 52 = 4x6 +1
Dari modul pertama, kita sudah tahu kemudahan dari kuadrat dari bilangan yang berakhiran nol. Pada bagian ini, kita akan belajar memanfaatkan kemudahan perkalian nol untuk menghirtung kuadrat berapapun.
2.1 Perkalian 10 dan Kelipatannya Berapakah 12x12? Meski tidak terlalu sulit, tetapi pasti jauh lebih mudah untuk menghitung 10x14 bukan? Demikian juga dengan 24x24. Meski tidak terlalu sulit, tapi pasti lebih mudah menghitung 20x28 dibanding 24x24. Perkalian dengan 10, 20 atau bilangan lain yang diakhiri nol menjadi jauh lebih mudah karena kita hanya mengalikan 1 bilangan bukan nol dan kemudian menambahkan 1 angka nol pada hasil perhitungan.
62 = 5x7 +1 Dengan memanfaatkan sifat ini maka kita dapat mempermudah perhitungan kuadrat. Meskipun bisa ddigunakan untuk kuadrat dan perkalian apapun, kemudahan terutama dalam menghitung kuadrat dengan satuan 1 atau 9. Sifat ini juga dapat digunakan untuk mempermudah perkalian antar bilangan dengan puluhan sama dan satuan 4 dan 6.
2.2.1 Kuadrat dengan Satuan 1 Semua bilangan kuadrat dengan satuan 1 dapat diubah menjadi perkalian 0 dan 2 sehingga menajadi jauh lebih mudah. Contoh: 112 = 10x12 + 1 = 121 212 = 20x22 + 1 = 441
Contoh: 10x14 = 140 karena 1x14=14. Jika ditambahkan satr angka nol pada 14 maka hasilnya adalah 140.
7
Cobalah: 312 = 30 x 32 + 1 = …
8
412 = … x 42 + 1 = 1681
2. 3 Memanfaatkan Perhitungan Kuadrat untuk Perkalian
2
51 = … x … + 1 = … 612 = … x … + 1 = … 812 = … x … + 1 = …
Masih menggunakan sifat perkalian dan kuadrat yang sama, perhitungan kuadrat dapat digunakan untuk mempermudah perkalian. Caranya adalah dengan memanfaatkan sifat kuadrat dengan akhiran berjumlah 10 atau kuadrat 5.
912 = … x … + 1 = …
Berikut contohnya:
2.2.2 Kuadrat dengan Satuan 9
4x6
2
71 = … x … + 1 = …
Jika kuadrat dengan satuan 1 dapat diubah menjadi perkalian 0 dan 2, maka kuadrat dengan satuan 9 dapat diubah menjadi perkalian 8 dan 0. Dengan cara ini, maka perhitungan kuadrat 9 dapat dilakukan dengan lebih mudah. Contoh:
= 52 – 1 = 25 – 1 = 24
14x16 = 152 – 1 = 225 – 1 = 224 24x26 = 252 – 1 = 625 – 1 = 624 34x36 = 352 – 1 = 1225 – 1 = 1224 44x46 = 452 – 1 = 2025 – 1 = 2024 54x56 = 552 – 1 = 3025 – 1 = 3024
92 = 8 x 10 + 1 = 81
64x66 = 652 – 1 = 4225 – 1 = 4224
192 = 18 x 20 + 1 = 361
74x76 = 752 – 1 = 5625 – 1 = 5624 84x86 = 852 – 1 = 7225 – 1 = 7224
Cobalah:
94x96 = 952 – 1 = 9025 – 1 = 9024
292 = 28 x 30 + 1 = …
104x106 = 1052 – 1 = 11025 – 1 = 11024
392 = … x … + 1 = …
114x116 = 1152 – 1 = 13225 – 1 = 13224
492 = … x … + 1 = …
124x126 = 1252 – 1 = 15625 – 1 = 15624
592 = … x … + 1 = … 692 = … x … + 1 = …
Catatan:
792 = … x … + 1 = …
Kuadrat 5 dapat dihitung dengan cepat karena:
892 = … x … + 1 = …
1. Dua angka pertama adalah hasil kali puluhan dengan (puluhan+1).
992 = … x … + 1 = …
2. Angka terakhirnya selalu 25 Penjelasan lebih detil tentang hal ini akan diberikan di bagian berikutnya.
9
10
2. 4 Cara Cepat Menghitung Kuadrat Meskipun berlaku untuk semua bilangan, penggunaan sifat perkalian yang kita pakai sebelumnya tentunya tidak begitu terasa manfaatnya jika untuk menghitung kuadrat selain yang berakhiran 1 atau 9. Sebagai contoh, menghitung nilai dari 972 dengan 96x98 + 1 meski benar tapi tentu saja sama sekali tidak lebih mudah. Kabar baiknya, ada cara lain yang dapat mempermudah perhitungan. Untuk contoh 972 misalnya, kita bisa mengubah menjadi beberapa pilihan berikut:
Langkah 1: 10 x (13+3) Langkah 2: 32 Jumlah 1 dan 2:
= 160 = 9 + = 169
Contoh 3: 352 = … → kurang dan tambah 5 agar menjadi perkalian 30 Langkah 1: 30 x (35+5) = 1.200 2 Langkah 2: 5 = 25 + Jumlah 1 dan 2: = 1.225
972 = 90x104 + 72 atau 972 = 100x94 + 32 atau
Cobalah
972 = 100x 100 – 6x100 + 32
142 = …
Jika kamu hitung menggunakan salah satu cara yang ada, maka hasil akhirnya pasti sama (9409). Begitupun jika kamu menggunakan cara yang lebih umum (92 9x7x2 7 2 = 8100 1260 49 = 9049).
Langkah 1:
10 x ( … + … )
= ….
Langkah 2:
…2
= … +
Kita akan mulai pembahasan dengan cara yang pertama.
Jumlah 1 dan 2:
Untuk dapat menghitung Kuadrat dengan mudah dan cepat, lakukan 3 langkah berikut:
Langkah 1: Kurang dan tambah masing-masing bilangan pokok dengan angka yang sama supaya berubah menjadi perkalian 10 atau kelipatan 10 yang lain.
Langkah 2: Kuadratkan satuannya saja.
Langkah 3: Jumlahkan hasil pada langkah 1 dan langkah 2.
262 = … Langkah 1:
20 x ( … + … )
= ….
Langkah 2:
…2
= … +
Jumlah 1 dan 2:
= …
342 = …
Contoh 1: 122 = … → kurang dan tambah 2 agar menjadi perkalian 10 Langkah 1: 10 x (12+2) = 140 2 Langkah 2: 2 = 4 + Jumlah 1 dan 2: = 144 Contoh 2: 132 = …
= 196
Langkah 1:
30 x ( … + … )
= ….
Langkah 2:
…2
= … +
Jumlah 1 dan 2:
→ kurang dan tambah 3 agar menjadi perkalian 10
11
12
= …
Cara pengerjaan bilangan kuadrat dengan satuan 5 sebetulnya sama dengan cara cepat perhitungan kuadrat yang telah kita pelajari sebelumnya. Hanya saja karena hasilnya sudah pasti merupakan perkalian 2 buah bilangan kelipatan 10, maka cara atau langkahnya bisa disedrhanakan sebagai berkut.
Modul 3
Kuadrat dan Perkalian Istimewa
1. Kalikan angka puluhan dengan angka sesudahnya. 2. Kalikan (kudratkan) angka satuannya. (untuk satuan 5, maka hasil kuadrat selalu diakhiri 25). 3. Gabungkan langkah 1 dan 2. Contoh: 152= … 1. Kalikan nilai puluhannya (1), dengan angka sesudahnya (2) = 1x2 =2 2. Kuadratkan satannya (52 = 25). 3. Gabungkan langkah 1 dan 2 (225).
Sejauh ini, kita sudah belajar menggunakan bantuan perkalian10 maupun kelipatan 10 lainnya (20, 30, 40, …).
252= … 1. 2x3 = 6
Berikut, kita akan belajar kuadrat dan perkalian yang lebih istimewa dibanding kuadrat dan perkalian sebelumnya. Keistimewaan kuadrat dan perkalian berikut karena mengalikan 2 buah bilangan kelipatan 10. Berikut penjelasannya.
2. 52 = 25
3.1 Kuadrat dan Perkalian Bilangan dengan Jumlah Angka Satuan 10
352= 35 x 35 = 1.225
3. 252 = 625
(4x5 25)
2
55 = 55 x 55 = …
(5x6 25)
652= 65 x 65 = …
(6x7 25)
45 = 45 x 45 = …
3.1.1 Kuadrat dengan Satuan Berjumlah 10 Kuadrat dengan satuan 5 adalah kuadrat yang istimewa karena jumlah angka satuannya (5+5) adalah 10. Kuadrat atau perkalian Bilangan yang angka stuannya berjumlah 10 menjadi sangat istimewa karena akan menghasilkan perkalian 2 buah bilangan kelipatan 10.
13
(3x4 25)
2
2
(7x8 25)
2
85 = 85 x 85 = …
(8x9 25)
952= 95 x 95 = …
(9x10 25)
75 = 75 x 75 = …
14
3.1.2 Perkalian Bilangan dengan Puluhan Sama dan Satuan Berjumlah 10 Kita dapat menggunakan langkah singkat kuadrat dengan satuan 5 karena 5 dan 5 adalah 10. Cara yang sama ternyata juga dapat digunakan untuk perkalian yang puluhannnya sama dan satuannya berjumlah 10. Dengan demikian, jika kamu mengalikan bilangan yang puluhannya sama, asal satuannya berjumlah 10, maka bisa menggunakan ketentuan yang sama (meski bukan bilangan kuadrat dengan satuan 5).
34x36 = …
43x47 = …
35x35 = …
46x44 = …
51x59 = …
61x69 = …
52x58 = …
62x68 = …
54x56 = …
63x67 = …
55x55 = …
66x64 = …
71x79 = …
81x89 = …
72x78 = …
82x88 = …
74x76 = …
83x87 = …
75x75 = …
86x84 = …
94x96 = …
93x97 = …
95x95 = …
96x94 = …
Berikut contohnya: 15x15 = 1x2 5x5 = 2 25 14x16 = 1x2 4x6 = 2 24 11x19 = 1x2 1x9 = 2 09 32x38 = 3x4 2x8 = 12 16
Catatan:
Cobalah: 12x47 = 4x5 3x7 = … 13x17 = 1x2 3x7
Cara di atas bisa digunakan untuk sembarang kuadrat atau perkalian. 24x23 misalnya bisa diubah menjadi 20x27+4x3 = 552. Penjelasan lebih rinci ada di buku yang khusus membahas perkalian.
21x29 = 2x3 1x9 = …
3.1.3 Perkalian Bilangan Kembar dengan Bilangan yang Angka Penyusunnya Berjumlah 10
23x27 = 2x3 3x7
= …
= ….
14x16 = 2 24
24x26 = 6 24
15x15 = …
25x25 = …
Cara yang sama dengan 2 cara sebelumnya juga bisa diterapkan untuk perkalian bilangan kembar dengan bilangan yang jumlah angka penyusunnya 10. Berikut contohnya: 22x73 = 2x(7+1) 2x3
31x39 = …
41x49 = …
32x38 = …
42x48 = …
= 1606 33x64 = 3x(6+1) 3x4
15
16
= 2112
adalah perkalian dari bilangan yang satuannya sama dan puluhannya berbeda 1. Perhatikan beberapa perkalian berikut: 11x29, 12x28, 13x27, 14x26, 15x25, 16x24, 17x23, 18x22, 19x21 semua memiliki nilai tengah 20. dengan demikian, maka kita akan dapat menyelesaikan perkalian dengan pola seperti itu dengan sangat mudah menggunakan rujukan 20. Begini caranya:
Cobalah: 11x28 = 1x3 2x8 = … 11x37 = 1x … 1x7 = 407 11x46 = …x … 1x6 = 506
22x73 = 2x8 2x3 = … 22x82 = 2x … 2x2 = 1804 22x64 = 2x … 2x4 = 1408
(20)
11x29 = 202 – 92 = 400 – 90 + 9 = 319
(20)
12x28 = 202 – 82 = 400 – 70 + 6 = 336
(20)
13x27 = 202 – 72 = 400 – 50 + 1 = 351
(20)
14x26 = 202 – 62 = 400 – 40 + 4 = 364
(20)
15x25 = 202 – 52 = 400 – 30 + 5 = 375
33x28 = …
44x73 = …
(20)
16x24 = 202 – 42 = 400 – 20 + 4 = 384
33x37 = …
44x82 = …
(20)
17x23 = 202 – 32 = 400 – 10 + 1 = 391
33x46 = …
44x64 = …
(20)
18x22 = 202 – 22 = 400 – 10 + 6 = 396
(20)
19x21 = 202 – 12 = 400 – 10 + 9 = 399
55x28 = …
66x73 = …
55x37 = …
66x82 = …
Cobalah:
55x46 = …
66x64 = …
1. 26 x 34 = 302 - 42 2. 34 x 46 = 402 - 62
77x28 = …
88x73 = …
3. 53 x 67 = …
77x37 = …
88x82 = …
4. 71 x 69 = …
77x46 = …
88x64 = …
5. 92 x 88 = … 6. 87 x 73 = … 7. 68 x 72 = …
3.2 Perkalian 2 Bilangan dengan Satuan Berjumlah 10 dan Puluhan Selisih 1
8. 49 x 51 = …
Kita sudah belajar kuadrat dan perkalian dengan puluhan sama dan satuan berjumlah sepuluh. Satu hal lain yang juga sangat menarik
10. 34 x 46 = …
9. 26 x 34 = …
17
18
11. 57 x 43 = …
582 = 58 x 58 = …
12. 78 x 82 = …
592 = 59 x 59 = …
13. 93 x 87 = …
5102 = 510 x 510 = 260 100
(5x5+10 + 100)
15. 66 x 54 = …
5112 = 511 x 511 = 261 121
(5x5+11 + 121)
3.3 Kuadrat dan Perkalian dengan Puluhan Berjumlah 10
5122 = 512 x 512 = 262 144
14. 82 x 78 = …
5132 = 513 x 513 = 263 169
Selain pada kuadrat dan perkalian yang satuannya berjumlah 10, keunikan juga terdapat pada kuadrat dan perkalian yang puluhannya berjumlah 10.
3.3.1 Kuadrat dengan Puluhan Berjumlah 10 Jika puluhannya 5, maka berarti puluhan berjumlah 10 dan satuannya sama. Kamu dapat menggunakan keistimewaan perkalian dengan satuan sama dan puluhannya berjumlah 10.
3.3.2 Perkalian dengan Satuan Sama dan Puluhan Berjumlah 10 Seperti halnya sifat kuadrat dengan satuan 5 yang dapat juga digunakan pada perkalian dengan satuan berjumlah 10, maka sifat kuadrat dengan puluhan 5 dapat juga diterapkan pada perkalian dengan satuan sama dan puluhan berjumlah 10. Contoh:
1. Kalikan puluhan dan tambah dengan nilai satuan
11x91 = 1x9+1 12
2. Kuadratkan nilai satuannya.
= 1001
Contoh: 512 = 51 x 51 = 2601
(5x5+1 + 01)
522 = 52 x 52 = 2704
(5x5+2 + 04)
532 = 53 x 53 = 2809
(5x5+3 + 09)
21x81 = 2x8+1 12 = 1701 12x92 = 1x9+2 22
2
54 = 54 x 54 = …
= 1104
2
55 = 55 x 55 = … Cobalah:
562 = 56 x 56 = …
31x71 = 3x7+1 12
2
57 = 57 x 57 = …
19
20
22x82 = 2x8+2 22
= 2201
17x97 = … x … +1 72
= 18 04
= … 2
41x61 = … x … +1 1
32x72 = 2x8+2 2
27x87 = … x … +1 72
= …
= … 51x51 = … x … +1 1
47x67 = … x … +1 72 = …
= … 33x73 = … x … +1 32 = … 53x53 = … x … +1 32 = … 65x45 = … x … +1 52 = … 85x25 = … x … +1 52 = … 15x95 = … x … +1 52 = …
= …
62x42 = 2x8+2 2
= …
13x93 = … x … +1 3
68x48 = … x … +1 82
2
= … 2
= …
2
= … 2
38x78 = … x … +1 82
2
24x84 = … x … +1 4 = …
44x64 = … x … +1 42 = … 94x14 = … x … +1 42 = … 76x36 = … x … +1 62 = … 96x16 = … x … +1 62 = … 26x86 = … x … +1 62 = …
21
22
58x58 = … x … +1 82 = …
4.1.1 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 1
Modul 4
Pada bab 2, kita telah belajar cara yang mudah untuk menghitung kuadrat dengan satuan 1, yaitu dengan menjadikan perkalian dengan akhiran nol.
