i
UU No 19 Tahun 2002 Tentang Hak Cipta Fungsi dan Sifat hak Cipta Pasal 2 1. Hak Cipta merupakan hak eksklusif bagi pencipta atau pemegang Hak Cipta untuk mengumumkan atau memperbanyak ciptaannya,yang timbul secara otomatis setelah suatu ciptaan dilahirkan tanpa mengurangi pembatasan menurut peraturan perundang-undangan yang berlaku.
1.
1.
2.
Hak terkait Pasal 49 Pelaku memiliki hak eksklusif untuk memberikan izin atau melarang pihak lain yang tanpa persetujuan membuat, memperbanyak, atau menyiarkan rekaman suara dan/atau gambar pertunjukannya. Sanksi Pelanggaran Pasal 72 Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak melakukan perbuatan sebagaimana dimaksud dalam pasal 2 ayat (1) atau pasal 49 ayat (2) dipidana dengan pidana penjara masing-masing paling singkat 1 (satu) bulan dan/atau paling sedikit Rp. 1.000.000,00 /satu juta rupiah) atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah). Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam ayat (1), dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 500.000.000,00 (lima miliar rupiah)
ii
iii
iv
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan yang telah melimpahkan RahmatNya, sehingga buku dengan judul “STATISTIKA UNTUK PENELITIAN” ini dapat diselesaikan. Buku ini membahas mengenai metode statistika, mulai dari pengertian statistik dan statistika, statistika deskriptif, statistika inferensia sampai dengan regresi non linier Di dalam buku ini, metode statistika disajikan sedemikian rupa sehingga mudah dipahami dan dimanfaatkan oleh pembaca dari berbagai displin ilmu. Definisi dan rumusrumus yang digunakan dalam buku ini diadopsi dari buku-buku yang tercantum dalam daftar pustaka. Keunggulan buku ini adalah pemahaman konsep statistika yang disajikan secara ringkas dan mudah dimengerti. Dalam proses penyelesaian buku ini, banyak pihak telah memberikan bantuan yang sangat berarti, baik dalam bentuk material maupun non-material. Oleh sebab itu, dengan segala kerendahan hati, penulis menyampaikan ucapan terima kasih Penulis tidak dapat membalas budi baik dari Bapak, Ibu, dan saudara-saudara sekalian, namun penulis yakin bahwa Tuhan akan membalas semuanya indah pada waktunya. Dengan kerendahan hati, penulis persembahkan buku ini kepada segenap pembaca, semoga dapat berguna bagi perkembangan ilmu. Saran, masukan dan kritik yang membangun dari berbagai pihak sangat penulis harapkan. Klaten, Desember 2014 Penulis
Theresia Kriswianti N
v
PERSEMBAHAN Kupersembahkan karya ini kepada: Suami tercinta: Dr. D.S. Nugroho Hadi Sp.A Ketiga putra tersayang: Lukas Chrisantyo Adhyatmoko Ari Nugroho S.Kom, M.Kom Dr. Daniel Chriswinanto Adityo Nugroho Emmanuel Chriswidiyanto Aryo Nugroho Dan Segenap Civitas Akademika Universitas Widya Dharma Klaten
vi
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ....................................................... v PERSEMBAHAN .............................................................. vi DAFTAR ISI ...................................................................... vii BAB I. PENDAHULUAN ................................................. 1 A. Pengertian Statistik dan Statistika ....................... 1 B. Peranan Statistika dalam Penelitian .................... 3 C. Macam Data Penelitian ....................................... 4 D. Populasi dan Sampel .......................................... 6 BAB II. PENYAJIAN DATA ........................................... 7 A. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel ................... 7 B. Penyajian Data dalam Bentuk Grafik ................. 9 BAB III. STATISTIKA DESKRIPTIF A. Ukuran Tendensi Sentral ..................................... 16 B. Kemiringan .......................................................... 23 C. Keruncingan ........................................................ 24 D. Nilai Standard ..................................................... 28 E. Uji Normalitas ..................................................... 31 BAB IV. UJI HIPOTESIS ................................................ 37 A. Uji Hipotesis Mean .............................................. 38 B. Interval Konfidensi ............................................. 39 C. Uji Beda Mean ..................................................... 41 D. Uji Homogenitas ................................................. 44 BAB V. UJI PROPORSI ................................................... 49 A. Untuk satu Populasi ............................................. 49 B. Uji Beda Proporsi untuk Dua Populasi ............... 50 vii
C. Uji Beda Proporsi Untuk > Dua Populasi ............ 52 D. Uji Independensi ................................................. 53 BAB VI. ANALISIS VARIANSI ...................................... 57 A. Analisis Variansi Satu Jalan ................................ 57 B. Analisis Variansi Dua Jalan Tanpa Interaksi ...... 61 C. Analisis Variansi Dua Jalan Dengan Interaksi .... 64 D. Analisis Variansi Dua Jalan SelTak Sama .......... 70 BAB VII. ANALISIS KORELASI DAN REGRESI ...... 83 A. Analisis Korelasi ................................................. 83 B. Analisis Regresi .................................................. 87 C. Uji Linieritas ....................................................... 98 BAB VIII. REGRESI NON LINIER ............................... 103 A. Trend Parabola .................................................... 103 B. Trend Eksponensial ............................................. 105 DAFTAR PUSTAKA ......................................................... 111 LAMPIRAN ....................................................................... 113 TENTANG PENULIS ........................................................ 121
viii
BAB I PENDAHULUAN Dalam dekade terakhir ini, penelitian di berbagai bidang ilmu semakin digiatkan. Dalam penelitian, terutama penelitian kuantitatif sangat dibutuhkan statistika, baik untuk validasi instrumen pengumpulan data, untuk penyajian data maupun untuk analisis data atau membuat inferensi. Sebelumnya akan dijelaskan dulu beda antara statistik dan statistika. A. Pengertian Statistik dan Statistika Pengertian statistik seperti yang ditulis oleh Sudjana adalah: 1. Sekumpulan data, dalam bentuk bilangan maupun non bilangan yang disusun dalam tabel atau diagram yang menggambarkan suatu persoalan. 2. menyatakan ukuran sebagai wakil dari kumpulan mengenai suatu hal, berdasarkan perhitungan menggunakan sebagian data yang diambil dari keseluruhan tentang persoalan tersebut Contoh statistik, misal rata-rata, standard deviasi, modus, median, persen, statistik lahir mati. Dalam arti sempit statistik dapat diartikan sebagai data, tetapi dalam arti luas statistik dapat diartikan sebagai alat. Alat untuk analisis, dan alat untuk membuat keputusan. Sedangkan statistika, seperti yang ditulis oleh Sudjana, adalah: pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisisan dan penarikan kesimpulan berdasarkan sekumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan. Statistika dibedakan menjadi dua macam, yaitu : 1. Statistika Matematis/Statistika Teoritis: mempelajari penurunan sifat-sifat, dalil-dalil, rumus-rumus menciptakan model secara teoritis matematis. 2. Metoda Statistik/Statistika Terapan: mempelajari penggunaan aturan-aturan, rumus, sifat-sifat dan sebagainya yang diciptakan oleh statistika teoritis, digunakan dalam berbagai bidang pengetahuan Statistika terapan dapat dibedakan menjadi dua, yaitu statistika Deskriptif dan statistika Inferensial. Selanjutnya statistik inferensial dapat dibedakan menjadi statistik Parametris dan Non Parametris. Statistika deskriptif adalah cabang statistika yang
1
mempelajari cara pengumpulan, penyusunan, dan penyajian data. Statistik deskriptif merupakan statistik yang digunakan untuk menggambarkan atau menganalisis suatu statistik hasil penelitian, tetapi tidak digunakan untuk membuat kesimpulan yang lebih luas (generalisasi/inferensi). Statistik inferensial adalah statistik yang digunakan untuk menganalisis data sampel dan hasilnya akan digeneralisasikan (diinferensikan) untuk populasi dimana sampel diambil. Sebagai contoh, analisis korelasi dan regresi dapat berperan sebagai statistik inferensial. Terdapat dua macam statistik inferensial yaitu: statistik parametris dan non parametris. Statistik parametris digunakan untuk mengolah data interval atau rasio yang diambil dari populasi yang berdistribusi normal. Sedangkan statistik nonparametris terutama digunakan untuk menganalisis data nominal dan ordinal dari populasi yang bebas distribusi. Jadi tidak harus normal. Bermacam-macam statistik dapat digambarkan seperti pada gambar 1 berikut Statistika Matematis Statistik a
Deskriptif Metode Statistik a
parametris Inferensia l Non parametris
Gambar 1.1. Macam-macam Statistika
2
B. Peranan Statistika Dalam Penelitian Teori yang sudah ada
Masalah
ANALISIS DATA (DENGAN STATISTIKA)
Data dari lapangan
Hipotesis
Kesimpulan
TIDAK
Sesuai hipotesis YA Teori baru
Gambar 1.2 Peran Statistika Dalam Penelitian Dalam proses penelitian peranan statistika adalah sebagai : 1. Alat untuk menentukan besarnya anggota sampel yang diambil dari suatu Populasi. Dengan demikian jumlah sampel yang diperlukan lebih dapat dipertanggung jawabkan. 2. Alat untuk menguji validitas dan reliabilitas instrumen penelitian Sebelum instrumen penelitian digunakan untuk penelitian, maka harus diuji validitas dan reliabilitasnya terlebih dahulu. 3. Teknik-teknik untuk menyajikan data, sehingga data lebih komunikatif. Teknik-teknik, penyajian data ini antara lain berupa tabel, grafik, diagram lingkaran dan pictogram. 4. Alat untuk analisis data seperti menguji hipotesis penelitian yang diajukan. Dalam hal ini analisis yang digunakan antara lain : korelasi, regresi, t-tes, anova dll. C. Berbagai Macam Data Penelitian Data hasil penelitian dapat dikelompokkan menjadi 1. Data kategorik, misal gagal-berhasil, rusak – baik, senang, puas dll 2. Data kuantitatif
3
Data kuantitatif adalah data berbentuk bilangan, harganya berubahubah, atau bersifat kuantitatif atau data kualitatif yang diangkakan (scoring). Data kuantitatif dapat dikelompokkan menjadi dua macam : a. Data variabel diskrit adalah yang bisa dibilang atau didaftar. Data diskrit adalah data yang diperoleh dari hasil menghitung atau membilang, bukan mengukur. Misalnya banyak kursi ada 20, banyak siswa ada 15 dsb. Data ini sering disebut data nominal. Data nominal biasanya diperoleh dari penelitian yang bersifat ekploratif atau survey. b. Data variabel kontinu (data yang tidak diskrit) Data kontinu adalah data yang diperoleh dari hasil pengukuran. Data kontinu dapat dikelompok menjadi tiga yaitu 1). Data ordinal, Data ordinal adalah data yang dibuat berdasarkan pada pengurutan (order), datanya berjenjang, yang merupakan tingkatan dimulai dari yang paling rendah sampai paling tinggi (Suharjo, B). Sebagai contoh a) Data tingkat penghasilan penduduk, (1) rendah, (2) sedang, (3) tinggi. b) Data angket: (1) sangat setuju, (2) setuju, (3) ragu-ragu, (4) tidak setuju (5) sangat tidak setuju. 2). Data interval Data interval adalah objek yang mempunyai sifat-sifat ukuran ordinal yakni mengurutkan objek berdasarkan jenjangnya, ditambah dengan jarak yang sama pada pengukuran. Sebagai contoh: berat badan balita, diukur dari berat rata-rata atau dari berat minimal sesuai umur. 3). Data rasio. Data rasio adalah data yang jaraknya sama dan mempunyai nilai nol absolut. Jadi bila datanya nol berarti tidak ada apa-apanya. Hasil pengukuran panjang (M), berat (Kg) adalah contoh data rasio. Bila nol meter maka tidak ada panjangnya, demikian juga bila nol kg tidak ada beratnya. Data ini dapat disusun ke dalam data interval ataupun ordinal.
4
3. Data kualitatif: data yang bukan kuantitatif. Data kualitatif adalah data yang berbentuk kalimat, kata atau gambar. Bermacam-macam data seperti dikemukakan tersebut dapat digambarkan seperti gambar 3.
Kualitatif Data
Diskrit Ordinal
Kuantitatif Kontinu
Interval Rasio
Gambar 1.3. Macam-macam Data Penelitian D. POPULASI DAN SAMPEL Populasi adalah keseluruhan obyek yang akan diteliti (Suharjo, B), atau totalitas semua nilai yang mungkin dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas, yang ingin dipelajari sifatsifatnya. Populasi yang tidak diketahui dengan pasti jumlahnya disebut “populasi infinit” atau tak terbatas. Misal penduduk suatu negara, yang setiap waktu terus berubah jumlahnya. Sedangkan populasi yang jumlahnya diketahui dengan pasti disebut “populasi finit”, misal siswa suatu sekolah. Sampel adalah sebagian yang diambil dari populasi yang menjadi objek penelitian.
5
6
BAB II PENYAJIAN DATA Peneliti harus dapat menyajikan data yang telah diperoleh, baik yang diperoleh melalui observasi, wawancara, kuesioner (angket) maupun dokumentasi. Prinsip dasar penyajian data adalah komunikatif dan lengkap dalam arti data yang disajikan dapat menarik perhatian pihak lain untuk membacanya dan mudah memahami isinya. Penyajian data yang komunikatif dapat dilakukan dengan penyajian data yang dibuat berwarna dan bila data yang disajikan banyak, maka perlu bervariasi. Adapun penyajian data dapat berupa tabel dan grafik A. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL Penyajian data hasil penelitian dengan tabel merupakan penyajian yang banyak digunakan, karena lebih efisien dan cukup komunikatif. Terdapat dua macam tabel yaitu tabel distribusi frekuensi tunggal dan tabel distribusi frekuensi bergolong. 1. Tabel distribusi frekuensi tunggal x F 4 3 5 8 6 15 7 12 8 9 9 3 50 2. Tabel distribusi frekuensi bergolong Contoh: Untuk data yang beragam seperti contoh berikut: 35 48 45 59 67 75 62 96 78 55 57 66 69 71 75 78 85 90 62 76 72 78 69 66 81 85 62 57 61 69 65 91 82 85 77 72 Dibuat distribusi frekuensi bergolong, dengan membuat interval dengan aturan Sturges sbb: Banyak interval dicari dengan (Sudjana): k = 1 + 3,3.log n
7
81 65 67 64
k= banyak interval n = banyak data Panjang interval dicari dengan cara: p = (xmax – xmin ) / k p = panjang interval xmax = X tertinggi xmin = X terrendah k = banyak interval Dari contoh diperoleh: k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 6,3 7 interval p = (xmax – xmin) / k = (96 – 35) / 7 = 8,714 9 Interval 35 – 43 44 – 52 53 – 61 62 – 70 71 – 79 80 – 88 89 – 97
Talus | || ||||| ||||| ||||| |||| ||||| |||| ||||| | |||
f 1 2 5 14 9 6 3 40
Sehingga diperoleh tabel distribusi frekuensi bergolong sebagai berikut interval F 35 – 43 1 44 – 52 2 53 – 61 5 62 – 70 14 71 – 79 9 80 – 88 6 89 – 97 3 40
8
B. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK GRAFIK Selain dengan tabel, penyajian data yang cuk opulpuler dan komunikatif adalah opular grafik. Terdapat beberapa macam grafik, yaitu: 1. grafik garis untuk distribusi frekuensi tunggal, polygon untuk distribusi frekuensi bergolong 2. grafik batang untuk distribusi frekuensi tunggal, histogram untuk distribusi frekuensi bergolong 3. diagram lingkaran. 4. Grafik ogive Contoh: Dari data berikut gambar grafik batang, grafik garis, grafik lingkaran dan grafik ogive kurang dari X 4 5 6 7 8 9
f 3 8 15 12 9 3 50
F% 6% 16 % 30% 24% 18% 6%
Jawab : Diagram batang 16 14
Frekuensi
12 10 8
Series1
6 4 2 0 4
5
6
7
8
9
Nilai
Gambar 2.1 Diagram batang
9
Diagram garis 16 14
Frekuensi
12 10 8
Series1
6 4 2 0 0
5
10
Nilai
Gambar 2.2 Diagram garis Grafik lingkaran 3; 6%
3; 6%
9; 18%
8; 16%
12; 24%
15; 30%
Gambar 2.3 Grafik lingkaran Untuk menggambar grafik ogive kurang dari dihitung dulu frekuensi kumulatif kurang dari atau lebih dari sebagai berikut: X F fk (Kurang dari) fK (lebih dari) 4 3 3 50 5 8 11 47 6 15 26 39 7 12 38 24 8 9 47 12 9 3 50 3 50
10
Ogive kurang dari 50 40 30 20 10
4 5 6 7 8 Gambar 2.4.Grafik ogive kurang dari
9
DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG (INTERVAL) Interval F Xi (titik tengah) Batas nyata 35 – 43 1 39 34,5 44 – 52 2 48 43,5 53 – 61 5 57 52,5 62 – 70 14 66 61,5 71 – 79 9 75 70,5 80 – 88 6 84 79,5 89 – 97 3 93 88,5 97,5 40 Histogram
34,5
43,5 52,5 61,5 70,5 79,5 Gambar 2.5. Histogram
11
88,5
97,5
Poligon
39
48 57 66 75 84
93
Gambar 2.5. Poligon LATIHAN SOAL 1. Data berikut adalah nilai ujian matematika sebagai berikut : x 4 5 6 7 8 9
f 2 9 14 12 10 3 50 Gambar diagram batang, grafik garis dan grafik ogive kurang dari 2. Data berikut adalah nilai ujian masuk suatu perguruan tinggi 56 39 29 58 75 44 35 57 46 76 75 49 85 48 63 53 58 41 74 77 36 59 59 49 88 39 67 91 62 42 49 47 63 64 52 48 58 68 64 39 a. Buat distribusi frekuensi dengan menggunakan aturan Sturges. b. Buat grafik histogramnya. c. Buat poligonnya d. Buat grafik ogive kurang dari
12
3. Data berikut adalah nilai ujian akhir matakuliah Statistika : 38 60 79 32 57 74 52 70 82 36 80 77 81 95 41 65 92 85 55 76 52 40 64 75 78 25 80 98 81 67 41 71 83 54 64 72 88 62 74 43 60 78 89 76 84 48 84 90 25 79 34 67 27 82 69 74 63 80 85 61 45 56 67 78 89 97 86 75 64 53 56 68 74 48 59 65 75 49 83 61 a. Buat distribusi bergolong dengan menggunakan aturan Sturges. b. Buat histogram dan poligonnya. c. Buat grafik ogive kurang dari. 4. Hasil ujian 50 mahasiswa seperti dalam tabel berikut : Nilai Frekuensi ujian 31 – 40 4 41 – 50 4 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 10 81 – 90 10 91 – 100 2 Jumlah 50 Tentukan : a. Buat histogram dan poligonnya. b. Buat grafik ogive kurang dari. 5. Hasil ujian 100 mahasiswa seperti dalam tabel berikut : Nilai ujian 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 Jumlah
frekuensi 8 10 15 15 25 17 10 100
Tentukan :
13
a. Buat histogram dan poligonnya. b. Buat grafik ogive kurang dari.
