Straatverlichting, wat kost dat? docentenhandleiding
L
30
5
30
30 x x’ 2
een wiskundeproject voor 4 havo/vwo
Colofon Dit is een uitgave van: Philips Human Resources Benelux / Jet-Net Gebouw VB-12 Postbus 80003 5600 JZ Eindhoven Uitgave: versie 2.0, september 2012
© Koninklijke Philips N.V. 2012, All rights reserved.
Straatverlichting, wat kost dat?
docentenhandleiding
DOCENTENHANDLEIDING BIJ ‘Straatverlichting, wat kost dat?’ Schriftelijke opdracht (2 lesuren) en computerpracticum (1 lesuur) voor het vak wiskunde, geschikt voor het vierde leerjaar van havo en vwo en eventueel het derde leerjaar van vwo. De schriftelijke opdracht kan een leerling alleen uitvoeren. Het computerpracticum kan alleen, met zijn tweeën of in drietallen uitgevoerd worden. Dekking (uitgegaan van de situatie mei 2005) Derde leerjaar vwo Uitgaande van het Voorstel voor nieuwe kerndoelen onderbouw VO, bijlage 2 bij het eindrapport Beweging in de onderbouw (juni 2004) van de Taakgroep Vernieuwing Basisvorming, levert deze opdracht een bijdrage aan de volgende kerndoelen: 20. De leerling leert alleen en in samenwerking met anderen in praktische situaties wiskunde te herkennen en te gebruiken om problemen op te lossen; 23. De leerling leert exact en schattend rekenen en redeneren op basis van inzicht in nauwkeurigheid, orde van grootte en marges die in een gegeven situatie passend zijn; 25. De leerling leert informele notaties, schematische voorstellingen, tabellen, grafieken en formules te gebruiken om greep te krijgen op verbanden tussen grootheden en variabelen; 26. De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert met hun eigenschappen en afmetingen te rekenen en te redeneren. Vierde leerjaar havo en vwo De vakinhoud die gekend moet worden door leerlingen om deze opdracht te kunnen maken is reeds behandeld in de eerste drie leerjaren van havo en vwo (gebruik van formules en grafieken, bepalen maxima en minima, stelling van Pythagoras, gelijkvormigheid etc.). In deze opdracht worden verschillende vaardigheden samengebracht, wat de complexiteit van de opdracht hoog maakt. Om deze reden is deze opdracht vooral geschikt voor leerlingen in het vierde leerjaar van havo en vwo, die wiskunde B1 of B12 volgen. Wanneer we ons beperken tot vaardigheden, levert deze opdracht een bijdrage aan de volgende eindtermen uit het examenprogramma voor wiskunde B1 en B12 van havo en vwo: Domein A: Vaardigheden De kandidaat kan 12. logische relaties tussen gegevens, beweringen en resultaten aanbrengen en beoordelen en relevante gegevens scheiden van minder relevante gegevens. 1
Straatverlichting, wat kost dat?
docentenhandleiding
13. gegevens met elkaar en met de probleemstelling in verband brengen, op grond daarvan een passende aanpak kiezen en deze zo mogelijk opsplitsen in deeltaken. 14. in een tekst verstrekte gegevens doelmatig weergeven in een geschikte wiskundige representatie (model). 15. vaststellen of een gekozen model voldoet en, indien nodig, een bijstelling hiervan suggereren. 16. vaststellen of er aanvullende gegevens nodig zijn en zo ja, welke. 17. onderzoeken in hoeverre het model bijgesteld moet worden ten gevolge van wijzigingen in de gegevens. 18. een bij het model passende wiskundige oplossingsmethode correct uitvoeren. 19. resultaten betekenis geven in de context en binnen die context kritisch analyseren. 20. de nauwkeurigheid van de gegevens of werkwijzen betrekken bij de beoordeling van het eindresultaat. 21. reflecteren op de gemaakte keuzen voor representatie, werkwijze, oplossingsproces en resultaten en deze onder woorden brengen. 22. bij raadplegen, verkennen en presenteren van wiskundige informatie en bij uitvoeren van wiskundige bewerkingen en redeneringen gebruik maken van toepassingen van ICT.
