UŽITÍ MNOŽINY BOD DANÉ VLASTNOSTI P I KONSTRUKCI P ÍMEK A KRUŽNIC 4 hodiny Nejprve si zkusíš nastudovat n kolik jednoduchých vzorových úloh. Tyto úlohy budeš pozd ji užívat p i rozboru složit jších úloh, kde hledání neznámého bodu bude spo ívat v kombinování jednoduchých vzorových úloh. Všimni si, jak se snažím co nejvíce p i rozboru pracovat s pojmem množina bod !!! U t chto úloh p i jejich jednoduchosti neužívám výjime n ani ná rt. P íklad 1: Je dán bod X. Sestroj množinu všech bod , které mají od bodu X vzdálenost 5 cm. Rozbor: Množinou všech bod , které mají od daného bodu X vzdálenost 5 cm, je kružnice se st edem v bod X a s polom rem r = 5 cm. Postup konstrukce: 1. bod X 2. k;k(X;r = 5cm) Konstrukce:
Záv r: kružnice vyhovuje, jedno ešení v rovin P íklad 2: Sestrojte množinu všech bod M, které mají od dané kružnice k o polom ru 5 cm vzdálenost 3 cm.
Rozbor: Množina všech bod , které mají od dané kružnice k vzdálenost 3 cm jsou kružnice o polom rech r1 = 5 cm + 3 cm = 8 cm; r2 = 5 cm – 3 cm = 2 cm. Postup konstrukce: 1. k; k(S; r = 5 cm) 2. l; l(S; r = 8 cm) 3. m; m(S; r = 2 cm) Konstrukce:
Záv r: kružnice vyhovuje, dv
ešení v rovin
P íklad 3: Sestrojte množinu všech bod , které mají od dané p ímky p vzdálenost 3 cm. Rozbor: Množinou všech bod , které mají od dané p ímky p vzdálenost 3 cm, jsou dv p ímky l, m; které jsou s p ímkou p rovnob žné. Postup konstrukce:
1. p ímka p 2.q; q p 3.L; L p q 4.k ; k ( L; r 3cm) 5. X , Y ; X , Y k q 6.m; m // p Y m 7.l ; l // p X n Konstrukce:
Záv r: p ímka vyhovuje, dv
ešení v rovin
Pokud jsi pochopil úvodní úlohy, nebude jist pro tebe problém vy ešit úlohu následující: P íklad 4: Je dána p ímka p a bod A, pro který platí, že jeho vzdálenost od p ímky p je 5 cm. Sestrojte všechny body X, pro které platí, že jejich vzdálenost od daného bodu A jsou 4 cm a od p ímky p je jejich vzdálenost 3 cm. Rozbor: Neznámý bod X se spole n pokusíme najít pomocí pr niku dvou množin bod . Budu Ti pokládat otázky, na které se snaž odpov d t. Svou odpov si poté zkontroluj s mou – je vždy uvedena hned pod otázkou. ? Jaká je vzdálenost hledaného bodu X od daného bodu A ? Podle zadání to jsou 4 cm ? Na jaké množin bod tedy bude bod X ležet ?
Bude ležet na kružnici k(A;r = 4 cm) – viz p íklad íslo 1 ? Jaká je vzdálenost bodu X od dané p ímky p ? Podle zadání to jsou 3 cm ? Na jaké množin bod tedy bude bod X ležet ? Bude ležet na p ímkách m, n rovnob žných s p ímkou p, p i emž vzdálenost t chto rovnob žek od p ímky p jsou 2 cm – viz p íklad íslo 3 ? Co tedy lze o bodu X nyní íci ? Bod X leží v pr niku dvou množin bod – kružnice k a rovnob žky m (nebo n) Tuto naši diskusi nahradíme p i rozboru stru ným zápisem: X
k ( A; r
4cm)
X
m; m // p
X
k
v ( p, m)
2cm
m
Postup konstrukce: jako první bod vždy uvádíme to, že rýsujeme zadání. Do tohoto kroku uvedeme všechny konstrukce ze zadání. V našem p íkladu to je p ímka p a bod A, pro který platí, že jeho vzdálenost od p ímky p je 5 cm.