Memanfaatkan Kuadrat Puluhan
Pada bagian ini, kita akan memperlajari secara lebih khusus perhitungan kuadrat dengan satuan 1. Perhatikan contoh berikut: 112
= 102 + (10+11)
atau 102 + 2x10 + 1
= 121 2
21
= 202 + (20+21)
atau 202 + 2x20 + 1
= 441 2
31
= 302 + (30+31) = 961
Cobalah: Puluhan Kuadrat (102 ,202 ,302, … adalah kuadrat yang paling mudah. Kuadrat tersebut semudah kuadrat dasar dengan 1 angka, dan hanya memerlukan tambahan 2 angka nol. Kabar baiknya lagi, kita dapat memenfaatkan kuadrat tersebut untuk menghtiung kuadrat apapun. Dengan teknik ini kita cukup menggunakan kuadrat dasar saja.
412
=…
2
+…
2
+…
2
+…
2
+…
2
+…
2
+…
=… 2
51
=… =…
612
4.1 Kuadrat dengan Satuan 1 atau 9
=… =…
Seperti telah kita ketahui sebelumnya, dengan memanfaatkan sifat kuadrat dan perkalian bilangan, kita dapat menghitung kuadrat atau perkalian dengan lebih mudah. 2
21 misalnya bisa kita ganti dengan 20x22 + 1
712
=… =…
2
81
=… =…
192 misalnya bisa kita ganti dengan 20x18 + 1
912
Sedangkan 74x76 bisa kita ganti dengan 752 – 1
=… =…
23
24
atau 302 + 2x30 + 1
1012
= …
2
= … 2 – 2x … +1
+…
= … 2
121
= …
= … 2
2
= …2 – (49+ … )
49
+…
= … 2 – 2x … +1
= … 1312
= …
2
+…
= … 2
= … 1512
= …
= …2 – ( … + … )
59 2
= … 2 – 2x … +1
+…
= … 2
251
=…
2
= … 2
= …2 – ( … + … )
69
+…
= … 2 – 2x … +1
=…
= … 2
Jika kuadrat dengan satuan 1 menggunakan bantuan kuadrat yang lebih kecil (21 dengan bantuan 20, 31 dengan bantuan 30 dan seterusnya), maka kuadrat dengan satuan 9 menggunakan bantuan kuadrat yang lebih besar (19 dengan bantuan20, 29 dengan bantuan 30 dan seterusnya). Kosekuensinya, pada perhitungan kuadrat satuan 9 ini, kita harus mengurangi kuadrat puluhan. Contoh: 192
= …2 – ( … + … )
79
4.1.2 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 9
= … 2 – 2x … +1 = … 2
= …2 – ( … + … )
89
= … 2 – 2x … +1 = … 2
= …2 – ( … + … )
99 = 202 – (19+20)
= … 2 – 2x … +1
= 202 – 2x20 +1
= …
= 361 292
2
109
= 302 – (29+30)
= …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1
= 302 – 2x30 +1
= …
= 841
2
119
= …2 – ( … + … )
Cobalah:
= … 2 – 2x … +1
392
= …
= 402 – (39+40)
25
26
1292
1392
= …2 – ( … + … )
= 10x10 – 20 +1
= … 2 – 2x … +1
30x28 +01 = 8100 +1 atau 8101
= …
Dalam aljabar:
= …2 – ( … + … )
(10+1) 2 = 102 + 2x10 + 12
= … 2 – 2x … +1
(10–1) 2 = 102 – 2x10 + 12
= … 1592
4.2 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 2 dan 8
= …2 – ( … + … )
2 = 0+2 (atau 12=10+2) , sementara 8 = 10 -2. Dengan sifat ini, kamu bisa mengubah kuadrat dengan satuan 2 dan 8 menjadi kuadrat dengan satuan nol. Jika pada kuadrat dengan satuan 1 dan 9 kita menambah dengan 12 (selisih 1 dan 9 dengan nol), maka kuadrat dengan satuan 2 atau delapan ditambah dengan 22.
= … 2 – 2x … +1 = … 2592
= …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1
4.2.1 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 2
= … Mengapa Metode ini Bisa Bekerja? Ijinkan saya memberi sedikit penjelasan mengenai asal dari formula atau rumus yang kita gunakan di atas. Untuk kuadrat dengan satuan 1: 112
Setelah kamu tahu cara menghitung kuadrat dengan sartuan 1 menggunakan bantuan kuadrat berakhiran 0, sekarang kita akan belajar cara menghitung kuadrat dengan satuan 2 menggunakan bantuan kuadrat berakhiran 0. Kita juga akan menggunakan keistimewaan perkalian 10 atau kelipatannya (puluhan), untuk membantu perhitungan. (10)
= 11 x 11
122 = 10x14 + 22 = 102 + 4x10 + 22
= (11-1) x (11+1) + 12
= 144
= 10x12 +1 (20)
= 10x(10+2) +1
2
22 = 20x24 + 22 = 202 + 4x20 + 22
= 10x10 + 10x2 + 1
= 324
Untuk kuadrat dengan satuan 9: 92
= (9+1) x (9-1) + 12
Cobalah:
= 10x8 + 1
(30)
322 = 30x34 + 22 = … 2 + 4x… + 22
= 10x(10-2) +1
27
28
= … 2 + …x … + … 2
= 1024 (40)
422 = … x 44 + 22
= …
2
2
2
(150) 152 = … x … + 22
= … + 4x … + …
= … 2 + …x … + … 2
= … (50)
522 = … x 54 + 22 2
= … 2
= … + 4x … + 2
4.2.2 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 8
= … (60)
Setelah kamu tahu cara menghitung kuadrat dengan satuan 9 menggunakan bantuan kuadrat berakhiran 0, sekarang kita akan belajar cara menghitung kuadrat dengan satuan 8 menggunakan bantuan kuadrat berakhiran 0.
622 = … x … + 22 = … 2 + …x … + … 2 = …
(70)
Kita juga akan menggunakan keistimewaan perkalian 10 atau kelipatannya (puluhan), sebagai ban tuan.
722 = … x … + 22 = … 2 + …x … + … 2
(10)
82 = 10x6 + 22
= … (80)
= 102 – 4x10 + 22
822 = … x … + 22 2
= … +…x…+…
= 64 2
(20)
182 = 20x16 + 22
= … (90)
= 202 – 4x20 + 22
2
2
92 = … x … + 2
= 324
= … 2 + …x … + … 2
(30)
2
28 = 30x26 + 22
= …
= 302 – 4x30 + 22
2
2
(100) 102 = … x … + 2 2
= … + …x … + …
= 784 2
Catatan:
= … 2
Dalam kasus tertentu (misalnya dalam menghitung kuadrat 8 dan 18 seperti contoh), perkalian 10 (atau 20) jauh lebih mudah.
2
(120) 122 = … x … + 2
82
= … 2 + …x … + … 2 = … (130) 1322 = … x … + 22
29
= 10x6 + 22
= 64
2
18
2
= 10x26 + 8
= 324
Atau:
= 20x16 + 22
= 324
30
(130) 1282 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2
Cobalah: (40)
382 = 40x36 + 22
= …
= … 2 – 4x … + 22
(150) 1482 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2
= … (50)
482 = … x46 + 22
= …
= … 2 – 4x … + 22
Pada bagian sebelumnya kita telah belajar memanfaatkan kemudahan perkalian kuadrat dengan akhiran nol untuk menghitung kuadrat dengan satuan 1, 9, 2 dan 8. Perbedaan teknik matematika cepat metode Magic MATH1000 adalah bahwa kamu tidak perlu menghafal banyak persyaratan untuk mendapatkan kemudahan berhitung. Meskipun pada conoth di modul sebelumnya, aplikasi kuadrat kelipatan 10 hanya dicontohkan pada kuadrat dengan satuan tertentu, tetapi rumus tersebut sebetulnya bisa digunakan untuk kondisi apapun. Berikut contohnya.
= … (60)
2
58 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2 = …
(70)
2
68 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2
4.3 Kuadrat 6 dan Kuadrat 4 Dihitung dengan Kuadrat 10
= … (80)
782 = … x … + 22
Seperti bagian sebelumnya, sistematika buku mengelompokkan kuadrat 1-9, 2-8, 6-4 dan 7-3. Tujuan dari pengelompokkan ini semata-mata untuk mempermudah pemahaman dan mengingat bukan untuk membatasi. Perhatikan pasangan angka tersebut! Sama dengan jari kita kan?
= … 2 – …x … + … 2 = … (90)
2
88 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2
4.3.1 Kuadrat 6 Dihitung dengan Kuadrat 10
= … (100)
982 = … x … + 22
Sebagai contoh, kita akan menggunakan bilangan pokok 86. Nilai kuadrat dari 86 dapat dihitung dengan lebih sederhana tidak hanya dengan menggunakan puluhan terdekat (80 atau 90) tapi juga 100.
= … 2 – …x … + … 2 = …
(80)
2
2
(120) 118 = … x … + 2 2
= … – …x … + …
862 = (86-6) x (86+6) + 62 = 80x92 + 62
2
= 80x(80+12) + 62
= …
31
32
= 802 + 80x12 + 62
= 7056
= 7396 (90)
(100)
842 = (84+16) x (84-16) + 162
862 = (86+4) x (86-4) + 42
= 100x68 + 162
= 90x82 +42
= 6800 + 256
= 90x(90-8) + 42 2
= 7056 2
= 90 – 90x8 + 4
4.4 Kuadrat 7 dan Kuadrat 3 yang Dihitung dengan Kuadrat 10
= 7396 (100)
862 = (86+14) x (86-14) + 142
Meski tidak begitu ideal, kuadrat dengan satuan 7 dan 3 juga dapat dihitung dengan memanfaatkan kuadrat 10. Perhatikan contoh yang diberikan, dan cobalah menarik kesimpulan cara menggunakan bilangan rujukan yang paling mudah dan membantu.
2
= 100x72 + 14 = 7200 + 196 = 7396
4.3.2 Kuadrat 4 Dihitung dengan Kuadrat 10
4.4.1 Kuadrat 7 Dihitung dengan Kuadrat 10
Berikut adalah contoh menghtung kuadrat dengan satuan 4 menggunakan bantuan kuadrat 10. Sebagai contoh, akan dihitung kuadrat 84.
Sebagai contoh, kita akan menggunakan bilangan pokok 87. Seperti kuadrat 86, nilai kuadrat dari 87 dapat dihitung dengan lebih sederhana tidak hanya dengan menggunakan puluhan terdekat (80 atau 90) tapi juga 100.
(80)
842 = (84-4) x (84+4) + 42 = 80x88 + 42
(80)
872 = (87-7) x (87+7) + 72
= 80x(80+8) + 42
= 80x94 + 72
= 802 + 80x8 + 42
= 80x(80+14) + 72
= 6400+640+16
= 802 + 80x14 + 72 = 7569
= 7056 (90)
842 = (84+6) x (84-6) + 62
(90)
2
87 = (87+3) x (87-3) + 32
= 90x78 +62
= 90x84 +32
= 90x(90-12) + 62
= 90x(90-6) + 32
= 902 – 90x12 + 62
= 902 – 90x6 + 32
= 8100-1080+36
= 7569
33
34
(100)
872 = (87+13) x (87-13) + 132
2. Tambah atau kurang 2 kali selisih bilangan yang dikuadratkan dengan pembulatan yang dgunakan.
= 100x74 + 132
3. Kuadratkan selisihnya saja.
= 7400 + 169
4. Jumlahkan langkah 1-3.
= 7569
4.4.2 Kuadrat 3 Dihitung dengan Kuadrat 10
Catatan:
Berikut adalah contoh menghitung kuadrat dengan satuan 3 menggunakan bantuan kuadrat 10. Sebagai contoh, akan dihitung kuadrat 83.
Selain memanfatkan kuadrat kelipatan 10, kamu juga bisa memanfaatkan kuadrat dengan satuan 5. Penjelasan lebih lengkap dapat dilihat di modul berikutnya.
(80)
832 = (83-3) x (83+3) + 32 = 80x86 + 32 = 80x(80+6) + 32 = 802 + 80x6 + 32 = 6889
(90)
832 = (83+7) x (83-7) + 72 = 90x86 +72 = 90x(90-14) + 72 = 902 – 90x14 + 72 = 6889
(100)
2
83 = (83+17) x (83-17) + 172 = 100x66 + 172 = 6600 + 289 = 6889
Ringkasan kuadrat dengan angka berakhiran nol: 1. Ubah menjadi kuadrat dengan akhiran nol agar menjadi lebih mudah dengan membulatkan ke bilangan berakhiran nol terdekat.
35
36
Modul 5
Cara Mudah Menghitung Kuadrat yang Dekat dengan 5
Pada bagian sebelumnya kita telah belajar memanfaatkan kemudahan perkalian kuadrat dengan akhiran nol atau kelipatan 10 untuk menghitung kuadrat dengan satuan 1-9, 2-8, 6-4 dan 7-3. Selain menggunakan keistimewaan kuadrat 10, kamu juga bisa menggunakan kuadrat 5. Perbedaan teknik matematika cepat metode Magic MATH1000 adalah bahwa kamu tidak perlu menghafal banyak persyaratan untuk mendapatkan kemudahan berhitung. Meskipun pada dibuat pengelompokkan, tetapi tersebut pengelompokkan bukan merupakan syarat yang harus dipenuhi. Pengelompokkan lebih dimaksudkan untuk mempermudah belajar dan mengingat.
5.1 Kuadrat 6 dan Kuadrat 4 Dihitung dengan Kuadrat 5
perhitungan. Bantuan kemudahan kuadrat keliupatan 5 terutama untuk menghitung kuadrat dengan satuan yang dekat dengan 5 (6 atau 7). Selain 6 dan 7, kuadrat yang bisa dihitung menggunakan bantuan kuadrat 5 adalah 4 dan 3. Kekurangan penggunaan kuadrat 5 untuk menghitung kuadrat 3 atau 4 adalah kita harus mengurang (karena 3 dan 4 lerbih kecil dari 5). Umumnya titik kesulitan adalah pada pengurangan ini. Hanya saja sekali lagi, teknik ini bisa untuk menghitung semua jenis kuadrat tidak peduli berapapubn satuannya.
5.1.1 Kuadrat 6 Dihitung dengan Kuadrat 5 Jika sebelumnya kita selalu memanfaatkan keistimewaan perkalian 10 atau kelipatannya (puluhan), pada kesempatan ini kita akan memanfaatkan keistimewaan kuadrat 5. Sebagai perbandingan, mari kita simak cara menghitung 862 menggunakan rujukan yang berbeda. Berikut ini, kita akan coba menggunakan keistimewaan kuadrat dengan satuan 5 dengan menggunakan 85 sebagai bilangan rujukan. Seperti kita tahu, kuadrat 5 adalah kuadrat yang sangat istimewa dan mudah penuyelesaiannya. Keistimesawaan dan kemudahan dari kuadrat 5 tersdebut dapat digunkan untuk membantu menghitung kuadrat yang lain, khususnya kuadrat yang satuannya dekat dengan 5. (85)
atau 852 + (85+86)
= 7225 +171 = 7396 (85)
842 = 852 – 2x85 + 1 = 7225 – 170 + 1 = 7056
Cobalah: (15)
162 = 152 + (15+16) = 225 + 2x15 + 1
Meskipun bisa menggunakan kuadrat kelipatan 10 untuk memudahkan perhitungan, kamu juga dapat menggunakan bantuan kuadrat dengan satuan 5 atau kelipatan 5 untuk memudahkan
37
862 = 852 + 2x85 + 1
= 256
38
atau 852 – (85+86)
(25)
262 = 252 + (25+26)
= …
= 625 + 2x25 +1 = 676
(95)
962 = …2 + (… + …) = ... + 2x ... + 1
(35)
362 = 152 + (35+36)
= …
= ... + 2x ... + 1 = … (45)
5.1.2 Kuadrat 4 yang Dihitung dengan Kuadrat 5 Karena 4 sangat dekat dengan 5, sehingga menggunakan keistimewaan 5 untuk menghitung 4 pasti akan memberikan banyak kemudahan dalam perhitungan. Perhatikan bahwa 4 kurang dari 5 sehingga kita juga harus mengurang. Berikut adalah contoh penggunaan kuadrat 5 untuk menghitung kuadrat 4.
