Kapitola 8 Vnitˇ rn´ı s´ıly rovinnˇ e zakˇ riven´ eho prutu V t´eto kapitole bude na pˇr´ıkladech vysvˇetleno ˇreˇsen´ı vnitˇrn´ıch sil rovinnˇe zakˇriven´ ych nosn´ık˚ u, jejichˇz stˇrednici tvoˇr´ı oblouk ve tvaru kvadratick´e paraboly [1]. Pro v´ ypoˇcet je poˇca´tek souˇradnicov´e soustavy um´ıstˇen ve vrcholu nosn´ıku, ˇc´ımˇz jsou d´any z´akladn´ı geometrick´e vztahy zakˇriven´eho prutu: rovnice paraboly z = k · x2 [m] ,
k=
⇒
za zb = 2 [m−1 ] , 2 xa xb
(8.1)
rovnice sklonu stˇrednice prutu (teˇcna ke stˇrednici) tg ψ =
dz = 2k · x [−] , dx
(8.2)
goniometrick´e funkce u ´hlu sklonu stˇrednice prutu cos ψ = p sin ψ = p
1 1 + tg2 ψ tg ψ
1 + tg2 ψ
[−] ,
(8.3)
[−] .
(8.4)
Jelikoˇz sklon stˇrednice zakˇriven´eho nosn´ıku je v kaˇzd´em jej´ım bodu jin´ y, maj´ı v kaˇzd´em bodu jin´ y smˇer i posouvaj´ıc´ı a norm´alov´e s´ıly. Pro usnadnˇen´ı v´ ypoˇctu se zav´adˇej´ı tzv. pomocn´e vnitˇrn´ı s´ıly: svisla vnitˇrn´ı s´ıla S [kN] (ve smˇeru osy z) a vodorovna (horizontalni) vnitˇrn´ı s´ıla H [kN] (ve smˇeru osy x), kter´e se jednoduˇse definuj´ı ze statick´eho sch´ematu zad´an´ı (napˇr. pˇr´ıklad 8.1). Princip v´ ypoˇctu i znam´enkov´a konvence tˇechto pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil S, H je shodn´a s v´ ypoˇctem i znam´enkovou konvenc´ı posouvaj´ıc´ıch a norm´alov´ ych sil pˇr´ım´eho vodorovn´eho nosn´ıku (svisl´a zleva je kladn´a smˇerem nahoru, svisl´a zprava je kladn´a smˇerem dol˚ u, horizont´aln´ı s´ıly jsou kladn´e, smˇeˇruj´ı-li ven z prutu), viz napˇr. obr´azek 8.2 i dalˇs´ı. Rozkladem S, H sil do smˇeru teˇcny ke stˇrednici oblouku a kolmo ke stˇrednici oblouku lze definovat norm´alov´e N [kN] a posouvaj´ıc´ı V [kN] s´ıly v dan´em bodu pomoc´ı tzv. transformaˇcn´ıch vztah˚ u (8.5) a (8.6). Sch´ema rozklad˚ u S, H sil viz napˇr. obr´azek 8.2 i dalˇs´ı. Princip v´ ypoˇctu ohybov´ ych moment˚ u M [kNm] je shodn´ y jako u pˇr´ım´ ych prut˚ u (kap 4) ˇci lomen´ ych nosn´ık˚ u (kap 6).
92
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 1 8.1. PR Protoˇze velikosti vnitˇrn´ıch sil jsou z´avisl´e nejen na velikosti a druhu zat´ıˇzen´ı, ale i na tvaru stˇrednice, nelze jejich pr˚ ubˇehy sestrojit analytick´ ym zp˚ usobem jako u pˇr´ım´ ych prut˚ u ˇci lomen´ ych nosn´ık˚ u. V pˇr´ıpadˇe poˇzadavku definov´an´ı vniˇrtn´ıch sil pouze v urˇcit´ ych bodech, poˇc´ıtaj´ı se vnitˇrn´ı s´ıly pouze v tˇechto bodech, jak je uvedeno v pˇr´ıkladech 8.1 aˇz 8.6. V pˇr´ıpadˇe potˇreby z´ısk´an´ı pr˚ ubˇeh˚ u vnitˇrn´ıch sil po d´elce prutu je potˇreba pouˇz´ıt analytick´e ˇreˇsen´ı, kter´e je vysvˇetleno na pˇr´ıkladu 8.7. Transformaˇcn´ı vztahy pro v´ ypoˇcet N , V sil, jejichˇz odvozen´ı je vysvˇetleno v pˇr´ıkladu 8.1 obr. 8.2, vztahy (8.21), (8.22) a (8.30), (8.31). N = S · sin ψ + H · cos ψ [kN] .
(8.5)
V = S · cos ψ − H · sin ψ [kN] ,
(8.6)
Pozn´ amka: Vnitˇrn´ı s´ıly lze poˇc´ıtat shodnˇe jako jako u pˇr´ım´ ych prut˚ u z lev´e i prav´e strany s t´ım, ˇze v´ ypoˇcet je vˇetˇsinou jednoduˇsˇs´ı i postaˇcuj´ıc´ı z jedn´e z tˇechto stran. V n´asleduj´ıc´ıch ˇreˇsen´ ych pˇr´ıkladech je v r´amci procviˇcen´ı vysvˇetlen postup v´ ypoˇctu zleva i zprava.
8.1
Pˇ r´ıklad - oblouk 1
Spoˇc´ıtejte vnitˇrn´ı s´ıly v bodˇe d zakˇriven´eho nosn´ıku dle obr´azku 8.1. Hodnoty reakc´ı jsou pˇrevzaty z kapitoly 3.
Obr´azek 8.1: Sch´ema konstrukce pˇr´ıkladu 8.1
93
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 1 8.1. PR
8.1.1
ˇ sen´ı - oblouk 1 Reˇ
Rozbor geometrie Souˇradnice podporov´ ych bod˚ u a a b urˇcen´ ych ze zad´an´ı konstrukce: xa = −3 [m] , za = 5 [m] ,
xb = 3 [m] , zb = 5 [m] ,
(8.7)
rovnice paraboly dle (8.1): k=
zb 5 za = 2 = = 0, 55 [m−1 ] , 2 2 xa xb (±3) z = k · x2 = 0, 55 · x2 [m] ,
(8.8)
(8.9)
rovnice sklonu stˇrednice prutu dle (8.2) tg ψ =
dz = 2k · x = 2 · 0, 55 · x = 1, 11 · x [−] , dx
(8.10)
z-ov´a souˇradnice bodu d zd dle (8.9), je-li dle zad´an´ı konstrukce xd = 2 [m] zd = k · x2d = 0, 55 · 22 = 2, 22 [m] ,
(8.11)
sklon stˇrednice prutu v bodu d dle (8.10) tg ψd = 2k · xd = 1, 11 · xd = 1, 11 · 2 = 2, 22 [−] ,
(8.12)
goniometrick´e funkce u ´hlu sklonu stˇrednice ψd v bodu d dle (8.3) a (8.4) cos ψd = p sin ψd = p
1 1 + tg2 ψd tg ψd
1 + tg2 ψd
= 0, 4104 [−] ,
(8.13)
= 0, 91192 [−] .
