Individuální péče o nadané žáky v matematice na 2. stupni ZŠ

MASARYKOVA UNIVERZITA Pedagogická fakulta Katedra matematiky

Individuální péče o nadané žáky v matematice na 2. stupni ZŠ Diplomová práce

Vedoucí diplomové práce:

Vypracovala:

RNDr. Růžena Blažková, CSc.

Bc. Helena Konečná

Brno 2009

Prohlášení: „Prohlašuji tímto, že jsem diplomovou práci na téma Individuální péče o nadané žáky v matematice na 2. stupni ZŠ zpracovala sama a využila pouze pramenů uvedených v této diplomové práci.”

V Brně, dne 17. dubna 2009

Bc. Helena Konečná

2

Poděkování: Ráda bych poděkovala vedoucí práce RNDr. Růženě Blažkové, CSc. za inspirativní podněty a její pomoc. Velké poděkování patří i mojí rodině a mému příteli za všestrannou podporu během mého studia.

3

Obsah:

1. Úvod .............................................................................................................. 6 2. Vymezení podstaty nadání, identifikace nadání .................................... 8 2.1 Definice nadání ...................................................................................... 8 2.2. Charakteristiky osobnosti nadaného žáka .............................................. 9 2.3. Druhy nadání ........................................................................................ 13 2.4. Inteligence ............................................................................................ 14 2.5. Problematika diagnostiky nadaných žáků ............................................ 16 3. Edukace nadaných žáků na 2. stupni ZŠ .................................................. 18 3.1. Edukační potřeby nadaných žáků ......................................................... 18 3.2. Edukační cíle ve výchově a vzdělávání nadaných žáků ....................... 19 3.3. Úprava obsahu a organizace vzdělávání nadaných žáků ..................... 20 3.3.1. Akcelerace ................................................................................... 20 3.3.2. Obohacení.................................................................................... 21 3.4. Úprava metod používaných pro vzdělávání nadaných žáků ................ 22 3.5. Úprava forem vzdělávání nadaných žáků ............................................ 23 3.6. Úprava prostředí pro vzdělávání nadaných žáků ................................. 25 3.7. Úprava hodnocení nadaných žáků........................................................ 25 4. Péče o nadané žáky v matematice na 2. stupni ZŠ .................................. 27 4.1. Matematické soutěže ............................................................................ 27 4.2. Projekty ................................................................................................ 32 4.3. Individuální vzdělávací plán v matematice .......................................... 32 5. Vybraní nadaní žáci .................................................................................... 34 5.1. Eva ....................................................................................................... 34 5.2. Kamila ................................................................................................. 35 5.3. Tereza .................................................................................................. 36 5.4. Tomáš .................................................................................................. 36 6. Sbírka úloh z matematiky pro nadané žáky na 2. stupni ZŠ .................. 38 6.1. Příklady prohlubující učivo .................................................................. 38 6.2. Příklady obohacující výuku – rozšiřující učivo.................................... 50 6.2.1. Kvadratická rovnice a slovní úlohy vedoucí k řešení kvadratických rovnic ................................................................... 50 6.2.2. Základy kombinatoriky a pravděpodobnosti ............................... 58 4

6.2.3. Úlohy vedoucí k řešení diofantovské rovnice ............................. 64 6.2.4. Finanční matematika ................................................................... 66 6.2.5. Euklidovy věty ............................................................................ 69 6.3. Úlohy pro rozvoj logického myšlení .................................................... 72 7. Shrnutí práce s nadanými žáky.................................................................. 76 8. Závěr ............................................................................................................. 77 9. Shrnutí .......................................................................................................... 78 10. Resume ....................................................................................................... 79 11. Použitá literatura....................................................................................... 80 11.1. Odborná literatura .............................................................................. 80 11.2. Webové stránky .................................................................................. 82

