Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
Karolína Somrová Výpočty variability vývojových trojúhelníků v Solvency II Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Martin Branda, Ph.D. Studijní program: Matematika Studijní obor: Finanční matematika Praha 2012
Ráda bych poděkovala vedoucímu práce RNDr. Martinu Brandovi PhD. za trpělivost při konzultování mé práce a za jeho rady, které mi byly velkým přínosem.
Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle §60 odst. 1 autorského zákona. V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dne . . . . . . . . . . . . . . . . Podpis autora
Název práce: Výpočty variability vývojových trojúhelníků v Solvency II Autor: Karolína Somrová Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Martin Branda, Ph.D., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: Cílem této práce je popsat a porovnat metody zamřující se na výpočet variability vývojových trojúhelníků. Nejprve je popsán Mackův model metody chain-ladder pro výpočet variability v dlouhodobém horizontu. Následuje popis metody uvedené v článku Merz, Wüthrich (2008) popisující výpočet variability v krátkodobém horizontu pro účely Solvency II. Teoretické poznatky jsou poté aplikovány na dvě sady dat a následně jsou obě metody porovnány. Klíčová slova: metoda chain-ladder, vývojový trojúhelník, střední kvadratická odchylka, náklady na pojistná plnění (CDR) Title: Variability estimation of development triangles in Solvency II Author: Karolína Somrová Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: RNDr. Martin Branda, Ph.D., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: The aim of this thesis is to describe variability estimation of runoff triangles. Firstly, the theoretical basis of the Mack’s chain-ladder method is laid down. Afterwards, the description of the Merz Wüthrich methodology is provided. Both the methods are compared from long- and short-term point of view. Finally, the theoretical results are applied on two numerical data sets. Keywords: chain ladder method, run-off triangles, claims development result (CDR), mean square error
Obsah Úvod
2
1 Metoda chain-ladder a odhad standardní směrodatné odchylky 1.1 Mackův model pro odhad směrodatné odchylky . . . . . . . . . . 1.1.1 Základní předpoklady metody chain-ladder . . . . . . . . . 1.1.2 Nalezení odhadů parametrů . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Výpočet M SE a standardní chyby . . . . . . . . . . . . . 1.2 Metoda chain-ladder a odhad M SE v krátkodobém horizontu . . 1.2.1 Skutečné náklady na pojistná plnění (CDR) . . . . . . . . 1.2.2 Odhad M SE vývoje nákladů na pojistná plnění . . . . . . 1.2.3 Srovnání s Mackovým modelem . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 3 4 6 11 13 15 18
2 Praktické výpočty 20 2.1 Případ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Případ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Závěr
26
Seznam použité literatury
27
Seznam tabulek
28
1
Úvod V této práci se budeme zabývat metodami výpočtu technických rezerv v neživotním pojištění. Mezi základní užívané metody patří vývojové trojúhelníky. V souvislosti s touto metodou nás nejvíce zajímá výpočet variability odhadu rezerv v krátkodobém a dlouhodobém horizontu. Konkrétně se zaměříme na Mackův stochastický model a metodu popsanou v článku Merz, Wüthrich (2008), která slouží k dohledu nad platební způsobilostí pojišťoven souhrnně označovaným pod pojmem Solvency II. Jedná se o kontrolní mechanismus platný na území Evropské Unie dohlížející na platební způsobilost pojišťoven, který se skládá ze tří pilířů. Kompletní znění tohoto předpisu je k nalezení pod názvem Směrnice Evropského parlamentu a Rady 2009/138/ES. Pro účely Solvency II je důležité zkoumat výkonnost pojišťoven nejenom z dlouhodobého hlediska, ale zaměřuje se také na jejich vývoj v krátkodobém horizontu. Cílem této práce popsat a porovnat výše zmíněné postupy a poté ilustrovat jejich použití na reálných datech. Práce je rozdělena do dvou částí. V první kapitole jsou uvedeny základní definice a teoretický popis obou metod a následuje jejich porovnání. V druhé kapitole jsou teoretické poznatky aplikovány na reálná data a výsledky jsou uvedeny v souhrnném přehledu. Všechny výpočty byly realizovány pomocí programu Mathematica 8.0.
2
Kapitola 1 Metoda chain-ladder a odhad standardní směrodatné odchylky 1.1
Mackův model pro odhad směrodatné odchylky
Mackův model metody chain-ladder je jedním ze základních prostředků, pomocí kterých se odhaduje výše pojistných plnění, která budou vyplacena v budoucích účetních obdobích za již vzniklé škody. Níže uvedené vztahy a popis metody pro výpočet chyby odhadu rezervy na pojistná plnění vychází z Macka [1]. Označme Ci,j celkovou výši pojistného plnění, které vzniklo v roce vzniku i ∈ {0, ..., I} a bylo vyplaceno do konce vývojového roku j ∈ {0, ..., J}, kde I = J. Konečná výše pojistného plnění pro rok vzniku i je tedy Ci,J . Cílem je nalézt odhad konečné výše škod Ci,J a rezervy nevyřízených pojistných plnění Ri = Ci,J − Ci,I−i
(1.1)
pro i ∈ {0, ..., I}.
1.1.1
Základní předpoklady metody chain-ladder
Veškeré výpočty metodou chain-ladder vychází z několika základních předpokladů. (1) Existují vývojové faktory f0 , ..., fJ−1 > 0, pro které platí 3
E (Ci,j |Ci,0 , ..., Ci,j−1 ) = fj−1 Ci,j−1 , kde i ∈ {0, ..., I} a j ∈ {1, ..., J}. (2) Kumulativní platby {Ci,0 , ..., Ci,J } , {Ck,0 , ..., Ck,J } jsou nezávislé pro i 6= k. (3) Pro podmíněný rozptyl platí vztah 2 V ar (Ci,j |Ci,0 , ..., Ci,j−1 ) = σj−1 Ci,j−1
pro j ∈ {1, ..., J}, kde σj2 je neznámá proměnná.
1.1.2
Nalezení odhadů parametrů
Součástí metody chain-ladder je nalezení odhadu hodnot vývojových faktorů fj pomocí vztahu PI−j−1 Ci,j+1 ˆ (1.2) fj = Pi=0 I−j−1 Ci,j i=0 pro j ∈ {0, ..., J − 1}.