14
BAB III STATISTIKA DESKRIPTIF Beberapa teknik penjelasan kelompok yang telah diobservasi dengan data kuantitatif, selain dapat dijelaskan dengan menggunakan grafik dan gambar, dapat juga dijelaskan dengan menggunakan teknik statistik yang disebut: Mean, Median, Modus, dan standard deviasi. Rumus-rumus berikut diadopsi dari Sudjana, Sutrisno Hadi, Bambang Suharjo dan beberapa buku lain. A. UKURAN TENDENSI SENTRAL 1. MEAN ( X ) atau RERATA Mean adalah rata-rata atau rata-rata hitung. Rumus untuk mencari mean sebagai berikut: n
a. X
X i 1
i
(Sudjana) untuk data tunggal
n
Contoh : 1. Data : 4, 5, 7, 6, 8, 5, 8. 7, 6, 5 Tentukan rata-rata, Jawab :
X
X 4 5 7 6 8 5 8 7 6 5 6,1 n
10
k
b. X
f X i 1
i
n
i
(Sudjana), untuk data dalam distribusi
frekuensi Contoh: 2. Dari data berikut Tentukan rata-ratanya. X F 4 3 5 8 6 15 7 12 8 9 9 3 50
15
Jawab : x 4 5 6 7 8 9
f 3 8 15 12 9 3 50
fi.xi 12 40 90 84 72 27 325
n
X
f X i 1
i
n
i
=
325 6,5 50
k
c. X MT p.
f d i1 k
i i
f i1
untuk data dalam distrubusi bergolong i
p MT
(dimodifikasi dari Sutrisno Hadi) = panjang interval = mean terkaan, titik tengah interval di mana mean diperkirakan
di
=
Xi MT p
Contoh: Dari data berikut buat distribusi frekuensi bergolong, kemudian Tentukan rata-ratanya 35 48 45 59 67 75 62 96 78 81 55 57 66 69 71 75 78 85 90 65 62 76 72 78 69 66 81 85 62 67 57 61 69 65 91 82 85 77 72 64 Jawab : Dengan aturan Sturges : k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 6,3 7 terdapat 7 interval p = (xmax – xmin) / k = (96 – 35) / 7 = 8,714 9 Panjang interval = 9
16
interval 35 – 43 44 – 52 53 – 61 62 – 70 71 – 79 80 – 88 89 – 97
Talus | || ||||| ||||| ||||| |||| ||||| |||| ||||| | |||
f 1 2 5 14 9 6 3 40
Xi 39 48 57 66 75 84 93
di -3 -2 -1 0 1 2 3
fi.di -3 -4 -5 0 9 12 9 18
Misal MT = 66, yaitu titik tengah dari interval 62 – 70, maka di
=
Xi MT p k
f d
X MT p. i1k
i i
f i1
= 66 + 9.
18 = 70,05 40
i
2. MEDIAN Adalah : nilai yang membatasi 50% frekuensi distribusi bagian bawah dan 50% frekuensi distribusi bagian atas (Sutrisno Hadi). ` Contoh : 4, 12, 5, 7, 8, 10, 10 Setelah disusun, diurutkan : 4, 5, 7, 8, 10, 10, 12 Yang posisinya ersi di tengah adalah 8. Jadi Med = 8 Untuk data genap mediannya = dihitung rata-rata dari dua data tengah Contoh : data 12, 7, 8, 14, 16, 19, 10, 8 Setelah diurutkan : 7, 8, 8, 10, 12, 14, 16, 19 Data tengah 10 dan 12 Med = ½ (10 + 12) = 11 Contoh mencari median untuk data pada tabel distribusi frekuensi: X f fk 4 3 3 5 8 11 6 15 26 7 12 38 8 9 47 9 3 50 50
17
Median = 6 ( di frekuensi kumulatif 25 dan 26) Untuk data dalam distribusi bergolong dengan menggunakan rumus berikut:
n fk Med Bb p. 2 (dimodifikasi dari Sutrisno Hadi) di f mana : Bb = Batas bawah nyata interval yang memuat median p = panjang interval fk = frekuensi kumulatif interval di sebelum atau yang lebih kecil dari frekunsi interval yang memuat median f = frekuensi di dalam interval yang memuat median n = banyak data ( besar sampel ) Contoh: Dari data berikut Tentukan median interval 35 – 43 44 – 52 53 – 61 62 – 70 71 – 79 80 – 88 89 – 97
F 1 2 5 14 9 6 3 40
Letak median pada
fk 1 3 8 22 31 37 40
n 1 20,5 , yaitu pada interval 62 – 70, 2
sehingga Bb = 61,5, fk = 8 dan f = 14
n fk ( 402 8) 2 = 61,5 + 9. ( ) = 69,2 Med Bb p. 14 f
18
3. MODUS Adalah : nilai yang paling sering muncul atau yang frekuensinya tertinggi (Sutrisno Hadi). Contoh : x F 4 3 5 8 6 15 7 12 8 9 9 3 50 Modus adalah yang frekuensinya tertinggi, yaitu = 6 Untuk data dalam distribusi bergolong, modus dihitung dengan rumus:
Mod Bb p.
b1 (Sudjana). di mana : b1 b 2
Bb = Batas bawah nyata interval yang memuat modus P = panjang interval b1 = frekuensi interval yang memuat modus - frekuensi interval dibawahnya b2 n
= frekuensi interval yang memuat modus – frekuensi interval di atasnya = banyak data ( besar sampel )
Contoh: Dari data berikut Tentukan modusnya Interval f fk 35 – 43 1 1 44 – 52 2 3 53 – 61 5 8 62 – 70 14 22 71 – 79 9 31 80 – 88 6 37 89 – 97 3 40 40 Letak modus pada interval 62 – 70, sehingga Bb = 61,5, b1 = 14 – 5 = 9 dan b2 = 14 – 9 = 5
19
Mod Bb p.
9 b1 = 61,5 + 9. = 67,3 95 b1 b2
4 . KUARTIL Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian. Sehingga terdapat 3 kuartil, yaitu K1, K2, dan K3.
n .i fk K i Bb p. 4 f
(Sudjana), di mana :
Bb = Batas bawah nyata interval yang memuat Kuartil Ki p = panjang interval fk = frekuensi kumulatif interval sebelum atau yang lebih kecil dari frekuensi interval yang memuat kuartil Ki f
= frekuensi di dalam interval yang memuat kuartil K i
n
= banyak data ( besar sampel )
i
= 1, 2, 3
untuk menentukan letak Kuartil Ki adalah
n 1 .i 4
5. DESIL Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian. Sehingga terdapat 9 desil, yaitu D1, D2, … D9.
n .i fk 10 (Sudjana), di mana : D i Bb p. f Bb = Batas bawah nyata interval yang memuat desil D i p = panjang interval fk = frekuensi kumulatif interval sebelum atau yang lebih kecil dari frekunsi interval yang memuat desil D i f
= frekuensi di dalam interval yang memuat desil D i
n
= banyak data ( besar sampel )
i
= 1, 2, 3... 9
20
untuk menentukan letak Desil Di adalah
n 1 .i 10
6. PERSENTIL Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian. Sehingga terdapat 99 persentil, yaitu P1, P2, . . . P99.
n .i fk 100 (Sudjana), di mana : Pi Bb p. f Bb = Batas bawah nyata interval yang memuat persentil P i p = panjang interval fk = frekuensi kumulatif interval sebelum atau yang lebih kecil dari frekunsi interval yang memuat persentil P i f
= frekuensi di dalam interval yang memuat persentil P i
n
= banyak data ( besar sampel )
i
= 1, 2, 3. . . 99
untuk menentukan letak Persentil Pi adalah
n 1 .i 100
7. STANDARD DEVIASI (rumus-rumus berikut dimodifikasi dari Sudjana) :
X X N
a. SD
2
i
i1
N 1
b.Rumus tersebut dapat disederhanakan menjadi:
SD
X i1
X
2
N
2 i
i
N
N 1
Contoh : 3. Data : 4, 5, 7, 6, 8, 5, 8. 7, 6, 5 Tentukan standard deviasinya Jawab :
X 4 5 7 6 8 5 8 7 6 5 61 21
X
2
4 2 52 7 2 6 2 82 52 82 7 2 6 2 52 389
X
SD
i 1
c. SD
f X i
2
i
i
389
N
=
N 1
9
612 10 1,37
fX
2
k
i1
X
2
N
2 i
i
i
N
N 1
Contoh: Dari data berikut tentukan standard deviasinya x f Fk f.x x2 4 3 3 12 16 5 8 11 40 25 6 15 26 90 36 7 12 38 84 49 8 9 47 72 64 9 3 50 27 81 50 325
SD
f X i1
i
f d i 1
2 i
i
N
i i
325 2 50 1,3 49
2195
i
=
N 1
k
d. SD p.
fX
2
k
fd
2
2
i i
N
dengan d i
N 1
Contoh: Dari data berikut tentukan standard deviasinya
22
f.x2
Xi MT p
48 200 540 588 576 243 2195
interval 35 – 43 44 – 52 53 – 61 62 – 70 71 – 79 80 – 88 89 – 97
f 1 2 5 14 9 6 3 40 N
SD p.
f d i1
i
i
Xi 39 48 57 66 75 84 93
d -3 -2 -1 0 1 2 3
f d
2
2
i
i
N
N 1
f.d -3 -4 -5 0 9 12 9 18
d2 9 4 1 0 1 4 9
f.d2 9 8 5 0 9 24 27 82
182 40 = 12,4 39
82 = 9.
B. KEMIRINGAN Grafik distribusi frekuensi dapat dihaluskan sehingga menyerupai suatu kurva. Kurva distribusi frekuensi dapat berupa kurva simetris kiri kanan, yang biasa disebut sebagai kurva normal. Namun adakalanya kurva mempunyai ekor yang memanjang ke kanan atau ke kiri sehingga kurva yang demikian biasa disebut sebagai kurva yang miring ke kiri atau miring ke kanan. Untuk mengetahui ketidak simetrian, digunakan ukuran kemiringan, dengan rumus: Km =
X Modus 3( X Median) Atau Km = (Sudjana) SD SD
Keterangan: Km : ukuran kemiringan
X : rata-rata SD ; Standard deviasi
23
Miring ke kanan Km > 0
Normal Miring ke kiri Km = 0 Km < 0 Gambar 3.1. Kemiringan kurva
C. KERUNCINGAN (KURTOSIS): Kurva distribusi frekuensi ada yang ramping, runcing, tinggi, ada yang normal, ada yang agak mendatar. Untuk mengukur tinggi rendah atau runcing datarnya suatu kurva distribusi frekuensi digunakan koefisien keruncingan atau kurtosis Salah satu rumus Koefisien keruncingan adalah
1
2
K3 K1
P90 P10
(Sudjana), Keterangan: : ukuran kemiringan K1 : Kuartil ke 1 K3 : Kuartil ke 3 P10 : Persentil ke 10 P90 : Persentil ke 90 Kurva dapat disebut mendekati distribusi normal apabila mendekati 0,263 (Sudjana)
Mesokurtis
Normal Gambar 3.2. Keruncingan kurva
24
Platikurtis
Contoh: 1. Dari data berikut tentukan rata-rata, median, modus` kuartil K1 dan K3, Desil D1 dan D9, persentil P10dan P90 serta Standard deviasi x 4 5 6 7 8 9
f 3 8 15 12 9 3 50
Jawab : x 4 5 6 7 8 9
f 3 8 15 12 9 3 50
fk 3 11 26 38 47 50
f.x 12 40 90 84 72 27 325
x2 16 25 36 49 64 81
n
X
fX i 1
i
n
i
=
325 6,5 50
Median = 6 ( di frekuensi kumulatif 26) Modus = 6 K1 = 6 K3 = 7 D1 = 5 D9 = 8 P10 = 5 P90 = 8 N
SD
f Xi i 1
fX
2
2
i
N
N 1
i
3252 2195 50 1,3 = 49
Koefisien kemencengan: Km =
X Modus 6,5 6 0,38 , = 1,3 SD 25
f.x2 48 200 540 588 576 243 2195
Koefisien keruncingan:
1 2
K 3 K1 =
1
2
P90 P10
(7 6) 0,16 85
Karena Km > 0 maka kurva miring ke kanan 4. Dari data berikut dalam distribusi frekuensi bergolong berikut, tentukan rata-rata, median, modus dan Standard deviasi, kuartil K1 dan K3, Desil D1 dan D9, persentil P10dan P90 interval f Fk Xi d f.d d2 f.d2 35 – 43 1 1 39 -3 -3 9 9 44 – 52 2 3 48 -2 -4 4 8 53 – 61 5 8 57 -1 -5 1 5 62 – 70 14 22 66 0 0 0 0 71 – 79 9 31 75 1 9 1 9 80 – 88 6 37 84 2 12 4 24 89 – 97 3 40 93 3 9 9 27 40 18 82 n
f d
X MT p. i 1n
i i
f i 1
= 66 + 9.
