Jenis-jenis fungsi dan Jenisfungsi linier
Hafidh Munawir
Diskripsi Mata Kuliah Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta, yang saling berkaitan satu sama lain dala hubungan yang dapat dijelaskan secara ateatis yaitu hubungan yang linier. Fungsi-fungsi yang bersifat linier tersebut dapat saling berhimpit, sejajar atau bahkan berpotongan. Untuk mencari perpotongan dua fungsi yang linier digunakan metode eliminasi, substitusi atau dengan cara determinan. 2
Teori Fungsi Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel, Koefisien dan konstanta. Yang dimaksud dengan variabel ialah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Dalam suatu fungsi, Penggolongan variabel dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat.
Variabel, Koefisien, & Konstanta
Variabel bebas yaitu variabel yang menerangkan variabel lain, sedangkan variabel terikat yaitu variabel yang diterangkan oleh variabel lain. Koefisien ialah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta atau Intersep sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apa pun. secara umum jika dikatakan bahwa y adalah fungsi dari x maka ditulis y = f(x), dimana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat
Bentuk Umum
Secara umum jika dikatakan bahwa y adalah fungsi dari x maka ditulis y = f(x), dimana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat. Contoh : 3y = 4x – 8, y adalah variabel terikat x adalah variabel bebas 3 adalah koefisien ( terletak didepan variabel y) 4 adalah koefisien ( terletak didepan variabel x) -8 adalah konstanta
Jenis--jenis fungsi Jenis Fungsi
Fungsi aljabar
Fungsi irrasional F. Polinom F. Linier F. Kuadrat F. Kubik F. Bikuadrat
Fungsi non-aljabar (transenden)
Fungsi rasional F.Pangkat
F. Eksponensial F. Logaritmik F. Trigonometrik F. Hiperbolik
6
Jenis-jenis Fungsi a. Fungsi Linier Bentuk umum : Y = a0 + a1x1 Contoh : Y = 1 + 2x1 b. Fungsi Kuadrat Bentuk umum : Y = a0 + a1x1 + a2x2 Contoh : Y = 1 - 2x1 - 3x2
Lanjutannya … 7
Jenis-jenis Fungsi c. Fungsi Eksponen Bentuk umum : Y = nx Contoh : Y = 2x d. Fungsi Logaritma Bentuk umum : Y = n log x Contoh : Y = 4 log x
8
Fungsi Linier Fungsi linier adalah fungsih polinom yang variabel bebasnya memiliki memilikipangkat paling tinggi adalah satu. Misal : Y = a0 + a1x1 , dimana Y disebut variabel terikat dan x disebut variabel bebas. a0 a1
konstanta, nilainya positif, negatif, atau nol Koefisien, nilainya positif, negatif atau nol
9
Gradien Garis Lurus (m) Fungsi linier Y = a0 + a1x1, jika digambarkan maka grafiknya berupa garis lurus. Koefisien x, yaitu a1 menunjukkan nilai kemiringan garis atau gradien. Jika sebuah garis lurus melalui dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2), maka nilai gradiennya (m), adalah sebagai berikut :
10
Grafik Fungsi a. Y = 4 + 2x Y
X Y
0 0
(0, 4) (-2, 0) 0
X
11
b. Y = 4 - 2x X
Y
Y
0 0
(0, 4)
0 (2, 0)
X
Lanjutannya … 12
b. Y = - 4 + 2x X
Y
Y
(2, 0)
0
0 0
X
(0, -4)
Lanjutannya … 13
6. Hubungan Dua Fungsi Linier Ada dua fungsi linier dimana fungsi linier pertama yaitu : Y = a0 + a1 x dan fungsi linier yang kedua yaitu : Y’ = a0’ + a1’ x. Kedua Fungsi Linier tersebut berada dalam berbagai keadaan:
Lanjutannya … 14
1. Berimpit Y
Y = a0 + a1x Y’ = a’0 +a’1x 0
X
Karena berhimpit, maka a0 = a0’ dan a1 = a1’ Contoh : Fungsi linier Pertama : Y = 4 + 2x , intersep 4, gradien 2 Fungsi linier kedua : 2Y = 8 + 4x , intersep 8/2 = 4 , gradien 4/2 = 2 Lanjutannya … 15
2. Sejajar Y
Y = a0 + a1x Y’ = a’0 +a’1x 0
X
Karena sejajar, maka a0 ≠ a0’ dan a1 = a1’ Contoh : Fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4 Fungsi linier kedua : Y = 2 + 4x , intersep 2, gradi 4
Lanjutannya … 16
3. Berpotongan Y
Y = a0 + a1x Y’ = a’0 +a’1x
0
X
Karena Berpotongan, maka dan a1 ≠ a1’ untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0’ Contoh : Fungsi linier pertama Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4 Fungsi linier kedua : Y = 2 – 4x , intersep 2, gradien – 4 Lanjutannya … 17
4. Berpotongan Tegak Lurus Y
0
Y = a0 + a1x X
Y’ = a’0 +a’1x
Karena Berpotongan, maka dan a1 . a1’= -1 untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0’ Contoh : Fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x, intersep 4, gradien 4 Fungsi linier kedua : Y = 2 – 1/ 4x, intersep 2, gradien –1/4
18
7. Titik Potong Dua Fungsi Linier Ada dua fungsi linier dimana fungsi linier pertama yaitu : Y = a0 + a1 x dan fungsi linier yang kedua yaitu : Y’ = a0’ + a1’ x. Untuk fungsi linier yang saling berpotongan, maka untuk mencari titik potongnya dapat dilakukan dengan cara : Eliminasi Substitusi Elisusi (Campuran) Determinan Lanjutannya … Contoh … 19
Metode Eliminasi Prinsip yang digunakan untuk menghilangkan suatu variabel adalah mengurangkan atau menjumlahkannya. Untuk menghilangkan suatu variabel, koefisien dari variabel tersebut pada kedua persamaan harus sama. Jika belum sama, masing-masing persamaan dikalikan dengan bilangan tertentu sehingga variabel tersebut memiliki koefisien sama. Jika variabel yang akan dihilangkan bertanda sama, dua persamaan dikurangi, dan jika memiliki tanda yang berbeda, dua persamaan ditambah.
