KONSTRUKCE
TY ÚHELNÍKU UŽITÍM MNOŽINY BOD (3 hodiny)
V této kapitole budeme zkoumat konstrukce všech druh ty úhelník (rovnob žníky, konvexní ty úhelníky) krom lichob žníku, kterým bude v nována samostatná kapitola. Než p istoupíš k samotným konstrukcím, zopakuj si nejd íve základní druhy ty úhelník a jejich vlastnosti. K dispozici Ti dávám následující p ehledné shrnutí. Pokud se Ti zdá, že si problematiku pot ebuješ více prohloubit, podívej se na kapitolu ty úhelníky.
ty úhelníky: Na obrázku je vyzna en konvexní ty úhelník – je to ást roviny ohrani ená uzav enou lomenou árou skládající se ze ty úse ek AB; BC; CD; DA.
Sousední vrcholy ty úhelníku: A a B; B a C; C a D; D a A Prot jší vrcholy ty úhelníku: A a C; B a D Sousední strany ty úhelníku: a a b; b a c; c a d; d a a Prot jší strany ty úhelníku: a a c; b a d Sousední vnit ní úhly ty úhelníku: a ; a ; a ; a Prot jší vnit ní úhly ty úhelníku: a ; a Úhlop í ky ty úhelníku: AC; BD Obvod ty úhelníku: o a b c d Sou et vnit ních úhl v každém ty úhelníku je roven 360º
Rovnob žníky: Rovnob žník je ty úhelník, jehož každé dv prot jší strany jsou rovnob žné a shodné Jsou-li všechny vnit ní úhly rovnob žníku pravé, nazývá PRAVOÚHELNÍK. Mezi pravoúhelníky adíme tverec a obdélník.
se
rovnob žník
Není-li žádný z vnit ních úhl rovnob žníku pravý, nazývá se KOSOÚHELNÍK. Mezi kosoúhelníky adíme koso tverec a kosodélník.
rovnob žník
ROVNOB tverec
Obdélník
ŽNÍKY Koso tverec
Kosodélník
Všechny strany jsou Sousední strany mají stejn dlouhé r zné délky
Všechny strany jsou Sousední strany mají stejn dlouhé r zné délky
Všechny vnit ní úhly jsou pravé (pravoúhelníky)
Žádný vnit ní úhel není pravý (kosoúhelníky)
(rovnostranný rovnob žník)
(r znostranný rovnob žník)
(rovnostranný rovnob žník)
(r znostranný rovnob žník)
Úhlop í ky se navzájem p lí
Úhlop í ky mají stejnou délku
Úhlop í ky jsou k sob kolmé
Úhlop í ky k sob nejsou kolmé
Úhlop í ky nemají stejnou délku
Úhlop í ky jsou k sob kolmé
St edov soum rné útvary
Úhlop í ky k sob nejsou kolmé
Osov soum rný ( ty i osy soum rnosti)
Osov soum rný Osov soum rný (dv osy soum rnosti) (dv osy soum rnosti)
Není osov soum rný
Máš-li zopakováno, mám pro Tebe velmi klí ovou otázku, kterou se pokusíme spolu zodpov d t. Tak tady je ta otázka: Kolik údaj je t eba znát pro konstrukci ty úhelníku? První a velmi astá špatná odpov i s vysv tlením zní asi takto: Ke konstrukci trojúhelníku pot ebuji 3 údaje (3 strany – 3 údaje); ke konstrukci ty úhelníku mi tedy sta í údaje 4 (4 strany – 4 údaje). Pokusme se to spole n vyvrátit. Na rtni si libovolný konvexní ty úhelník a vyzna v n m jednu úhlop í ku (viz obr.) Pak odpovídej na mé jednoduché otázky.