18 = 69,8 40
i
Letak Med: (40+1)/2 = 20,5 62 – 70 BB = 61,5
n fk 40 8 2 Med Bb p. = 61,5 + 9. 2 = 69,2 f 14 9 b1 = 61,5 + 9. = 67,3 Mod Bb p. 95 b1 b2 26
k
SD p.
fi di
fd
2
2
i1
i i
N
182 82 40 = 12,4 = 9. 39
N 1 n 1 41 10,25 , Letak K1 pada 4 4 pada interval 62 - 70
n 40 .1 fk .1 8 K1 Bb p. 4 = 61,5 + 9. 4 = 62,8 fd 14 n 1 41 .3 .3 30,75 , Letak K3 pada 4 4 pada interval 71 - 79
n 40 .3 fk .3 22 4 4 K 3 Bb p. = 70,5 + 9. = 78,5 fd 9 n 1 41 .1 . 4,1, Letak D1 pada 10 10 pada interval 53 - 61
n 40 .1 fk .1 3 10 10 = 52,5 + 9. = 54,3 D1 Bb p. fd 5 n 1 41 .9 .9 36,9 , Letak D9 pada 10 10 pada interval 80 - 88
n 40 .9 fk .9 31 10 10 = 79,5 + 9. = 87 D9 Bb p. fd 6 P10 = D1 = 54,3 dan P90 = D9 = 87
Km =
X Modus 69,6 67,3 0,017 , = 13,1 SD
mendekati normal
27
1 2
K 3 K1 = 12 (78,5 62,8) 0,24 87 54,3
P90 P10
D. NILAI STANDARD Dalam Statistika, dikenal beberapa macam distribusi variabel random.Setiap kurva distribusi frekuensi dapat didekati oleh kurva salah satu dari distribusi variabel random tersebut. Salah satu distribusi variabel random yang penting, yang merupakan syarat apakah akan menggunakan statistika parametrik adalah jika sebarannya mendekati distribusi normal. Untuk itu akan dibahas sedikit tentang distribusi normal. 1. Distribusi normal N (,2), adalah distribusi yang mempunyai ekspektasi µ atau rata-rata dan mempunyai variansi 2. dengan fungsi densitas sebagai berikut 1 x 2 )
( 1 f ( x) e 2 2
- < x < (Bain) , Distribusi normal ini dapat digambarkan sebagai berikut:
µ-
µ
µ+
X
Y Gambar 3.3 Kurva Distribusi Normal Kurva distribusi Nomal simetri terhadap µ (rata-rata), simpangannya adalah . Pada distribusi Normal, rata-rata, median dan modus relatif sama. Kurva ini tidak pernah memotong sumbu X, hanya mendekati sumbu X positif dan sumbu X negatif, Dikatakan bahwa kurva distribusi Normal asimtotik terhadap sumbu X.
28
2. Distribusi Normal Standard z2
1 2 f ( z) e - < x < (Bain) 2 , Kurva distribusi Nomal Standard hampir mirip dengan kurva distribusi Normal. Kurva distribusi Normal Standard mempunyai ekspektasi 0 dan variansi 1, sehingga kurva ini simetri terhadap 0, simpangannya adalah 1.
-1 0 1 Gambar 3.4. Kurva Distribusi Normal Standard Luas di bawah kurva normal Standard dapat dihitung dengan:
x2
1 2 e dz 2
Untuk luas di bawah kurva normal dari - sampai batas zi =
F(z i ) P(Z Zi )
x2
zi
1 2 e dx 2
yang dapat dilihat dari tabel luas di bawah kurva normal standard (lampiran 1). Setiap nilai pada distribusi Normal dapat dibawa ke Nilai standard dengan rumus: Zi=
Xi X SD
Contoh:
29
Suatu sampel dari distribusi normal dengan rata-rata = 6 dan standard deviasi = 1,5 Jika Xi = 9, maka nilai standard dari Xi adalah:
Xi X SD 96 2 = 1,5
Zi=
Probabilitas yang memperoleh nilai lebih kecil atau sama dengan 9 adalah: P(X ≤ 9) =P(Z≤ 2) = 0,9772 = 97,72% dicari dari tabel luas di bawah kurva normal (lampiran 1) Contoh: Xi
f 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 2 1 10
Xi2 16 25 36 49 64 81
fi.Xi2 16 25 72 147 128 81 469
fi.Xi 4 5 12 21 16 9 67
Zi -1,8 -1,13333 -0,46667 0,2 0,866667 1,533333
Dari data diperoleh
469
672 10 1,5
67 6,7 dan SD = 10 9 X X 4 6,7 1,8 , Sehingga Z1 = i = SD 1,5 X
demikian seterusnya untuk Z2 sampai Z6 Untuk probabilitas yang nilainya ≤ 4 P(X ≤ 4) =P(Z≤ -1,8) = 0,0359 = 3,59% dicari dari tabel luas di bawah kurva normal (lampiran 1)
30
F(zi) 0,0359 0,1292 0,3192 0,5793 0,8078 0,937
E. UJI KENORMALAN (UJI NORMALITAS) Untuk menguji apakah suatu data mendekati distribusi normali atau tidak, digunakan uji normalitas atau uji kenormalan. Ada 2 (dua) macam uji normalitas yakni dengan menggunakan goodness of fit dan Uji Liliefors. 1. DENGAN GOODNESS OF FIT (Chi Kuadrat) Ho : X berdistribusi Normal H1 : X tidak berdistribusi Normal k O E 2 2 i ; (Sudjana) i E i 1 i Ho diterima jika 2 hitung < 2 tabel = 2 ,k-3 , k = banyak interval Oi = harga observasi Ei = harga harapan Contoh : Tinggi 140-144 145-149 150-154 155-159 160-164 165-169 170-174
X MT p.
f
d2
d
7 10 16 23 21 17 6 100
-3 -2 -1 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
16 fd 157 5. 157,8 n 100
fd fd n
2
2
SD p
fd -21 -20 -16 0 21 34 18 16
n 1
5.
162 100 8,09 99
262
31
fd2 63 40 16 0 21 68 54 262
Tinggi
f
140-144 145-149 150-154 155-159 160-164 165-169 170-174 k
2
Zi =
F(zi)
Xi X SD
139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5 169,5 174,5
7 10 16 23 21 17 6 100
-2,26 -1,64 -1,03 -0,41 +0,21 +0,83 +1.45 +2,06
0,0119 0,0505 0,1515 0,3409 0,5832 0,7967 0,9265 0,9803
Luas tiap kelas
Ei Lxn
0,0386 0,1010 0,1894 0,2423 0,2135 0,1298 0,0538
3,9 10,1 18,9 24,2 21,4 13,0 5,4
Oi =f
7 10 16 23 21 17 6
Oi Ei 2 Ei
i 1
2
batas kelas(x)
7 3,92 10 10,12 16 18,92 23 24,22 21 21,42 3,9
10,1
17 13
2
13
18,9
6 5,4
2
5,4
24,2
21,4
4,27
2 5%,(k-3) = 2 5%,(7-3) = 9,49 (dilihat dari lampiran 3) Karena 2 hitung < 2 tabel ,maka Ho diterima, jadi X berdistribusi normal
32
2. DENGAN MENGGUNAKAN METODE LILIEFORS a. Untuk uji normalitas jika n tidak terlalu besar digunakan metode Liliefors dengan rumus sebagai berikut : 1). Hipotesis : Ho : X berdistribusi Normal H1 : X tidak berdistribusi Normal 2). Statistik uji : Lhit = Maks | F(Zi) - S(Zi) | Dengan : F(Zi) = Fungsi distribusi komulatif normal standar.
Xi Xi X , dengan X N Sd (Xi )2 2 Xi N Sd N 1
Zi
S(Zi) = Fungsi distribusi komulatif empiris.
S(Zi )
banyaknyaz1,z2 ,...,znyang zi N
Jika Lhit < Ltabel maka Ho diterima. Sehingga X berdistribusi normal. Ltabel dilihat dari tabel Liliefors lampiran 6 Contoh: Uji normalitas dari data berikut : 4,5,6,6,7,7,7,8,8,9 Xi Xi2 Zi F(zi) S(zi) |F(zi)-S(zi)| 4 16 -1,8 0,0359 0,1 0,0641 5 25 -1,13333 0,1292 0,2 0,0708 6 36 -0,46667 0,3192 0,4 0,0808 6 36 -0,46667 0,3192 0,4 0,0808 7 49 0,2 0,5793 0,7 0,1207 7 49 0,2 0,5793 0,7 0,1207 7 49 0,2 0,5793 0,7 0,1207 8 64 0,866667 0,8078 0,9 0,0922 8 64 0,866667 0,8078 0,9 0,0922 9 81 1,533333 0,937 1 0,063 67 469 n
X
X i1
n
i
=
67 6,7 10
33
X
SD
Zi
i1
X
2
N
2 i
i
N
N 1
469 =
9
67 2 10 1,5
Xi X 4 6,7 = 1,8 1,5 Sd
Lhit = Maks | F(Zi) - S(Zi) | = 0,1207 Ltabel = L,n = 0,258 (dilihat dari tabel Liliefors lampiran 6) Karena Lhit < Ltabel maka Ho diterima. Jadi X berdistribusi normal b. Untuk data dalam distribusi frekuensi tunggal Uji normalitas data berikut: X F fk Zi F(zi) 4 3 3 -1,92 0,0274 5 8 11 -1,15 0,1251 6 15 26 -0,38 0,3520 7 12 38 0,38 0,6480 8 9 47 1,15 0,8749 9 3 50 1,92 0,9726 50
S(zi) 0,06 0,22 0,52 0,76 0,94 1
|F(zi)-S(zi)| 0,0226 0,0939 0,1680 0,1120 0,0651 0,0274
n
X
f X i 1
i
i
=
n
325 6,5 50
SD
f X i1
i
fX
2
k
2 i
i
N
N 1
i
325 2 50 1,3 49
2195 =
Lhitung = max|F(zi)-S(zi)| = 0,1680 Ltabel = L5%,50 =
0,886 = 0,1253 (dilihat dari lampiran 6) 50
Karena Lhitung > Ltabel maka Ho ditolak. Jadi X tidak berdistribusi normal
34
LATIHAN SOAL 1. Data berikut adalah nilai ujian matematika sebagai berikut x F 4 2 5 9 6 14 7 12 8 10 9 3 50 a. Tentukan mean, median, modus, standard deviasi, K 1, K3, P10, P90. Tentukan pula koefisien kemiringan dan koefisien keruncingannya. b. Apakah populasi tersebut berdistribusi Normal? 2. Data berikut adalah nilai ujian masuk suatu perguruan tinggi 56 39 29 58 75 44 35 57 46 76 75 49 85 48 63 53 58 41 74 77 36 59 59 49 88 39 67 91 62 42 49 47 63 64 52 48 58 68 64 39 a. Hitung mean, median, modus, standard deviasi. b. Hitung K1, K3, P10 dan P90 c. Tentukan koefisien Kemiringan dan koefisien keruncingannya. d. Jika yang akan diterima 75% nya, berapa batas kelulusannya ? 3. Data berikut adalah nilai ujian akhir matakuliah Statistika : 38 60 79 32 57 74 52 70 82 36 80 77 81 95 41 65 92 85 55 76 52 40 64 75 78 25 80 98 81 67 41 71 83 54 64 72 88 62 74 43 60 78 89 76 84 48 84 90 25 79 34 67 27 82 69 74 63 80 85 61 45 56 67 78 89 97 86 75 64 53 56 68 74 48 59 65 75 49 83 61 a. Hitung mean, median, modus, standard deviasi. b. Hitung K1, K3, P10 dan P90 c. Tentukan koefisien Kemiringan dan koefisien keruncingannya.
35
4. Hasil ujian 50 mahasiswa seperti dalam tabel berikut : Nilai ujian Frekuensi 31 – 40 4 41 – 50 4 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 10 81 – 90 10 91 – 100 2 Jumlah 50 Tentukan : a. Mean median dan modusnya b. Standard deviasi c. Buatlah grafik ogive kurang dari. d. Jika yang lulus hanya 60 %, berapa standard kelulusan ? e. Tentukan koefisien kemiringan, dan miring kemana? f. Apakah populasi tersebut berdistribusi Normal? 5. Hasil ujian 100 mahasiswa seperti dalam tabel berikut : Nilai ujian frekuensi 31 – 40 8 41 – 50 10 51 – 60 15 61 – 70 15 71 – 80 25 81 – 90 17 91 – 100 10 Jumlah 100 Tentukan : a. Mean median dan modusnya Standard deviasi, K1, K2, P10 dan P20 b. c. Buatlah grafik ogive kurang dari. d. Jika yang lulus hanya 60 %, berapa standard kelulusan ? e. Apakah populasi tersebut berdistribusi Normal?
36
BAB IV UJI HIPOTESIS Uji hipotesis adalah metode pengambilan keputusan yang didasarkan dari analisis data. Hipotesis adalah asumsi atau dugaan sementara mengenai suatu hal atau suatu masalah yang perlu dibuktikan kebenarannya. Hipotesis benar Hipotesis salah Kesimpulan benar Kesalahan tipe II Diterima () Kesalahan tipe I Kesimpulan benar Ditolak () = Probabilitas menolak Ho, padahal Ho benar = daerah kritik, daerah penolakan Ho = taraf signifikansi, taraf nyata Rumus-rumus dalam bab ini diadopsi dari Sudjana dan Walpole. Ada 3 (tiga) macam jenis pengujian hipotesis 1. Untuk uji dua sisi : daerah kritik dibagi 2 Ho : p = p o H1 : p p o /2 /2 Apabila statistik uji jatuh di daerah kritik, hipotesis nol ditolak, sebaliknya kalau jatuh di luar daerah kritik hipotesis nol diterima. 2. Untuk uji satu sisi, uji pihak kanan, daerah kritik di ujung kanan Ho : p = p o H1 : p > p o 3. Untuk uji satu sisi, uji pihak kiri, daerah kritik di ujung kiri Ho : p = p o H1 : p < p o
37
A. UJI HIPOTESIS MEAN : 1. UNTUK N 30, TAK DIKETAHUI ATAU N < 30, DIKETAHUI, POPULASI BERDISTRIBUSI NORMAL DENGAN STATISTIK UJI :
Z
X o / N
(Walpole)
Untuk uji dua sisi, Ho diterima jika Z/2 < Zhit < Z1-/2 Untuk uji satu sisi, pihak kanan, Ho di terima, jika Zhit < Z1- Untuk uji satu sisi, pihak kiri, Ho di terima, jika Zhit > Z 2. UNTUK N<30 TAK DIKETAHUI, POPULASI BERDISTRIBUSI NORMAL, STATISTIK UJI :
t
X S/ N
(Walpole)
Untuk uji dua sisi, Ho diterima jika -t/2,N -1 < thit < t/2,N-1 Untuk uji satu sisi, pihak kanan, Ho di terima, jika thit < t1-,N-1 Untuk uji satu sisi, pihak kiri, Ho di terima, jika thit > -t1- Contoh: 3. Seorang kepala sekolah mengatakan bahwa rata-rata nilai ebtanas siswa di sekolahnya adalah 7. Untuk membuktikan pernyataannya, diambil sampel 15 orang, diperoleh rata-rata 7,267 dan standard deviasi 1,28. Ambil taraf signifikansi 10% Jawab: Karena n = 15, berarti n kecil digunakan uji t. Ho : = o , dengan uo = 7 H1 : o
t
X 7,267 7 = 0,81 S / N 1,28 / 15
Karena uji dua sisi, maka ttabel = t /2,(N-1) = t 0,05, 14 = 1,761
-1,761 1,761 Ternyata -1,761 < t hitung < 1,761, Jadi Ho diterima, artinya rata-ratanya sama dengan 7. Jadi pernyataan Kepala Sekolah benar.