Hledaný odhad výše Ci,J následně získáme pomocí vztahu
rovněž můžeme psát
Cˆi,J = Ci,I−i fˆI−i ...fˆJ−1 ,
(1.3)
ˆ i = Ci,I−i (fˆI−i ...fˆJ−1 − 1). R
(1.4)
Pro další výpočty je nezbytné nalézt odhad pro σj2 , který získáme ze vztahu σ ˆj2 pro j ∈ {0, ..., J − 2} . Věta 1 σ ˆj2 =
1 I−j−1
I−j−1 X 1 = Ci,j I − j − 1 i=0
PI−j−1 i=0
Ci,j
Ci,j+1 Ci,j
− fˆj
4
2
Ci,j+1 − fˆj Ci,j
!2
je nestranným odhadem σj2 .
(1.5)
|Ci,0 , ..., Ci,j ] = fj . Pak můžeme psát Důkaz: Vycházíme ze vztahu E[ CCi,j+1 i,j E σˆj
2
I−j−1 X Ci,j+1 1 E[Ci,j ( − fj )2 |Ci,0 , ..., Ci,j ] = E I − j − 1 i=0 Ci,j
= E
I−j−1 X 1 Ci,j+1 |Ci,0 , ..., Ci,j ] Ci,j V ar[ I − j − 1 i=0 Ci,j
{z
|
= σj2
σj2 /Ci,j
}
2 Pomocí (1.5) jsme schopni odhadnout σ02 ,. . .,σJ−2 , zbývá tedy nalézt odhad pro 2 σJ−1 . Pokud fˆJ−2 = 1 a vývoj škod je po I − 2 letech považován za ukončený, 2 2 pak σ ˆJ−1 = 0. V opačném případě získáme odhad σJ−1 extrapolací předchozích hodnot, tvořících klesající posloupnost. Konkrétně požadujeme, aby 2 4 2 2 2 σ ˆJ−1 = min(ˆ σJ−2 /ˆ σJ−3 , min(ˆ σJ−3 ,σ ˆJ−2 )).
(1.6)
Věta 2 Uvažujme množinu D všech dosud napozorovaných dat, pro kterou platí D = {Ci,j ; i + j ≤ I}. Pak za předpokladů (1) a (2) platí E (Ci,J |D) = Ci,I−i
J−1 Y
fj .
j=I−i
Věta 3 Za předpokladů (1) a (2) jsou odhady fˆj nestranné a nekorelované pro j ∈ {1, ..., J}. Důkaz: Označme Bj = {Ci,k |k ≤ j, k + i ≤ I }, 0 ≤ j ≤ J. Pak předpoklady (1) a (2) nám dávají rovnost E (Ci,j+1 |Bj ) = E (Ci,j+1 |Ci,0 , ..., Ci,j ) = Ci,j fj . Můžeme tedy psát
E fˆj |Bj = E
PI−k−1
(Ck,j+1 |Bj ) PI−k−1 Ck,j k=0
k=0
5
!
PI−k−1
Ck,j fj = Pk=0 = fj , I−k−1 Ck,j k=0
z čehož nám automaticky vychází nestrannost odhadů parametrů:
E(fˆj ) = E E(fˆj |Bj ) = fj ,
0 ≤ j ≤ J − 1.
Odhady jsou také nekorelované, jelikož pro k ≤ j platí
E fˆk fˆj
= E E(fˆk fˆj |Bj )
= E fˆk E(fˆj |Bj )
= E fˆk )fj
= E(fˆk )E(fˆj ).
Z nekorelovanosti odhadů vývojových faktorů fˆj plyne vztah
E fˆI−i ...fˆJ−1 = fI−i ...fJ−1 , z čehož je patrné, že Cˆi,J = Ci,I−i fˆI−i ...fˆJ−1 je nestranným odhadem E (Ci,J |D) = Ci,I−i fI−i ...fJ−1 . Z toho dále vyplývá, že odhad rezervy Rˆi = Cˆi,J − Ci,I−i je nestranným odhadem skutečné výše rezervy Ri = Ci,J − Ci,I−i .
1.1.3
Výpočet M SE a standardní chyby
V této práci nás nejvíce zajímá vztah pro výpočet nejistoty odhadu rezervy. Mack [1] uvádí vztahy pro výpočet chyby odhadu celkové výše rezervy na pojistná plnění. Definice 1 Střední kvadratickou chybou odhadu Ci,J rozumíme
mse CˆiJ = E
Cˆi,J − Ci,J
2
(1.7)
|D ,
kde D = {Ci,j ; i + j ≤ I} je množina dosud napozorovaných dat. Můžeme si všimnout, že
mse Rˆi = E
ˆ i − Ri R
2
|D = E
6
Cˆi,J − Ci,J
2
|D = mse Cˆi,J . (1.8)
Obecně platí vztah E (X − a)2 = V ar (X) + (E (X) − a)2 , v našem případě tedy můžeme psát
mse Cˆi,J = V ar (CiJ |D) + (E (Ci,J |D) − Ci,J )2 ,
(1.9)
Ze vztahu (1.9) je patrné, že střední kvadratická chyba se rovná součtu rozptylu procesu (process variance) a chyby odhadu (estimation error). Následující věta uvádí vztah pro odhad nejistoty při stanovování výše celkové rezervy.
Věta 4 Za předpokladů (1), (2) a (3) lze střední kvadratickou chybu mse Rˆi odhadnout jako σ ˆj2 ˆ i ) = Cˆ 2 mse(R i,J ˆ2 j=I−i fj J−1 X
!
1 1 , + PI−j−1 Ck,j Cˆi,j k=0
(1.10)
kde Cˆi,j = Ci,I−i fˆI−i ...fˆj−1 pro j ≥ I − i jsou odhady budoucích hodnot Ci,j a dále platí, že CˆI−i = CI−i . Důkaz: Zaveďme následující značení Ei (X) = E (X|Ci,0 , ..., Ci,I−i ) (1.11)
V ari (X) = V ar (X|Ci,0 , ..., Ci,I−i ) . Vycházíme ze vztahu
ˆ i = V ar (Ci,J |D) + E (Ci,J |D) − Cˆi,J mse R Užitím (1.11) můžeme psát
2
.