5

1. Úvod V souvislosti se změnami v českém školství po roce 1989 jsme zaznamenali významnou proměnu přístupu ke vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami. České školy se po roce 1989 zajímají o individuální potřeby všech žáků a snaží se vytvářet diferencované podmínky pro jejich vzdělávání. Integrace žáků se speciálními vzdělávacími potřebami se stává součástí většiny škol a školských zařízení. Integrační směr pozorujeme i ve vzdělávání nadaných žáků. Problematika nadaných žáků se objevila také ve významných dokumentech, mezi něž patří zejména Rámcové vzdělávací programy, školský zákon nebo Národní program rozvoje vzdělávání v České republice pro jednadvacáté století (tzv. Bílá kniha). V současné době v České republice dochází k rozšiřování zájmu veřejnosti o nadané děti, zvyšuje se počet odborníků, kteří se zabývají touto problematikou, a také roste počet škol, které se snaží podporovat nadané. Diplomová práce svým obsahem navazuje na vlastní bakalářskou práci z roku 2007. Ta pojednávala o vzdělávání nadaných dětí. Praktická část byla zaměřena na výzkum vlastností ideálního učitele z pohledu nadaných žáků. Vzhledem k tomu, že tématika nadaných žáků mě velice zaujala, rozhodla jsem se po obhájení bakalářské práce, se o toto téma i nadále zajímat. Využila jsem příležitosti pracovat s nadanými žáky a vést hodinu individuální výuky matematiky pro nadané žáky. Seznámila jsem se se čtyřmi nadanými žáky a během naší téměř dvouleté spolupráce, při které jsem se snažila rozvíjet jejich nadání v oblasti matematiky, se mi podařilo nashromáždit mnoho materiálů, které jsem při práci využila. Proto jsem se rozhodla ve své diplomové práci sestavit sbírku příkladů, které jsme v průběhu dvou let s nadanými žáky počítali. Ta by mohla usnadnit práci učitelům, v jejichž třídě je matematicky nadaný žák. Tato sbírka by učitelům matematiky mohla posloužit jako pomůcka při přípravě hodiny matematiky pro nadaného žáka nebo jako inspirace při tvorbě individuálních vzdělávacích plánů. Předložená diplomová práce je rozdělena do sedmi hlavních kapitol. V prvních čtyřech kapitolách jsou shrnuty vybrané teoretické poznatky z odborné literatury, které přibližují problematiku nadání a vzdělávání nadaných žáků. Další kapitoly jsou věnovány praktickým poznatkům. Po úvodu následuje druhá kapitola, která je zaměřena na definici nadání, vymezuje, kdo jsou nadaní žáci, jaké mají specifické osobnostní charakteristiky a

6

s jakými druhy nadání se můžeme v praxi setkat. Závěr druhé kapitoly věnován problematice identifikace nadání. Třetí kapitola je členěna do sedmi subkapitol, které se v základní rovině týkají edukace nadaných žáků. Jednotlivá témata jsou zaměřena na edukační potřeby nadaných žáků, cíle jejich vzdělávání a jednotlivé úpravy složek vzdělávacího procesu. Čtvrtá kapitola je věnována vybraným tématům, které jsou součástí péče o nadané žáky v matematice. Druhá část diplomové práce je věnována konkrétním poznatkům, týkajících se práce s nadanými žáky. V páté kapitole jsem přiblížila charakteristiky čtyř nadaných žáků, se kterými jsem v hodině pracovala a měla možnost pozorovat jejich chování. Žáci byli pro individuální vzdělávání navrženi ještě před tím, než jsem s nimi začala pracovat. Absolvovali vyšetření v pedagogicko-psychologické poradně. Informace, popisující jednotlivé žáky, jsem čerpala z vlastního pozorování, rozhovorů se žáky, ze zkušeností třídní učitelky a ze zprávy z pedagogicko-psychologické poradny. Šestou kapitolu tvoří sbírka příkladů, které jsme s těmito žáky řešili a je možné využít ji při práci s nadanými žáky v matematice na 2. stupni základní školy. Příklady vedou k prohloubení a rozšíření učiva a závěr kapitoly je věnován úlohám, které rozvíjejí logické myšlení. Sedmá kapitola je věnována sumarizaci poznatků, které jsem v průběhu své dvouleté práce s nadanými žáky získala. Závěrečná část diplomové práce je věnována závěru, shrnutí, resume v anglickém jazyce, seznamu použité literatury. Doufám, že poznatky získané nejen teoretickým studiem, ale hlavně možností dvouleté práce s nadanými žáky, budu moci v budoucnosti využít ve své pedagogické praxi.