38
4. Seorang manajer pemasaran suatu pabrik bolam lampu mengatakan bahwa tahan hidup lampu produksinya lebih dari 300 jam. Untuk membuktikan kebenarannya diambil sampel 100 lampu, diperoleh rata-rata hidup 301jam dengan standard deviasi 25. Apakah pernyataan manajer itu benar? Jawab: Karena n = 100, berarti menggunakan uji z Ho : = 300 H1 : > 300
z
X 301 300 = 0,4 / N 25 / 100
Karena uji satu sisi pihak kanan, maka ztabel = z = z0,05 = 1,645
1,645 Ternyata Zhitung < 1,645, Jadi Ho diterima, artinya rata-ratanya sama dengan 300. Jadi pernyataan bahwa tahan hidup lampu lebih dari 300 tidak benar. B. INTERVAL KONFIDENSI (INTERVAL KEPERCAYAAN) Selain dengan uji hipotesis mean, rata-rata dapat ditaksir dengan menggunakan interval konfidensi. Rumus berikut dimodifikasi dari Sudjana. Dengan taraf signifikansi , maka taraf kepercayaan = 1 - . Sehingga probabilitas nilai a < Z < b adalah P(a < Z < b) = 1-
P(Z Z Z
1
2
/2
2
) 1
1-α
Z 2
/2
Z
1
2
39
X Z 1 / N 2
Z 2
X Z 1 / N 2
Z 2
Z . 2
n
X Z
1
X Z
n
2
X Z
1
.
n
2
Atau X Z
1
2
2
n
X Z
1
X Z . 2
.
n
n
2
n
X Z
1
2
.
n
karena Z Z 2
1
2
Untuk n kecil atau n besar tak diketahui digunakan rumus :
X t . 2
SD SD X t . n n 2
Contoh : Dari suatu sampel acak 36 mahasiswa tingkat akhir diperoleh rata-rata 2,6 dengan simpangan baku (standard deviasi) = 0,3. Buat selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rata-rata seluruh mahasiswa tingkat akhir. Jawab : X = 2,6 dan = SD = 0,3= . Untuk 1- = 95% maka = 5%, dari tabel Z0,025 = -Z0,975 = -1,96
σ σ μXZ α 1 n n 2 0,3 0,3 2,6 1,96. μ 2,6 1,96. 36 36 2,5 μ 2,7 XZ
α 1 2
Untuk 1- = 99% maka = 1%, dari tabel Z0,005 = - Z0,995 = -2,575
40
σ σ μXZ α 1 n n 2 0,3 0,3 2,6 2,575. μ 2,6 2,575. 36 36 2,471 μ 2,729 XZ
α 1 2
C. UJI BEDA MEAN : 1. UNTUK N 30 TAK DIKETAHUI ATAU N < 30 DIKETAHUI, POPULASI BERDISTRIBUSI NORMAL DENGAN STATISTIK UJI :
Z
X1 X2 1 2 N1 N2 2
2
(Walpole)
Untuk uji dua sisi, Ho diterima jika Z/2 < Zhit < Z1-/2 Untuk uji satu sisi, pihak kanan, Ho di terima, jika Zhit < Z1- Untuk uji satu sisi, pihak kiri, Ho di terima, jika Zhit > Z 2. UNTUK N < 30 TAK DIKETAHUI, 1= 2, POPULASI BERDISTRIBUSI NORMAL STATISTIK UJI : (Sudjana)
(N1 1)S12 (N2 1)S22 X1 X2 dengan Sgab t N1 N 2 2 1 1 Sgab N1 N 2 Untuk uji dua sisi, Ho diterima jika -t/2,db < thit < t/2,db, Untuk uji satu sisi, pihak kanan, Ho di terima, jika thit < t1-,db Untuk uji satu sisi, pihak kiri, Ho di terima, jika thit > -t1-,db, dengan db = N1+N2-2 3. UNTUK N < 30 TAK DIKETAHUI, 1 2, POPULASI BERDISTRIBUSI NORMAL STATISTIK UJI :
41
t
X1 X 2 S12 S22 N1 N2
(Walpole)
Untuk uji dua sisi, Ho diterima jika -t/2,db < thit < t/2,db, Untuk uji satu sisi, pihak kanan, Ho di terima, jika thit < t1-,db Untuk uji satu sisi, pihak kiri, Ho di terima, jika thit > -t1-,db, dengan db = N1+N2-2 Contoh: 1. Pengamatan masa lalu kemampuan belajar anak laki-laki lebih jelek daripada anak perempuan, Diambil 10 anak laki-laki dan 10 anak perempuan secara acak, diamati kemampuan belajarnya. Diperoleh data seperti berikut: Laki-laki (X1) Perempuan (X2) X1 2 X2 2 X1.X2 30 31 900 961 930 21 22 441 484 462 21 37 441 1369 777 27 24 729 576 648 20 30 400 900 600 25 15 625 225 375 27 25 729 625 675 22 42 484 1764 924 28 19 784 361 532 18 38 324 1444 684 239 283 5857 8709 6607 a. Buktikan bahwa kemampuan siswa laki-laki memang lebih jelek dari perempuan. Asumsikan kedua populasi mempunyai variansi tidak sama. Ambil taraf signifikansi 5% b. Buktikan bahwa kemampuan siswa laki-laki sama dengan perempuan. Asumsikan variansi kedua populasi sama. Ambil taraf signifikansi 5% Jawab: 1. Ho : 1 = 2 H1 : 1 < 2 Dari data diperoleh rata-rata dan standard deviasi sebagai berikut:
42
n
X1
X i 1
i
n
=
239 23,9 10
=
283 28,3 10
n
X2
X i 1
i
n
SD1
X i 1
i
2 i
5857
N
=
N 1 N
SD 2
X
2
N
Xi
X
9
2392 10 4,01
2
2
i
N
i 1
N 1
2832 8709 10 8,82 = 9
Asumsikan variansinya tidak sama, berarti gunakan rumus:
t
X1 X 2 S12 S22 N1 N2
=
23,9 28,3 4,012482 8,81982 10 10
1,44
-Ttabel = -t5%,(10+10-2) = -1,734
/2
t 2
Karena T hitung > -Ttabel maka H0 diterima yang berarti rata-rata nilai anak laki-laki sama dengan rata-rata nilai anak perempuan. 2. yang akan diuji, apakah kedua rata-rata sama dengan alternatif tidak sama. maka : Ho : 1 = 2 H1 : 1 2 Kalau diasumsikan variansi sama,
43
( N1 1)S12 ( N 2 1)S 22 S gab N1 N 2 2 (10 1)4,012 (10 1)8,812 10 10 2 6,845
t
X1 X 2 1 1 S gab N1 N 2 23,9 28,3 1,437 1 1 6,845 10 10
Karena T tabel = T2,5%,18 = 2,101 dan -T tabel = -T2,5%,18 = - 2,101.
/2 -2,101
/2 2,101
-2,101.< Thitung <2,101. maka H0 diterima Ttabel yang berarti rata-rata nilai anak laki-laki sama dengan rata-rata nilai anak perempuan. D. UJI HOMOGENITAS Untuk uji hipoesis beda mean, selain harus memenuhi prasyarat data berasal dari populasi berdistribusi normal, sehingga harus diuji normalitas terlebih dahulu, juga perlu diuji kesamaan variansinya untuk menentukan rumus yang tepat. 1. UNTUK DUA POPULASI Ho : 1 = 2 H1 : 1 2 Statistik Uji (Sudjana): F=
S12 dengan S1 > S2 S22
Ftabel = F,(n1-1, n2-1) Ho diterima jika Fhitung < Ftabel((n1-1),(n2-1)
44
Contoh : 2 sampel acak diambil dari 2 populasi yang berbeda, diperoleh N1 = 20, S1 = 27,5, dan N2 = 20 , S2 =25,5 Uji apakah kedua populasi homogen. Jawab : F=
S12 27,5 2 = = 1,163 2 25,5 2 S2
Ftabel = F5%,(20-1, 20-1) = 2,172 Ternyata Fhitung < Ftabel Jadi Ho diterima, artinya variansi kedua populasi sama, atau kedua populasi homogen 2. Uji Homogenitas Untuk Lebih Dari Dua Populasi Untuk menguji kesamaan variansi lebih dari dua populasi digunakan Uji Bartlet: Ho : 12 22 = ... 2k H1 : 12 22 Statistik uji (Walpole):
bhitung
S
2 n1 1 1
S
2 n 2 1 2 2 p
1 n k 1 Nk k
S
S
k
dengan S p2
ni 1Si2
i 1
Nk
Contoh Jika diketahui S1 = 1,14, S2 = 1,07 dan S3 = 1,33, n1 = 20, n2 = 25 dan n3 = 30 k
ni 1Si2
Sp2 i 1
Nk (20 1).1,142 (25 1).1,072 (30 1).1,332 = 1,44 75 3
bhitung
S
2 n1 1 1
S
2 n 2 1 2 2 p
Snkk 1
1 N k
S
45
1,14
2 201
1,07 1,33 2 251
1 2 301 753
1,44
0,9796
bhitung dibandingkan dengan btabel bk( , ni) yang diambil dari tabel Bartlet lampiran 7
n1b3 ( , n1 ) n2b3 ( , n2 ) n3b( , n3 ) N 2 20.0,8980 25.0,91872 30.0,93252 = 0,8442 75 Karena bhitung > b2( ,n1,n2,n3) maka Ho diterima berarti variansinya b3( , n1, n2, n3) =
sama LATIHAN SOAL 1. Kepala Sekolah mengatakan bahwa rata-rata nilai Matematika siswanya tidak kurang dari = 5,5. Untuk membuktikan diambil sampel sebesar 100. Diperoleh nilai rata rata nilai Matematika 5,3 dengan standard deviasi 1,7. Jika populasi berdistribusi normal, uji kebenaran pernyataan itu. Ambil taraf signifikansi 5%. 2. Kepala Laboratorium Pabrik obat sakit kepala mengatakan bahwa produknya rata-rata efektifitas mengobati sakit kepala = 4,5 jam. Untuk membuktikan diambil sampel sebesar 100. Diperoleh nilai rata rata waktu sembuh 4 jam dengan standard deviasi 1,2. Jika populasi berdistribusi normal, uji kebenaran pernyataan itu. Ambil taraf signifikansi 5%. 3. Biro Statistik akan menghitung rata-rata pengeluaran per kepala keluarga penduduk Indonesia, dengan mengambil sampel 100 KK. Didapatkan rata-rata pengeluaran = Rp. 150.000,- , dan standard deviasi Rp 50.000,-. Tentukan : a. Interval Mean parameter, dengan = 5 % b. Berapa persen yang mempunyai pengeluaran lebih dari Rp. 200.000,- ? c. Berapa persen yang mempunyai pengeluaran kurang dari Rp. 100.000,- ? 4. Ingin diketahui apakah suatu metode pembiakan anggur dengan cara modern menghasilkan anggur dengan berat yang lebih besar daripada anggur yang dikembangkan dengan cara tradisional. Diperoleh informasi sbb:
46
Tradisional Modern Besar sampel 100 120 Berat Rata-rata (pertangkai) 4,2 kg 4,8 kg Standard deviasi 1,2 kg 0,9 kg a. Ujilah apakah terdapat perbedaan yang nyata dari hasil kedua metode pembiakan tersebut dengan = 3 %. Anggap kedua variansi sama. b. Hitunglah interval konfidensi 90% untuk rata-rata berat anggur pertangkai dengan cara modern. 5. Sebuah perusahaan taksi sedang berusaha untuk menentukan apakah akan memilih ban merk A atau merk B. Untuk itu dilakukan percobaan dengan mengambil 12 ban untuk masingmasing merk. Semua ban itu dicoba sampai harus diganti. Hasilnya sebagai berikut Merk A: Rata-rata pemakaian = 36.300km, dengan SD=5000 km. Merk B : Rata-rata pemakaian = 38.100 km, dengan SD = 6100 km Ujilah apakah rata-rata pemakaian kedua ban itu sama, dengan alternatif tidak sama. Asumsikan populasi berdistribusi normal, gunakan = 5 %. 6. Ingin diketahui apakah suatu metode pembelajaran dengan cara metode demonstrasi dan diskusi menghasilkan siswa dengan nilai lebih baik daripada siswa yang diberikan dengan cara ceramah. Diperoleh informasi sbb: Demonstrasi & diskusi Ceramah Besar sampel 50 40 Nilai Rata-rata 6,5 6,4 Standard deviasi 1,2 1 a. Ujilah apakah metode pembelajaran dengan demonstrasi dan diskusi lebih baik dari pada metode ceramah secara signifikan dengan taraf nyata = 3 %. Anggap kedua variansi sama. b. Hitunglah interval konfidensi 90% untuk rata-rata nilai dengan metode demonstrasi. 7. Seorang peneliti medis ingin membandingkan rata-rata jumlah hemoglobin pria dan wanita yang berusia 21 sampai 30 tahun. Hasil percobaannya sebagai berikut : N Rata-rata S2 Wanita 25 42,7 18,3 Laki-laki 20 41,8 8,5
47
Uji hipotesis untuk membandingkan rata-rata jumlah hemoglobin antara wanita dan pria, ambil taraf signifikansi 5%
48
BAB V UJI PROPORSI A. UNTUK 1 POPULASI Uji proporsi untuk 1 populasi ini digunakan untuk menguji proporsi suatu keadaan pada suatu populasi dibandingkan dengan suatu proporsi tertentu. Rumus-rumus pada bab ini dimodifikasi dari buku Metoda Statistika karangan Sudjana Ho : p = o H1 : p o STATISTIK UJI :
Z
x o n o (1 o ) n
(Sudjana)
dengan : o = proporsi yang ditentukan
x = proporsi sample n x = banyak obyek yang memenuhi kriteria n = besar sampel Kesimpulan uji : Untuk uji dua sisi, Ho : = 0 H1 : 0 Ho diterima jika Z/2 < Zhit < Z1-/2 Untuk uji satu sisi, pihak kanan, Ho : = 0 H1 : > o Ho di terima, jika Zhit < Z1- Untuk uji satu sisi, pihak kiri, Ho : = o H1 : < o Ho di terima, jika Zhit > Z Contoh :
49
Seorang pejabat mengatakan bahwa paling banyak 60% anggota masyarakat termasuk golongan A. Diambil sampel acak 8500 orang ternyata 5426 termasuk golongan A Benarkah pernyataan tersebut ? Ambil taraf signifikansi 5% Jawab : Ho : ≤ 0,6 H1 : > 0,6 X = 5426, n = 8500,.o = 0,6
x o n Z o (1 o ) n 5426 0,6 = 8500 2,79 0,6(1 0,6) 8500 Dengan taraf signifikansi 5% Ztabel = 1,645 Zhit > Z Ho di tolak, jadi proporsinya lebih banyak dari 60% B. UJI BEDA PROPORSI UNTUK DUA POPULASI Uji ini digunakan untuk menguji perbedaan proporsi dari 2 populasi. Ho : 1 = 2 H1 : 1 2 STATISTIK UJI :
Z
x1 x2 n1 n2 1 1 p.q n1 n2
(Sudjana)
dimana : 1 = proporsi populasi I 2 = proporsi populasi II
50
x1 = proporsi sampel I n1 x2 n2
= proporsi sampel II
x x2 p= 1 , n1 n2
q=1-p Kesimpulan uji : Untuk uji dua sisi, Ho diterima jika Z/2 < Zhit < Z1-/2 Untuk uji satu sisi, pihak kanan, Ho di terima, jika Zhit < Z1- Untuk uji satu sisi, pihak kiri, Ho di terima, jika Zhit > Z Contoh : Suatu penelitian dilakukan di daerah A terhadap 250 pemilih. Ternyata 150 pemilih akan memilih calon C. Di daerah B terdapat 300 pemilih, yang memilih calon C ada 162. Adakah perbedaan yang nyata mengenai pemilihan calon C di antara kedua daerah tersebut ? Ambil taraf signifikansi 5%. Jawab : Ho : 1 = 2 H1 : 1 2
x x2 p= 1 n1 n2
=
150 162 0,5673 250 300
q=1–p = 1 – 0, 5673 = 0,4327
Z
x1 x2 n1 n2 = 1 1 p.q n1 n2
150 162 250 300 1,42 1 1 0,5673x0,4327 250 300
Dengan mengambil taraf signifikansi 5%, Dari tabel distribusi normal, diperoleh Z0,975 = 1,96, Z0,025 = -1,96
51
Karena Z0,025 < Zhitung < Z0,975 maka Ho diterima, berarti proporsi pemilih calon C untuk kedua daerah sama. C. UJI BEDA PROPORSI (untuk > 2 populasi) Apabila akan menguji kesamaan proporsi dari > 2 populasi digunakan uji Chi kuadrat Ho : p1 = p2 = . . . = pk H1 : pi = pj untuk suatu i j k
Statistik uji : 2
Oi Ei 2 ;
i 1
Ei
(Sudjana)
Ho diterima jika 2 hitung < 2 tabel = 2 ,k-1 (tabel lampiran 3) 1 p1
2 p2
... ...
k pk fi
Oi = f i Ei
Contoh : : pelemparan dadu 120 x X : mata dadu yang muncul Uji apakah dadu dalam keadaan seimbang ? ambil taraf signifikansi 5% 1 1/6 23 20 3
pi Oi = f i Ei Oi - E i k
2
2 1/6 25 20 5
3 1/6 16 20 -4
4 1/6 17 20 -3
5 1/6 18 20 -2
6 1/6 21 20 1
Oi Ei 2
i 1
Ei
32 52 42 32 22 12 3,1 20 20 20 20 20 20 2
2 tabel = 2 5%,(6-1) = 11,07
52
Total 120
Karena 2 hitung < 2 tabel ,maka Ho diterima, jadi proporsi keluarnya tiap mata dadu yang muncul sama, atau dadu dalam keadaan seimbang
D. UJI INDEPENDENSI Untuk menguji independensi antara 2 (dua) faktor yang masing-masing terdiri dari beberapa kriteria digunakan uji independensi. Ho : X dan Y independen H1 : X dan Y tidak independen
1 O11 / E11 O21 / E21
1 2 FAKTOR I
JUMLAH K O1k / E1k O2k / E2k
n1. n2.
b
Ob1 / Eb1 n.1
JUMLAH
Dengan Eij =
FAKTOR II 2 … O12 / E12 O22 / E22
ni.xn.j n
Ob2 / Eb2 n.2
Obk / Ebk n.k b
N
k Oij Eij 2
. Statistik uji : i 1 j 1 2
nb.