1. p, A; v( p, A) 5cm 2.k ; k ( A; r 4cm) 3.m; m // p v ( p, m) 2cm 4.X ; X k m Konstrukce:
Záv r: Úloha má dv
ešení – body X1 a X2
Poznámka: Všimni si, že zatímco p ímka m protíná kružnici k ve dvou bodech X1 a X2; p ímka n kružnici k v bec neprotíná. Po t chto úlohách nyní p ejdeme na úlohy složit jší. Jejich obtížnost budeme postupn zv tšovat. Budeme již rovn ž užívat ná rtu. Nezapome , že sou ástí ná rtu jej již i nazna ené ešení úlohy a stru ný rozbor pomocí matematické symboliky.
P íklad 5: Je dána kružnice k(L; r = 3 cm) a bod X takový, že |LX| = 6cm. Sestrojte kružnici l o polom ru 4 cm, která má vn jší dotyk se zadanou kružnicí k a sou asn prochází bodem X. Ná rt a rozbor: Do jednoho obrázku vyzna íš jak zadání, tak i hledanou kružnici l. Dále vyzna íš všechny známé údaje (viz ná rt). Tyto známé údaje budu v ná rtu zna it modrou barvou. Abys mohl kružnici sestrojit, musíš p i známém polom ru 4 cm najít její st ed S. Ten se spole n nyní pokusíme najít jako pr nik množin bod – v ná rtu bude tento bod ozna en barvou r žovou. Položím Ti otázku, na kterou se snaž odpov d t. Svou odpov si poté pod otázkou zkontroluj.
? Jakým bodem musí dle zadání kružnice l o polom ru 4 cm procházet ? Musí procházet bodem X ? Jaká je tedy vzdálenost st edu hledané kružnice S a bodu X ? Podle zadání to jsou 4 cm. ? Na jaké množin bod tedy leží st ed S hledané kružnice l ? Leží kdekoli na kružnici m(X;r = 4 cm) ? Jaká je vzdálenost |LS| st ed kružnic k, l ? |LS| = 3 cm + 4 cm = 7 cm ? Na jaké množin bod tedy leží st ed S hledané kružnice l ? Leží na kružnici n(L;r = 7 cm) ? Jak tedy získáš neznámý st ed S kružnice l ? St ed S leží ne kružnici m a sou asn leží na kružnici n, st ed S tedy leží na pr niku kružnic m, n. Tuto naši diskusi nahradíme p i rozboru stru ným zápisem: S
m( X ; r
S
n ( L; r
S
m
Jak tedy by m l ná rt a rozbor vypadat ?
n
4cm) 7cm)
S
m( X ; r
S
n ( L; r
S
m
4cm) 7cm)
n
Postup konstrukce: jako první bod vždy uvádíme to, že rýsujeme zadání. Do tohoto kroku uvedeme všechny konstrukce ze zadání. V našem p íkladu to je kružnice k a bod X. 1.k ( L; r
3cm), X ; LX
2.m; m( X ; r
4cm)
3.n; n( L; r
7cm)
4.S ; S
n
5.l (S ; r
m
4cm)
Konstrukce:
6cm
Záv r: Kružnice vyhovuje, dv
ešení (osov soum rné podle p ímky LX)
P íklad 6: Jsou dány dva r zné body A, B; jejichž vzdálenost je 5 cm. Sestrojte kružnici k, která má polom r 3 cm a prochází ob ma body A, B. Ná rt a rozbor:
? Jaká je vzdálenost bodu A a neznámého st edu S ?