Contoh 1 1 . . . 1 1
2 . . . 2
y y 2 3
x x 3 4 -
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
Penyelesaian Untuk mencari variabel y berarti variabel x dieliminasi :
3x 2y 11 ... 1 x4 12x 8y 44 - 4x 3y 2 ... 2 x3 12x 9y 6 + y = 38
Untuk mencari variabel x berarti variabel y dieliminasi :
3x 2y 11 ... 1 x3 9x 6y 33 - 4x 3y 2 ... 2 x2 8x 6y 4 x = 29
+
Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah {(29, 38)}
Contoh 2 3x 5y 14 2x 4y 20 Penyelesaian Untuk mencari variabel y maka variabel x dieliminasi
3x 5y 14 x2 6x 10y 28 6x 12y 60 2x 4y 20 x3 -22y = 88 y = -4
-
Untuk mencari variabel x maka variabel y dieliminasi
3x 5y 14 x4 12 x 20 y 56 2x 4y 20 x5 10 x 20 y 100 22x = -44 x = -2
+
Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah {(-2, -4)}
Metode Substitusi Substitusi artinya mengganti atau menyatakan salah satu variabel dengan variabel lainnya. Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
3x 2 y 11 ... 1 - 4x 3 y 2 ... 2
Penyelesaian
3x 2 y 11 ... 1 - 4x 3 y 2 ... 2
Misalkan yang akan disubstitusi adalah variabel x pada persamaan (2), maka persamaan (1) dinyatakan dalam bentuk : 3x – 2y = 11 3x = 2y + 11
2y 11 x 3
…(3)
Substitusikan nilai x pada persamaan (2), sehingga :
persamaan
(3)
ke
-4x + 3y = -2
2y 11 + 3y = -2 -4 3
(x3) -4(2y + 11) + 9y = -6 -8y – 44 + 9y = -6 -8y + 9y = -6 + 44 y = 38
Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 38 ke persamaan (3)
2y 11 2.3811 87 = = 29 x = 3 3 3 Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah {(29, 38)}
Contoh 2
3x 5y 14 2x 4y 20 Coba Anda selesaikan contoh 2 di atas dengan cara substitusi, apakah hasilnya sama seperti dengan cara eliminasi, karena contoh 1 kita peroleh penyelesaian yang sama (untuk cara eliminasi dan substitusi)
Metode Gabungan (EliSusi) Metode Gabungan yaitu penggunaan metode yaitu eliminasi dan substitusi. Contoh 1 Tentukan himpunan persamaan :
penyelesaian
3x 2 y 11 ... 1 - 4x 3 y 2 ... 2
dari
dua
sistem
Penyelesaian Untuk mencari variabel y berarti variabel x dieliminasi :
3x 2y 11 ... 1 x4 12x 8y 44 - 4x 3y 2 ... 2 x3 12x 9y 6
+
y = 38 Nilai y = 38 disubstitusikan ke persamaan (1) : 3x – 2y = 11 3x – 2(38) = 11 3x – 76 = 11 3x = 11 + 76 3x = 87 x = 29 Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah {(29, 38)}
Contoh 2
3x 5y 14 2x 4y 20 Coba Anda selesaikan contoh 2 di atas dengan cara gabungan, apakah hasilnya juga sama dengan cara eliminasi dan substitusi !
Metode Determinan Metode Determinan yaitu determinan pada matriks. Contoh 1 Tentukan himpunan persamaan :
penyelesaian
3x 2 y 11 ... 1 - 4x 3 y 2 ... 2
penggunaan
dari
sistem
Penyelesaian Untuk mencari variabel x :
11 2 x 3 4
2 3 11 . 3 ( 2 ).( 2 ) 33 4 29 2 3 . 3 ( 4 )( 2 ) 9 8 3
Untuk mencari variabel y : 3 y
4 3 4
11 2 3 .( 2 ) ( 4 ). 11 6 44 2 3 . 3 ( 4 )( 2 ) 9 8 3
38
Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah {(29, 38)}
Contoh 2 3x 5y 14 2x 4y 20
Coba Anda selesaikan contoh 2 di atas dengan cara gabungan, apakah hasilnya juga sama dengan cara determinan !
8. Penamaan Fungsi Linier B(x2, y2) A(x1, y1)
Contoh Carilah garis yang melalui A(2, 5) dan (6, 17) !
Penyelesaian
8. Penamaan Fungsi Linier A(x1, y2)
Contoh Carilah garis yang melalui A(2, 5) dengan kecondongan sebesar 3 !
Penyelesaian
SELAMAT MENGERJAKAN DAN BERDISKUSI
