KONSTRUKCE LICHOB ŽNÍKU UŽITÍM MNOŽINY BOD
3 HODINY Než p istoupíš k samotným konstrukcím, zopakuj si nejd íve vše, co víš o lichob žnících (co to vlastn lichob žník je, základní druhy lichob žník a jejich vlastnosti). K dispozici Ti dávám následující p ehledné shrnutí. Pokud se Ti zdá, že si problematiku o lichob žnících pot ebuješ více prohloubit, podívej se na kapitolu lichob žník. Lichob žník je ty úhelník, jehož dv zbývající r znob žné
prot jší strany jsou rovnob žné a další dv
A, B, C, D - vrcholy lichob žníku a, b, c, d - strany lichob žníku AB, CD - základny lichob žníku (jsou rovnob žné) BC, AD - ramena lichob žníku (jsou r znob žné) v - výška rovnob žníku (vzdálenost rovnob žných p ímek p, q) AC, BD - úhlop í ky lichob žníku , , , - vnit ní úhly lichob žníku
DRUHY LICHOB
ŽNÍK
Lichob žníky Obecný
Pravoúhlý
Rovnoramenný
Dv prot jší strany jsou rovnob žné, dv r znob žné
Dv prot jší strany jsou rovnob žné, dv r znob žné
Dv prot jší strany jsou rovnob žné, dv r znob žné
Sou et vnit ních úhl je 360˚
Sou et vnit ních úhl je 360˚
Sou et vnit ních úhl je 360˚
Nemá žádný vnit ní úhel pravý
Má dva vnit ní úhly pravé
Nemá žádný vnit ní úhel pravý
Vnit ní úhly p i základnách nejsou shodné
Vnit ní úhly p i základnách nejsou shodné
Úhlop í ky nejsou shodné
Úhlop í ky nejsou shodné
Vnit ní úhly p i základnách jsou shodné Je osov soum rný Není osové soum rný Není osov soum rný podle spojnice st ed obou základen Úhlop í ky jsou shodné
Máš-li zopakováno, mám pro Tebe velmi klí ovou otázku, kterou se pokusíme spolu zodpov d t. Tak tady je ta otázka: Kolik údaj je t eba znát pro konstrukci lichob žníku? astá chybná úvaha zní asi takto: Již vím, že ke konstrukci ty úhelníku pot ebuji 5 údaj , lichob žník je také ty úhelník, a proto ke konstrukci lichob žníku pot ebuji rovn ž 5 údaj . Pokusme se to spole n vyvrátit. Na rtni si libovolný lichob žník a vyzna v n m jednu úhlop í ku (viz obr.) Pak odpovídej na mé jednoduché otázky.
? Na kolik trojúhelník mn úhlop í ka lichob žník rozd lí ? Na dva trojúhelníky ABC, ACD ? Co mají oba trojúhelníky spole né ? Oba trojúhelníky mají spole nou úhlop í ku AC ? Kolik údaj pot ebuješ pro konstrukci trojúhelníku ABC ? Jako u každého trojúhelníku pot ebuji znát 3 údaje ? A kolik jich ješt pot ebuješ pro konstrukci trojúhelníku ACD ? Sta í mi pouze jeden údaj, jelikož spole nou stranu AC již znám. Navíc z vlastnosti lichob žníku vím, že strany AB a CD (základny) jsou rovnob žné, což je druhý údaj o trojúhelníku ACD. K jeho konstrukci tak pot ebuji znát již jen jeden údaj. ? Kolik údaj tedy pot ebuješ celkem ? 3+1 = 4
Záv r: Pro konstrukci lichob žníku je t eba znát celkem ty i údaje Poznámka: všimni si vyzna ených úhl na obrázku. Jaké to jsou úhly a co platí pro jejich velikost ? (jsou to úhly st ídavé a mají stejnou velikost)
Postup p i konstrukci libovolného lichob žníku: 1. Pokusíš se nejprve sestrojit pomocný trojúhelník, který se skládá ze dvou stran budoucího lichob žníku a jedné ze dvou úhlop í ek lichob žníku. Tento pomocný trojúhelník sestrojíš pomocí Tob již známých konstrukcí sss, sus, usu nebo Ssu. Použiješ tak t i údaje ze zadání. Do postupu konstrukce pak sta í pouze zapsat, že jsi sestrojil nap íklad trojúhelník ABC podle dané v ty: ABC (sss) 2.