462 = …2 + (… + …) = ... + 2x ... + 1 = …
(85) (55)
842 = 852 – (84+85)
562 = …2 + (… + …)
= 852 – 2x85 +1
= ... + 2x ... + 1
= 7226 – 200 + 30
= …
= 7056 Cobalah:
(65)
(75)
(85)
2
2
66 = … + (… + …)
(15)
142 = 152 – (14+15)
= ... + 2x ... + 1
= 225 – 2x15 + 1
= …
= 196
762 = …2 + (… + …)
(25)
242 = 252 – (24+25)
= ... + 2x ... + 1
= 625 – 2x25 +1
= …
=…
862 = …2 + (… + …)
(35)
= ... + 2x ... + 1
39
40
342 = 352 – (34+35)
→
atau 852 – (84+85)
(45)
= ... – 2x ... + 1
Mengapa cara tersebut bisa bekerja?
= …
162
2
2
44 = … – (… + …)
= (15+1) x (15+1) = 15(15+1) + (15+1)
= ... – 2x ... + 1
= 152 + 15+15 +1
= …
= 152 + 2x15 + 12
atau = 152 + 15+16
= 256 (55)
542 = …2 – (… + …) 142
= ... – 2x ... + 1 = …
= (15-1) x (15-1) = 15(15-1) – (15-1) = 152 – 15 – 14
(65)
642 = …2 – (… + …)
atau = 152 – (14+15)
= 152 – 2x15 + 12
= ... – 2x ... + 1
= 196
= … Aljabar: (15+1)2 = 152 + 2x15 + 1 (75)
742 = …2 – (… + …)
(15-1)2 = 152 - 2x15 + 1
= ... – 2x ... + 1 = … (85)
5.2 Kuadrat 7 dan Kuadrat 3 yang dihitung dengan kuadrat 5
842 = …2 – (… + …)
Meski tidak sedekat 6 atau 4, 7 dan 3 lebih dekat dengan 5 dibanding 10 sehingga kamu juga bisa memanfaatkan kuadrat 5 sebagai alternative/pilihan selain kuadrat 10.
= ... – 2x ... + 1 = …
5.2.1 Kuadrat 7 yang dihitung dengan kuadrat 5 (95)
2
2
Setelah kamu tahu cara menghitung kuadrat 6 dan 4 dengan bantuan kuadrat 5, sekarang, kita akan belajar cara menghitung kuadrat 7 dengan bantuan kuadrat 5.
94 = … – (… + …) = ... – 2x ... + 1 = …
(85)
41
42
872 = 852 + 4x85 + 1
→ (85x89) + 1
= 7225 +171
= …
= 7396
(75)
772 = 752 + 4x … + 4 = ... + ... + 4
Cobalah: (15)
= …
172 = 152 + 4x15 + 4 = 225 + 60 + 4
atau 202 - 6x20 + 9 atau 102 +14x10 + 49
(85)
= 289
872 = 852 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = …
(25)
2
2
27 = 25 + 4x25 + 4 = 625 + 100 + 4
(95)
=…
972 = 952 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = …
(35)
372 = 352 + 4x35 + 4 (105) 1072 = 1052 + 4x … + 4
= ... + ... + 4 = …
= ... + ...
+4
= … (45)
2
2
47 = 45 + 4x … + 4 (115) 1172 = 1152 + 4x … + 4
= ... + ... + 4 = …
= ... + ...
+4
= … (55)
2
2
57 = 55 + 4x … + 4 (125) 1272 = 1252 + 4x … + 4
= ... + ... + 4 = …
= ... + ...
+4
= … (65)
672 = 652 + 4x … + 4 (135) 1372 = 1352 + 4x … + 4
= ... + ... + 4
43
44
= ... + ...
+4
= 625 – 100 + 4
= … 2
=…
2
(155) 157 = 155 + 4x … + 4 = ... + ...
(35)
+4
= …
332 = 352 – 4x35 + 4 = ... – ... + 4 = …
(255) 2572 = 2552 + 4x … + 4 = ... + ...
+4
(45)
= …
432 = 452 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = …
5.2.2 Kuadrat 3 yang dihitung dengan kuadrat 5 Kuadrat dengan satuan 3 mirip dengan satuan 7. KArena 3 lebih kecil dari 5, maka kuadrat 5 perlu dikurangi untuk menghitung kuadrat 3 agar benar. (85)
(55)
532 = 552 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = …
832 = (83+2) x (83-2) + 22 = 85 x (85-4) + 22
(65)
632 = 652 – 4x … + 4
= 852 – 85x4 + 22
= ... – ... + 4
= 7225 – 340 + 4
= …
= 7225 – 400 + 64 = 6889
(75)
732 = 752 – 4x … + 4 = ... – ... + 4
(15)
2
2
13 = 15 – 4x15 + 4
= …
= 225 – 60 + 4 = 169
(85)
832 = 852 – 4x … + 4 = ... – ... + 4
(25)
2
2
23 = 25 – 4x25 + 4
= …
45
46
= ... – ... (95)
932 = 952 – 4x … + 4
+4
= …
= ... – ... + 4 = …
Catatan: (80)
(105) 1032 = 1052 – 4x … + 4 = ... – ...
832 = 80x86 + 32
→
(83-3) x (83+3) + 32
→
(83+7) x (83-7) + 72
→
(83+17) x (83-17) + 172
= 6880 + 9
+4
= 6889
= … (90) (115) 1132 = 1152 – 4x … + 4 = ... – ...
832 = 90x76 + 72 = 6840 + 49
+4
= 6889
= … (100) (125) 1232 = 1252 – 4x … + 4 = ... – ...
832 = 100x66 + 172 = 6600 + 10x24+49
+4
= 6889
= … 2
Tentu saja pendekatan tersebut bukan suatu keharusan. Setiap orang punya cara berpikir dan gaya belajar sendiri. Kamu tidak perlu ragu untuk menggunakan cara yang berbeda. Yang paling penting, pahami dasarnya dan kembangkan sesuai dengan kebutuhan dan gaya yang paling sesuai dengan kamu.
2
(135) 133 = 135 – 4x … + 4 = ... – ...
+4
= … (155) 1532 = 1552 – 4x … + 4 = ... – ...
+4
= … (255) 2532 = 2552 – 4x … + 4
47
48
6.1 Menjumlahkan Angka Penyusun
Modul 6
Mari kita periksa dengan menjumlah angka penyusunnya.
Memeriksa Jawaban dengan Angka 9
13 = 1+3 = 4 14 = 1+4 = 5
4x5 = 20 →2+0 = 2 182 = 1+8+2 = 11 11 = 1+1 = 2
Karena hasil perkalian dari jumlah angka pada bilangan kiri 2 dan jumlah angka pada bilangan kanan juga = 2 maka kemungkinan besar jawaban tersebut benar. Catatan: Kata kemungkinan benar digunakan karena jawaban 821, 812, 281 memberikan jumlah angka yang sama. Contoh 2: jumlah masing angka 2+5+6 = 13 1+3 = 4 1+2+5 = 8 4x8 = 32 3+1+0+0+0 = 4
Maukah kamu mendapat nilai 100 setiap kali ulangan atau quiz? Meskipun membuat kesalahan itu wajar dan sangat manusiawi (apalagi bagi yang masih dalam tahap belajar), tidakkah kamu bangga jika dikenal sebagai siswa yang tidak pernah membuat kesalahan? Bahasan pada modul berikut barangkali bisa membantu. Berlatihlah untuk tidak berhenti sampai menjawab soal saja. Pastikan jawaban kamu benar. Seringkali guru meminta siswanya untuk tidak terburu-buru mengakhiri pekerjaan, sayangnya satu-satunya cara yang paling sering dilakukan adalah mengerjakannya lagi. Meskipun kamu termasuk siswa yang rajin memeriksa kembali pekerjaan kamu, masih tetap terbuka lebar kemungkinan kamu memberikan jawaban salah jika kamu hanya mengulang perkerjaan dengan cara yang sama.
256 125 x 31000
Mari kita langsung coba saja.
Karena jumlah sama, maka jawaban di atas mungkin benar.
13x14 = 182 Apalah ini sudah benar?
Ngomong-ngomong jawaban yang benar adalah 32.000.
Karena jumlah tidak sama, maka jawaban di atas pasti salah. Contoh 3: 256 125 x 31100
Ada 2 cara yang akan kita gunakan
49
3+2 = 5
50
jumlah masing-masing angka 2+5+6 = 13 1+3 = 4 1+2+5 = 8 4x8 = 32 3+1+1+0+0 = 5
3+2 = 5
Contoh 4: 2564 1235 x 3.166.440
jumlah masing-masing angka 2+5+6+4 = 17 1+7 = 8 1+2+3+5 = 11 1+1 = 2 8x2 = 16 3+1+6+6+4+4+0 = 24
2. Menghilangkan Angka 9 – dan Menjumlahkan Sisanya 2 67 1+6 = 7 2+4 = 6
x
6=6
346
= 9 1.382
4
3+2 = 5
6x4 = 24
Karena jumlah tidak sama, maka jawaban di atas pasti salah.
2+4=6
contoh 5: 2564 1235 x 3.166.540
jumlah masing-masing angka 2+5+6+4 = 17 1+7 = 8 1+2+3+5 = 11 1+1 = 2 8x2 = 16 3+1+6+6+5+4+0 = 25
Sama dengan hasil sebelumnya, Jawabnya pasti salah. 1+6 = 7 2+5 = 7
Contoh 3: 456 x 831 = 368.936 Apakah benar?
Karena jumlah sama, maka jawaban di atas mungkin benar.
1. Menjumlahkan Angka
6.2 Menghilangkan 9 – dan Menjumlahkan Sisanya
456
Cara ini sama persis denagn cara sebelumnya tapi menggunakan cara pintas. Cara ini lebih cepat yaitu dengan menghilangkan angka penyusun yang berjumlah 9. Dalam contoh di atas, 182 bisa kita hilangkan angka 1 dan 8 sehingga hanya tinggal angka 2 (182).
x
831
= 368.936
4+5+6 = 15
8+3+1 =12
3+6+8+9+3+6 = 35
1+5 = 6
1+2 = 3
3+5 =8
6 x 3 = 18 1+8 = 9
Contoh 2:
Jawaban PASTI salah
267 x 346 = 91.382. Apakah benar?
2. Menghilangkan Angka 9 – dan Menjumlahkan Sisanya 456
1. Menjumlahkan Angka 267
x
2+6+7 = 15 1+5 =6
346
= 91.382
3+4+6 = 13
9+1+3+8+2 = 23
1+3=4 6x4 = 24
x
6
831
= 368.936
3
8
6 x 3 = 18 Jawaban PASTI salah
2+3=5
Cobalah:
2+4=6
Jawabnya pasti salah.
Periksa, apakah perkalian berikut benar atau salah menggunakan cara yang telah dijelaskan. 32 x 32 = 1024.
51
52
41 x 41 = 1641
42 x 42 = 1684
51 x 51 = 2601
1. Ubah menjadi bentuk perkalian 25x7 + 3 =178
102 x 102 = 10404
103 x 103 = 10609
2. Hitung jumlah masing-msing angka penyusunnya:
107 x 107 = 11448
108 x 108 = 11664
Kiri: 2+5=7: 7x7 = 49: 4: 4+3 = 7
302 x 302 = 91204
403 x 403 = 162409
Kanan: 1+7+8: 7
102 x 302 = 30804
503 x 606 = 304818
135 x 135 = 13225
145 x 145 = 15625
155 x 155 = 24025
165 x 165 = 27225
3. Karena jumlah kiri dan kanan sama, maka kemungkinan jawabnya benar. Cobalah:
6.3 Memeriksa Pembagian
1. 4370 : 56 = 78 sisa 2
Untuk memeriksa pembagian, kamu musti ubah bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian.
2. 4346 : 77 = 46 sisa 4 3. 1955 : 31 = 63 sisa 2
Contoh 1: 42:2 = 21
4. 4370 : 56 = 78 sisa 2
→ ubah menjadi 21x2 = 42 2+1 = 3: 3x2 = 6
5. 1304 : 42 = 31 sisa 2
4+2=6
6. 1328 : 53 = 25 sisa 3
bandingkan
7. 1474 : 32 = 46 sisa 1
Contoh 2: 161:7 = 23
8. 4340 : 51 = 75 sisa 2
→ ubah menjadi 23x7 = 161 2+3 = 5: 5x7 = 35 1+6+1=8 3+5 bandingkan
6.4 Memeriksa Pembagian Bersisa Berikut ini contoh cara memeriksa pembagian bersisa. Contoh: 178:7 = 25 sisa 3 Apakah jawaban tersebut sudah benar? Berikut cara kita memeriksa:
53
54
Modul 7
262 = 252 + (25+26) = 676 2,62 = 6,76
Kuadrat Bilangan Desimal
242 = 252 - (24+25) = 576 2,42 = 6,76 222
= 202 + 4x20 + 22
282
= 484
= 784
2,22
= 4,84
2,82
= 7,84
232
= 252 - 4x25 + 22
272
= 252 + 4x25 + 22
= 529 2,32 Jika kamu sudah lancar menghitung kuadrat, maka kuadrat bilangan decimal tentu akan sangat mudah buatmu. Cara menghitung kuadrat decimal:
= 302 – 4x30 + 22
= 5,29
= 729 2,72
= 7,84
Catatan: Pada semua contoh di atas, digunakan bantuan kuadrat dengan akhiran nol dan kuadrat dengan akhiran 5 untuk memudahkan perhitungan.
1. Abaikan desimalnya dan hitung seperti biasa. 2. Tambahkan decimal sebanyak 2 kali bilangan pokok.
Sebagai pengingat, berikut pedoman yang bisa kamu gunakan: Contoh:
Menghitung kuadrat dengan bantuan kuadrat berakhiran nol atau 5:
312 = 302 + (30+31) = 9,61
1. Untuk bilangan yang lebih besar dari rujukan ditambah, sementara untuk bilangan lebih kecil dikurang.
3,12 = 9,61 (2 angka di belakang koma)
2. Besarnya tambahan/pengurangan adalah 2x dari selisih bilangan yang dikuadratkan terhadap rujukan. 292 = 302 – (29+30) = 841
3. Angka akhir selalu merupakan kuadrat dari selisih bilangan.
2,92 = 8,41
55
56
4. Kuadrat dengan akhiran 1, 9, 2 dan 8 sebaiknya (tidak harus) diselesaikan dengan bantuan kuadrat 10 karena lebih dekat dengan nol/sepuluh. 5. Kuadrat dengan akhiran 6, 4, 7 dan 3 dapat diselesaikan dengan bantuan kuadrat 10 atau kuadrat 5.