7

2. Vymezení podstaty nadání, identifikace nadání Zájem společnosti vždy vzbuzovali lidé disponující mimořádnými schopnostmi a dovednostmi. Lidé se proto snažili najít příčinu jejich výjimečnosti. Nejvíce nových poznatků, především odborných studií, věnujících se této problematice, přineslo minulé století. Bylo provedeno mnoho výzkumů, které se svým zaměřením od sebe odlišovaly, stejně jako zaměření autorů těchto výzkumů. Na základě odlišných postojů bylo vytvořeno mnoho různých přístupů k této problematice.

2.1. Definice nadání V bohaté historii zkoumání nadání bylo vytvořeno více než sto definic nadání.1) V odborné literatuře se většinou setkáváme s dělením definic podle různých kritérií. Například Mönks a Ypenburg (2002) nastiňují čtyři modely výkladu nadání:


Výklady nadání založené na schopnostech: vycházejí z domněnky, že intelektové schopnosti lze zjistit již v časném věku a ty se v průběhu života již příliš nemění, tzn. schopnosti jsou stálé.




Výklady nadání pomocí kognitivních složek: jsou zaměřeny zejména na procesy

zpracování

informací

a

hledají

kvalitativní

rozdíly

v informačních procesech. Mnozí odborníci navrhují místo IQ používat pojem QI, což vyjadřuje kvalitu zpracování informací.


Výklady nadání orientované na výkon: pro tyto modely není hlavní pouze výkon, ale zaměřují se také na činitele, které jsou potřebné pro projevy nadání.




Socio - kulturně orientované výklady nadání: předpokládají, že nadání se může projevovat jen za vhodného spolupůsobení individuálních a sociálních faktorů.

Pokud pohlédneme na konkrétní definice nadání, nesmíme opomenout definici S. Marlanda, která patří k nejznámějším a je často zmiňována v odborných publikacích: „Nadaní žáci jsou identifikováni profesionálně kvalifikovanými osobami jako děti s přednostmi význačnými pro schopnost vysokého výkonu. Tyto děti vyžadují diferencované vzdělávací programy a služby nad rámec běžně 1)

Hany in MÖNKS, F. J., YPENBURG, I. H. Nadané dítě – rukověť pro rodiče a učitele. Praha: Grada Publishing, 2002. ISBN 80-247-0445-5.

8

poskytovaných klasickým vzdělávacím programem k tomu, aby mohly přispět ke svému prospěchu i užitku společnosti. Děti schopné vysokého výkonu zahrnují ty, které v celém spektru, nebo v omezené oblasti vykazují mimořádně vysokou úroveň své činnosti v následujících oblastech:


všeobecná intelektuální schopnost,




specifické akademické vlohy (matematické, přírodní vědy, historie, literatura),




kreativní a produktivní myšlení,




schopnost vůdcovství,




vizuální schopnosti a pohybové umění,




psychomotorická schopnost. “2)

Pozornost si zaslouží rovněž definice, která vznikla na zasedání Columbus Group v roce 1991. Podle ní „nadání je asynchronní vývoj, ve kterém se kombinují zrychlené rozumové schopnosti a zvýšená intenzita k vytvoření vnitřních zkušeností a povědomí, které jsou svou kvalitou odlišné od normy. Tato nerovnoměrnost se zvyšuje spolu s vyšší intelektovou kapacitou. Tato jedinečnost činí nadané obzvláště zranitelnými a vyžadují tak změny v rodičovské výchově, školním vzdělávání i poradenské činnosti, aby se mohli optimálně rozvíjet.“3) Lze shrnout, že vybrané definice tedy za zásadní považují:


vysoký intelekt, vyšší úroveň myšlení,




orientaci na výkon,




další společenské faktory.