(8.14)
V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu d z prav´ e strany Sch´ema pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil Sd ,Hd dle v´ yˇse uveden´e znam´enkov´e konvence i sch´ema vnitˇrn´ıch sil Nd ,Vd ,Md viz obr. 8.2 nahoˇre. Pomocn´a svisl´a vnitˇrn´ı s´ıla Sd poˇc´ıtan´a z prav´e strany SdP ≡ Sd = −Rbz = −20, 833 [kN] ,
94
(8.15)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 1 8.1. PR
Obr´azek 8.2: Sch´ema ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 8.1
95
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 1 8.1. PR
pomocn´a horizont´aln´ı vnitˇrn´ı s´ıla Hd poˇc´ıtan´a z prav´e strany HdP ≡ Hd = −Rbx = −50, 0 [kN] .
(8.16)
Rozklad pomocn´e svisl´e vnitˇrn´ı s´ıly Sd do sloˇzek kolm´e Sd⊥ (v obr. 8.2 znaˇceno Sdk ) a rovnobˇeˇzn´e Sdk se stˇrednic´ı oblouku: Sd⊥ = Sd · cos ψd = −20, 833 · 0, 4104 = −8, 549 [kN] ,
(8.17)
Sdk = Sd · sin ψd = −20, 833 · 0, 91192 = −18, 998 [kN] ,
(8.18)
rozklad pomocn´e horizont´aln´ı vnitˇrn´ı s´ıly Hd do sloˇzek kolm´e Hd⊥ (v obr 8.2 znaˇceno Hdk ) a rovnobˇeˇzn´e Hdk se stˇrednic´ı oblouku: Hd⊥ = Hd · sin ψd = −50, 0 · 0, 91192 = −45, 596 [kN] ,
(8.19)
Hdk = Hd · cos ψd = −50, 0 · 0, 4104 = −20, 52 [kN] .
(8.20)
Norm´ alov´ a s´ıla Nd je d´ana souˇctem vˇsech rovnobˇeˇzn´ ych pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil v bodu d dle znam´enkov´e konvence pro norm´alov´e s´ıly (kladn´a vede ven z prutu) NdP ≡ Nd = Sdk +Hdk = Sd ·sin ψd +Hd ·cos ψd = −18, 998+(−20, 52) = −39, 518 [kN] , (8.21)
posouvaj´ıc´ı s´ıla Vd je d´ana souˇctem vˇsech kolm´ ych pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil v bodu d dle znam´enkov´e konvence pro posouvaj´ıc´ı s´ıly (zprava je kladn´a smˇerem dol˚ u) VdP ≡ Vd = Sd⊥ − Hd⊥ = Sd · cos ψd − Hd · sin ψd = −8, 549 − (−45, 596) = 37, 047 [kN] , (8.22)
ohybov´ y moment Md poˇc´ıtan´ y zprava je d´an souˇctem vˇsech moment˚ u p˚ usob´ıc´ıch na bod d zprava dle znam´enkov´e konvence pro ohybov´e momenty (kladn´ y natahuje spodn´ı vl´akna) Md P ≡ Md = Rbz · (3 − xd ) − Rbx · (f − zd ) = 20, 833 · 1 − 50 · 2, 778 = −118, 0566 [kNm] . (8.23) Pozn´ amka: Rovnice (8.21) a (8.22) jsou z´aroveˇ n odvozen´ım transformaˇcn´ıch vztah˚ u (8.5) a (8.6).
96
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 1 8.1. PR V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu d z lev´ e strany Sch´ema pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil Sd ,Hd dle v´ yˇse uveden´e znam´enkov´e konvence i sch´ema vnitˇrn´ıch sil Nd ,Vd ,Md viz obr. 8.2 dole. Pomocn´a svisl´a vnitˇrn´ı s´ıla Sd poˇc´ıtan´a z lev´e strany SdL ≡ Sd = −Raz = −20, 833 [kN] ,
(8.24)
pomocn´a horizont´aln´ı vnitˇrn´ı s´ıla Hd poˇc´ıtan´a z lev´e strany HdL ≡ Hd = −Q = −q · f = −10 · 5 = −50, 0 [kN] .
(8.25)
Rozklad pomocn´e svisl´e vnitˇrn´ı s´ıly Sd do sloˇzek kolm´e Sd⊥ (v obr. 8.2 znaˇceno Sdk ) a rovnobˇeˇzn´e Sdk se stˇrednic´ı oblouku: Sd⊥ = Sd · cos ψd = −20, 833 · 0, 4104 = −8, 549 [kN] ,
(8.26)
Sdk = Sd · sin ψd = −20, 833 · 0, 912 = −19, 0 [kN] ,
(8.27)
rozklad pomocn´e horizont´aln´ı vnitˇrn´ı s´ıly Hd do sloˇzek kolm´e Hd⊥ (v obr. 8.2 znaˇceno Hdk ) a rovnobˇeˇzn´e Hdk se stˇrednic´ı oblouku: Hd⊥ = Hd · sin ψd = −50, 0 · 0, 9119 = −45, 596 [kN] ,
(8.28)
Hdk = Hd · cos ψd = −50, 0 · 0, 4104 = −20, 52 [kN] .
(8.29)
Norm´ alov´ a s´ıla Nd je d´ana souˇctem vˇsech rovnobˇeˇzn´ ych pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil v bodu d dle znam´enkov´e konvence pro norm´alov´e s´ıly (kladn´a vede ven z prutu) NdL ≡ Nd = Sdk +Hdk = Sd ·sin ψd +Hd ·cos ψd = −18, 998+(−20, 52) = −39, 518 [kN] , (8.30) posouvaj´ıc´ı s´ıla Vd je d´ana souˇctem vˇsech kolm´ ych pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil v bodu d dle znam´enkov´e konvence pro posouvaj´ıc´ı s´ıly (zleva je kladn´a smˇerem nahoru) VdL ≡ Vd = Sd⊥ − Hd⊥ = Sd · cos ψd − Hd · sin ψd = −8, 549 − (−45, 596) = 37, 047 [kN] , (8.31) ohybov´ y moment Md poˇc´ıtan´ y zleva je d´an souˇctem vˇsech moment˚ u p˚ usob´ıc´ıch na bod d zleva dle znam´enkov´e konvence pro ohybov´e momenty (kladn´ y natahuje spodn´ı vl´akna) f MdL ≡ Md = −Raz ·(3+xd )−Q·( −zd ) = −20, 833·5−50·0, 278 = −118, 0566 [kNm] . (8.32) 2 Pozn´ amka: Rovnice (8.30) a (8.31) jsou z´aroveˇ n odvozen´ım transformaˇcn´ıch vztah˚ u (8.5) a (8.6).
97
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 1 8.1. PR Alternativn´ı zp˚ usob v´ ypoˇ ctu vnitˇ rn´ıch sil v bodu d, neboli kontrola rovnov´ ahy uvolnˇ en´ ych ˇ c´ ast´ı prutu Tento v´ ypoˇcet je uveden pouze pro doplnˇen´ı. Obecnˇe plat´ı, je-li konstrukce v rovnov´aze, mus´ı ´ cinek pomyslnˇe odstranˇen´ b´ yt rovnˇeˇz v rovnov´aze kaˇzd´a jej´ı pomyslnˇe oddˇelen´a ˇc´ast. Uˇ ych ˇc´ast´ı nahrazuj´ı vnitˇrn´ı s´ıly shodnˇe jako pˇri uvolnˇen´ı prut˚ u lomen´ ych nosn´ık˚ u (kap 6).