Contoh: Rujukan 20 192 = 202 – 2x20 + 12
222 = 202 + 4x20 + 22
182 = 202 – 4x20 + 22
232 = 202 + 6x20 + 32
172 = 202 – 6x20 + 32
242 = 202 + 8x20 + 42
162 = 202 – 8x20 + 42
= … 2 + 4x … + 22
422
= … 2
3,2
= …
4,2
= …
332
= … 2 + 6x … + 22
432
= …2 + 6x … + 22 = …
3,32
= …
4,32
= …
342
= … 2 + 8x … + 22
442
= …2 + 8x … + 22
= … 3,42
Cobalah hitung masing-masing contoh dan bandingkan hasilnya. Amati dan pelajari dengan cermat teknik pengerjaannya. Cara ini berlaku untuk perhitungan kuadrat berapapun sehingga akan sangat membantu jika kamu menguasainya dengan baik. Kalau kamu cermati, maka menghitung kuadrat dengan bialangan rujukan hanya perlu menghitung kuadrat bilangan rujukan dan satuan (selisih bilangan yang dihitung dengan bilangan rujukan) nya saja.
= …2 + 4x … + 22 = …
2
= …
7.1 Kuadrat Desimal dengan Rujukan Kelipatan 10
212 = 202 + 2x20 + 12
322
= …
= … 4,42
= …
Gunakan rujukan 50
Gunakan rujukan 60
512
612
= … 2 + 2x … + 12 = …
= … 2 + …x … + 12 = …
5,12
= …
6,12
= …
522
= … 2 + 4x … + 22
622
= … 2 +… x … + 22
= … 2
= … 2
5,2
= …
6,2
= …
532
= … 2 + 6x … + 22
632
= … 2 + …x … + 22
Latihan Kuadrat Desimal Gunakan rujukan 30 312
= 302 + 2x30
Gunakan rujukan 40 + 12
412
= … 2
3,1
= …
= 402 + 2x40
+ 12
= … 2
4,1
= … 2
= … 2
5,3
= …
6,3
= …
542
= … 2 + 8x … + 22
642
= … 2 + …x … + 22
= …
57
58
= … 5,42
= … 6,42
= …
= …
Gunakan rujukan 70
Gunakan rujukan 80
712
812
= … 2 + 2x … + 12 = …
7,12 722
= …
8,12
= … = … 2 + 4x … + 22
822
= …
9,22
= …
1,22
= …
932
= … 2 + 6x … + 22
132
= … 2 + …x … + 22
= … 2 + …x … + 12
= … 2
= …
= …
= … 2
9,3
= …
1,3
= …
942
= … 2 + 8x … + 22
842
= … 2 + …x … + 22
= … = … 2 +… x … + 22
= … 9,42
= …
= …
= … 8,42
= …
7,22
= …
8,22
= …
732
= … 2 + 6x … + 22
832
= … 2 + …x … + 22
Gunakan rujukan 20
Gunakan rujukan 30
= …
192
292
= … 7,32 2
74
8,32
= … 2
2
= … + 8x … + 2
2
84
= … 7,42
= …
= … 2
= … = …
2,92
= …
182
= … 2 – 4x … + 22
282
= … 2 –… x … + 22
= … + …x … + 2 = …
Gunakan rujukan 90
Gunakan rujukan 10
912
112
= … 2
= …
= … 2 + …x … + 12
= … 2
1,8
= …
2,8
= …
172
= … 2 – 6x … + 22
272
= … 2 – …x … + 22
= … 2
= …
1,92
2
= … 2 + 2x … + 12
= … 2 – …x … + 12
2
= … 8,42
= … 2 – 2x … + 12
= … 2
= … 2
9,1
= …
1,1
= …
1,7
= …
2,7
= …
922
= … 2 + 4x … + 22
122
= … 2 +… x … + 22
162
= … 2 – 8x … + 22
262
= … 2 – …x … + 22
59
60
= … 1,62
582
= … 2,62
= …
= …
Gunakan rujukan 50
392
492
= … 2 – 2x … + 12 = …
682
= … 2
Gunakan rujukan 40
= … 2 – 4x … + 22
= … 2 – …x … + 12
= … 2 –… x … + 22 = …
2
5,8
= …
6,8
= …
572
= … 2 – 6x … + 22
672
= … 2 – …x … + 22
= …
= …
= …
3,92
= …
4,92
= …
5,72
= …
6,72
= …
382
= … 2 – 4x … + 22
482
= … 2 –… x … + 22
562
= … 2 – 8x … + 22
662
= … 2 – …x … + 22
= …
= …
= …
= …
3,82
= …
4,82
= …
5,62
372
= … 2 – 6x … + 22
472
= … 2 – …x … + 22
Gunakan rujukan 80
Gunakan rujukan 90
= …
792
892
= … 3,72 2
36
4,72
= … 2
2
= … – 8x … + 2
2
46
= … 3,62
= …
= … 2
592
692
= …
8,92
= …
782
= … 2 – 4x … + 22
882
= … 2 –… x … + 22
2
= …
= … 2
7,8
= …
8,8
= …
772
= … 2 – 6x … + 22
872
= … 2 – …x … + 22
= … 2 – …x … + 12
= … 2
= … 6,92
= …
= …
= …
Gunakan rujukan 70
5,92
= … 2 – …x … + 12
= … – …x … + 2
Gunakan rujukan 60 = …
= …
7,92
2
= … 2 – 2x … + 12
= … 2 – 2x … + 12
6,62
= …
= … 4,62
= …
= … 2
7,7
= …
8,7
= …
762
= … 2 – 8x … + 22
862
= … 2 – …x … + 22
= …
61
62
= … 7,62
= … 8,62
= …
142
= …
= 152 – (14+15) = 152 – 2x15 + 12 = 196
7.2 Kuadrat Desimal dengan Rujukan Kuadrat 5 Rujukan bilangan berakhiran nol atau puluhan memang bisa sangat membantu meskipun bukan satu-satunya rujukan yang dapat digunakan. Jika kamu membutuhkan alternative lain, maka rujukan bilangan berakhiran 5 bisa menjadi pilihan. Karena bilangan rujukannya berbeda, tentu saja, selisih bilangannya juga berbeda. Penggunaan rujukan kuadrat 5 tidak jauh berbeda dengan rujukan bilangan kelipatan 10. Kamu hanya perlu menguasai kuadrat dengan satuan 5 dengan sangat baik, sebaik kuadrat bilangan kelipatan 10 untuk bisa melakukan perhitungan ini dengan cepat dan benar.
1,42
= 1,96 (2 angka di belakang koma)
172
= 152 + 4x15 + 22
132
= 289
= 152 – 4x15 + 22 = 169
1,72
= 2,89
1,32
= 1,69
182
= 152 + 6x15 + 32
122
= 152 – 6x15 + 32
= 324 2
= 144 2
1,8
= 3,24
1,2
= 1,44
192
= 152 + 8x15 + 42
112
= 152 – 8x15 + 42
1. Abaikan desimalnya dan hitung seperti biasa. 2. Tambahkan decimal sebanyak 2 kali bilangan pokok.
= 361
Contoh rujukan 25 dan 15 Rujukan 25
1,92
Rujukan 15
= 3,61
= 121 1,12
= 1,21
242 = 252 – 2x25 + 12
162 = 152 + 2x15 + 12
232 = 252 – 4x25 + 22
172 = 152 + 4x15 + 22
Catatan:
222 = 252 – 6x25 + 32
182 = 152 + 6x15 + 32
212 = 252 – 8x25 + 42
192 = 152 + 8x15 + 42
Kamu pasti merasakan perbedaan yang cukup nyata pada kemudahan yang ditawarkan rujukan kelipatan 10 dan kelipatan 5. Hal tersebut sangat nyata terutama pada contoh 192 = 152 + 8x15 + 42. Terasa agak rumit bukan? Jauh lebih mudah dan sederhana jika menggunakan rujukan 20 seperti berikut: 192 = 202 – 2x20 +1 = 361.
Contoh Menghitung Kuadrat Desimal dengan Kuadrat 5: 162
Dengan alasan tersebut, kita hanya perlu menggunakan bantuan kuadrat kelipatan 5 untuk bilangan yang kurang atau lebihnya dari bilangan rujukan tidak lebih dari 2 (satuan 3, 4 atau 6,7). Mari kita berlatih:
= 152 + (15+16) = 152 + 2x15 + 12 = 256
2
1,6
= 2,56 (2 angka di belakang koma)
63
64
162
= 152 + 15+16
142
= … 2 + 2x … + 12
172
2
1,7
262
= … + … +4
= … 2 – 2x … + 12
= 256 1,62
= 152 – (14+15)
1,42
= … = … 2 + 4x … + 22
132
3,7
= …
462
= 452 + 45+46
= … 2
3,3
= …
= … 442
= 452 – (44+45)
= … 2 – 4x … + 22
= … 2 + 2x … + 12
= … 2 – 2x … + 12
= … + 60 + 4
= … – 60 + …
= …
= …
= 289
= 169 2
= …
1,3
= 252 + 25+26 2
242
4,62
= …
4,42
= …
472
= … 2 + 4x … + 22
432
= … 2 – 4x … + 22
= …
= 252 – (24+25)
2
2
2
= … + 2x … + 1
= … – 2x … + 1
= …
= …
2,62
= …
2,42
= …
272
= … 2 + 4x … + 22
232
= … 2 – 4x … + 22
= … + … +4
= … – … +…
= …
= …
4,72
= …
562
= 552 + 55+56
4,32
542
= …
= 552 – (54+55)
= … + … +4
= … – … +…
= … 2 + 2x … + 12
= … 2 – 2x … + 12
= …
= …
= …
= …
2,72
= …
362
= 352 + 35+36
2,32 342
= …
= 352 – (34+35)
= … 2 + 2x … + 12
5,62
= …
5,42
= …
572
= … 2 + 4x … + 22
532
= … 2 – 4x … + 22
= … 2 – 2x … + 12
= … 2
= … 2
= 196
= … – … +…
= … + … +4
= … 2
= … – … +…
= … 2
3,6
= …
3,4
= …
5,7
= …
372
= … 2 + 4x … + 22
332
= … 2 – 4x … + 22
662
= 652 + 65+66
65
66
= … 2
5,3 642
= …
= 652 – (64+65)
2
6,6
672
6,72 762
= … 2 + 2x … + 12
= … 2 – 2x … + 12
= …
= … 2
= …
6,4
= … 2 + 4x … + 22
632
= …
962
= 952 + 95+96
8,32
= …
= … 942
= 952 – (94+95)
= … 2 + 2x … + 12
= … 2 – 2x … + 12
= … + … +4
= … – … +…
= …
= …
= …
= … 6,32
= … = 752 + 75+76
742
= …
= … 2 + 4x … + 22
932
= … 2 – 4x … + 22
= … 2 + 4x … + 22
732
= … 2 – 4x … + 22
= … + … +4
= … – … +…
= …
= … 2
7,3 842
= …
= 852 – (84+85)
= … 2 + 2x … + 12
= … 2 – 2x … + 12
= …
= … 2
8,6
= …
8,4
= …
872
= … 2 + 4x … + 22
832
= … 2 – 4x … + 22 = … – … +…
67
= … – … +…
= … 9,7
772
= … + … +4
972
2
= …
= 852 + 85+86
= …
= … 2 – 2x … + 12 7,42
862
9,42
= … + … +4
= …
= …
= …
= …
7,62
7,7
9,62
= 752 – (74+75)
= …
2
8,72
= …
= … 2 – 4x … + 22
= … 2 + 2x … + 12
2
= …
68
= …
= … 2
9,3
= …
Bagaimana dengan kuadrat dengan puluhan 4? Kamu beruntung karena mengetahui bahwa jurus yang sama juga bisa digunakan bukan hanya untuk kuadrat dengan puluhan 5, tetapi juga untuk kuadrat berapapun. Pada tahap pertama ini, mari kita bahas terlebih dulu kuadrat mendekati 50 dengan puluhan 4. Karena kuadrat dengan puluhan 4 kurang dari 50, maka selisih dari 50 adalah negatif. Berikut contohnya:
Modul 8
Kuadrat/Perkalian yang Dekat 50, 100 dan 500
(50-3) →
472 = 52 – 3 32 = 2209
(50-4) →
462 = 52 – 4 42 = 2116
Cobalah:
8.1 Kuadrat bilangan yang mendekati 50 Kamu sudah memahami dan munguasai dengan baik kuadrat dengan puluhan 5? Apakah cukup mudah dan dapat membantu kamu merasakan mudahnya mengolah angka? Apakah kemampuan barumumu itu membuat kamu lebih menyukai matematika dan membuatmu lebih percaya diri? Berikut ini, kamu akan belajar 1 jurus lagi yang tidak kalah hebatnya. Sebelumnya, mari kita ulang kuadrat dengan puluhan 5 (dan juga perkalian yang angka satuannya sama dan jumlah puluhannya = 10). (50+3) →
2
53
2
= 5 +3 32
542
12 = 2401
512 = …2 + 1
12 = 2601
482 = …2 – 2
22 =
522 = …2 + 2
22 = …
…
472 = …2 –… …2 = …
532 = …2 + … …2 = …
462 = …2 –… …2 = …
542 = …2 + … …2 = …
452 = …2 –… …2 = …
552 = …2 + … …2 = …
442 = …2 –… …2 = …
562 = …2 + … …2 = …
432 = …2 –… …2 = …
572 = …2 + … …2 = …
422 = …2 –… …2 = …
582 = …2 + … …2 = …
412 = …2 –… …2 = …
592 = …2 + … …2 = …
402 = …2 –… …2 = …
602 = …2 + … …2 = …
Mengapa metode ini bisa bekerja? Perhatikan bahwa 50 adalah 100/2. Mengalikan 2 satuan dengan 50 sama dengan mengalikan satuan dengan 100. Meskipun sedikit lebih rumit, dan tidak semudah pada bilangan yang mendekati 50, prinsip ini sebetulnya bisa digunakan untuk menghitung kuadrat berapapun.
= 2809 (50+4) →
492 = …2 – 1
= 52+4 42 = 2916
69
70
532
Contoh: 612
=
632
=
= 52 + 11
112
=
=
= 37
121
=
=
= 3821 472 2
39
2
=
372
=
= 5 – 11
2
11
=
=
= 14
121
=
=
= 1521 542 Cobalah: 512
2
49
522
2
48
=
612
=
=
=
=
=
=
2
39
=
=
=
=
=
=
622
=
=
=
=
38
462
=
=
2
562
572
=
=
=
=
=
432
=
72
=
=
=
=
=
=
662
=
=
=
=
=
=
362
=
=
=
=
=
=
672
=
=
=
=
=
= =
71
642
342
= =
=
=
(48+2)x(47-2) = 50x(50-5) -5/2 = -2,5, 25-2,5 = 22,5
2
58
=
2
68
2x3=6.
=
=
=
=
=
Jadi 48x47 = 2250+6 = 2256
48x53 = … (48+2)x(53-2) = 50x(50+1) 1:2 = 0,5. 25 + 0,5 = 25,5
8.2 Perkalian Bilangan yang Mendekati 50 Selain kuadrat, maka perkalian bilangan yang mendekati 50 juga bisa diselesaikan dengan mudah menggunakan keistimewaan perkalian 50. Sedikit berbeda dengan kuadrat maka dalam perkalian, perlu diperhatikan apakah perkalian ini antar bilangan yang keduanya lebih besar dari 50, keduanya lebih kecil dari 50 atau antar bilangan yang lebih besar dan lebih kecil dari 50.
-2x3 = -6. 52x63 = … (52-2)x(63+2) = 50x(50+15)
15:2 = 7,5. 25 + 7,5 = 32,5
Berikut tahap penyelesaiannya:
2x13 = 26.
1. Ubah menjadi perkalian 50 dengan menambah dan mengurang dengan nilai yang sama.
Cobalah:
2. Hitung selisihnya terhadap 50 dan bagi 2. Tambahkan hasilnya dengan 25.
53x56 = …
3. Tambahkan dengan hasil kali selisih.
59x58 = … 56x57 = …
Contoh:
54x56 = …
54x58 = …
44x46 = …
(54-4) x (58+4) = 50x(50+12)
42x48 = …
12:2 = 6 →25+6 = 31
43x49 = …
4x8=32.
