– 11. cvičení –
Klopení nosníků Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.).
Obr. – Ilustrace klopení
Obr. – Ohýbaný prut a tvar jeho ztráty stability Ohýbané pruty (nosníky) se posuzují na klopení podle podmínky
M Sd ≤ M b, Rd
,
kde MSd ..... návrhový ohybový moment, Mb,Rd ... momentová únosnost při klopení, která se vypočte
–1–
M b , Rd = χ LT ⋅
M b , Rd = χ LT ⋅
W pl ⋅ f y
γ M1
Wel ⋅ f y
γ M1
pro průřezy tříd 1 a 2, pro průřezy třídy 3,
kde Wpl, Wel ... plastický a pružný průřezový modul, fy ............. mez kluzu, γM1 .......... dílčí součinitel spolehlivosti materiálu, χLT .......... součinitel vzpěrnosti při klopení. Součinitel vzpěrnosti při klopení se určí z výrazu 1 χ LT = , s omezením χLT ≤ 1,0, 2 2 φ + φ − λ LT
[
]
2 , kde φ = 0,5 ⋅ 1 + α1 ⋅ (λ LT − 0,2 ) + λ LT a to na základě – poměrné štíhlosti při klopení λ LT a – křivky vzpěrné pevnosti. Poznámka – Metodika výpočtu součinitele klopení χLT je shodná se stanovením součinitele vzpěrného tlaku χ, číselné hodnoty se mohou brát tedy ze stejné tabulky.
Přiřazení křivek vzpěrné pevnosti k průřezům je následující: – pro válcované profily se uvažuje vzpěrná křivka a, – v ostatních případech se uvažuje vzpěrná křivka c. Odpovídající součinitele imperfekce α1 uvádíme v tab. Tab. – Součinitel imperfekce Vzpěrná křivka
a
c
α1
0,21
0,49
Poměrná štíhlost při klopení závisí (kromě uspořádání průřezu) na těchto faktorech: • vzpěrné délky Lz, Lω, • působiště (příčného) zatížení ez, • tvar momentového obrazce.
–2–
Zavádějí se dvě vzpěrné délky: Lz ........ vzpěrná délka pro vybočení tlačeného pásu z roviny ohybu – bere se jako vzdálenost průřezů zajištěných proti vybočení, u konzoly s volným koncem (nezajištěným proti vybočení) se uvažuje jako dvojnásobek jejího vyložení, Lω ....... vzpěrná délka pro zkroucení celého nosníku – byla vysvětlena v rámci vzpěrného tlaku. Obecně platí, že čím je vzpěrná délka větší, tím je únosnost při klopení menší.
Obr. – Působiště příčného zatížení
Obr. – Vliv působiště zatížení
–3–
Poloha zatížení se udává vzdáleností ez měřenou od středu smyku Cs. Kladnými hodnotami ez se označuje příznivý vliv polohy zatížení, záporným hodnotám ez odpovídá nepříznivý vliv (viz obr.). Je třeba si uvědomit, že na vybočeném prutu vyvolává příčné zatížení (vzhledem ke středu smyku) přídavný krouticí moment, který (v závislosti na poloze zatížení) působí buďto příznivě (tzn. zmenšuje pootočení průřezu) anebo nepříznivě (tzn. zvětšuje pootočení průřezu). Při působení jen koncových momentů se bere ez = 0. Stručně k momentovému obrazci – Nejnepříznivější případ představuje konstantní moment po celé délce nosníku. Ve všech ostatních případech (parabola, trojúhelník apod.) je namáhání příznivější, neboť části nosníku jsou méně využité. Podrobnosti uvedeme posléze. Výpočet podle kritické štíhlosti ve smyslu přílohy G k ČSN 73 1401
Poměrná štíhlost při klopení se stanoví podle výrazu λ W pl pro průřezy tříd 1 a 2, λ LT = λ1 Wel
λ LT =
λ λ1
pro průřezy třídy 3,
kde λ ................... kritická štíhlost při klopení, λ1 = 93,9 ε ... srovnávací štíhlost,
ε=
235 . fy
Pro průřezy alespoň jednoose symetrické, s osou symetrie shodnou s rovinou zatížení (viz obr.), se kritická štíhlost (pro ohyb v rovině větší tuhosti) stanoví podle výrazu κ ⋅L λ =γ ⋅ M z , i z1 kde Lz ........ vzpěrná délka tlačeného pásu pro vybočení z roviny ohybu, iz1 ........ poloměr setrvačnosti tlačeného pásu, κM ....... součinitel vzpěrné délky při klopení, γ.......... součinitel štíhlosti při klopení.