Obr´azek 8.3: Rovnov´aha ˇca´st´ı oblouku pˇr´ıkladu 8.1
V bodu d je veden pomysln´ y ˇrez konstrukc´ı dle obr. 8.3. Na lev´e ˇc´asti oblouku je u ´ˇcinek odstranˇen´e prav´e ˇca´sti nahrazen pomocn´ ymi vnitˇrn´ımi silami Sd , Hd a ohybov´ ym momentem Md dle v´ yˇse uveden´e znam´enkov´e konvence. Na prav´e ˇca´sti oblouku je u ´ˇcinek odstranˇen´e lev´e ˇca´sti nahrazen rovnˇeˇz pomocn´ ymi vnitˇrn´ımi silami Sd , Hd a ohybov´ ym momentem Md dle v´ yˇse uveden´e znam´enkov´e konvence (obr. 8.3). Pro obˇe uvolnˇen´e ˇca´sti oblouku mus´ı b´ yt splnˇeny podm´ınky rovnov´ahy, ve kter´ ych vystupuj´ı nezn´am´e sloˇzky vnitˇrn´ıch sil Sd , Hd a Md . ˇ sen´ım tˇechto rovnic se z´ıskaj´ı hodnoty vnitˇrn´ıch sil. N´ıˇze uveden´e rovnice jsou vyj´adˇren´e ve Reˇ znam´enkov´e konvenci shodn´e s podm´ınkami rovnov´ahy pˇri v´ ypoˇctu reakc´ı. Podm´ınky rovnov´ahy lev´e ˇca´sti (´ usek ad): X
Fix = 0 : Q + Hd = 0 10 · 5 + Hd = 0 Hd = −50 [kN] ,
X
(8.33)
Fiz = 0 : Raz + Sd = 0 20, 833 + Sd = 0 Sd = −20, 833 [kN] ,
98
(8.34)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 1 8.1. PR
X
Mid = 0 : f − z d ) + Md = 0 2 20, 833 · 5 + 50 · 0, 278 + Md = 0 Md = −118, 0566 [kN] . Raz · (3 + xd ) + Q · (
X
(8.35)
Mia = 0 : (kontrola) f + Md = 0 2 − (−20, 833) · 5 − (−50) · 2, 778 − 50 · 2, 5 + (−118, 0566) = 0 . − Sd · (3 + xd ) − Hd · (f − zd ) − Q ·
(8.36)
Podm´ınky rovnov´ahy prav´e ˇc´asti (´ usek bd): X Fix = 0 : − Rbx − Hd = 0 50 − Hd = 0 Hd = −50 [kN] , X
Fiz = 0 : − Rbz − Sd = 0 − 20, 833 − Sd = 0 Sd = −20, 833 [kN] ,
X
(8.38)
Mid = 0 : Rbz · (3 − xd ) − Rbx · (f − zd ) − Md = 0 20, 833 · 1 − 50 · 2, 778 − Md = 0 Md = −118, 0566 [kNm] .
X
(8.37)
(8.39)
Mib = 0 : (kontrola) − Sd · (3 − xd ) + Hd · (f − zd ) − Md = 0 − (−20, 833) · 1 + (−50) · 2, 778 − (−118, 0566) = 0 .
99
(8.40)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 2 8.2. PR
8.2
Pˇ r´ıklad - oblouk 2
Spoˇc´ıtejte vnitˇrn´ı s´ıly v bodˇe c zakˇriven´eho nosn´ıku dle obr´azku 8.4 nahoˇre. Hodnoty reakc´ı jsou pˇrevzaty z kapitoly 3.
8.2.1
ˇ sen´ı - oblouk 2 Reˇ
Rozbor geometrie Souˇradnice podporov´ ych bod˚ u a a b urˇcen´ ych ze zad´an´ı konstrukce: xa = −5 [m] , za = 4 [m] ,
xb = 5 [m] , zb = 4 [m] ,
(8.41)
rovnice paraboly dle (8.1): k=
za 4 zb = 2 = = 0, 16 [m−1 ] , 2 2 xa xb (±5) z = k · x2 = 0, 16 · x2 [m] ,
(8.42) (8.43)
rovnice sklonu stˇrednice prutu dle (8.2) tg ψ =
dz = 2k · x = 2 · 0, 16 · x = 0, 32 · x [−] , dx
(8.44)
z-ov´a souˇradnice bodu c zc dle (8.43), je-li dle zad´an´ı konstrukce xc = 2, 5 [m] zc = k · x2c = 0, 16 · 2, 52 = 1, 0 [m] ,
(8.45)
sklon stˇrednice prutu v bodu c dle (8.44) tg ψc = 2k · xc = 0, 32 · xc = 0, 32 · 2, 5 = 0, 8 [−] ,
(8.46)
goniometrick´e funkce u ´hlu sklonu stˇrednice ψc v bodu c dle (8.3) a (8.4) 1
= 0, 7809 [−] ,
(8.47)
tg ψc sin ψc = p = 0, 6247 [−] . 1 + tg2 ψc
(8.48)
cos ψc = p
1 + tg2 ψc
100
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 2 8.2. PR
Obr´azek 8.4: Sch´ema konstrukce pˇr´ıkladu 8.2 101
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 2 8.2. PR V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu c z prav´ e strany Sch´ema pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil Sc ,Hc dle v´ yˇse uveden´e znam´enkov´e konvence i sch´ema vnitˇrn´ıch sil Nc ,Vc ,Mc viz obr. 8.4 uprostˇred. Pomocn´a svisl´a vnitˇrn´ı s´ıla Sc poˇc´ıtan´a z prav´e strany ScP ≡ Sc = −Rbz + q · (5 − xc ) = −50 + 10 · 2, 5 = −25 [kN] ,
(8.49)
pomocn´a horizont´aln´ı vnitˇrn´ı s´ıla Hc je nulov´a, nebot’ se zde nevyskytuj´ı ˇz´adn´e s´ıly ve smˇeru osy x. HcP ≡ Hc = 0 [kN] . (8.50) Rozklad pomocn´e svisl´e vnitˇrn´ı s´ıly Sc do sloˇzek kolm´e Sc⊥ a rovnobˇeˇzn´e se stˇrednic´ı oblouku: Sc⊥ = Sc · cos ψc = −25 · 0, 7809 = −19, 5225 [kN] ,
(8.51)
Sck = Sc · sin ψc = −25 · 0, 6247 = −15, 6175 [kN] ,
(8.52)
rozklad pomocn´e horizont´aln´ı vnitˇrn´ı s´ıly Hc do sloˇzek kolm´e Hc⊥ a rovnobˇeˇzn´e Hck se stˇrednic´ı oblouku nen´ı tˇreba poˇc´ıtat, nebot’ jsou nulov´e (Hc = 0, (8.50)).