V ar (Ci,J |D) = V ari (Ci,J ). Dále ze vztahu pro podmíněný rozptyl plyne = Ei (V ar(Ci,J |Ci,0 , ..., Ci,J−1 ) + V ari (E(Ci,J |Ci,0 , ..., Ci,J−1 ) 7
(1.12)
užitím předpokladů (1) a (2) dostáváme 2 2 = Ei (Ci,J−1 ) σJ−1 + V ari (Ci,J−1 ) fJ−1 ,
opět užijeme vztah pro podmíněný rozptyl a předpoklady (1) a (2) 2 2 2 2 2 = Ei (Ci,J−2 ) fJ−2 σJ−1 + Ei (Ci,J−2 ) σJ−2 fJ−1 + V ari (Ci,J−2 ) fJ−2 fJ−1
... = Ci,I−i
J−1 X
2 2 fI−i ...fj−1 σj2 fj+1 ...fJ−1 ,
j=I−i
neboť V ari ((Ci,I−i ) = 0. Nahrazením neznámých parametrů fj a σj2 jejich odhady fˆj a σˆj 2 získáme odhad V ar (Ci,J |D): Ci,I−i
J−1 X
2 2 ...fˆI−1 fˆI−i ...fˆj−1 σˆj 2 fˆj+1
=
2 Cˆi,J
j=I−i
2 σˆj2 /fˆj ˆ j=I−i Ci,j J−1 X
(1.13)
Druhý člen ze vztahu (1.12) můžeme na základě Věty 2 vyjádřit jako
E (Ci,J |D) − Cˆi,J
2
2 fI−i ...fJ−1 − fˆI−i ...fˆJ−1 = Ci,I−i
2
.
(1.14)
Zde ovšem odhady použít nemůžeme, kdybychom nahradili fj odhadem fˆj , byl by celý výraz nulový. Zvolíme tedy jiný postup. Označme F = fI−i ...fJ−1 − fˆI−i ...fˆJ−1 = SI−i + ... + SJ−1 , kde
Sj = fˆI−i ...fˆj−1 (fj − fˆj )fj+1 ...fJ−1 .
Tedy F 2 = (SI−i + ... + SJ−1 )2 =
J−1 X
Sj2 + 2
j=I−i
X
Sk Sj .
k<j
Kvůli odvození nahradíme Sj2 podmíněnou střední hodnotou E(Sj2 |Bj ) a součin 8
Sk Sj nahradíme E(Sk Sj |Bj ). Protože E(fj − fˆj |Bj ) = 0, je tedy E(Sk Sj |Bj ) = 0 pro k < j. Jelikož E((fj − fˆj )2 |Bj ) = V ar(fˆj |Bj ) = =
I−j−1 X
V ar(Ck,j+1 |Bj )/(
Ck,j )2
k=0
k=0 I−j−1 X 2 Ck,j , σj / k=0
dostáváme E(Sj2 |Bj )
I−j−1 X
2 2 2 2 = fˆI−i ...fˆj−1 σj2 fj+1 ...fJ−1 /
I−j−1 X
Ci,j .
i=0
P
2
P
Nyní nahradíme F 2 = výrazem j E(Sj2 |Bj ) a jelikož jsou všechny j Sj členy v této sumě kladné, můžeme všechny hodnoty fj a σj2 nahradit jejich nestrannými odhady fˆj a σˆj 2 . F 2 = (fI−i ...fJ−1 −fˆI−i ...fˆJ−1 )2 lze tedy odhadnout jako J−1 X
2 2 2 2 (fˆI−i ...fˆj−1 σj2 fj+1 ...fJ−1 /
j=I−i
I−j−1 X
Ck,j )
k=0
2 2 ...fˆJ−1 = fˆI−i
J−1 X
j=I−i
σ ˆj2 /fˆj2 PI−j−1 k=0
Ck,j
Dosazením do (1.14) dostáváme odhad E (Ci,J |D) − Cˆi,J 2 2 2 Ci,I−i fˆI−i ...fˆJ−1
J−1 X
j=I−i
σ ˆj2 /fˆj2 PI−j−1 k=0
2
Ck,j
: (1.15)
Sečtením (1.13) a (1.15) získáme výsledný odhad mse(Rˆi ). Standardní odchylku odhadu Rˆi získáme následným odmocněním odhadu mse(Rˆi ). Často je důležitá i střední kvadratická chyba celkového součtu rezerv Rˆi . V tomto případě však nelze pouze sečíst jednotlivé hodnoty Rˆi , neboť mají společné odhady fˆj a σˆj 2 a jsou tedy navzájem korelované. Pro výpočet střední kvadratické chyby celkové rezervy slouží následující věta.
9
Věta 5 Za předpokladů uvedených ve Větě 4 získáme střední kvadratickou chybu ˆ=R ˆ 0 + ... + R ˆ I jako celkové rezervy R ˆ = mse(R)
I X
I X
ˆ i )2 + Cˆi,J ( (R
i=1
Cˆk,J )
J−1 X
j=I−i
k=i+1
2σˆj 2 /fˆj2
PI−j−1 n=0
Cn,j
Důkaz: I v tomto případě dojdeme k tomu, že se M SE rovná součtu rozptylu a chyby odhadu: mse(
I X
ˆ i ) = V ar( R
I X
Ci,J |D) + (E(
Ci,J |D) −
I X
Cˆi,J )2 .
i=1
i=1
i=1
i=1
I X
Sčítanec pro rozptyl můžeme díky nezávislosti jednotlivých let vzniku přepsat jako: V ar(
I X
Ci,J |D) =
i=1
2. sčítanec lze přepsat jako (
I X
(E(Ci,J |D) −
I X
V ar(Ci,J |D).
i=1
Cˆi,J ))2 =
X
(E(Ci,J |D) − Cˆi,J )(E(Ci,J |D) − Cˆi,J )
i,j
i=1
i=1
I X
=
X
Ci,I−i+1 Cj,I−j+1 Fi Fj ,
i,j
kde Fi = (fI−i+1 ...fI−1 − fˆI−i+1 ...fˆI−1 ). Pro M SE u rezervy pro rok vzniku i platí: ˆ i = V ar (Ci,J |D) + (Ci,I−i+1 Fi )2 , mse R
a pro M SE celkového součtu musíme vzít v úvahu vztah pro kovarianci jednotlivých let, jelikož jak již bylo zmíněno výše, využívají stejných odhadů fj a tedy: mse(
I X
Ri ) =
i=1
I X i=1
ˆi) + mse(R
X
2Ci,I−i+1 Cj,I−j+1 Fi Fj
1≤i≤j≤I
Nyní už jen využijeme stejného postupu jako u F 2 v důkazu u Věty 4 a pro Fi Fj , i < j, dostáváme: J−1 X
2 2 2 2 (fˆI−i ...fˆj−1 σj2 fj+1 ...fJ−1 /
I−j−1 X n=0
j=I−i
Tím je Věta 5 dokázána.
10
Cn,j .