Podle zadání to jsou 3 cm
? Kde bude tedy st ed S hledané kružnice k ležet ? Bude ležet na kružnici l(S;r = 3 cm) - množina bod ? Jaká je vzdálenost bodu B a neznámého st edu S ? 3 cm ? Kde bude tedy st ed S hledané kružnice k ležet ? Bude ležet na kružnici m(S;r = 3 cm) - množina bod ? Co tedy platí pro st ed S hledané kružnice k ? St ed S leží v pr niku dvou množin bod – kružnice l a kružnice m Tuto naši diskusi nahradíme p i rozboru stru ným zápisem: S
l ( A; r
S
m ( B; r
S
l
3cm) 3cm)
m
Úplný ná rt a rozbor tedy vypadá takto:
Postup konstrukce:
S
l ( A; r
S
m ( B; r
S
l
m
3cm) 3cm)
1. AB; AB
5cm
2.l ; l ( A; r
3cm)
3.m; m( B; r 4.S ; S 5.k ( S ; r
l
3cm) m
3cm)
Konstrukce:
Záv r: kružnice vyhovuje, dv
ešení v rovin
P íklad 7: Sestrojte kružnici k, která se dotýká dvou libovolných rovnob žek a, b vzdálených od sebe 5 cm a libovolné p í ky rovnob žek p, která však není na rovnob žky kolmá. Ná rt a rozbor: P i ná rtu, zejména pro jeho v tší p ehlednost, se vyplatí postupovat tak, že si nejprve nakreslíš výsledek (v naší úloze kružnici k), a poté dokreslíš v ci p vodn zadané (v našem p íklad to jsou rovnob žky a, b a p í ka p). V ná rtu se pak lépe vyznáš, je p kn jší, p ehledn jší. V opa ném p ípad Ti pak nevznikne požadovaný útvar (kružnice), ale v lepším p ípad brambora, v horším p ípad n co, pro co matematika nemá ani žádný název. Musíš si uv domit, že do ná rtu pak nazna uješ i ešení, píšeš další rozm ry. Proto musí být velký, p ehledný, musíš se v n m vyznat !!! Zám rn jsem Ti v ná rtu vyzna il n kolik otazník týkající se vzdáleností útvar . B hem ízené diskuse je spole n vy ešíme.
? Jaká musí být vzdálenost hledaného st edu S kružnice k od obou rovnob žek a, b ? Musí být stejná, kružnice se má obou rovnob žek dotýkat ? Na které množin bod bude tedy neznámý st ed S ležet ? Na ose pásu o rovnob žek a, b ? Jaký bude polom r kružnice k ? 2,5 cm; je to polovina vzdálenosti rovnob žek a, b ? Kružnice se má dotýkat p í ky p, jakou vzdálenost musí mít st ed S od této p í ky ? Vzdálenost musí být 2,5 cm stejn jako vzdálenost st edu S od obou rovnob žek ? Na které množin bod bude st ed S také ležet ? Na p ímkách q, q´ rovnob žných s p ímkou p a vzdálených 2,5 cm od p ímky p ? Co tedy m žeš íci o neznámém st edu S a polom ru kružnice k ? Leží na pr niku dvou množin bod – osy pásu o a p ímky q (nebo q´) Tuto naši diskusi nahradíme p i rozboru stru ným zápisem:
S S S
o, kde o je osa pásu rovnob žek a, b q; q // p v( p, q) 2,5cm o q
Poznámka: I když v diskusi uvádíme ob p ímky q, q´; do ná rtu je není nutné kreslit. Stal by se velmi nep ehledným. Proto v ná rtu sta í zaznamenat pouze jedno ešení. Rovn ž
v postupu konstrukce uvádím pouze p ímku q. P i konstrukci však pracuji s ob ma p ímkami q, q´, protože ob spl ují podmínku, že jsou s p ímkou p rovnob žné a mají od ní vzdálenost 2,5 cm. Pokud bych s ob ma p ímkami nepracoval, nezískal bych všechny ešení vyhovující zadání úlohy !
Zapamatuj si: V ná rtu a v postupu konstrukce sta í pracovat pouze s jedním ešením (p ímka q). Ve vlastní konstrukci uvádím všechny p ímky (q,q´), které spl ují podmínky úlohy. Ná rt a rozbor ješt jednou:
S S S
o, kde o je osa pásu rovnob žek a, b q; q // p v( p, q) 2,5cm o q
Postup konstrukce:
1.a // b; p í ka p rovnob žek a, b 2.o; o je osa pásu a, b 3.q; q // p v( p, q) 2,5cm 4.S ; S o q 5.k (S ; r 2,5cm) Konstrukce:
Záv r: kružnice vyhovují, úloha má dv
ešení v rovin
P íklad 8: Je dána kružnice k(S;r = 3 cm) a p ímka p, jejichž vzdálenost od bodu S je 5 cm. Sestrojte kružnici l(O;r = 2 cm), která se dotýká kružnice k a p ímky p. Ná rt a rozbor: op t si nejprve na rtneme výslednou kružnici a poté až zbytek zadání, poté provedeme rozbor op t formou otázek, které T navedou k nalezení neznámého st edu O kružnice l.