–4–
Obr. – Jednoose symetrický průřez zatížený v rovině symetrie Poloměr setrvačnosti tlačeného pásu je dán vztahem Iz i z1 = ⋅ z1 ⋅ ai , Iy kde Iy > Iz .... momenty setrvačnosti průřezu k hlavním setrvačným osám, z1 .......... vzdálenost těžiště tlačené pásnice od těžiště průřezu Cg, ai = max { a1 ; a2 }, a1 .......... vzdálenost těžiště tlačené pásnice od středu smyku Cs, a2 .......... vzdálenost těžiště tažené pásnice od středu smyku Cs (viz obr.). Součinitel vzpěrné délky κM vystihuje tvar momentového obrazce (viz tab.). Tab. – Součinitel κM Momentová plocha
κM
Momentová plocha
κM
1,00
1,00
0,94
0,86
0,86
0,65
–5–
Součinitel štíhlosti lze určit podle výrazu 1 , γ= 2 2 ⎛ a + ez ⎞ ⎛ C ⎞ a + ez ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ κ ⋅ c κ⋅ c ai a i ⎝ ⎠ ⎝ ai ⎠
kde ez ............ vzdálenost působiště zatížení od středu smyku Cs, ac ............ vzdálenost středu smyku Cs od bodu Cw ležícího v polovině teoretické výšky průřezu h0, která je kladná, je-li tlačen silnější pás, ai............. větší ze vzdáleností a1, a2 (viz obr.), κ=1 pro prut namáhaný jen koncovými momenty, κ = 0,5 pro prut příčně zatížení,
kde α t =
Lz h0
2
⎞ ⎛ 2α t ⎟⎟ + ⎜ ⎠ ⎝ π GI t L It = 0,62 z EI z h0 I z
⎛L h C = 0 ⋅ δ 2 ⋅ ⎜⎜ z 2 ⎝ Lω
2
⎞ ⎟ , ⎠
...parametr kroucení,
2 Iω ..............................parametr deplanace, h0 I z kde Lz ........ vzpěrná délka tlačeného pásu pro vybočení z roviny ohybu, Lω ....... vzpěrná délka nosníku při zkroucení, h0 ........ teoretická výška průřezu, Iz ......... moment setrvačnosti k měkké ose, It ......... moment tuhosti v prostém kroucení, Iω ........ výsečový moment setrvačnosti, E......... modul pružnosti v tahu, tlaku, G ........ modul pružnosti ve smyku.
δ=
Obr. – Jednoose symetrický průřez zatížený v rovině symetrie
–6–
Pro průřezy s osou symetrie kolmou k rovině zatížení (viz obr.) lze kritickou štíhlost při klopení λ stanovit rovněž podle uvedených vztahů, přičemž součinitel štíhlosti γ se určí pro parametr αte (místo αt) podle výrazu 2
(
)
⎛π⎞ α te = α − ⎜ ⎟ 1 − δ 2 . ⎝2⎠ Poznámka – Lze ověřit, že pro dvouose symetrický průřez platí δ = 1 ⇒ αte = αt. 2 t
Obr. – Jednoose symetrické průřezy zatížené kolmo k rovině symetrie Výpočet podle kritického momentu ve smyslu ENV 1993-1-1 (eurokódu)
Poměrná štíhlost při klopení se stanoví podle výrazu W pl f y λ LT = pro průřezy tříd 1 a 2, M cr
λ LT =
Wel f y
pro průřezy třídy 3, M cr kde Mcr ...... pružný kritický moment. Pro dvouose symetrické průřezy (viz obr.) se kritický moment určí podle výrazu 2 ⎡ ⎤ π 2 EI z ⎢ ⎛ Lz ⎞ I ω L2z GI t 2 + 2 + (C 2 e z ) + C 2 e z ⎥ , M cr = C1 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎢ ⎝ Lω ⎠ I z π EI z ⎥ Lz ⎣ ⎦ kde Lz ............ vzpěrná délka tlačeného pásu pro vybočení z roviny ohybu, Lω ........... vzpěrná délka nosníku při zkroucení, ez ............ vzdálenost působiště zatížení od středu smyku Cs, Iz ............. moment setrvačnosti k měkké ose, It ............. moment tuhosti v prostém kroucení, Iω ............ výsečový moment setrvačnosti, –7–
E ............. modul pružnosti v tahu, tlaku, G ............ modul pružnosti ve smyku. C1, C2 ..... součinitele vystihující tvar momentového obrazce (viz tab.).