45x58 = …
Jadi 54x58 = 3132
47x54 = … 46x53 = …
48x47 = …
73
Jadi 48x53 = 2550 – 6 = 2544
74
Jadi 52x63 = 3250 + 26 = 3276
8.3 Kuadrat yang Mendekati 100
8.3.1 Menggunakan Perkalian 100
Kuadrat dengan puluhan 9 atau 90an dapat diselesaikan menggunakan rujukan 90 atau 100. Karena perkalian 100 jauh lebih mudah dibanding perkalian 90, maka akan sangat membantu jika kamu menggunakan rujukan 100. Meski demikian, sah-sah saja jika kamu ingin mencoba dengan rujukan 90. Berikut contoh dan perbandingannya.
Lebih mudah menggunakan rujukan 100 bukan? Cobalah:
Contoh 1: (90)
(100)
2
94 = 90 x 98
= 8820
42
=
Jadi 942
= 8836
→ (94-4) x (94+4)
16 +
94 = 100 x 88 = 8800 → (94+6) x (94-6) 6
=
Jadi 942
= 8836
2
9
…
=
…
922 = (92- …) x (92+ .. ) =
…
Jadi 91
8
=
…
Jadi 922
=
…
932 = (93- …) x (93+ ..) =
…
…2
36 +
2
Jadi 93
=
…
=
…
952 = ( … - … ) x ( … + ... ) Contoh 2: (90)
(100)
72
=
Jadi 972
= 9.409
+
=
…
Jadi 95
=
…
962 = ( … - … ) x ( … + ... )
2
+
49 +
972 = 100 x 94 = 9.400 2
+
…
…
→ (97-7) x (97+7)
+
=
2
972 = 90 x 104 = 9.360
…
= 2
2
2
2
912 = (91- …) x (91+ .. ) =
3
=
Jadi 972
= 9.409
=
…
2
=
…
Jadi 962
=
…
982 = ( … - … ) x ( … + … )
=
…
=
…
=
…
…
→ (97-3) x (97+3) =
+
09 +
…2 2
Jadi 98
75
76
+
992 = ( … - … ) x ( … + ..) …2
=
…
Pada contoh diatas:
=
…
=
…
Jadi 992
1012
+
= 12
1x1x2 12
= 10201 1022
= 12
1x2x2 22
= 10404
8.3.2 Menggunakan Kuadrat 100
2
Selain menggunakan rujukan 100 (atau rujukan 90), kita juga dapat menghitung kuadrat mendekati 100 dengan dengan bantuan kuadrat seratus. Ingat bahwa 1002 = 10 000. Cara ini menggunakan formula sebagai berikut: Ingat bahwa 1002 = 10 000. Kuadrat bilangan yang lebih dari 100 akan ditambah 2x 100 x selisih, sementara yang kurang akan dikurang.
103
= 12
1x3x2 32
= 10609 1042
= 12
1x4x2 42
= 10816 2082
= 22
2x8x2 82
= 43264
Tambahkan kuadrat dari selisihnya. 992 = 1002 – 2x100 + 12 = 9801 Contoh:
982 = 1002 – 4x100 + 22 = 9604
1012 = 1002 + 2x100 + 12 = 10201
972 = 1002 – 6x100 + 32 = 9409
1022 = 1002 + 4x100 + 22 = 10404
962 = 1002 – 8x100 + 42 = 9216
1032 = 1002 + 6x100 + 32 = 10609 1042 = 1002 + 8x100 + 42 = 10816 Catatan: Khusus untuk kuadrat atau perkalian bilangan dengan nol di tengah, ada cara lain yang juga sama mudahnya.
Meski paling mudah diterapkan pada bilangan yang dekat dengan 100 (91-109), cara yang baru saja kita lakukan tentu saja tidak hanya bisa digunakan hanya terbatas untuk kuadrat dengan bilangan itu. Sekali lagi, di Magic MATH100, kami memberikan metode yang umum dan berlaku untuk segala kondisi. Percuma kalau mudah menghitungnya tapi susah menghafal persyaratannya bukan? Kuadrat 120
1. Kuadratkan ratusannya.
1232
2. Kalikan angka penyusunnya.
= 1202 + 6x120 + 32 = 14400 + 720 + 9
3. Kuadratkan satuannya.
= 15129
77
78
Atau kuadrat 100 1232
= 286225
= 27 04
= 1002 + 46x100 + 232 = 10000 + 4600 + 529 (202+ 6x20+9)
4852
= 15129
= 250-15
152 =225
482 = 25-3 22 = 01
= 235 225
= 22 01
Atau perkalian 100 1232
= 100 x 146 + 232
4872
= 14600 + 20x26 + 9
= 250-13
432 = 25-7 72 = 49
132 = 169
= 237 169
= 18 49
= 15129 Cobalah: 5062
Catatan: Dalam banyak hal, perkalian 100 lebih mudah karena tinggal menambah 2 angka nol dan tidak musti mengurang. (kecuali untuk perkalian antar dua bilangan kurang dan lebih dari bilangan rujukan).
5212
5292
Bedanya pada kuadrat yang mendekati 500, gunakan nilai 250 sebagai pengganti nilai 25 pada kuadrat yang mendekati 50. Hal tersebut terjadi karena hasil kuadrat mendekati 50 adalah 4 angka sementara kuadrat mendekati 500 adalah 6 angka.
5362
5122
512 = 25+1 22 = 01
= 250+12
122 =144
= 262 144 5352
= 250+35
212
→
212 = 202+2x20 + 12
= 250+29
292
→
292 = 302 – 2x30 + 12
=… = 250+36
= 841 362
→
=… 4292
= 250-71
4362
= 250-64 =…
522 = 25+2 22 = 04
79
80
362 = 352 + 2x35+ 12 = 1296
712
→
=…
= 26 01 352 = 1225
= 250+21 =…
Kamu sudah cukup mahir menghitung kuadrat mendekati 50 bukan? Untuk bilangan kuadrat mendekati 500, caranya mirip dengan kuadrat mendekati 50.
Kuadrat mendekati 50
62
=…
8.4 Kuadrat Bilangan yang Mendekati 500
Kuadrat mendekati 500
= 250+06
712 = 702 + 2x70 + 12 = 5041
642
→
642 = 652 - 2x65+ 12 = 4096
1022
Modul 9
= 12 1x2x2 = 10404
2
201
= 22 2x1x2
Cobalah: 1032
= …2 …x…x2 …2 =
1052 1062 107
1082 Semua bilangan 3 angka bisa dikuadratkan dengan cukup mudah. Untuk keperluan belajar, bahasan kuadrat bilangan 3 angka ini akan dibagi menjadi beberapa bagian.
1092
…x…x2 …
…
= 10404
2
= 10609
2
104
= 10816
1052
= 11025
2
= 10609
2. Kalikan nilai ratusan dan satuan dan kalikan dua. 2x3x2 = 12.
2
107
= 10609
3. Kuadratkan angka terakhirnya (satuan). 32 = 09
1082
= 10609
2
= 10609
=… 2
1. Kuadratkan angka pertamanya (ratusan). 2 = 4
Jadi: 203
103
106
= 41.209
109
81
82
2
701
= …2 …x…x2 …2
8012
…
= …2 …x…x2 …2 =
9012
…
= …2 …x…x2 …2 =
…
1022
Kuadrat (dan juga perkalian) dengan nol di tengah sangat special karena dapat dikerjakan dengan sangat mudah. Berikut contoh dan langkah pengerjaannya.
6012
…
= …2 …x…x2 …2 =
9.1 Kuadrat Bilangan 3 Angka dengan Angka Nol di Tengah
= …2 …x…x2 …2
= 2
= …2 …x…x2 …2 =
…
= …
…
=… =
5012
…
2
= …2 …x…x2 …2 =
= …2 …x…x2 …2 =
2
3012
…
= …2 …x…x2 …2 =
2
12
= 40401
Kuadrat Kuadrat Bilangan 3 Angka
2032
22
…
= …2 …x…x2 …2 =
…
1502 21. 1012 = …
11. 3052 = …
22. 1022 = …
12. 3062 = …
23. 1032 = …
13. 3072 = …
24. 1042 = …
14. 3082 = …
25. 1052 = …
15. 3092 = …
26. 1062 = …
16. 4012 = …
27. 1072 = …
17. 4022 = …
28. 1082 = …
18. 4032 = …
29. 1092 = …
19. 4042 = …
30. 2012 = …
20. 4052 = …
= … 2
210
Bilangan dengan akhiran angka nol cukup dikuadratkan angka di depan nol dan kemudian tambahkan angka nol sebanuyak 2x angka nol bilangan yang dikuadratkan. = 112 (121) ditambah 2 angka nol
11. 4602 = …
2.
2302 = …
12. 4702 = …
3.
2402 = …
13. 4802 = …
4.
2502 = …
14. 4902 = …
5.
2602 = …
15. 5102 = …
6.
2702 = …
16. 5202 = …
7.
2802 = …
17. 5302 = …
8.
2902 = …
18. 5402 = …
9.
3102 = …
19. 5502 = …
10. 3202 = …
20. 5602 = …
Caranya:
= 132 (169 ditambah 2 angka nol
1. Pisahkan angka didepan angka 5 dan angka 5 nya.
= … 1402
2202 = …
Kuadrat dengan satuan 5 dapat dihitung menggunakan keistimewan kuadrat dengan satuan 5.
= 122 (144) ditambah 2 angka nol = 14400
1302
1.
9.3 Jika Satuan/Akhirannya 5
= 12100 1202
= 212 (441) ditambah 2 angka nol = …
9.2 Jika Satuan/Akhirannya Nol
1102
= 152 (225) ditambah 2 angka nol
2. Kalikan angka di depan 5 dengan angka sesudahnya.
= 142 (196) ditambah 2 angka nol
3. Tambahkan dengan 25.
= …
83
84
Contoh: 1052
=
=
…
=… 5952
1. Pisah 105 menjadi 10 dan 5. 2. Hitung 10x(10+1)
= 10x11
= 110
3. Jadi 1052 = 11.025 1152
...
= 11x12 52
1252
= … x … 52 =
…
=
...
6952
25
= … x … 52 =
…
=
…
25
= 12x13 52 7952
= … x … 52
= 132 25
= 10x15+6 25
= 13.225
= 156 25
=
…
= 15.625
=
...
8952
25
= … x … 52 =
…
=
…
25
Cobalah: 1352
1552
1952
3952
= 13x14 52
1452
= 14x15 52
= 10x17+12 25
= 10x19+20 25
= 182 25
= 210 25
= 18.225
= 21.025
= 15x16 52
1652
9.4 Jika Satuan/Akhirannya 1 atau 9 Kamu pasti masih ingat, bahwa kita pernah belajar sifat kuadrat dan perkalian bilangan yang dapat dimanfaatkan untuk mempermudah perhitungan di bab 2. Kita juga telah belajar menggunkan kuadrat kelipatan 10 untuk mempermudah perhitungan kuadrat berapapun. Pengetahuan itu tentunya sangat berguna untuk menyelesaikan kuadrat 3 angka dengan satuan 1 atau 9. Berikut contohnya
= 16x17 52
= 10x21+30 25
= 10x23+42 25
= 240 25
= 272 25
= 24.025
= 27.225
Untuk kuadrat dengan satuan 1, kuadratkan puluhannya saja (dengan menghilangkan angka 1), kemudian tambah dengan 2x bilangan yang dikuadratkan dan tambah 1.
= 29x … 52
Contoh:
=
…
1212
=
…
= 19x20 52 =
…
=
...
25
= … x … 52 =
…
2952
25
4952
9.4.1 Jika Satuan/Akhirannya 1
25
= 14400+240+1 = 14641
= … x … 52 =
…
= 1202 + 2x120 + 1
25
85
86
1392
Cobalah: 1312
= …
2
= …
= …
+ 2x … + 1
= …
+
= …
…
+1 2492
= …
= …
2
- … 2
= … 2
151
= …
2
= …
+ 2x … + 1 +
…
- 2x … + 1 +1
- 2x … + 1 - …
+1
= … 3492
+1
= …
2
= …
= …
- 2x … + 1 - …
+1
= … 2512
= …
2
= …
4492
+ 2x … + 1 +
…
+1
= …
2
= …
= …
- 2x … + 1 - …
+1
= …
9.4.2 Jika Satuan/Akhirannya 9
9.5 Jika Satuan/Akhirannya 2 atau 8
Untuk kuadrat dengan satuan 9, bulatkan ke puluhan terdekat (ke atas), kemudian kurangi dengan 2x bilangan yang dikuadratkan dan tambah 1.
Kuadrat dengan satuan 2 atau 8 dikerjakan dengan cara yang sama dengan kuadrat dengan satuan 1 atau 9. Perbedaan terletak pada factor kali (bukan 2 tapi 4) dan selisih kuadratnya (bukan 1 tapu 2 kuadrat).
Contoh: 1292
= 1302 - 2x130 + 1
9.5.1 Jika Satuan/Akhirannya 2
= 16900 – 260 + 1
Kuadrat dengan satuan 2 dikerjakan dengan menghilangkan satuan 2 dan mengkuadratkan bilangan kelipatan sepuluh, yang kemudian ditambah dengan 4x bilangan kelipatan 10 dan 4.
= 16641
Contoh:
Cobalah: 2
119
= … = …
2
1122
- 2x … + 1 - …
= 1102 + 4x110 + 22 = 12100 + 440 + 4
+1
= 12544
= …
87
88
1222
= …
2
= …
+ 4x … + 22 +
…
= …
+4 6522
= …
= …
2
= … 1322
= …
2
= …
+ 4x … + 22 +
…
+
= …
2
= … 142
= … = …
2
…
= …
2
= …
+
…
+4
Contoh: 2
= …
1282
2
+ 4x … + 2 +
…
+4
= … 3522
= …
2
= …
+
…
= … = …
= 1302 - 4x130 + 22
1182
+4
= 16384
= 16384
= …
2
= …
+ 4x … + 22 +
…
1382
+4
89
90
1282 = 1202 + 16x120 + 82 = 14400 + 1920 + 64
- 4x … + 22 - …
+ 22
= … 2
atau
= 16900 – 520 + 22
Cobalah:
+ 4x … + 22
= … 4522
+4
Ahhirtan 8 dapat dikerjakan dengan membulatkan keatas dan mengurangi 4x puluhan ditambah 22 atau jika kamu tidak begirtu suka dengan pengurangan, bulatkan saja ke bawah dan tambah dengan 16x nilai puluhan ditambah 82.
+ 4x … + 22
= … 252
…
9.5.2 Jika Satuan/Akhirannya 8
= …
2
+
+4
= … 1522
+ 4x … + 22
= …
+ 4x … + 2 +
+4
+4 7522
2
…
= …
= … 2
+ 4x … + 22
= …
2
- 4x … + 22
= …
- …
+ 22 8482
= …
= …
2
= … 2482
= …
2
= …
- 2x … + 22 - …
- …
+ 22 9482
= …
2
= … = …
2
= …
- 4x … + 22 - …
= …
2
+2
Kuadrat 3 angka dengan satuan 6 atau 4 diselesaikan dengan lebih mudah jika menggunakan bantuan kuadrat dengan satuan 5 atau kelipatan 10 sebgai alternatif.
- 4x … + 22 - …
+ 22
9.6.1 Jika Satuan/Akhirannya 6 2
= …
Kuadrat 3 angka dengan satuan 6 diselesaikan dengan bantuan kuadrat dengan satuan 5 dan menambah 2x bilangan satuan 5 ditambah 1.
- 4x … + 22 - …
+ 22
Contoh:
= …
1262 6482
= …
+ 22
= …
= … = …
- …
9.6 Jika Satuan/Akhirannya 6 atau 4
= …
5482
- 4x … + 22
2
= … 4482
+ 22
= …
= … 3482
- 4x … + 22
2
= …
= 15625 + 250 +1
- 4x … + 22 - …
= 1252 + 2x125 + 12 = 15876
+ 22
Catatan:
= …
Hitung 12x13 dan akhiri dengan 25 untuk menghitung 1252 secara yang mudah. 7482
= … = …
2
- 4x … + 22 - …
Kamu juga bisa menggunakan kuadrat kelipatan 10 untuk menghitung kuadrat dengan dengan satuan 6.
