KATA PENGANTAR. Bandung, Januari 2016

KATA PENGANTAR Metode Kuantitatif adalah mata kuliah yang mempelajari langkah pengambilan keputusan secara ilmiah, dimulai dari pendefinisian masalah, pengembangan model, pengambilan data dan mencari alternatif dari penyelesaian masalah tersebut untuk mendapatkan nilai optimal pada sebuah masalah yang kompleks. Modul Praktikum Metode Kuantitatif edisi 2016 disusun untuk menunjang proses pembelajaran mengenai materi-materi yang diajarkan di kelas selama pelaksanaan praktikum. Praktikum ini juga merupakan salah satu komponen nilai yang dimasukkan dalam perhitungan nilai akhir mahasiswa untuk mata kuliah Metode Kuantitatif. Modul praktikum Metode Kuantitatif edisi 2016 terdiri dari sembilan bab dan memiliki beberapa konten pelengkap yang berbeda dibandingkan dengan modul edisi sebelumnya. Akhir kata, penyusun memohon maaf apabila dalam penyusunan modul ini masih memiliki banyak kekurangan. Saran dan kritik yang membangun akan kami terima dengan hati terbuka.

Bandung, Januari 2016

Tim Asisten Praktikum MOLMKF 2015/2016

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................ ii DAFTAR ISI .............................................................................. iii BAB I LINEAR PROGRAMMING ........................................... 1 BAB II METODE SIMPLEX ................................................... 10 BAB III SENSITIVITY ANALYSIS ....................................... 26 BAB IV DUAL PROBLEM ..................................................... 35 BAB V INTEGER PROGRAMMING ..................................... 43 BAB VI TRANSPORTASI ...................................................... 51 BAB VII PENUGASAN........................................................... 66 BAB VIII TEORI ANTRIAN ................................................... 73 BAB IX DYNAMIC PROGRAMMING.................................. 82

iii

BAB I LINEAR PROGRAMMING Pengertian Program linear adalah teknis suatu matematika yang dirancang untuk membantu manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan perusahaan. dalam menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan program linear dapat dilakukan dengan dua pendekatan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya bisa digunakan

untuk

menyelesaikan

permasalah

dimana

variabel

keputusan sama dengan dua.

Karakteristik program linear 1. Mencari kondisi optimum 2. Adanya keterbatasan sumber daya untuk mencapai fungsi tujuan 3. Adanya alternatif dari tindakan yang diambil 4. Fungsi objektif dan kendala harus dinyatakan dalam persamaan

linear

Asumsi program linear 1. Certainty 2. Proportionally 3. Additive

1

Teaching Assistant of MOLMKF 2015/2016

4. Divisibility

Tujuan & Fungsi Program Linear Tujuan dari pemecahan program linear metode grafik tidak hanya terbatas pada tujuan memaksimumkan keuntungan, tetapi juga dapat dilakukan untuk meminimalkan biaya karena adanya keterbatasan sumber daya. Terdapat dua fungsi utama dalam program linear, yaitu: 1. Fungsi Tujuan

Fungsi

yang

menggambarkan

tujuan

sasaran

di

dalam

permasalahan program linear yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumberdaya-sumberdaya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dipotimalkan dinyatakan sebagai Z.

2. Fungsi Batasan

Merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Model Programisasi linear: 1. Identifikasi variabel (penentuan x1,x2….xn) 2. Penentuan fungsi tujuan (Max ≤ atau Min ≥) 3. Penentuan fungsi kendala 4. Pendefinisian fungsi status (x1,x2……xn ≥ 0

2


Tahap Pengerjaan Metode Grafik 1. Gambarkan fungsi kendala sebagai persamaan pada grafik,

kemudian dengan mempertimbangkan ketidaksamaan batasan, tunjukkan daerah memenuhi kendala 2. Selesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk

memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. 3. Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan

kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal.

Ilustrasi Permasalahan : Perusahaan kayu memproduksi meja dan kursi. Bahan utama yaitu kayu Untuk membuat satu meja dibutuhkan 6m kayu, Sedangkan untuk membuat satu kursi diperlukan 3m kayu bahan baku tersedia untuk kayu adalah 90m. Model Programisasi linear: 1. Identifikasi variabel

X1: meja ; X2: kursi 2. Penentuan fungsi tujuan

Zmemaksimumkan = X1+X2 (≤) Zmeminimumkan = X1+ X2 (≥) 3. Penentuan fungsi kendala

Kayu: 6X1 + 3X2 = 90 4. Pendefinisian fungsi status

X1,X2 ≥ 0

3


BENTUK MASALAH PROGRAM LINIER YANG TIDAK TERATUR (IRREGULER) •

Apabila garis fungsi tujuan menjadi sejajar dengan garis batasan, sehingga slope atau kemiringannya sama.

•

Kertika garis fungsi tujuan tersebut bergerak menuju ke luar dari daerah fisibel, garis tersebut bukan akan menyentuh satu titik ektrim, tetapi menyentuh dua titik ekstrim sekaligus yaitu B dan C, sehingga dua titik ekstrim itu membentuk garis BC.

•

Maka garis BC diantara 2 titik ekstrim tersebut sebagai solusi optimal alternatif, terdiri dari beberapa titik yang mungkin (solusi majemuk)

Grafik masalah tidak teratur : X2

A

B

C X1

4


MASALAH YANG TIDAK FISIBEL •

Apabila tidak adanya perpotongan diantara fungsi kendala, maka tidak ada daerah yang fisibel.

•

Hal tersebut dikarenakan kesalahan dalam pembentukan model matematikanya.

MASALAH YANG TIDAK TERBATAS •

Apabila fungsi kendala tidak tertutup. Dalam hal ini fungsi tujuan mungkin saja akan terus menerus naik tidak terbatas, sehingga tidak akan mencapai suatu solusi.

•

Masalah tidak terbatas tersebut tidak mungkin terjadi di dunia nyata,

biasanya

kesalahan

dalam

bembentukan

matematiknya. Grafik masalah tidak terbatas: X2

X1

5


model

SOAL 1 PT Paragon Technology Innovation akan memproduksi dua produk baru, yaitu lipstik Wardah dan lipstik Emina. Bahan baku

yang

dibutuhkan dalam pembuatan lipstik tersebut sebagai berikut: Bahan Baku

Bahan Baku

Wardah

Emina

Olive Oil

4000

3000

150.000

Shea Butter

8000

4000

200.000

Vitamin E

0

2500

75.000

Jojoba Oil

3000

0

60.000

Tersedia

Jika lipstik Wardah dapat dijual dengan harga Rp 75.000 per buahnya dan lipstik Emina dengan harga Rp 65.000 per buahnya, berapa banyak lipstik Wardah dan lipstik Emina yang harus terjual untuk memaksimalkan profit?

QUESTION 2 Persian Café is one of the most unique ice cream store in Indonesia. Persian Café wants to launch 2 new variants of its ice cream. There are sweet corn and lavender flavors. The ingredients needed to make those new variants are: Ingredients Heavy

6

Sweet Corn Ice

Lavender Ice

Minimum

Cream

Cream

Supply

8 cups

5 cups

400 cups


Cream Sugar

6 cups

12 cups

360 cups

The cost needed to make Sweet Corn Ice Cream is about $ 4.5 and Lavender Ice Cream is about $ 3. Please help Persian Café to determine the most optimum quantity for produce both variants, that leads to most efficient cost. Give also your explanation in graphic!

QUESTION 3 DailyBag.Co produce 2 types of bag, which are laptop bag and sling bag. There are three main materials needed to produce those bags, they are fabric, thread, and leather. In starting the production, their store have a supply of 1200m threads, 2000m fabric, and 800m leather. The material requirements are shown below:

Materials

Laptop Bag

Sling Bag

Thread

20m

30m

Fabric

30m

50m

Leather

30m

20m

Price

Rp 300.000,00

Rp 400.000,00

How many units of laptop bags and sling bags should be produced to generate profit? Draw the graph!

7


SOAL 4 Madame cake akan membuat dua jenis kue yaitu cheese cake dan blackforest. Untuk memproduksi kue-kue tersebut, dibutuhkan empat jenis bahan utama yakni terigu, telur, mentega, dan gula. Jumlah terigu yang tersedia adalah 1.5 kg, telur 32 butir, gula 1 kg dan mentega 1.8 kg. Dalam pembuatan satu cheese cake dibutuhkan 250 gram terigu, 200 gram gula, 300 gram mentega dan 4 butir telur. Sedangkan untuk membuat satu blackforest dibutuhkan 600 gram terigu, 160 gram gula, 225 gram mentega dan 5 butir telur. Biaya yang dikeluarkan untuk setiap pembuatan satu Cheese cake adalah Rp 25.000 dan biaya untuk pembuatan satu blackforest adalah Rp 30.000. Berapa jumlah masing-masing kue yang harus diproduksi Madame cake sehingga dapat meminimumkan biaya? (gunakan metode grafik)

SOAL 5 Suatu Perusahaan Memproduksi 3 macam barang, kapasitas mesin adalah sebagai berikut: Mesin Penggiling 400jam/minggu Mesin Bubut 200jam/minggu Mesin Pengasah 100jam/minggu Mesin Penghalus 150 jam/minggu

8


Mesin Penggiling dapat membuat barang A dalam waktu 16 jam, barang B dalam waktu 4 jam, dan barang C dalam waktu 6 jam. Mesin Bubut dapat membuat barang A dalam waktu 8 jam, barang B dalam waktu 4 jam dan barang C dalam waktu 8 jam. Mesin Pengasah membuat A barang dalam waktu 6 jam, barang B dalam waktu 10 jam dan barang C dalam waktu 4 jam. Mesin penghalus membuat barang A dalam waktu 4 jam, barang B dalam waktu 6 jam dan barang C dalam waktu 8 jam. Keuntungan per unit masing-masing barang A, B dan C adalah $10, $ 6 dan $8. Berapa banyak barang produksi tiap-tiap barang agar keuntungan maksimum?

9


BAB II METODE SIMPLEX Pengertian Metode simpleks merupakan salah satu teknik untuk menentukan solusi optimum dalam program linear. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrem satu per satu dengan cara perhitungan iteratif, sehingga penentuan solusi optimal dengan metode simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi.

Tujuan dan Manfaat Pada pengaplikasiannya dalam kehidupan sehari-hari, permasalahan program linear memiliki lebih dari dua variabel keputusan, oleh karena itu kita akan menghadapi kesulitan jika melakukan penyelesaian dengan menggunakan metode grafik yang terbatas hanya pada dua dimensi. Untuk memecahkan persoalan seperti itu, metode simpleks dianggap sebagai metode yang paling tepat untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.

Cara Kerja Metode Simplex Secara konsep, cara kerja metode simpleks sama seperti pendekatan dengan menggunakan solusi grafik dimana kita memeriksa setiap titik sudut yang ada dalam sebuah daerah feasible (layak) dan menentukan titik yang merupakan solusi optimum bagi sebuah fungsi tujuan.

10


Dalam metode simpleks, model yang ada diubah menjadi suatu bentuk tabel kemudian dilakukan beberapa langkah matematis pada tabel tersebut. Metode simpleks bergerak dari satu solusi ke solusi yang lebih baik sampai dengan didapatkannya solusi optimal. Langkahlangkah pengulangan tersebut disebut dengan iterasi. Setiap iterasi menghasilkan nilai yang lebih baik bagi fungsi tujuan sehingga membawa kita pada pencapaian solusi optimal.

Persoalan Primal Dilihat dari bentuknya, persoalan dalam program linear dibagi menjadi dua yaitu persoalan primal (asli) dan persoalan dual yang merupakan kebalikan dari primal.

Kasus Maksimasi Langkah 1: Mengubah batasan-batasan (constraint) model Langkah 2: Menentukan variabel dasar Langkah 3: Menentukan variabel masuk (entering variable) Langkah 4: Menentukan variabel keluar (leaving variable) Dalam kasus maksimasi, hasil optimum dicapai ketika nilai C-Z bernilai negatif atau nol.

Kasus Minimasi Langkah-langkah yang terdapat dalam kasus minimasi secara umum hampir sama dengan kasus maksimasi, hanya saja terdapat perbedaan pada langkah ketiga yaitu dimana dalam kasus maksimasi yang

11


menjadi variabel masuk (entering variable) merupakan variabel non dasar yang memiliki nilai C-Z terbesar sedangkan dalam kasus minimasi yang menjadi variabel masuk adalah variabel non dasar yang memiliki nilai C-Z terkecil. Dalam kasus minimasi, solusi optimum tercapai ketika nilai C-Z bernilai positif atau nol.

Kasus Khusus Maksimasi Maximize:

Z = $4X1 + $5X2

Constraints:

X1 + 2X2 ≤ 40 jam tenaga kerja 4X1 + 2X2 ≤ 120 kg kulit sapi X1, X2 ≥ 0

Diketahui:

X1 = jumlah tas yang diproduksi X2 = jumlah sepatu yang diproduksi

Penyelesaian Langkah 1: Mengubah Batasan / Constraints dalam Model Ubahlah batasan – batasan model ke dalam bentuk persamaan (equation) yang merupakan persyaratan untuk pemecahan masalah. Bentuk program linear yang standar sebelum diubah ke dalam metode simpleks memiliki beberapa syarat yaitu: - Fungsi tujuan adalah maksimasi atau minimasi - Seluruh variabel non negatif - Seluruh constraint (kecuali asumsi non negatif) merupakan persamaan dengan sisi kanan (RHS) non negatif

12


Metode simpleks

memberikan suatu prosedur standar untuk

mentransformasikan batasan pertidaksamaan ke dalam bentuk persamaan. Transformasi ini dicapai dengan cara nemambahkan suatu variabel baru, yang dinamakan variabel pengurang (slack variabel) pada tiap batasan. Secara umum, variabel pengurang (slack) mencerminkan jumlah sumber-sumber yang tidak terpakai (unused resource). Untuk contoh kasus perusahaan konveksi diatas, batasan-batasan (contraint) adalah: X1 + 2X2 ≤ 40 jam tenaga kerja 4X1 + 2X2 ≤ 120 kg kulit sapi Penambahan suatu variabel pengurang (S) pada setiap pertidaksamaan akan menghasilkan persamaan – persamaan seperti berikut: X1 + 2X2 = 40 4X1 + 3X2 = 120 Seperti pada variabel X1 dan X2, slack juga hanya dapat memiliki nilai non negatif karena sumber yang bernilai negatif tidak mungkin sehingga jumlah variabel menjadi: X1, X2, S1, S2 ≥ 0 Dengan demikian fungsi tujuannya berubah menjadi: Z= 4X1 + 5X2 + 0S1 + 0S2 Pada fungsi tujuan 4X1 + 5X2, memiliki arti bahwa setiap 1 unit tas yang diproduksi akan menghasilkan keuntungan sebesar $4 dan setiap unit sepatu yang diproduksi akan menghasilkan keuntungan sebesar $5.