Obr. – Dvouose symetrický průřez Tab. – Součinitele C1, C2 Momentová plocha
C1
C2
1,000
Momentová plocha
C1
C2
0,410
1,000
0,410
1,132
0,459
1,365
0,553
1,365
0,553
Kdy se klopení nemusí ověřovat
Ohýbaný prut nemusí být posuzován na klopení, je-li splněna některá z následujících podmínek: • průřez prutu je tuhý v kroucení (např. uzavřený nebo plný průřez); • nosník je ohýbán v rovině menší tuhosti; • tlačený pás je spojitě zajištěn proti vybočení z roviny ohybu; • tlačený pás je zajištěn proti vybočení nespojitě, a to ve vzdálenostech Lz < 40 iz1 (kde Lz je vzpěrná délka tlačeného pásu pro vybočení z roviny ohybu a iz1 poloměr setrvačnosti tlačeného pásu). –8–
Příklad 1 (podle kritické štíhlosti)
Zadání. Posuďte válcovaný nosník o rozpětí L = 5 m při rovnoměrném zatížení q = 3,0 kN/m' na klopení (viz obr.). Nosník je průřezu I 160 z oceli S 235, zatížení působí na horním pásu. Podepření v ohybu i kroucení je na obou koncích kloubové, tlačený pás je zabezpečen proti vybočení pouze v podporách.
Řešení K výpočtu použijeme (pro ocel S 235) následující materiálové charakteristiky: fy = 235 MPa, γM1 = 1,15. Některé hodnoty průřezových charakteristik přebíráme ze statických tabulek: Iy = 9,35 . 106 mm4, Iω = 3,14 . 109 mm6, Iz = 547 . 103 mm4, Wpl,y = 136 . 103 mm3, It = 65,7 . 103 mm4, Wel,y = 117 . 103 mm3; ostatní stanovíme jednoduchými počty (pro dvouose symetrický průřez): h0 = h – tf = 160 – 9,5 = 150,5 mm … teoretická výška průřezu, ai = a1 = a2 = h0 / 2 = 150,5 / 2 = 75,25 mm … vzdálenost těžiště tlačené, resp. tažené pásnice od středu smyku Cs, z1 = h0 / 2 = 150,5 / 2 = 75,25 mm … vzdálenost těžiště tlačené pásnice od těžiště průřezu Cg, ac = 0 … vzdálenost středu smyku Cs od bodu Cw ležícího v polovině teoretické výšky průřezu h0, i z1 =
Iz 547 ⋅ 10 3 ⋅ z1 ⋅ ai = ⋅ 75,25 ⋅ 75,25 = 18,20 mm Iy 9,35 ⋅ 10 6
… poloměr setrvačnosti tlačeného pásu.
–9–
Uprostřed rozpětí určíme návrhový ohybový moment 1 1 M Sd = ⋅ q ⋅ L2 = ⋅ 3,0 ⋅ 5 2 = 9,38 kNm , 8 8 máme tedy prokázat podmínku spolehlivosti M Sd ≤ M b, Rd . Klasifikaci průřezu nepředvádíme – lze snadno ověřit, že průřez I 160 spadá do třídy 1. Potom momentová únosnost při klopení je dána vztahem W pl ⋅ f y M b , Rd = χ LT ⋅ .
γ M1
• • • • • • •
Součinitel vzpěrnosti při klopení χLT stanovíme následujícím postupem: stanovíme vzpěrné délky Lz, Lω, určíme vzdálenost ez udávající polohu zatížení, průběh ohybového momentu vyjádříme součiniteli κM, κ, stanovíme kritickou štíhlost při klopení λ, určíme poměrnou štíhlost při klopení λ LT , přiřadíme křivku vzpěrné pevnosti, určíme součinitel klopení χLT. Vzpěrné délky stanovíme podle podmínek uložení prutu (viz obr.). Takže Lz = 5000 mm, Lω = 5000 mm.