tvrtý, neznámý vrchol ty úhelníku, dostaneš jako pr nik dvou množin bod , k jejichž konstrukci Ti poslouží zbývající údaj v zadání. Jednou z t chto množin bod je vždy rovnob žka se základnou lichob žníku.
3. Vždy si zvol základnu lichob žníku (pro asi ?) 4. Vždy narýsuj všechna r zná ešení v polorovin , jejíž hrani ní p ímka obsahuje Tebou zvolenou základnu. Dej pozor na po adí vrchol (lichob žníky ABCD a ABDC jsou dva r zné lichob žníky a neodpovídají oba sou asn zadání) !!! Poznámka: Pokud pomocný trojúhelník nelze sestrojit pomocí známých konstrukcí (sss, sus, usu nebo Ssu), je t eba do postupu konstrukce uvézt všechny kroky vedoucí k jeho sestrojení, pop ípad k získání neznámého bodu (viz p íklady 3, 4, 5, 7) A nyní se spole n pustíme do p íklad : P íklad 1: Sestroj lichob žník ABCD, je-li dáno: a AB 6cm; b BC 4cm; c CD
3cm, AC
6,5cm
Ná rt a rozbor: známé údaje vyzna ím v ná rtu modrou barvou, neznámé body barvou r žovou !!!
D D D Postup konstrukce: 1. ABC ( sss ) 2. p; p // AB C 3.k ; k (C ; r 4.D; D
c
p
p 3cm)
k
5.lichob žník ABCD
Konstrukce:
p; p // AB C k (C ; r c ) p k
p
Záv r: lichob žník vyhovuje, jedno ešení v polorovin Poznámka: N kdy se myln vyskytuje chyba v po tu ešení. Konkrétn v této úloze ob as studenti naleznou ješt jeden lichob žník, který však zadání úlohy neodpovídá. Podívej se na obrázek.
R žový lichob žník neodpovídá zadání (není to lichob žník ABCD, ale ABD´C). A na po adí prvk nám záleží !!!
P íklad 2: Sestroj lichob žník ABCD, je-li dáno: a AB 8cm; b BC 5cm; DAB
60 ;
ABC
70
Ná rt a rozbor:
D D D Postup konstrukce:
1. ABC ( sus ) 2. p; p // AB C 3. BAX ;
p
BAX
4.D; D p AX 5.lichob žník ABCD Konstrukce:
60
p; p // AB C AX p AX
p
Záv r: lichob žník vyhovuje, jedno ešení v polorovin P íklad 3: Sestroj lichob žník ABCD, je-li dáno: a AB 8cm; DAB 60 ; ABC
70 ; v
3cm
Ná rt a rozbor: trojúhelník ABC zde již nelze sestrojit pomocí v t sss, sus, usu nebo Ssu, proto nejprve sestrojíme bod C jako pr nik dvou množin bod a posléze sestrojíme bod D stejn jako v p íkladu 2. Vše je pomocí matematické symboliky pod ná rtem zaznamenáno.
C C C D D D
p; p // AB v ( p, AB) BY p BY p AX p AX
3cm
Postup konstrukce:
1. AB; AB
a
8cm
2. p; p // AB v ( p, AB) 3. ABY ;
ABY
v
3cm
70
BY 4.C ; C p 5. ABC - možno vynechat 6. BAX ;
BAX
60
AX 7.D; D p 8.lichob žník ABCD Konstrukce:
Záv r: lichob žník vyhovuje, jedno ešení v polorovin Poznámka: v postupu konstrukce je možno vynechat bod 5 ( ABC), protože jsme pot ebovali získat bod C a chceme narýsovat lichob žník ABCD, nikoliv trojúhelník ABC.
