Fungsi kuadrat Hafidh munawir
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah:
ax2 + bx + c
= 0
Dengan a,b,c R dan a 0 serta x adalah peubah (variabel) a merupakan koefisien x2 b merupakan koefisien x c adalah suku tetapan atau konstanta
Contoh 1: Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat berikut: a. x2 – 3 = 0
c. 10 + x2 - 6x = 0
b. 5x2 + 2x = 0
d. 12x – 5 + 3x2 = 0
Jawab: a. x2 – 3 = 0
Jadi a = 1 , b = 0 , dan c = -3
b. 5x2 + 2x = 0
Jadi a = 5 , b = 2 , dan c = 0
c. 10 + x2 - 6x = 0
Jadi a = 1 , b = -6 , dan c = 10
d. 12x – 5 + 3x2 = 0
Jadi a = 3 , b = 12 , dan c = -5
Contoh 2:
Nyatakan dalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai a, b dan c dari persamaan : a. 2x2 = 3x - 8
C. 2x - 3 =
b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)
Jawab: a. 2x2 = 3x – 8 Kedua ruas ditambah dengan –3x + 8 2x2 – 3x + 8 = 3x – 8
– 3x + 8
2x2 – 3x + 8 = 0 Jadi, a = 2 , b = -3 dan c = 8
5 x
Jawab: b. x2 = 2(x2 – 3x + 1) x2 = 2x2 – 6x + 2 x2 - x2
Kedua ruas dikurangi dengan x2
= 2x2 – 6x + 2 - x2
0 = x2 – 6x + 2 x2 – 6x + 2 = 0 Jadi a = 1 , b = -6 , dan c = 2 c. 2x - 3 =
5 x
Kedua ruas dikalikan dengan x
(2x – 3)x = 5 2x2 – 3x = 5 2x2 – 3x – 5 = 0 Jadi a = 2 , b = -3, dan c = -5
REMEMB ER .… (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq (a + b)(a - b) = a2 - b2
Cara mencari akar persamaan kuadrat ?
1. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan
ax 2 bx c 0
P a.c Q
P (ax…..) Q =0 (ax……) a
b
+
Contoh: Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut 1. x2 ─ x ─ 6 = 0 (x ─ 3) (x + 2 ) = 0
+2 ─6
x = 3 atau x = ─2 2. 2x2 ─ 3x ─ 5 = 0 (2x ─ 5 ) (2x + 2 ) = 0 2 (2x ─ 5) (x +1 ) = 0
5 X= 2
Atau x = ─ 1
─ 3+ ─1 ─5
─ 10
+ 2+ ─3
3. ─ 3x2 ─ 4x + 4 = 0 ─ 12 (– 3x + 2 ) (– 3x – 6 ) = 0 –3 (– 3x + 2) (x +2 ) = 0 x= 2
X= – 2
3
x 9 0 ( x 3)( x 3) 0 4.
2
x 3
atau
x3
+ –4
2. Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat Jika persamaan kuadrat koefisien dari x2 belum = 1 , maka ubahlah menjadi 1 Sehingga persamaan kuadratnya menjadi bentuk
x2 + px + q = 0
x2 + px + q = 0
(x ( p2 ) ) 2 ( p2 ) 2 q 0 Contoh: 1.
x 2 2 x 8 0 dengan
p = 2, q = -8
( x 22 ) 2 22 (8) 0 2
x 1 3
( x 1) 2 1 8 0
x 1 3
atau
( x 1) 2 9 0
x 3 1
atau
x 3 1
x 4
atau
x2
( x 1) 2 9
( x 1) 9 ( x 1) 3
x2 + px + q = 0
(x ( p2 ) ) 2 ( p2 ) 2 q 0 2.