? Kružnice se má dotýkat p ímky p, jakou vzdálenost musí mít st ed O od této p ímky ? Kružnice má polom r 2 cm; musí být tedy ve vzdálenosti 2 cm od p ímky p ? Na které množin bod bude st ed L kružnice l ležet ? Na p ímkách q, q´ rovnob žných s p ímkou p a vzdálených 2 cm od p ímky p ? Jaká musí být vzdálenost st edu O kružnice l od zadané kružnice k ? 2 cm; kružnice l o polom ru 2 cm se má kružnice k dotýkat ? Na které další množin bod bude st ed O kružnice l také ležet ? Bude ležet na soust edné kružnici m se st edem S a polom rem r1 = 3 cm + 2 cm = 5 cm (kružnice l pak bude mít s kružnicí k vn jší dotyk) nebo na soust edné kružnici n s polom rem r2 = 3 cm – 2 cm = 1 cm (kružnice l bude mít s kružnicí k vnit ní dotyk) ? Co tedy m žeš íci o neznámém st edu O kružnice l ? St ed O získám jako pr nik dvou množin bod , a to rovnob žných p ímek q(s) se soust ednými kružnicemi m (n) Tuto naši diskusi nahradíme p i rozboru stru ným zápisem:
O O O
q; q // p v ( p; q ) m( S ; r 5cm) q m
2cm
Poznámka: op t jsem v ná rtu pro v tší p ehlednost uvedl pouze jednu p ímku q a jednu soust ednou kružnici m. Stejn tomu bude i v postupu konstrukce. V konstrukci však nesmíš
zapomenout na p ímku q´ a na soust ednou kružnici n. Jinak bys nedostal všechny ešení úlohy !
Postup konstrukce:
1.k (S ; r 3cm), p, v ( p, S ) 2.q; q // p v ( p, q ) 2cm 3.m; m( S ; r 5cm) 4.O; O q m 5.l ; l (O; r 2cm)
5cm
Konstrukce:
Záv r: kružnice vyhovují, úloha má dv
ešení v rovin
Poznámka: V p edchozích úlohách jsme získali nejvíce dv ešení. Nyní si na úloze, která je velmi podobná p íkladu 8, ukážeme, že po et ešení m že velmi r zný. P íklad 9: Je dána kružnice k(S;r = 4 cm) a p ímka p, která neprochází st edem S a kružnici k protíná ve dvou bodech (p ímka p je tedy se nou kružnice k). Sestrojte všechny kružnice o polom ru 2 cm, které se dotýkají p ímky p i kružnice k. Ná rt a rozbor: úvahu o nalezení st edu S pomocí množiny bod již nechám na Tob , já vedle ná rtu již pouze uvedu stru ný zápis rozboru pomocí matematických symbol
N N N Postup konstrukce:
1.k (S ; r 4cm), p; p je se na k 2.q; q // p v ( p, q) 2cm 3.m; m( S ; r 6cm) 4.N ; N q m 5.n; n( N ; r 2cm) Konstrukce:
q; q // p v( p, q ) 2cm m(S ; r 4cm 2cm 6cm q m
Záv r: kružnice vyhovují, úloha má šest ešení v rovin P íklad 10: Narýsuj si dv libovolné r znob žky p, q. Sestroj kružnici, která má polom r 3 cm a dotýká se obou r znob žek. Ná rt a rozbor:
S
m; m // p
S
n; n // q
S
m
v ( p, m) v (q , n )
3cm 3cm
n
Poznámka: op t si jist uv domíš, že rovnob žky s p ímkou p mohou být dv stejn jako rovnob žky s p ímkou q. Pro v tší p ehled v ná rtu a stru n jší postup konstrukce však pracujeme pouze s jednou rovnob žkou. Ve vlastní konstrukci je t eba uvézt ob rovnob žky. Postup konstrukce:
1. p q 2.m; m // p v( p, m) 3cm 3.n; n // q v(q, n) 3cm 4.S ; S m n 5.k ; k ( S ; r 3cm) Konstrukce:
Záv r: kružnice vyhovují, úloha má ty i ešení v rovin P íklad 11: Jsou dány dv r znob žky p, q mající spole ný pr se ík S. Na r znob žce p sestroj dále bod X tak, aby |SX| = 4 cm. Sestroj kružnici k tak, aby se dotýkala obou r znob žek a procházela bodem X. Ná rt a rozbor: Op t formou otázek a odpov dí se spole n pokusíme najít st ed O a polom r r kružnice k.