Norm´ alov´ a s´ıla Nc je d´ana souˇctem vˇsech rovnobˇeˇzn´ ych pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil v bodu c dle znam´enkov´e konvence pro norm´alov´e s´ıly (kladn´a vede ven z prutu) NcP ≡ Nc = Sck + Hck = Sc · sin ψc + 0 = −15, 6175 [kN] ,
(8.53)
posouvaj´ıc´ı s´ıla Vc je d´ana souˇctem vˇsech kolm´ ych pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil v bodu c dle znam´enkov´e konvence pro posouvaj´ıc´ı s´ıly (zprava je kladn´a smˇerem dol˚ u) VcP ≡ Vc = Sc⊥ − Hc⊥ = Sc · cos ψc − 0 = −19, 5225 [kN] ,
(8.54)
ohybov´ y moment Mc poˇc´ıtan´ y zprava je d´an souˇctem vˇsech moment˚ u p˚ usob´ıc´ıch na bod c zprava dle znam´enkov´e konvence pro ohybov´e momenty (kladn´ y natahuje spodn´ı vl´akna) Mc P ≡ Mc = Rbz · (5 − xc ) − q ·
(5 − xc )2 2, 52 = 50 · 2, 5 − 10 · = 93, 75 [kNm] . 2 2
Pozn´ amka: Rovnice (8.53) a (8.54) jsou z´aroveˇ n odvozen´ım transformaˇcn´ıch vztah˚ u (8.5) a (8.6).
102
(8.55)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 2 8.2. PR V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu c z lev´ e strany Sch´ema pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil Sc ,Hc dle v´ yˇse uveden´e znam´enkov´e konvence i sch´ema vnitˇrn´ıch sil Nc ,Vc ,Mc viz obr. 8.4 dole. Pomocn´a svisl´a vnitˇrn´ı s´ıla Sc poˇc´ıtan´a z lev´e strany ScL ≡ Sc = Raz − q · (5 + xc ) = 50 − 10 · 7, 5 = −25 [kN] ,
(8.56)
pomocn´a horizont´aln´ı vnitˇrn´ı s´ıla Hc je nulov´a, nebot’ se zde nevyskytuj´ı ˇz´adn´e s´ıly ve smˇeru osy x. HcL ≡ Hc = 0 [kN] . (8.57) Rozklad pomocn´e svisl´e vnitˇrn´ı s´ıly Sc do sloˇzek kolm´e Sc⊥ a rovnobˇeˇzn´e Sck se stˇrednic´ı oblouku: Sc⊥ = Sc · cos ψd = −25 · 0, 7809 = −19, 5225 [kN] , (8.58) Sck = Sc · sin ψc = −25 · 0, 6247 = −15, 6175 [kN] ,
(8.59)
rozklad pomocn´e horizont´aln´ı vnitˇrn´ı s´ıly Hc do sloˇzek kolm´e Hc⊥ a rovnobˇeˇzn´e Hck se stˇrednic´ı oblouku nen´ı tˇreba poˇc´ıtat, nebot’ jsou nulov´e (Hc = 0, (8.57)). Norm´ alov´ a s´ıla Nc je d´ana souˇctem vˇsech rovnobˇeˇzn´ ych pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil v bodu c dle znam´enkov´e konvence pro norm´alov´e s´ıly (kladn´a vede ven z prutu) NcL ≡ Nc = Sdk + Hdk = Sc · sin ψc + 0 = −15, 6175 [kN] ,
(8.60)
posouvaj´ıc´ı s´ıla Vc je d´ana souˇctem vˇsech kolm´ ych pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil v bodu c dle znam´enkov´e konvence pro posouvaj´ıc´ı s´ıly (zleva je kladn´a smˇerem nahoru) VcL ≡ Vc = Sd⊥ − Hc⊥ = Sc · cos ψc − 0 = −19, 5225 [kN] ,
(8.61)
ohybov´ y moment Mc poˇc´ıtan´ y zleva je d´an souˇctem vˇsech moment˚ u p˚ usob´ıc´ıch na bod c zleva dle znam´enkov´e konvence pro ohybov´e momenty (kladn´ y natahuje spodn´ı vl´akna) McL ≡ Mc = Raz · (5 + xc ) − q ·
(5 + xc )2 7, 52 − Rax · (f − zc ) = 50 · 7, 5 − 10 · − 0 = 93, 75 [kNm] . 2 2 (8.62)
Pozn´ amka: Rovnice (8.60) a (8.61) jsou z´aroveˇ n odvozen´ım transformaˇcn´ıch vztah˚ u (8.5) a (8.6).
103
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 2 8.2. PR Alternativn´ı zp˚ usob v´ ypoˇ ctu vnitˇ rn´ıch sil v bodu c, neboli kontrola rovnov´ ahy uvolnˇ en´ ych ˇ c´ ast´ı prutu Tento v´ ypoˇcet je uveden pouze pro doplnˇen´ı. Obecnˇe plat´ı, je-li konstrukce v rovnov´aze, mus´ı ´ cinek pomyslnˇe odstranˇen´ b´ yt rovnˇeˇz v rovnov´aze kaˇzd´a jej´ı pomyslnˇe oddˇelen´a ˇc´ast. Uˇ ych ˇc´ast´ı nahrazuj´ı vnitˇrn´ı s´ıly shodnˇe jako pˇri uvolnˇen´ı prut˚ u lomen´ ych nosn´ık˚ u (kap 6). V bodu c je veden pomysln´ y ˇrez konstrukc´ı dle obr. 8.3. Na lev´e ˇca´sti oblouku je u ´ˇcinek odstranˇen´e prav´e ˇca´sti nahrazen pomocn´ ymi vnitˇrn´ımi silami Sc , Hc a ohybov´ ym momentem Mc dle v´ yˇse uveden´e znam´enkov´e konvence. Na prav´e ˇc´asti oblouku je u ´ˇcinek odstranˇen´e lev´e ˇc´asti nahrazen rovnˇeˇz pomocn´ ymi vnitˇrn´ımi silami Sc , Hc a ohybov´ ym momentem Mc dle v´ yˇse uveden´e znam´enkov´e konvence (obr. 8.5). Pro obˇe uvolnˇen´e ˇca´sti oblouku mus´ı b´ yt splnˇeny podm´ınky rovnov´ahy, ve kter´ ych vystupuj´ı nezn´am´e sloˇzky vnitˇrn´ıch sil Sc , Hc a Mc . ˇ sen´ım tˇechto rovnic se z´ıskaj´ı hodnoty vnitˇrn´ıch sil. N´ıˇze uveden´e rovnice jsou vyj´adˇren´e ve Reˇ znam´enkov´e konvenci shodn´e s podm´ınkami rovnov´ahy pˇri v´ ypoˇctu reakc´ı.