Het uitvoeren van het project De schriftelijke opdracht gaat vooraf aan het computerpracticum. De schriftelijke opdracht kan individueel gemaakt worden en neemt ongeveer twee lesuren in beslag. Naast een rekenmachine, geodriehoek en papier is voor de schriftelijke opdracht geen extra materiaal nodig. Het computerpracticum kan alleen of in twee- of drietallen gedaan worden. Het computerpracticum wordt aangeboden als een wedstrijd, waarin de goedkoopst mogelijke oplossing gevonden moet worden. Waarschijnlijk neemt het vinden van de goedkoopste oplossing een half lesuur in beslag. De rest van de tijd kan ingevuld worden met het evalueren van de opdracht: bijvoorbeeld het vergelijken van de verschillende oplossingen die gevonden zijn en waarom de ene oplossing nu goedkoper blijkt te zijn dan de andere oplossing. De computertoepassing straatverlichting_wat_kost_dat is een zogenaamde EXCEL toepassing en dus opstartbaar op vrijwel alle computers. Leerlingen met weinig tot geen ervaring met EXCEL dienen wellicht begeleid te worden in het werken met deze toepassing.
2
Straatverlichting, wat kost dat?
docentenhandleiding
Correctievoorschrift 1
maximumscore 2
voorbeelden van eisen: • er moet een minimale lichtsterkte zijn (10 Watt per vierkante meter) • het licht moet ook niet te fel zijn • het verschil tussen de lichtste en donkerste plekken op de weg mag niet te groot zijn Opmerking Voor elke juiste eis 1 scorepunt toekennen, met een maximum van 2 scorepunten. 2
maximumscore 2 voorbeelden van manieren: • de sterkte van de lampen variëren • de hoogte van de lantaarnpaal variëren • de afstand tussen de lantaarnpalen variëren Opmerking Voor elke juiste manier 1 scorepunt toekennen, met een maximum van 2 scorepunten.
3
4
5
maximumscore 2 • teveel verlichting kan je verblinden • teveel verlichting zorgt voor lichtvervuiling
1 1
maximumscore 4 • de oppervlakte van de weg is 1000 x 8 = 8000 m2 • het aantal uur dat de lantaarnpalen schijnen is 8 x 365 = 2920 uur • het aantal kWh is minimaal 8000 x 10 x 2920 = 233 600 000 Wh = 233 600 kWh • dit kost 233 600 x 0,15 = € 35040
1 1 1 1
maximumscore 4 M P B
A
S Q
•
N inzicht dat PQS en MNS twee gelijkvormige driehoeken zijn
3
1
Straatverlichting, wat kost dat?
• • •
6
7
9
inzicht dat driehoek MNS twee keer zo groot is als driehoek PQS dus de zijde van raam B is twee keer zo groot als de zijde van raam A dus de oppervlakte van raam B is vier keer zo groot als de oppervlakte van raam A
maximumscore 2 • de lichtsterkte bij raam B is vier keer zo klein als bij raam A • dat komt omdat de oppervlakte van raam B vier keer zo groot is als de oppervlakte van raam A maximumscore 3 • de lichtsterkte op het oppervlak van 1 m2 is P • op afstand d van de lichtbron wordt het vermogen P verspreid over een oppervlak van d2 m2 •
8
docentenhandleiding
de lichtsterkte S is daar dus gelijk aan S =
1 1 1
1 1
1 1
P
1
d2
maximumscore 2 •
de lichtsterkte is vlak onder de straatlantaarn gelijk
•
dit is gelijk aan 40 Watt/m2
1000 52
1 1
maximumscore 3 • inzicht dat het een rechthoekige driehoek is met zijden van 5 en x meter
1
5
x
10
•
de afstand tot de lamp is
•
de lichtsterkte in dat punt is S =
1
x 2 + 52 1000
1
x 2 + 25
maximumscore 4 • juist invullen van de tabel
•
2
x
0
5
10
15
20
S
40
20
8
4
2,4
tekenen van de grafiek
2
4
Straatverlichting, wat kost dat?