13


Langkah 2: Menentukan Variabel Dasar Sebelum menentukan

jumlah

variabel

dasar

terlebih dahulu

menentukan jumlah variabel non dasar dengan rumus n-m, dimana n adalah banyak variabel dan m adalah banyak batasan (constraint). Variabel dasarnya adalah variabel yang tidak masuk ke dalam variabel non dasar. X1, X2, S1, S2 ≥ 0 n=4 ; m= 2 sehingga variabel non dasarnya adalah X1 dan X2 dan variabel dasarnya S1 dan S2.

Iterasi

C

$4

$5

0

0

Nilai

ke

V. Dasar

X1

X2

S1

S2

Kanan

0

0

S1

1

2

1

0

$40

0

S2

4

3

0

1

$120

Z

0

0

0

0

$0

C-Z

4

5

0

0

Rasio

Langkah 3: Menentukan Variabel Masuk / Entering Variable Entering variabel adalah variabel non dasar yang memiliki nilai positif terbesar pada garis C-Z dalam tabel pada kasus maksimisasi. Sebelum menentukan entering variabel, masukan terlebih dahulu angka koefisien pada batasan – batasan ke dalam tabel yang telah

14


dibuat, sehingga dapat diketahui jika jumlah C-Z. Pada tabel tersebut, dapat diketahui jumlah C-Z terbesar adalah X dengan jumlah 5, sehingga X2 menjadi entering variabel kolom yang berkaitan dengan entering variabel disebut dengan kolom pivot.

Iterasi

C

$4

$5

0

0

Nilai

ke

V. Dasar

X1

X2

S1

S2

Kanan

0

0

S1

1

2

1

0

$40

0

S2

4

3

0

1

$120

Z

0

0

0

0

$0

C-Z

4

5

0

0

Rasio

Langkah 4: Menentukan Variabel Keluar / Leaving Variable Leaving variabel adalah variabel yang keluar dari variabel dasar dan diganti oleh variabel yang menjadi entering variabel. Cara menentukan leaving variabel adalah dengan mencari nilai rasio positif terkecil dengan cara membagi kolom kuantitas dengan koefisien kolom entering variabel yang merupakan variabel yang keluar. Pada contoh soal diatas, jumlah kuantitasdibagi kolom pivotnya adalah S1 = 20; S2 = 30 sehingga leaving variabelnya adalah 𝑆1 angka pada perpotongan kolom pivot dengan baris pivot disebut angka pivot. Pada soal tersebut, angka pivotnya adalah 2.

15


Iterasi

C

$4

$5

0

0

Nilai

ke

V. Dasar

X1

X2

S1

S2

Kanan

0

0

S1

1

2*

1

0

$40

(+) 20

0

S2

4

3

0

1

$120

(+) 40

Z

0

0

0

0

$0

C-Z

4

5

0

0

*Angka Pivot

Menghitung Baris Pivot Baru Pada pengerjaan iterasi 1, koefisien yang berada di dalam tabel tidak sama dengan iterasi 0. Untuk mengisi baris pivot baru, caranya dengan membagi angka – angka pada pivot lama dengan angka pivot. Baris X2 baru = 1 2 1 0 40 (:2) = ½ 1 ½ 0 20

Menghitung Nilai Baris Lainnya Pada kasus soal tersebut, baris yang belum terdapat angkanya adalah S2, angka–angka tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan cara: Nilai Baris Tabel Baru = Nilai Baris Tabel Lama (Koefisien Entering Variabel x Nilai Baris Pivot Baru)

Setelah semua baris terisi , hitung nilai Z dan C-Z nya seperti pada langkah 4. Karena fungsi tujuannya adalah memaksimisasi laba.

16

Rasio


Maka nilai C-Znya sudah tidak ada yang positif (hanya nilai negatif atau nol saja) maka berhentilah karena persoalan sudah terselesaikan. Namun jika tidak, lanjutkanlah ke iterasi selanjutnya dengan cara yang sama seperti sebelumnya.

17


Iterasi

C

$4

$5

0

0

Nilai

ke

V. Dasar

X1

X2

S1

S2

Kanan

5

S1

0,5

1

0,5

0

20

0

S2

2,5

0

-1,5

1

60

Z

0

0

0

0

100

C-Z

1,5

0

2,5

0

1

Rasio

Karena pada tabel tersebut baris C-Z masih memiliki nilai positif, maka iterasi tersebut belum optimal. Jadi, lanjutkanlah ke iterasi berikutnya: Iterasi

C

$4

$5

0

0

Nilai

ke

V. Dasar

X1

X2

S1

S2

Kanan

5

S1

0,5

1

0,5

0

20

(+) 40

0

S2

2,5

0

-1,5

1

60

(+) 24

Z

0

0

0

0

100

C-Z

1,5

0

2,5

0

1

Rasio

Entering Variable X1, Leaving Variable S2 Lanjutkanlah tahapan-tahapan tersebut ke iterasi 2 dimana langkah yang diambil adalah sama dengan iterasi 0 dan iterasi 1. Iterasi

C

$4

$5

0

0

Nilai

ke

V. Dasar

X1

X2

S1

S2

Kanan

1

5

0

1

0,8

-0,4

8

18

S1


Rasio

4

S2

1

0

-0,6

0,4

24

Z

4

5

1,6

0,6

$136

C-Z

0

0

-1,6

-0,6

Dari hasil tabel iterasi 2 tersebut, kita dapat melihat bahwa hasil dari C-Z sudah tidak memiliki nilai positif sehingga didapatlah sebuah hasil optimum dari iterasi tersebut, yaitu X1=24, X2=8, dan Laba yang diperoleh yaitu sebesar $136, dimana S1=0 dan S2=0.

Kasus Khusus Minimasi Min:

Z = $4𝑋1+$1𝑋2

Constraint:

3X1 + X2 = 3 unit sweater 4X1 + 3X2 ≥ 60 unit sarung tangan X1, X2 ≥ 0

Diketahui:

X1 = jumlah jam perajutan X2 = jumlah jam penjahitan Z = jumlah total pembiayaan pekerjaan

Penyelesaian Langkah 1: Diubah ke Bentuk Simplex Fungsi Tujuan Min:

Z= $4X1 + $1X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 +MA2

Constraint:

3X1 + X2 + A1 = 3 4X1 + 3X2 – S1 + A2 = 6

M = nilai yang sangat besar Misal M = 1000

19


Iterasi Ke

0

C V. Dasar

$4

$5

0

M

M

X1

X2

S1

A1

A2

Kanan

Nilai

Rasio

M

A1

3

1

0

1

0

3

(+)1

M

A2

4

3

1

0

1

6

(+)1,5

7M

4M

M

M

M

9M

4-

1-

7M

4M

-M

0

0

Z C-Z

Langkah 2: Lanjutkan ke Iterasi 1 Pada kasus minimasi, yang menjadi variabel masuk adalah variabel yang memiliki nilai C-Z paling kecil (negatif terbesar). Sedangkan untuk variabel keluar sama dengan kasus maksimasi yaitu variabel yang memiliki nilai rasio positif terkecil. Pada kasus ini yang menjadi variabel masuk adalah X1 dan yang menjadi variabel keluar adalah A1.

20


Itera

C

$4

$5

0

M

M

Nilai

si Ke

V. Dasar

X1

X2

S1

A1

A2

Kanan

0

4

X1

1

1/3

0

1/3

0

1

M

A2

0

5/3

1

-4/3

1

2

Z

4

4/3 + 5/3M

M

4/3 – 4/3M

M

4+2M

C-Z

0

1/3 – 5/3M

M

-4/3 – 1/3M

0

Rasio

Langkah 3: Hasil dari iterasi tersebut belum optimal karena masih terdapat hasil C-Z yang bernilai negatif. Untuk itu, lanjutkanlah ke iterasi berikutnya dengan terlebih dahulu menentukan variabel masuk dan variabel keluarnya. Pada kasus ini yang menjadi variabel masuk adalah X2 dan yang menjadi variabel keluar adalah A2. Iteras

C

$4

$5

0

M

M

Nilai

i Ke

V. Dasar

X1

X2

S1

A1

A2

Kanan

1

21

Rasio

4

X1

1

1/3

0

1/3

0

1

(+)3

M

A2

0

5/3

1

-4/3

1

2

(+)6/5

Z

4

4/3 + 5/3M

M

4/3 – 4/3M

M

4+2M

C-Z

0

1/3 – 5/3M

M

-4/3 – 1/3M

0


Langkah 4: Lanjutkan ke Iterasi Selanjutnya C

Iterasi Ke

2

V. Dasar

$4

$5

0

M

M

X1

X2

S1

A1

A2

Kanan

Nilai

4

X1

1

0

1/5

3/5

-3/5

3/5

1

X2

0

1

3/5

-4/5

3/5

6/5

Z

4

1

8/5

9/5

18/5

C-Z

0

0

1/5 1/5

M– 8/5

Rasio

M+9/5

Dari tabel iterasi di atas, dapat dilihat nilai-nilai pada baris C-Z bernilai positif atau 0, hal ini menunjukan hasil tersebut sudah optimal, yaitu: X1: 3/5 jam dan X2: 6/5 jam Z = $24 (total pembiayaan pekerjaan)

22


SOAL 1 Bad Atittude,Inc merupakan produsen dua jenis rudal bermuatan nuklir, yaitu Bad Boy dan Mad Bird. Setiap jenis mengandung campuran bahan uranium dan white phosporus dalam jumlah tertentu.

Kandungan Explosive Materials Uranium (kg/unit) White Phosporus (kg/unit) Bad Boy 2 4 Mad Bird 4 3 Jenis

SEAL Team membutuhkan paling sedikit 16 kg Uranium dan 24 kg White Phosporus untuk sebuah misi. Harga satu unit rudal nuklir Badboy dan Madbird masing-masing $3000 dan $6000. SEAL Team ingin mengetahui berapa unit masing-masing jenis rudal harus dibeli agar total harga rudal mencapai minimum dan kebutuhan rudal untuk misinya terpenuhi

SOAL 2 Maximize:

8X1 + 10 X2

Fungsi kendala:

X1 ≤ 15 3X2 ≤ 30 6X1 + 10X2 ≤ 120

Fungsi status:

X1, X2 ≥ 0

Tentukan kondisi optimum dengan menggunakan metode simplex!

23


QUESTION 3 Pull & Cats sells bags, shoes, and jeans. Pull & Cats expected margin $150, $250, and $75. But, because of the minimum workers, so production for those 3 products is limited. There are only 20 hours available for designing process, 30 hours available for sewing process, and 24 hours for final touches. The making of one bag needs 3 hours of designing, 2 hours of sewing, and 1 hour for final touches. One pair shoes need 2 hours of designing, 5 hours of sewing, and 3 hours of final touches. One jeans needs 2 hours of designing, 1 hour of sewing, and 2 hours of final touches. Please help Pull & Cats to determine the best number produced for each product in order to minimize the processing time!

SOAL 4 Simsalabim Design merupakan sebuah perusahaan yang memproduksi baju kostum terkenal di Inggris. Produk yang menjadi unggulan di Simsalabim Design adalah kostum Harry Potter, kostum Captain America dan kostum Spiderman. Untuk membuat satu kostum Harry Potter dibutuhkan 4 meter benang katun dan 6 meter kain. Sedangkan untuk membuat kostum Captain America dibutuhkan 3 meter benang dan 7 meter kain. Untuk membuat kostum spiderma dibutuhkan 8 meter benang dan 4 meter kain. Saat ini bahan baku yang tersedia dalam gudang Simsalabim Design adalah 72 meter benang dan 48 meter kain.

Keuntungan dalam

menjual satu kostum Harry Poter adalah sebesar 6 poundsterling,

24


kostum Captain America 4 poundsterling dan kostum Spiderman 5 poundsterling. Tentukanlah persamaannya dan setelah itu bantulah Simsalabim Design dalam mencari kombinasi produk yang tepat untuk memaksimalkan keuntungannya.

QUESTION 5 La Bakerie is a famous bakery store at town. They produce cheese cake in three different type. Blueberry Cheese Cake sales generate $28 while Strawberry Cheese Cake $20 and Oreo Cheese Cake is $24. Blueberry Cheese Cake is made of 33kg of flour, 18kg butter, 13kg cheese. While Strawberry Cheese Cake needs, 5kg flour, 27kg butter and 9kg cheese. Oreo Cheese Cake needs 17kg flour, 11kg butter and 25kg cheese. Currently, there are supply of 800kg flour, 500kg butter and 400kg cheese. How many units of the products to get the maximum profit?

25


BAB III SENSITIVITY ANALYSIS Pengertian Analisis sensitivitas merupakan analisis yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk melihat seberapa besar perubahan dapat

ditolerir

sebelum

solusi

optimum

mulai

kehilangan

optimalitasnya. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi sangat sensitif terhadap nilai parameter tersebut. Sebaliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai parameter itu. Analisis sensitivitas juga biasa disebut interpretasi hasil optimum dari perhitungan metode simpleks.

Tujuan a. Mengetahui besarnya perubahan yang terjadi pada kondisi optimum dari suatu pemecahan masalah pemrograman linear. Sehingga didapatkan solusi optimum yang sifatnya dinamis. b. Mengetahui batas-batas perubahan yang diperbolehkan dan bagaimana dampak perubahan itu terhadap kondisi optimum semula.

26


Contoh Soal a. Persoalan primal  Maksimasi Z = 7X1 + 5X 2  Subject to: 2X1 + X 2 ≤ 100 (jam tenaga kerja pengecatan) 4X1 + 3 X 2 ≤ 240 (jam tenaga kerja perkayuan) X1, X 2 ≥ 0 (syarat non-negatif) Dimana

X1 = jumlah meja yang diproduksi X 2 = jumlah kursi yang diproduksi

b. Bentuk Standar Fungsi tujuan

Z = 7X1 + 5X 2 + 0S1 + 0S2

Fungsi Kendala

2X1 + 1X 2 + S1 = 100

(Pengecatan)

7X1 + 5X 2 + S2 = 240

(Perkayuan)

X1 , X 2 , S1 , S2 ≥ 0

(Non negatif)

Dimana S1 = Jumlah jam tenaga kerja pengecatan yang menganggur S2 = Jumlah jam tenaga kerja perkayuan yang menganggur

c. Tabel Optimum

27


d. Informasi yang Diperoleh 1. Nilai Variabel Nilai variabel X1 (meja yang diproduksi) = 30 buah meja Nilai variabel X2 (kursi yang diproduksi) = 40 buah kursi

2. Nilai Fungsi Objective Nilai fungsi objektif atau nilai solusi optimum (Z) = $ 410 (Asumsi: jumlah yang dibuat sama dengan jumlah yang dijual atau semua yang diproduksi laku terjual)

3. Status Sumber Daya

Nilai unit sumber daya

 Jika 1 jam S1 (jam tenaga kerja pengecatan) ditambah, maka laba akan meningkat sebesar $0.5. Hal ini merupakan shadow price.  Jika 1 jam S2 (jam tenaga kerja perkayuan) ditambah, maka laba akan meningkat sebesar $1.5. Hal ini merupakan shadow price.  Nilai fungsi objektif atau nilai solusi optimum (Z) = $410  Shadow Price adalah perubahan nilai dari fungsi objektif ketika meningkatkan 1 unit sumber daya.

