Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Pravděpodobnost

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost 1/3 (neboli 33,33 %), znamená to, že lze očekávat, že při velkém počtu opakování daného pokusu tento jev nastane zhruba ve třetině případů. Nic nemůže mít pravděpodobnost větší než 1 (100 %) !!!

Klasická pravděpodobnost


Základní prostor

Provádíme pokus, který má n možných výsledků, přičemž všechny tyto výsledky jsou stejně pravděpodobné. Označíme Ω množinu všech možných výsledků tohoto pokusu. Pak |Ω| = n (symbolem | · | značíme počet prvků množiny). Jednotlivé prvky množiny Ω budeme značit ω1 , ω2 , . . . , ωn .


Náhodný jev a jeho pravděpodobnost Náhodným jevem nazveme jakoukoli podmnožinu množiny Ω. Náhodné jevy budeme zpravidla značit velkými písmeny (A, B, . . . ). Ω

A

Pravděpodobnost jevu A označíme P(A) a definujeme ji jako

P(A) =

počet možností příznivých jevu A |A| = . počet všech možností |Ω|


Operace s jevy – jev opačný Jev opačný k jevu A označíme A. A nastane právě tehdy, když nenastane jev A. Ω

A

A

P(A) = 1 − P(A)


Operace s jevy – průnik

Průnik jevů A, B označíme A ∩ B. A ∩ B nastane právě tehdy, když nastanou oba jevy A, B. Ω

A

7

A∩B

B


Závislost a nezávislost náhodných jevů Intuitivní pojem nezávislosti Jevy A, B jsou navzájem nezávislé, jestliže to, že nastal jev A, nijak neovlivní pravděpodobnost toho, že nastane jev B.

Příklad Nezávislé jevy jsou například: I

Hodíme dvěma kostkami: A . . . na první kostce padla šestka, B . . . na druhé kostce padla jednička

I

Ve Sportce: A . . . vyhrajeme v 1. tahu, B . . . vyhrajeme ve 2. tahu

I

(ne tak zřejmé) Z balíčku 52 karet (dvojka až eso, vše ve čtyřech barvách) vytáhneme jednu kartu: A . . . vytáhli jsme eso, B . . . vytáhli jsme pikovou kartu


Příklad (pokračování) Závislé jevy: I

Hodíme dvěma kostkami: A . . . na první kostce padla šestka, B . . . padl součet 12

I

Z balíčku 52 karet (dvojka až eso, vše ve čtyřech barvách) vytáhneme dvě karty: A . . . první karta je eso, B . . . druhá karta je eso


Pravděpodobnost průniku dvou nezávislých jevů

Pro jevy A, B, které jsou navzájem nezávislé, platí P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Pro závislé jevy tento vztah neplatí!!


Operace s jevy – sjednocení

Sjednocení jevů A, B označíme A ∪ B. A ∪ B nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů A, B. Ω

A∪B A

B


Pravděpodobnost sjednocení jevů

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Jevy neslučitelné Jevy A, B, které nemohou nastat současně (tj. A ∩ B = ∅), se nazývají neslučitelné. Pro neslučitelné jevy platí P(A ∪ B) = P(A) + P(B).


Podmíněná pravděpodobnost Víme, že jev A nastal. Zajímá nás pravděpodobnost, že za této podmínky nastal jev B. Tuto pravděpodobnost označíme P(B|A) . . . pravděpodobnost jevu B za podmínky, že nastal jev A

P(B|A) =

P(A ∩ B) P(A)

Odtud plyne

P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)

Obecná definice pravděpodobnosti


Jevové pole Ω . . . neprázdná množina všech možných výsledků prováděného pokusu (základní prostor) Systém S podmnožin základního prostoru Ω, který má tyto vlastnosti 1. Ω ∈ S,

2. jestliže A ∈ S, pak také A = Ω \ A ∈ S, 3. jestliže Ak ∈ S, k = 1, 2, . . . , pak také

∞ S

k=1

Ak ∈ S,

nazveme množinovou σ-algebrou a dvojici (Ω, S) nazveme jevovým polem. Množinu A ⊆ Ω nazveme náhodným jevem, jestliže A ∈ A. Pro naše potřeby však dál postačí zjednodušená (ač nepřesná) představa, že náhodný jev je libovolná podmnožina základního prostoru Ω.


Další vlastnosti σ-algebry S: I I

I

∅ ∈ S,

jestliže A, B ∈ S, pak také A ∪ B ∈ S (axiom je pro sjednocení nekonečné posloupnosti) jestliže A, B ∈ S, pak také A ∩ B ∈ S


Axiomatická definice pravděpodobnosti

Nechť (Ω, S) je jevové pole. Pak zobrazení P : S → R nazveme pravděpodobností, jestliže splňuje následující tři axiomy: 1. P(Ω) = 1, 2. P(A) ≥ 0 pro každé A ∈ S,

3. jestliže Ak ∈ S, k = 1, 2, . . . , jsou navzájem disjunktní jevy, Ai ∩ Aj = ∅ pro i 6= j, pak P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = P(A1 ) + P(A2 ) + · · · .

Pro libovolný náhodný jev A číslo P(A) nazveme pravděpodobností jevu A. Trojice (Ω, S, P) se nazývá pravděpodobnostní prostor.