P íklad 4: Sestroj lichob žník ABCD, je-li dáno: a AB 8cm; c CD 2cm; ABC
70 ; v
Ná rt a rozbor:
C C C D D D Postup konstrukce: 1. AB; AB
8cm
2. ABX ;
ABX
3. p; p // AB 4.C ; C
70
v( p, AB) BX
v
3cm
p
5. ABC - možno op t vynechat 6.k ; k (C ; r 7.D; D
c
k
2cm)
p
8.lichob žník ABCD
Konstrukce:
p; p // AB v ( p, AB) BY p BY p k (C , r c) p k
3cm
3cm
Záv r: lichob žník vyhovuje, jedno ešení v dané polorovin P íklad 5: Sestroj lichob žník ABCD, je-li dáno: a AB 7cm; b BC 4cm; d AD Ná rt a rozbor:
3cm; v
2,5cm
C k ( B; r b) C p; p // AB v( p, AB) C k p D l ( A; r d ) D p l
v
Postup konstrukce:
1. AB; AB
a
7cm
2. p; p // AB v( p, AB) 3.k ; k ( B; r b 4cm) 4.C ; C k p 5.l ; l ( A; r d 3cm)
v
2,5cm
6.D; D p l 7.lichob žník ABCD Konstrukce:
Záv r: lichob žník vyhovuje, 4 ešení v polorovin (lichob žníky ABCD,ABC´D,ABCD´, ABC´D´) Poznámka: zkontroluj si, zda opravdu všechny ty i lichob žníky vyhovují zadání úlohy P íklad 6: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a AB 7cm; b BC 4cm; 70
Ná rt a rozbor: Nejprve si všimni, že v zadání máme pouze 3 údaje. Sta í to ? Kde se nám ztratil tvrtý pot ebný údaj ? (sta í, údaj se neztratil – je schován v tom, že daný lichob žník má být rovnoramenný – znáš-li délku jednoho ramena, znáš pak i délku druhého). Nyní si prove ná rt – ten Ti vše odkryje !
C C C
p; p // AB D k ( B, r b ) p k
Odpov di:
AD
BC
CBA
4cm rovnoramenný lichob žní k BAD
70 - rovnoramenný lichob žní k
Postup konstrukce: 1. ABD( sus ) 2. p; p // AB
D
3.k ; k ( D; r
b
4.C ; C
k
p
p 4cm)
5.lichob žník ABCD
Konstrukce:
p
Záv r: lichob žník vyhovuje, jedno ešení v polorovin Poznámka: v konstrukci je ješt zám rn uveden bod C´.Je ešením naší úlohy i lichob žník ABC´D ? (není, nejedná se o rovnoramenný lichob žník, ale o rovnob žník – koso tverec) P íklad 7: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a AB 8cm; ACB 90 ; DAB 60
Ná rt a rozbor: op t si ud lej ná rt a poté se pokus sám odpov d t, co platí pro velikost úhlu ADB ?
C C C D D D Odpov
( AB) - Thaletova kružnice nad úse kou AB BY ( AB) BY ( AB) AX ( AB) AX
: úhel ADB je rovn ž pravý (rovnoramenný lichob žník)
Postup konstrukce:
1. AB; AB
8cm
2. ( AB) 3. ABX ; ABX 4.C ; C
( AB)
5. BAY ; BAY
60 BX 60
6.D; D ( AB) AY 7.lichob žník ABCD Poznámka: od bodu 5 lze postupovat také tak, jak již znáte z p edchozích p íklad :
5. p; p // AB C
p
6. BAY ;
60
BAY
7.D; D p AY 8.lichob žník ABCD Konstrukce:
Záv r: lichob žník vyhovuje, jedno ešení v polorovin P íklad 8: Sestroj pravoúhlý lichob žník ABCD (AB//CD) s pravým úhlem p i vrcholu D, jeli dáno: a AB 6cm; AC 5cm; BC 4cm Ná rt a rozbor: op t nám sta í t i údaje, tvrtý údaj je schován v zadání (pravý úhel p i vrcholu D).