Obr´azek 8.5: Rovnov´aha ˇca´st´ı oblouku pˇr´ıkladu 8.2
Podm´ınky rovnov´ahy lev´e ˇca´sti (´ usek ac): X
Fix = 0 : Rax + Hc = 0 0 + Hc = 0 Hc = 0 [kN] ,
X
(8.63)
Fiz = 0 : − Raz + q · (5 + xc ) + Sc = 0 − 50 + 10 · 7, 5 + Sc = 0 Sc = −25, 0 [kN] ,
104
(8.64)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 2 8.2. PR
X
Mic = 0 : − Raz · (5 + xc ) + q ·
(5 + xc )2 − Hc · (f − zc ) + Mc = 0 2
7, 52 − 50 · 7, 5 + 10 · − 0 + Mc = 0 2 Mc = 93, 75 [kNm] . X
(8.65)
Mia = 0 : (kontrola) − Ss · (5 + xc ) − Hc · (f − zc ) − q · − (−25) · 7, 5 − 0 − 10 ·
7, 52 + Mc = 0 2
(8.66)
7, 52 + 93, 75 = 0 . 2
Podm´ınky rovnov´ahy prav´e ˇc´asti (´ usek bc): X Fix = 0 : (8.67)
− Hc = 0 Hc = 0 [kN] , X
Fiz = 0 : q · (5 − xc ) − Rbz − Sc = 0 10 · 2, 5 − 50 − Sc = 0 Sc = −25, 0 [kN] ,
X
Mic = 0 : Rbz · (5 − xc ) − q ·
(5 − xc )2 − Mc = 0 2
2, 52 50 · 2, 5 − 10 · − Mc = 0 2 Mc = 93, 75 [kNm] . X
(8.68)
(8.69)
Mib = 0 : (kontrola) − Sc · (5 − xc ) + Hc · (f − zc ) + q · − (−25, 0) · 2, 5 + 0 + 10 ·
105
(5 − xc )2 − Mc = 0 2
2, 52 − 93, 75 = 0 . 2
(8.70)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 3 8.3. PR
8.3
Pˇ r´ıklad - oblouk 3
Spoˇc´ıtejte vnitˇrn´ı s´ıly v bodech c a d zakˇriven´eho nosn´ıku dle obr´azku 8.6. Hodnoty reakc´ı jsou pˇrevzaty z kapitoly 3.
Obr´azek 8.6: Sch´ema konstrukce pˇr´ıkladu 8.3
8.3.1
ˇ sen´ı - oblouk 3 Reˇ
Rozbor geometrie Souˇradnice podporov´ ych bod˚ u a a b urˇcen´ ych ze zad´an´ı konstrukce: xa = −3 [m] , za = 4 [m] ,
xb = 3 [m] , zb = 4 [m] ,
(8.71)
rovnice paraboly dle (8.1): k=
zb 4 za = 2 = = 0, 44 [m−1 ] , 2 xa xb (±3)2 z = k · x2 = 0, 44 · x2 [m] ,
(8.72)
(8.73)
rovnice sklonu stˇrednice prutu dle (8.2) tg ψ =
dz = 2k · x = 2 · 0, 44 · x = 0, 88 · x [−] , dx
(8.74)
z-ov´a souˇradnice bodu c zc dle (8.73), je-li dle zad´an´ı konstrukce xc = 1, 5 [m] zc = k · x2c = 0, 44 · 1, 52 = 1, 0 [m] ,
106
(8.75)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 3 8.3. PR
sklon stˇrednice prutu v bodu c dle (8.74) tg ψc = 2k · xc = 0, 88 · xc = 0, 88 · 1, 5 = 1, 33 [−] ,
(8.76)
goniometrick´e funkce u ´hlu sklonu stˇrednice ψc v bodu c dle (8.3) a (8.4) cos ψc = p
1
= 0, 60 [−] ,
(8.77)
tg ψc = 0, 80 [−] . sin ψc = p 1 + tg2 ψc
(8.78)
1 + tg2 ψc
z-ov´a souˇradnice bodu d zd dle (8.73), je-li dle zad´an´ı konstrukce xc = 2, 0 [m] zd = k · x2d = 0, 44 · 2, 02 = 1, 77 [m] ,
(8.79)
sklon stˇrednice prutu v bodu d dle (8.74) tg ψd = 2k · xd = 0, 88 · xd = 0, 88 · 2, 0 = 1, 77 [−] ,
(8.80)
goniometrick´e funkce u ´hlu sklonu stˇrednice ψd v bodu d dle (8.3) a (8.4) cos ψd = p sin ψd = p
1 1 + tg2 ψd tg ψd
1 + tg2 ψd
= 0, 49026 [−] ,
(8.81)
= 0, 871576 [−] .
(8.82)
V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu c Sch´ema pro v´ ypoˇcet vnitˇrn´ıch sil Sc ,Hc dle v´ yˇse uveden´e znam´enkov´e konvence i sch´ema vnitˇrn´ıch sil Nc ,Vc ,Mc z lev´e i prav´e strany viz obr. 8.7.V´ ypoˇcet je jednoduch´ y, proto jsou zde uvedeny pouze v´ ysledky: Hc = −10, 0 [kN] , Nc = −3, 037 [kN] ,
Sc = 3, 7037 [kN] ,
Vc = 10, 22 [kN] ,
Mc = 13, 33 [kNm] .
(8.83) (8.84)
V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu d V´ ypoˇcet je sloˇzitˇejˇs´ı, nebot’ v bodu d je osamˇel´e zat´ıˇzen´ı vodorovnou silou F . V tomto bodu tud´ıˇz doch´az´ı ke skokov´e zmˇenˇe horizont´aln´ı s´ıly a stejnˇe jako u pˇr´ım´ ych prut˚ u, i tady je nutno spoˇc´ıtat 2 hodnoty t´eto s´ıly: Hda v limitn´ı vzd´alenosti (limitnˇe) vlevo od s´ıly F a Hdb limitnˇe vpravo od s´ıly F . Sd i Md maj´ı limitnˇe vlevo i vpravo od bodu d nemˇenn´e hodnoty (Sda ≡ Sdb ≡ Sd ), (Mda ≡ Mdb ≡ Md ). V´ ypoˇcet lze opˇet prov´est z obou stran, coˇz je v t´eto kapitole v r´amci procviˇcen´ı provedeno, pˇriˇcemˇz postaˇcuj´ıc´ı je v´ ypoˇcet pouze z jedn´e strany.
107
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 3 8.3. PR
Obr´azek 8.7: Sch´ema ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 8.3 - bod c
108
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 3 8.3. PR V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu d z lev´ e strany V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu da z lev´ e strany Sledovan´ y bod da leˇz´ı vlevo-v limitn´ı vzd´alenosti (limitnˇe) od p˚ usobiˇstˇe s´ıly F , tud´ıˇz na u ´seku a − d. S´ıla F tedy p˚ usob´ı na u ´seku d − b. Sch´ema ˇreˇsen´ı je na obr´azku 8.8 nahoˇre. L Sda ≡ SdL = Raz = 3, 7037 [kN] , L Hda
= −Rax = −10, 0 [kN] ,
(8.85) (8.86)
Sd⊥ = Sd · cos ψd = 3, 7037 · 0, 49026 = 1, 8158 [kN] ,
(8.87)
Sdk = Sd · sin ψd = 3, 7037 · 0, 871576 = 3, 2281 [kN] ,
(8.88)
Hdak = Hda · cos ψd = −10, 0 · 0, 49026 = −4, 9026 [kN] ,
(8.89)
Hda⊥ = Hda · sin ψd = −10, 0 · 0, 87158 = −8, 7158 [kN] ,
(8.90)
L = Sdk + Hdak = 3, 2281 + (−4, 9026) = −1, 675 [kN] , Nda
(8.91)
L Vda = Sd⊥ − Hda⊥ = 1, 8158 − (−8, 7158) = 10, 532 [kN] ,
(8.92)
L L Mda ≡ Mdb ≡ MdL = Raz·(3+xd )−Rax ·(f −zd ) = Raz·5−Rax ·2, 22 = −3, 7037 [kNm] . (8.93)
V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu db z lev´ e strany Sledovan´ y bod db leˇz´ı vpravo-v limitn´ı vzd´alenosti (limitnˇe) od p˚ usobiˇstˇe s´ıly F , tud´ıˇz na u ´seku b − d. S´ıla F tedy p˚ usob´ı na u ´seku d − a. Sch´ema ˇreˇsen´ı je na obr´azku 8.8 dole. L Sdb ≡ SdL = Raz = 3, 7037 [kN] ,
(8.94)
L Hdb = −Rax + F = 0 [kN] ,
(8.95)
Sd⊥ = Sd · cos ψd = 3, 7037 · 0, 49026 = 1, 8158 [kN] ,
(8.96)
Sdk = Sd · sin ψd = 3, 7037 · 0, 871576 = 3, 2281 [kN] ,
(8.97)
Hdak = Hda · cos ψd = 0 [kN] ,
(8.98)
Hda⊥ = Hda · sin ψd = 0 [kN] ,
(8.99)
L = Sdk + Hdak = 3, 2281 + 0 = 3, 2281 [kN] , Ndb
(8.100)
VdbL = Sd⊥ − Hdb⊥ = 1, 8158 − 0 = 1, 8158 [kN] ,
(8.101)
L L Mdb ≡ Mda ≡ MdL = Raz · (3 + xd ) − Rax · (f − zd ) = −3, 7037 [kNm] .