1.2
Metoda chain-ladder a odhad M SE v krátkodobém horizontu
Zatímco předchozí metoda popsaná Mackem [1] se zaměřuje na výpočet nejistoty odhadu celkových nákladů na pojistná plnění Ci,J a studuje tedy dlouhodobý vývoj škod v kumulativním trojúhelníku, následující metoda se věnuje studiu krátkodobého vývoje v horizontu jednoho roku. Tato metoda je představená v článku Merze a Wüthricha [3]. Důvody pro studium vývoje v krátkodobém horizontu jsou následující: • Adekvátní výkonnost společnosti v krátkodobém horizontu je předpokladem pro úspěšné dlouhodobé fungování. Pokud společnost selže, bude uvedena do insolvence a k dlouhodobému fungování nebude mít příležitost. • Předpověď vývoje v krátkodobém výhledu je směrodatná při rozhodovacích procesech ve vedení společnosti. Ovlivňuje každodenní rozhodování o oceňování pojistných produktů, finančních uzávěrkách apod. • Krátkodobé chování společnosti je předmětem zájmu klientů, investorů, akciových trhů a má následně vliv na pověst pojišťovny. Cílem této metody je studovat vývoj rezervy na pojistná plnění v horizontu 1 roku. Vývoj je sledován ze 2 pohledů: 1. Prospektivní pohled a model martingalu Definice 2 Posloupnost náhodných veličin Sn : 0 ≤ n < ∞, která pro ∀n ≥ 0 splňuje následující dvě podmínky: a) E|Sn | < ∞ b) E(Sn+1 |X0 , X1 , ..., Xn ) = Sn (tzv. základní martingálová identita) nazýváme martingalem vzhledem k posloupnosti náhodných veličin Xn : 0 ≤ n < ∞. V tomto případě předpovídáme v čase t = I výsledek vývoje nákladů na pojistná plnění za účetní rok (I, I + 1] . Využitím modelu martingalu odhadneme rozdíl nynějších a budoucích nákladů jako 0 (nejlepším odhadem nákladů v budoucím období je hodnota nákladů dnešních). Poté studujeme, jak moc se vývoj odchýlí od této hodnoty. 11
2. Retrospektivní pohled Ve výkazu zisku a ztrát v čase t = I + 1 máme k dispozici napozorovaný výsledek vývoje škod. Sledujeme, jak moc se napozorované hodnoty odchylují od nuly a zda se toto vychýlení pohybuje v přípustných mezích. Model představený v [3] vychází z napozorovaných kumulativních plateb Ci,j do vývojového roku j. Konečné náklady na pojistné plnění pro rok vzniku i jsou značeny jako Ci,J . Pro jednoduchost předpokládejme, že I = J. Zbývající nevyřízené škody na pojistná plnění v čase t = I definujeme jako RiI = Ci,J − Ci,I−i a v čase t = I + 1 RiI+1 = Ci,J − Ci,I−i+1 . Nechť DI = D = {Ci,j ; i + j ≤ I} a DI+1 = {Ci,j ; i + j ≤ I + 1} je množina dosud napozorovaných dat o jedno období později, tedy v čase t = I + 1, kdy už máme k dispozici napozorované hodnoty {Ci,I−i+1 ; i ≤ I} . Definice 3 Posloupnost celočíselných náhodných veličin Xn , n ∈ N0 se nazývá Markovův řetězec s diskrétním časem a množinou stavů S, jestliže P (Xn+1 = j|Xn = i, Xn−1 = in−1 , ..., X0 = i0 ) = P (Xn+1 = j|Xn = i) pro všechna n = 0, 1, ... a všechna i, j, in−1 , ..., i0 ∈ S taková, že P (Xn = i, {Xn−1 = in−1 , ..., X0 = i0 ) > 0. Předpoklady Předpoklad (1) metody chain-ladder uvedený v první kapitole zůstává stejný. Předpoklady (2) a (3) v této metodě navíc vycházejí z toho, že hodnoty (Ci,j )j≥0 mají Markovskou vlastnost.
12
Vzorce a pomocné odhady Očekávanou hodnotu konečné výše pojistných plnění Ci,J vyjádříme jako: E (Ci,J |DI ) = Ci,I−i
J−1 Y
fj
j=I−i
a pro t = I + 1: E (Ci,J |DI+1 ) = Ci,I−i+1
J−1 Y
fj .
j=I−i+1
Pro odhad vývojových faktorů v čase t = I užijeme stejně jako v předchozí kapitole následující vztah: fˆjI =
PI−j−1
Ci,j+1
PI−j
Ci,j+1
i=0
SjI
, kde SjI =
I−j−1 X
Ci,j
i=0
a pro t = I + 1 fˆjI+1 =
i=0
SjI+1
, kde SjI+1 =
I−j X
Ci,j .
i=0
Díky nekorelovanosti vývojových faktorů můžeme psát, že I I I I Cˆi,j = Ci,I−i fˆI−i ...fˆj−2 fˆj−1
je nestranným odhadem E (Ci,j |DI ) pro j ≥ I − i, a za předpokladu, že známe hodnoty Ci,I−i+1 je I+1 I+1 I+1 ˆI+1 Cˆi,j = Ci,I−i+1 fˆI−i+1 ...fˆj−2 fj−1
nestranným odhadem E (Ci,j |DI+1 ) pro j ≥ I − i + 1.
1.2.1
Skutečné náklady na pojistná plnění (CDR)
Při výpočtech v [3] nebereme v úvahu žádné dodatečné náklady, proto můžeme předpokládat, že se výše rezervy na pojistná plnění rovná očekávané hodnotě budoucích nevyřízených škod, kdy máme k dispozici informace z let I a I + 1. I Pokud známe hodnoty fj , odhadneme Ci,J v čase I pomocí E(Ci,J |DI ). EkvivaI+1 . Pak skutečný vývoj lentně v čase I + 1 užijeme E(Ci,J |DI+1 ) pro odhad Ci,J nákladů na pojistná plnění CDR pro účetní rok (I, I +1] definujeme následujícím způsobem: 13
Definice 4 Skutečné náklady na pojistná plnění CDR pro rok vzniku i ∈ {1, ..., I} v účetním roce(I, I + 1] definujeme jako CDRi (I + 1) = E(RiI |DI ) − (Xi,I−i+1 + E(RiI+1 |DI+1 )) = E(Ci,J |DI ) − E(Ci,J |DI+1 ), kde Xi,I−i+1 = Ci,I−i+1 − Ci,I−i značí přírůstky v platbách. Skutečným přírůstkem (true aggregate) pak rozumíme I X
CDRi (I + 1).
i=1
Využitím martingalu dostaneme E(CDRi (I + 1)|DI ) = 0.