2.2. Charakteristiky osobnosti nadaného žáka Odborníci, kteří se dlouhodobě zabývají problematikou péče o nadané, často vytváří seznamy charakteristik připisovaných nadaným dětem. Zároveň ale upozorňují, že skupina nadaných dětí rozhodně není stejnorodá a mnohé z charakteristik se u konkrétního žáka nemusí vůbec projevit. Tyto seznamy se často

2)

JURÁŠKOVÁ, J. Základy pedagogiky nadaných. Praha: Institut Pedagogicko-psychologického poradenství ČR, 2006. ISBN 80-86856-19-4. s. 14. 3) FOŘTÍK, V., FOŘTÍKOVÁ, J. Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. Praha: Portál, 2007. ISBN 978-80-7367-297-3.

9

doporučují učitelům nebo rodičům, aby mohli velice předběžně odhalit případné nadání u svých žáků, nebo potomků. Mezi nejčastější uváděné charakteristiky patří zejména tyto (sestaveno podle Fořtík, Fořtíková (2007), Laznibatová (2001)):




Velká potřeba učit se – při získávání informací samostatně využívají

encyklopedické a elektronické zdroje. Vyžadují nové informace. Zároveň mají vysoké pracovní tempo.




Dobrá paměť – mnoho nadaných dětí má od útlého věku schopnost

zapamatovat si obrovské množství dat a informací, kterým byly vystaveny jen jednou. Jde zejména o paměť logickou, zrakovou i sluchovou. Díky tomu si vybavují rychle naučená (viděná, přečtená, slyšená) fakta. Znají velké množství informací z různých oblastí nebo mají velkou zásobu informací z určité specifické oblasti, která je zajímá. Jsou dobří pozorovatelé. Věnují se však převážně věcem a jevům, které je zaujaly.




Motivace a neutuchající aktivita – nadané dítě nepotřebuje žádnou

výraznou vnější motivaci ve formě známek a pochval, ale odměnu mu přináší samotná rozumová činnost. Jeho chování a jednání je cílevědomé zejména v oblasti, která ho zajímá. Dále je schopno prokázat vysokou míru dlouhodobé koncentrace pozornosti, než ostatní děti stejného věku. Duševní činnost ho neunavuje.




Neobyčejná zvídavost a obliba komplikovanosti – nadané děti mají

vysokou potřebu objasňovat a získávat nové poznatky v oblasti, která je zajímá, proto jsou jejich učitelé neustále „atakováni“ dotazy. Nadaní jsou schopni sami vyhledávat potřebné informace a orientovat se v nich. Oblast jejich zájmu přesahuje požadovaný rozsah i hloubku učiva. V nižším věku je to pak zájem o fungování veškerého dění ve světě kolem dítěte, které je spojené s neustálým dotazováním.

10




Čtení již v raném věku, bohatá slovní zásoba, gramatická

správnost, schopnost pracovat s abstraktními pojmy a vytvářet originální myšlenky – řada nadaných se naučí číst již v předškolním věku a při vstupu do školy čte naprosto plynně a používá malá i velká písmena. Nejen díky tomu disponují nadaní žáci bohatou slovní zásobou, a také jsou schopni tvořit složité, ale zcela logicky složené věty. Díky čtení rozšiřují okruh svých znalostí a získávají nové vědomosti. Čtou mnoho knih, převážně encyklopedie, které souvisí s problematikou, která je právě zajímá. Abstraktní myšlení a práce se slovními a matematickými symboly se u nich objevuje mnohem dříve než u vrstevníků. Díky této vlastnosti jsou schopni chápat souvislosti, rychle a správně zobecňovat, snadno identifikovat chybu, jsou schopni nacházet originální řešení problémů a zvládají složité myšlenkové operace. Mají také zálibu ve strukturování informací a vytváření různých systémů.