? Co musí platit pro st ed O a kružnici k vzhledem k r znob žkám p, q ? Kružnice se musí obou r znob žek dotýkat, její st ed musí tedy být stejn vzdálen od obou r znob žek ? Na které množin bod tedy st ed O leží ? Leží na ose úhlu o, který ob r znob žky svírají. Každý bod na ose má totiž stejnou vzdálenost od obou r znob žek, které jsou vlastn ramena úhlu ? Kolik spole ných bod bude mít p ímka p a kružnice k ? Pouze jeden spole ný bod X, kterého se má kružnice k dotýkat ? Jak se nazývá p ímka, která má s kružnicí práv jeden spole ný bod ? Te na kružnice ? Co platí pro te nu kružnice a její polom r ? Jsou na sebe kolmé ? Na jaké další množin bod leží st ed O ? Leží na p ímce l kolmé k p ímce p, p i emž p ímka l prochází bodem X ? Jak tedy získáš st ed O kružnice k ? Jako pr nik dvou množin bod – osy úhlu o a p ímky l ? Jaký bude polom r kružnice k ? Polom r je roven vzdálenosti bod X, O
O
o, kde o je osa úhlu r znob žek p, q
O
l; l
O
o
p
X
l
l
Poznámka: Nezapome na to, že ke dv ma r znob žným p ímkám lze sestrojit dv osy úhlu
Postup konstrukce: 1. p q , S
p
q, X
p; v( SX )
4cm
2.o; o je osa r znob žek p, q 3.l ; l
p
4.O; O 5.k (O; r
X o
l
l OX
Konstrukce:
Záv r: kružnice vyhovují, úloha má dv
ešení v rovin
Poznámka: Zkus se zamyslet, p i jaké poloze bodu M na p ímce p by úloha nem la ešení P íklad 12: Jsou dány dv soust edné kružnice k1(S;r1 = 2cm), k2(S;r2 = 4cm) a bod X, pro který platí, že |SX| = 3,5 cm. Sestrojte kružnici h, která prochází bodem X a má s kružnicí k1 vn jší dotyk a s kružnicí k2 vnit ní dotyk.
Ná rt a rozbor: Zkus si sám nejprve ur it podle zadání polom r hledané kružnice, poté hledej její st ed jako pr nik dvou množin bod . Jako nápov du Ti nabízím n kolik otázek, tentokrát však již bez odpov dí. Všechny odpov di najdeš v ná rtu. ? Ur i na základ zadání vzdálenosti hledaného st edu H kružnice h od kružnic k1, k2 ? ? Na které množin bod pak leží st ed H ? ? Jaký bude polom r kružnice h ? ? Na jaké další množin bod leží st ed H ? (využij poznatky o bodu X) ? Jak tedy získáš st ed H kružnice h ?
H
l (S ; r
H
m( X ; r
H
l
m
Postup konstrukce: 1.k1 ( S ; r
2cm), k 2 ( S ; r
2.l ; l ( S ; r
3cm)
3.m; m( X ; r
1cm)
4.H ; H
m
5.h( H ; r
l
1 cm)
Konstrukce:
4cm), X ; SX
3,5cm
3cm) 1cm)
Záv r: kružnice vyhovují, dv
ešení v rovin
CVI
ENÍ
Pokus se nejprve vždy sám konstruk ní úlohu vy ešit. Nebudeš-li si v d t rady, podívej se na výsledky. V nich je pouze napsáno, jak získáš pomocí množin bod neznámý st ed kružnice, pop ípad jiný neznámý bod (rozbor úlohy). P íklady jsou velmi podobné ukázkovým p íklad m. Tak s chutí do toho !