(1.16)
Předpokládáme tedy, že viděno v čase t = I, je očekávaná hodnota CDR rovna nule. Vzhledem k tomu, že dále předpokládáme, že známe hodnoty vývojových faktorů fj , mluvíme o skutečné CDR. Chybu tohoto odhadu lze vyjádřit jako msepCDRi (I+1)|DI (0) = V ar(CDRi (I + 1)|DI ) = E(Ci,J |DI )2
2 2 σI−i /fI−i . (1.17) Ci,I−i
V praxi však zpravidla hodnoty vývojových faktorů fj neznáme, nelze tedy zjistit skutečnou výši CDR pro rok vzniku i. Jsme však schopni získat odhad CDR v tomto roce. Očekávanou výši nákladů na pojistná plnění E (Ci,J |DI ) a I+1 I . E (Ci,J |DI+1 ) nahradíme jejich odhady Cˆi,J a Cˆi,J I Nestranným odhadem E(Ri |DI ) pro t = I rozumíme ˆ iDI = (Cˆ I − Ci,I−i ) R (1.18) i,J
a pro t = I + 1
ˆ iDI+1 = (Cˆ I+1 − Ci,I−i+1 ) R i,J
je nestranným odhadem E(RiI+1 |DI+1 ). Věta 6 Odhad skutečných nákladů na pojistná plnění CDR pro rok vzniku i ∈ {1, ..., I} v účetním roce(I, I + 1] vypočítáme jako ˆ i (I + 1) = (R ˆ iDI ) − (Xi,I−i+1 + R ˆ iDI+1 ) CDR I I+1 = Cˆi,J − Cˆi,J .
Odhad skutečného přírůstku CDR dostaneme jako I X
ˆ i (I + 1). CDR
i=1
14
1.2.2
Odhad M SE vývoje nákladů na pojistná plnění
V této kapitole se zaměříme na studium volatility očekávaných nákladů na pojistná plnění. V předchozí kapitole jsme aproximovali skutečnou výši nákladů na ˆ i (I + 1). Z retrospektivního pojistná plnění CDRi (I + 1) jejím odhadem CDR pohledu se nyní zaměříme na výpočet kvality tohoto odhadu. Také se podíváme na kvalitu odhadu z prospektivního pohledu, tedy na situaci, kdy jsme výši tohoto odhadu aproximovali nulou. Pro účely solvence popsané v [3] je tedy cílem nalézt tyto dvě hodnoty: h
i
2 ˆ msepCDR ˆ i (I+1)|DI (0) = E (CDRi (I + 1) − 0) |DI ,
h
(1.19) i
ˆ i (I + 1)) = E (CDRi (I + 1) − CDR ˆ i (I + 1))2 |DI . msepCDRi (I+1)|DI (CDR (1.20) Prospektivní výhled je reprezentován vztahem (1.19), který vyjadřuje střední kvadratickou chybu odhadu CDR na konci účetního období. Výraz (1.20) reprezentuje retrospektivní pohled, kdy analyzujeme rozdíl mezi skutečnou výší CDR a jejím odhadem. Nejprve využitím vztahu (1.17) odhadneme rozptyl skutečné CDR: I ˆ )2 /(fˆI−i )2 I 2 (σI−i (1.21) V ˆar(CDRi (I + 1)|DI ) = (Cˆi,J ) Ci,I−i (ˆ σ
)2 /(fˆI
)2
I−i ˆ I = I−i a označme Ψ . i Ci,I−i Podívejme se podrobněji na vztah (1.20). Užitím (1.16) a poznatků z [4] můžeme dále vztah rozepsat jako:
ˆ ˆ i (I + 1)) = ΦIi,J + (E[CDR(I + 1)|DI ])2 , msepCDRi (I+1)|DI (CDR
(1.22)
ˆ i (I + 1)|DI ) ΦIi,J = V ar(CDRi (I + 1) − CDR ˆ i (I + 1)|DI ) = V ar(CDRi (I + 1)|DI ) + V ar(CDR ˆ i (I + 1), CDRi (I + 1)|DI ). −2Cov(CDR
(1.23)
kde
Výraz ΦIi,J obsahuje tři složky, první reprezentuje rozptyl skutečné CDR, druhá kvantifikuje rozptyl odhadu CDR (jelikož v čase t = I je odhad CDR náhodnou veličinou). Třetí složka popisuje, jak je skutečná CDR korelovaná se svým 15
odhadem. Analogicky pro (1.19) dostáváme: I 2 ˆ msepCDR ˆ i (I+1)|DI (0) = Γi,J + E[CDR(I + 1)|DI ]) ,
kde
ˆ i (I + 1)|DI − 0) = V ar(CDR ˆ i (I + 1)|DI ). ΓIi,J = V ar(CDR
Odhad podmíněných M SE v rámci 1 roku Věta 7 Odhad střední kvadratické chyby odhadu u (1.20) vypočítáme jako
2
j=I−i+1
CI−j,j SjI+1
ˆ i (I + 1)) = Cˆ I msep ˆ CDRi (I+1)|DI (CDR i,J kde ˆ Ii,J = ∆
2
ˆI = Φ i,J
J−1 X
2 I σ ˆI−i / fˆI−i I SI−i
+
a j=I−i+1
J−1 X
CI−j,j SjI+1
!2
ˆI + ∆ ˆI , Φ i,J i,J
!2
σ ˆj2 / fˆjI
2
CI−j,j
σ ˆj2 / fˆjI SjI
(1.24)
2
.