Hluboké zájmy – většinou se nadaní snaží získat a seznámit se s co

možná největším počtem informací o tématu, které je zaujalo.




Citlivost až přecitlivělost – jsou citliví na kritiku. Mají silný sklon

k perfekcionismu.




Sociální charakteristiky – nadaní žáci potřebují volnost. Vyžadují

rovnoprávnou komunikaci. Mají sofistikovaný smysl pro humor.




Rádi jsou v kontaktu s dospělými nebo staršími kamarády než

s vrstevníky – vzhledem k často odlišným zájmům a zrychlenému intelektovému vývoji nacházejí nadané děti kamarády mezi staršími dětmi nebo dospělými.




Nerovnoměrný vývoj – zrychlený intelektový vývoj souvisí často

s průměrným nebo dokonce zpomaleným vývojem emocí a třeba i zpomaleným vývojem například v oblasti jemné motoriky. Ze zmíněných charakteristik by se na první pohled mohlo zdát, že nadaný žák je snem každého učitele. Ale nadání sebou přináší i problémové projevy, které 11

plynou z odlišného vývoje v kognitivní i afektivní oblasti. Může tak docházet k určitým problémů v soužití s ostatními. V odborné literatuře se nejčastěji jako problémové objevují tyto projevy:


nevhodné chování ve škole, které může být zapříčiněno disproporcemi mezi schopnostmi, kterými nadaný žák disponuje, a které jsou od něj vyžadovány,




rutinní, předvídatelná práce ve škole navíc spojená s pomalým tempem nebo s příkazy je pro něj neuspokojivá a nudí jej nebo na ni reaguje vyrušováním,




chce vše zdůvodnit, zajímá se o vše, co se kolem něho děje, často klade otázky, které mohou učitele zaskočit a nemusí na ně v danou chvíli umět odpovědět,




rád ovládá diskusi a chce být dominantní,




odmítá se přizpůsobovat, odmítá autoritativní přístup učitele.

„Pokud se u dítěte výrazně projevují alespoň některé z těchto znaků, je to důvod, abychom začali komplexněji zkoumat jeho předpokládané nadání.“4) Ovšem na druhé straně existence některé z charakteristik nemusí hned potvrzovat nadání žáka. Nadání se projevuje velice individuálně a záleží na osobnosti každého jedince. Učitel by měl žákovi, u kterého se výrazně projevují některé z výše zmiňovaných charakteristik, věnovat větší pozornost a doporučit ho na komplexnější vyšetření k odborníkovi, kde se nadání může potvrdit nebo vyvrátit. Výčet všech možných charakteristik nadaných žáků nám nemůže zaručit jejich bezchybné, jednoznačné a snadné identifikování. Všechny tyto charakteristiky se vyskytují v různé míře a některé se nemusí vyskytovat vůbec, proto je třeba si stále uvědomovat, že když mluvíme o nadaných žácích, nejedná se o homogenní skupinu, ale o skupinu složenou z jedinečných osobností. Toto potvrzuje i fakt, že mezi

4)

DOČKAL, V. aj. Psychológia nadania. Bratislava: Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1987.

12

nadanými žáky se často vyskytuje další specifická skupina nadaných žáků. Do této skupiny řadíme handicapované nadané žáky, nadané s poruchami učení, podvýkonné nadané žáky a nadané s Aspergerovým syndromem.