2 belum = 1 maka kita bagi 2 Karena koefisien dari x 2x2 –6x –5 = 0 (supaya menjadi satu) x2 –3x – 5/2 = 0 dengan p = -3, q = -5/2
( x ( )) ( ) ( 52 ) 0 ( x 32 ) 3 2 2
2
3 2
19 4 19 2
(x ) ( ) 0
( x 32 )
( x ) ( 94 ) 104 0
x
( x ) 194 0
x1
19 2
32
(x ) 0
x2
19 2
32
3 2 2
9 4
5 2
3 2 2
3 2 2
3 2 2
19 4
(x ) 3 2 2
19 4
19 2
32
19 3 2 19 3 2
3. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat Jika diketahui suatu persamaan kuadrat ax 2 bx c 0 , maka akar-akarnya adalah:
x1.2
b b 2 4ac 2a
Contoh:
x 2 2x 8 0 x1.2
, jadi a=1, b=2, c=-8
2 2 2 4(1)(8) 2(1)
26 x1 2
atau
2 4 32 2
x1 4
atau
x1.2
x1.2
26 2
x2
26 2
x2 2
DISKRIMINAN Diskriminan (D) adalah:
D b 2 4ac
Diskriminan dapat menentukan jenis-jenis akar kuadrat, yaitu: 1.Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional Contoh:
x 2 2x 3 0
D b 2 4ac D (2) 2 4(1)(3) 4 12
16
Karena D=16>0 dan berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya berlainan dan rasional
x 2x 3 0 ( x 3)( x 1) 0 x 3 atau x 1 2
Contoh:
x 2x 5 0 2
D b 4ac 2 2 4(1)(5) 4 20 24 2
Karena D=24>0 tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional
x 2x 5 0 2
2 (2) 2 4.1(5) x1.2 2.1 2 4 20 x1.2 2 2 24 x1.2 2 22 6 x1.2 2
2(1 6 ) x1.2 2
x1.2 1 6 Jadi akar-akarnya adalah:
x 1 6
atau
x 1 6
2. Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama ( akar kembar ) Contoh:
1 2 x 2x 4 0 4
1 D b 4ac 2 4( )(4) 4 4 0 4 2
.
2
Karena D=0, maka kedua akarnya kembar
1 2 x 2x 4 0 4
4
x 8 x 16 0 ( x 4)( x 4) 0 2
Jadi akar akarnya adalah:
x 4
atau
x 4
3. Jika D<0, maka kedua akarnya tidak real ( imaginer ). Contoh:
2x2 4x 3 0
D b 2 4ac 4 2 4(2)(3) 16 24 8 Karena D=-8<0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai akar-akar real (akar-akarnya imaginer).
2x2 4x 3 0 4 4 2 4.2(3) x1.2 2.2 4 16 24 x1.2 4
4 8 x1.2 4
4 8 x1.2 4
Jadi akar akarnya adalah:
4 8 x 4
atau
4 8 x 4
Pengertian Bilangan Imaginer
Akar pangkat dua dari bilangan negatif adalah bilangan imaginer.
Satuan imaginer didefinisikan sebagai
i 1
maka setiap bilangan imaginer dapat dinyatakan dalam satuan imaginer i Contoh:
4 (1)(4) (1) 4 2i 27 (1)(27) (1) 27 3 3i
Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat dg Akar-akarnya Memiliki Ciri-ciri Sifat Tertentu Contoh: Diketahui persamaan kuadrat
x 2 2 px (2 p 3) 0
a.Carilah diskriminan persamaan kuadrat tersebut! b. Tentukan nilai atau batas nilai p agar persamaan kuadrat tesebut: •Mempunyai dua akar yang berbeda Mempunyai dua akar sama (akar kembar) Tidak mempunyai akar-akar real Jawab a.
