Normálová napětí při ohybu
ohýbaný nosník: My → σx
Vz → τxz x
/Mmax /= MEd -
M
-
tažená
tlačená
tažená
+
vlákna
tlačená
Wy =
tlačená
tažená
σx σx = ⋅ z napětí normálové Iy
Iy
⋅e =
My
x
edol
y neutr.osa z
σx = 0
M Rd ≥ M Ed M Rd = fyd
Wy
ehor
My
Iy e
[m ] 3
Mezní stav únosnosti
My
σ x ,max =
Průřezová charakteristika pro normálová napětí za ohybu je moment setrvačnosti Iy nebo z něj odvozený modul průřezu
σhor z
σdol
Iy e
= fyd .W y
ocel : σ dov = f yd =
obecně : σ dov = f d =
f yk
γM fk
γM
Modul průřezu:
Wy =
Iy e
[m3]
M σ hor= (tlak ) Whor ehor
y
edol z x
x h
M σ dol= (tah) Wdol
l
Moment setrvačnosti Iy - jednoduché obrazce - tabulky - složené obrazce - výpočet 1 I = bh 3 [m4] πd 4 πr 4 [m4] I= = 12
64
⇒W=
1 2 bh [m3] 6
I=
4
πd 3 πr ⇒W= = 32 4
3
[m3]
1 4 a [m4] 12
1 ⇒ W = a 3 [m3] 6
Deformace = průhyb a úhel natočení - více v dalších cvičeních
Výpočet průřezových charakteristik 160 16
T1
220 ⋅10 ⋅110 + 160 ⋅16 ⋅ 228 = (220 ⋅10 + 160 ⋅16 ) zT
T2
228
T 110 zT
z2
220
z1
1.) Určení polohy těžiště vzhledem k y
y
zT =
220 ⋅10 ⋅110 + 160 ⋅16 ⋅ 228 220 ⋅10 + 160 ⋅16
10
z
zT = 173,46mm
2.) Vzdálenost těžiště jednotlivých obrazců od celkového těžiště: z1 = 228 − zT = 54 ,54mm z 2 = zT − 110 = 63,46mm
Výpočet průřezových charakteristik
3.) Momenty setrvačnosti vzhledem k těžištním osám
160 T1
228
110 zT
z2
z1
16 220
T T2
1 1 b1h13 + b1h1 z12 + b2 h23 + b2 h2 z 22 12 12 1 1 = 160 ⋅163 + 160 ⋅16 ⋅ 54 ,54 2 + 10 ⋅ 2203 + 10 ⋅ 220 ⋅ 64 ,46 2 12 12 = 2 ,54027 ⋅10 7 mm 4 == 2 ,54027 ⋅10 −5 m 4 Iy =
y
10
z
4.) Průřezový modul ke krajním vláknům.
W y ,h = W y ,d =
Iy eh Iy ed
= =
2 ,54027 ⋅ 107 62 ,54 2 ,54027 ⋅ 107 173,46
= 4 ,0618 ⋅ 105 mm 3 = 1,4644 ⋅ 105 mm 3
Příklad 1 Určete velikost maximálního normálového napětí v horních a dolních vláknech prostého nosníku. Průřez nosníku je tvořen svařovaným T profilem. gk = 7 kNm-1 stálé zatížení, γG=1,2 pk = gk+qk qk = 1 kNm-1 proměnné zat., γQ=1,4 pd = gd+qd pásnice (160 x 16) l=6m T
V
zT
stojina (10 x 220) M
zw yT
Mmax= MEd
=44,1kNm
zf
Příklad 1 Určete velikost maximálního normálového napětí v horních a dolních vláknech prostého nosníku. Průřez nosníku je tvořen svařovaným T profilem. gk = 7 kNm-1 stálé zatížení, γG=1,2 pk = gk+qk qk = 1 kNm-1 nahodilé zat., γQ=1,4 pd = gd+qd pásnice (160 x 16) l=6m T
zT
stojina (10 x 220)
1)
Statický rozbor → průběhy N,V,M
2)
Určit Mmax =MEd
3)
Průřezové charakteristiky (Wyd, Wyh~σxd, σxh)
4)
Vlákna tažená x tlačená
zw yT
zf
Příklad 1 Určete velikost maximálního normálového napětí v horních a dolních vláknech prostého nosníku. Průřez nosníku je tvořen svařovaným T profilem. Průběhy napětí po výšce průřezu v místě Mmax
Wy,h =
Iy eh
-108,6 MPa eh neutr.osa →σ=0
T
Wy,d = V
Iy
ed
ed 301,1 MPa
+ -
M
Znaménko u napětí určíme z momentového obrazce (vlákna tažená / tlačená)
+
σ max,h = σ max,d =
MEd W y,h = 108,6 MPa
MEd W y,d
= 301,1 MPa
Wy,h = 4,062.10-4m3 Wy,d = 1,464.10-4m3
Příklad 1
– kombinace účinků
K danému spojitému rovnoměrnému zatížení přidejte osovou sílu Fd = 100kN.