Zatížení má své působiště na horním pásu (viz obr.), jeho vliv na klopení je nepříznivý. Tedy ez = – h / 2 = – 160 / 2 = – 80 mm. Součinitele κM, κ bereme následovně: κM = 0,94 (pro parabolický průběh ohybového momentu), κ = 0,5 (pro příčné zatížení prutu).
– 10 –
Kritickou štíhlost při klopení λ stanovíme podle – parametru kroucení
Lz I t 5000 65,7 ⋅ 103 = 0,62 ⋅ ⋅ α t = 0,62 = 7,14 , 150,5 547 ⋅ 103 h0 I z – parametru deplanace 2 δ= h0 Vyčíslíme
Iω 2 3,14 ⋅ 10 9 = ⋅ = 1. I z 150,5 547 ⋅ 103
⎛L h C = 0 ⋅ δ 2 ⋅ ⎜⎜ z 2 ⎝ Lω
2
2
⎞ ⎛ 2α t ⎞ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ = π ⎝ ⎠ ⎠ 2
2
150,5 ⎛ 5000 ⎞ ⎛ 2 ⋅ 7,14 ⎞ = ⋅ 12 ⋅ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 350 mm , 2 ⎝ 5000 ⎠ ⎝ π ⎠ takže součinitel štíhlosti 1 = γ= 2 2 ⎛ a + ez ⎞ ⎛ C ⎞ a + ez ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ κ⋅ c + ⎜⎜ κ ⋅ c ai a i ⎠ ⎝ ai ⎠ ⎝ 1
=
2
0 − 80 0 − 80 ⎞ ⎛ 350 ⎞ ⎛ + ⎜ 0,5 ⋅ ⎟ +⎜ ⎟ 75,25 75,25 ⎠ ⎝ 75,25 ⎠ ⎝ Kritická štíhlost při klopení je tedy κ ⋅L 0,94 ⋅ 5000 λ = γ ⋅ M z = 0,491 ⋅ = 127 . i z1 18,20 0,5 ⋅
– 11 –
2
= 0,491 .
Následuje výpočet poměrné štíhlosti (pro průřez třídy 1) 136 ⋅ 10 3 λ W pl 127 = ⋅ = 1,46 , λ LT = λ1 Wel 93,9 117 ⋅ 10 3 kde λ1 = 93,9 ε = 93,9 je srovnávací štíhlost,
ε=
235 = 1,0 . fy
Nyní přiřadíme vzpěrnou křivku – pro válcovaný profil se bere křivka a ⇒ které přísluší součinitel imperfekce α1 = 0,21. Konečně stanovíme součinitel vzpěrnosti při klopení 1 1 χ LT = = = 0,390 , 2 1,698 + 1,698 2 − 1,46 2 φ + φ 2 − λ LT
[
]
[
]
2 kde φ = 0,5 ⋅ 1 + α1 ⋅ (λ LT − 0,2 ) + λ LT = 0,5 ⋅ 1 + 0,21 ⋅ (1,46 − 0,2 ) + 1,46 2 = 1,698 .
Momentová únosnost při klopení W pl ⋅ f y 136 ⋅ 10 3 ⋅ 235 M b , Rd = χ LT ⋅ = 0,390 ⋅ = 10,84 kNm ≥ 1,15 γ M1 ≥ M Sd = 9,38 kNm ⇒ vyhovuje. Příklad 2 (podle kritického momentu)
Zadání. Posuďte válcovaný nosník o rozpětí L = 5 m při rovnoměrném zatížení q = 3,0 kN/m' na klopení (viz obr.). Nosník je průřezu I 160 z oceli S 235, zatížení působí na horním pásu. Podepření v ohybu i kroucení je na obou koncích kloubové, tlačený pás je zabezpečen proti vybočení pouze v podporách.
– 12 –
Poznámka – Zadání je stejné jako v příkladu č. 1. Řešení K výpočtu použijeme (pro ocel S 235) následující materiálové charakteristiky: E = 210 000 MPa, G = 81 000 MPa, fy = 235 MPa, γM1 = 1,15. Hodnoty průřezových charakteristik přebíráme ze statických tabulek: Iz = 547 . 103 mm4, Iω = 3,14 . 109 mm6, It = 65,7 . 103 mm4, Wpl,y = 136 . 103 mm3,
Uprostřed rozpětí určíme návrhový ohybový moment 1 1 M Sd = ⋅ q ⋅ L2 = ⋅ 3,0 ⋅ 5 2 = 9,38 kNm , 8 8 máme tedy prokázat podmínku spolehlivosti M Sd ≤ M b, Rd . Klasifikaci průřezu nepředvádíme – lze snadno ověřit, že průřez I 160 spadá do třídy 1. Potom momentová únosnost při klopení je dána vztahem W pl ⋅ f y M b , Rd = χ LT ⋅ .