D D D
( AC ) k ; k AB A k k ( AC )
Postup konstrukce: 1. ABC ( sss ) 2. ( AC ) 3.k ; k 4.D; D
AB
A k
( AC )
k
5.lichob žník ABCD
Konstrukce:
Záv r: lichob žník vyhovuje, jedno ešení v polorovin P íklad 9: Sestroj pravoúhlý lichob žník ABCD (AB//CD) s pravým úhlem p i vrcholu D, jeli dáno: d AD 4cm; c CD 3cm; ABC 60 Ná rt a rozbor: Nejprve si na rtni obrázek a pokus se doplnit údaj ozna ený ? v mém ná rtu. Pokud jsi nejsi jistý, zamysli se, co platí pro sou et vnit ních úhl v libovolném ty úhelníku, tedy i v lichob žníku. Už víš ?
Odpov : Sou et vnit ních úhl 360 90 90 60 360 240
Postup konstrukce:
1. ADC (sus ) 2. AX ; AX // DC 3. DCY ; DCY
120
4.B; B AX CY 5.lichob žník ABCD Konstrukce:
v lichob žníku 120 B
AX // DC
B
CY
B
AX
CY
je 360˚, úhel BCD má tedy
Záv r: lichob žník vyhovuje, jedno ešení v polorovin A na záv r si dáme jeden na první pohled obtížn jší p íklad. Ale neboj, sám zjistíš, že není zdaleka tak t žký. Spole n ho hrav zvládneme. Tak poj me na n j !
P íklad AB a
10: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), 7cm; BC b 5cm; CD c 4cm; DA d 3cm
Ná rt a rozbor:
je-li
dáno:
Pokud jsi do ná rtku vyzna il všechny známé prvky stejn jako já, ur it jsi zjistil, že nelze sestrojit žádný pomocný trojúhelník. Zkus nyní sám pop emýšlet, jak tento problém vy ešit. Pokud jsi na to nep išel sám, podívej se na následující obrázek, co napadlo m .
Bodem C jsem vedl rovnob žku se stranou AD (lze také bodem D vést rovnob žku se stranou BC). Pr se ík rovnob žky se základnou AB jsem ozna il X. Tím jsem p vodní lichob žník rozd lil na trojúhelník XCB a rovnob žník (v našem p ípad kosodélník) AXCD. Nyní pop emýšlej a dopl si do svého ná rtku chyb jící rozm ry ozna ené ?. A zkontroluj si je s mým následujícím obrázkem:
Díky rovnob žce jsme schopni lichob žník již sestrojit. Nejprve sestrojíš podle v ty sss trojúhelník XBC, snadno pak získáš na polop ímce BX bod A a pomocí rovnob žek p, q pak sestrojíš bod D jako poslední vrchol rovnob žníku AXCD. A lichob žník ABCD je hotov.
Postup konstrukce:
1. XBC ( sss ) : XB
a c
3cm; BC
b
5cm; XC
d
3cm
2. BX 3.k ; k ( B; r a 7cm) 4.A; A BX k 5. p; p // AB C p 6.q; q // XC A q 7.D; D p q 8.lichob žník ABCD Konstrukce:
Záv r: lichob žník vyhovuje, jedno ešení v polorovin
CVI
ENÍ
Pokus se nejprve sám konstruk ní úlohu vy ešit. Nebudeš-li si v d t rady, podívej se na výsledky. V nich je pouze napsáno, jak získáš pomocí množin bod neznámý vrchol lichob žníku (rozbor úlohy). P íklady jsou velmi podobné ukázkovým p íklad m. Tak s chutí do toho !