ˆ Ii,J je odhadem vztahu (1.23) pro rozptyl. Kompletní odvození odhadu Výraz Φ ˆ (E[CDR(I + 1)|DI ])2 lze nalézt v kapitole 4.1.2 v [2]. Věta 8 Odhad střední kvadratické chyby odhadu uvedeného v (1.19) se vypočítá jako
ˆI msep ˆ CDR ˆ i (I+1)|DI (0) = Ci,J kde
2
ˆ Ii,J + ∆ ˆ Ii,J , Γ
ˆI = Φ ˆI + Ψ ˆI ≥ Φ ˆI . Γ i,J i,J i i,J
Na základě Věty 7 a 8 můžeme dát oba vztahy do souvislosti: msep ˆ CDR ˆ i (I+1)|DI (0) = ≥
ˆ i (I + 1)) msep ˆ CDRi (I+1)|DI (CDR +V ˆar(CDRi (I + 1)|DI ) ˆ i (I + 1)) msep ˆ CDR (I+1)|D (CDR i
16
I
(1.25)
Odhad M SE celkového součtu V této části uvedeme vztahy pro výpočet odhadů M SE pro celkový součet let vzniku. Při odvozování jednotlivých odhadů jsme čerpali z kapitoly 4.2. v [2]. Kompletní odvození je k nalezení tamtéž. Ukažme si odvození na příkladu dvou let vzniku. Bereme v úvahu rok vzniku i a k. Nechť i 6= k. Díky nezávisloti jednotlivých let vzniku dostáváme vztah pro odhad M SE součtu těchto dvou let ˆ i (I + 1) + CDR ˆ k (I + 1)|DI ]) msep(E[CDR = V ar(CDRi (I + 1)|Di ) + V ar(CDRk (I + 1)|Di ) ˆ i (I + 1)|DI ] + E[CDR ˆ k (I + 1)|DI ])2 . +(E[CDR
(1.26)
Rozptyl procesu určíme snadno, ale výpočet chyby odhadu je komplikovanější z důvodu korelovanosti let vzniku. Pro poslední člen výrazu (1.26) dostáváme ˆ i (I + 1)|DI ] + E[CDR ˆ k (I + 1)|DI ])2 (E[CDR ˆ i (I + 1)|DI ])2 + (E[CDR ˆ k (I + 1)|DI ])2 = (E[CDR ˆ i (I + 1)|DI ]E[CDR ˆ k (I + 1)|DI ]. +2E[CDR Navíc tedy získáváme vztah pro kovarianci mezi jednotlivými lety vzniku. Střední kvadratickou chybou odhadu celkového součtu CDRi (I + 1) pro i ∈ {0, ..., I} rozumíme
msep ˆ
PI
i=1
CDRi (I+1)|DI
=
I X
(
I X
ˆ i (I + 1)) CDR
(1.27)
i=1
ˆ i (I + 1)) msep ˆ CDRi (I+1)|DI (CDR
i=1
+2
X
I ˆI ˆI + Λ ˆI , Cˆi,J Ck,J Φ i,J i,J
k>i>0
kde ˆI = Λ i,J
2 I ˆI−i / fˆI−i Ci,I−i σ I+1 SI−i
I SI−i
2
+
J−1 X
j=I−i+1
17
CI−j,j SjI+1
!2
σ ˆj2 / fˆjI SjI
2
.
Pro retrospektivní pohled platí msep ˆ PI
i=1
CDRi (I+1)|DI
(1.28)
(0) I X
=
msep ˆ CDRi (I+1)|DI (0) + 2
i=1
X
k>i>0
kde
I 2 / fˆI−i σ ˆI−i
ˆ Ii,J = Φ ˆ Ii,J + Ξ
I+1 SI−i
2
I ˆI ˆ Ii,J + Λ ˆ Ii,J , Cˆi,J Ck,J Ξ
ˆ Ii,J . ≥Φ
I zde lze obě odchylky uvést do souvislosti: msep ˆ PI
i=1
CDRi (I+1)|DI
(0) =
msep ˆ PI
i=1
+
I X
( CDRi (I+1)|DI
I X
ˆ i (I + 1)) CDR
i=1
V ˆar(CDRi (I + 1)|DI )
i=1
+2
X
I ˆI ˆI − Φ ˆI Cˆi,J Ck,J Ξ i,J i,J
k>i>0
msep ˆ PI
≥
i=1
1.2.3
CDRi (I+1)|DI
(
I X
ˆ i (I + 1)). CDR
i=1
Srovnání s Mackovým modelem
Abychom mohli lépe porovnat výsledné vztahy pro výpočet M SE v obou kapitolách, vyjádřeme (1.25) a (1.28) v terminologii Macka. Pro jednotlivé roky vzniku máme:
I msep ˆ CDRi (I+1)|DI (0) = Cˆi,J
I = Cˆi,J
2
2 ˆI−i / σ
2
ˆI + ∆ ˆI Γ i,J i,J
I fˆI−i
I Ci,I−i
2
+
18
2 σ ˆI−i /
(1.29) I fˆI−i
I SI−i
2
+
J−1 X
j=I−i+1
CI−j,j SjI+1
!2
σ ˆj2 /
fˆjI
SjI
2
Pro celkový součet platí: msep ˆ PI
i=1
(0) = CDRi (I+1)|DI +2
X
k>i>0
I X
(1.30)
msep ˆ CDRi (I+1)|DI (0)
i=1
2 ˆI−i / σ
I ˆI Cˆi,J Ck,J
I fˆI−i
I SI−i
2
+
ˆj2 / fˆjI CI−j,j σ I+1 SjI j=I−i+1 Sj J−1 X
2
Při srovnání (1.29) se vztahem (1.10), který uvádí Mack [1], je patrné že tato metoda podle [3] počítá pouze s prvním členem vztahu pro rozptyl procesu (process variance) a to pro j = I − i, zatímco Mack [1] pracuje se součtem těchto chyb za všechna účetní období až do j = J − 1. Dále tato metoda přičítá chybu odhadu (estimation error) pro j = I − i a zbylé chyby odhadu (j > I − i + 1) jsou pronásobeny členem Ci,I−i /SjI+1 ≤ 1. V případě srovnání (1.30) se vztahem pro celkovou rezervu uvedenou v předchozí kapitole, tato metoda bere v úvahu pouze chybu odhadu (estimation error) pro j = I − i, zbylá účetní období jsou pronásobena hodnotami Ci,I−i /SjI+1 ≤ 1.