28


4. Berapa besar nilai koefisien variabel fungsi tujuan non-basic dapat berubah? Pada contoh soal, tidak ada variabel keputusan yang merupakan variabel non-basic. Jika ada, maka untuk menentukan besarnya perubahan adalah dengan menjaga syarat optimalitas tetap terpenuhi.

5. Berapa besar nilai koefisien variabel basic dapat berubah agar solusi optimum tetap dipertahankan atau meningkat (kasus maksimasi) dan tetap feasible? Variabel basic adalah variabel yang letaknya pada kolom solution mix, yaitu variabel X1 dan X 2. Pada kondisi optimum saat ini koefisien dari masing-masing variabel adalah untuk X1 = 7 dan untuk X 2 = 5.  Misalkan perubahan untuk variabel X2 adalah delta, maka tabel optimum di atas berubah menjadi:

29


Interpretasinya yaitu harga kursi dapat diubah antara 5-3/2 ≤ harga kursi ≤ 5+1/4, atau kursi dapat dijual dengan rentang harga $3.5 sampai dengan $5.25 (atau harga tetap dipertahankan $5).

6. Berapa rentang perubahan masing-masing bahan baku? Misalnya untuk konstrain pertama, kapasitas jam tenaga kerja pengecatan sebesar 100 ingin ditingkatkan menjadi 110 jam, berapa dampak perubahannya pada fungsi tujuan Z dan apakah masih optimum?

Matriks pengali didapatkan dari kolom S1 dan S2. Karena hasil masih positif, sehingga solusi tetap feasibel. Artinya dengan merubah jam pengecatan dari 100 menjadi 110 jam, didapatkan jumlah meja (X1) dari semula sebesar 30 menjadi 45 buah dan jumlah kursi (X2) dari semula 40 menjadi 20 buah, dengan nilai fungsi tujuan Z = (7x45) + (5x20) = $415 (meningkat sebesar $5). Bisa juga dilihat dari nilai shadow price, untuk jam pengecatan bertambah 110-100 = 10 jam sehingga akan menambah keuntungan sebesar 10 x $0,5 = $5

Mencari rentang batas perubahan ruas kanan (sumber daya) Pertanyaannya adalah berapakah rentang perubahan jam tenaga kerja pengecatan? Artinya jika dinaikkan sampai berapa batas maksimalnya

30


dan jika diturunkan seberapa besar batas minimalnya sehingga solusi tetap feasible? Jawab: Caranya menggunakan rasio antara kolom quantity dengan kolom slack/surplus. Besar perubahan pada contoh diatas untuk sumber daya 1 adalah sebagai berikut:

Berdasarkan rasio, didapatkan kisarannya adalah –20 ≤ sumber daya 1 ≤ 20 atau rentang perubahan Sumber daya 1 adalah 80 unit sampai dengan 120 unit.

Bagaimana dengan rentang sumber daya 2 (perkayuan)?

Didapatkan kisarannya adalah –40 ≤ sumber daya 2 ≤ 60 atau rentang perubahan sumber daya 2 adalah 200 unit sampai dengan 300 unit. (Ratio dibacanya terbalik. Apabila hasilnya (-) berati increase RHS, sedangkan (+) berarti decrease RHS)

31


SOAL 1 Perusahaan Omai Jelly merencanakan untuk membuat dua jenis inovasi jelly yaitu art pudding jelly dan Jelly Candy. Kedua jenis makanan tersebut menggunakan dua komposisi utama yaitu bubuk agar dan gula. Pada tabel berikut menunjukkan jumlah bubuk agar dan gula pada tiap jenis makanan : Bubuk Agar Gula

Keuntungan Per

(gram)

(gram)

Unit (Rp)

Art Pudding Jelly

250

180

12000

Jelly Candy

100

120

8000

Persediaan

400

360

Jenis Makanan

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar dapat memaksimalkan profit serta bagaimana status sumberdaya, nilai shadow price-nya?

QUESTION 2 Heikotolenar.Co is planning to create new and more comfortable couch product. So they consider to add new ornaments on it. To make ornament A, they needs 6 kg of leather and 5 kg of wood. While ornament B, Heikotolenar.Co needs 3 kg of leather and 3 kg of wood. For now, they have 30 kg of leather and 15 kg of wood available, with marginal profit of A is 22 euro and B is 46 euro. Please help them to determine: a. optimum solution with simplex method b. total of unit produced

32


c. resource status d. shadow price e. range basic variable

SOAL 3 Fungsi tujuan:

Zmax = 12X1 + 10X2

Fungsi kendala:

6X1 + 3X2 ≤ 120 5X1 + 8X2 ≤ 100 4X1 + 2X2 ≤ 90

Tabel solusi optimum : Cj

12 Solmix 12 X1 10 X2 0 S3 zj cj-zj

X1

10 X2

1 0 0 12 0

0 S1

0 0.2424 1 -0.1515 0 -0.66667 10 1.3939 0 -1.3939

0 S2

0 S3

-0.0909 -0.1818 0 0.7273 -0.7273

Q 0 0 1 0 0

20 0 10 240

a. Berapa unit produk yang harus diproduksi untuk menghasilkan profit yang optimum? Dan berapakah profit optimumnya? b. Berapakah nilai shadow pricenya dan bagaimana interpretasinya? c. Bagaimana status sumberdayanya? d. Variabel mana yang menjadi basic variable dan berapakah nilai perubahannya? e. Variabel mana yang menjadi non basic variable dan berapakah nilai perubahannya? f. Berapa rentang perubahan untuk masing-masing sumber daya?

33


SOAL 4 4Second Boutique merupakan sebuah perusahaan yang memproduksi celana dan jaket. Namun kapasitas produksinya dibatasi ketersediaan bahan baku dan jam kerja. Kebutuhan bahan baku celana adalah 2 unit dan jam kerjanya 4 jam, sedangkan kebutuhan bahan baku jaket adalah 1 unit dan jam kerjanya 5 jam. Sedangkan hanya tersedia 25 unit bahan baku dan 10 jam kerja. Biaya untuk membuat sebuah celana dan jaket berturut-turut adalah $100 dan $85. Hitunglah: a. Nilai solusi optimum (Z) b. Unit yang diproduksi c. Nilai shadow price beserta interpretasinya d. Status sumber daya

QUESTION 5 Paleyellow Inc. wants to produce Bags (X1) and Suitcase (X2) and receive maximum profit from this. Paleyellow wants margin for Bags is $10 and for Suitcase is $25. This is the following data: Constraints:

6X1 + 2X2 ≤ 200 2X1 + 5X2 ≤ 150

please find: a. optimum solution and the profit b. total of unit produced c. resource status d. shadow price e. basic and non basic variable

34


BAB IV DUAL PROBLEM Pengertian Setiap masalah linear programming memiliki masalah LP terkait dengan itu, yang disebut dual. Cara pertama menyatakan masalah linear disebut primal;kita dapat melihat semua masalah yang dirumuskan sejauh primal. Cara kedua menyatakan masalah yang sama disebut dual. Solusi optimal untuk primal dan dual setara, tetapi mereka diperoleh melalui prosedur alternatif. Kegunaan dual bagi pengambil keputusan adalah bahwa dengan dual mereka dapat melihat alternatif persamaan dari alternatif yang berbeda. Primal akan menghasilkan solusi-solusi dalam bentuk jumlah laba yang di dapat dari memproduksi barang atau dengan kata lain memaksimalkan fungsi laba, sedangkan dual akan memberikan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba atau dengan kata lain menjelaskan minimalisasi total opportunity cost dengan profit yang lebih besar.

Tujuan Secara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah linear programming (LP) yang secara langsung didefinisikan dari persoalan aslinya atau dari model LP Primal. Dalam kebanyakan perlakuan LP, dualitas sangat tergantung pada primal dan hal tipe

35


kendala, variabel keputusan dan kondisi optimum. Oleh karena itu dalam kenyataannya teori dualitas secara tegas tidak diharuskan penggunaannya. Dual

berisi

informasi

ekonomi

yang

berguna

untuk

manajemen, dan juga mungkin lebih mudah untuk memecahkan, dalam hal perhitungan yang kurang dari masalah primal. Pada umumnya, jika LP Primal melibatkan maksimasi fungsi keuntungan untuk kurang-dari-atau-sama dengan keterbatasan (constrain) sumber daya, dual akan melibatkan meminimalkan biaya kesempatan untuk lebih besar-dari-atau-sama dengan keterbatasan (constraint) profit dari produk.

Hubungan Primal-Dual Primal-dual menunjukan hubungan secara simetris dengan ketentuan sebagai berikut : a. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan dual b. Konstanta ruas kanan primal menjadi konstanta fungsi tujuan dual c. Semua kolom primal menjadi kendala dual d. Semua kendala primal menjadi variabel keputusan dual e. Koefisien kendala dari variabel primal menjadi koefisien yang berkorespondensi dengan kendala dual

36


Cara Pengerjaan Aturan 1 Umumnya pada model primal “maximize profit function” dengan subject to ≤resources constraint, dual akan “minimize opportunity cost” dengan subject to ≥product profit constraints. Contoh: Maximize:

Z = $4X1 + $5X2

Constraints:

X1 + 2X2 ≤ 40 jam tenaga kerja 4X1 + 2X2 ≤ 120 kg kulitsapi X1, X2 ≥ 0

Diketahui:

X1 = jumlah tas yang diproduksi X2 = jumlah sepatu yang diproduksi

Dual dari masalah ini dengan tujuan meminimasi opportunity cost menggunakan variabel U1 dan U2. U1 = dual dari jam tenaga kerja U2 = dual dari kg kulit sapi

37


Aturan 2 Pada sisi kanan primal, menjadi koefisien fungsi tujuan pada dual. Minimize: Z = $40U1 + $120U2

Aturan 3 Koefisien fungsi tujuan primal menjadi sisi kanan dual.

Aturan 4 Transpose dari koefisien primal constraint menjadi koefisien dual constraint.

Aturan 5 Tanda pertidaksamaan dari constraint merupakan kebalikan. Constraint:

U1 + 4X2 ≥ 4 2U1 + 3X2 ≥ 5

Penyelesaian Model Dual Setelah fungsi persoalan primal diubah ke dalam persoalan dual, maka penyelesaian dilakukan seperti pada persoalan primal. Minimize

Z = $40U1 +$120U2 +0S1 + 0S2 +MA1 +MA2

Constraints:

U1 + 4U2 – S1 + A1 = 4 2U1 + 3U2 – S2 + A2 = 5 U1, U2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0

38


Hasil tersebut sudah optimal melihat pada baris Cj-Zj seluruhnya bernilai positif. Dengan demikian hasil dari model dual ini adalah: U1 = 8/5 U2 = 3/5 S1 = 0 S2 = 0 Opportunity cost = $136

39


SOAL 1 Sally Salon memiliki dua jenis penawaran jasa Body Spa yang paling digemari oleh konsumen yaitu Chocolate Body Spa dan Greentea-Strawberry Body Spa dengan profit masing-masing $90 dan $125. Waktu yang dibutuhkan untuk melakukan jasa Chocolate Body Spa yaitu 1 jam dan untuk Greentea-Strawberry Body Spa selama 2 jam. Untuk melayani Chocolate Body Spa dibutuhkan 3 karyawan dan 5 komponen kecantikan. Sedangkan untuk melayani

Greentea-

Strawberry Body Spa dibutuhkan 4 karyawan dan 6 komponen kecantikan dengan waktu kerja selama 10 jam. Saat ini Sally Salon memiliki 24 karyawan dan 40 komponen kecantikan. Tentukanlah pelayanan jasa yang dapat memaksimalkan profit Sally salon dilengkapi jumlah profit yang di dapat juga buat dalam bentuk dual!

SOAL 2 Sebuah usaha furniture sedang mengalami penciutan dalam usahanya, sehingga saat ini ia hanya memproduksi barang-barang yang paling laku di pasar yaitu meja dan kursi. Untuk memproduksi setiap meja membutuhkan 5 unit papan, 2 unit kayu, dan 2 jam pengerjaan.

Sedangkan

untuk

memproduksi

setiap

kursi

membutuhkan 2 unit papan, 3 unit kayu, dan 2 jam pengerjaan. Bahan baku yang tersedia saat ini adalah 150 unit papan dan 100 unit kayu, sedangkan jam pengerjaan yang tersedia adalah 80 jam. Profit yang mampu dihasilkan untuk setiap produk meja dan kursi yang dapat

40


terjual adalah Rp 150.000 dan Rp 80.000. Buatlah formulasi matematis dari persoalan tersebut dalam bentuk primal dan dual dan buatlah tabel iterasi 0 untuk masing-masing model tesebut (primal dan dual)

QUESTION 3 YLI is a company who produce diet snack. There are 2 product that currently been produced, snack bar and dried oat. To produce snack bar, they need 10gr oat, 4gr sugar. For dried out, they need 4gr oat, 6gr sugar. Currently company have stock 300gr of oat and 200gr of sugar. For each snack bar,they earn $10, while dried out $5. From the condition above, please make: a. Mathematics formulation in primal and dual form b. Iteration table of 0 or each form (primal and dual)

SOAL 4 MOLMkf Wedding Cake memproduksi dua jenis produk yaitu kue tart dan cupcake. Keuntungan yang dihasilkan dari penjualan satu buah kue tart adalah Rp 10.000,00 sedangkan dari penjualan cupcake adalah sebesar Rp 7.500,00. Bahan-bahan yang dibutuhkan untuk membuat kedua kue tersebut adalah tepung terigu dan gula. Untuk membuat satu buah kue tart dibutuhkan 50 gram tepung terigu dan 100 gram gula, sedangkan untuk membuat satu buah cupcakes dibutuhkan 25 gram tepung terigu dan 30 gram gula. Persediaan bahan yang

41


dimiliki MolMkf Wedding Cake di gudang adalah sebanyak 1000 gram tepung terigu dan 1500 gram gula. Berapa banyak jumlah kue tart dan cupcake yang harus diproduksi agar keuntungan yang diperoleh MolMkf Wedding Cake maksimal! Buatlah dalam bentuk primal dan dual!