109
(8.102)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 3 8.3. PR
Obr´azek 8.8: Sch´ema ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 8.3 - bod d, ˇreˇsen´ı zleva
110
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 3 8.3. PR V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu d z prav´ e strany e strany V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu db z prav´ Sledovan´ y bod db leˇz´ı vpravo-v limitn´ı vzd´alenosti (limitnˇe) od p˚ usobiˇstˇe s´ıly F , tud´ıˇz na u ´seku b − d. S´ıla F tedy p˚ usob´ı na u ´seku d − a. Sch´ema ˇreˇsen´ı je na obr´azku 8.9 nahoˇre. P Sdb ≡ SdP = Rbz = 3, 7037 [kN] , L Hdb
= 0 [kN] ,
(8.103) (8.104)
Sd⊥ = Sd · cos ψd = 3, 7037 · 0, 49026 = 1, 8158 [kN] ,
(8.105)
Sdk = Sd · sin ψd = 3, 7037 · 0, 871576 = 3, 2281 [kN] ,
(8.106)
Hdb⊥ = Hdb · sin ψd = 0 [kN] ,
(8.107)
Hdbk = Hdb · cos ψd = 0 [kN] ,
(8.108)
P = Sdk + Hdbk = 3, 2281 + 0 = 3, 2281 [kN] , Ndb
(8.109)
VdbP = Sd⊥ − Hdb⊥ = 1, 8158 − 0 = 1, 8158 [kN] ,
(8.110)
P P Mdb ≡ Mda ≡ MdP = −Rbz · (3 − xd ) = −3, 7037 [kNm] .
(8.111)
e strany V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu da z prav´ Sledovan´ y bod da leˇz´ı vlevo-v limitn´ı vzd´alenosti (limitnˇe) od p˚ usobiˇstˇe s´ıly F , tud´ıˇz na u ´seku a − d. S´ıla F tedy p˚ usob´ı na u ´seku d − b. Sch´ema ˇreˇsen´ı je na obr´azku 8.9 dole. P Sda ≡ SdL = Rbz = 3, 7037 [kN] , P Hda
= −F = −10, 0 [kN] ,
(8.112) (8.113)
Sd⊥ = Sd · cos ψd = 3, 7037 · 0, 49026 = 1, 8158 [kN] ,
(8.114)
Sdk = Sd · sin ψd = 3, 7037 · 0, 871576 = 3, 2281 [kN] ,
(8.115)
Hdak = Hda · cos ψd = −10, 0 · 0, 49026 = −4, 9026 [kN] ,
(8.116)
Hda⊥ = Hda · sin ψd = −10, 0 · 0, 87158 = −8, 7158 [kN] ,
(8.117)
P = Sdk + Hdak = 3, 2281 + (−4, 9026) = −1, 675 [kN] , Nda
(8.118)
P Vda = Sd⊥ − Hda⊥ = 1, 8158 − (−8, 7158) = 10, 532 [kN] ,
(8.119)
P P Mda ≡ Mdb ≡ MdP = −Rbz · (3 − xd ) = −3, 7037 [kNm] .
(8.120)
111
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 3 8.3. PR
Obr´azek 8.9: Sch´ema ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 8.3 - bod d, ˇreˇsen´ı zprava
112
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 3 8.3. PR Kontroly rovnov´ ahy ˇ c´ ast´ı oblouk˚ u Jedn´a se o doplˇ nkov´e v´ ypoˇcty. Kontrola rovnov´ ahy u ´ seku a − da (obr. 8.10 vlevo nahoˇ re) X Fix = 0 : Rax + Hda = 0 10 + (−10) = 0, X
X
X
(8.121)
Fiz = 0 : − Raz + Sd = 0 − 3, 7 + 3, 7 = 0,
(8.122)
− Raz · 5 + Rax · 2, 22 + Mc = 0 − 3, 7037 · 5 + 10 · 2, 22 + (−3, 7037) = 0,
(8.123)
Mid = 0 :
Mia = 0 : (alternativa) − Sd · 5 − Hda · 2, 22 + Md = 0 − 3, 7037 · 5 − (−10) · 2, 22 + (−3, 7037) = 0.
(8.124)
Kontrola rovnov´ ahy u ´ seku b − da (obr. 8.10 vpravo nahoˇ re) X Fix = 0 : − F − Hda = 0 (−10) − (−10) = 0, X
X
X
(8.125)
Fiz = 0 : Rbz − Sd = 0 3, 7 − 3, 7 = 0,
(8.126)
− Rbz · 1 − Md = 0 − 3, 7037 · 1 − (−3, 7037) = 0,
(8.127)
Mid = 0 :
Mib = 0 : (alternativa) − Sd · 1 + Hda · 2, 22 + F · 2, 22 − Md = 0 − 3, 7037 · 1 + (−10) · 2, 22 + 10 · 2, 22 − (−3, 7037) = 0.
113
(8.128)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 3 8.3. PR
Obr´azek 8.10: Rovnov´aha ˇc´ast´ı oblouku pˇr´ıkladu 8.3
114
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 3 8.3. PR Kontrola rovnov´ ahy u ´ seku a − db (obr. 8.10 vlevo dole) X
Fix = 0 : Rax + Hdb − F = 0 10 + 0 − 10 = 0,
X
X
X
(8.129)
Fiz = 0 : − Raz + Sd = 0 − 3, 7 + 3, 7 = 0,
(8.130)
− Raz · 5 + Rax · 2, 22 + Mc = 0 − 3, 7037 · 5 + 10 · 2, 22 + (−3, 7037) = 0,
(8.131)
Mid = 0 :
Mia = 0 : (alternativa) − Sd · 5 − Hdb · 2, 22 + F · 2, 22 + Md = 0 − 3, 7037 · 5 − 0 + 10 · 2, 22 + (−3, 7037) = 0.