? Na kolik trojúhelník mn úhlop í ka ty úhelník rozd lí ? Na dva trojúhelníky ABC, ACD ? Co mají oba trojúhelníky spole né ? Oba trojúhelníky mají spole nou stranu AC ? Kolik údaj pot ebuješ pro konstrukci trojúhelníku ABC ? Jako u každého trojúhelníku pot ebuji znát 3 údaje ? A kolik jich ješt pot ebuješ pro konstrukci trojúhelníku ACD ? Sta í mi pouze dva údaje, jelikož spole nou stranu AC již znám ? Kolik údaj tedy pot ebuješ celkem ? 3+2 = 5
Záv r: Pro konstrukci ty úhelníku je t eba znát celkem p t údaj
Poznámka: P i konstrukci rovnob žníku mi sta í údaje t i, protože rovnob žník má shodné prot jší strany
Postup p i konstrukci libovolného ty úhelníku: 1. Pokusíš se sestrojit pomocný trojúhelník, který se skládá ze dvou stran budoucího ty úhelníku a jedné ze dvou úhlop í ek ty úhelníku. Tento pomocný trojúhelník sestrojíš pomocí Tob již známých konstrukcí sss, sus, usu nebo Ssu. Použiješ tak t i údaje ze zadání. Do postupu konstrukce pak sta í pouze zapsat, že jsi sestrojil trojúhelník ABC podle dané v ty: ABC (sss) 2.
tvrtý neznámý vrchol ty úhelníku dostaneš jako pr nik dvou množin bod , k jejichž konstrukci Ti poslouží zbývající dva údaje v zadání.
Poznámky: - Pokud pomocný trojúhelník nelze sestrojit pomocí známých konstrukcí, je t eba do postupu konstrukce uvézt všechny kroky vedoucí k jeho sestrojení (viz p íklady 4, 5) - V postupech konstrukce budu konstrukcích rovnob žník ).
asto užívat zápis pomocí st edové soum rnosti (p i
P íklad 1: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno: a 4cm; b 5cm; e AC 7cm ___________________________________________________________________________
Ná rt a rozbor: Jelikož prot jší strany rovnob žníku jsou rovnob žné, známe vlastn 5 údaj (a = c; b = d;e)
S ( L) : B
D
Postup konstrukce:
1. ABC sss 2.L; L
AC
AL
LC
3.D; S L : B D 4.Rovnob žníkABCD Konstrukce:
Záv r: Rovnob žník vyhovuje, jedno ešení ve zvolené polorovin Poznámka: Ur it jsi si všiml, že p i hledání neznámého bodu D není nutno užít st edové soum rnosti. Nabízím Ti ješt další ešení. Jeho postup a konstrukce vypadá následovn : 1. ABC sss 2. p; p // AB C
p
3.q; q // BC
A q
4.D; D
q
p
5.Rovnob žníkABCD
Obdobn si lze vybírat i v následujících p íkladech, já již budu pracovat pouze s jedním ešením, ty si v rámci cvi ení zkoušej i jiné ešení. P íklad 2: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno:
a 7cm; b 5cm; DAB 135 ___________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
Postup konstrukce:
1. ABD sus 2.L; L
BD
BL
LD
3.C ; S L : A C 4.Rovnob žníkABCD Konstrukce:
Záv r: Rovnob žník vyhovuje, jedno ešení ve zvolené polorovin P íklad 3: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno: a 7cm; d 4,5cm; v a 3,5cm ___________________________________________________________________________
Ná rt a rozbor:
Postup konstrukce 1. AB; AB
a
7cm
2.k ; k A, r
d
4,5cm
3. p; p // AB
v p, AB
4.D; D
k
p
5.L; L
BD
BL
6.C ; S L : A
C
LD
4.Rovnob žníkABCD
Konstrukce:
va
3,5cm
Záv r: Rovnob žník vyhovuje, dv ešení ve zvolené polorovin (rovnob žník ABC1D1 je vyzna en mod e, rovnob žník ABC2D2 není barevn vyzna en, ty si jej ve své konstrukci pro v tší p ehlednost barevn vyzna ) P íklad 4: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno: b 40mm; c 60mm; vb 50mm ___________________________________________________________________________
Ná rt a rozbor:
Postup konstrukce: 1.BC; BC
b
40mm
4cm
2.k ; k C , r
c
60mm
6cm
3. p; p // BC
v p, BC
4.D; D
k
p
5.L; L
BD
BL
6. A; S L : C
A
vb
50mm
5cm
LD