Úloha 1: Sestroj množinu všech bod M, které mají od dané p ímky p vzdálenost 5,5 cm. Úloha 2: Sestroj množinu všech bod , které mají od daného bodu X vzdálenost 4,5 cm Úloha 3: Sestroj množinu všech k ( S ; r 4,5cm) vzdálenost 2,5 cm.
bod
M,
které
Úloha 4: Jsou dány dva body A, B, pro které platí, že AB bod , které mají od obou bod stejnou vzdálenost 6 cm.
mají
od
dané
kružnice
3,5cm . Sestroj množinu všech
Úloha 5: Narýsuj p ímku p a bod M, který leží na této p ímce. Narýsuj všechny kružnice o polom ru 3 cm, které se dotýkají p ímky p v bod M.
Úloha 6: Sestroj kružnici k ( S ; r 4cm) a na ní bod X. Narýsuj všechny kružnice o polom ru 2,5 cm, které se dotýkají kružnice k v bod X. Úloha 7: Jsou dány dva body A, B, pro které platí AB 8cm . Sestrojte kružnici k s polom rem 3 cm, která prochází bodem A a st edem úse ky AB. Úloha 8: Je dána p ímka p a bod A. Vzdálenost pA 5cm . Sestroj množinu všech bod , které mají od bodu A vzdálenost 5 cm a od p ímky p vzdálenost 4 cm. Úloha 9: Jsou dány body A a B, AB bod stejnou vzdálenost
7cm . Sestroj množinu všech bod , které mají od obou
Úloha 10: Je dána kružnice k ( S ; r 4cm) a bod A, p i emž platí AS 2cm . Sestroj množinu všech bod , které mají od kružnice k vzdálenost 2 cm a od bodu A vzdálenost 3 cm. Úloha 11: Je dána kružnice k ( S ; r 6cm) a p ímka p, jejíž vzdálenost od bodu S jsou 4 cm. Sestrojte množinu všech bod , které mají od p ímky p vzdálenost 2 cm a od kružnice k vzdálenost 4 cm Úloha 12: Je dána kružnice k ( A; r 4cm) a kružnice l ( B; r 5cm) , p i emž AB 8cm . Sestroj množinu všech bod , které mají od kružnice k vzdálenost 5 cm a od kružnice l vzdálenost 4 cm. Úloha 13: Jsou dány dv rovnob žné p ímky p a q, jejichž vzdálenost jsou 2 cm. Sestroj množinu všech bod , které mají od p ímky p vzdálenost 5 cm a od p ímky q vzdálenost 3 cm Úloha 14: Jsou dány dv kolmé p ímky p a q. Sestroj množinu všech bod , které mají od obou p ímek vzdálenost 3 cm Úloha 15: Jsou dány dv r znob žné p ímky p a q (ne navzájem kolmé). Sestroj množinu všech bod , které mají od p ímky p vzdálenost 5 cm a od p ímky q vzdálenost 3 cm. Úloha 16: Je dána kružnice k ( S ; r 5cm) a p ímka p ve vzdálenosti 3 cm od bodu S. Sestroj všechny kružnice o polom ru 4 cm, které se dotýkají p ímky p a má s kružnicí k vn jší dotyk. Úloha 17: Je dána kružnice k ( S ; r 5cm) a její se na p, jejíž vzdálenost od st edu S je 2 cm. Sestroj všechny kružnice o polom ru 3 cm, které se dotýkají se ny p a mají s kružnicí k vnit ní dotyk Úloha 18: Narýsuj si kružnici k o polom ru 5 cm a libovolnou její te nu t Sestroj všechny kružnice o polom ru 2 cm, které se dotýkají te ny t a mají s kružnicí k vn jší dotyk. Úloha 19: Sestroj si libovolný obdélník ABCD a ve st edu strany BC si sestroj bod X. Sestroj všechny kružnice k, které dotýkají p ímek AB, AX a BC. Úloha 20: Jsou dány body A, B a C, které neleží na jedné p ímce. Sestroj množinu všech bod , které mají od p ímek AB a AC stejnou vzdálenost a od bodu B mají vzdálenost 4 cm.