γ M1
• • • • • • •
Součinitel vzpěrnosti při klopení χLT stanovíme následujícím postupem: stanovíme vzpěrné délky Lz, Lω, určíme vzdálenost ez udávající polohu zatížení, průběh ohybového momentu vyjádříme součiniteli C1, C2, stanovíme kritický moment Mcr, určíme poměrnou štíhlost při klopení λ LT , přiřadíme křivku vzpěrné pevnosti, určíme součinitel klopení χLT.
– 13 –
Vzpěrné délky stanovíme podle podmínek uložení prutu (viz obr.). Takže Lz = 5000 mm, Lω = 5000 mm. Zatížení má své působiště na horním pásu (viz obr.), jeho vliv na klopení je nepříznivý. Tedy ez = – h / 2 = – 160 / 2 = – 80 mm.
Součinitele C1, C2 bereme pro parabolický průběh ohybového momentu: C1 = 1,132, C2 = 0,459. Stanovíme tedy kritický moment 2 ⎡ ⎤ π 2 EI z ⎢ ⎛ Lz ⎞ I ω L2z GI t 2 + + (C 2 e z ) + C 2 e z ⎥ = ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ M cr = C1 ⎢ ⎝ Lω ⎠ I z π 2 EI z ⎥ L2z ⎣ ⎦ π 2 ⋅ 210 000 ⋅ 547 ⋅ 103 = 1,132 ⋅ ⋅ 5000 2 ⎡ ⎛ 5000 ⎞ 2 3,14 ⋅ 10 9 5000 2 ⋅ 81 000 ⋅ 65,7 ⋅ 10 3 ⎤ 2 ⎥= ( ( ) ) ( ) + + ⋅ − + ⋅ − ⋅⎢ ⎜ 0 , 459 80 0 , 459 80 ⎟ ⋅ 3 π 2 ⋅ 210 000 ⋅ 547 ⋅ 10 3 ⎢⎣ ⎝ 5000 ⎠ 547 ⋅ 10 ⎥⎦
= 51,33 ⋅ 10 3 ⋅
( 5,74 ⋅ 10
3
)
+ 117,35 ⋅ 103 + 1,35 ⋅ 10 3 − 37 = 16,2 kNm .
Následuje výpočet poměrné štíhlosti (pro průřez třídy 1) W pl f y 136 ⋅ 10 3 ⋅ 235 λ LT = = = 1,40 . M cr 16,2 ⋅ 10 6
– 14 –
Nyní přiřadíme vzpěrnou křivku – pro válcovaný profil se bere křivka a ⇒ které přísluší součinitel imperfekce α1 = 0,21. Konečně stanovíme součinitel vzpěrnosti při klopení 1 1 χ LT = = = 0,418 , 2 1,606 + 1,606 2 − 1,40 2 φ + φ 2 − λ LT
[
]
[
]
2 kde φ = 0,5 ⋅ 1 + α1 ⋅ (λ LT − 0,2) + λ LT = 0,5 ⋅ 1 + 0,21 ⋅ (1,40 − 0,2 ) + 1,40 2 = 1,606 .
Momentová únosnost při klopení W pl ⋅ f y 136 ⋅ 103 ⋅ 235 M b , Rd = χ LT ⋅ = 0,418 ⋅ = 11,62 kNm ≥ γ M1 1,15 ≥ M Sd = 9,38 kNm ⇒ vyhovuje. Závěrečná poznámka
V zájmu dodržení litery citované normy poopravíme matematický zápis některých veličin. Momentová únosnost při klopení se píše ve tvaru βW ⋅ W pl ⋅ f y M b , Rd = χ LT ⋅ ,
γ M1
kde βW = 1 pro průřezy tříd 1 a 2, βW = Wel / Wpl pro průřezy třídy 3, βW = Weff / Wpl pro průřezy třídy 4, kde Weff je tzv. efektivní průřezový modul; dále pro poměrnou štíhlost při klopení platí vztah βW W pl f y λ βW W pl = . λ LT = Wel M cr λ1
– 15 –