(8.132)
Kontrola rovnov´ ahy u ´ seku b − db (obr. 8.10 vpravo dole) X
X
X
X
Fix = 0 : − Hdb = 0 − 0 = 0,
(8.133)
Rbz − Sd = 0 3, 7 − 3, 7 = 0,
(8.134)
− Rbz · 1 − Md = 0 − 3, 7037 · 1 − (−3, 7037) = 0,
(8.135)
Fiz = 0 :
Mid = 0 :
Mib = 0 : (alternativa) − Sd · 1 + Hdb · 2, 22 − Md = 0 − 3, 7037 · 1 + 0 − (−3, 7037) = 0.
115
(8.136)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 4 8.4. PR
8.4
Pˇ r´ıklad - oblouk 4
Spoˇc´ıtejte vnitˇrn´ı s´ıly v bodech c a d zakˇriven´eho nosn´ıku dle obr´azku 8.11. Hodnoty reakc´ı jsou pˇrevzaty z kapitoly 3. ˇ sen´ı - oblouk 4 Reˇ Rozbor geometrie xa = −3 [m] , za = 4 [m] , k=
xb = 3 [m] , zb = 4 [m] ,
zb za = 2 = 0, 44 [m−1 ] , 2 xa xb
(8.137) (8.138)
z = k · x2 = 0, 44 · x2 [m] ,
(8.139)
tg ψ = 2k · x = 0, 88 · x [−] ,
(8.140)
zc = k · x2c = 0, 44 [m] ,
(8.141)
tg ψc = 2k · xc = 0, 88 [−] ,
(8.142)
cos ψc = p
1
= 0, 7474 [−] ,
(8.143)
tg ψc = 0, 6644 [−] . sin ψc = p 1 + tg2 ψc
(8.144)
zd = k · x2d = 1, 77 [m] ,
(8.145)
tg ψd = 2k · xd = 1, 77 [−] ,
(8.146)
cos ψd = p sin ψd = p
1 + tg2 ψc
1 1 + tg2 ψd tg ψd
1 + tg2 ψd
V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu c Sch´ema pro v´ ypoˇcet vnitˇrn´ıch sil viz obr. 8.11.
116
= 0, 49026 [−] ,
(8.147)
= 0, 871576 [−] .
(8.148)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 4 8.4. PR
Obr´azek 8.11: Sch´ema konstrukce pˇr´ıkladu 8.4
117
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 4 8.4. PR V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu c z prav´ e strany Sch´ema pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil Sc ,Hc dle v´ yˇse uveden´e znam´enkov´e konvence viz obr. 8.11 uprostˇred. ScP ≡ Sc = −Rbz + q · 2 = −2, 5 [kN] , HcP
≡ Hc = 0 [kN] .
(8.149) (8.150)
Sc⊥ = Sc · cos ψc = −2, 5 · 0, 7474 = −1, 8685 [kN] ,
(8.151)
Sck = Sc · sin ψc = −2, 5 · 0, 6644 = −1, 661 [kN] ,
(8.152)
NcP = Sck + Hck = Sck + 0 = −1, 661 [kN] ,
(8.153)
VcP = Sc⊥ − Hc⊥ = Sc⊥ − 0 = −1, 869 [kN] ,
(8.154)
Mc P = Rbz · 2 − q ·
(2)2 = 25 [kNm] . 2
(8.155)
V´ ypoˇ cet vnitˇ rn´ıch sil v bodu c z lev´ e strany Sch´ema pomocn´ ych vnitˇrn´ıch sil Sc ,Hc dle v´ yˇse uveden´e znam´enkov´e konvence viz obr. 8.11 dole. ScL ≡ Sc = Raz − q · 1 = −2, 5 [kN] ,
(8.156)
HcL ≡ Hc = 0 [kN] .
(8.157)
Sc⊥ = Sc · cos ψc = −2, 5 · 0, 7474 = −1, 8685 [kN] ,
(8.158)
Sck = Sc · sin ψc = −2, 5 · 0, 6644 = −1, 661 [kN] ,
(8.159)
NcL = Sck + Hck = Sck + 0 = −1, 661 [kN] ,
(8.160)
VcP = Sc⊥ − Hc⊥ = Sc⊥ − 0 = −1, 869 [kN] ,
(8.161)
Mc P = Raz · 4 − q ·
(1)2 = 25 [kNm] . 2
(8.162)
Sd = −12, 5 [kN],
(8.163)
Hodnoty vnitˇ rn´ıch sil v bodu d Hd = 0 [kN] , Nd = −10, 895 [kN] ,
Vd = −6, 128, [kN] ,
118
Md = 17, 5 [kNm] .
(8.164)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 5 8.5. PR
8.5
Pˇ r´ıklad - oblouk 5
Spoˇc´ıtejte vnitˇrn´ı s´ıly v bodech c a d zakˇriven´eho nosn´ıku dle obr´azku 8.12. Hodnoty reakc´ı jsou pˇrevzaty z kapitoly 3.
Obr´azek 8.12: Sch´ema konstrukce pˇr´ıkladu 8.5
8.5.1
ˇ sen´ı - oblouk 5 Reˇ
V´ ysledky ˇ reˇ sen´ı pro bod c k = 0, 25 [m−1 ] ,
zc = 0, 25 [m] ,
sin ψc = 0, 4472 [−] ,
Hc = −37, 5 [kN] ,
Nc = −12, 298 [kN] ,
cos ψc = 0, 8944 [−] ,
Sc = 10, 0 [kN] ,
Vc = −24, 596 [kN] ,
(8.165) (8.166)
Mc = −100, 3125 [kNm] .
(8.167)
sin ψd = cos ψd = 0, 7071 [−] ,
(8.168)
Sd = 10, 0 [kN] ,
(8.169)
V´ ysledky ˇ reˇ sen´ı pro bod d Sch´ema ˇreˇsen´ı z prav´e i lev´e strany viz obr´azek 8.13. k = 0, 25 [m−1 ] ,
zd = 1, 0 [m] ,
Hd = −30, 0 [kN] , Nd = 28, 28 [kN] ,
Vd = −14, 142 [kN] ,
119
Md = −65, 0 [kNm] .
(8.170)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 5 8.5. PR
Obr´azek 8.13: Sch´ema ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 8.5 - bod d
120
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 6 8.6. PR
8.6
Pˇ r´ıklad - oblouk 6
Spoˇc´ıtejte vnitˇrn´ı s´ıly v bodech c, d a e zakˇriven´eho nosn´ıku dle obr´azku 8.14. Hodnoty reakc´ı jsou pˇrevzaty z kapitoly 3.
Obr´azek 8.14: Sch´ema konstrukce pˇr´ıkladu 8.6
8.6.1
ˇ sen´ı - oblouk 6 Reˇ
V´ ysledky ˇ reˇ sen´ı pro bod c k = 0, 44 [m−1 ] ,
zc = 1, 0 [m] ,
sin ψc = 0, 80 [−] ,
Hc = 0 [kN] , Nc = −1, 33 [kN] ,
cos ψc = 0, 60 [−] ,
Sc = 1, 66 [kN] ,
Vc = 0, 99 [kN] ,
Mc = 6, 66 [kNm] .