Eij
(Sudjana) Ho ditolak jika 2 hitung > 2 tabel = 2 ,(b-1)(k-1) yang dilihat dari tabel lampiran 3 CONTOH (Sudjana): Akan diuji apakah ada hubungan antara tingkat pendapatan dan kelas pasar di mana masyarakat belanja. Diperoleh data berikut:
53
TINGK. PENDA PATAN
1 56 47 14 117 n.1
TINGGI SEDANG RENDAH JUMLAH
KELAS PASAR 2 3 71 12 163 38 42 85 276 135 n.2 n.3
JML 4 35 62 43 140 n.4
174= n1. 310= n2. 184= n3. 668 n
E1 1 = (117 x 174) / 668 = 30,5 ; E1 2 = (276 x 174) / 668 = 71,9 E1 3 = (135 x 174) / 668 = 35,2 ; E1 4 = (140 x 174) / 668 = 36,5 E2 1 = (117 x 310) / 668 = 54,3 ; E2 2 = (276 x 310) / 668 = 128,1 E2 3 = (135 x 310) / 668 = 62,6 ; E2 4 = (140 x 310) / 668 = 65,0
TINGK.
TINGGI
PENDA
SEDANG
PATAN
RENDAH
1 56 / 30,5 47 / 54,3 14 / 32.2 117 n.1
JUMLAH b
i 1 j 1
2 =
JML 4 35 / 36,5 62 / 65,0 43 / 38,5 140 n.4
174= n1. 310= n2. 184= n3. 668 n
k Oij Eij 2
2
KELAS PASAR 2 3 71 / 12 / 71,9 35,2 163/12 38 / 8,1 62,6 42 / 85 / 78,0 37,5 276 135 n.2 n.3
Eij
(56 30,5) 2 (71 71,9)2 (12 35,2) 2 (12 36,5) 2 + + + + 71,9 30,5 35,2 36,5
(47 54,3) 2 (163 128,1) 2 (38 62,6) 2 (62 65,0) 2 + + + + 54,3 128,1 62,6 65,0 (14 32,2) 2 (42 76,0) 2 (85 37,2) 2 (43 38,5) 2 + + + = 76,0 37,2 32,2 38,5 144,12
54
2tabel 12%,(31)(41) 16,8 2 Karena χ 2hitung χ1%, (31)(41) 16,8 maka Ho ditolak, jadi variabel X
dan Y tidak independen atau ada ketergantungan antara faktor tingkat pendapatan dan kelas pasar. LATIHAN SOAL: 1. Suatu badan kesehatan mengambil sampel random tahun1991 sebanyak 1500 orang, didapati 555 orang diantaranya merokok, dan pada tahun 2001 sebanyak 1750 orang didapati 578 diantaranya perokok. Apakah data dari badan kesehatan tersebut mendukung fakta bahwa perokok menurun dalam periode 10 tahun tersebut ? Gunakan taraf signifikansi 5% 2. Sebuah perusahaan angkutan dengan rute jalan yang kasar ingin membandingkan kualitas dua merk ban yang sering dipakai. Dari 50 angkutan yang menggunakan ban merk “Radia” ditemukan 16 angkutan yang bannya sering pecah di perjalanan . Sedangkan dari 60 angkutan yang menggunakan ban merk “Goodness” ditemukan 21 angkutan yang sering mengalami pecah bandi perjalanan. Ujilah : a. Apakah proporsi ban “Radia” dan “Goodness” yang mengalami pecah ban sama dengan alternatif tidak sama, dengan taraf signifikansi 5% b. Ban merk “Goodness” mengalami pecah ban di perjalanan lebih dari 25%, dengan 4% 3. Menurut pengalaman masa lalu, Seorang dosen memberi nilai A, B dan C dengan perbandingan 2 : 5 : 3. Dari 60 mahasiswa, ternyata yang memperoleh nilai A 10 orang, yang memperoleh nilai B 35 orang, yang memperoleh nilai C 15 orang. Apakah data tersebut menguatkan bahwa perbandingannya masih 2 : 5 : 3? Ambil taraf signifikansi 5%. 4. Suatu sampel`acak 200 pria yang sudah berkeluarga dibedakan menurut pendidikan dan jumlah anak :
55
Pendidikan ayah
SD SEKOLAH MENENGAH PERGURUAN TINGGI JUMLAH
JUMLAH ANAK 0–1 2-3 Lebih dari 3 14 37 32 19 42 17 12
17
Jumlah
10
Uji hipotesis pada taraf keberartian 5%, banyak anak tidak tergantung pada tingkat pendidikan yang dicapai ayah
56
BAB VI ANALISIS VARIANSI A. ANALISIS VARIANSI SATU JALAN Untuk menguji kesamaan rata-rata lebih dari 2 populasi digunakan Analisis Variansi satu jalan (One way ANOVA). Rumusrumus di bab ini diadopsi dari buku Walpole. Model Anova Satu Jalan : Yij = + i + ij Keterangan: Yij : nilai Y ke j pada kolom i : rata-rata keseluruhan i : beda antara rata-rata kolom ke i dengan rata-rata keseluruhan ij : beda antara rata-rata kolom ke i dengan Yij Rumusan hipotesis: Ho : 1 = 2 = . . . = k atau Ho : 1 = 2 = . . . = k = 0 Yang berarti rata-rata antar kelompok sama. H1 : i j , untuk suatu i j atau H1 : i ≠ 0 untuk suatu i Yang berarti terdapat kelompok yang rata-ratanya tidak sama. Y1 Y11 Y12 : Y1n
Y2 Y21 Y22 : Y2n
Y3 Y31 Y32 : Y3n
T1
T2
T3
Y
1i
Y
2i
Yk Yk1 Yk2 :
Ykn Tk
Y
Y
ki
3i
57
TABEL ANALISIS VARIANSI JK(jumlah kuadrat)
ANTAR KELOMPOK
k
Ti2
I 1 ni
k Ti i 1 nk
2
DALAM KELOMPOK
JKT – JKA
TOTAL
k T k n 2 i1 i Yij nk i1 j1
2
dk (derajad kebebasan)
RK (rerata kuadrat)
Fratio
k-1
JK A dk A
RK A RKD
N-k
JKD dkD
N-1
Rumus-rumus dari Walpole Fhitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,(k-1,N-k) yang diambil dari tabel lampiran 4 Ho ditolak jika Fhitung > F,(k-1,N-k) Contoh : Dari 5 tablet sakit kepala yang diberikan pada 25 orang dicatat berapa lama tablet itu dapat mengurangi rasa sakit. Ke 25 orang itu dibagi secara acak ke dalam 5 grup, masing-masing grup diberi 1 jenis obat. Data yang diperoleh sbb Tablet Jumlah A B C D E 5 9 3 2 7 4 7 5 3 6 8 8 2 4 9 6 6 3 1 4 3 9 7 4 7 Total 26 39 20 14 33 132 Rataan 5,2 7,8 4,0 2,8 6,6 5,28 Ujilah hipotesis A = B = . . . = E pada taraf signifikansi 5% Jawab :
58
H0 : A = B = . . . = E H1 : i j untuk suatu i j
A 5 4 8 6 3 26 5,2
Total Rata2
k
JKA=
Ti2
I 1 ni
A2 25 16 64 36 9 150
B 9 7 8 6 9 39 7,8 2 k Ti i 1
B2 81 49 64 36 81 311
Kelas C C2 3 9 5 25 2 4 3 9 7 49 20 96 4,0
D 2 3 4 1 4 14 2,8
D2 4 9 16 1 16 46
E 7 6 9 4 7 33 6,6
E2 49 36 81 16 49 231
nk
262 392 202 142 332 3882 1322 79,44 = 5 25 5 2
k T k n 2 i1 i 1322 137,04 JKT = Yij = 834 25 nk i1 j1 JKD = JKT – JKA = 137,04-79,44 = 57,6
59
132 5,28
834
TABEL ANALISIS VARIANSI JK(jumlah kuadrat)
ANTAR KELOM POK
dk (derajad kebebasan)
2
k T2 i I 1 ni
k Ti i 1 = nk
JKT – JKA=
TOTAL
k Ti n 2 Yij i 1 nk j 1 = 137,04
JK A RK A = dk A RK D = 79,44 19,86 4 2,88 19,86 6,88
N-k= 20
JKD = dkD 57,6 20 2,88
57,6
k
i 1
2
Fratio
k-1= 4
79,44
DALAM KELOM POK
RK (rerata kuadrat)
Ftabel
F(k-1, N-k)= F5%,(4,20) = 2,87
N-1= 24
Fhitung = 6,88 dikonsultasikan dengan Ftabel = F,(k-1,N-k) = F5%,(4,20) = 2,87 Ho ditolak karena Fhitung > F,(k-1,N-k). Jadi ada rata-rata waktu kesembuhan yang tidak sama dari kelima tablet tersebut. Atau kelima tablet tersebut mempunyai pegaruh yang berbeda bagi kesembuhan pasien
60
B. ANALISIS VARIANSI DUA JALAN TANPA INTERAKSI Model : Yijk = + i + j +ij 1. Ho1 : 1 = 2 = . . . = a = 0 H11 : paling sedikit satu i yang tidak sama dengan nol 2. Ho2: 1 = 2 = . . . = b = 0 H12 : paling sedikit satu j yang tidak sama dengan nol
B 1
2
b
A 1 2
Y11 Y21 : Ya1
a
T.1 Y1i
Y12 Y22
Y1b. Y2b.
Ya2
Yab.
JUMLAH T1. T2.
T.b Ybi
T.2 Y2i
Ta. T...
TABEL ANALISIS VARIANSI JK(jumlah kuadrat)
A
a
T
2 i.
I 1
b
T. 2j I 1
a
a
Yijk2 k 1
F1
RKA RKG
b-1
JKB dkB
F2
RKB RKG
(a-1)(b-1)
JKG dkG
T .. ab
TOTAL
i 1
JK A dk A
2
JKT-JKA-JKB
a-1
T .. ab
GALAT
n
RK (rerata kuadrat)
2
b
B
dk (derajad kebebasan)
ab-1
T ..2 ab
Rumus-rumus dari Walpole
61
Fratio
F1hitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,(a-1,ab(n-1)) Ho1 ditolak jika F1 hitung > F,(a-1,ab(n-1)), artinya tidak ada perbedaan pengaruh faktor A F2hitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,(b-1,ab(n-1)) Ho2 ditolak jika F2 hitung > F,(b-1,ab(n-1)), artinya tidak ada pengaruh faktor B Contoh : Siswa
Metode mengajar A B C Ti. 210 64 72 74 159 55 57 47 183 59 66 58 168 58 57 53 720 236 252 232
Anak I Anak II Anak III Anak IV Total
A2 4096 3025 3481 3364 13966
B2 5184 3249 4356 3249 16038
C2 5476 2209 3364 2809 13858
Y2 43862
a
T JKA =
2 i.
I 1
b
T ..2 2102 1592 1832 1682 7202 = 498 ab 3 3.4
b
T JKB =
I 1
a a
JKT =
2 .j
i 1
n
T ..2 2362 2522 2322 7202 = 56 ab 4 3.4
Yijk2 k 1
T ..2 7202 = 64 2 ... 532 662 ab 3.4
JKG = JKT-JKA-JKB = 662 – 498 – 56 = 108
62
TABEL ANALISIS VARIANSI JK(jumlah kuadrat)
dk (derajad kebebasan)
RK (rerata kuadrat)
498
a-1= 3
JK A = dk A
56
b-1 = 2
GALAT
108
(a-1)(b-1) = 6
TOTAL
662
ab-1 11
A
166 B
JKB = dkB 28
Fratio
F1
RKA RKG
= 9,22
F2
RKB RKG
= 1,56
JKG = 18 dkG
FA tabel = F 5%,(3,6) = 4,76 F A hitung > F tabel Ho ditolak, artinya ada perbedaan nilai antar siswa FB tabel = F 5%,(2,6) = 5,14 F B hitung < F tabel Ho diterima, artinya tidak ada perbedaan nilai karena perbedaan metode mengajar yang dapat berarti tidak ada pengaruh perbedaan metode mengajar terhadap nilai siswa.
63
C. ANALISIS VARIANSI DUA JALAN DENGAN INTERAKSI Model : Yijk = + i + j + ()ij +ij 1. Ho1 : 1 = 2 = . . . = a = 0 H11 : paling sedikit satu i yang tidak sama dengan nol 2. Ho2: 1 = 2 = . . . = b = 0 H12 : paling sedikit satu j yang tidak sama dengan nol 3. Ho3 : ()11 = ()12 = . . . = ()ab = 0 H13 : paling sedikit satu ()ij yang tidak sama dengan nol
B 1
2
B
A 1
2
: A
JML
Y111 Y112 : Y11n Y211 Y212 : Y21n : Ya11 Ya12 : Ya1n
Y121 Y122 : Y12n Y221 Y222 : Y22n : Ya21 Ya22 : Ya2n
...
...
...
T.1. TY.21i. Y... 2i Y.1.
Y.2.
Y1b1 Y1b2 : Y1bn Y2b1 Y2b2 : Y2bn : Yab1 Yab2 : Yabn
JML T1..
RATAAN
Y1..
T2..
Y2..
: Ta..
:
Ya..
T.k. YkiT... Y.b.
Dari tabel awal dibuat tabel untuk jumlah setiap sel berikut
64
B 1
2
b
A 1 2 A
T11. T21. : Ta1.
T12. T22.
T1b. T2b.
Ta2.
T.1.
Tab.
Y
Y
1i
Ta.. T...
T.b.
T.2.
Y
JUMLAH T1.. T2..
bi
2i
TABEL ANALISIS VARIANSI (Walpole) JK(jumlah kuadrat)
dk (derajad kebebasan)
RK (rerata kuadrat)
Fratio
Ftabel
a-1
JK A dk A
F1 RK A RKG
F(a-1,
JKB dkB
F2 RK B RKG
(a -1)(b-1)
JK AB dk AB
F3 F((a-1)(bRK AB 1), ab(n-1)) RK G
ab(n-1)
JKG dkG
a
A
Ti..2
I1
bn
T...2 abn
b
b-1
T.2j.
B
I1
an
AB
a
b
a
T I 1 J 1
T...2 abn
2 IJ .
n
T
2 i ..
I 1
bn
b
T j 1
2 . j.
an GALAT
TOTAL
T ...2 abn
JKT-JKA-JKB-JKAB
a b
n
Yijk2
i 1j 1 k 1
abn-1
T...2 abn
Rumus-rumus dari Walpole F1hitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,(a-1,ab(n-1))
65
ab(n-1))
F(b-1, ab(n-1))
Ho1 ditolak jika F1 hitung > F,(a-1,ab(n-1)), berarti ada perbedaan rata-rata antar baris. F2hitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,(b-1,ab(n-1)) Ho2 ditolak jika F2 hitung > F,(b-1,ab(n-1)) , berarti ada perbedaan rata-rata antar kolom. F3hitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,((a-1)(b-1),ab(n-1)) Ho3 ditolak jika F1 hitung > F,((a-1)(b-1),ab(n-1)) berarti ada interaksi antara faktor A dan faktor B Contoh : Berikut nilai Matematika dari siswa yang diajar dengan metode A, metode B dan Metode C yang dibedakan atas scor IQ IQ Metode mengajar JUMLAH A B C IQ≥ 120 64 72 74 T1.. 607 66 81 51 70 64 65 110≤IQ< 120 65 57 47 T2.. 63 43 58 510 58 52 67 100≤IQ< 110
IQ< 100
59 68 65 58 41 46 T.1.= 723
66 71 59 57 61 53 736
58 39 42 Y431=53 Y432=59 38 651
T3.. 527 T4.. 466 T… = 2110
Ujilah : 1. Apakah ada perbedaan pengaruh skor IQ terhadap nilai Bahasa Indonesia? 2. Apakah ada perbedaan pengaruh metode mengajar terhadap nilai Bahasa Indonesia? 3. Apakah tidak ada interaksi antara metode mengajar dan skor IQ? Ambil taraf signifikansi 5% Jawab :
66
1. Ho1 : 1 = 2 = . . . = a = 0 (tidak ada pengaruh IQ terhadap nilai) H11 : paling sedikit satu i yang tidak sama dengan nol (ada pengaruh IQ terhadap nilai) 2. Ho2: 1 = 2 = . . . = b = 0 (tidak ada pengaruh metode mengajar terhadap nilai) H12 : paling sedikit satu j yang tidak sama dengan nol (ada pengaruh metode mengajar terhadap nilai) 3. Ho3 : ()11 = ()12 = . . . = ()ab = 0 (tidak ada interaksi antara IQ dan metode mengjar) H13 : paling sedikit satu ()ij yang tidak sama dengan nol (ada interaksi antara IQ dan metode mengjar) IQ IQ≥ 120
110≤IQ < 120
100≤IQ < 110
IQ< 100
Total
A 64 66 70 T11= 200 65 63 58 186 59 68 65 192 58 41 46 145 T.1.= 723
A2 4096 4356 4900 13352 4225 3969 3364 11558 3481 4624 4225 12330 3364 1681 2116 7161
Metode mengajar B B2 C 72 5184 74 81 6561 51 64 4096 65 T13= 217 15841 190 57 3249 47 43 1849 58 52 2704 67 152 7802 172 66 4356 58 71 5041 39 59 3481 42 196 12878 139 57 3249 53 61 3721 59 53 2809 38 171 9779 150 736
651
C2 5476 2601 4225 12302 2209 3364 4489 10062 3364 1521 1764 6649 2809 3481 1444 7734
T1.. 607
T2.. 510
527
466 2110 =T…
Y 2 =127448 67
a
Ti..2
T...2 = bn abn
JKA = I1
6072 5102 5272 4662 21102 1157 9 36
b
T JKB =
I 1
2 . j.