2.3. Druhy nadání Autoři výše uvedených definic rovněž uvádí, že nadání se může projevovat v jedné nebo několika oblastech. Odborníci vymezují jednotlivé druhy nadání podle různých kritérií. I v této oblasti se tedy setkáváme s odlišnými názory. Základní klasifikaci nadání můžeme rozdělit podle L. Hříbkové na horizontální a vertikální. Horizontální klasifikace člení nadání podle druhů činnosti, ve kterých se nadání demonstruje. Mluvíme pak o nadání hudebním, výtvarném, jazykovém, matematickém, sportovním apod. Tradičně se ovšem nadání dělí do tří skupin na intelektové, umělecké a sportovní. Právě intelektové nadání je předmětem této práce. Jiné rozdělení přinesli DeHaan a Havighurst,5) kteří rozlišují následující druhy nadání:


intelektové, jehož nositelé vynikají výjimečnou pamětí, mimořádnými početními, verbálními, prostorovými schopnostmi a bývají velice úspěšní ve školních činnostech,




kreativní, které se vyznačuje schopností tvořit nové myšlenky a produkty,




vědecké, jehož nositelé snadno používají algebraické symboly, mají rozvinuté abstraktní myšlení,




vůdcovské

(manažerské),

které

zahrnuje

schopnost

zkvalitňovat

mezilidské vztahy, schopnost empatického vcítění a cílevědomost,


zručné, vyznačující se výraznými schopnostmi v oblasti manipulace, prostorové představivosti, vnímání detailů nebo rozdílů.

V tomto rozdělení postrádám zařazení pohybového nebo sportovního nadání, které by odráželo nadprůměrné schopnosti v oblasti koordinace tělesných pohybů. Zajímavý pohled na rozdělení nadání přináší také Sternberg,6) který na základě své „teorie inteligence“ rozlišuje tyto druhy nadání: 5)

In FOŘTÍK, V., FOŘTÍKOVÁ, J. Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. Praha: Portál, 2007. ISBN 978-80-7367-297-3. s. 12.

13




analytické nadání, které lze měřit IQ testy,




syntetické nadání, jehož nositelé nemusí mít vyšší IQ, ale mají největší přínos ve vědě, literatuře a umění,




praktické nadání, jehož nositelé využívají své mimořádné schopnosti v praxi.

Vertikální klasifikace rozděluje nadání podle míry jeho uplatnění. Mluvíme pak o nadání aktuálním a potenciálním. Aktuálním nadáním se rozumí výkony a projevy podávané v současné době. Avšak z hlediska budoucnosti, jsou současné projevy pouze potenciálním nadáním, protože v budoucnu umožní jedinci dosahování kvalitativně či kvantitativně vyšších výkonů. Další členění nadání uvádí také A. J. Tannenbaum,7) který rozlišuje vzácné nadání, jehož nositelů je velice málo. Jsou schopni reformovat společnost a posouvat její vývoj vpřed. Nositelé obohacujícího nadání svými produkty obohacují společnost. Umožňuje jim dosahovat vysokých výkonů v intelektuálních oblastech. Většinou jsou to učitelé, sociální pracovníci, právníci. Poslední kategorií je neobvyklé nadání, jehož nositelé dosahují výkonů za hranicemi lidských možností. Domnívám se, že bychom měli respektovat alespoň základní dělení nadání na intelektové, pohybové a umělecké, protože se od sebe liší již samotným prostředím, ve kterém se uskutečňují a také vyžadují rozdílné zázemí. Nadaný sportovec bude jistě vyžadovat jiné pomůcky, zázemí, přístupy, apod. než nadaný budoucí vědec nebo skladatel.

2.4. Inteligence Základ intelektového nadání tvoří podle mnohých odborníků inteligence. V historii zkoumání obou termínů se nadání a inteligence ve velké míře překrývá. Samotné vymezení podstaty termínu inteligence, přestože se často používá, je obtížné a jednotlivé názory se mnohdy velmi liší.

6)

SEJVALOVÁ, J. Talent a nadání – jejich rozvoj ve volném čase. Praha: IDM MŠMT, 2004. ISBN 80-86784-03-7. 7) A. J. TANNEBAUM in HŘÍBKOVÁ, L. Nadání a nadaní. Praha: Universita Karlova, 2005. ISBN 80-7290-213-X.