Úloha 1: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: AB a 6cm; CD c 3cm; AD d 7cm; BD Úloha 2: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno:
4cm
AB
a
3,5cm; AD
d
4cm;
135 ;
80
Úloha 3: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: AB a 4cm; AD d 7cm; BD 5cm; AC 12cm Úloha 4: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: AB a 4,8cm; CD c 3cm; BC b 5,2cm; v
4,5cm
Úloha 5: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: AB a 8,5cm; CD c 4,2cm; 75 ; v 3,8cm Úloha 6: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: AB a 8cm; BC b 6cm; AC 7cm; Úloha 7: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: AB a 8cm; BC b 6cm; v 4cm; Úloha 8: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: AB a 6cm; BD 7cm; v 5cm; Úloha 9: Sestroj pravoúhlý lichob žník ABCD (AB//CD) s pravým úhlem u vrcholu A, je-li dáno: AB a 8cm; BC b 7cm; AD d 5cm; Úloha 10: Sestroj pravoúhlý lichob žník ABCD (AB//CD) s pravým úhlem u vrcholu A, je-li dáno: AB a 8cm; AC 7cm; BD 10cm; Úloha 11: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: AB a 9cm; CD c 4cm; BC b 6cm; d DA
4cm
Úloha 12: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: AB a 3cm; CD c 7cm; BC b 5cm; Úloha 13 - obtížná: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: AB a 4cm; BC b 8cm; ASB 150 , kde S je pr se ík úhlop í ek Nápov da k úloze 13: uv dom si, co platí v rovnoramenném lichob žníku pro trojúhelník ASB, poté dopo ítej úhel SAB, pak si narýsuj trojúhelník ABC a pomocí množin bod narýsuj bod D.
Výsledky úloh: Úloha 1:
ADB(sss ) C p; p // AB D p C k ( D; r c ) 1 ešení v polorovin Úloha 2:
ADB(sus ) C p; p // AB D p C BX 1 ešení v polorovin Úloha 3: ADB (sss ) C
p; p // AB C
C
k ( A; r
p
AC )
1 ešení v polorovin
Úloha 4:
C p; p // AB v( p, AB) C k ( B; r b) D p D l (C ; r c ) 2 ešení v polorovin
v
Úloha 5:
C p; p // AB v( p, AB) C BX D p D k (C ; r c ) 1 ešení v polorovin Úloha 6:
ABC D p; p // AB C p D k ( A; r b d ) 1 ešení v polorovin
v
4,5cm
Úloha 7:
C p; p // AB v ( p, AB) v 4cm C k ( B; r b) D p D l ( A; r b d ) 1 ešení v polorovin (výjdou sice 2, ale jeden neodpovídá zadání) Úloha 8: D
p; p // AB v ( p, AB)
D
k ( B; r
C
p
C
l ( B; r
v
BD AD
1 ešení v polorovin
Úloha 9:
ABD(sus ) C p; p // AB D p C k ( B; r b) 2 ešení v polorovin Úloha 10: ABD C
p; p // AB
C
k ( A; r
D
p
AC )
1 ešení v polorovin
Úloha 11: lichob žní k rozd l nap íklad na trojúhelník XBC a rovnob žník AXCD (koso tverec) XBC ( XB A
BX
a c k ( B; r
D
p; p // AB C
D
q; q // XC
A
1 ešení v polorovin
9cm 5cm a) p q
4cm; BC
b; XC
d)
Úloha 12: lichob žník op t rozd l nap íklad na trojúhe ln ík XBC a rovnob žník ABXD (kosodé ln ík) XBC ( XC
7cm 3cm
c a
D
CX
k (C ; r
A
p; p // CD
B
A q; q // XB
D
4cm; BC
b; XB
d
b)
c) p q
1 ešení v polorovin
Úloha 13: Trojúhelník ASB je v rovnoramenném lichob žníku rovnoramenný (vlastnost rovnoramenného lichob žníku), úhel SAB je tedy 15˚. Rozbor vypadá tedy takhle:
ABC : C k ( B; r b) C AX ( BAX 15 ) D p; p // AB C p D l (A; r b) 1 ešení v polorovin