an
T ...2 723 2 = abn
a b TIJ2. JKAB = I1J1
n
a Ti..2 I1
bn
736 2 6512 2110 2 350 12 36
b
T.2j.
j1
an
T...2 abn
2002 ... 1502 6072 5102 5272 4662 7232 7362 6512 21102 771 3 9 12 36
a b
n
2 JKT = Yijk i 1j 1 k 1
T...2 21102 = 127448 3779 36 abn
JKG = JKT-JKA-JKB-JKAB = 3779 – 1157 – 350 – 771 = 1501 TABEL ANALISIS VARIANSI
68
A
JK(jumlah kuadrat) 1157
dk/derajad kebebasan a-1 = 3
RK (rerata kuadrat)
JK A dk A
=
365667
350 B
JKB = dkB
b-1 = 2
175
AB
771
JK AB = dk AB
(a-1)(b-1)= 2.3 = 6
128,5
GALAT
1501
Fratio
F1
RKA RKG
365,667 62,212 6,17
F2
RKB RKG
175 62,212 2,60
F3
RKAB RKG
128,5 62,212 2,05
Ftabel F(a-1, ab(n1))= F5%,(3,24) = 3,01
F(b-1, ab(n1))= F5%,(2,24) =3,40
F((a-1)(b-1), ab(n-1))= F5%,(6,24) = 2,51
JKG = dkG
ab(n-1)= 3.4.2= 24
62,212 TOTAL
3779
abn-1 = 35
F1hitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,(a-1,ab(n-1)) = F5%,(3,24) = 3,01. Ho1 ditolak karena F1 hitung > 3,01 artinya ada perbedaan pengaruh skor IQ terhadap nilai Matematika F2hitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,(b-1,ab(n-1)) = F5%,(2,24) =3,40. Ho2 diterima karena F2 hitung < 3,40 artinya tidak ada perbedaan pengaruh metode mengajar terhadap nilai Matematika F3hitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,((a-1)(b-1),ab(n-1)) = F5%,(6,24) = 2,51. Ho3 diterima karena F3 hitung < 2,51 artinya tidak ada interaksi antara metode mengajar dan skor IQ siswa
69
D. ANALISIS VARIANSI DUA JALAN SEL TAK SAMA Dalam kenyataan di lapangan, ternyata sering terjadi bahwa tidak semua kondisi atau keadaan mempunyai banyak anggota yang sama. Untuk kasus yang banyak obyeknya tidak sama, digunakan uji analisis variansi sel tak sama. Model Xijk = i j ()ij ijk 1) Notasi dan tata letak data B A Faktor A
b1
Faktor B b2
b3
a1
a2
2). Prosedur uji Hipotesis : H01: i = 0 untuk semua harga i Artinya tidak ada perbedaan rata-rata antar baris, atau tidak ada perbedaan pengaruh faktor baris H11: i 0 untuk paling sedikitnya satu harga i Artinya ada perbedaan rata-rata antar baris, atau ada perbedaan pengaruh faktor baris
H02: j
= 0 untuk semua harga j Artinya tidak ada perbedaan rata-rata antar kolom, atau tidak ada perbedaan pengaruh faktor kolom
H12: j
0 untuk paling sedikitnya satu harga j Artinya ada perbedaan rata-rata antar kolom, atau ada perbedaan pengaruh faktor kolom
H03: () ij = 0 untuk semua harga (ij) Artinya tidak ada interaksi antar faktor baris dan faktor kolom H13: () ij 0 untuk paling sedikitnya satu harga (ij)
70
Artinya ada interaksi antar faktor baris dan faktor kolom 3). Dipilih taraf signifikan = 5% 4). Komponen jumlah kuadrat Ada lima komponen yang berturut-turut dikembangkan dengan rumusan sebagai berikut: (Slametto) G2 (1). =
pq (2). = SSij ij
2
Ai (3). = q
Bj2 (4). = 1
p
(5). = ABij2 ij
Jumlah kuadrat JKA = [(3) – (1)].nh JKB = [(4) – (1)].nh JKAB = [(5) – (4) – (3) + (1)].nh JKG JKt
= SSij ij = JKA + JKB + JKAB + JKG
Dimana :
pq = rerata harmonik cacah pengamatan semua sel 1 ij n ij
nh
=
SSij=
X ijk2 k
( X ijk ) 2 n ijk
=jumlah kuadrat deviasi pada sel abij
5). TABEL ANALISIS VARIANSI
71
JK(jumlah kuadrat)
dk (derajad kebebasan)
RK (rerata kuadrat)
JKA
p-1
JK A dk A
F1
RKA RKG
F,( p1, Npq)
JKB
q-1
JKB dkB
F2
RKB RKG
F,(q 1, Npq)
AB
JKAB
(p-1)(q-1)
JK AB dk AB
F3
RKAB F,((p1)(q1),Npq) RKG
GALAT
JKG
N-p.q
JK G dk G
TOTAL
JKT
N-1
A
B
Fratio
Ftabel
FAhitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,( p1, Npq) Ho1 ditolak jika FA hitung > F,( p1, Npq) FBhitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,( q 1, Npq) Ho2 ditolak jika FB hitung > F,( q 1, Npq) FABhitung dikonsultasikan dengan Ftabel = F,((p1)(q 1),Npq) Ho3 ditolak jika FAB hitung > F,((p1)(q 1),Npq) Contoh : Berikut merupakan hasil eksperimen untuk menguji efektifitas dua metode mengajar yang berbeda pada mata pelajaran Matematika dengan memperhatikan score IQ yang berbeda
72
IQ
METODE X
JUMLAH Y
IQ ≥110
9 7 8 6
IQ < 110
5 4 4 7 4 B.1. = 54
5 4 8 6 9 7 6 5 4 7 B.2. = 61
A1. = 62
A2.. = 53
JUMLAH G = 115 Uji: 1. Apakah ada perbedaan pengaruh skor IQ terhadap nilai Matematika? 2. Apakah ada perbedaan pengaruh metode mengajar terhadap nilai Matematika? 3. Apakah ada interaksi antara metode mengajar dan skor IQ? Ambil taraf signifikansi 5% Jawab: Hipotesis : H01: i = 0 untuk semua harga i tidak ada perbedaan pengaruh skor IQ terhadap nilai Matematika H11: i 0 untuk paling sedikitnya satu harga i ada perbedaan pengaruh skor IQ terhadap nilai Matematika
H02: j
= 0 untuk semua harga j tidak ada perbedaan pengaruh metode mengajar terhadap nilai Matematika
H12: j
0 untuk paling sedikitnya satu harga j ada perbedaan pengaruh metode mengajar terhadap nilai Matematika
H03: () ij = 0 untuk semua harga (ij)
73
tidak ada interaksi antara skor IQ dan metode mengajar H13: () ij 0 untuk paling sedikitnya satu harga (ij) ada interaksi antara skor IQ dan metode mengajar FAKTOR B FAKTOR A IQ ≥110
X 9 7 8 6
METODE Y X2 81 49 64 36
30 = AB11. IQ < 110
5 4 4 7 4 24 = AB21.
5 4 8 6 9
32 = AB12. 210 25 16 16 49 16 122
7 6 5 4 7
332
62 = A1..
61= B.2.
432
222 49 36 25 16 49
29 = AB22.
JUMLAH 54 = B.1.
Y2 25 16 64 36 81
53 = A2.. 175 397
115 = G
297 729 =
X i
pq 2.2 = 4,7 1 1 1 1 1 ij n 4 5 5 5 ij
nh
=
SS11
= 210
SS12 SS21 SS22
302 4 4 322 = 222 17,2 5 242 = 122 6,8 5 29 2 6,8 = 175 5 74
j
k
2 ijk
G 2 1152 = 3306,25 pq 2.2 (2). = SSij = 4 + 17,2 + 6,8 + 6,8 = 34,8 (1). =
ij
2
Ai 62 2 532 (3). = = 3326,5 q 2
Bj2 (4). = 1
p
=
542 612 3318,5 2
(5). = ABij2 =302 + 322 + 242 +292 = 3341 ij
Jumlah kuadrat JKA = [(3) – (1)].nh = (3326,5 – 3306,25).4,7 = 95,175 JKB = [(4) – (1)].nh = (3318,5 – 3306,25).4,7 = 57,575 JKAB = [(5) – (4) – (3) + (1)].nh = (3341–3318,5–3326,5+3306,25).4,7 = 10,575 JKG JKt
= SSij ij = JKA + JKB + JKAB + JKG
TABEL ANAVA
75
= 6,8 =170,125
A
JK(jumlah kuadrat) 95,175
dk (derajad kebebasan) p-1 = 1
RK (rerata kuadrat)
JK A dk A
=
Fratio
F1
Ftabel
RKA F5%,(1,15) RKG = 4,54
95,175
95,175 0,453 209,94
57,575
JKB = dkB
q-1= 1
B
AB
10,575
(p-1)(q-1) = 1
57,575
RKB F5%,(1,15) RKG = 4,54 57,575 0,453 127,09
JK AB dk AB
F3
=
10,575
GALAT
6,8
N-p.q = 15
F2
RKAB F5%,,(1,15) RKG = 4,54 10,575 0,453 23,34
JKG = dkG 0,453
TOTAL
170,125
N-1 = 18
FAhitung > Ftabel , maka Ho1 ditolak. Jadi terdapat perbedaan rata-rata antar baris, atau ada perbedaan pengaruh score IQ terhadap nilai Matematika. FBhitung > Ftabel , maka Ho2 ditolak. Jadi terdapat perbedaan rata-rata antar kolom, atau ada perbedaan pengaruh metode mengajar terhadap nilai Matematika. FABhitung > Ftabel , maka Ho3 ditolak. Jadi terdapat perbedaan rata-rata antar sel, atau ada pengaruh bersama score IQ dan metode mngajar
76
terhada nilai Matematika. atau ada interaksi antara score IQ dan metode mengajar. LATIHAN SOAL 1. Data berikut adalah nilai untuk tiga metode yang berbeda No. Metode A Metode B Metode C 1. 4 6 8 2. 6 6 7 3. 8 5 9 4. 8 7 6 5. 7 7 7 6. 9 6 7. 8 Apakah ketiga metode menghasilkan hasil yang sama? Anggap ketiga kelompok mempunyai variansi yang sama Ambil taraf signifikansi 5% 2. Berikut ini adalah tahan hidup 3 macam merk lampu (dalam puluhan jam) Merk A Merk B Merk C 54 56 50 50 59 58 57 57 53 60 59 60 55 60 55 Ujilah apakah ketiga merk lampu: a. Mempunyai variansi sama? b. Mempunyai kualitas yang sama ? Ambil taraf signifikansi 5% 3. X1 = nilai Bahas inggris X2 = nilai Matematika X3 = nilai akuntansi X1 6 7 8 9 7 7
X2 7 8 9 5 6 7
Uji apakah ketiga mata pelajaran
77
X3 8 8 9 6 7 8
a. Mempunyai variansi sama? b. Mempunyai rata-rata yang sama ? Ambil taraf signifikansi 5% 4.
Berikut ini : X1 nilai Matematika, X2 = nilai Bahasa Inggris, X3 = nilai Ekonomi X1 X2 X3 4 4 4 8 6 7 7 8 8 6 8 6 9 9 9 6 7 7 7 8 7 8 8 6 a. Uji apakah variansi ketiga populasi sama? b. Ujilah pendapat bahwa rata-rata nilai ketiga mata pelajaran sama, dengan alternatif tidak sama, dengan menggunakan Analisis Variansi satu jalan, = 5%.
5. Berikut adalah nilai matematika yang diajar dengan menggunakan metode A, B dan C. A B C 73 88 68 89 78 79 82 48 56 43 91 91 80 51 71 73 85 71 66 74 87 60 77 41 45 31 59 93 78 68 36 62 53 77 76 79 96 15 80 56 a. Uji apakah ketiga kelas mempunyai variansi sama?
78
b. Mempunyai rata-rata yang sama ? Ambil taraf signifikansi 5% 6. Berikut ini nilai Matematika yang diajar dengan metode A dan dengan metode B, dibedakan atas score IQ siswa. Metode A Metode B IQ < 100 7 7 8 6 6 7 4 7 7 5 8 6 7 7 100 IQ 120 8 6 9 7 7 7 7 8 8 8 IQ > 120 7 7 8 6 9 9 10 9 5 8 9 8 Ujilah : a. Apakah ada perbedaan nilai Matematika karena score IQ? b. Apakah ada perbedaan nilai Matematika karena perbedaan metode mengajar ? c. Apakah ada interaksi antara Metode mengajar dan tingkat score IQ ? Ambil taraf signifikansi 5%. 7. Berikut ini nilai Bahasa Indonesia yang diajar dengan metode A, metode B dan dengan metode C, dibedakan atas score IQ siswa.
79
IQ < 110
IQ >110
Metode A 7 8 6 4 7 8 7 8 9 7 7 8
Metode B 7 6 7 7 5 6 7 6 7 7 8 8
Metode C 7 8 9 10 5 9 7 6 9 9 8 8
Ujilah : a. Apakah ada perbedaan nilai Bahasa Ind karena score IQ? b. Apakah ada perbedaan nilai Bahasa Ind karena perbedaan metode mengajar ? c. Apakah ada interaksi antara Metode mengajar dan tingkat score IQ ? Ambil taraf signifikansi 5%. 8. Berikut ini nilai Matematika yang diajar dengan metode A dan dengan metode B, dibedakan atas score IQ siswa
IQ < 100
100 IQ 120
IQ > 120
Metode A 7 8 6 4 7 7 8 9 7 7 8 7 8 9 10 9
80
Metode B 7 6 7 7 5 6 7 6 7 7 8 8 7 6 9 9 8 8
Ujilah : a. Apakah ada perbedaan nilai Matematika karena score IQ ? b. Apakah ada perbedaan nilai Matematika karena perbedaan metode mengajar ? c. Apakah ada interaksi antara Metode mengajar dan tingkat score IQ ? Ambil taraf signifikansi 5%.
81
82
BAB VII ANALISIS KORELASI DAN REGRESI A. ANALISIS KORELASI 1. Korelasi Antara 2 (dua) variabel Hubungan antara dua variabel dapat diukur tingkat korelasinyan dengan koefisien korelasi Produk Momen. Rumus-rumus pada bab ini diadopsi dari beberapa sumber antara lain dari Sudjana dan Sutrisno Hadi.
rxy Atau:
rxy
N X
N XY X Y
2 i
x y x y 2
X i N Yi2 Y 2
2
2
(Sudjana)
(Sutrisno Hadi)
di mana : y=Y- Y
( X)2 x X N ( Y)2 2 2 y Y N ( X)( Y) x.y XY N 1 r 1 Untuk r 0 atau korelasi negatif berarti bila X semakin besar maka 2
2
Y semakin kecil. Hubungannya dapat digambarkan seperti grafik berikut . . . . . . .
.. . . . . , . X
Y
83
Untuk r 0 atau korelasi positif berarti bila X semakin besar maka Y semakin besar. Hubungannya dapat digambarkan seperti grafik berikut . . . . . . . ..