QUESTION 5 Coppa Inc. wants to sell new canned food and snack for cats. For new canned food, Coppa Inc. needs 9X1, 12X2, and 3X3 materials. On the other hand, for new snack, Coppa Inc. needs 1/3 all materials from new canned food materials. Each of the products are sold US$ 6.5 and US$ 7.3 each. There are only 50 kg of X1, 65 kg of X2, and 30 kg of X3 available. Please help the manager of Coppa Inc. to determine the numbers of the products that should be produced to maximize the profit using simplex method! Please also calculate both primal and dual problem!

42


BAB V INTEGER PROGRAMMING Pengertian Integer Programming adalah suatu program Linear dengan tambahan persyaratan bahwa semua atau beberapa variabel bernilai bulat non negative, tetapi tidak perlu parameter model juga bernilai bulat. Satusatunya perbedaan adalah bahwa satu atau lebih dari variable keputusan harus mengambil nilai integer dalam solusi akhir.

Tujuan dan Manfaat Integer Programming dimaksudkan agar pengambilan keputusan dari suatu masalah semakin realistis dan layak solusinya. Ketika dalam pengerjaan soal ditemukan perhitungan jumlah barang lalu adanya koma seperti 102,3 buah , maka nilai tersebut harus dibulatkan. Untuk mengetahui

solusi

pembulatan

yang

optimum

maka

harus

diperhitungkan dengan menggunakan Integer Programming.

Jenis Integer Terdapat tiga jenis masalah integer programming : 1. Pure Integer Programming adalah kasus-kasus di mana semua variabel wajib memiliki nilai integer. Contoh dalam pembelian mesin-mesin, karena tidak mungkin membeli mesin dalam bentuk pecahan ( X1 ≥ 0 dan Integer).

43


2. Mixed

Integer

Programming

adalah

kasus-kasus

dimana

beberapa, tapi tidak semua dari keputusan variabel wajib memiliki nilai integer. Contoh pembelian rumah dan tanah, untuk rumah diharuskan integer namun untuk pembelian tanah tidak harus integer (X1 ≥ 0 dan Integer ; X2 ≥ 0). 3. Zero-One Integer Programming adalah kasus khusus dimana semua keputusan variabel harus memiliki nilai solusi integer 0 atau 1. Contoh pembangunan fasilitas kolam renang di sebuah hotel, bernilai 1 jika fasilitas tersebut dibanggun, dan bernilai 0 jika fasilitas tersebut tidak dibangun ( X1=0 atau 1).

Metode Branch and Bound Metode Branch and Bound telah menjadi kode computer standar untuk integer programming. Teknik ini dapat diterapkan untuk masalah pure maupun mixed integer programming. Langkah-langkah metode Branch and Bound untuk masalah maksimalisasi adalah sebagai berikut : 1. Selesaikan masalah dengan menggunakan program linar, apabila hasilnya merupakan bilangan integer, maka permasalahan selesai, apabila tidak maka nilai Z yang diperoleh menjadi upper bound. 2. Lakukan program linear kembali sehingga diperoleh nilai Z yang baru untuk dijadikan lower bound. 3. Branch salah satu variabel yang tidak memiliki nilai yang integer berdasarkan hasil pada langkah 1. Bagilah permasalahan tersebut menjadi 2 submasalah yang baru berdasar nilai integer yang berada

44


di atas dan di bawah nilai yang non integer, misal X1 = 3,75 maka buat atasa yang pertama X1 ≥ 4 pada submasalah 1 dan batasan X1 ≤ 3 pada submasalah 2. 4. Buat formulasi masalah dari setiap submasalah yang baru, lalu selesaikan program linear (LP) tersebut :  Apabila hasil dari LP submasalah ternyara tidak feasible maka abaikanlah  Apabila hasil LP submasalah feasible, tetapi tidak memberikan hasil yang integer, maka lanjutkan pada langkah ke 6 5. Apabila hasil dari LP submasalah feasible dan integer maka lihat nilai Z nya apabila nilainya sama dengan upper bound maka solusi optimal tercapai. Tetapi apabila tidak sama dengan upper bound dan lebih besar dari lower bound maka jadikanlah lower bound yang baru. Apabila hasilnya lebih kecil dari lower bound maka abaikanlah. 6. Lakukan perhitungan kembali submaslah yang telah ditentukan, diman upperbound sama dengan nilai maksimum dari fungsi tujuan. Apabila upper bound sama dengan lower bound maka proses berhenti.

Contoh Soal Integer  Maksimum Z = $7X1 + $6X2  Batasan :

2X1 + 3X2 ≤ 12 6X1 + 5X2 ≤ 30 X1, X2 ≥ 0 dan integer

45


Penyelesaian dengan metode grafik, akan diperoleh X1 = 3,75 ; X2 = 1,5 dengan Z = $35,25. Hasil Z = 35,25 menjadi Upper Bound, untuk mencari Lower Bound X1 = 3 dan X2 = 1 maka diperoleh Z=27. Karena hasilnya bukan integer maka kita membagi X1 menjadi 2 submaslah dengan batasan X1 ≥ 4 dan X1 ≤ 3.

46


47


Proses berhenti apabila hasil yang diperoleh integer semua dengan nilai Z ≤ Upper bound.

48


QUESTION 1 Broowns.Id is wondering how to make the right combination of product sales to make the maximum profit. Help Broowns.Id to solve the integer program function using “Branch and Bound” method. Objectives : Zmax = 500X1 + 300X2 Constraint : 8X1 + 4X2 ≤ 36 , 5X1 + 7X2 ≤ 35

QUESTION 2 MKF Furniture wants to make garden table and chair sets. The expected margin for one table is $7 and for one garden chair is $6. But MKF Furniture has limited working time. To design 1 table, need 3 working hours. To design 1 chair need 2 working hours. To assembly 1 table and 1 chair need 4 working hours each. MKF Furniture has 15 working hours left for design and 30 working hours left for assembly. How many garden table and chair that MKF Furniture should make for increase their profit?

SOAL 3 Parambidam Company ingin menemukan kombinasi yang tepat dari produksi bantal lukis yang memberikan profit maksimal. Bantulah Parambidam Company untuk memecahkan masalahnya menggunakan integer dengan metode Branch and Bound! Fungsi Tujuan : Zmax : 35X1 + 30X2 Fungsi Kendala : 10X1 + 15X2 ≤ 60 dan 30X1 + 25X2 ≤ 150

49


SOAL 4 Maksimumkan Z= 5X1 + 7X2 + 4X3 Dengan syarat 3X1 + 4X2 ≤ 28 X3 ≤ 8 2X2 + 3X3 ≤ 12 X1;X2 = non negative integer Buatlah solusi optimumnya dengan menggunakan integer metode zero-one!

SOAL 5 Akira Bakery berencana membeli peralatan baru untuk kelangsungan produksinya antara lain oven, mixer, dan food processor. Biaya penggunaan oven, mixer dan food processor sebesar $400, $350, dan $200. Harga beli oven adalah $6 dan menghabiskan 4 meter2 ruangan. Sedangkan harga beli mixer sebesar $8 dan menghabiskan 3,5 meter2. Sementara untuk food processor harga belinya $10 dan menghabiskan 3 meter2. Pemilik perusahaan hanya memiliki anggaran sebesar $100 dan kapasitas ruang sebesar 50 meter2. Buatlah solusi optimumnya dengan menggunakan integer metode branch & bound!

50


BAB VI TRANSPORTASI Pengertian Permodelan transportasi adalah suatu prosedur berulang untuk memecahkan permasalahan meminimasi biaya pengiriman produk dari beberapa sumber ke beberapa tujuan. (Heizer: 2009). Model transportasi merupakan salah satu tehnik network flow problem dalam program linier yang prosedur perhitungannya lebih effisien dari pada menggunakan model simplex. Masalah dalam model transportasi digunkanan untuk mendistribusikan barang yang sejenis dari berbagai sumber (supply) ke lokasi-lokasi yang membutuhkan (demand) dengan tingkat kapasistas dan jumlah yang dibutuhkan berbeda-beda antar sumber dan lokasi. Schedule pemindahan dari sumber ke lokasi akan memperoleh total biaya pengiriman yang terendah.

Data yang dibutuhkan dalam model transportasi: 1. Titik asal dan kapasitas atau pasokan pada setiap periode. 2. Titik tujuan dan permintaan pada setiap periode. 3. Biaya pengiriman satu unit dari setiap titik asal ke setiap titik

tujuan Asumsi Model Transportasi: ∑Demand = Supply

51


Bentuk Umum Matriks Transportasi:

Keterangan: Ai = Daerah asal i Tj = Daerah tujuan j Si = Ketersediaan Barang di daerah asal Ai (supply) Dj = Permintaan Barang di daerah tujuan Tj (demand) Cij = Biaya transportasi dari Ai ke Tj Xij = Jumlah barang yang didistribusikan dari Ai ke Tj

52


Tahap Pengerjaan:

1. Diagnosis

masalah

dengan

menganalisis

sumber,

tujuan,

parameter, dan variabel. Lalu tuangkan ke dalam matriks transportasi. Jika kapasistas seluruh sumber tidak sama dengan seluruh permintaan tujuan. Maka tambahkan kolom atau baris dummy yaitu kolom atau baris tambahan yang berbiaya nol. 2. Susun tabel solusi awaluntuk menentukan alokasi distribusi yang

bersifat sementara.

53


3. Lakukan pengujian optimalisasi tabel (tabel solusi akhir) untuk

mengetahui apakah biaya distribusi total pada tabel solusi awal telah minimum. 4. Jika tabel solusi akhir belum optimal atau biaya distribusi total

masih mungkin diturunkan lagi, maka perbaiki lagi tabel solusi akhir ini.

Metode Solusi Awal a. North West Corner Method (NWCR) North West Corner Method(NWCR) adalah salah satu metode untuk menyusun tabel solusi awal dengan cara mengalokasikan distribusi barang mulai dari kotak yang terletak pada sudut paling kiri atas. Metode ini merupakan metode yang paling mudah dan cepat untuk digunakan, namun kemungkinannya kecil untuk mendapatkan hasil yang optimum karena metode NWCR ini mengabaikan biaya dari pendistribusian sumber daya. Tahapan NWCR adalah sebagai berikut: 1. Pastikan jumlah permintaan (demand) sama dengan jumlah

penawaran (supply). 2. Habiskan seluruh supply dari setiap baris sebelum pindah ke baris

di bawahnya. 3. Habiskan seluruh demand dari setiap kolom sebelum pindah ke

kolom disamping kanannya. 4. Apabila m+n– 1 telah terpenuhi, dapat dilanjutkan pada solusi

akhir, apabila tidak terpenuhi masukan nilai 0 pada kotak yang belum terisi sebelum masuk pada solusi akhir.

54


5. Hitung total biaya transportasi Σ(Xij x Cij)

b. Least Cost Method (LCM) Least Cost Method (LCM) adalah salah satu metode untuk menyusun tabel solusi awal dengan cara mengalokasikan distribusi barang dari sumber tujuan mulai dari kotak yang memiliki biaya distribusi terkecil.Tahapan dari metode LCM adalah sebagai berikut: 1. Pastikan jumlah permintaan (demand) sama dengan jumlah

penawaran (supply). 2. Alokasikan terlebih dahulu pada kotak yang berbiaya distribusi

terkecil dalam tabel solusi awal, jika terdapat dua kotak yang memiliki biaya terkecil yang sama, maka pilih salah satu kotak saja. 3. Apabila kapasitas pada biaya terkecil sudah terpenuhi maka

abaikan kolom sisanya. 4. Apabila terdapat dummy, otomatis kolom dummy yang diisi

terlebih dahulu karena kolom dummy memiliki biaya distribusinya 0. 5. Apabila m+n– 1 telah terpenuhi, dapat dilanjutkan pada solusi

akhir, apabila tidak terpenuhi masukan nilai 0 pada kotak yang belum terisi sebelum masuk pada solusi akhir. 6. Hitung total biaya transportasi Σ(Xij x Cij)

55


C. Vogel’s Aproximation Method (VAM) Vogell’s Aproximation Method (VAM) adalah salah satu metode untuk menyusun tabel solusi awal dengan cara mengalokasikan distribusi barang dari daerah asal ke daerah tujuan dimulai dari kolom atau baris yang memiliki peluang (opprtunity cost) paling besar dan kotak yang memiliki biaya distribusi terkecil. Tahapan dari VAM adalah sebagai berikut: 1. Pastikan jumlah permintaan (demand) sama dengan jumlah

penawaran (supply). 2. Tentukan selisih dari dua biaya terkecil pada setiap baris dan

kolom untuk mengisi kotak peluang. 3. Pilih nilai peluang yang terbesar. Setelah memilih nilai peluang

terbesar, maka kotak yang harus diisi terlebih dahulu adalah kotak pada baris atau kolom tersebut yang memiliki biaya terkecil. 4. Apabila supply dan demand telah habis, maka kolom atau baris

sisanya diabaikan atau tidak diikutsertakan lagi dalam perhitungan peluang. 5. Apabila m+n– 1 telah terpenuhi, dapat dilanjutkan pada solusi

akhir, apabila tidak terpenuhi masukan nilai 0 pada kotak yang belum terisi sebelum masuk pada solusi akhir. 6. Hitung total biaya transportasi Σ(Xij x Cij)

56


Metode Solusi Akhir a. Stepping Stones Method Stepping Stone Method adalah salah satu metode untuk menyusun tabel solusi akhir dengan cara menguji tabel solusi awal apakah improvement indexnya sudah optimal atau belum. Kemudian melakukan perubahan terhadap tabel solusi awal apabila improvement indexnya belum optimal (masih terdapat improvement index yang bernilai negatif) dengan cara melakukan looping pada setiap kotak kosong. Tahapan dari Stepping Stone Method adalah sebagai berikut: 1. Pilih salah satu metode solusi awal. 2. Buatlah improvement index yang dimulai dari kotak kosong non

basic variable dengan cara looping yaitu: •

Arah dari looping bisa searah atau berlawanan dengan arah jarum jam.

•

Setiap jalur harus berujung pada kotak yang berisi (basic variable).

•

Berilah tanda positif (+) pada titik awal kotak berisi, kemudian tanda negatif (-) pada titik selanjutnya dengan tanda yang bergantian.

•

Hitunglah biaya berdasarkan tanda pada looping yang telah dibuat, apakah positif (sebagai penambah) atau negatif (sebagai pengurang).

3. Ulangi langkah 2 hingga semua kotak kosong dibuat improvement

indexnya.

