KONSTRUKCE TROJÚHELNÍKU UŽITÍM MNOŽIN BOD 3,5 HODINY Než p istoupíš ke konstruk ním úlohám, m l by sis zopakovat: -
Co je to trojúhelník, jaké druhy trojúhelníku znáš ?
-
Zna ení stran a vrchol v trojúhelníku
-
Pojmy výška, t žnice, st ední p í ka trojúhelníku
-
Základní množiny bod (kružnice, p ímka, Thaletova kružnice, osa strany)
Nej ast ji používané množiny bod p i konstrukci trojúhelníku: -
Kružnice (jsou-li zadány nap íklad aspo dv strany trojúhelníku – p íklad 1)
-
Rovnob žka se stranou trojúhelníku (je-li zadána výška na zadanou stranu – p íklad 1)
-
Thaletova kružnice (je-li nap íklad zadána výška na nezadanou stranu (p íklad 2) nebo je-li trojúhelník pravoúhlý – p íklad 3)
Zapamatuj si: Ke konstrukci trojúhelníku je t eba znát vždy 3 údaje P íklad . 1: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB
c
7,5cm; BC
a
6cm; vc
4,5cm
_________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
Postup konstrukce:
1. AB; AB
c
7,5cm
2.k ; k B; r 6cm 3. p; p // AB v p, AB 4.C ; C k 5. ABC Konstrukce:
p
vc
4,5cm
Záv r: Trojúhelník vyhovuje zadání, dv
ešení v polorovin (trojúhelníky ABC1, ABC2)
P íklad . 2: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB
c
5,5cm; ABC
60 ; vb
4,5cm
___________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
Postup konstrukce: 1. AB; AB
c
5,5cm
2. ABX ;
ABX
60
3. AB 4.k ; k B, r 5.Y ; Y 6.
vb AB
4,5cm k
AY
7.C ; C
AY
8. ABC
Konstrukce:
BX
Záv r: Trojúhelník vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin P íklad . 3: Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem p i vrcholu C, je-li dáno: AB c 10cm; v c 4cm __________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
Postup konstrukce:
1. AB; AB
c 10cm
2. AB 3. p; p // AB 4.C ; C 5. ABC
v p, AB
AB
vc
4cm
p
Konstrukce:
Záv r: Trojúhelník vyhovuje zadání, dv ABC2)
ešení v polorovin (trojúhelník ABC1 a trojúhelník
Poznámka k p íkladu 3: Na obrázku si všimni, jak se m ní po et ešení v závislosti na velikosti výšky na stranu c:
v1 < 5cm(polom r Thaletovy kružnice) - 2 ešení v polorovin v2 = 5cm(polom r Thaletovy kružnice) - 1 ešení v polorovin v3 > 5cm(polom r Thaletovy kružnice) - žádné ešení v polorovin
P íklad . 4: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB c 8cm; v a 6cm; v b 7cm __________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
Postup konstrukce: 1. AB; AB
c
8cm
2. AB 3.k ; k A, r
va
6cm
4. X ; X
T AB k 5.l ; l B, r v b 7cm 6.Y ; Y
T AB 7. BX 8. AY 9.C ; C BX 10. ABC Konstrukce:
l
AY
Záv r: Trojúhelník vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin P íklad . 5: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB c 55mm; v a 45mm; v c 35mm __________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
Postup konstrukce: 1. AB; AB
c
5,5cm
2. AB 3.k ; k A, r
va
4. X ; X
AB
BX 6. p; p // AB
4,5cm
k
5.
7.C ; C
v p, AB
BX
vc
3,5cm
p
8. ABC
Konstrukce:
Záv r: Trojúhelník vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin P íklad . 6: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB c 6cm; AC b 5cm; t c 3,5cm _________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor: t žnice je úse ka spojující vrchol trojúhelníku se st edem strany ležící naproti vrcholu (v rozboru tc = |CS|)
S S
k ( A; r 3cm) l (C ; r t c )
S k l B AS B
m( S ; r
B
AS
AS ) m
Postup konstrukce:
1. AC; AC
b
5cm
2.k ; k A; r 3cm 3.l ; l C , r t c 3,5cm 4.S ; S k l 5. AS 6.m; m S , r AS 7.B; B AS m 8. ABC Poznámka: P i hledání neznámého bodu B m žeš rovn ž užít st edové soum rnosti. Již totiž dob e víš, že t žnice je úse ka spojující vrchol se st edem prot jší strany. Bod S je tedy st edem úse ky AB. Postup konstrukce by pak od bodu 5 v etn vypadal následovn :
5.