pk = gk+qk pd = gd+qd Fd = 100kN
σ max,h,M =
l=6m
M Ed Wy,h
σN =
-108,6
N N=-100kN
V
Průběhy napětí po výšce průřezu v místě Mmax:
N A
σ celkové = σ M + σ N -21,00
T
neutr.osa 301,1
σ max,d,M
M Mmax= MEd= 44,1kNm
-129,60
M = Ed Wy,d
-21,00 280,1
Příklad 2 Navrhněte a posuďte ocelový nosník z válcovaného I profilu. qk = 7,5 kNm-1
Fe 360/S235 γM=1,15 γQ=1,4
6
f yd =
MEd,max Wy ,nut
1,5 1)
⇒Wy ,nut 2) Průběh V, M
Wy,skut z tabulek
MRd = f yd ⋅Wy ,skut
M Rd ≥ M Ed
Výpočet reakcí Ra, Rb
2 extrémy 3) Stanovení Mmax= MEd =41,53 kNm 4)
5)
Nutný průřezový modul Wy,nut. =2,032.10-4m3 Průřezový modul Wy,skut =2,14.10-4m3 (I200)
6)
Maximální únosnost v ohybu MRd
7)
Posouzení
→vyhoví
=43,73 kNm
Příklad 3 Navrhněte a posuďte ocelový nosník kruhového průřezu, γM=1,15. Spočítejte napětí v krajních vláknech nad levou podporou σa a v místě Mmax - v poli, vykreslete průběhy napětí v určených místech. Fe430 / S275 qk = 1,25 kNm-1 (proměnné zat., γQ=1,4 ) a
1
Wy ,dol = Wy ,hor =
b
3
0,5
π .d 3 32
MEd=Mmax=Mv poli=1,44kNm …počítám 3x extrém Wynut=6,0.10-6m3
V bodě a:
dnut=39,4mm
σa,horní= +139MPa
navrhuji dskut=40mm
σa,dolní= -139MPa
Wyskut=6,28.10-6m3 MRd=1,503kNm vyhoví
V poli:
tažená
tlačená
σv poli,horní= -227,7MPa σv poli,dolní= +227,7MPa
tlačená tažená
(Raz=4,59375kN, Rbz=3,28125kN,xn=1,625 od a)
Příklad 4
úkol
Posuďte ocelový nosník zatížený podle obrázku, γM=1,15, γQ=1,4, γG=1,2, Určete hodnoty napětí v krajních vláknech v místě Mmax.
qk = 5 kNm-1 (stálé zat.) 2
Fe360 / S235
Fk (proměnné zat.)
Fk= 18 kN
2
U 160
2 T
V
I 240
Iy=7,3482.10-5m4 Wyh=5,3396.10-4m3, Wyd=4,390.10-4m3
M
Mmax= MEd
MEd=77,4kNm
MRd=89,71kNm
Příklad 5
úkol
Název: Návrh a posudek plnostěnného ohýbaného nosníku Navrhněte a posuďte nosník zatížený proměnným zatížením podle obr. Nosník má průřez
γQ= 1,4 γM0= 1,15
, je z oceli Fe360 / S235. qk= 3,0 kNm-1 Med =7,008kNm Wynut pro2U=3,43.10-5m3 Wynut pro1U=1,71.10-5m3
l = 5,1 m
→U65 MRd=7,23kNm vyhoví
Příklad 6
úkol – kombinace účinků a1 , c1 -horní hrana x
a
F1
b2 , c2 -horní čtvrtina
y
a3 , c3 -osa prutu b4 , c4 -dolní čtvrtina
b
F2 1m
100
q
1m
c5
z
-dolní hrana
gd = 10 kNm-1 F1d = 7,5 kN F2d = 10 kN místo c je v Mmax
50
U daného nosníku vyřešte: • Statický rozbor • Průběhy N, V, M • Hodnoty napětí v daných bodech (včetně názvu a jednotek) od všech vnitřních sil, které jsme dosud probírali • normálová napětí sečtěte • Průběhy napětí vykreslete a vyznačte v průbězích počítanou hodnotu • Vyznačte polohu neutrálné osy ve všech třech místech a, b, c • Zadané body: a1, a3, b2, b4, v místě c (Mmax) ve všech úrovních 1-5