19
Kapitola 2 Praktické výpočty 2.1
Případ 1
Máme k dispozici údaje o vývoji škod u jedné společnosti. Při výpočtech vycházíme z vývojového trojůhelníku popsaného v Tabulce A.1 (viz Seznam tabulek). Jsou v něm uvedeny kumulativní platby Ci,j pro i ∈ {0, ..., 8} v roce I = 8 a jsou rozšířeny o informace z roku I + 1 = 9. Na základě těchto dat můžeme odhadnout výši CDR. Tabulka 2.1 obsahuje hodnoty odhadů vývojových faktorů fˆjI a fˆjI+1 a směrodatné ochylky σ ˆj2 pro j = {0, ..., 6}. Pro výpočet σ ˆ72 využijeme extrapolace uvedené v 1.6 (viz také Mack [1]): σ ˆ72 = min(ˆ σ52 , σ ˆ62 , σ ˆ64 /ˆ σ52 ). Pomocí odhadů fˆjI a fˆjI+1 určíme hodnoty odhadu rezervy na pojistná plnění ˆ iDI pro jednotlivá období v čase t = I. Pro t = I + 1 vypočítáme odhad R ˆ iDI+1 , kde k rezervě na pojistná plnění přičteme přírůstek v platbách Xi,I−i+1 + R za uplynulý rok. Na základě těchto výpočtů jsme pak schopni odhadnout výši nákladů na pojistná plnění CDRi (I + 1) uvedených v Tabulce 2.2. fˆjI fˆjI+1 σ ˆj2
1.476 1.479 911.45
1.072 1.072 189.82
1.023 1.023 97.82
1.016 1.015 178.75
1.006 1.007 20.64
1.006 1.005 3.23
Tabulka 2.1: Hodnoty odhadů fˆjI , fˆjI+1 a σ ˆj2
20
1.001 1.001 0.36
1.001 1.001 0.04
i 1 2 3 4 5 6 7 8 Celkem
ˆ i (I + 1) Rˆi DI Xi,I−i+1 − Rˆi DI+1 CDR 4378 4313 65 9348 7649 1698 28392 24046 4347 51444 66494 -15050 111811 93451 18360 187084 189851 -2767 411864 401134 10730 1433505 1.490962 -57458 2237826 2277900 -40075
Tabulka 2.2: Výsledné hodnoty odhadu CDR v čase t = I + 1
V čase t = I + 1 je odhad celkové výše CDR záporný ve výši −40075. Otázkou je, zda tento odhad může být i kladný za předpokladu, že bychom znali hodnoty vývojových faktorů fj v čase t = I (retrospektivní pohled). To zjistíme na základě analýzy rozptylu a M SEP , kde: Rˆi DI 1/2 V ˆar ˆ 1/2 msep ˆ CDR|DI (CDR) msep ˆ CDR|DI (0)1/2 1/2
msep ˆ M ack
odhad rezervy na pojistná plnění v čase t = I viz (1.18) odhad směrodatné odchylky skutečné CDR, viz (1.21) odhad msep ˆ 1/2 mezi skutečnou a napozorovanou výší CDR, viz (1.24) a (1.27) ˆ i (I + 1) od 0 viz (1.25) a předpokládaná odchylka CDR (1.28) msep ˆ 1/2 celkových nákladů na pojistná plnění dle Macka[1]
V Tabulce 2.3 můžeme vidět, že směrodatná odchylka skutečného přírůstku CDR je rovna 65412, což znamená, že není nepravděpodobné, že by se skutečný přírůstek CDR pohyboval v rozmezí ±40000. Navíc odmocnina odhadu M SEP mezi skutečnou CDR a jejím odhadem je rovna 33856. Skutečná CDR a její odhad se tedy mohou lišit až o 33856, je tedy pravděpodobné, že skutečná CDR 21
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 cov1/2 P
1/2 V ˆar Rˆi DI 0 4378 394 1184 9348 3395 28392 51444 8673 111811 25878 187084 18875 411864 25822 1433505 49978 0 2237826 65413
1/2
ˆ 1/2 msep ˆ CDR|DI (CDR)
msep ˆ CDR|D (0)1/2 ˆ I
msep ˆ M ack
406 899 1966 4395 11804 9101 11131 18581 20754 33856
566 1487 3923 9723 28443 20954 28119 53321 39746 81081
566 1563 4147 10487 29986 35461 43884 61148 50361 102410
Tabulka 2.3: Výkyvy v jednotlivých odhadech
má stejné znaménko jako její odhad, tedy že je záporná. Můžeme říci, že i za předpokladu znalosti hodnot vývojových faktorů by skutečná výše CDR byla záporná. Z prospektivního pohledu nás zajímá, zda je reálné, aby se výše skutečné CDR odchylovala od nuly až do výše −40000. Hodnota 81081 v Tabulce 2.3 odpovídá předpovědi chyby odhadu CDR z retrospektivního pohledu. Můžeme říci, že odchylka od nuly může být až v rozsahu 81081, není tedy nepravděpodobné, že by skutečná CDR nabývala hodnoty −40000. Výše uvedené výpočty se zaměřovaly na výpočet nejistoty v krátkodobémjednoletém horizontu dle [3]. Na závěr srovnáme míru nejistoty v tomto krátkodobém (jednoletém) horizontu s odhadem vypočítaným pomocí vzorce uvedeného v Mackovi [1]. Mack [1] uvádí vztah pro stanovení míry nejistoty v dlouhodobém horizontu, neboť vyčísluje chybu odhadu konečných nákladů Ci,J , a tedy počítá míru nejistoty až do konce námi uvažovaného škodného období. V Tabulce 2.4 jsou shrnuty výsledné hodnoty u jednotlivých ukazatelů, které jsou vždy doplněny o údaj, který reprezentuje procentuální poměr těchto hodnot vzhledem k celkové výši rezervy na pojistná plnění RiDI . Při pohledu na poslední sloupec je patrné, že průběh nadcházejícího účetního období je zásadní pro odhad celkové nejistoty v konečném vývoji škod, neboť velká míra nejistoty je obsažena v účetních obdobích bezprostředně následujících. Odhad nejistoty v nadcházejícím roce tvoří téměř 80% odhadu nejistoty 22
Total Rˆi DI
msep ˆ CDR|D (0)1/2 ˆ I
2237826
81081 3.62%
1/2
1/2
msep ˆ M ack
msep ˆ CDR|D (0)1/2 /msep ˆ M ack ˆ I
101410 5.0%
80%
Tabulka 2.4: Procentuální vyjádření odhadů vzhledem k celkové výši rezervy na pojistná plnění v dlouhodobém horizontu.