+ 22
1202
= …
91
92
= 1202 + 12x120 + 62
= 14400 + 1440 +36 2062
= 15876
=
…2 + 2x … + 12
Cobalah:
= …
1162
= …
1262
= 1152 + 2x115 + 12 =
… +
=
…
=
Kuadrat denganb satuan 4 dikerjakan dengan kuadrat 5 dan mengurangi 2 kali bilangan rujukan ditambah 1 atau menggunakan kuadrat 10. Contoh berikut adalah penyelesaian menggunakan kuadrat 5.
+
…
+1
1142
…2 + 2x … + 12
= …
+
…
+1
= … 1462
=
1242
+
…
=
1342
+
…
=
1442
+
…
…
= 1252 - 2x … + 12
= …
= … = …
…2 + 2x … + 12
= …
=
… +1
- …
+1
2
- 2x … + 12 - …
+1
= …
+1
= … 1962
… -
= …
…2 + 2x … + 12
= …
=
= …
+1
= … 1562
= 1152 - 2x115 + 12
= …
…2 + 2x … + 12
= …
+1
9.6.2 Jika Satuan/Akhirannya 4
= … 1362
…
… +1
= 1252 + 2x … + 12 = …
+
= …
+1
= …
93
94
2
- 2x … + 12 - …
+1
1542
2
= … = …
- 2x … + 12
Cobalah:
- …
1172
+1
= … 1642
2
= … = …
- …
194
2
= … = …
1372
+1
2
= …
… +
=
…
=
…
=
… +
=
…
=
…
=
… +
=
…
=
…
=
… +
=
…
=
…
=
… +
=
…
=
…
=
… +
=
…
=
…
…
+4
2
+ 4x … + 22 …
+4
- 2x … + 1 - …
= …
=
2
1472
+1
= … 2042
+ 4x … + 22
…
- 2x … + 12
= … 2
2
=
2
+ 4x … + 22 …
+4
- 2x … + 12 - …
1572
+1
= …
9.7 Jika Satuan/Akhirannya 7 atau 3 Gunakan cara yang sama dengan cara sebelumnya dengan mengingat selisih 7 atau 3 terhadap bilangan rujukan.
2472
9.7.1 Jika Satuan/Akhirannya 7
2
2
+ 4x … + 22 …
+4
+ 4x … + 22 …
+4
Perhatikan bahwa 7 berselisih 7 atau 3 terhadap 10 dan 2 terhadap 5. Contoh: 2
127
2
= 125
2572
2
+ 4x125 + 2
= 15625 + 500 + 4
2
+ 4x … + 22 …
+4
= 16129 3472
95
96
2
+ 4x … + 22
3572
=
… +
=
…
=
…
=
… +
=
…
2
…
+4
1932
+ 4x … + 22 …
+4
2432
9.7.2 Jika Satuan/Akhirannya 3 2
123
2
= 125
2
- 4x125 + 2
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
-
2
+4
- 4x … + 22 -
2
…
…
+4
- 4x … + 22 -
…
+4
= 15625 - 500 + 4 2532
= 15129 Cobalah: 1132
1332
1432
1532
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
=
…
2
- 4x … + 22 -
2
…
2932
+4
2
- 4x … + 22 -
2
…
+4
- 4x … + 22 -
…
+4
- 4x … + 22 -
…
9.8 Kuadrat Bilangan 3 Angka Sembarang
+4
Sadarkah kamu bahwa hanya ada 10 angka yang kita kenal? 0 dan 5, 1 dan 9, 2 dan 8, 6 dan 4, 67 dan 3? 2
- 4x … + 22 -
2
…
Dengan apa yang telah kita pelajari sejauh ini, berarti kita telah dapat menghitung kuadrat apapun dengan cara yang lebih mudah. Ketrampilan dan keahlian hanya bisa didapat dari latihan. Kareananya, rajinlah berlatih menggunkan prisnsip-prinsip yang telah kamu pelajari. Pasti ketrampilanmu akan meningkat dan mampu mengundang decak kagum dari siapapun yang belum tahu teknik yang telah kamu kuasai.
+4
- 4x … + 22
97
98
Modul 10
72 - 62 = … – … = …
(= … + …)
62 - 52 = … – … = …
(= … + …)
2
Selisih Kuadrat
2
5 - 4 = … – … =…
(= … + …)
42 - 32 = … – … = …
(= … + …)
672 - 662 = 67 + 66 = 133 562 - 552 = 56 + 55 = … 952 - 942 = … + … = … 842 - 832 = … + … = … 1672 - 1662 = 167 + 166 = 333 2562 - 2552 = 256 + 255 = … Selisih kuadrat memiliki keunikan yang sangat khas. Untuk menghitung selisih kuadrat, gunakan teknik sederhana berikut:
3952 - 3942 = … + … = … 5842 - 5832 = … +– … = …
10.1 Selisih Kuadrat Bilangan Berurutan Selisih kuadrat bilangan berurutan selalu sama dengan jumlah masing-masing bilangan pokoknya.
1.
122 - 112 = 23 (12+11)
21
222 - 212 =
2.
132 - 122 = 25
22
242 - 232 =
Contoh:
3.
142 - 132 = 27
23
232 - 222 =
112 - 102 = 121 – 100 = 21
4.
62 - 52 =
24
162 - 152 =
5.
72 - 62 =
25
172 - 162 =
6.
92 - 82 =
26
192 - 182 =
7.
212 – 20 =
27
322 - 312 =
8.
232 - 222 =
28
312 - 302 =
9.
252 - 242 =
29
302 - 292 =
10. 442 - 432 =
30
272 - 262 =
Atau hitung dengan cara cepat: 11+10 = 21 102 - 92 = 100 – 81 = 19 Atau hitung dengan cara cepat: 10+ 9 = 19 Cobalah: 92 - 82 = 81 – 64 = 17 82 - 72 = … – … = …
(= … + …) (= … + …)
99
100
11. 432 - 422 =
31
292 - 282 =
4.
162 - 142 =
12. 332 - 322 =
32
842 - 832 =
5.
172 - 152 =
13. 352 - 322 =
33
822 - 812 =
6.
192 - 172 =
14. 372 - 322 =
34
802 - 792 =
7.
212 - 192 =
15. 532 - 522 =
35
392 - 382 =
8.
232 - 212 =
16. 542 - 532 =
36
482 - 472 =
9.
252 - 232 =
17. 552 - 542 =
37
462 - 452 =
10. 442 - 422 =
18. 442 - 432 =
38
932 - 922 =
11. 432 - 412 =
19. 422 - 412 =
39
962 - 952 =
12. 332 - 312 =
20. 522 - 512 =
40
972 - 962 =
13. 352 - 332 = 14. 372 - 352 = 15. 532 - 512 =
10.2 Selisih Kuadrat Bilangan dengan Beda 2
16. 542 - 522 =
Untuk selisih kuadrat bilangan yang berbeda 2, kalikan 2 hasil penjumlahan bilangan pokoknya.
17. 552 - 532 =
Contoh: 2
2
2
2
18. 442 - 422 = 19. 422 - 402 =
3 - 1 4 - 2
= 4x2
=8
= 6x2
= 12
2
2
= 24 x 2
= 48
2
2
= 26 x 2
= 52
13 - 11 14 - 12
20. 522 - 502 =
10.3 Selisih Kuadrat Bilangan dengan Beda 10 Untuk selisih kuadrat bilangan yang beda 10, kalikan 10, hasil penjumlahan bilangan pokoknya.
Cobalah: 1.
122 - 102 = 22 x 2 = 44
2.
132 - 112 = 24 x 3 = …
3.
142 - 122 = 26 x 2 = …
Contoh: 112 - 12 142 - 42 2
2
23 - 13
101
102
= 12 x 10
= 120
= 18 x 10
= 180
= 36 x 10
= 360
242 - 142
= 38 x 10
= 380
Contoh: 92 - 52 = 81 – 25 = 56 2
2
= (9+5) (9-5) = 14x4 = 56
Cobalah:
8 - 6 = 64 – 36 = 28
= (8+6) (8-6) = 14x2 = 28
21. 122 - 22 = 14x10 = 140
62 - 22 = 36 – 04 = 32
= (6+2) (6-2) = 08x4 = 32
22. 132 - 32 = 16x10 = 160 23. 142 - 42 = 18x10 = 180
Cobalah:
24. 162 - 62 = 22x10 = 220
72 - 22 = 9 x 5 = 45
25. 172 - 72 = … x10 = …
82 - 52 = … x … = …
26. 192 - 92 = … x10 = …
92 - 42 = … x … = …
27. 212 - 112 = … x10 = …
102 - 82 = … x … = …
28. 232 - 132 = … x10 = …
102 - 72 = … x … = …
29. 252 - 152 = … x10 = …
102 - 52 = … x … = …
30. 442 – 342 = … x10 = …
102 - 42 = … x … = …
31. 432 - 332 = … x … = …
102 - 32 = … x … = … 122 - 62 = … x … = …
32. 332 - 232 = … x … = …
132 - 52 = … x … = …
33. 352 - 252 = … x … = …
142 - 72 = … x … = …
34. 372 - 272 = … x … = …
152 - 92 = … x … = …
35. 532 - 432 = … x … = …
162 - 82 = … x … = …
36. 542 - 442 = … x … = … 37. 552 - 452 = … x … = … 38. 442 - 342 = … x … = …
10.4 Selisih Kuadrat Bilangan dengan Beda Sembarang Untuk selisih kuadrat bilangan yang tidak berurutan, dapat dihitung dengan perkalian antara jumlah dan selisih bilangan pokoknya.
103
104
81 x 49 dihitung menggunakan rujukan 50
Modul 11
= (81-1) x (49+1) – 31x1 = 3969
Perkalian Kuadrat dan Kuadrat Pecahan
Penjelasan lebih detail tentang aneka perhitungan perkalian dengan cara yang mudah dan menyenangkan ada di buku tersendiri (tentang perkalian). Dengan mengetahui sifat ini, maka kamu dapat menghitung perkalian kuadrat dengan cara yang paling mudah buat kamu. Cara yang paling mudah untuk sebuah soal, belum tentu mudah jika digunakan untuk soal yang lain. Untuk itu, kamu perlu berlatih dengan kedua cara. Mari kita berlatih.
11.1 Untuk Bilangan Pokok 1 Angka 1. 62 x 82 = 36 x 64
Perkalian antar bilangan kuadrat bisa dihitung dengan mengalikan hasil kuadrat atau mengalikan bilangan pokoknya dan mengkuadratkan hasilnya. 92 x 72 = 81 x 49 = 80x50 – 31
= 502 – 4x50 + 4
= 2304
= 2304 atau
= 552 + 2x55 + 1
= 3136
= 3136 atau
= 4080+16
92 x 72 = (9x7)2
= 4225 – 130 +1
= …
= 632 = 602 + 6x60 +9
4. 92 x 82 = … x …
= 3969
= (80x65) – 16
Catatan:
105
106
82 x 82 = … 2 = 652 – 2x65 + 1
= (60x68) +16
atau
72 x 82 = 562
= (50x63) – 14
3. 82 x 82 = … x …
= 3969
62 x 82 = 482
= (30x70) + 6x34
2. 72 x 82 = 49 x 64
Contoh:
atau
= … atau
92 x 82 = 722 = 702 + 4x70 + 4
= 5184
1. 122 x 182
= 5184
= (10x20 + 2x8) 2 = 2162
5. 152 x 42
= 225 x 16
atau
= 2250+1350
152 x 42 = 602
= 200x232 + 162 = 46400 + 10x22+ 62
= 3600
= 3600 6. 162 x 52
=…x…
= 46656 atau
=… +…
162 x 52 = … 2
2. 132 x 172
= (10x20 + 21)2 = 2212
=…
= 200x242 + 212
= …
= 48400 + 202 + 2x20 + 1 7. 132 x 72
=…x…
atau
=… +…
132 x 72 = … 2
= 48841
=… 3. 142 x 162
= …
= (10x20 + 24)2 = 2242
8. 142 x 82
=…x…
atau
=… +…
142 x 82 = … 2
= 200x248 + 242 = 49600 + 202 + 8x20 + 42
=…
= … 9. 122 x 92
=…x… =… +…
= 50176 atau
122 x 92 = …2
4. 112 x 192
= (209)2 = 200x218 + 92
=…
= 43600 + 81
= …
= 43681
11.2 Untuk Bilangan Pokok 2 Angka Berikut contoh perkalian kuadrat antara 2 bialngan pokok yang bisa dikalikan dengan cara khusus.
5. 112 x 292
= (319)2 = 300x338 + 192 = 300x338 + 202 – 2x20 + 1
107
108
= 101400 + 361
Modul 12
= 101761
11.3 Kuadrat Bilangan Pecahan Sama seperti bilangan decimal, bilangan pecahan adalah bilangan bukan bulat. Contoh bilangan pecahan adalah 1 dibagi 2 (½), 2 dibagi 3(2/3), 3 dibagi 2 (3/2 = 1½) dan sebagainya.
Memeriksa Jawaban dengan Sisa 11
Dalam pecahan kita mengenal pembilang (di atas tanda pemisah “/”) dan penyebut (di bawah tanda pemisah “/”) bilangan. Kuadrat bilangan dihitung dengan mengkuadratkan masing-masing pembilang dan penyebutnya. Contoh: (½)2 = 12/22 = ¼ (¼)2 = 12/42 = 1/16 ( 43 )2 = 42/32 = 16/12
Sebelum belajar lebih jauh cara memeriksa jawaban dengan cara mencarai sisa pembagian 11, mari kita berlatih cara menghitung sisa 11. Berikut aturannya: 1. Beri tanda 1 pada angka satuan sebagai angka ganjil dan angka di kanan kirinya genap (selang-seling ganjil-genap). 2. Jumlahkan semua angka ganjil dan juga angka genap. 3. Hitunglah nilai ganjil dikurang nilai genap. 4. Jika negative, tambahkan 11: Contoh: 14: 4-1 = 3 25: 5-2 = 3 68: 8-6 = 2 41: 1+11-4 = 8
109
110
52: 2+11-5 = 8
Seperti terlihat dalam contoh, kekurangan dari menghilangkan 9 adalah tidak dapat mendeteksi susunan angka yang salah, sementara sisa 11 bisa.
86: 6+11-8 = 9
Cobalah memeriksa jawaban berikut dengan menghilangkan 9 dan sisa pembagian 11:
4,1: 4-1= 3 5,2: 5-2 = 3
Menghilangkan 9 256 2+5+6 – 9 = 4 125 x 1+2+5 = 8 31100 3+1+1 = 5
8,6: 8-6 = 2 612: 2+6-1 = 7 162: 2+1-6+11 = 8
Sisa Pembagian 11 256 6+2-5 = 3 3x4 = 12:2-1=1 125 x 5+1-2 = 4 31100 0+1+3 – (0+1) = 3 jawaban pasti salah
126: 6+1-2 = 5 Contoh: 2564 1235 x 3.166.540
4+5-(6+2) = 1 1x3 = 3 5+2-(3+1) = 3 0+5+6+3 – (4+6+1) = 3 Sehingga jawabnya pasti benar
Coba periksa perkalian berikut dengan menghilangkan 9 dan sisa 11.
Kelebihan Menghilangkan 11 dibanding menghilangkan 9 Untuk mengetahuinya, mari kita mencoba dengan perkalian yang sama tapi denan menukar posisinya: Jawab hasil kali kita tulis 1.366.540 Menghilangkan 9: 2564 2+5+6+4 = 17 1+7 = 8 1235 x 1+2+3+5 = 11 1+1 = 2 8x2 = 16 1.366.540 1+3++6+6+5+4+0 = 25 2+5 = 7
4x8 = 32: 3+2 = 5 jawaban mungkin Benar
1+6 = 7
36 x 64 = 2.304 Angka 9 36 0 64x 1 2304 0 :0x1=0 - mungkin benar Sisa 11 36 6-3 = 3 64 x 4-6+11 = 9 2304 4+3 -2 = 5 49 x 64 = 3.136 Angka 9 49 64x 3136
Karena jumlah sama, maka jawaban di atas mungkin benar. Sisa 11: 2564 4+5-(6+2) = 1 1235 x 5+2-(3+1) = 3 1.366.540 0+5+6+1 – (4+6+3) = 12-13+11 = 10 Jawaban pasti salah.