AS
6.S S : A
B
7. ABC
Konstrukce:
Záv r: Trojúhelník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin Poznámka: Z konstrukce se n kdy myln zdá, že kružnice k, l mají spole né 2 body, a tedy úloha má dv ešení. Je to pravda, je t eba si však uv domit, že za ínáme stranou AC, která nám rovinu rozd lí na dv poloroviny. Druhé ešení (S2, trojúhelník AB2C) by tak vzniklo ve druhé polorovin . V jedné polorovin má tak úloha opravdu jedno ešení. P íklad . 7: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB
c
45mm;
45 ; t c
3,5cm
___________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
C
k (S; r
C C Postup konstrukce:
1. AB; AB 2.S ; S
c
AB
4,5cm AS
3.k ; k S , r
tc
4. BAX ;
BAX
5.C ; C k 6. ABC Konstrukce:
SB
3,5cm AX
45
tc )
AX ( BAX k
AX
)
Záv r: Trojúhelník vyhovuje zadání, ešení v polorovin Poznámka: Po et ešení zde závisí na délce t žnice. Zkus si sám narýsovat trojúhelník pro p ípad, kdy tc = 1,7 cm. Kolik Ti vyšlo ešení ? A kdy úloha nemá ešení ? Poslední otázku zjisti m ením. Odpov di: pro tc = 1,7 cm má úloha dv ešení v polorovin Pro tc < 1,55 cm úloha nemá ešení v polorovin
P íklad . 8: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB c 10cm; t a 9cm; t b 6cm __________________________________________________________________ Ná rt a rozbor: Než p istoupíš k ná rtu, zopakuj si vše, co víš o t žnicích a t žišti trojúhelníku. Co ud lá t žišt T s t žnicí t ? Nejprve se podívej na neúplný ná rt a dopl chyb jící údaje.
Pokud Ti to nejde, napovím. T žišt rozd lí t žnici na dv úse ky. Úse ka spojující vrchol s t žišt m (nap . AT) je p itom vždy 2x v tší než úse ka spojující t žišt se st edem strany naproti vrcholu (nap . TSBC). Nebo si možná vzpomeneš na následující vztahy:
AT
2 t a ; TS BC 3
1 ta 3
Máš stejn dopln né rozm ry jako já ?
Nyní již sám ná rt a rozbor dokon i. Jakým trojúhelníkem by si za al konstrukci ?
C
AS AC
C
BS BC
C
AS AC
Postup konstrukce: 1. ABT sss : AB 2.
AT
3.k ; k A, r
ta
4.S BC ; S BC 5.
c; AT
9cm AT
k
BT
6.l ; l B; r
tb
7.S AC ; S AC 8.
BS BC
9.
AS AC
10.C ; C
6cm BT
BS BC
11. ABC
Konstrukce:
l
AS AC
2 t a ; BT 3
2 tb 3
BS BC
Záv r: Trojúhelník vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin P íklad . 9: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB c 9cm; v c 6cm; t c 7cm __________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
C
p; p // AC
C
k (S; r
C
p
v ( p, AB)
vc
tc )
k
Postup konstrukce: 1. AB; AB 2.S ; S
c
AB
3.k ; k S , r
AS tc
4. p; p // AB 5.C ; C
9cm
k
SB
7cm v p, AB
vc
6cm
p
6. ABC
Konstrukce:
Záv r: Trojúhelník vyhovuje zadání, dv
ešení v polorovin
Poznámka: Op t si všimni, jak se m ní po et ešení v závislosti nap íklad na velikosti t žnice tc. Ur it ihned víš, kdy bude mít úloha v závislosti na velikosti tc jedno a kdy žádné ešení ? Podívej se na m j obrázek a diskusi pod ním. Máš stejné výsledky ?
k(r > tc) - dv
ešení v polorovin ( ABC1, ABC2)
k´(r = tc) - jedno ešení v polorovin ( ABC3) k´´(r < tc) - žádné ešení v polorovin Obdobnou diskusi si sám prove pro p ípad, kdy se bude m nit velikost výšky vc.