2.2
Případ 2
V tomto případě budeme pracovat s daty, u kterých oproti předchozímu příkladu dochází k výraznějším výkyvům ve vývoji dat. Při výpočtech vycházíme z vývojového trojůhelníku popsaného v Tabulce A.2 (viz Seznam tabulek). Jsou v něm uvedeny kumulativní platby Ci,j pro i ∈ {0, ..., 8} v roce I = 8 a jsou rozšířeny o informace z roku I + 1 = 9. Na základě těchto dat můžeme odhadnout CDR. Podívejme se na hodnoty odhadů fjI a σj2 uvedených v Tabulce 2.5. Stejně jako v předchozím případě i zde je patrné, že k největším výplatám na pojistná plnění dochází během prvních vývojových let. V Tabulce 2.6 je uveden odhad celkové CDR ve výši −2203591. Při porovnání vývoje rezervy na pojistná plnění v čase t = I a t = I + 1 je patrné, že zde dochází k větším výkyvům ve vývoji dat než v předchozím případě. fˆjI fˆjI+1 σ ˆj2
3.47 3.49 182174
1.70 1.75 24230
1.46 1.46 50171
1.16 1.17 15490
1.1 1.10 16644
1.10 1.09 7639
1.05 1.05 567
1.063 1.08 42
Tabulka 2.5: Hodnoty odhadů fˆjI , fˆjI+1 a σ ˆj2
V Tabulce 2.7 jsou uvedeny odhady jednotlivých odchylek. Odhad CDR se může od skutečné výše CDR lišit až o 831579, je tedy pravděpodobné, že i skutečná výše CDR bude záporná, nicméně je nepravděpodobné, že by dosahovala až hodnoty −2203591, jelikož odchylka skutečné CDR od nuly by měla dosahovat pouze výše 1737170. Pokud se podíváme na porovnání metody z [3] s Mackem [1], z Tabulky 2.8 23
i 1 2 3 4 5 6 7 8 Celkem
ˆ i (I + 1) Rˆi DI Xi,I−i+1 − Rˆi DI+1 CDR 309629 425046 -115417 537943 656239 -118296 1003795 823655 180140 1179957 1370917 -190961 1685859 2036403 -350544 3111267 3142321 -31054 4114465 5245507 -1131042 4720898 5167314 -446417 16663812 18867403 -2203591
Tabulka 2.6: Výsledné hodnoty odhadu CDR v čase t = I + 1
i 1 2 3 4 5 6 7 8 cov1/2 P
Rˆi DI 309629 537942 1003795 1179957 1685859 3111267 4114465 4720898
V ˆar
1/2
14372 54442 204217 292492 289629 545173 424144 102039 0 16663812 1316290
1/2
ˆ 1/2 msep ˆ CDR|DI (CDR)
msep ˆ CDR|D (0)1/2 ˆ I
msep ˆ M ack
16777 43008 128961 154080 155013 267594 229788 395660 586536 831579
22092 69380 241527 330594 328503 607306 482391 1094410 968321 1737170
21711 70047 236173 364658 462791 676418 746447 831686 1274930 1933950
Tabulka 2.7: Hodnoty rezervy a odchylek odhadů
24
je patrné, že v tomto případě hraje odhad nejistoty v rámci nadcházejícího období ještě významnější roli než v předchozím případě. Je to způsobeno velkými výkyvy v datech, díky kterým se zvyšuje nejistota předpovědi do budoucna a odhad nejistoty v nadcházejícím období tvoří dokonce až 90% odhadu nejistoty v dlouhodobém horizontu. 1/2
1/2
Total Rˆi DI
msep ˆ CDR|D (0)1/2 ˆ I
msep ˆ M ack
msep ˆ CDR|D (0)1/2 /msep ˆ M ack ˆ I
16663812
1737170 10.4%
1933950 12.0%
90.0%
Tabulka 2.8: Procentuální vyjádření odhadů vzhledem k celkové výši rezervy na pojistná plnění
25
Závěr Úkolem této práce bylo popsat metody zabývající se výpočtem variability odhadů technických rezerv. Obě metody pracují s nejistotou odhadu, každá pracuje s jiným časovým horizontem. Obě metody pracují na základě metody chain-ladder. Při porovnání teoretických poznatků jednotlivých metod jsme zjistili, že zatímco Mack [1] při výpočtu nejistoty odhadu celkové výše rezervy zohledňuje variabilitu vývoje za všechna účetní období až do předposledního roku námi uvažovaného období, vztah pro výpočet nejistoty odhadu výše rezervy v nadcházejícím období dle [3] počítá pouze s variabilitou pro vývojový rok j = I − i. To automaticky plyne z již zmíněného faktu, že obě metody zkoumají nejistotu odhadu v jiném časovém horizontu. V rámci numerické studie jsme porovnali dvě sady dat, které se lišily ve výkyvech v datech. V prvním případě se ukázalo, že nejistota odhadu v krátkodobém horizontu hraje významnou roli při hodnocení celkové nejistoty. Poměr mezi odhadem nejistoty pro nadcházející období a mezi odhadem nejistoty pro celkovou konečnou výši rezervy dosahoval až 80%. V druhém případě jsme volili data, u kterých docházelo k výraznějším výkyvům ve vývoji dat než v prvním případě. Zde se poměr mezi jednotlivými odhady pohyboval až na úrovni 90%. Lze tedy říci, že čím větší variabilita dat, tím důležitější je zohlednit vývoj v krátkodobém horizontu, jelikož je opravdu směrodatný pro budoucí vývoj rezervy.
26
Seznam použité literatury [1] Mack, T. (1993): Distribution-free calculation of the standard error of chain ladder reserve estimates. Munich, Re. Astin Bulletin, Vol. 23, No. 2, 213225. [2] Merz, M., Wüthrich, M.V. (2007):Prediction error of the expected claims development result in the chain laddder method. Bulletin of Swiss Association of Actuaries, 1, 117-137. [3] Wüthrich, M.V., Merz, M. (2008): Modelling the claims development result for solvency purposes. Casual Acturial Society E-Forum, Fall. [4] Wüthrich, M.V., Merz, M., Lysenko, N. (2008) Uncertainty in the claims development result in the chain ladder method. Accepted for publication in Scand. Act. J.
27
Seznam tabulek ij 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 2202584 2350650 2321885 2171487 2140328 2290664 2148216 2143728 2144738
1 3210449 3553023 3424190 3165274 3157079 3338197 3219775 3158581 3218196
2 3468122 3783846 3700876 3395841 3399262 3550332 3428335 3376375
3 3545070 3840067 3798198 3466453 3500520 3641036 3511860
4 3621627 3865187 3854755 3515703 3585812 3679909
5 3644636 3878744 3878993 3548422 3624784
6 7 8 3669012 3674511 3678633 3898281 3902425 3906738 3898825 3902130 3564470
Tabulka A.1: Data vývojového trojúhelníku uvedená v [3]
ij 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 357848 352118 290507 310608 443160 396132 440832 359480 376686
1 1124788 1236139 1292306 1418858 1136350 1333217 1288463 1421128 1363294
2 1735330 2170033 2218525 2195047 2128333 2180715 2419861 2864498
3 2218270 3353322 3235179 3757447 2897821 2985752 3483130
4 2745596 3799067 3985995 4029929 3402672 3691712
5 3319994 4120063 4132918 4381982 3873311
6 7 8 3466336 3606286 3833515 4647867 4914039 5339085 4628910 4909315 4588268
Tabulka A.2: Data vývojového trojúhelníku uvedená v [2]
28