D b 2 4ac 2 (2 p ) 2 4(1)(2 p 3) 4 p 8 p 12
b. nilai p agar persamaan kuadrat tesebut: •Mempunyai dua akar yang berbeda
Mempunyai dua akar sama (akar kembar)
D0
D0 4 p 2 8 p 12 0
4 p 2 8 p 12 0
p2 2 p 3 0
p2 2 p 3 0
( p 1)( p 3) 0
( p 1)( p 3) 0
p 1
p 1
atau
p3
Tidak mempunyai akar-akar real
D0 4 p 2 8 p 12 0 p2 2 p 3 0
( p 1)( p 3) 0
1 p 3
atau
p3
JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat
ax 2 bx c 0 maka
b x1 x 2 a
dan
Contoh:
x1 .x 2
c a
x 2x 8 0 2
x 2x 8 0 2
x1 x 2
b 2 2 a 1
c x1 . x 2 a
8 8 1
( x 4)( x 2) 0 x1 4
atau
x2 2
x1 x2 4 2 2 x 1 . x 2 ( 4 ). 2 8
Menghitung Bentuk Simetri Akar-Akar Persmaan Kuadrat Sebuah bentuk aljabar yang terdiri dari dua variabel disebut simetri atau setangkup, jika letak variabel tersebut ditukar, maka nilai dari bentuk aljabar tersebut tidak berubah. Contoh: Bentuk-bentuk tidak simetri
Bentuk-bentuk simetri
ab
, karena
ab ba
a b , karena a b b a 2
1 1 a b
2
a b
2
2
2
, karena 1 1 1 1 a b b a
2
, karena
a b ba
a 2 b 2 , karena a 2 b 2 b 2 a 2
1 1 a b
, karena
1 1 1 1 a b b a
Bentuk-bentuk simetri dari akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan tanpa menghitung akar-akarnya terlebih dahulu.
Contoh: Akar-akar persamaan kuadrat
x 2 2x 8 0
Tanpa menentukan akar-akarnya, tentukanlah: a.
x1 x 2
b.
x1 .x 2
c. x 2 x 2 1 2 d.
1 1 x1 x 2
Jawab: a.
b.
b 2 x1 x 2 2 1 a
c x1 .x 2 a
8 8 1
adalah x1 dan x2.
c.
x1 x 2 ( x1 x 2 ) 2 2 x1 .x 2 2
2
(2) 2 2(8)
4 16 d.
1 1 x1 x 2
20
x2 x1 x1 x2 2 1 8 4
Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Memiliki Cri-ciri Tertentu Contoh: Diketahui persamaan kuadrat
x 2 10 x (k 3) 0
Jika salah satu akarnya empat kali akar yang lain, hitunglah nilai k Jawab: Salah satu akarnya empat kali akar yang lain. Jadi
x1 4x2
Rumus jumlah akar-akar:
b 10 x1 x 2 10 a 1 4 x 2 x 2 10
5 x 2 10
x2 2
Dari
x1 4x2
, maka
x1 4.2 8
Rumus hasil kali akar-akar:
c x1 .x 2 a
k 3 k 3 1
2.8 k 3 16 k 3
16 3 k
k 13
Sifat : Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 1.Akar-akarnya berlawanan
ax 2 bx c 0
( x1 x2 ) b 0
1 ) ac 2. Akar-akarnya berkebalikan ( x1 x2 3. Sebuah akarnya sama dengan 0 4. Kedua akarnya bertanda sama 5. Kedua akarnya berlainan tanda
( x1 0) c 0
c 0 a c 0 a
dan
b x2 a
Contoh: Tentukan nilai p dalam persamaan kuadrat x 2 (2 p 1) x ( p 2 3 p 4) 0 agar salah satu akarnya sama dengan nol. Supaya salah satu akarnya sama dengan nol haruslah Jadi:
p2 3p 4 0 ( p 1)( p 4) 0
p 1
atau
p4
c0
Membuat grafik fungsi kuadrat (cara 1) Untuk menggambar grafik Fungsi kuadrat, cara yg paling sederhana dengan memilih sembarang nilai x (absis) dan menghitung nilai f(x) yang adalah nilai ordinat (y) Kumpulkan pasangan bilangan (x,y) dan gambarlah titik pada bidang Cartesius Kelemahan cara ini: titik titik penting, seperti titik potong grafik dgn sumbu x, dgn sumbu y dan koordinat titik puncak mungkin tak ditemukan, sehingga gambar grafik menjadi tak sempurna.