P íklad . 10: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB c 8cm; vb 5cm; t b 5,5cm __________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
X X
( AB) k ( B; r vb )
X ( AB) k S AX S l ( B; r t b ) S AX l S S :A C Postup konstrukce:
1. AB; AB
c
2. AB 3.k ; k B, r
vb
5cm
AB
k
4. X ; X 5. AX 6.l ; l B, r
tb
8cm
5,5cm
7.S ; S AX l 8.C ; S S : A C 9. ABC Konstrukce:
Záv r: Trojúhelník vyhovuje zadání, dv
ešení v polorovin (trojúhelníky ABC1 ; ABC2)
CVI
ENÍ
Pokus se nejprve sám konstruk ní úlohu vy ešit. Nebudeš-li si v d t rady, podívej se na výsledky. V nich je pouze napsáno, jak získáš pomocí množin bod neznámý vrchol trojúhelníku (rozbor úlohy). P íklady jsou velmi podobné ukázkovým p íklad m. Tak s chutí do toho !
Úloha 1: Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: a BC 8cm; ABC 60 ; v a
5cm
Úloha 2: Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: c AB 6cm; CAB 45 ; v a
5cm
Úloha 3: Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: b 4cm; vb 5cm; c 2cm Úloha 4: Sestroj pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem p i vrcholu C, je-li dáno: c 8cm; v c 3cm Úloha 5: Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: a 10cm; v a 5cm; vb 6cm
Úloha 6: Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: b 6cm; v a 5cm; vb 4,5cm Úloha 7: Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: a 6cm; t a 4cm; BCA 45 Úloha 8: Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: c 5cm; v a 4cm; t c 6cm Úloha 9: Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: b 6cm; t c 6cm; t a 9cm Úloha 10: Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: a 10cm; v c 6cm; t c 8cm Úloha 11 (obtížná): Sestroj pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem p i A, je-li dáno: t a 6cm; t b 9cm; Úloha 12 (obtížná): Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: a 8cm; t a 12cm; t b 9cm
Výsledky úloh: Úloha 1: B B B
BX ; ( CBX p; p // BC BX
)
v ( p, BC )
p
1 ešení v polorovin
Úloha 2: Y
( AB)
Y
k ( A; r
Y
( AB)
C
BY
C
AX ( BAX
C
BY
va ) k
AX
1 ešení v polorovin
)
va
Úloha 3: Úloha podobná úloze 2, nemá ešení – dokaž si sám konstrukcí Úloha 4:
C C
( AB) p; p // AB
v( p, AB)
vc
C ( AB) p 2 ešení v polorovin Úloha 5:
X X
( AB) k ( B; r v b )
X A A
( AB) k CX p; p // BC v ( p, BC )
va
A p CX 1 ešení v polorovin Úloha 6:
X X
( AC ) k ( A; r v a )
X B B
( AC ) k CX p; p // AC v( p, AC )
B CX p 1 ešení v polorovin Úloha 7: A
CX ( BCX
A
k (S BC ; r
A
CX
ta ) k
1 ešení v polorovin
Úloha 8:
)
vb
C
AX ( X
C
l ( S AB ; r
C
AX
( AB)
k ( A; r
va )
tc ) l
1 ešení v polorovin
Úloha 9: ACT (sss ) : AC
a; CT
S BC
AT
k ( A; r
ta )
S AB
CT
l (C ; r
tc )
B
AS AB
2 tc 3
4cm; AT
2 ta 3
6cm
CS BC
1 ešení v polorovin
Úloha 10:
X X
( BC ) k (C ; r v c )
X Y
( BC ) k BX l (C ; r
tc )
S ( S AB ) : B A dv ešení v polorovin Úloha 11: zde uvádím celý postup konstrukce se záv rem 1.t b
S AC B
2.T ; T
2 tb 3
k ( B; r
6cm)
3. ( S AC B) 4.l ; l (T ; r 5. A; A l 6.
2 t a 4cm) 3 ( S AC B)
AT
7.m; m( A; r 8.S BC ; S BC 9. 10.
ta ) AT
m
BS BC AS AC
11.C ; C
BS BC
1 ešení v polorovin
AS AC
Úloha 12:
1 a 2
BS BC T ( BS BC S ( S BC ) : B S AC A
BT
4cm; BT
2 tb 3
6cm; S BC T
1 ta 3
4cm
C k ( B; r
tb )
CS AC
A l (S BC ; r
ta )
A
l
CS AC
1 ešení v polorovin Poznámka: po narýsování trojúhelníku BSBCT existuje n kolik postup , ur it i kratších, jak získat neznámý bod A. Pokus se sám n jaký takový postup vymyslet.
