Koaliční hry Obsah kapitoly Studijní cíle
Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod
1. Koalice dvou hráčů 2. Koalice N hráčů Cílem tohoto tematického bloku je získání základního přehledu o kooperativních hrách a jejich aplikovatelnosti. Student bude schopen získané znalosti v praxi identifikovat a předem stanovit dostupné strategie s optimální volbou. 3 3-4hod maticová a dvou-maticová dvou maticová hra, hra spolupráce, spolupráce jádro hry hry, kooperativní hra volební hry, teorie formování koalic, politické a nepolitické hra, teorie, index síly V tomto tematickém tematickém bloku pronikneme podrobněji do kooperativních her hráčů. Nejprve dvou hráčů a následně více hráčů. Seznámíme se s dostupnými strategiemi, podmínkami a dalšími možnostmi, které tato teorie eorie nabízí. Dále se seznámíme s některými politologickými teoriemi. Aplikovatelnost této teorie je nejlepší právě v politice a tzv. volebních hrách. Ačkoliv je náš předmět zaměřen na firmy a manažery, politika nám nabízí nejlepší možnost pro rozklíčování herních situací a jejich využitelnost pro naši praxi je tak významnější, než kdybychom studovali tyto situace přímo v managementu.
Výkladová část
Kooperativní hra dvou hráčů Kooperativní Mějme stále dva hráče. Pokud tito hráči mohou před hrou uzavřít koalici a vskutku zvolí společný postup při volbě optimální strategie, pak mluvíme o kooperativní hře. Je třeba zdůraznit, že hráči mohou spolupracovat, ale také nemusí. Spolupracují jen tehdy, když jim kooperace přinese větší výhru, než kdyby nespolupracovali. Pokud Pokud hráči nespolupracují, tak rovněž dostanou nějakou výplatu. Ta se nazývá zaručená výhra. Zaručená výhra prvního hráče má hodnotu v(1) a druhého v(2). Pokud hráči spolupracují, tak celková částka, kterou si mohou rozdělit, je v(1,2). Nutnou podmínkou kooperace kooperace je, aby platilo v(1,2) > v(1) + v(2). To, že kooperací musí hráči získat více než nekooperací však nestačí. Klíčové je rovněž rozdělení částky získané kooperací mezi jednotlivé hráče. Pro částky a1 a a2, které si hráči rozdělí mezi sebe (a1 je odměna prvního hráče – tedy, to co první hráč dostane, a2 je odměna druhého hráče – tedy, to co druhý hráč dostane), musí platit: a1 + a2 = v(1,2) a1 ≥ v(1) a2 ≥ v(2) Množina všech rozdělení (a1,a2), které vyhovují daným podmínkám, se nazývá jádrem hry.
1
Příklad: Hráč 1 má matici A s výplatami: -3 1
3 4
Hráč 2 má matici B s výplatami: -1 4
5 1
Pokud by hráči nespolupracovali, lze sestrojit následující společnou matici: Hráč 2 Strategie X1 X
Hráč 1
Strategie X2 X
Strategie X11
3
5
-3
-1
Strategie X22
4
1
1
4
Bez kooperace by Nashovo rovnovážné řešení nastalo v bodě (2;2) s výplatami (1;4). Hráč 1 má vždy (ať hráč 2 udělá cokoliv) jako nejvýhodnější strategii X2. Hráč 1 tedy vždy zvolí tuto strategii. Hráč 2 je informovaný a racionální – danou skutečnost, že hráč 1 má strategii X2 jako nejvýhodnější a že tuto strategii hráč 1 tedy zvolí, hráč 2 ví. Logicky potom hráč 2 zvolí jako svoji strategii také strategii X2. Pokud však hráči budou spolupracovat, tak hodnoty obou matic sečteme a dostaneme následující řešení: Hráč 2
Hráč 1
Strategie X1 X
Strategie X2 X
Strategie X11
3+5=8
-3 – 1 = -4
Strategie X22
4+1=5
1+4=5
V kooperativní hře tedy mohou oba hráči zvolit lepší strategii a polepší si ve výplatě na společnou hodnotu výplaty 8. Zaručená výhra je hodnota výplat v rovnovážném řešení za situace, když hráči nespolupracují (viz předcházející tabulka). V takovém případě tedy hráč 1 obdrží výplatu 1 (v(1) = 1) a hráč 2 dostane výplatu 4 (v(2) = 4). Společnou výplatu v případě spolupráce (tj. 8) si tedy
2
hráči musí rozdělit tak, že hráč 1 nesmí dostat méně než 1 a hráč 2 méně než 4. Matematicky musí platit, že a1 ≥ 1 a a2 ≥ 4. Rozdělení, Rozdělení, které vyhovují daným podmínkám, se nazývají jádro hry. Graficky je jádro hry našeho příkladu znázorněno na obrázku 1.1 Obrázek 1.1: Jádro hry při kooperativní strategii
Jádrem hry, jsou rozdělení na červené úsečce. Konkrétně mohou nastat tyto varianty rozdělení výplat plat (uvažujeme celočíselná dělení): (a1,a2) => (1;7) nebo (2;6) nebo (3;5) nebo (4;4).
