METODE NUMERIK, oleh Sri Adi Widodo, M.Pd. Hak Cipta © 2015 pada penulis GRAHA ILMU Ruko Jambusari 7A Yogyakarta 55283 Telp: 0274-882262; 0274-889398; Fax: 0274-889057; E-mail:
[email protected] Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit. ISBN: 978-602-262-445-5 Cetakan Pertama, tahun 2015
Semua informasi tentang buku ini, silahkan scan QR Code di cover belakang buku ini
KATA PENGANTAR
Puji syukur penyusun panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah berkenan menganugerahkan kesempatan sehingga buku Metode Numerik ini dapat diselesaikan oleh penyusun. Metode numerik adalah teknik-teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika sehingga masalah matematika tersebut dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika. Tujuan penyusunan buku ini adalah memudahkan pembaca dalam memahami dalam pembelajaran metode numerik. Buku Metode Numerik ini berisikan tentang metode numerik dengan metode analitik, kesalahan dalam aproksimasi, metode numerik untuk menyelesaikan persamaan aljabar, interpolasi, diferensiasi numerik dan integrasi numerik. Pada kesempatan ini, penyusun menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu sehingga buku metode numerik ini dapat terwujud. Akhirnya, dengan segala kerendahan hati penyusun persembahkan karya ini, semoga memberikan manfaat bagi pembaca dan berharap buku ini dapat membantu dalam mempelajari materi metode numerik. Yogyakarta, Desember 2014 Penyusun
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I
A. B. C. D. E. F. BAB III
vii
METODE NUMERIK SECARA UMUM
A. Pendahuluan B. Metode Numerik Vs Metode Analitik BAB II
v
1 4
KEKELIRUAN DALAM PERHITUNGAN
11
Pendahuluan Bilangan dan Ketelitian Nilai Antara dan Deret Taylor Kekeliruan Formula Kekeliruan Umum Selisih Terhingga Biasa
11 13 15 18 21 25
METODE NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN ALJABAR DAN TRANSENDEN
29
A. Pendahuluan B. Metode Biseksi B. Metode Iterasi Sederhana
29 31 31
viii
Metode Numerik
C. Metode Posisi Salah atau Posisi Palsu (False Position/Regula Falsi) D. Metode Iterasi Sederhana E. Metode Newton Rhaphson (Metode Tangent) F. Metode Secant G. Metode Muller H. Sistem Persamaan Tidak Linier (SPTL) Bab IV INTERPOLASI A. B. C. D.
Selisih Terhingga Interpolasi Sederhana Interpolasi Interval Yang Sama Formulas Interpolasi untuk Interval Tidak Sama
BAB V DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMNERIK A. Diferensiasi Numerik B. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum C. Integrasi Numerik DAFTAR PUSTAKA
----------------------------------
34 36 39 43 45 47 53 55 64 70 80 85 85 86 91 101
BAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM
A. Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal alias rumit. Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim). Sebagai contoh ilustrasi, akan ditinjau sekumpulan persoalan matematik di bawah ini. (1) Tentukan akar-akar persamaan polinom 23, 4x7 – 1,25x6 + 120x4 + 15x3 – 120x2 – x + 100 = 0 (2) Selesaikan sistem persamaan linier 1,2a – 3b – 12c + 12d + 4,8e – 5,5f + 100g = 18 0,9a + 3b – c + 16d + 8e – 5f – 10g = 17 4,6a + 3b – 6c – 2d + 4e + 6,5f – 13g = 19
2
Metode Numerik
3,7a – 3b + 8c – 7d + 14e + 8,4f + 16g = 6 2,2a + 3b + 17c + 6d + 12e – 7,5f + 18g = 9 5,9a + 3b + 11c + 9d – 5e - 25f - 10g = 0 1,6a + 3b + 1,8c + 12d – 7e + 2,5f + g = -5 (3) Tentukan nilai maksimum fungsi tiga matra (dimension):
F(x,y) = cos
§ x (0,08 cos x ) · x sin x 3 ¸¸ sin(3xy 1) tan ¨¨ 2 y 4 ( xy) © ¹
(4) Bila diperoleh tabulasi titik-titik (x,y) sebagai berikut (yang dalam hal ini rumus fungsi y = f(x) tidak diketahui secara eksplisit): X Y = f(x)
2,5
3
3,5
4,4
6,8
1,4256
1,7652
2,0005
2,8976
3,8765
Tentukan nilai y untuk x = 4,8 Pertanyaan yang muncul setelah membaca permasalahan tersebut adalah “bagaimana cara menyelesaikannya?”. Menghadapi permasalahan tersebut mungkin sebagian besar akan menyerah atau mungkin menyatakan bahwa permasalahan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan metode yang biasa dikenal. Untuk polinom derajat 2 masih dapat mencari akar-akar polinom
b ± b 2 4ac atau dengan metode2a metode yang lain. Namun untuk polinom derajat lebih dari 2, seperti pada soal pertama rumus abc tidak dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Dengan memanipulasi polinom ada kemungkinan dapat menyelesaikan, misalnya dengan memfaktorkan atau menguraikan polinom menjadi perkalian beberapa suku. Tetapi kelemahan memanipulasi polinom adalah jika derajat polinomnya semakin tinggi, maka cara memanipulasi polinom seperti memfaktorkan akan semakin sulit untuk menyelesaikan. dengan rumus abc yaitu x1,2 =
Untuk permasalahan kedua, juga tidak ada rumus yang baku untuk menemukan solusi Sistem Persamaan Linier. Apabila sistem