7.Rovnob žníkABCD
Konstrukce:
Záv r: Rovnob žník vyhovuje, dv ešení ve zvolené polorovin (rovnob žník BCD1A1 je vyzna en mod e, rovnob žník BCD2 A2 není barevn vyzna en, ty si jej ve své konstrukci pro v tší p ehlednost barevn vyzna ) P íklad 5: Sestroj koso tverec (rovnob žník) ABCD, je-li dáno:
e AC 9cm; f BD 6cm ___________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor: Zkus p ijít na to, jakým pomocným trojúhelníkem za neš? Teprve poté se podívej na m j obrázek. Pokud si nevíš rady, zkus si odpov d t na následující otázky: ? Co platí pro úhlop í ky v koso tverci? Navzájem se p lí
? Jaký úhel svírají úhlop í ky v koso tverci ? Svírají pravý úhel
Myslím si, že už si na pomocný trojúhelník p išel. Jedná se nap íklad o trojúhelník ABL, kde 1 1 AL AC 4,5cm; BL BD 3cm . Zbytek je již velmi jednoduchý (užij op t 2 2 st edovou soum rnost)
Postup konstrukce: 1. ABL sus 2.C ; S L : A
C
3.D; S L : B
D
4.Koso tverecABCD
Konstrukce:
Záv r: Rovnob žník vyhovuje, jedno ešení ve zvolené polorovin P íklad 6: Sestroj ty úhelník ABCD, je-li dáno:
a 7cm; b 4cm; c 5cm; d 5,5cm; DAB 75 ___________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor: Jedná se o obecný ty úhelník, proto se v zadání objevilo celkem 5 údaj . Op t se nejprve pokusíme najít a sestrojit trojúhelník. tvrtý, chyb jící vrchol, pak získáme jako pr nik dvou množin bod . Sou ástí ná rtu bude i stru ný rozbor (bude zapsán pod ná rtem). V ná rtu zaznamenám modrou barvou známé údaje ze zadání, r žovou barvou pak tvrtý, neznámý vrchol ty úhelníku
C C
k ( B; r b) l ( D; r c
Postup konstrukce: 1. ABD sus 2.k ; k B; r 3.l ; l D; r 4.C ; C
k
b c
4cm 5cm
l
5. ty úhe ln íkABCD
Konstrukce:
Záv r: Rovnob žník vyhovuje, dv ešení ve zvolené polorovin – ty úhelníky ABC1D (konvexní) a ABC2D (nekonvexní – neozna en barevn ) P íklad 7: Sestroj ty úhelník ABCD, je-li dáno:
a 3cm; b 3,5cm; c 4cm; CBA 75 ; DCB 115 ___________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor: Jedná se o obecný ty úhelník, proto se v zadání objevilo celkem 5 údaj
D D
Postup konstrukce:
1. ABC sus 2.k ; k C ; r c 3. BCX ; 4.D; D
4cm
BCX
k
CX
5. ty úhe ln íkABCD Konstrukce:
115
k (C ; r c ) CX ( BCX
)
Záv r: Rovnob žník vyhovuje, jedno ešení ve zvolené polorovin P íklad 8: Sestroj ty úhelník ABCD s úhlop í kami AC = e, BD = f, je-li dáno:
a 7cm; b 4cm; e 5cm; f 6cm; d 4,5cm ___________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
D D Postup konstrukce:
k ( B; r f ) l ( A; r d )
1. ABC sss 2.k ; k B; r f 6cm 3.l ; l A; r d 4,5cm 4.D; D k l 5. ty úhe ln ík ABCD Konstrukce:
Záv r: Rovnob žník vyhovuje, jedno ešení ve zvolené polorovin P íklad 9: Sestroj ty úhelník ABCD s úhlop í kami e = AC, f = BD, je-li dáno: a 12cm; e AC 11cm; f BD 15cm; 75 ; 60 ___________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
D D Postup konstrukce:
1. ABC Ssu 2.k ; k B; r f
15cm
3. BAX ; BAX 4.D; D
k
75 AX
5. ty úhe ln íkABCD Konstrukce:
k ( B; r f ) AX ( BAX
)
Záv r: Rovnob žník vyhovuje, dv ešení ve zvolené polorovin ( ty úhelník ABC1D je vyzna en mod e, ty úhelník ABC2D není barevn vyzna en) Poznámka: Všimni si, jak nepatrná zm na jednoho rozm ru m že zm nit po et ešení. Nap íklad zm níme velikost úhlu z p vodních 60˚ na 75˚. A nyní se podívej, co se stane:
Všimni si, že nelze sestrojit bod C, a tedy nelze sestrojit trojúhelník ABC ani ty úhelník ABCD. Daná konstruk ní úloha by tak nem la ešení. Jinými zm nami údaj lze naopak získat nap íklad 3 ešení (viz cvi ení na konci kapitoly).