Kooperativní hra N hráčů Kooperativní hrou N hráčů rozumíme situaci, kde je více hráčů, kteří mohou mezi sebou uzavírat koalice. Kde N je množina hráčů = {1, 2, …, N}, koalice jsou podmnožinou S, množiny hráčů N. Jestliže S = N, pak se hovoří o velké koalici. Množina všech utvořených koalic se nazývá koaliční struktura. Příklad 1.1: Mějme pět hráčů. Uvažujme tyto koalice: ({1,4}, {2,3} ,{5}) => množina pěti hráčů kde spolupracují 1 a 4, dále 2 a 3 a hráč 5 jedná samostatně. Úkol: Sestavte vlastní koalice ve hře 10 hráčů. V předchozím tematickém bloku jsme se seznámili s kooperativní hrou dvou hráčů. Ta má pouze dvě řešení. Pokud začneme počet hráčů zvyšovat, získáme mnohem více řešení. Například hra o třech hráčích přinese pět možných řešení. První hráč s druhým, první s třetím, třetím, druhý s třetím, všichni tři a každý sám. Celkový počet koalic lze vypočítat jako . Každý hráč tak může být členem koalic. Příklad: Pokud máme tři hráče, je celkem možných pět různých řešení, ale sedm koalic. Dosadíme-li Dosadíme do
3
vzorce za N=3, získáme celkem sedm koalic, protože jednou z variant koalic je koalice kdy každý hraje sám za sebe, tedy tři jednotlivce, to lze zjednodušit na jedno řešení, pak tedy máme pouze pět řešení, ale sedm možných koalic. Ve hře s pěti hráči máme opět , tedy po dosazení N=5, získáme 31 možných koalic, ale pouze 27 možných řešení. Opět si zjednodušíme variantu, kdy hraje každý sám za sebe (pět koalic) na jedno řešení. Definujme základní předpoklady hry: • • • •
Volná disjunktní koaliční struktura => jsou přípustné přípustné jakékoliv koalice a hráč může být pouze členem jedné koalice. Hra s konstantním součtem => koalice bere vše a hráči mimo koalici tratí na úkor koalice => opakem je hra s nekonstantním součtem. Příkladem hry s konstantním součtem je například volební hra. hr Princip kolektivní racionality => v prvním kole by se měla sestavit koalice s největší celkovou výhrou. Princip skupinové stability => mezi hráče je vždy rozdělena celá výhra koalice; každá podkoalice musí mít zajištěný minimální podíl, který je roven podílu, podílu, který si může zajistit vystoupením ze stávající koalice. Množina všech takových rozdělení se nazývá jádrem hry.
Speciálním případem kooperativních her jsou volební volební hry, které jsou pro pochopení nejlépe demonstrovatelné demonstrovatelné. Úkol: Nastudujte teorie formování koalic např. v kapitole 6 v DLOUHÝ M., FIALA P. Úvod do teorie her. 2. přepracované vydání. Praha 2009. VŠE – Oeconomica. ISBN 978-80 978 80-245-1609 1609-7. (nebo 1. vydání z roku 2007). 2007) Dále pak sami nastudujte co je to index síly. Rozšiřující text
Shrnutí Kontrolní otázky a úkoly
Studijní literatura
Pro podrobné nastudovaní si prostudujte kapitolu 6 v DLOUHÝ M., FIALA P. Úvod do teorie her. 2. přepracované vydání. Praha 2009. VŠE – Oeconomica. ISBN 978-80 978 80-245-1609--7. (nebo 1. vydání z roku 2007) Využijte databáze ProQuest a jako klíčová klíčová slova uvádějte "cooperative games" a z autorů například "Axelrod". V tomto tematickém bloku jsme se seznámili s kooperativní teorií. Nejprve pro dva hráče a následně pro více hráčů. Je obecně výhodnější kooperace nebo ne? Nalezněte v PD Games model, ve kterém lze k řešení použít kooperaci, respektive, který nakonec ke kooperaci povede. Jaké znáte teorie formování koalic? Základní literatura: literatura DLOUHÝ M., FIALA P. Úvod do teorie her. 2. přepracované vydání. Praha 2009. VŠE – Oeconomica. ISBN 978-80 978 80-245-1609 1609-7. (nebo 1. vydání z roku 2007) MAŇAS, M. Teorie her a konflikty zájmů. 1. vydání. Praha 2002. VŠE - Oeconomica. ISBN 80-24580 -0450-2. (nebo pozdější vydání) Dále doporučuji prostudovat:
4
BUCHANAN M. James. Politika očima ekonoma. Liberální institut, Praha 2002. 136s. ISBN: 80-86389-21-9. HEISSLER H, VALENČÍK R., WAWROSZ P. Mikroekonomie středně pokročilý kurz. Praha 2010. VŠFS – EUPRESS. NOVÁK, M. 2000. „The Relevance of Small Parties: From a General Framework to the Czech‚ Opposition Agreement‘“. Czech Sociological Review, 8, 1: 27–47. PELEG, BEZALEL. SUDHÖLTER, PETER. Introductionto the Theory of Cooperative Games. Springer Berlin Heidelberg New York 2007. ISBN: 978-3-540-72944-0. SARTORI, GIOVANNI. Strany a stranické systémy; Schéma pro analýzu. CDK, Brno 2005. ISBN: 80-7325-062-4.
5