57


4. Untuk menguji optimalitasnya, lihat hasil dari improvement index,

apabila hasil dari improvement index masih ada yang bernilai negatif maka ulangi langkah 2 dengan memindahkan tatanan dari masing-masing kotak berisi yang terlibat dalam improvement index yang bernilai negatif tersebut. Apabila terdapat improvement index yang bernilai negatif lebih dari satu, maka pilihlah nilai negatif terbesar.Keadaan optimum tercapai hingga keseluruhan nilai improvement indexnya bernilai positif. 5. Hitung total biaya transportasi Σ(Xij x Cij)

b. Modified Distribution Method (MODI) Modified Distribution Method (MODI) adalah salah satu metode untuk menyusun tabel solusi akhir dengan menguji tabel solusi awal apakah improvement indexnya sudah optimal atau belum serta melakukan perubahan terhadap tabel solusi awal yang improvement indexnya belum optimal dengan cara menghitung secara matematis dari variabel non basic (kotak kosong) apakah bernilai positif atau negatif. Tahapan metode MODI adalah sebagai berikut: 1. Pilih salah satu metode solusi awal (NWCR, LCM, atau VAM). 2. Cari nilai Ri dan Kj dengan rumus Ri + Kj = Cij, dimana Ri adalah

baris ke i, Kj adalah kolom ke j, dan Cij adalah biaya transportasi per unit. 3. Tentukan nilai improvement index dari kotak kosong dengan rumus

Iij = Cij – Ri – Kj.

58


4. Jika nilai dari improvement index masih masih terdapat nilai yang

negatif, maka selesaikan kembali dengan memindahkan nilai kotak berisi yang memiliki biaya terkecil. Apabila terdapat improvement index yang bernilai negatif lebih dari satu, maka pilihlah nilai negatif terbesar. 5. Lalu ulangi dari tahap 2. Keadaan optimum tercapai jika seluruh

improvement indexnya bernilai positif. 6. Hitung total biaya transportasi Σ(Xij x Cij)

Kondisi Khusus dalam Model Transportasi a. Unbalanced Transportation Problems

Terjadi ketika kapasitas seluruh sumber tidak sama dengan seluruh permintaan tujuan. b. Degeneracy in Transportation Problems

Terjadi ketika jumlah basic variable (kotak berisi) tidak memenuhi syarat m+n-1. Maka tempatkan angka nol pada salah satu kotak yang kosong dengan mengutamakan kotak yang memiliki biaya terkecil. c. More Than One Optimal Solutions

Terjadi ketika nilai dari improvement index bernilai 0. Maka harus dilakukan desain ulang terhadap alternatif jalur looping yang akan menghasilkan biaya transportasi yang sama. Alternatif jalur ini dapat dicari dengan menggunakan metode stepping stone d. Maximization Transportation Problems

59


Terjadi ketika fungsi tujuan dari masalah transportasi adalah maximization, maka kondisi optimum adalah saat semua improvement index bernilai negatif atau nol. Pemindahan kotak berisi pada kasus ini dilakukan pada improvement index yang bernilai positif terbesar, dan selanjutnya dilakukan looping dengan menggunakan kotak berisi yang baru. e. Unacceptable or Prohibited Routes

Terjadi ketika terdapatnya sumber yang tidak bisa didistribusikan ke satu atau lebih tujuan. Maka untuk menghindari sumber tersebut, letakan biaya transportasi terbesar pada matriks transportasi dan lakukan perhitungan seperti biasa.

60


SOAL 1 PT. Go-Jack merupakan perusahaan yang bergerak di bidang transportasi dan antar jemput makanan. Perusahaan tersebut berpartner dengan 3 kedai

kopi yang berbeda lokasi, yaitu Setarbak DU,

Setarbak PVJ, dan Setarbak BIP dengan kapasitas produksi masingmasing 240 cup, 400 cup, dan 640 cup per hari. Hari itu PT. Go-Jack mendapat pesanan kopi ke tiga tempat berbeda yaitu Dago Atas, Buah Batu, dan Soekarno Hatta dengan tingkat permintaan masing-masing sebesar 600 cup, 300 cup, dan 500 cup. Berikut ini tabel biaya pengiriman per-cup (dalam Rp) ke setiap tempat tujuannya: To

From

Soekarno-

Dago Atas

Buah Batu

Setarbak DU

360

260

400

Setarbak PVJ

240

300

360

Setarbak BIP

300

240

200

Hatta

Tentukanlah jalur pengiriman paling efisien serta hitunglah berapa total biaya pengiriman yang harus dibayarkan PT Go-Jack menggunakan 3 solusi awal dan solusi akhir menggunakan Stepping Stone!

61


QUESTION 2 Russian Blue Corp wants to distribute its product. Russian Blue Corp has 3 main distributors which are Persian, Sphynx, and Bengal. They distribute the products across 4 countries, which are UK, Japan, Australia, and South Korea. Those countries has demand of 5000, 8500, 6000, and 7500. And those distributors can only supply in limited number of 9500, 8500, and 9000. And the delivery costs needed are shown below: (in USD) South

Distributor/Country

UK

Japan

Australia

Persian

100

150

300

100

Sphynx

200

100

150

200

Bengal

100

300

200

250

Korea

Using the given information, please calculate the minimum cost using the correct allocation for its product distribution! (Initial solution using NWCR, LCM, and VAM. Final solution using MODI)

62


SOAL 3 Afifa Boutique memiliki tiga gudang konveksi yang terletak di Bogor, Bandung, dan Jakarta dengan kapasitas masaing-masing 180 unit, 100 unit, dan 220 unit. Barang yang diproduksi adalah baju-baju muslim yang sedang tren di Malaysia. Afifa boutique sudah mempunyai tiga toko yang terletak di Kuala Lumpur, Kinabalu, dan Johor Bahru dengan jumlah permintaan masing-masing 200 unit, 140 unit, dan 160 unit. Biaya transportasi per unit dapat dilihat pada tabel berikut (dalam US $)

Kuala Lumpur

Kinabalu

Johor Bahru

Bogor

8

6

10

Bandung

12

10

9

Jakarta

4

16

5

Hitunglah total cost yang dikeluarkan dengan menggunakan solusi awal NWCR, LCM, dan VAM, dan solusi akhir Stepping Stone!

QUESTION 4 Anjani Corporation producing leather product, they have 3 producing factory. The capacity for each factory respectively are 500 units in Bogor, 1200 units in Bandung and 800 units in Jakarta. The products will be exported to Semarang with demand of 400 units,

63


Palembang with 600 units, and Jogjakarta 750 units. The delivery cost per unit from each factory to the destination, are: Factory/Store

Semarang

Palembang

Jogjakarta

Bogor

$100

$150

$125

Bandung

$75

$50

$75

Jakarta

$150

$50

$125

Using the given information, calculate the minimum cost, using the correct allocation for its product distribution! (Initial solution using NWCR, LCM and VAM, Final Solution using MODI?

SOAL 5 PT. Permata Agro adalah perusahaan pemasok kentang di Lampung. Perusahaan memasok produk kentangnya ke berbagai wilayah di pulau Jawa diantaranya Bandung, Solo, Malang dan Surabaya dengan permintaan masing-masing sebanyak 2500 kg, 1600 kg, 1250 kg, dan 2100 kg. Selain dari lahan yang di Lampung, PT. Permata Agro juga mendapatkan tambahan pasokan dari lahan di daerah Banten dan Bogor. Berikut merupakan data persediaan dan keuntungan yang diperoleh masing-masing daerah pengiriman (dalam Rp. 000) :

64


Tujuan

Bandung

Solo

Malang

Surabaya

Persediaan

Lampung

30

18

24

36

2800

Banten

45

64

11

30

1850

Bogor

25

15

22

21

2250

Letak Lahan

Buatlah

komposisi

pendistribusian

optimal

dengan

menggunakan metode solusi awal NWCR, LCM, dan VAM serta metode solusi akhir stepping stone, kemudian hitunglah jumlah laba yang diperoleh!

65


BAB VII PENUGASAN Pengertian Masalah penugasan berkaitan dengan keinginan perusahaan dalam mendapatkan pembagian atau alokasi tugas (penugasan) bagi setiap SDM yang dimilikinya secara optimal, dalam arti apabila penugasan tersebut berkaitan dengan keuntungan maka bagaimana alokasi tugas atau penugasan tersebut dapat memberikan keuntungan yang maksimal, begitu pula sebaliknya bila menyangkut biaya, bagaimana penugasan yang optimal yang memiliki biaya paling minimum. Masalah penugasan dapat diartikan sebagai masalah transportasi dimana hanya ada satu kapasitas dari setiap sumber dan hanya ada satu permintaan di setiap tujuan. Model Penugasan digunakan sebagai berikut:  Untuk memutuskan penugasan pekerjaan untuk orang atau mesin, model penugasan yang dilakukan  untuk menentukan urutan kegiatan yang berbeda dilakukan pada satu dan fasilitas yang sama

66


Tujuan Metode penugasan bertujuan untuk mengalokasikan tugas secara optimal

sehingga

dapat

mencapai

tujuan

perusahaan,

yaitu

memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Dalam penyelesaian masalah penugasan biasanya dilakukan dengan menggunakan

metode

Hungarian

yang

pada

tahun

1916

dikembangkan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Hungaria bernama D. Konig

Langkah-langkah Metode Penugasan menggunakan Hungarian Method: 1. Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk tabel penugasan. 2. Untuk kasus minimalisasi, mencari biaya terkecil untuk setiap baris, dan kemudian menggunakan biaya terkecil tersebut untuk mengurangi semua biaya yang ada pada baris yang sama. Sedangkan untuk kasus maksimalisasi, mencari nilai tertinggi untuk setiap baris yang kemudian nilai tertinggi tersebut dikurangi dengan semua nilai yang ada dalam baris tersebut. 3. Memastikan semua baris dan kolom sudah memiliki nilai nol. Apabila masih ada kolom yang belum memiliki nilai nol, maka dicari nilai terkecil pada kolom tersebut untuk selanjutnya digunakan untuk mengunrangi semua nilai yang ada pada kolom tersebut.

67


4. Setelah semua baris dan kolom memiliki nilai nol, maka langkah selanjutnya adalah memastikan atau mengecek apakah dalam tabel penugasan tersebut, telah berhasil ditemukan nilai nol, sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya. Misalnya bila yang akan ditugaskan adalah 4 karyawan, maka harus ditemukan nilai nol sebanyak 4 buah yang terletak di baris dan kolom yang berbeda. Sebaiknya dimulai dari baris yang hanya memiliki 1 nilai nol. Langkah ini menganduk arti bahwa setiap karyawan hanya dapan ditugaskan pada satu pekerjaan saja. 5. Apabila belum, maka langkah selanjutnya adalah menarik garis yang menghubungkan minimal dua buah nilai nol dalam tabel penugasan tersebut. 6. Selanjutnya, perhatikan nilai-nilai yang belum terkena garis. Pilih nilai yang paling kecil, kemudian pergunakan untuk mengurangi nilai-nilai lain yang belum terkena garis, dan gunakan untuk menambah nilai-nilai yang terkena garis dua kali. 7. Dari hasil lagkah ke-6 tersebut, apakah sekarang telah berhasil ditemukan nilai nol sejumlah atau sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya. 8. Jika sudah, maka masalah penugasan telah optimal, dan apabila belum maka perlu diulangi langkah penyelesaian ke-5 di atas.

68


SOAL 1 Di bawah ini merupakan keuntungan dari honor seminar yang akan diterima oleh para trainer SDM (dalam Rp 000.000) yang bekerja untuk PT Indo Human Capital ketika akan men-training beberapa kampus : Kampus

Nama Trainer

Imperial

SDM

Unpad

Harvard

Boston

Barkeley

Mario Teguh

6

8

4,5

5,5

7

Setia Furqon

8

4

5,5

5

6,5

Andrie Wongso

5,5

7

6

6,5

4

Jaya Suprana

7

5

6,5

4,5

6

4,5

5,5

5

7

8

Hermawan Kertajaya

College

Tentukan penugasan yang paling optimal dan berapa total profit yang didapatkan PT Indo Human Capital!

QUESTION 2 Anjani.Co is a company that produce premium quality of leather product. To expand their business, they recruit 4 new salesman. After work trial those people managed to sell different quantity of product in different region. The further information about cost for each region is describe bellow:

69


Employee /

A

B

C

D

E

Hendro

40

24

36

50

30

Yanda

35

28

38

55

28

Aden

40

29

37

46

29

Elvira

55

38

30

58

32

Region

Determine the assignment!

QUESTION 3 Orange Group has 4 sales promotion girls that can deliver profit higher than the other. But now, salesperson should be placed in a city that can maximize profit even more. Below is the profit data that each person can get: City Salesperson

70

Seoul

Busan

Daegu Icheon

Alexa

1000

2500

1600

1200

Britney

1000

1700

1750

1750

Clara

2000

1800

1550

1800

Daisy

1800

1000

2100

2000


Please help Orange Group to assign its best sales promotion girls in the right city to gain more profit. Please use Hungarian Method!

SOAL 4 PT. Surya Kencana berencana untuk mengerjakan 4 buah proyek, yaitu proyek I, Proyek II, Proyek III, dan proyek IV. Berikut table yang menjelaskan biaya yang dikeluarkan dari tiap proyek dari grupgrup yang ada di perusahaan tersebut. (Dalam $ 000)

Grup

Proyek I

II

III

IV

A

18

14

36

30

B

27

25

22

29

C

28

30

29

14

D

28

21

21

17

Tentukan penugasan yang paling optimal agar perusahaan mengeluarkan biaya yang paling kecil!

SOAL 5 PT. Go Food Indonesia saat ini membuka lowongan sebagai Business Development yang akan bekerja untuk mengembangkan pelayanan jasa dari Go Food Indonesia. Lowongan diperuntukkan untuk karyawan Internal PT. Go Food Indonesia. Terdapat enam calon

71


terkuat yang akan ditempatkan di lima daerah tujuan pengembangan bisnis yaitu Medan, Palembang, Semarang, Yogyakarta, dan Balikpapan. Adapun daftar nama calon karyawan tersebut dengan estimasi keuntungan (dalam Rp. 000) sebagai berikut : Nama

Medan

Palembang

Semarang

Yogyakarta

Balikpapan

Aurora

40.000

25.000

19.000

34.000

29.000

Belle

38.000

41.000

22.000

33.000

18.500

Woody

26.000

39.000

24.500

36.000

19.000

Jasmine

47.000

20.000

23.000

14.000

21.000

Ken

30.000

14.500

35.000

17.500

22.000

Anna

31.000

27.000

29.000

31.500

23.000

Calon/Wilayah

Bantulah PT. Go Food Indonesia untuk memilih calon karyawan

untuk

posisi

Business

Development

dan

daerah

penempatannta masing-masing dan hitung total pendapatan yang akan didapatkan!

72


BAB VIII TEORI ANTRIAN Pengertian Teori antrian merupakan suatu model perhitungan yang menguntungkan

dari

sisi

penyedia

pelayanan

dan

sekaligus

mengurangi atau menghilangkan antrian (waktu menunggu) bagi pihak yang dilayani atau customer. Kasus antrian timbul karena adanya

keterbatasan

kapasitas

pelayanan,

contohnya

ketika

penumpang kereta api menunggu pelayanan loket penjualan karcis, pengendara kendaraan menunggu pengisian bahan bakar, beberapa produk atau komponen menunggu untuk di selesaikan, dsb.