X Y Untuk menguji signifikansinya digunakan uji hipotesis: H0 : rxy = 0 H1 : rxy 0 atau H1 : rxy > 0 atau H1 : rxy < 0 Keberartian rxy ditinjau dengan membandingkannya dengan rtabel diambil dari tabel product momen dengan rtabel r, N1 (lampiran 5) Ho diterima jika rhitung < rtabel yang berarti tidak ada korelasi antara kedua variabel atau menggunakan statistik uji:
t
rxy n 1 1 rxY
2
(Sudjana)
Dibandingkan dengan tabel tα,n-1 (lampiran 2) Contoh : X Y 80 74 110 98 90 80 60 53 60 57 400 362
X2 6400 12100 8100 3600 3600 33800
Y2 5476 9604 6400 2809 3249 27538
X.Y 5920 10780 7200 3180 3420 30500
Dengan menggunakan rumus pertama
rxy
N X
N XY X Y 2 i
X i N Yi 2 Y 2
2
5.30500 400.362
5.33800 400 5.27538 84362 2
2
0,9956
rtabel = r5%,5 = 0,878 (lampiran 5). Ternyata rhitung > rtabel, kesimpulannya koefisien korelasi berarti. Artinya ada hubungan antara variabel X dan Y. Dengan menggunakan rumus yag kedua:
x
2
X
2
( X ) 2 n
4002 33800 1800 5
( Y ) 3622 27538 1329,2 n 5 ( X )( Y ) 400.362 xy XY n 30500 5 1540 x y 1540 0,9956 rxy x 2 y 2 1800.1329,2
y 2 Y 2
t
rxy n 1 1 rxY
2
2
0,9956. 4 1 0,99562
21,25
T tabel = 2,132 (lampiran 2) Karena thitung> t tabel, maka Ho ditolak, kesimpulannya ada korelasi antara X dan Y 2. KORELASI UNTUK LEBIH DARI 2 VARIABEL: a. koefisien korelasi parsial :
rY1 rY2r12
rY12
2
2
(1 rY2 )(1 r12 ) rY 2 ry1r12
rY 21
(1 rY 1 )(1 r12 ) 2
2
,
(Sutrisno Hadi)
Dengan ry1-2 koefisien korelasi parsiil Y dengan X1, X2 sebagai kontrol di mana rY1 = rX Y , rY2 = rX Y r12 = rX X 1
1
2
2
Untuk menguji apakah ada hubungan antara var. bebas ke var. terikat : H0 : rY1-2 = 0 H1 : ry1-2 0 atau H1 : ry1-2 > 0 atau H1 : ry1-2 < 0 Dengan statistik uji :
r n k 1 yang kemudian dikonsultasikan ke tabel t dengan t Y1 2 2 1 rY1 2 85
dk = n - k - 1 dan taraf signifikansi .(lampiran 2) k = banyak prediktor
b. koefisien korelasi ganda :
R Y.12
rY21 rY22 2rY1rY2r12 (1 r12 2 )
(Sutrisno Hadi)
Dengan ry1-2 koefisien korelasi parsiil Y dengan X1, X2 sebagai kontrol di mana rY1 = rX Y , rY2 = rX Y r12 = rX X 1
1
2
2
Atau:
R Y.12
1. x1y 2 x 2 y (Sutrisno Hadi) y2
yang merupakan koefisien korelasi ganda antara predictor X1 dan X2 dengan kriterium Y Untuk menguji apakah ada hubungan antara var. bebas ke var. terikat : H0 : RY.12 = 0 H1 : Ry.12 0 atau H1 : Ry.12 > 0 atau H1 : Ry.12 < 0 Dengan statistik uji :
F
R2 / k , k banyak prediktor (Sudjana) (1 R 2 ) /(n k 1)
yang kemudian dikonsultasikan ke tabel Fk,n-k-1,
86
B. ANALISIS REGRESI 1. REGRESI LINIER SEDERHANA Korelasi antara 2 variabel (atau lebih) dapat digambarkan sebagai grafik fungsi. Grafik fungsi ini mempunyai persamaan yang disebut persamaan regresi. Bentuk umum persamaan regresi linier sederhana adalah: Y = A + BX di mana :
B
N XY X Y N X2 X
2
, (Sudjana)
Y X X XY A N X X 2
2
2
atau A Y BX
B = koefisien regresi, A = konstanta Untuk menguji keberartian persamaan regresi dirumuskan hipotesis: H0 : = 0 H1 : 0 Dengan statistik uji:
F
R2 (1 R 2 ) /(n 2)
. (Sudjana)
Dibandingkan dengan F tabel = F(1,n-2) Jika Fhitung > Ftabel maka Ho ditolak. Jadi 0 yang artinya ada pengaruh X terhadap Y. Contoh : Berikut data skor minat belajar matematika (X) dan nilai matematika (Y). Buatlah persamaan regresinya dan uji, apakah persamaan regresi berarti. Dengan taraf signifikansi 5%. Jika persamaan regresi berarti, tentukan nilai Matematika jika diketahui minat belajar matematika 100. X Y 80 74 110 98 90 80 60 53 60 57 400 362
87
Untuk menguji apakah ada pengaruh var. bebas terhadap variabel terikat : H0 : i = 0 H1 : i 0 X 80 110 90 60 60 400
Y 74 98 80 53 57 362
X2 6400 12100 8100 3600 3600 33800
Y2 5476 9604 6400 2809 3249 27538
N XY X Y
B
N X 2 X
2
dan A Y BX
=
X.Y 5920 10780 7200 3180 3420 30500
5.30500 400.362 5.33800 4002
0,85
362 400 0,85. = 4,4 5 5
Jadi Pers. Regresinya : Y = 4,4 + 0,85 X Sedang koefisien korelasinya :
rxy
F
N X
N XY X Y 2 i
X i N Yi 2 Y 2
2
5.30500 400.362
5.33800 400 5.27538 362 2
R2 (1 R 2 ) /(n 2)
2
=
0,9956
0,99562 (1 0,99562 ) /(5 2)
=338,66
Ftabel = F5%,(1,3)=10,13 (lampiran 4) Karena Fhitung > Ftabel maka Persamaan regresi berarti, sehingga bisa untuk meramalkan Y jika X diketahui. Jika X = 100 maka Y = 4,4 + 0,85 X = 4,4 + 0,85.100 = 89,4
88
2. REGRESI LINIER GANDA Apabila ingin melakukan penelitian mengenai pengaruh antara 2 (dua) variabel atau lebih terhadap satu variabel lain digunakan analisis regresi ganda. Untuk regresi linier dengan 2 (dua) prediktor, bentuk persamaan regresi : Y = K + 1X1 + 2X2 Dalam hal ini yang menjadi prediktor adalah X1 dan X2 Y sebagai variabel respon atau kriterium. Untuk menguji apakah ada pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat dirumuskan hipotesis: H0 : i = 0 H1 : i 0 Dengan statistik uji:
R2 / k dimana F (1 R2 ) /(n k 1) k= banyak prediktor
R Y.12
R Y.12
rY21 rY22 2rY1rY2r12 (1 r12 2 )
Atau
1 x1 y 2 x 2 y
y
2
, R2 adalah koefisien determinasi/ koefisien penentu. Artinya, variabel Y ditentukan oleh prediktor sebesar R2 F kemudian dikonsultasikan ke tabel Fk,n-k-1, (lampiran 4) Jika Fhitung > Ftabel maka Ho ditolak. Jadi i 0 yang artinya ada pengaruh bersama X1 dan X2 terhadap Y. Y ditentukan oleh X1 dan X2 sebesar R2 Untuk menentukan persamaan regresi ganda ada beberapa cara: a. Dengan menggunakan metode least square, kemudian diselesaikan dengan determinan: Persamaan Regresi : Y = K + 1X1 + 2X2
89
Y n.K 1 X1 2 X2 X1Y K X1 1 X12 2 X1X2 X2 Y K X2 1 X1X2 2 X22 Untuk menghitung β1, β2 dan K dengan menggunakan determinan sperti berikut:
N
1
X1 X2 N X1 X2 N
2
X1 X2 N X1 X2
Y X Y X Y X X X X Y X Y X Y X X X X 1
2
1 2 1
1
2
1
2
1 2 1
1
2
X X X X X X X X X X X X X X X X 2
1 2 2
2
2
1 2 2
2
2
1 2 2
2
2
1 2 2
2
Untuk menghitung K dapat menggunakan determinan seperti berikut:
Y X X Y X X Y X X K N X X X X X X 1
1 2 1
2
1
1
1 2 1
2
1
2
X X X X X X X X 2
2
1 2 2
2
2
1 2 2
2
Atau dengan mengunakan rumus berikut: K = Y 1X1 2 X 2 Contoh: Tentukan persamaan regresi dengan variabel bebas X1 dan X2 variabel terikat Y. Apakah persamaan regresi berarti?
90
X1 80 110 90 60 60 400
X2 90 100 90 60 70 410
Y 74 98 80 53 57 362
Dari tabel tersebut dibuat tabel bantu seperti berikut: X1 X2 Y X1 2 X2 2 Y2 X1.X2 X1.Y X2.Y 80 90 74 6400 8100 5476 7200 5920 6660 110 100 98 12100 10000 9604 11000 10780 9800 90 90 80 8100 8100 6400 8100 7200 7200 60 60 53 3600 3600 2809 3600 3180 3180 60 70 57 3600 4900 3249 4200 3420 3990 400 410 362 33800 34700 27538 34100 30500 30830 Persamaan Regresi : Y = K + 1X1 + 2X2
Y
n.K
1 X1 2 X 2
X1Y K X1 1 X12
2 X1X 2
X 2 Y K X 2 1 X1X 2 2 X 22 362 5.k β1.400 β 2 .410 30500 k.400 β1.33800 β 2 34100 30830 k.410 β1 34100 β 2 34700
Y X1 X1 Y X 2 X 2Y 1 K X1 X1 X12 X 2 X1X 2 K
X2 5 X1X 2 400 2 410 X2 5 X2 400 X1X 2 410 X 22 91
362 30500 30830 400 33800 34100
410 34100 34700 410 34100 34700
5.30500.34700 362.34100.410 410.400.30830 410.30500.410 30830.31410.5 34700.400.362 5.33800.34700 400.34100.410 410.400.34100 410.33800.410 34100.34100.5 34700.400.400 0,683 K
X X
1
β2
2
K X1 X2
X X X X X X X X 1 2 1 1
1
2
2
1 2 1 1
Y X Y X Y X X X X 2
2
1 2 2
2
5 400 410 5 400 410
400 33800 34100 400 33800 34100
362 30500 30830 410 34100 34700
5.30500.30830 400.30500.410 362.400.34100 410.33800.362 34100.30500.5 30830.400.400 5.33800.34700 400.34100.410 410.400.34100 410.33800.410 34100.34100.5 34700.400.400 0,239
Y X X Y X X Y X X K n X X X X X X 1
1 2 1
2
1
1
1 2 1
2
1
2
X X X X X X X X 2
2
1 2 2
2
1 2 2
2
2
362 30500 30830 5 400 410
400 33800 34100 400 33800 34100
410 34100 34700 410 34100 34700
362.33800.34700 400.34100.3830 410.30500.34100 30830.333800.410 34100.34100.362 34700.30500.300 5.33800.34700 400.34100.410 410.400.34100 410.33800.410 34100.34100.5 34700.400.400 1,84 atau K = Y 1X1 2 X 2 akan menghasilkan nilai yang sama 92
Persamaan regresi menjadi : Y = -1,84 + 0,683 X1 + 0,239 X2 b. DENGAN CARA II: Persamaan regresi Y = K + 1X1 + 2X2 diubah menjadi y = 1x1 + 2x2 di mana y = Y- Y , x1 = X1 - X 1 dan x2 = X2 -
x y x x x x y x x x 1
1
2 1
2
1
1
X1 80 110 90 60 60 400
X2 90 100 90 60 70 410
2
2
1 2
2
X1 2
Y 74 98 80 53 57 362
2 2
X2
(Sudjana)
X2 2
Y2
X1.X2
X1.Y
X2.Y
6400 8100 5476 7200 5920 6660 12100 10000 9604 11000 10780 9800 8100 8100 6400 8100 7200 7200 3600 3600 2809 3600 3180 3180 3600 4900 3249 4200 3420 3990 33800 34700 27538 34100 30500 30830
( X 1 ) 2 4002 33800 1800 n 5 ( X 2 ) 2 4102 2 2 x X 34700 1080 2 2 n 5 ( Y ) 2 3622 2 2 y Y 27538 1329,2 n 5 ( X )( X ) 400.410 x1x2 X1 X 2 1 n 2 34100 5 1300 ( X )( Y ) 410.362 x2 y X 2Y 2n 30830 5 1146 ( X )( Y ) 400.362 x1 y X1Y 1n 30500 5 1540 x1y 1 x12 2 x1x 2
x12 X12
x y x x 2
1
1
2
2 x 22
93
1540 1.1800 2 (1300) 1146 1 (1300) 2 .1080 dieliminir
0,855 1 0,722. 2 0,882 1 0,831 2 0,027 0,109 2 2 0,239 | \1 0,683 K = Y 1 X 1 2 X 2 [ =
362 400 410 0,683. 0,239. 5 5 5
= -1,84 Persamaan regresi menjadi : Y = -1,84 + 0,683 X1 + 0,239 X2 Untuk menguji apakah ada hubungan antara variabel bebas X1 dengan Y, variabel X2 sebagai kontrol digunakan koefisien korelasi parsial dengan uji hipotesis sebagai berikut: H0 : rY1-2 = 0 H1 : ry1-2 0 Dengan ry1-2 koefisien korelasi parsiil Y dengan X1, X2 sebagai kontrol dengan rumus :
rY12
rY1 rY2r12 (1 rY2 2 )(1 r122 )
Dari contoh soal analisis regresi diperoleh
( X 1 ) 2 4002 x1 X n 33800 5 1800 2 4102 2 2 ( X 2 ) x2 X 2 n 34700 5 1080 2 3622 2 2 ( Y ) y Y 27538 1329,2 n 5 2
2 1
94
( X 1 )( X 2 ) 400.410 34100 1300 n 5 ( X )( Y ) 410.362 x2 y X 2Y 2n 30830 5 1146
x x X X 1 2
1
2
( X )( Y ) 410.362 x y X Y n 30830 5 1146 ( X )( Y ) 400.362 1540 x y X Y 30500 2
2
2
1
1
1
n
x y x y x y x y x x x x
ry1
1
2 1
ry 2
2
2
2 2
r12
2
1 2
2 1
rY12 =
t hitung
2 2
5
1540 0,996 1800.1329,2
1146 0,956 1080.1329,2
1300 0,932 1800.1080
rY1 rY2r12 (1 rY2 2 )(1 r122 )
0,996 (0.956).(0,932) (1 0,9562 )(1 0,9322 ) rY12 n k 1 1 rY12
2
=
0,9875
0,9875 5 2 1 1 0,98752
12,53
ttabel = t5%,2 = 2,92; t2,5%,2 = 4,30 (tabel t lampiran 2) Karena thitug > ttabel maka Ho ditolak. Artinya koefisien korelasi parsial antara Y dengan X1, variabel X2 sebagai kontrol adalah berartti. Jadi ada korelasi parsial antara Y dengan X1, variabel X2 sebagai kontrol.