(8.171) (8.172) (8.173)
V´ ysledky ˇ reˇ sen´ı pro bod e k = 0, 44 [m−1 ] ,
ze = 2, 77 [m] ,
sin ψe = 0, 91192 [−] ,
He = 0 [kN] , Ne = −7, 5993 [kN] ,
cos ψe = 0, 41036 [−] , (8.174)
Se = −8, 33 [kN] ,
Ve = −3, 4197 [kN] ,
121
Me = 4, 166 [kNm] .
(8.175) (8.176)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 6 8.6. PR V´ ysledky ˇ reˇ sen´ı pro bod d ˇ sen´ı vnitˇrn´ıch sil bodu d je podobn´e s ˇreˇsen´ım bodu d v pˇr´ıkladu 8.3. Prut je v tomto m´ıstˇe Reˇ zat´ıˇzen svisl´ ym osamˇel´ ym zat´ıˇzen´ım, coˇz zp˚ usob´ı skokovou zmˇenu svisl´e pomocn´e vnitˇrn´ı s´ıly, kterou je nutn´e definovat limitnˇe vlevo Sda i limitnˇe vpravo Sdb od bodu d. Skokov´a zmˇena se projev´ı tak´e v norm´alov´e Nda , Ndb i posouvaj´ıc´ı s´ıle Vda , Vdb . Horizont´aln´ı pomocn´a vnitˇrn´ı s´ıla Hd i ohybov´ y moment Md jsou v bodu d nemˇenn´e. Sch´ema ˇreˇsen´ı bodu da i db z prav´e strany viz obr´azek 8.15, z lev´e strany viz obr´azek 8.16. k = 0, 44 [m−1 ] ,
zd = 1, 77 [m] ,
sin ψd = 0, 87158 [−] ,
cos ψd = 0, 49026 [−] , (8.177)
Hd = 0 [kN] ,
(8.178)
Md = 8, 33 [kNm] .
(8.179)
Sda = 1, 66 [kN] ,
Sdb = −8, 33 [kN] ,
(8.180)
Nda = 1, 4556 [kN] ,
Ndb = −7, 2633 [kN] ,
(8.181)
Vda = 0, 8188 [kN] ,
Vdb = −4, 0858 [kN] .
(8.182)
122
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 6 8.6. PR
Obr´azek 8.15: Sch´ema ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 8.6 - bod d, ˇreˇsen´ı zprava
123
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 6 8.6. PR
Obr´azek 8.16: Sch´ema ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 8.6 - bod d, ˇreˇsen´ı zleva
124
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 7 8.7. PR
8.7
Pˇ r´ıklad - oblouk 7
Spoˇc´ıtejte vnitˇrn´ı s´ıly po cel´e d´elce zakˇriven´eho nosn´ıku dle obr´azku 8.17. Pr˚ ubˇehy vnitˇrn´ıch sil vykreslete. Hodnoty reakc´ı jsou pˇrevzaty z kapitoly 3.
Obr´azek 8.17: Sch´ema konstrukce pˇr´ıkladu 8.7
8.7.1
ˇ sen´ı - oblouk 7 Reˇ
Obecn´ e rovnice Je zad´ano definovat vnitˇrn´ı s´ıly po cel´e d´elce zakˇriven´eho nosn´ıku. Pro ˇreˇsen´ı tohoto typu u ´lohy je potˇreba definovat vˇsechny rovnice v obecn´em tvaru, kter´e budou n´aslednˇe vyuˇzity pro analytick´e ˇreˇsen´ı pomoc´ı tabulkov´eho v´ ypoˇctu, tady v software excelu. Souˇradnice podporov´ ych bod˚ u a a b urˇcen´ ych ze zad´an´ı konstrukce: xa = −5 [m] , za = 4 [m] ,
xb = 5 [m] , zb = 4 [m] ,
(8.183)
rovnice paraboly dle (8.1) k=
zb 4 za = 2 = = 0, 16 [m−1 ] , 2 xa xb (±5)2
(8.184)
rovnice z-ov´e souˇradnice paraboly dle (8.1) z(x) = k · x2 = 0, 16 · x2 [m] ,
(8.185)
rovnice sklonu stˇrednice prutu dle (8.2) tg ψ(x) =
dz = 2k · x = 2 · 0, 16 · x = 0, 32 · x [−] , dx
125
(8.186)
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 7 8.7. PR
rovnice goniometrick´ ych funkc´ı u ´hlu sklonu stˇrednice dle (8.3) a (8.4) cos ψ(x) = p
sin ψ(x) = p
1 1 + tg2 ψ(x) tg ψ(x)
1 + tg2 ψ(x)
[−] ,
(8.187)
[−] ,
(8.188)
rovnice pomocn´e svisl´e vnitˇrn´ı s´ıly S(x), kter´a je po cel´e d´elce oblouku konstantn´ı S(x) = −Raz = −2, 40 [kN] ,
(8.189)
rovnice pomocn´e horizont´aln´ı vnitˇrn´ı s´ıly H(x) pro levou ˇc´ast oblouku (xa ≤ x ≤ 0) H(x)L = −q · z(x) = −q · k · x2 = −0, 48 · x2 [kN] ,
(8.190)
rovnice pomocn´e horizont´aln´ı vnitˇrn´ı s´ıly H(x) v prav´e ˇc´asti oblouku (0 ≤ x ≤ xb ), kter´a je zde konstantn´ı H(x)P = −Q = −12, 0 [kN] , (8.191) pro v´ ypoˇcet vnitˇrn´ıch sil N (x), V (x) se vyuˇzij´ı transformaˇcn´ı vztahy (8.5) a (8.6) N (x) = S(x) · sin ψ(x) + H(x) · cos ψ(x) [kN] ,
(8.192)
V (x) = S(x) · cos ψ(x) − H(x) · sin ψ(x) [kN] ,
(8.193)
rovnice ohybov´eho momentu M (x) pro levou ˇc´ast oblouku (xa ≤ x ≤ 0) M (x)L = Raz · (5 + x) − q ·
(f − z(x))2 [kNm] , 2
(8.194)
rovnice ohybov´eho momentu M (x) pro pravou ˇca´st oblouku (0 ≤ x ≤ xb ) M (x)P = Raz · (5 + x) − Q · (
f − z(x)) [kNm] . 2
(8.195)
Definov´ an´ı vnitˇ rn´ıch sil pomoc´ı tabulkov´ eho v´ ypoˇ ctu Rozpˇet´ı oblouku xa ≤ x ≤ xb je rozdˇeleno na urˇcit´ y poˇcet d´ılk˚ u (ˇc´ım hustˇejˇs´ı dˇelen´ı, t´ım pˇresnˇejˇs´ı v´ ypoˇcet) a pro kaˇzd´ y hraniˇcn´ı bod jsou pomoci rovnic (8.185) aˇz (8.195) definov´any poˇzadovan´e veliˇciny dle tabulky v obr´azku 8.18. Z vypoˇcten´ ych hodnot je moˇzn´e vykreslit pr˚ ubˇehy vnitˇrn´ıch sil (obr. 8.18).
126
ˇ ´IKLAD - OBLOUK 7 8.7. PR
Obr´azek 8.18: Pr˚ ubˇehy vnitˇrn´ıch sil pˇr´ıkladu 8.7
127