111
112
→ 3x9 = 27
→ 7-2 = 5 jawaban pasti benar
Sisa 11 49 64x 3136
72 x 64 = 5.184 Angka 9 72 64x 5184 225 x 16 = 3.600 Angka 9 225 16 x 3600
Sisa 11 72 64x 5184
Sisa 11 225 16 x 3600
144 x 324 = 46.566 Angka 9 144 324 x 46566
Sisa 11 144 324 x 46566
169 x 289 = 48.841 Angka 9 169 289 x 48841
Sisa 11 169 289 x 48841
196 x 256 = 50.176 Angka 9 196 256 x 50176
Sisa 11 196 256 x 50176
256 x 25 = 6.400 Angka 9 256 25 x 6400
Sisa 11 225 25 x 6400
169 x 49 = 8.281 Angka 9 169 49 x 8281
Sisa 11 169 49 x 8281
121 x 361 = 43.861 Angka 9 121 361 x 43861
Sisa 11 121 361 x 43861
196 x 64 = 12.454 Angka 9 196 64 x 12454
Sisa 11 196 64 x 12454
121 x 841 = 101.671 Angka 9 121 841 x 101671
Sisa 11 121 841 x 101671
144 x 81 = 11.664 Angka 9 144 81 x 11664
Sisa 11 144 81 x 11664
113
114
Perhatikan keunikan dari angka-angka tersebut. Hanya ada 5 macam nilai satuan yaitu 1, 4, 9, 6, dan 5. Nilai ini akan berulang untuk “satu dan sembilan”, “dua dan delapan”, “tiga dan tujuh”, “empat dan enam “, “lima dan lima”.
Modul 13
Akar Kuadrat, Akar Pangkat 3 dan Akar Pangkat 5
Angka yang dipangkatkan ATU EMBILAN
1
UA ELAPAN
4
IGA UJUH
9
MPAT NAM
6
IMA
5
S
13.1 Akar Pangkat 2 Akar pengkat 2 atau kuadrat, adalah kebalikan dari pangkat dua. Sebagai contoh, jika 22 = 4 maka akar 4 atau 4 = 2x 2 = 2. Sebelum belajar lebih jauh tentang akar, perhatikan keunikan bagan pemangkatan berikut:
Satuan hasil pangkat
D T E L
13.1.2 Cara mudah Menghafal?
13.1.1 Pola Umum Akar Pangkat 2
Cobalah kamu diminta untuk menghafal angka-angka yang menghasilkan kuadrat dengan satuan 1, 4, 9, 6, 5. Bisa jadi kamu malas, ogah dan tertekan. Menghafal, bisa menjadi hal yang rumit, memberatkan dan bikin tertekan (stressed). Ada banyak cara menghafal. Kamu dapat membaca buku yang sangat bagus berjudul I am Gifted, so are You (Saya berbakat, kamu juga) karya Adam Khoo, siswa bodoh, berkalikali dikeluarkan dan ditolak sekolah saking bodonya, tapi mendadak menjadi berbakat setelah menerapkan teknik belajar tertentu. Mr. Adam Khoo, bahkan berhasil menjadi milyarder di usia 26 tahun. Sekarang dia adalah pengusaha dan pelatih sukses paling diminati. Ini salah satu tekniknya. 1. Amati pola dari angka penghasil kuadrat. 2. Ternyata:
12 = 1 x 1 = 1 22 = 2 x 2 = 4 32 = 3 x 3 = 9 42 = 4 x 4 = 16 52 = 5 x 5 = 25 62 = 6 x 6 = 36 72 = 7 x 7 = 49 82 = 8 x 8 = 64 92 = 9 x 9 = 81
115
116
Kuadrat penghasil satuan 1 dihasilkan oleh angka satu dan sembilan (sama-sama diawali S). Kuadrat penghasil satuan 4 dihasilkan oleh angka dua dan delapan (sama-sama diawali D). Kuadrat penghasil satuan 9 dihasilkan oleh angka tiga dan tujuh (sama-sama diawali T). Kuadrat penghasil satuan 6 dihasilkan oleh angka empat dan enam (sama-sama diawali E). Kuadrat penghasil satuan 5 dihasilkan oleh angka lima. 3. Buat kesimpulannya: Dari pola yang ada, kamu tinggal tahu bahwa 12= 1, 22= 4, 32= 9, 42= 16, 52= 25. Yang lain mengikuti pola. Jauh lebih mudah bukan? Pernah ada seorang guru sekolah internasional yang bertanya: “Bagaimana cara merncari polanya jika saya harus mengajar dalam bahasa Inggris?” Karena dalam bahasa Inggris 1= one, 9=nine, maka kita tidak bisa menggunakan pola seperti dalam bahasa Indonesia. Solusinya, gunakan pola kawan besar (kawan besar = penghasil 10). Perhatikan pasangan kawan besar berikut: 1-9, 2-8, 3-7 4-6, 5-5. Ajaib bukan? Sekarang saya yakin kalian semua sudah hafal tanpa berusaha menghafal yang bikin stressed.
13.1.3 Cara Cepat Mencari Akar Kuadrat
Karena 1936 < 2025. maka 1936 = 44. Cek: 442 = 452 – 2x45 +1 = 2025 -90+1 = 1936 Contoh 2:
2116 = 44 atau 46 Mana yang benar? Gunakan keistimewaan kuadrat dengan satuan 5: 452 = 2025 Karena 2116 lebih besar dari 2025, maka Cek: 462 = 452 + 2x45 +1 = 2025 +90+1 = 2116
2116 = 46.
Contoh 3:
1156 = 34 atau 36 Mana yang benar? Gunakan keistimewaan kuadrat dengan satuan 5: 352 = 1225 Karena 1156 < 1225, maka 1156 = 34. = 352 – 2x35 +1 Cek: 342 = 1225 - 70+1 = 1156 Contoh 4:
1. Ambil 2 angka dari kanan/belakang, 2. Tarik akar bilangan sisanya sebagai angka puluhan. 3. Dari 2 kjemudngkinan yang ada, pilij salah satu.
1296 = 34 atau 36 Mana yang benar? Gunakan keistimewaan kuadrat dengan satuan 5: 352 = 1225.
Contoh 1:
1936 = 44 atau 46 karena: akar 19 adalah 4 (42 = 16) akar yang satuannya 6 adalah 4 atau 6. sehingga kemungkinan jawabnya adalah 44 atau 46 Mana yang benar? Gunakan keistimewaan kuadrat dengan satuan 5: 452 = 2025
117
Karena 1229 lebih besar dari 1225, maka = 352 + 2x35 +1 Cek: 362 = 1225 +70+1 = 1296. Mudah sekali bukan? Cobalah:
118
1296 = 36.
1.
1.936 = …
13.2 Akar Pangkat 3
2.
2.601 = …
Pangkat 3 adalah perkalian dari 3 buah bilangan yang sama. Panngkat 3 dilambangkan dengan angka 3 yang posisinya naik ke atas.
3.
3.136 = …
13.2.1 Pola Umum Akar Pangkat 3
4. 5. 6.
3.969 = … 4.624 = … 5.476 = …
7.
6.084 = …
8.
6.889 = …
13 = 1 x 1 x 1 =
1
1-1
23 = 2 x 2 x 2 =
8
2-8
3
3 = 3 x 3 x 3 = 27
3-7
3
4 = 4 x 4 x 4 = 64
4-4
53 = 5 x 5 x 5 = 125
5-5
3
6-6
3
7 = 7 x 7 x7 = 343
7-3
83 = 8 x 8 x8 = 512
8-2
6 = 6 x 6 x 6 = 216
3
9 = 9 x 9 x9 = 729
9.
7.569 = …
10.
8.836 = …
11.
9.801 = …
9-9
Sehingga untuk akar pangkat 3, cukup dihafal 2 buah saja: 2 ke 8 atau sebaliknya (8 ke 2) Ingat 23 = 8 3 ke 7 atau sebaliknya ( 7 ke 3). Ingat 33 = 27 Selain itu, maka pangkat 3 memiliki angka yang sama 1-1, 4-4, 5-5, 6-6, 9-9
12. 10.201 = …
13.2.2 Cara cepat mencari akar pangkat 3 13. 10.816 = …
14. 11.449 = …
Contoh 1: 3
15. 11.881 = …
Ambil 3 angka dari belakang, Tarik akar bilangan sisanya sebagai angka puluhan.
1331 = 11 karena:
119
120
Setelah diambil 3 dari kanan sisa 1 yang akar pangkat3nya 1
Dari 3 angka tersisa 331, kemungkinan akar pangkat 3 nya hanya 1, sehingga
3
1728 = 12 karena:
Setelah diambil 3 dari kanan sisa 1 yang akar pangkat3nya 1 Dari 3 angka tersisa 728, kemungkinan akar pangkat 3 nya hanya 2, sehingga
3
3
79.507 = …
10.
3
97.336 = …
11.
3
140.608 = …
12.
3
157.464 = …
13.
3
185.193 = …
14.
3
274.625 = …
15.
3
343.000 = …
1331 = 11
Contoh 2: 3
9.
1728 = 12.
Malah Lebih mudah bukan? Selama bilangan yang ada bisa ditarik akar pangkat 3nya (menghasilkan bilangan bulat) maka akar pangkat 3 memang sangat mudah. Magic? Pasti… - buat yang belum tahu. Cobalah:
3.375 = …
13.3 Akar Pangkat 5
2.
3
6.859 = …
Pangkat 5 adalah perkalian dari 5 buah bilangan yang sama. Pangkat 5 dilambangkan dengan angka 5 yang posisinya naik ke atas.
3.
3
13.824 = …
1.
3
Contoh:
4.
3
5.
3
6.
3
7.
3
15 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 =
1
2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 x 23 = 4 x
19.683 = … 35.937 = …
5
2
5
2
8=
32
3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3 x 3 = 9 x 27 =
243
3
45 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 42 x 43 = 16 x 64 = 1024 55 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 52 x 53 = 15 x 125 = 3125
42.875 = …
65 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 62 x 63 = 36 x 216 = 7.776 75 = 7 x 7 x7 x 7 x 7 = 72 x 73 = 49 x 343 = 16.807
54.872 = …
85 = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 82 x 83 = 64 x 512 = 32.768 8.
3
68.921 = …
95 = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 92 x 93 = 81 x 729 = 59.049
121
122
Perhatikan bahwa akar pangkat lima selalu menghasilkan nilai satuan yang sama dengan satuan bilangan yang di akar.
Jawabannya 2 digit dengan puluhan 6 jika: bilangan terletak antara 7500 < n <16000, ( x105 ) (maksimum 10 (5+5) angka dengan nilai terbesar 16000)
Dengan keistimewaan ini, maka asal bilangan yang ditanyakan mempunyai akar yang bulat, akan sangat mudah mencari akar 5.
Jawabannya 2 digit dengan puluhan 7 jika: bilangan terletak antara 16000 < n < 32000 (x105 ) (maksimum 10 (5+5) angka dengan nilai terbesar 32000)
5 angka dari kanan mewakili 1 akar pangkat 5, sehingga bila bilangan yang di akar pangkat 6 sama dengan atau kurang dari 5 hasilnya pasti hanya 1 angka saja. Jika lebih dari 5 angka, (6-10 angka) maka hasil akarnya pasti terdiri dari 2 angka.
Jawabannya 2 digit dengan puluhan 8 jika: bilangan terletak antara 32000 < n < 58000. (x105 ) (maksimum 10 (5+5) angka dengan nilai terbesar 58000) Jawabannya 2 digit dengan puluhan 9 jika: bilangan l terletak antara 32000 < n < 99000 ( x105 ) (maksimum 10 (5+5) angka dengan nilai terbesar 99000)
Berikut ringkasannya: Jawabannya 1 digit jika Angka keenam bilangan yang diakar 5 kurang dari 1. ( x105 )
1
Jawabannya 2 digit dengan puluhan 1 jika: bilangan terletak pada 1 < n < 30. ( x105 ) (maksimum 7 (2+5) angka dengan nilai terbesar 30)
30
220
1.000
3
1 30
220
Contoh:
Jawabannya 2 digit dengan puluhan 3 jika: bilangan terletak antara 220 < n <1000. ( x105 ) (maksimum 9 (4+5) angka dengan nilai terbesar 1000) Jawabannya 2 digit dengan puluhan 4 jika: bilangan terletak antara 1000 < n <3000. ( x105 ) (maksimum 9 (4+5) angka dengan nilai terbesar 3000) Jawabannya 2 digit dengan puluhan 5 jika: bilangan terletak antara 3000 < n < 7500. ( x105 ) (maksimum 9 (4+5) angka dengan nilai terbesar 7500)
123
5
7.776 = 6
5
32.768 = 8
5
59.049 = 9
5
248.832 = 12
5
5.153.632 = 22
124
7.500
16.000
3.000
4
32.000
58.000
7
5
1.000
2 Jawabannya 2 digit dengan puluhan 2 jika: bilangan terletak pada 30 < n <220. ( x105 ) (maksimum 8 (3+5) angka dengan nilai terbesar 220)
3.000
7.500
16.000
6
99.000
9 32.000
58.000
8
Catatan:
Modul 14
Hasil ini selalu sedikit lebih besar dari akar kuadrat yang sebenarnya. Contoh 1:
Cara Magic Menghitung Segala Macam Akar Kuadrat
42 = 6,…
→ perkiraan awal adalah 6 karena 62 = 36
42/6 = 7 (6+7)/2 = 6,5 Turunkan sedikit sehingga menjadi 6,48. Contoh 2:
70 = 8,…
→ perkiraan awal adalah 8 karena 82 = 64
70/8 = 8,75 (8+8,75)/2 = 8,375 Bulatkan ke bawah sehingga didapat 8,37
Seperti kita ketahui, akar kuadrat adalah kebalikan dari kuadrat. Jika 6 kuadrat sama dengan 36 maka akar kuadrat 36 adalah 6, sedang akar kuadrat 49 adalah 7 karena 7 kuadrat sama dengan 49. Lalu berapakah akar kuadrat 42? Tentu saja diantara 6 dan 7. Berapakah tepatnya? Agak susah menghitung nilai pasti dari akar kuadrat yang jawabnya bilangan pecahan. Kita hanya akan berusaha mengetahui perkiraan atau pendekatannya saja.
14.1 Cara Pendekatan Akar Kuadrat
Contoh 3:
500 = 20 (puluhan 2) → akar 5 = 2 karena 22 = 4 500/20 = 25 (20+25)/2 = 22,5 Bulatkan ke bawah sehingga didapat 22,4 Catatan: Untuk bilangan yang lebih dari 2 angka, ambil 2 angka dan kelipatannya dari belakakang.
Berikut caranya. 1. Tentukan 1 angka perkiraan awal. 2. Bagi bilangan yang akan dicari akar kuadratnya dengan angka (bilangan) nomor 1. 3. Cari rata-rata dari hasil nomor 1 dan 2.
Contoh 4:
3.125 = 50 (puluhan 5) → akar 31 = 5 karena 52 = 25 3125/50 = 62,5
125
126
(50+62,5)/2 = 56,25 Bulatkan ke bawah sehingga didapat 56 Contoh 5:
1936 = 40 (puluhan 4) → akar 19 = 4 karena 42 = 16
6.
200 = …
7.
300 = …
8.
600 = …
14.2 Menggunakan Perkiraan Awal yang Lebih Besar dari Nilai Sebenarnya
1936/40 = 48,4
Ketepatan perhitungan seringkali sangat ditentukan oleh ketepatan kita dalam memperkirakan jawaban. Untuk hasil akar kuadrat yang lebigh tepat, kamu boleh menggunakan prakiraan yang lebih besar dari akar kuadrat yang sesungguhnya.