P íklad 10: Sestroj ty úhelník ABCD, je-li dáno:
a 5cm; b 6cm; DAB 115 ; ABC 100 ; BCD 60 ___________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor:
D D Postup konstrukce:
1. ABC sus 2. BAY ;
BAY
115
3. BCX ;
BCX
60
4.D; D
AY
CX
5. ty úhe ln ík ABCD Konstrukce:
AY ( BAY CX ( BCX
) )
Záv r: Rovnob žník vyhovuje, jedno ešení ve zvolené polorovin P íklad 11: Sestroj ty úhelník ABCD, je-li dáno:
a 9cm; DAB 75 ; ABC 80 ; f BD 10cm; b c ___________________________________________________________________________ Ná rt a rozbor: Nejd íve na rtnu pouze to, co známe ze zadání. Pokus se b hem ná rtu najít trojúhelník, kterým by bylo vhodné za ít.
Asi pro Tebe nebyl problém zjistit trojúhelník, kterým p i konstrukci za neš. Je to trojúhelník ABD, který sestrojíš podle v ty Ssu. Na kterých množinách bod ale bude ležet bod C ? Ur it na polop ímce BY (úhel ABY m í 80˚). Nyní najdeme druhou množinu bod :
? Jaký je trojúhelník ACD ? Je rovnoramenný, podle zadání b = c ? Co platí pro vrchol C ležící naproti základn rovnoramenného trojúhelníku ? Je stejn vzdálen od bod B, D ? Na které množin bod tedy bude bod C ležet ? Na ose základny BD P edkládám Ti nyní úplný ná rt s rozborem:
C C Postup konstrukce: 1. ABD sus 2. ABX ;
ABX
80
3.o; o je osa úse ky (úhlop í k y) BD 4.C ; C
BX
o
5. ty úhe ln ík ABCD
Konstrukce:
BX ( ABX ) o (osa úse ky BD)
Záv r: Rovnob žník vyhovuje, jedno ešení ve zvolené polorovin P íklad 12: Sestroj koso tverec ABCD, je-li dáno: v 3cm; f BD 6cm ___________________________________________________________________________
Ná rt a rozbor:
Všimni si, že zde poprvé nelze za ít konstrukcí n jaké strany koso tverce. Jak tedy za ít ? Zamysli se nad vlastnostmi koso tverce ! Uv dom si, že se jedná o rovnob žník. Co takhle
za ít rovnob žkami, jejichž vzdálenost je v = 3 cm ? A na jedné z nich si vyzna bod B. Už víš. Na rtni si a zkontroluj si s mým ná rtem pod textem.