95
Untuk menguji keberartian persamaan regresi digunakan rumus sebagai berikut
R Y.12 =
rY21 rY22 2rY1rY2r12 (1 r122 ) 0,9962 0,9562 2.0,996.0.956.0,932 (1 0,9322 )
= 0,997
F
R2 / k (1 R 2 ) /(n k 1)
0,9972 / 2 =372,47 (1 0,9972 ) /(5 2 1)
=
F tabel = F(k,n-k-1) = F(2,5-2-1) = 19,00 Karena Fhitung > F tabel maka Ho ditolak.Jadi persamaan regresi berarti, sehingga dapat untuk memperkirakan Y jika X1 dan X2 diketahui 3. Sumbangan dari masing-masing variabel bebas terhadap variabel terikat Dari persamaan regresi, dapat dihitung pula sumbangan masingmasing variabel. Sumbangan masing-masing variabel ada 2 (dua) macam, yakni sumbangan relatif dan sumbangan efektif.: a. Sumbangan relatif: Sumbangan relatif variabel X1 :
SR X1
1 x1y JK reg
100%
Sumbangan relatif variabel X2 :
SR X2
2 x 2 y JK reg
Dengan JKreg = 1
100%
(Sutrisno Hadi)
x y x y 2
1
2
b. Sumbangan efektif: Sumbangan efektif variabel X1 :
SEX1 SR X1 R 2
(Sutrisno Hadi)
96
Sumbangan efektif variabel X2 :
SEX2 SR X2 R 2 Untuk menguji apakah ada pengaruh masing-masing variabel bebas ke variabel terikat diuji dengan menggunakan uji sebagai berikut: H0 : i = 0 H1 : i 0 Dengan statistik uji (Sudjana):
t
i Si
Sβi 2
x
S2y.12 2 i
(1 R 2 )
JK(S) , n k 1 JK(S) y2 JK(Reg)
S2y.12
JK(Reg) 1. x1. y 2. x2. y atau Se
Y , dengan e Y nk n
e
2
2 i
2 i
2
Kemudian t dikonsultasikan dengan t tabel = t ,n-k-1 Dari contoh regresi di atas, a. Sumbangan relatif: Sumbangan relatif variabel X1 : Sebelumnya dihitung dahulu JKreg = 1 x1y 2 x 2 y
=0,683.1540+0,239.1146 = 1325,714
SR X1
1 x1y
x100% JK reg 0,683.1540 X 100% 79,34% = 1325,74
97
Sumbangan relatif variabel X2 :
SR X2
2 x 2 y
x100% = JK reg 0,239.1146 = X 100% 20,66% 1325,714
b. Sumbangan efektif: Sumbangan efektif variabel X1 :
SEX1 SRX1 x R2 79,34% X 0,9972 78.86% Sumbangan efektif variabel X2 : SE X2 SR X2 x R 2 = 20,66%X 0,9972 =20,54% R2 = 0,9972 = 0,940 = 99,40% Artinya bahwa VariabelY ditentukan oleh X1 dan X2 sebesar 99,40%, di mana yang 78,86% ditentukan oleh X1 dan 20,54% ditentukan oleh X2. Sisanya ditentukan oleh variabel lain, selain X1 dan X2. C. UJI LINIERITAS Hubungan antara 2 (dua) variabel belum tentu linier, sehingga persamaan regresinya juga belum tentu linier. Untuk mengetahui apakah hubungan antara 2 variabel itu linier atau tidak perlu diuji linieritasnya terlebih dahulu. Adapun untuk menguji linieritas seperti yang ditulis oleh Sudjana caranya: 1. Data diurutkan mulai dari kecil menurut variabel X, sedang variabel Y mengikuti pasangannya 2. Kelompokkan sesuai nilai-nilai X yang sama Data tersusun seperti berikut:
98
Responden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 dst n
X X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12
Y
Kelompokke 1 2 3
4 5 6 k Mengikuti sesuai X pasangannya
3. Hipotesis yang akan diuji: H01 : B = 0 H11: B ≠ 0 persamaan regresi berarti H02 : hubungan X dan Y linier H12: hubungan X dan Y tidak linier 4. Hitung dengan rumus sebagai berikut (Sudjana):
JKT Y 2
( Y) 2 n X. Y JK(b | a) b. XY n N XY X Y b 2 N X 2 X JKa
JK(S) = JK(T) – JK(a) – JK(b|a)
Y G Y n
2
2
i
untuk setiap kelompok ke i
2 Y 2 JK(G) Y ni xi 99
JK(TC) = JK(S) – JK(G) TABEL ANALISIS VARIANSI REGRESI LINIER SEDERHANA Sumber dk JK RK F Ftabel Variansi Total n Y2 Y2 Koefisien 1 JK(a) JK(a) Freg = Fs%,(1,n-2) (a) S2reg 2 1 JK(b|a) S JK(b | a) reg SS2|S Regresi JK(S) (b|a) n-2 JK(S) S2 S|S
Sisa Tuna cocok
k-2 n-k
JK(TC)
n2
FTC
JK(TC) k2 JK(G) SG2 nk 2 STC
JK(G)
Galat
=
Fs%,(k-2, 2 TC 2 G
S S
,n-k)
Freg > Ftabel H01 ditolak, berarti persamaan regresi berarti FTC < Ftabel H02 diterima, berarti hubungan antara X dan Y linier atau persamaan regresi linier Contoh: X 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8 9
Y 5 7 6 6 6 8 7 6 8 7 9 10 74
85
XY 20 35 30 30 36 48 42 36 56 49 72 90 544
JKT Y 2 = 625 100
X2 16 25 25 25 36 36 36 36 49 49 64 81 478
Y2 25 49 36 36 36 64 49 36 64 49 81 100 625
( Y) 2 852 JKa 602,08 n 12 N XY X Y 12.544 74.85 0,915 b 2 12.478 74 2 N X 2 X a Y bX
85 74 0,915. 1,44 12 12
Persamaan regresi: Y = 1.44 + 0.915 X
X. Y JK(b | a ) b. XY n 74.85 0,915.544 12 18,15
JK(S) = JK(T) – JK(a) – JK(b|a) = 625 – 602,08 – 18,15 = 4,77 X Y Kelompok ni
Y G= Y n
2
2
i
4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8 9
5 7 6 6 6 8 7 6 8 7 9 10
1 2
1 3
0 0,67
3
4
2,75
4
2
0,5
5 6
1 1
0 0 3,92
2 Y 2 Y ni xi
101
2 Y 2 JK(G) Y = 3,92 ni xi
JK(TC) = JK(S) – JK(G) = 4,77 – 3,92 = 0,85
TABEL ANALISIS VARIANSI REGRESI LINIER SEDERHANA Sumber Variansi Total Koefisie n (a)
Dk N= 12 1 1
Regresi (b|a) Sisa
JK Y2
Y2
JK(a) = 602.08
JK(a)
n-2 = JK(b|a) 10 = 18,15 JK(S) = 4,77
Tuna cocok
KT
k-2 = JK(TC 6–2 ) = =4 0,85
Galat n-k = JK(G) 12 – = 3,92 6=6
F
Freg = 2 reg
S
JK(b | a) =18,15
S S2|S
S2reg
JK ( S ) n2
4,77 0,477 12 2 2 STC
JK(TC) k2
0,85 0,2125 4 JK(G) SG2 nk 3,92 0,65 6
2 STC FTC = 2 = SG 0,2125 0,327 0,65
Ftabel = F5%(1,10) = 4,95 Freg > Ftabel H01 ditolak, berarti persamaan regresi berarti Ftabel = F5%(4,6) = 4,53 FTC < Ftabel H02 diterima, berarti hubungan antara X dan Y linier atau persamaan regresi linier
102
=
SS2|S 18,15 38,05 0,477
BAB VIII REGRESI NON LINIER
Apabila hubungan antara dua variabel tidak linier, persamaan regresi yang digunakan adalah persamaan regrei non linier. Rumusrumus yang digunakan pada bab ini diadopsi dari J. Supranto. A. TREND PARABOLA Salah satu regresi non linier adalah trend parabola dengan persamaan Regresi : Y = A + BX + CX2. Untuk menentukan nilai A, B dan C menggunakan cara:
n.A
Y
B X C X 2
XY A X B X 2 C X 3 X 2 Y A X 2 B X 3 C X 4 Y X X2 XY X2 X3 X 2 Y X3 X 4 A n X X2 X X 2 X3 X 2 X3 X 4
Y X XY X X Y B n X X X X X n
2
2
2
2
3
X X X X X X 2
3
4
2
3
4
103
(Supranto)
n
X X
2
C
n X X2
X X X X X X
2 3
2 3
Y XY X Y X X X 2
2
3
4
Contoh : Produksi padi suatu daerah adalah sebagai berikut dalam ton) Tahun
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2
5
8
15
26
37
Produksi (jutaan ton)
Berapa besar ramalan produksi pada tahun 2015 ? Kalau data urut, dapat dikonversi ke bilangan bulat yang urut juga. Misal misal tahun yang urut, untuk nilai X dapat dikonversi menjadi 3, 2, 1, 0, -1, 2, -3 kalau data ganjil. Kalau data genap dikonversi menjadi 3, 1, 1, -3. Tujuannya supaya
X dan X
3
=0
Untuk contoh di atas berhubung ada 6 data, berarti genap. Tahun dikonversi menjadi -5, -3, -1, 1, 3, 5, sehingga data menjadi:
Tahun 2007 2008 2009 2010 2011 2012
X
Y
n.A
-5 -3 -1 1 3 5 0
Y 2 5 8 15 26 37 93
X2 25 9 1 1 9 25 70
X3 -125 -27 -1 1 27 125 0
X4 625 81 1 1 81 625 1414
B X C X 2
XY A X B X 2 C X 3 X 2 Y A X 2 B X 3 C X 4 (1) 6A + 0
+ 70C = 93
104
XY -10 -15 -8 15 78 185 245
X2Y 50 45 8 15 234 925 1277
(2) 0
+ 70B +
(3) 70A + 0
0
= 245 B = 245/70 = 3,5
+ 1414C = 1277
Dari persamaan 1 dan 2 di dapat : 420 A + 4900 C = 6510 420 A + 8484 C = 7662 - 3584 C = -1152 C = 0,32 420 A + 4900. 0,32 = 6510 A = 11,77 Jadi persamaan regresinya : Y1 = 11,77 + 3,5 X + 0,32 X2
Untuk tahun 2015, dikonversi berarti X = 7, maka Y1 = 11,77 + 3,5 (7) + 0,32 (72) = 51,95 juta ton
B. TREND EKSPONENSIAL Persamaan : Y = ABx log Y = log (ABx) log Y = log A + log (Bx) log Y = log A + log B . X (Supranto) Persamaan ini diubah menjadi: Yo = a + b X, yang sudah menjadi persamaan regresi linier sederhana. Sehingga penyelesaiannya dengan metode least square, dengan Yo = log Y, log A = a, log B = b. Yang berarti A = 10a dan B = 10b
Y XY o
o
n.a
b. X
a. X b. X 2
(Supranto)
105
Contoh : Pemilik hp di suatu kota, tiga tahun ini meningkat pesat. Berikut hasil survei kepada masyarakat, pemliki hp atau bukan sbb : Tahun
2012
2013
2014
20
80
400
Pemilik HP (ribuan)
Buat persamaan regresi trend eksponensial . Dengan persamaan regresi tersebut buat prakiraan pemilik HP pada tahun 2015 Dengan trend eksponensial, ramalkan hasil penjualan 1987. Tahun
X
Y
log Y= Yo
X logY
X2
X3
X4
= X.Yo
X.Y
X2.Y
o
o
2012
-1
20
1,30103
-
1
-1
1
-20
20
2013
0
80
1,90309
1,30103
0
0
0
0
0
2014
1
400
2,60205
0
1
1
1
400
400
2
0
2
380
420
2,60205 0
B
500
5,80617
1,30102
N XYo X Yo N X 2 X
2
Persamaan menjadi: Yo = a + b X
Y n.a b X XY a X b X o
2
o
5,80617 3.a 0.b 1,30102 0.a 2.b
( 1) (2)
Dari persamaan (1) diperoleh: a = 1,93539 log A = 1,9353
A 101,9539 86,2 Dari persamaan (2) diperoleh: b = 0,65051
106
log A = 0,65051
B 100,65051 4,4 Jadi persamaan regresinya : Y = (86,2). (4,47)x Untuk tahun 2015, X = 2, maka prakiraan pemilik HP pada tahun 2015 adalah: Y = (86,2). (4,47)2 = 1722,35 dalam ribuan Berarti 1.722.350 orang pemilik HP LATIHAN SOAL 1. X1 = nilai Tes potensi akademik X2 = nilai Matematika Y = nilai akuntansi X1 X2 Y 65 7 8 77 8 8 81 9 9 43 5 6 57 6 7 64 7 8 a. Tentukan koefisien korelasi antara X1 dan Y. b. Buat persamaan regresi linier Y = A + BX1. c. Apakah persamaan regresi linier nomer b tersebut berarti? Jika ya, tentukan nilai akuntansi jika nilai Tes Potensi Akademiknya 70. d. Buat persamaan regresi linier ganda Y = 1X1+ 2X2 + K e. Apakah persamaan regresi tersebut berarti? 2. Berikut ini : X1 nilai Matematika, X2 = nilai Bahasa Inggris, Y = nilai Ekonomi a. Tentukan Koefisien korelasi dari X1 dan Y, . b. Buat persamaan regresi linier sederhana X1 terhadap Y. c. Apakah persamaan regresi tersebut berarti? jika ya, berapa prakiraan nilai Y jika seorang mahasiswa mendapat nilai matematika 6? d. Buat persamaan regresi linier ganda Y = B1X1 + B2X2 + K, Uji keberartiannya.
107
e. Berapa SEX1 dan SEX2? X1 X2 Y 4 4 4 8 6 7 7 8 8 6 8 6 9 9 9 6 7 7 7 8 7 8 8 6 55 58 54 3. Berikut ini : X1 = pendapatan keluarga per bulan (dlm puluhan ribu rupiah), X2 = banyak jiwa dalam keluarga, Y = pengeluaran (dalam ribuan rupiah) X1 X2 Y 16 5 8 15 4 8 16 5 9 8 4 3 12 6 5 9 3 3 15 4 6 11 4 5 15 5 6 14 6 5 9 6 4 10 7 4 10 5 5 12 3 5 11 5 6 8 6 5 8 6 3 13 7 3 a. Buat persamaan regresi linier ganda Y = B1X1+B2X2 + K b. Apakah persamaan regresi tersebut berarti ? jika ya, berapa prakiraan nilai Y jika suatu keluarga mempunyai pendapatan per bulan 10, mempunyai tanggungan jiwa 6? 4. Berikut ini data jumlah pemakai ipad suatu kota (dalam ribuan) :
108
Tahun 2010 2011 2012 2013
Jumlah pemakai ipad (dalam ribuan) 1 4 15 23
Buat persamaan regresi dengan: a. Tren linier, Apakah persamaan regresinya berarti? Dengan persamaan ini hitung estimasi jumlah pemakai ipad pada tahun 2015. b. Tren parabola, kemudian dengan persamaan ini hitung estimasi jumlah pemakai ipad pada tahun 2015 c. Tren eksponensial, kemudian dengan persamaan ini hitung estimasi jumlah pemakai ipad pada tahun 2015 d. Gambar grafiknya dalam satu gambar.
109
110
DAFTAR PUSTAKA Anderson, R.L., T.A. Banacroft, 1952. Statistical Theory in Researcch, New York: Mc. Graw Hill Book C0. Inc. Bain Engelhardt 1992. Introduction to Probability and Mthematical Statistics, United States of America: Duxbury Press. Hadi, Sutrisno. 1982. Analisis Regresi. Yogyakarta: Penerbit Andi Hadi, Sutrisno. 2000. Statistik,jilid 1, 2, 3. Yogyakarta: Penerbit Andi Draper N.R., H. Smith, 1966. Applied Regression Analysis, New York: John Wiley & Son, Inc Murray R Spiegel, Theory and Problems of Probability and Statistics, Schaum’s series Mendenhall, W., Terry Sincih, 1984, Statistics for The Engineering and Computer Sciemces San Fransisco California: Dellen Publishing Company Slametto, 1997. Statistika Dasar. Buku Pegangan Kuliah UNS Surakarta. Sudjana, 1996, Metoda Statistik, Bandung: Tarsito Sudjana, 2002, Teknik Analisi Regresi dan Korelasi Bagi Para Peneliti, Bandung: Tarsito Suharjo, Bambang, 2010, Statistika, Industri, Bisnis dan Ekonomi, Surabaya: Scientia Publishing Supranto, J., 1987. Statistik. Jakarta: Penerbit Erlangga Walpole, R.E. 1993, Pengantar Statistika, Alih Bahasa Bambang Sumantri, Jakarta: Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama Walpole, R.E. 1995, Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan, Bandung: Penerbit ITB Bandung
111
LAMPIRAN
112
Lampiran 1
113
Lampiran 2
114
Lampiran 3
115
Lampiran 4
116
Lampiran 4
117
Lampiran 5 Tabel Nilai r Product Momen N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Taraf Signif 5% 10% 0,997 0,999 0,950 0,990 0,878 0,959 0,811 0,917 0,754 0,874 0,707 0,834 0,666 0,798 0,632 0,765 0,602 0,735 0,576 0,708 0,553 0,684 0,532 0,661 0,514 0,641 0,497 0,623 0,482 0,606 0,468 0,590 0,456 0,575 0,444 0,561 0,433 0,549 0,423 0,537 0,413 0,526 0,404 0,515 0,396 0,505 0,388 0,496
N 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Taraf Signif 5% 10% 0,381 0,487 0,374 0,478 0,367 0,470 0,361 0,463 0,355 0,456 0,349 0,449 0,344 0,442 0,339 0,436 0,334 0,430 0,329 0,424 0,325 0,418 0,320 0,413 0,316 0,408 0,312 0,403 0,308 0,398 0,304 0,393 0,301 0,389 0,297 0,384 0,294 0,380 0,291 0,376 0,288 0,372 0,284 0,368 0,281 0,364 0,279 0,
118
N 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 125 150 175 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Taraf Signif 5% 10% 0,266 0,345 0,254 0,330 0,244 0,317 0,235 0,306 0,227 0,296 0,220 0,286 0,213 0,278 0,207 0,270 0,202 0,263 0,195 0,256 0,176 0,230 0,159 0,210 0,148 0,194 0,138 0,181 0,113 0,148 0,098 0,128 0,088 0,115 0,080 0,105 0,074 0,097 0,070 0,091 0,065 0,086 0,062 0,081
Lampiran 6
119
Lampiran 7
120
TENTANG PENULIS
Dr. Theresia Kriswianti Nugrahaningsih M.Si. lahir di Surakarta. Pendidikan SD, SMP, SMA diselesaikan di Surakarta, masing-masing lulus tahun 1971, 1974 dan tahun 1977. Jenjang pendidikan tinggi dimulai dari S1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sebelas Maret Surakarta (UNS) lulus tahun 1984. S2 Jurusan Matematika MIPA Universitas Gadah Mada Yogyakarta (UGM) lulus tahun 1988. S3 Pendidikan Matematika Universitas Negeri Surabaya (UNESA) lulus tahun 2010. Mengajar pada Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Widya Dharma Klaten (UNWIDHA) sejak tahun 1985.
121