Tujuan Untuk meminimumkan sekaligus dua jenis biaya yaitu biaya langsung untuk menyediakan pelayanan (biaya pelayanan) dan biaya individu yang menunggu untuk memperoleh pelayanan (biaya tunggu).

Komponen Proses Antrian Terdapat tiga komponen proses antrian yaitu (1) Sumber Kedatangan, (2) Antrian, dan (3) Fasilitas

73


Struktur Antrian Dalam mengelompokkan model-model antrian yang berbeda-beda, akan digunakan suatu notasi yang disebut dengan Kendall’s Notation. Notasi ini sering dipergunakan karena beberapa alasan. Pertama karena

notasi

tersebut

merupakan

alat

yang

efisien

untuk

mengidentifikasi tiak hanya model-model antrian tetapi juga asumsi asumsi yang harus dipenuhi. Kedua, hampir semua buku yang membahas teori antrian menggunakan notasi ini. Notasi yang sering dipakai adalah : M

: Tingkat kedatangan dan/atau pelayanan Poisson

D

: Tingkat kedatangan dan/atau pelayanan Deterministik

(diketahui konstan) K

: Distribusi Erlang waktu antar kedatangan atau pelayanan

S

: Jumlah fasilitas pelayanan

I

: Sumber populasi atau kepanjangan antrian tak terbatas

F

: Sumber populasi atau kepanjangan antrian terbatas

Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian : 1.

Single Channel – Single Phase

Artinya hanya ada 1 jalur yang memasuki sistem pelayanan atau ada 1 fasilitas pelayanan.

74


2. Single Channel – Multi Phase Artinya ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan.

3. Multi Channel – Single Phase Artinya ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal.

4. Multi Channel- Multi Phase Artinya sistem ini memiliki fasilitas pelayanan pada setiap tahapannya.

75


SINGLE CHANNEL MODEL Model yang paling sederhana yaitu model saluran tunggal atau sistem M/M/1 1.

Populasi input tak terbatas

2.

Distribusi

kedatangan

pelanggan

potensial

mengikuti

distribusi poisson 3.

Disipliln pelayanan mengikuti FCFS

4.

Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal

5.

Distribusi pelayanan mengikuti distribusi poisson

6.

Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas

7.

Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

RUMUS 𝞴 = rata-rata kedatangan dalam periode waktu µ = rata-rata jumlah orang atau barang yang dilayani dalam periode waktu Ls = rata-rata jumlah unit (pelanggan) dalam suatu system (sedang menunggu dan akan dilayani) λ

= µ− λ Ws = rata-rata waktu yang dihabiskan satu unit dalam suatu system (waktu tunggu dijumlah dengan waktu pelayanan) =

1 µ− λ

Lq = rata-rata jumlah unit yang menunggu dalam antrian λ2

= µ(µ− λ)

76


Wq = rata-rata waktu yang dihabiskan satu unit menunggu dalam antrian =

λ µ(µ− λ)

ρ = tingkat utilisasi di dalam system λ

=µ P0 = probabilitas 0 unit dalam suatu system λ

=1−µ Pn>k = probabilitas lebih dari k unit dalam suatu system, dimana n merupakan jumlah unit dalam system λ 𝑘+1 µ

=( )

MULTIPLE CHANNEL MODEL Dalam Multiple-Channel Model, fasilitas yang dimiliki lebih dari satu. Huruf (s) menyatakan jumlah fasilitas pelayanan (M/M/S).

77


78


SOAL 1 Hijabers Community Bandung sedang mengadakan Hijab Festival 2016 di Sasana Budaya Ganesha. Pengunjung yang akan masuk ke area Hijab Festival harus membeli tiket terlebih dahulu. Namun hanya ada satu loket yang melayani pembelian tiket. Karena antusiasme masyarakat Bandung akan acara Hijab Festival 2016 ini maka antrianpun menjadi panjang. Pengunjung yang datang rata-rata 30 orang per jam. Sedangkan waktu yang dibutuhkan untuk melayani seseorang pelanggan di loket rata-rata adalah 360 detik. Jika laju kedatangan berdistribusi poisson, maka bantulah Project Officer Hijab Festival 2016 untuk mengetahui informasi : a. Jumlah pengunjung yang ada dalam sistem antrian b. Jumlah pengunjung yang ada dalam baris antrian c. Waktu menunggu dalam sistem antrian d. Waktu menunggu dalam baris antrian e. Probabilitas ada 5 orang pengunjung di depan loket

QUESTION 2 RAK BURGER is a company that produce all variant best burger in town. Due to the high demand, the company has 5 service center with the average arrival rate is 70 people/hour and average service level is 3 minutes/ppl. Please help RAK BURGER to determine: a. Average number of people in the system b. Average number of people in the queue c. Waiting time in the system

79


d. Waiting time in the queue e. Utilization rate if the stand is busy

SOAL 3 Nasabah Harris Imperial Bank mengantri mengikuti distribusi Poisson dengan tingkat rata-rata 20 per jam. Hanya terdapat satu meja teller yang secara rata-rata setiap penumpang dilayani 2 menit per penumpang. Kepala Cabang di Bank tersebut mengetahui bahwa dengan mengganti teller yang ada dengan teller yang lebih terampil, waktu pelayanan berkurang dari rata-rata 2 menit per penumpang menjadi 1,5 menit per penumpang (40 penumpang per jam). Namun upah teller yang terampil adalah Rp1.200,00 per jam, yang berarti dua kali upah teller yang ada. Kepala Cabang juga memperkirakan biaya menunggu tiap nasabah sebelum dilayani adalah adalah Rp 50,00 per menit. Haruskah Kepala Cabang mengganti penjaga yang ada dengan penjaga yang lebih terampil?

SOAL 4 Bioskop XXI Ciwalk memiliki 5 teller yang dapat melayani pembelian tiket. Rata-rata kedatangan konsumen adalah 50 orang per jam, sementara pelayanan yang diberikan oleh masing-masing teller adalah 2 menit per orang. Dari data yang diberikan, hitunglah: a. Jumlah rata-rata dalam sistem antrian b. Jumlah rata-rata dalam baris antrian c. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem antrian

80


d. Waktu menunggu rata-rata dalam baris antrian e. Tingkat utilitas kesibukan dari customer service

QUESTION 5 One of the famous pet shop have a busy head office in Jakarta. It had 5 different customer services with average arrival rate is 2 animals/hour. And average service level is 15 minutes/animal. Determine: a) Average number of people in the system b) Average number of people in the queue c) Waiting time in the system d) Waiting time in the queue e) Utilization rate if the stand is busy

81


BAB IX DYNAMIC PROGRAMMING Definisi  Menurut Dimayati (1992), program dinamis adalah suatu teknik matematis yang baisanya digunakan untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.  Menurut Siagian (2003), program dinamis adalah suatu teknik matematis

yang

digunakan

untuk

mengoptimalkan

proses

pengambilan keputusan secara bertahap-tahap. Jadi, program dinamis adalah metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau tahapan (stage) sedemikian rupa sehingga solusi (alternatives) dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.

Karakteristik Program Dinamis 1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan. 2. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam kemungkinan masukan yan ada pada tahap tersebut.

82


3. Hasil

dari

keputusan

yang

diambil

pada

setiap

tahap

ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya. 4. Ongkos (cost) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily) dengan bertambahnya jumlah tahapan. 5. Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap yang sudah berjalan dan ongkos pada tahap tersebut. 6. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan yang dilakukan pada tahap sebelumnya. 7. Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1. 8. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.

Pendekatan Program Dinamis Keputusan program dinamis dapat dilakukan dengan dua pendekatan yaitu : 1. Pendekatan Maju (Forward atau Up-Down) Pendekatan ini bergerak mulai dari tahap 1 lalu menuju tahap 2,3, hingga tahap n. 2. Pendekatan Mundur (Backward atau Bottom-Up) Pendekatan in bergerak mulai dari tahap n terus mundur menuju tahap n-1, n-2, dan seterusnya hingga tahap awal yaitu tahap 1.

83


Langkah Pemecahan Masalah Program Dinamis Pemecahan masalah dalam Program Dinamis memiliki beberapa tahapan yaitu : 1. Membagi masalah asli (Original Problem) kedalam beberapa tahap permasalahan (subproblem) yang biasa disebut stage. 2. Memecahkan tahapan terakhir dari masalah untuk semua kondisi yang mungkin. 3. Bekerja mundur dari tahap terakhir dan memecahkan tiap tahap. Hal ini dilakukan untuk menentukan kebijakan yang optimal dari tahap itu sampai akhir masalah (tahap terakhir). 4. Solusi optimal didapatkan apabila telah memecahkan semua permasalahan dari tiap tahap.

Metode Program Dinamis Dalam mata kuliah metode kuantitatif, terdapat tiga metode program dinamis yang akan dipelajari : 1. General Case 2. Stage Coach 3. Knapsack

General Case General Case bertujuan untuk mendapatkan jumlah pekerja yang optimal untuk ditempatkan di suatu wilayah operasi. Di dalam General Case, stage biasanya merupakan kombinasi-kombinasi terbaik

84


berdasarkan

biaya

(cost)

yang

dikeluarkan

apabila

pekerja

ditempatkan di suatu wilayah tertentu.

General Case ≠ Assignment

 General Case

: Menentukan jumlah pekerja

 Assignment

: Menentukan pekerja yang akan ditempatkan di wilayah operasional tertentu.

Stage Coach Stage Coach adalah pengarahan perjalanan untuk menentukan rute tercepat

berdasarkan

alternatif-alternatif

rute

yang

tersedia.

Stagecoach dikembangkan oleh Profesor Harvey M. Wagner ketika ia berada di Stanford University. Di dalam stagecoach, stage biasanya merupakan kombinasi dua rute yang berhubungan, untuk selanjutnya dipilih alternatif terbaik dan seterusnya sampai rute paling akhir.

Knapsack Program dinamis Knapsack adalah permasalahan mengenai berapa jumlah jenis barang yang berbeda yang dapat dimasukkan ke dalam sebuah

wadah

atau

tempat

yang

dapat

menampung

memaksimumkan pengembalian dari barang-barang tersebut.

85


guna

QUESTION 1 Sonee Inc. wants to deliver VOIA from New York to 6 different cities in USA. Below is the given data:

2

10

5 14 20

1

26

30

4

7 21

6

15

3

22

18

Choose the shortest route so Sonee Inc. could deliver it on time!

SOAL 2 Morgan Euy merupakan wisatawan asal Indonesia yang sedang mengikuti program field trip ke Korea Selatan. Saat sedang berjalan-jalan di Namdaemun Market salah satu pusat perbelanjaan di Korea Selatan, Morgan Euy melihat banyak barang-barang fashion ala K-Pop dengan harga yang miring. Morgan Euy berniat untuk membeli sejumlah barang dari tempat tersebut dan lalu dijual kembali saat sampai di Indonesia. Namun, ransel yang dibawa oleh Morgan Euy

86


hanya dapat memuat barang sebanyak 7 kg. Morgan Euy pun harus memilah barang yang akan dibelinya. Berikut merupakan tiga jenis barang yang akan dibeli Morgan Euy : NO

Jenis Barang

Berat (kg)

Profit (Rp.000)

1.

Sepatu

2

80

2.

Denim Jeans

4

150

3.

Sweater

1

30

Tentukan kombinasi barang yang Morgan Euy beli agar dapat memaksimumkan keuntungan?

SOAL 3 Hortimart merupakan eksportir bibit buah terkenal yang terkenal dengan kualitasnya. Saat ini, perusahaan sedang berencana mengekspor 3 jenis bibit buah, yaitu nanas madu, pir xiang lie, dan durian monthong. Perusahaan berencana mengekspor sesuai dengan Economics Lot Size (ELS) seperti pada tabel di bawah ini: Jenis Bibit

Berat

Estimasi Profit (per Kg)

Nanas Madu

0,03 kuintal

Rp 10.000,00

Pir Xiang Lie

0,04 kuintal

Rp 11.500,00

Durian Monthong

0,06 kuintal

Rp 13.000,00

Hortimart telah menyewa sebuah peti kemas dengan kapasitas 0,15 kuintal. Bantulah Hortimart dalam menyusun rencana ekspor

87


baru agar sesuai dengan kapasitas dan mendapatkan keuntungan yang maksimum!

QUESTION 4 Burj Khalifa Hotel has a new branch in 4 different city, which are, Harisy, Umary, Firdausy, Anjany and Afify considering to relocate its marketing personnels from existing stores to the new ones. There are currently 8 marketing personnel that are available for relocation. Help manager to determine how many personnels would be relocated to which stores!

Amount of Marketers 0 1 2 3 4 5 6 7 8

88

profi t tha t ca n be ea rned from ea ch new bra nches wi th di fferent a mount of ma rketing pers onel s

Harisy

Umary

Firdausy

Anjany

Afify

450 600 800 1000 1100 1300 1450 1550 1700

450 650 800 1050 1100 1300 1400 1550 1650

450 650 800 1000 1150 1250 1400 1500 1700

500 600 800 1000 1150 1250 1350 1500 1600

500 600 800 1050 1100 1200 1400 1550 1650


SOAL 5 Afifa Company merupakan perusahaan retail terkenal yang berdiri di Sigapura. Perusahaan berencana membuka cabang baru di Indonesia, tepatnya di Jakarta, Bandung, Jogjakarta, dan Bali. Dengan bertambahnya jumlah cabang, perusahaan sudah mempersiapkan 7 orang manager yang dapat mengelola keempat lokasi tersebut. Cabang Baru

Jumlah Manager

Jakarta

Bandung

Jogja

Bali

0

28

16

22

20

1

26

26

34

34

2

18

17

29

33

3

32

27

26

21

4

20

29

10

29

5

38

22

27

30

6

44

28

17

37

7

21

36

19

21

Bantulah perusahaan untuk menyelesaikan masalah tersebut!

89


STANDAR NORMAL (Z) TABEL

90


TEACHING ASSISTANT OF MOLMKF 2015/2016 FACULTY OF ECONOMICS AND BUSINESS, PADJADJARAN UNIVERSITY

Sabil

Nabila

Haris

Rani

Salsabila Firdausia / 085669963814 / line : salsabilafirdausia Nabila Nur Afifa / 08568814590 / line : nabilanafifa Abdul Haris Asri / 081321037083 / line : abdulharisasri Rachmatika Anjani / 085229708285 / line : ranisudirgo Shima Umari / 081318168068 / line : shimaumr

91


Shima

KUNCI JAWABAN

BAB I LINEAR PROGRAMMING

1.

(Nabila)

92


Kesimpulan: Untuk memaksimalkan profit, Paragon harus memproduksi lipstik Wardah sebanyak 10 buah dan lipstik Emina sebanyak 30 buah dengan total profit Rp 2.700.000.