Contoh
dik: y= f(x) = x2 – 10x + 24
untuk { 3≤x≤7, x € bulat } 3
4
5
f(3)=… f(4)=… dst
6
7
Diperoleh 5 titik
{(3,3), (4,0), (5, -1), (6,0), (7,3)} Gambarlah pada bidang koordinat x-y ! Hubungkan kelima titik sehingga diperoleh kurva mulus (tak patah) Gambarlah pada selembar kertas lalu jawab pertanyaan berikut:
Isilah/pilihlah
a=… Kurva terbuka ke D=b2 – 4ac = … Memotong sumbu x pada berapa titik? Koordinat titik potong grafik dgn sumbu x Koord.titik balik Koordinat titik potong grafik dg sb
a<0 a>0 Atas Bawah Positif Nol Negatif 2 1 tidak memotong (… ,0) dan (…,0) (…,…) (0,…)
Kurva Fungsi Kuadrat
a menentukan terbuka keatas/bawah
a>0
a<0
a >>>0
a>0
a <<< 0
a <0
Letak grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu x
ditentukan oleh nilai D = b2-4ac
D<0 Grafik fungsi kuadrat tidak berpotongan dengan sumbu x
D =0 Grafik fungsi kuadrat berpotongan dengan sumbu x pada satu titik (bersinggungan dg sumbu x)
D>0 Grafik f.k. berpotongan dg sumbu x pada dua titik.
b=0 Grafik f.k. mempunyai sumbu simetri yaitu sumbu y
Pengaruh a pada grafik y=ax2+bx+c x
y=x^2
y=3x^ 2
30
y=0.5x^2 25
-3
9
27
4.5 20
-2
4
12
2
-1
1
3
0.5
0
0
0
0
10
1
1
3
0.5
5
2
4
12
2
0
9
27
4.5
y=3x^2 y=0.5x^2
-4
3
y=x^2
15
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Bila a<0, grafik terbuka kebawah 0
x
y=-x^2
y=-3x^2
y=-0.5x^2
-4
-3
-9
-27
-4.5
-2
-4
-12
-2
-1
-1
-3
-0.5
0
0
0
0
1
-1
-3
-0.5
2
-4
-12
-2
3
-9
-27
-4.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-5 -10 y=-x^2 -15
y=-3x^2 y=-0.5x^2
-20 -25 -30
Bila x ditambah/dikurangi maka grafik akanbergeser ke kiri/kanan x
y=x^2
y=(x-3)^2
y=(x+3)^2
-6
9
-5
4
-4
1
-3
9
0
-2
4
1
-1
1
4
0
0
9
1
1
4
2
4
1
3
9
0
4
1
5
4
6
9
10 8
9
6
y=x^2
4
y=(x-3)^2 y=(x+3)^2
2 0 -10
-5
0
5
10
Bila y ditambah/dikurangi maka grafik akan bergeser ke bawah/atas 14
x -3
y=x^2 y+5=x^2 y - 3=x^2 9
4
12 10
12
8
-2 -1 0
4 1 0
-1 -4 -5
7
6 y=x^2
4
4
y+5=x^2 y - 3=x^2
2
3
0
1
1
-4
4
2
4
-1
7
3
9
4
12
-4
-3
-2
-1
0 -2 -4 -6
1
2
3
4
Grafik biru → ungu ↑ kuning x-3 y-15 x
y=x^2
y=(x-3)^2
y -15=(x-3)^2
60
-6
36
-5
25
-4
16
-3
9
36
51
-2
4
25
40
-1
1
16
31
0
0
9
24
1
1
4
19
2
4
1
16
3
9
0
15
4
16
1
16
5
25
4
19
6
36
9
24
7
16
31
8
25
40
9
36
51
50
40 y=x^2 30
y=(x-3)^2 y -15=(x-3)^2
20
10
0 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Perubahan tanda y, berarti grafik dicerminkan terhadap sumbu x x
y = 3x^2
30
- y = 3x^2 atau
20
y = - 3x^2 10
-3
27
-27 y = 3x^2
-2
12
-12
-1
3
-3
0
0
0
1
3
-3
2
12
-12
3
27
-27
0 -4
-2
0
-10
-20
-30
2
4
- y = 3x^2 atau y = - 3x^2
y=f(x) grafik biru dan –y=f(x) grafik ungu 5
x
y = ½(x-2)(x+4)
y = -½(x-2)(x+4)
4
-5
3.5
-3.5
3
-4
0
0
2
-3
-2.5
2.5
1
-2
-4
4
0
-1
-4.5
4.5
-1
0
-4
4
-2
1
-2.5
2.5
-3
2
0
0
-4
3
3.5
-3.5
-5
-6
-4
-2
y = ½(x-2)(x+4) 0
2
4
y = -½(x-2)(x+4)
SELAMAT MENGERJAKAN DAN BERDISKUSI