11
12
13
docentenhandleiding
maximumscore 4 • juist tekenen van de grafiek van de straatlantaarn die 30 meter verderop staat • juist tekenen van de grafiek van de straatlantaarn die 60 meter verderop staat
2 2
maximumscore 2 juist tekenen van de somgrafiek
2
maximumscore 3 • inzicht dat het een rechthoekige driehoek is met zijden van 5 meter en 2 meter
1
? 5
2
14
•
de afstand tot de lamp in het kwadraat is 52 + 22 = 29
1
•
1000 = 34,4 Watt/m2 de lichtsterkte in dat punt is 29
1
maximumscore 3 • inzicht dat het een rechthoekige driehoek is met zijden van 29 en x’ meter
1
? 29
x’
15
16
29 + ( x ')2
1
1000
1
•
de afstand tot de lamp is
•
de lichtsterkte in dat punt is
29 + ( x ')2
maximumscore 1 de grafiek van de lichtsterkte op plaats x’ ligt altijd lager dan de grafiek van de lichtsterkte op plaats x
1
maximumscore 1 straatlantaarn N staat nog verder van straatlantaarn L af dan straatlantaarn M
1
5
Straatverlichting, wat kost dat?
17
docentenhandleiding
maximumscore 3 • inzicht dat het een rechthoekige driehoek is met zijden van 8 en 5 meter
1
? 5
8
18
19
•
de afstand in het kwadraat tot de lamp L is 52 + 82 = 89
1
•
1000 = 11,2 Watt/m2 de bijdrage aan de lichtsterkte is 89
1
maximumscore 2 • de maximale lichtsterkte is vlak onder een straatlantaarn, bijvoorbeeld L • vlak onder L is de lichtsterkte 40 + 11,2 = 51,2 Watt/m2
1 1
maximumscore 6 • inzicht dat het een rechthoekige driehoek is met zijden van 15 en 4 meter
1
? 15
4 • •
de schuine zijde is gelijk aan 152 + 42 = 241 inzicht dat het een rechthoekige driehoek is met zijden van wortel 241 en 5 meter
1 1
? 5
241 •
de afstand in het kwadraat tot de lamp van straatlantaarn L is 1
241 + 52 = 266
6
Straatverlichting, wat kost dat?
•
docentenhandleiding
de bijdrage aan de lichtsterkte van straatlantaarn L is 1000 = 3,8 Watt/m2 266
•
20
21
22
23
24
25
26
1
de lichtsterkte in het donkerste punt is ongeveer gelijk aan 4 x 3,8 = 15,2 Watt/m2
maximumscore 4 • langs 1 km weg staan 2 x (1000/30) = 66 straatlantaarns • deze straatlantaarns kosten 66 x 200 = € 13 200,- per jaar • de materiaalkosten zijn 66 x 5 x 50 = € 16 500,- per jaar • de totale kosten zijn 13 200 + 16 500 = € 29 700,- per jaar
1
1 1 1 1
maximumscore 3 • geen invloed op de elektriciteitskosten • geen invloed op de straatlantaarnkosten • wel invloed op de materiaalkosten, hoe hoger h, hoe hoger de totale materiaalkosten
1
maximumscore 3 • wel invloed op de elektriciteitskosten, hoe hoger P, hoe hoger de totale elektriciteitskosten • geen invloed op de straatlantaarnkosten • geen invloed op de materiaalkosten
1 1 1
maximumscore 3 • geen invloed op de elektriciteitskosten • wel invloed op de straatlantaarnkosten, hoe hoger a, hoe lager de totale straatlantaarnkosten • wel invloed op de materiaalkosten, hoe hoger a, hoe lager de totale materiaalkosten
1 1
1 1 1
maximumscore 2 •
400 + 100 ⋅ 5 + 0,9 ⋅ 1000 30
1
•
dit is 60 euro per jaar per meter
1
maximumscore 5 • nagaan of de vraag duidelijk is • enkele aannames doen • probleem vereenvoudigen • probleem vervolgens steeds moeilijker maken • aannames variëren maximumscore 2 • de waarden in de grafiek zijn hoger • dat komt omdat we in de berekening niet alle straatlantaarns hebben meegenomen
7
1 1 1 1 1
1 1