2.

(Shima)

93


Conclusion: must produce 45.5 sweetcorn and 7.3 lavender with the most minimum cost $226.3638

3.

(Rani)

94


4. (Sabil)

95


5.

(Haris)

96


97


BAB II METODE SIMPLEKS

1.

(Haris)

Kesimpulan : Jumlah Rudal Madbird yang dibutuhkan adalah 1,6 unit sedangkan Badboy 4,8 unit dengan biaya paling minimum sebesar $24.000 98


2.

(Nabila)

99


3.

(Shima)

CONCLUSION : must produce 3.6 bags, 4.5 shoes, and 0 jeans with total profit $1681.818

100


4.

(Sabil) Bentuk Standard :

 F. Tujuan:

Z Max = 6X1 + 4X2 + 5X3

 F. Kendala:

6X1 + 7X2 + 4X3 + S1 = 48 4X1 + 3X2 + 8X3 + S2 = 72

 F. Status:

101

X1, X2, X3, S1, S2 ≥ 0


Jadi, Kombinasi yang harus dibuat agar memaksimalkan keuntungan adalah membuat 3 kostum Harry Potter dan 7.5 atau dibulatkan 8 kostum Spiderman.

5.

(Rani)

102


103


BAB III SENSITIVITY ANALYSIS

1.

(Sabil)

104


Jumlah Art Pudding yang harus dibuat sebanyak 1 unit dan 1,5 atau 2 unit Jelly Candy dengan total profit yang dapat dicapai adalah Rp 24.000. Status sumberdaya S1 dan S2 adalah 0 yang artinya seluruhnya telah habis terpakai. Sedangkan nilai shadow price untuk masing-masing sumberdaya adalah S2 = -66,6667 yang artinya setiap penambahan satu unit sumberdaya 2 maka akan meningkatkan keuntungan sebesar Rp 66,67.

2.

(Rani)

a.

105


b. 5 Ornamen B c.

Status Sumber Daya

S1 (Sumber Daya 1) = 15 Artinya sumber daya 1 berlebih 15 unit (tidak semuanya terpakai) S2 (Sumber Daya 2) = 0 Artinya sumber daya 2 semuanya habis terpakai

d.

Shadow Price

S2 = |-15,33| Artinya tiap penambahan satu unit S2 akan memperoleh tambahan laba sebesar 15,33

e.

Range Basic Variable

Basic Variable: S1 dan Ornamen B 106




Rentang Perubahan S1

S1 (ORNA)

=

-54,67 - 1Δ ≤ 0 -1Δ ≤ 54,67 Δ ≥ -54,67

S1 (S2)

=

-15,33 + 1Δ ≤ 0 Δ ≤ 15,33

-54,67 ≤ Δ ≤ 15,33 

Rentang Perubahan Ornamen B

ORNB (ORNA)

=

-54,67 -1,67Δ ≤ 0 -1,67Δ ≤ 54,67 Δ ≥ -32,74

ORNB (S2)

=

-15,33 -0,33Δ ≤ 0 -0,33 Δ ≤ 15,33 Δ ≥ -46,46

-46,46 ≤ Δ atau -32,74 ≤ Δ

3.

(Haris)

a.

Produk X1 sebanyak 20 unit danproduk X2 sebanyak 0

unit dengan total profit yang optimum sebanyak 240 b.

Shadow price S1 adalah -1.3939 artinya setiap

penambahan satu sumber daya S1 akan menambah keuntungan sebesar 1.3939. Sedangkan shadow price S2 adalah -0.7273

107


artinya setiap penambahan satu sumber daya S2 akan menambah keuntungan sebesar 0.7273. c.

S1 dan S2 habis terpakai sementara S3 tidak habis

terpakai d.

Basic variable adalah X1dan X2



X1 : S1 : -1.3939 – (0.2424) ∆ ≤ 0

-0.2424 ∆ ≤ 1.3939 ∆≤ -5.7504 

X1 : S2 : -0.7273 – (-0.0909) ∆ ≤ 0

0.0909 ∆ ≤ 0.7273 ∆ ≥ 8.0011 

X2 : S1 : -1.3939 – (-0.1515) ∆ ≤ 0

0.1515 ∆ ≤ 1.3939 ∆≤9.2007 

X2 : S2 : -0.7273 – (-0.1818) ∆ ≤ 0

0.1818 ∆ ≤ 0.7273 ∆≤4.00056

e.

Non Basic Var (tidak ada di solution mix)

Sumber Daya 1 danSumber Daya 2

108


4.

(Nabila)

a.

Biaya yang dikeluarkan $1250

b.

X1 = 12,5 dan tidak memproduksi X2

c. 109


SumberDaya

Dual Price

Artinya

1

Y1=U1=|−50|=50

Setiap penambahan 1 unit S1, maka akan meningkatkan keuntungan sebesar $50

2

Y2=U2=0

Setiap penambahan 1 unit S2, maka tidak akan meningkatkan profit perusahaan

d. SumberDaya

Slack

Status SumberDaya

Variable 1

0

Habis terpakai / terbatas

2

40

Tidak habis terpakai / tidak terbatas

110


5.

(Shima)

a.

profit $750

b.

Bags = 0 Unit and Suitcase = 30 Units

c.

Status SumberDaya SumberDay

Slack

a

Variabl

Status SumberDaya

e 1

140

Tidakhabisterpakai/tidakterbata s

2

d.

0

Habisterpakai/terbatas

Dual Price/Shadow Price Sumber

Dual Price

Artinya

Y1=U1=0

Setiappenambahan 1 unit

Daya 1 111


Bagsmakaakanmeningkatkan $0 keuntungan 2

Y2=U2=

Setiappenambahan 1 unit

|−5|=5

Suitcaseakanmeningkatkankeun tungansebesar $5

e.

Basic Variable : X2



X2 : S1 : 0 – (0) ∆ ≤ 0

0

∆≤0



X2 : S2 : -5 – (0.2) ∆ ≤ 0 -0.2 ∆ ≤ 5 ∆ ≥ -25

f.

Non Basic Var (tidakada di solution mix)

SumberDaya 2 Q 0

S1 -0.4

Ratio 0

Mean Batas penambahan max S2 adalah 0

30

0.2

150

Batas pengurangan max S2 adalah 150

112


BAB IV DUAL PROBLEM

1.

(Sabil)

Solusi saat berbentuk Primal :  Zmax=

90X1 + 125X2

 F. Kendala:

1X1 + 2X2 ≤ 10 3X2 + 4X2 ≤ 24 5X1 + 6X2 ≤ 40

Bentuk Standard :  Zmax =

90X1 + 125X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

 F. Kendala:

1X1 + 2X2 +S1 + 0S2 + 0S3 = 10 3X2 + 4X2 + 0S1 + S2 + 0S3 = 24 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + S3 = 40

 F. Status :

113

X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0


Solusi dari Dual :

114


2.

(Haris) X=meja, y=kursi

Primal Z= 150.000X + 80.000Y Subject to : 5X + 2Y <= 150 115


2X + 3Y <= 100 2X + 2Y <= 80

Kesimpulan : Jumlah ang harus diproduksi adalah 23 meja dan 17 kursi dengan keuntungan 4.833.334

Dual Z min = 150U1 + 100 U2 + 80 U3 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2 Subject to

= 5U1 + 2U2 + 2U3 – S1 + A1 ≥ 150.000 = 2U1 + 3U2 + 2U3 – S2 + A2 ≥ 80.000

U1,U2,U3,S1,S2,A1,A2 ≥ 0

116


3.

(Rani)

a.

Primal Form

Fungsi Tujuan Zmax = 10X1 + 5X2 Fungsi Kendala

10X1 + 4X2 ≤ 300 4X1 + 6X2 ≤ 200 X1, X2 ≥ 0

Dual Form  Z =

300U1 + 200U2 10U1 + 4U2 ≥ 10 2U1 + 3U2 ≥ 5

117


U1, U2 ≥ 0 Dual Form Standard 

Z = 300U1 + 200U2 + 0S1 + 0S2

+ mA1 + mA2 10U1 + 4U2 – S1 + A1 = 10 2U1 + 3U2 – S2 + A2 = 5 U1, U2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0 Iteration table of 0

118


4.

(Nabila) PRIMAL Fungsi Tujuan: Zmax = 10.000X1 + 7500 X2 Fungsi Kendala: 50X1 + 25X2 ≤ 1000 100X1 + 30X2 ≤ 1500 X1, X2 ≥ 0 Bentuk Standar: Fungsi Tujuan: Zmax = 10.000X1 + 7500X2 + 0S1 + 0S2 Fungsi Kendala: 50X1 + 25X2 + S1 = 1000 100X1 + 30X2 + S2 = 1500 X1, X2, S1, S2 ≥ 0

119


DUAL Fungsi Tujuan: Zmin = 1000U1 + 1500U2 Fungsi Kendala: 50U1 + 100U2 ≥ 10.000 25U1 + 30U2 ≥ 7.500 U1, U2 ≥ 0

Bentuk Standar: Fungsi Tujuan: Z min = 1000U1 + 1500U2 +0S1 + 0S2 + MA1 + MA2 Fungsi Kendala: 50U1 + 100U2 – S1 + A1 = 10.000 25U1 + 30U2 – S2 + A2 = 7.500

120


U1, U2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0

121


5.

(Shima)

Primal Problem Z max = 6.5 Y1 + 7.3 Y2 Subject to

= 9Y1 + 3Y2 ≤ 50 = 12Y1 + 4Y2 ≤ 65 = 3Y1 + 1Y2 ≤ 30

Conclusion = 16.25 snack and 0 canned. Total profit = $118.625 Dual problem Z min = 50U1 + 65 U2 + 30 U3 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2 Subject to

= 9U1 + 12U2 + 3U3 – S1 + A1 ≥ 6.5 = 3U1 + 4U2 + U3 – S2 + A2 ≥ 7.3

U1,U2,U3,S1,S2,A1,A2 ≥ 0

122


Conclusion = 1.825 U2 dan 15.4 S1 dengan profit $118.625

123


BAB V INTEGER PROGRAMMING

1.

(Nabila)

Upper Bound

124


Lower Bound

125


Masalah A

126


Sub Masalah B

127


Sub Masalah C

128


Sub Masalah D

129


Sub Masalah E

NOT FEASIBLE Sub Masalah F

130


Proses berhenti di sini karena 2071,43 lebih kecil dari Lower Bound yaitu 2100

Gambar Branch and Bound

131


Sub Masalah A Sub Masalah E

X1= 4 X2= 1 Z= 2300 Sub Masalah C

X1= 3,11 X2= 2,78 Z= 2388,89

X1= 2,8 X2= 3 Z= 2300

Not Feasible

Sub Masalah F

Sub Masalah B Upper Bound= 2388,89 Lower Bound= 2100

X1= 2 X2= 3,57 Z= 2071,43

X1= 3 X2= 2,86 Z= 2357,14 Sub Masalah D Upper Bound= 2357,14 Lower Bound= 2300

Upper Bound= 2300 Lower Bound= 2071,43 X1= 3 X2= 2 Z= 2100

Upper Bound= 2300 Lower Bound= 2100

Kesimpulan: Jadi, untuk memaksimumkan profit, Broowns.Id harus memproduksi X1 sebanyak 4 dan X2 sebanyak 1 dengan Profit 2300

132


2.

(Shima)

So, the most optimum quantity is to make 1 table and 6 chair so MKF Furniture reach profit as much as $43

3.

(Sabil)

133


4.

(Haris)

134


5.

(Rani)

135


BAB VI TRANSPORTASI

1.

(Haris) To Soekarno-

Dago Atas

Buah Batu

Setarbak DU

360

260

400

From Setarbak PVJ

240

300

360

Setarbak BIP

300

240

200

Hatta

Langkah 1 : 

Cek apakah total supply sama dengan total demand ?

Supply : 240 + 400 + 640 = 1280 Demand : 600 + 300 + 500 = 1400 

Ternyata supply lebih kecil dari demand. Maka di kolom

‘From’ ditambah lagi satu kolom dummy berbiaya 0 !

136


SOLUSI AWAL

137


SOLUSI AKHIR Stepping Stone

BIP-Dago improvement index nya masih negative, maka :

138


Setelah itu hitung lagi improvement index nya untuk memastikan keoptimalannya.

Jadi biaya pengiriman paling effisien yang dapat dicapai adalah Rp. 296.800 dengan rute pengiriman seperti pada table di atas Pembuktian dengan POMQM :

139


2.

(Shima)

1.

NWCR (TC = USD 3,975,000)

140




UTK SEL TERISI I12

= R1 + K2 = C12 = 0 + K2 = 150 = K2 = 150

I14

= R1 + K4 = C14 = 0 + K4 = 100 = K4 = 100

I22

= R2 + K2 = C22 = R2 + 150 = 100 = R2 = -50

I23

= R2 + K3 = C23 = -50 + K3 = 150 = K3 = 200

I31

= R3 + K1 = C31 = 0 + K1 = 100 = K1 = 100

I33

= R3 + K3 = C33 = R3 + 200 = 200 = R3 = 0



UTK SEL KOSONG

I11

= C11-R1-K1 = 100-0-100

141


=0 I13

= C13-R1-K3 = 300-0-200 = 100

I21

= C21-R2-K1 = 200-(-50)-100 = 150

I24

= C24-R2-K4 = 200-(-50)-100 = 150

I32

= C32-R3-K2 = 300-0-150 = 150

I34

= C34-R3-K4 = 250-0-100 = 150

142


3.

(Nabila)

Solusi Awal 1.

NWCR

Dari/ke

Kuala Lumpur

Kinabalu

8 Bogor 180

Johor Bahru

6 -

10 180 -

12

10

9

Bandung

100 20

80

-

4 Jakarta Demand (Qd)

Supply (Qs)

-

16 60

200

5 160

140

160

220 500

Total Cost = (180x8) + (20x12) + (80x10) + (60x16) + (160x5) = $ 4240

143


2.

LCM

Dari/ke

Kuala Lumpur

Kinabalu

8 Bogor -

Johor Bahru

6 140

12

10 180 40

10

9

Bandung

100 -

-

100


Supply (Qs)

200 200

16 -

5 220

20 140

160

500

Total Cost = (200x4) + (140x6) + (40x10) + (100x9) + (20x5) = $ 3040

144


3.

VAM

Dari/ke

Kuala Lumpur

Kinabalu

8 Bogor -

Johor Bahru

6 140

12

10 180 40

10

9

Bandung

100 -

-

100


Supply (Qs)

200 200

16 -

5 220

20 140

160

500

Total Cost = (200x4) + (140x6) + (40x10) + (100x9) + (20x5) = $ 3040

145


Solusi Akhir Menggunakan LCM atau VAM 1.