EŠENÍ A NÁPOV DY K VYBRANÝM ÚLOHÁM Úloha 1: Množinou všech bod je dvojice rovnob žných p ímek q, q´vzdálených od p ímky p 5,5 cm Úloha 2: Množinou všech bod je kružnice se st edem X a polom rem 4,5 cm Úloha 3: Množinou všech bod je dvojice soust edných kružnic mající st edy v bod S a polom ry r1 4,5cm 2,5cm 2cm; r2 4,5cm 2,5cm 7cm Úloha 4:
1. AB; AB
3,5cm
2.k ; k ( A; r 6cm) 3.l ; l ( B; r 6cm) 4.M ; M k l 2 ešení Úloha 5: Množinou st ed hledaných kružnic jsou dva body S1 a S2, které leží na kolmici k vedené k p ímce p, p i emž S1 M S 2 M 3cm Úloha 6: St edy hledaných kružnic S1, S2 leží na p ímce, která prochází body S, X; p i emž platí S1 X S 2 X 2,5cm . Úloha 7:
1. AB; AB
8cm
2.k ; k ( A; r 3cm) 3.l ; l ( S AB ; r 3cm) 4.M ; M 2 ešení Úloha 8:
k
l
1. A, p; v( p, A) 5cm 2.k ; k ( A; r 5cm) 3.q; q // p v p; q 4cm 4.M ; M k q 2 ešení (bodyM 1 ; M 2 ) Úloha 9: Množinou všech bod je osa úse ky AB Úloha 10:
1.k (S ; r
4cm); A; AS
2cm
2.l ; l ( A; r 3cm) 3.m; m( S ; r1 4cm 2cm 4.M ; M
l
2cm; r2
4cm 2cm
6cm)
m
2 ešení Úloha 11: 1.k (S ; r
6cm); p; v( p, S )
2.q; q // p
v ( p, q)
3.l ; l ( S ; r1
6cm 4cm
4.M ; M
q
4cm
2cm 2cm; r2
6cm 4cm 10cm)
l
5 ešení
Úloha 12:
1.k ( A; r
4cm); l ( B; r
5cm); AB
2.m; m( A; r 4cm 5cm 9cm) 3.n; n( B; r1 5cm 4cm 1cm; r2 4.M ; M 3 ešení Úloha 13:
m
n
8cm 5cm 4cm
9cm)
1. p // q; v ( p; q) 2cm 2.m; m // p v( p, m) 5cm 3.n; n // q v(q, n) 3cm 4.M ; M m n
ešením jsou všechny body ležící na p ímce m´ = n´
Úloha 14: 1. p
q
2.m // p; v ( p, m) 3.n // q; v (q, n) 4.M ; M
m
5cm 3cm
n
4 ešení
Úloha 15: 1. p q 2.m // p; v ( p, m) 3.n // q; v (q, n) 4.M ; M 4 ešení
m
3cm 3cm
n
Úloha 16: 1.k (S ; r
5cm); p; v( p, S )
2.l ; l (S ; r
5cm 4cm
3.q; q // p
v ( p; q )
4.M ; M
l
3cm
9cm)
4cm
q
5.m; m( M ; r
4cm)
4 ešení
Úloha 17: 1.k (S ; r
5cm); p; v( p, S )
2.l ; l (S ; r
5cm 3cm
3.q; q // p
v ( p; q )
4.M ; M
l
5.m; m( M ; r 2 ešení
Úloha 18:.
q 3cm)
2cm
2cm)
3cm
1.k (S ; r
5cm); t
2.l ; l (S ; r
5cm 2cm
3. p; p // t
v ( p, t )
4.M ; M
l
5.m; m( M ; r
7cm)
2cm
p 2cm)
3 ešení
Úloha 19: ABX
ešením jsou dv kružnice – kružnice vepsaná a kružnice opsaná trojúhelníku
Úloha 20: Množinu všech bod , které mají od dvou r znob žných p ímek AB a AC stejnou vzdálenost, jsou osy úhl , které r znob žky svírají – jedná se o dvojici kolmých p ímek. Druhou množinou bod dle zadání je kružnice se st edem v bod B o polom ru 4 cm.
1.
AB
AC
2.
AX ;
AX je osou úhlu BAC
3.
AY ;
AY
4.k ; k ( B; r 5.M ; M
AX
4cm) k
AX
6.M ´; M ´ k
AY
4 ešení