C; A k ; k C q A p Postup konstrukce:
1. p 2.q; q // p v p; q v 3.B; B p 4.l ; l ( B; r f 6cm) 5.D; D l q 6.L; L
BD
7.k ; k 8. A; A 9.C ; C 10.koso
BD L k k p k q tverec ABCD
Konstrukce:
BL
LD
3cm
BD
Záv r: koso tverec vyhovuje, dv
ešení v polorovin
CVI
ENÍ
Pokus se nejprve sám konstruk ní úlohu vy ešit. Nebudeš-li si v d t rady, podívej se na výsledky. V nich je pouze napsáno, jak získáš pomocí množin bod neznámý vrchol lichob žníku (rozbor úlohy). P íklady jsou velmi podobné ukázkovým p íklad m. Tak s chutí do toho!
P íklad 1: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno: a AB 7cm; b BC 5cm; ABC P íklad 2: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno: a AB 4cm; d AD 6cm; f BD
45
7cm
P íklad 3: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno: a AB 7cm;v a 3cm; BAC 40 P íklad 4: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno: a AB 7cm; CAB 60 ; ABC P íklad 5: Sestroj koso tverec ABCD, je-li dáno: e AC 8cm; f BD 12cm P íklad 6: Sestroj koso tverec ABCD, je-li dáno: a AB 7cm; v 4cm
45
P íklad 7: Sestroj koso tverec ABCD, je-li dáno: e AC 8cm; v 4cm P íklad 8: Sestroj ty úhelník ABCD, je-li dáno: a 7cm; b 4cm; c 5cm; d 5cm; 65 P íklad 9: Sestroj ty úhelník ABCD, je-li dáno: a 5,6cm; b 4,2cm; c 2,5cm; 70 ; P íklad 10: Sestroj ty úhelník ABCD, je-li dáno: a 8cm; d 6cm; e AC 9cm; 45 ;
50 90
P íklad 11: Sestroj ty úhelník ABCD, je-li dáno: a 12cm; AC 11cm; BD 10cm; 30 ; P íklad 12: Sestroj ty úhelník ABCD, je-li dáno: b 9cm; BD 6cm; 85 ; 30 ; a d P íklad 13: Sestroj ty úhelník ABCD, je-li dáno: b 9cm; BD 6cm; 85 ; 80 ; a d
Výsledky úloh: Úloha 1:
ABC; S je st ed AC S L :B D 1 ešení v polorovin Úloha 2:
ABD( sss ); L je st ed BD SL :A C 1 ešení v polorovin Úloha 3: C
p; p // AB
C
AX ;
v( p, AB)
BAX
v
40
L je st ed AC SL :B
D nebo D
1 ešení v polorovin
BL
p
60
Úloha 4:
C
AX ( BAX
60 )
C
BY ( ABY
)
L je st ed AC SL :B D 1 ešení v polorovin Úloha 5: ABS : AS
4cm; BS
S S :A
C
S S :B
D
6cm;
1 ešení v polorovin
Úloha 6:
C p; p // AB v( p. AB) C k ( B; r a b) L je st ed AC S L :B D 2 ešení v polorovin Úloha 7: p // q; v( p, q ) A
p
k ; k ( A; r C
v
AC )
p
k
L je st ed AC r; r D
AC r
L
q; A
r r
p
2 ešení v polorovin
Úloha 8:
v
ASB
90
ABC sss D k (C ; r c ) D l ( A; r d ) 1 ešení v polorovin Úloha 9: ABD sus C C
k ( B; r BX ;
b) ABX
90
1 ešení v polorovin
Úloha 10:
ABD( sus ) C k ( A; r e) C ( DB) - Thaletova kružnice nad úse kou DB 2 ešení v polorovin Úloha 11: ABC ( sus ) D D
k ( B; r
f)
AY ( BAY
)
3 ešení v polorovin
Úloha 12: viz ukázkový p íklad 11 BCD (Ssu ) A
BX ( CBX
)
A o, kde o je osa strany BD, protože trojúhelník BDA je rovnoramenný (a
d)
2 ešení v polorovin
Úloha 13: Rozbor totožný s úlohou 12, trojúhelník BCD nelze sestrojit, úloha nemá ešení.