(40+48,4)/2 = 44,2 Bulatkan ke bawah sehingga didapat 44 Contoh 6:
93.560 = … Karena bilangan yang akan ditarik akarnya terdiri dari 5 bilangan, maka perlu kita pisahkan 2-2 dari kanan sehingga menjadi 9 35 60
93.560 = 3 (ratusan) → 3 adalah angka pertama dari 3 angka
Jika akar kuadrat 2500 adalah 50, maka kita bisa menggunakan 50 sebagai prakiraan akar kuadrat yang sedikit lebih kecil dari 2500. Akar kuadrat 2400 misalnya, bisa kita kerjakan dengan menggunakan prakiraan 40 atau 50. Berikut contohnya: Contoh 1:
2400 = …
93560/300 = 311,86 (300+311,86)/2 = 305,9
1. Pilih 5 sebagai prakiraan awal karena 52=25, lebih dekat dengan 24 dibanding 42=16.
Cobalah:
2. 2400/50 = 48.
1.
30 = …
2.
40 = …
3.
50 = …
4.
60 = …
5.
90 = …
3. (50+48)/2 = 49. Contoh 2:
6300 = … 1. Pilih 8 sebagai prakiraan awal karena 82=64, lebih dekat dengan 63 dibanding 72=49. 2. 6300/80 = 78,75.
127
128
3. (80+78,75)/2 = 79,37.
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari kita jawab bersama pertanyaan sederhana berikut:
Cobalah:
1. Berapa
64 ?
1.
700 = …
Jika kamu menebak 8, maka kamu tinggal membagi 64 dengan 8 sehingga didapat 8. YA akar kuadrat 64 memang 8.
2.
800 = …
3.
2000 = …
4.
3000 = …
Jika kamu menjawab 7, maka kamu tinggal membagi 64 dengan 7 sehingga didapat 64:7 = 9,143. Hasil ini perlu di rata-rata sehingga didapat jawaban (7+9,143)/2 = 8,07 atau dibulatkan jadi 8.
5.
4000 = …
6.
5000 = …
7.
6000 = …
Jika kamu menjawab 7,5 maka kamutinggal membagi 64 dengan 7,5 sehingga didapat 64:7,5 = 8,53. Hasil ini perlu di rata-rata sehingga didapat jawaban (7,5+8,53)/2 = 8,02 atau dibulatkan jadi 8. Bias kamu lihat, semakin dekat perkiraan awal kamu, maka hasil perkiraan semakin tepat (8 paling tepat, 7,5 lebih tepat, dan 7 paling besar selisihnya karena asumsi yang agak berbeda jauh).
14.3 Untuk Hasil Lebih Tepat/Akurat Sebelumnya, kita telah menghitung diturunkan hasilnya menjadi 22,4.
500 dengan hasil 22,5 dan
2. Berapa akar
1936 ?
Jika perkiraan awal kamu 40, maka akan didapat hasil 44,2 1936/40 = 48,4 (40+48,4)/2 = 44,2 → hasil sesungguhnya 44
Jika menghendaki hasil yang lebih akurat, kita bisa mengulang kembali proses pengerjaan sebelumnya.
Jika perkiraan awal kamu 45, maka akan didapat hasil 44,01 1936/45 = 3872/90 = 43,02 (45+43,02)/2 = 44,01 → hasil sesungguhnya 44
Berikut contohnya:
500 = …
2. (22,5+22,22)/2 = 22,36.
Kedua contoh di atas, menjelaskan kenapa perkiraan yang paling mendekati memberikan hasil yang lebih pasti. Dengan kedua contoh tersebut pula, sekaligus menjelaskan, mengapa mengulang perkiraan dapat memberikan hasil yang lebih tepat.
Hasil ini ternyata sangat tepat.
3.
1. Melanjutkan hasil sebelumnuya, kita akan bagi 500 dengan 22,5 daripada 20. 500/22,5 = 1000/45 = 2000/90 = 22,22.
Mengapa cara ini bisa digunakan?
129
130
Cek: 342
14.4 Menggunakan Cara Pendekatan untuk Menghitung Akar Pangkat 2 Bulat Sangat mudah untuk memperkirakan akar kuadrat bukan? Pertanyaannya, bisakah kita menggunakan cara pendekatan tersebut untuk menghitung dengan tepat akar Pangkat 2 seperti di modul sebelumnya? Dari alasan kenapa pengulangan dapat memberikan hasil yang lebih tepat, tentunya hal itu sudah menjawab atau menjelaskan cara mencari akar kuadrat dari bilangan bulat. Atau, karena kita sudah dapat menghitung kuadrat dengan cara yang mudah dan cepat, maka kita tinggal cek kuadrat dari hasil bulat pangkat 2. Cek tentu saja tidak diperlukan bila hasil akar pangkat 2 sudah pasti bukan bilangan bulat seperti akar 500 atau 1000. Jika menginginkan hasil yang lebih tepat sebuah akar kuadrat yang tidak bulat, maka kita hanya perlu mengulangi seperti pada sub abab 14.3.
= 352 -70 +1 = 1225 -100+30|1 = 1156 → hasilnya bulat 34.
Contoh 3:
1000 = 30 (puluhan 3) 1000:30 = 33,3 (30+33,3) = 31,6 Cobalah mencari akar pangkat 2 bulat bilangan berikut menggunakan cara pendekatan. Periksa jawabanmu dengan jawaban pada bab sebelumnya.
16. 1.936 = … 17.
2.601 = …
18.
3.136 = …
Berikut contohnya perhitungan akar kuadrat bilangan bulat.
19.
3.969 = …
Contoh 1:
20.
4.624 = …
21.
5.476 = …
22.
6.084 = …
23.
6.889 = …
24.
7.569 = …
25.
8.836 = …
26.
9.801 = …
2116 ≈ 45 2116:45 = 4232/90 = 47,02 (45+47,02) = 46,01 2
2
Cek: 46 = 45 + 90 +1 = 2025 + 91 = 2116 → hasilnya bulat 46. Contoh 2:
1156 = 30 (puluhan 3) 1156:30 = 38,5 (30+38,5) = 34,25
27. 10.201 = … 131
132
28. 10.816 = …
Modul 15
29. 11.449 = …
Memperkirakan Akar Pangkat 3
30. 11.881 = …
Sejauh ini, kita telah belajar cara memperkirakan akar pangkat 2 dengan cara yang mudah dan menyenangkan dengan hasil yang cukup akurat. Lalu, bagaimana dengan akar pangkat 3? Mari kita pelajari bersama. Pertama-tama, mari kita ingat kembali akar pangkat 3 hingga 10 pangkat 3 berikut: 13 = 1 3
2 =8 3
1-1 2-8
63 = 36x6= 216 3
7 = 350-7=343 3
9
6-6 7-3
3 = 27
3-7
8 = 2 = 512
8-2
43 = 64
4-4
93 = 720+9=729
9-9
3
5 = 125
5-5
3
10 = 1000
0-0
Hampir semua orang setuju, bahwa akar pangkat 3 di kolom kiri (15) jauh lebih mudah diingat maupun dihitung kembali jika lupa. Untuk pangkat 6, cara menghitung atau menghafalnya adalah seperti contoh berikut (kamu boleh punya cara sendiri yang paling sesuai):
133
134
63 = 36x6
= 180+36 = 216
6-6
Contoh 4:
73 = 49x7
= 350-7 = 343
7-3
3
8-2
7532/202 = 18,83
9-9
(20+20+18,83)/3 = 19,6
3
9
8 = 2 = 512 3
9 = 81x9
= 720+9 =729
3
10 = 1000
7532 ≈ 20
karena 23 = 8
0-0 Cobalah:
Berikut cara menghitung pendekatan Akar pangkat 3
3
300 = …
3
800 = …
3
1200 = …
3
2500 = …
3
11000 = …
3
18000 = …
Contoh 1: 3
250 =6,… karena 63 = 216
250/6 = 41,67
Atau 250/62 = 6,94
41,67/6 = 6,94 (6+6+6,94)/3 = 6,3 Contoh 2: 3
340 ≈ 7
karena 73 = 343
340/7 = 48,57
Si Bodoh dan Yang Berbakat
Atau 250/62 = 6,94
48,58/7 = 6,94
Adam Khoo adalah orang Singapura yang sangat gemar games dan TV semasa masih remaja. Berjam-jam dalam sehari dihabiskannya di depan TV dan main game. Adam Khoo pun dikenal sebagai anak bodoh. Ketika kelas empat SD, Ia dikeluarkan dari sekolah sehingga harus pindah ke SD terburuk di Singapura. Ketika akan masuk SMP, ia ditolak oleh enam SMP di Singapura. Akhirnya, ia hanya bisa masuk ke SMP terburuk di Singapura.
41,67/6 = 6,94 (7+7+6,94)/3 = 6,98 Contoh 3: 3
700 ≈ 9
Di awal SMP, kebiasaan Adam tidak berubah. Akibatnya, ia mendapat peringkat 10 terburuk. Orangtua dan gurunya frustasi karena Adam Khoo remaja tidak mampu mengerjakan soal untuk anak SD meski dia sudah SMP. Sangat wajar jika dia hanya bisa berada di daftar 10 terburuk di SMP terburuk.
karena 93 = 729
700/81 = 8,64 (9+9+8,64)/3 = 8,88
135
136
Untunglah, orangtua Adam Khoo, mendapat informasi tentang program Super Teen, sebuah program liburan sekolah selama satu minggu yang dirancang oleh DR Ernest Wong. Di Super Teen Program, Adam Khoo belajar cara belajar efektif dengan mengoptimalkan seluruh otak kiri-kanan. Program Super Teen ternyata sangat bermanfaat bagi Adam. Ia bertekad untuk mempraktekkan semua keterampilan baru yang didapatnya dari prorgam Super Teen. Selesai program ia menulis tujuan hidupnya.
Dia bertekad untuk lulus SMP dengan nilai A semua dan melanjutkan studi ke SMA terbaik di Singapura.
Di SMA terbaik tersebut, dia juga bertekad untuk menjadi yang terbaik.
Lulus SMA terbaik dengan predikat terbaik, Dia ingin melanjutkan studi ke NUS (National University of Singapore), Universitas terbaik di Singapura dan Asia serta masuk Top University dunia.
Di NUS pun Dia juga bertekad untuk menjadi yang terbaik.
Lebih gilanya, Adam mengumumkan cita-citanya tersebut kepada orangtua, teman dan semua gurunya. Apa yang terjadi? Semua teman dan gurunya tertawa terpingkal-pingkal. (saya persilakan Anda sejenak membayangkan bagaimana gelinya orang yang mendengar tekad Adam remaja tersebut). Jika Anda teman, guru atau bahkan orangtuanyapun saya tidak heran jika Anda sampai sakit perut karena menahan tawa yang tidak tertahankan.
Dikeluarkan sekolah berkali-kali karena gobloknya, hanya mampu menjadi 10 siswa terjelek di sekolah paling jelek, tapi punya keinginan masuk ke SMA paling favorit? “Belum pernah ada dalam sejarah, siswa SMP ini yang diterima di SMA tersebut”, kata guru Adam Khoo, mencoba menyadarkan muridnya yang menjadi gendeng setelah ikut program Super Teen ini. Bagaimana mungkin seorang yang berada di urutan 10
137
terburuk di SMP terburuk ingin lulus dengan nilai A semua dan masuk ke SMA terbaik?. Bukannya patah semangat, tertawaan dan cemoohan guru dan temantemannya justru dijadikannya sumber semangat. Ia pikir, bila ia tidak bisa membuktikan kata-katanya, ia akan lebih ditertawakan lagi. Karena itu, Adam berusaha keras. Ia gunakan semua cara belajar hebat yang ia dapat dari program Super Teen ciptaan DR. Ernest Wong. Hasilnya sungguh luar biasa. Adam mulai bisa menjawab pertanyaan di kelas. Meski ia tetap ditertawakan karena membuat catatan pelajaran dengan cara yang beda dan aneh. Ia gunakan peta pikiran yang penuh dengan gambar dan simbol untuk mencatat. Akhirnya kerja keras dan tekad baja Adam membuahkan hasil. Ia lulus dari SMP itu dengan nilai A semua. Ia berhasil masuk ke SMA paling top di Singapura. Di SMA terbaik ini pun, Adam tetap menjadi yang terbaik. Adam pun masuk ke National University of Singapore (NUS) universitas terbaik di Singapura dan Asia. Di NUS, ia selalu masuk dalam Dean’s List sebagai mahasiswa berprestasi setiap semester. Dia juga masuk program Talent Development Program (TDP) yang sangat bergengsi. Program ini hanya bisa diikuti oleh mahasiswa dengan prestai 1% terbaik. Itulah kesuksesan Adam di dunia akademisnya. Prestasi Adam di dunia bisnis ditandai pada saat Adam berusia 26 tahun. Ia telah memiliki empat bisnis dengan nilai US$ 20 juta. Saat ini Adam dikenal sebagai seorang pebisnis yang sukses, serta trainer yang sangat dinamis dan penuh kekuatan. Dia telah memotivasi ribuan siswa dan pebisnis dari berbagai kalangan. Konon, tarifnya dihitung perjam dan sangat mahal tapi sangat diminati berbagai kalangan. Pertanyaannya, Bagaimana mungkin seorang yang pernah dicap bodoh, tidak berpengharapan dan tidak punya masa depan bisa berubah menjadi gifted (berbakat)? Memang, potensi otak anak manusia sungguh luar biasa. Tugas orangtua guru dan orang yang lebih dewasa adalah memunculkan potensi itu ke permukaan.
138
Bertahun-tahun sebelumnya, Beethoven dan Alva Edison, dua orang paling jenius yang pernah ada, juga pernah diberi stempel bodoh dan tidak punya masa depan. Jadi, apakah Anda siap mengantar anak Anda sehingga potensi terbaiknya muncul ke permukaan?
Formulir Permintaan Seminar/Workshop Nama lengkap : ______________________________
Pendukung Buku
Institusi/prsh
: ______________________________
Anda mendapat manfaat dari buku ini?
Jabatan
: ______________________________
Saya memang bukan DR. Ernest Wong atau Mr. Adam Khoo yang mampu menginspirasi jutaan pelajar dan kalangan bisnis untuk dapat menggunakan teknik hebat agar mencapai prestasi puncak dengan teknik belajar yang paling sesuai dan tepat.
Alamat
: ______________________________
Propinsi
: ______________________________
Namun setidaknya, saya ingin ikut memberikan sumbangan kecil, dengan meniru langkah mereka dalam lingkup yang lebih kecil dan terbatas.
____________________________________________
Karenanya jika Anda mendapat manfaat dari buku, seminar atau workshop kami, berikan kesan-kesan dan kirim ke alamat email:
[email protected].
____________________________________________
Anda membutuhkan seminar untuk siswa aau umum?
Deskripsi:
____________________________________________
____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________
Atau workshop khusus untuk guru?
____________________________________________
Kirim surat permintaan seminar dan/atau workshop ke alamat email:
[email protected]. Kami akan bantu dengan senang hati. Buku ini merupakan seri dari beberapa buku lain dengan tema dan cara penyajian yang beragam.. Jika Anda dapat mengambil manfaat dari buku ini, rekomendasikan kepada saudara, kawan atau siapapun yang Anda rasa juga akan mengambil manfaat serupa seperti yang Anda dapatkan. Kami nantikan kabar baik Anda setelah mempelajari dan mempraktekkan isi buku, seminar maupun workshop kami.
Tulis diskripsi singkat seminar (siswa/umum) atau workshop (khusus guru) yang Anda inginkan. Antara lain meliputi , waktu, tempat, budget dan hal-hal lain yang relevan.
Formulir harus ditulis sendiri, form diatas hanya berupa kisi-kisi yang perlu kami ketahui.
Sekali seminar minimal diikuti 200 peserta hingga ribuan dan membutuhkan waktu ± 4 jam, sementara sekali workshop hanya bisa diikuti maksimal 40 peserta selama 9 jam.
Kirim draft proposal ke alamat email:
[email protected]
Mengingat jadual yang cukup padat, sebaiknya permintaan seminar dan/atau workshop dilayangkan 1 bulan sebelum hari H
Setiap pembeli buku ini berhak atas 20% diskon biaya seminar, pelatihan/workshop maupun kursus. (simpan bukti pembelian Anda).
139
140