Stepping Stone

Dari/ke

Kuala Lumpur

Kinabalu

8 Bogor -

Johor Bahru

6 140

12

10 180 40

10

9

Bandung

100 -

-

100


146

Supply (Qs)

200 200

16 -

5 220

20 140

160


500

Dari/ke

Kuala Lumpur

Kinabalu

8 Bogor 40

Johor Bahru

6 140

12

10 180 -

10

9

Bandung

100 -

-

100


147

Supply (Qs)

160 200

16 -

5 220

60 140

160


500

Total Cost = (40x8) + (140x6) + (100x9) + (160x4) + (60x5) = 3000

4.

(Rani)

NWCR

148


LCM

VAM

FINAL SOLUTION (MODI)

149


5.

(Sabil)

Solusi Awal : Metode NWCR From/To

Bandung

Solo

Malang Surabaya

Supply

Lampung

2500

300

-

-

2800

Banten

-

1300

550

-

1850

Bogor

-

-

700

1550

2250

Dummy

-

-

-

550

550

Demand

2500

1600

1250

2100

7450

Total Profit = Rp 217.600 Metode LCM From/To

Bandung

Solo

Malang Surabaya

Lampung

2500

300

-

-

2800

Banten

-

1300

550

-

1850

Bogor

-

-

700

1550

2250

Dummy

-

-

-

550

550

Demand

2500

1600

1250

2100

7450

Total Profit = 264.400

150


Supply

Metode VAM From/To

Bandung

Solo

Malang Surabaya

Lampung

2500

300

-

-

2800

Banten

-

1300

550

-

1850

Bogor

-

-

700

1550

2250

Dummy

-

-

-

550

550

Demand

2500

1600

1250

2100

7450

Total Profit = Rp 249.450 Solusi Akhir : Menggunakan Metode LCM :

151


Supply

Stepping Stone :

152


BAB VII PENUGASAN

1.

(Haris)

Langkah 1 : Karena kasus maksimasi, maka cari angka terbesar di tiap baris lalu kurangkan dengan angka-angka lain di baris tersebut. Kampus Nama Trainer SDM

Imperial

Unpad

Harvard

Boston

Barkeley

Mario Teguh

2

0

3.5

2.5

1

Setia Furqon

0

4

2.5

3

1.5

Andrie Wongso

1.5

0

1

0.5

3

Jaya Suprana

0

2

0.5

2.5

1

3.5

2.5

3

1

0

Hermawan Kertajaya

153


College

Langkah 2 : Memastikan semua kolom dan baris telah memiliki Kampus Nama Trainer SDM

Imperial

Unpad

Harvard

Boston

Barkeley

Mario Teguh

2

0

3

2

1

Setia Furqon

0

4

2

2.5

1.5

Andrie Wongso

1.5

0

0.5

0

3

Jaya Suprana

0

2

0

2

1

Hermawan Kertajaya

3.5

2.5

2.5

0.5

0

College

angka nol. Ternyata dari table di atas masih ada kolom yang belum memiliki angka nol. Maka dari kolom tersebut dicari angka terkecil untuk mengurangkan angka-angka lain di kolom tersebut. Setelah dilakukan langkah 2 ternyata semua baris dan semua kolom telah memiliki angka 0, sehingga proses perhitungan cukup sampai disini karena kita telah menemukan pembagian tugas paling optimal dengan TOTAL PROFIT : 8+8+6.5+6.5+8 = 37 juta rupiah

154


2.

(Rani)

155


3.

(Shima)

4.

(Nabila)

156


Kesimpulan: Jadi untuk meminimalkan biaya yang dikeluarkan PT Surya Kencana, maka penugasan yang optimal adalah grup A mengerjakan proyek I, grup B mengerjakan proyek III, grup mengerjakan proyek IV, dan grup D mengerjakan proyek II. Total biaya minimum yang dikeluarkan perusahaan sebesar $75.000

157


5.

(Sabil)

158


BAB VIII TEORI ANTRIAN

1. 𝝀=

(Sabil) 1 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 15 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 ⁄𝑗𝑎𝑚 = ⁄𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 4

𝜇 = 360 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘⁄𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 3 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡⁄𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = a.

1⁄ 4 1 −

𝜆

𝐿𝑠 = 𝜇−𝜆 = 1

1 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 ⁄𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 3

=3

3 4

𝜆2

b.

𝐿𝑞 = 𝜇(𝜇−𝜆) = 1⁄

c.

𝑊𝑠 =

𝐿𝑠

d.

𝑊𝑞 =

𝐿𝑞

12 4

1 1 3( ⁄3− ⁄4)

𝜆

𝜆

= 9⁄4 = 2,25

3

= 1⁄ = 12 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 4

9⁄

= 1⁄4 = 9 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

𝜆 5+1

4

e.

𝑝5 = (𝜇)

2.

(Rani)

159


=0,1779

3.

(Haris)

Kunci : Komparasikan total biaya per jam (total biaya tunggu per jam + biaya gaji teller per jam) antara teller lama dan teller baru yang lebih terampil. 𝞴 = 𝟐𝟎 𝒐𝒓𝒈/𝒋𝒂𝒎

𝞴 = 𝟐𝟎 𝒐𝒓𝒈/𝒋𝒂𝒎

𝜇1 = 30 𝑜𝑟𝑔/𝑗𝑎𝑚

𝜇2 = 40 𝑜𝑟𝑔/𝑗𝑎𝑚

Biaya penjaga 1 = 600/jam

Biaya penjaga 2 = 1200/jam

Biaya Tunggu tiap pengantri =

Biaya Tunggu tiap pengantri =

3000 / jam

3000 / jam

𝐿𝑞1 =

𝞴𝟐 400 = 𝜇 (𝜇 − 𝞴) 300

𝐿𝑞1 =

𝞴𝟐 400 = 𝜇 (𝜇 − 𝞴) 800

= 1,3333 Biaya Penjaga = Rp 600/jam

= 0,5 Biaya Penjaga = Rp 1200/jam

Biaya Tunggu = (1,3333 x Biaya Tunggu = (0,5 x 3000) = 3000) = Rp 4000/jam

Rp 1500/jam

Total Biaya = Rp 4600 / jam

Total Biaya = Rp 2700 / jam

KESIMPULAN : Jadi, Kepala Cabang sebaiknya mengganti teller lama dengan teller baru yang lebih terampil, karena walaupun gajinya lebih mahal tetapi dapat menghemat biaya tunggu sehingga total biaya per jam yang harus dikeluarkan menjadi lebih kecil.

160


4.

(Nabila)

5.

(Shima)

a.

µ = 15minutes/animal = 4 animal/hour

Ls = 2 / (4-2) = 1 animal b.

Lq = 22/ 4(4-2) = 0,5 animal

c.

Ws = 1 / (4-2) = 0,5 hour = 30 minutes

d.

Wq = 2 / 4(4-2) = 0,25 hour = 15 minutes

e.

P0= 1 – (2/4) = 0,5 = 50%

161


BAB IX DYNAMIC PROGRAMMING

1.

(Shima)

Stage 1 Lokasi Rute (D1)

Jarak (R1)

5

5-7

26

6

6-7

22

Stage 2 Lokasi

2

Rute

Jarak

Lokasi

(D2)

(R2)

Skrng

2-5

10

5

D1

R1

Total (R1+R2)

2-

26

36*

26

56

22

43*

22

40*

5-7 4

4-5

30

5

45-7

4

4-6

21

6

46-7

3

3-6

18

6

36-7

162


Stage 3

So, the shortest route is 1-2-5-7 with 50 km only.

2.

(Sabil)

Tahap 1 – Sepatu Berat item

: 2 kg

Keuntungan

: Rp 80.000

Tahap I (S1) Berat yang tersedia

163

Keputusan jumlah item (D1)

Berat Total (W1)

Profit (Rp.000) (R1)

7

3

6

240

6

3

6

240

5

2

4

160

4

2

4

160

3

1

2

80

2

1

2

80

1

-

-

-

0

-

-

-


Tahap 2 – Denim Jeans Berat item

: 4 kg

Keuntungan : Rp 150.000 Tahap 2 (S2) Berat yang tersedia 7

usan Jumla h Item (D2)

Total Berat Item (W2)

Profit (Rp.000) (R2)

Tahap 1 (S1) Berat sisa

D1

R1

Total

terb

terb

Profit

aik

aik

(R1+R2)

1

4

150

3

1

80

230

0

0

0

7

3

240

240*

1

4

150

2

1

80

230

0

0

0

6

3

240

240*

1

4

150

1

0

0

150

0

0

0

5

2

160

160*

1

4

150

0

0

0

150

0

0

0

4

2

160

160*

3

0

0

0

3

1

80

80*

2

0

0

0

2

1

80

80*

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

5

4

164

Keput


Tahap 3 – Sweater Berat Item

: 1 kg

Keuntungan : Rp 30.000 Tahap

Keputu

3 (S3)

san

Berat

Jumlah

yang

Item

tersedia

(D3)

Taha

Total Berat Item

Profit

p2

D2

(Rp.000

(S2)

terb

) (R3)

Sisa

aik

(W3)

Berat

R1+ R2

Total Profit

Ter

(R1+R2+R3)

baik

7

7

210

0

0

0

210

6

6

180

1

0

0

180

5

5

150

2

1

80

230

4

4

120

3

1

80

200

3

3

90

4

2

160

250

2

2

60

5

2

160

220

1

1

30

6

3

240

270*

0

0

0

7

3

240

240

7

Kesimpulan : Jenis

Keputusan Jumlah

Total Berat

Keuntungan

Barang

Item

Sepatu

3 pasang sepatu

6 kg

Rp 240.000

Denim

0 buah

-

-

1 buah

1 kg

Rp 30.000

7 kg

Rp 270.000

Jeans Sweater

Jumlah Total

165


Jadi sebaiknya Morgan Euy membeli 3 pasang sepatu dan 1 buah sweater dan tidak membeli Denim Jeans, dengan begitu akan menghasilkan keuntungan Rp 270.000,00.

3.

(Rani)

Tahap 1 (Durian, 6 kg, Rp 13.000/kg) Tersedia

Item (D1)

Berat (W1)

Profit

15

2

12

156000

14

2

12

156000

13

2

12

156000

12

2

12

156000

11

1

6

78000

10

1

6

78000

9

1

6

78000

8

1

6

78000

7

1

6

78000

6

1

6

78000

5 sampai 0

0

0

0

dalam Kg (S1)

166


Tahap 2 (Pir, 4 kg, Rp 11.500/kg) Tersedia dalam Kg (S2) 15

14

13

12

11

10

9

167

Item

Berat

Profit

Berat

D1

R1

(D2)

(W2)

(R2)

Sisa

terbaik

terbaik

3

12

138000

3

0

0

13800000

2

8

92000

7

1

7800000

17000000

1

4

46000

11

1

7800000

12400000

0

0

0

15

2

15600000

15600000

3

12

138000

2

0

0

13800000

2

8

92000

6

1

7800000

17000000

1

4

46000

10

1

7800000

12400000

0

0

0

14

2

15600000

15600000

3

12

138000

1

0

0

13800000

2

8

92000

5

0

0

9200000

1

4

46000

9

1

7800000

12400000

0

0

0

13

2

15600000

15600000

3

12

138000

0

0

0

13800000

2

8

92000

4

0

0

9200000

1

4

46000

8

1

7800000

12400000

0

0

0

12

2

15600000

15600000

2

8

92000

3

0

0

9200000

1

4

46000

7

1

7800000

12400000

0

0

0

11

1

7800000

7800000

2

8

92000

2

0

0

9200000

1

4

46000

6

1

7800000

12400000

0

0

0

10

1

7800000

7800000

2

8

92000

1

0

0

9200000

1

4

46000

5

0

0

4600000

0

0

0

9

1

7800000

7800000


R1 + R2

8

7

6

5

4

3 sampai 0

168

2

8

92000

0

0

0

9200000

1

4

46000

4

0

0

4600000

0

0

0

8

1

7800000

7800000

1

4

46000

3

0

0

4600000

0

0

0

7

1

7800000

7800000

1

4

46000

2

0

0

4600000

0

0

0

6

1

7800000

7800000

1

4

46000

1

0

0

4600000

0

0

0

5

0

0

0

1

4

46000

0

0

0

4600000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0


Tahap 3 (Nanas, 3 kg, Rp 10.000/kg) Tersedia dalam Kg (S3) 15

Item

Berat

Profit

Berat

D2

R2

R1 + R2

(D3)

(W3)

(R3)

Sisa

terbaik

terbaik

+R3

5

15

150000

0

0

0

150000

4

12

120000

3

0

0

120000

3

9

90000

6

1D

78000

168000

2

6

60000

9

2P

92000

152000

1

3

30000

12

3P

138000

168000

0

0

0

15

170000

170000

2P + 1D

Jadi, sebaiknya Hortimart mengimpor 8 kg (2x4kg) buah pir dan 6 kg (1x6kg) buah durian agar mendapatkan keuntungan yang maksimum yaitu sebesar Rp 170.000,- dengan memanfaatkan kapasitas maksimum karung yang ada.

169


4.

(Haris)

*Angka-angka terbesar dari setiap diagonal dimasukkan ke kolom ‘profit’ perhitungan selanjutnya antara Afify+Anjani dan Firdausy

170


171


172


5.

(Nabila) JAKARTA Mana

BANDUNG

ger

173

0

1

2

3

4

5

6

7

28

26

18

32

20

38

44

21 37

Mana

Retur

ger

n

0

16

44

42

34

48

20

54

60

1

26

54

52

44

58

46

64

70

2

17

45

43

35

49

37

55

3

27

55

53

45

59

47

4

29

57

55

47

61

5

22

50

48

40

6

28

56

54

7

36

64


JAKARTA + BANDUNG Man

JOGJAKARTA

ager

174

0

1

2

3

4

5

6

7

44

54

52

55

58

55

64

70 92

Mana

Retu

ger

rn

0

22

66

76

74

77

58

77

86

1

34

78

88

86

89

92

89

98

2

29

73

83

81

84

87

84

3

26

70

80

78

81

84

4

10

54

64

62

65

5

27

71

81

79

6

17

61

71

7

19

63


JAKARTA + BANDUNG + JOGJAKARTA

Manager

Manager

0

1

2

3

4

5

6

7

Return

64

78

88

86

89

92

89

98

84

98

108 106

89

112 109 118

BALI

020 1

34

98

112 122 120 123 126 123

2

33

97

111 121 119 122 125

3

21

85

99

4

29

93

107 117 115

5

30

94

108 118

6

37

101 115

7

21

85

109 107 110

Kesimpulan: Alternatif 1

175

Jakarta

Bandung

Jogjakarta

Bali

M

R

M

R

M

R

M

R

M

R

3

32

1

26

1

34

2

33

7

125


Total

176


KATA PENGANTAR. Bandung, Januari 2016

Recommend Documents