Další vlastnosti pravděpodobnosti

4. P(∅) = 0 5. P(A) ≤ 1

6. Jestliže A ⊆ B, pak P(A) ≤ P(B)

7. Jestliže A ∩ B = ∅, pak P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 8. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

9. P(A) = 1 − P(A)


Nezávislost – matematická definice

Řekneme, že náhodné jevy A, B jsou nezávislé, jestliže P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Speciální případy pravděpodobnosti


I


I

Diskrétní pravděpodobnost

I

Geometrická pravděpodobnost


Diskrétní pravděpodobnost Množina Ω = {ω1 , ω2 , . . . } je konečná nebo spočetná (její prvky lze uspořádat do posloupnosti), |Ω| = n, n může být i ∞. Jednotlivé elementární jevy {ωi } nemusejí nutně nastávat se stejnou pravděpodobností, ale platí n X i=1

P({ωi }) = 1.

Pravděpodobnost jevu A počítáme jako

P(A) =

X ω∈A

P({ω}).


Příklad Lojza jde na zkoušku. Svoje šance vidí takto: Pravděpodobnost, že dostane jedničku, je 0,01. Pravděpodobnost, že dostane dvojku, je třikrát menší než pravděpodobnost, že dostane trojku. Pravděpodobnost, že dostane trojku, je dvakrát menší než pravděpodobnost, že ho vyhodí. Jsou-li Lojzovy úvahy správné, I

jaká je pravděpodobnost, že zkoušku udělá?

I

Jaká je pravděpodobnost, že dostane lepší známku než trojku?

Další příklad viz skripta, str. 134.


Geometrická pravděpodobnost

Množinu Ω tvoří oblast v n-rozměrném prostoru, 0 < µ(Ω) < ∞ (µ(·) je míra množiny – něco jako obsah). Všechny možné výsledky pokusu jsou stejně pravděpodobné. Pravděpodobnost jevu A počítáme jako

P(A) =

µ(A) . µ(Ω)


Příklad (Buffonova úloha o jehle) Máme linkovaný papír, rozestup linek je d. Na papír hodíme jehlu délky l, l < d. Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne některou z linek? Další příklad viz skripta, str. 131.

Podmíněná pravděpodobnost


Definice podmíněné pravděpodobnosti U klasické pravděpodobnosti – viz 14. Je-li A náhodný jev s nenulovou pravděpodobností, pak pro každý náhodný jev B definujeme podmíněnou pravděpodobnost vzorcem

P(B|A) =

P(A ∩ B) . P(A)

Odtud plyne

P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).


Příklad V Kocourkově je 60 % obyvatel obézních a 50 % má vysoký tlak. Náhodně vybereme jednoho kocourkovského občana. a) Jaká je pravděpodobnost, že je obézní? b) Jaká je pravděpodobnost, že má vysoký tlak? c) Jaká je pravděpodobnost, že je obézní a má vysoký tlak? Na otázku c) zatím nejsme schopni odpovědět. K zadání přidáme: Z těch, kdo jsou obézní, mají tři čtvrtiny vysoký tlak.

Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec


Příklad Adam, Boris a Cyril šli na houby. Adam našel 20 hub, z toho 1/5 byly jedovaté houby. Boris našel 50 hub, z toho 1/10 byly jedovaté houby. Cyril našel 30 hub, z toho 1/6 byly jedovaté houby. Když se vrátili, všechny houby dali na jednu hromadu. Náhodně vybereme jednu houbu. a) Jaká je pravděpodobnost, že je jedovatá? b) Vybraná houba je jedovatá. Jaká je pravděpodobnost, že ji našel Adam?


Příklad (mírná změna zadání) Adam, Boris a Cyril šli na houby. Adam našel 20 % hub, z toho 1/5 byly jedovaté houby. Boris našel 50 % hub, z toho 1/10 byly jedovaté houby. Cyril našel 30 % hub, z toho 1/6 byly jedovaté houby. Když se vrátili, všechny houby dali na jednu hromadu. Náhodně vybereme jednu houbu. a) Jaká je pravděpodobnost, že je jedovatá? b) Vybraná houba je jedovatá. Jaká je pravděpodobnost, že ji našel Adam?


Věta o úplné pravděpodobnosti – začátek Nechť H1 , H2 , . . . , Hn jsou navzájem disjunktní náhodné jevy takové, že P(Hi ) > 0 pro i = 1, . . . , n a že H1 ∪ H2 ∪ · · · ∪ Hn = Ω. (Jevy H1 , . . . , Hn nazýváme hypotézy.)

Ω H1

H2

...

Hn


Věta o úplné pravděpodobnosti – dokončení Pak pro každý náhodný jev A platí

P(A)=P(H1 ) · P(A|H1 ) + P(H2 ) · P(A|H2 ) + · · · + P(Hn ) · P(A|Hn ) n X = P(Hi ) · P(A|Hi ) i=1

Ω H1

H2

A

...

Hn


Bayesův vzorec

Jestliže P(A) > 0, pak pro každé j = 1, . . . , n platí

P(Hj |A)= =

P(Hj ∩ A) P(Hj ) · P(A|Hj ) = = P(A) P(A) P(Hj ) · P(A|Hj ) . n P P(Hi ) · P(A|Hi )

i=1

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Recommend Documents