14

W. Stern definuje inteligenci jako „schopnost přizpůsobit se novým požadavkům tím, že se užije myšlenkových prostředků odpovídajících účelu.“8) Další definici uvádí Cattel, podle něhož je inteligence „kombinací charakteristik jedince, která zahrnuje schopnost pro náhled do kontextu vztahů a procesů, zahrnutých v abstraktním myšlení, adaptivitu v řešení problémů a kapacitu na získání nové kapacity.“9) Podle Gardnera,10) každý člověk disponuje hned několika druhy inteligence, na různé úrovni. Jednotlivé typy inteligence poté vymezil takto: inteligence logicko – matematická, lingvistická, prostorová, hudební, přírodní, tělesně pohybová a personální.




Jazyková inteligence

Vyznačuje se citlivostí, mimořádnou schopností pracovat s jazykem v mluvené i psané formě. Oblibou je psaní slohových útvarů, povídek, básní, mezi koníčky patří četba knih novin, encyklopedií, žáci s jazykovým nadáním také řeší a sestavují křížovky, hádanky, nebo hříčky se slovy.


Logicko - matematická inteligence

Projevuje se schopností analytického a syntetického myšlení, schopností logického přístupu k řešení problémů, schopností pracovat a orientovat se ve světě čísel, pravděpodobností, řešení logických hádanek a problémů, hraní šachů.


Prostorová inteligence

Je zvýšená schopnost funkčního vnímání a orientace v prostoru. Žáci se snadno pohybují v prostoru a řeší prostorové úlohy.


Tělesně pohybová (kinetická) inteligence

Takto nadaní žáci mají výbornou schopnost koordinace těla. Vynikají v různých sportech a pohybových činnostech.


Hudební inteligence

Nadaní žáci s hudební inteligencí mají rozvinutou schopnost vnímat zvuky okolí, melodie, rytmy, tóny. Takové nadání bývá silně rozvinuto u hudebních skladatelů.


Interpersonální inteligence

Takto inteligentní děti disponují vysokou schopností empatie, jsou extrovertní, společenské a otevřené. 8)

SEJVALOVÁ, J. Talent a nadání – jejich rozvoj ve volném čase. Praha: IDM MŠMT, 2004. ISBN 80-86784-03-7. 9) JURÁŠKOVÁ, J. Základy pedagogiky nadaných. Praha: Institut Pedagogicko-psychologického poradenství ČR, 2006. ISBN 80-86856-19-4. s. 24. 10) MAŇÁK, J., ŠVEC, V. Výukové metody. Brno: Paido, 2003. ISBN 80-7315-039-5. s. 36.

15




Intrapersonální inteligence

Takto inteligentní žáci jsou mají rozvinutou schopnost porozumět sami sobě. V názorech se nenechají ovlivnit druhými, jdou si za svým.

2.5. Problematika diagnostiky nadaných žáků Diagnostika nadání je velice složitá. Již samotné definice jsou velice široké a nejednotné. Je nutné zdůraznit, že vyhledávání nadaných dětí získává svůj smysl až tehdy, když máme k dispozici identifikační nástroje a následně také vhodnou edukační nabídku pro nadané, která se bude po vyhledání také realizovat. „V procesu vyhledávání nadaných jsou klíčové dva pojmy: identifikace a výběr. Identifikací nadaných se nejčastěji rozumí proces vyhledávání dětí, které svými předpoklady a chováním vyhovují zařazení do speciální edukační nabídky určené pro nadané děti. Identifikace umožňuje odhalit i tzv. latentní nadání, tzn. nadání dětí, které z nějaké důvodu nepodávají mimořádné výkony, ačkoliv jejich osobnostní potenciál

s vysokou

pravděpodobností

umožní

podávání

takových

výkonů

v budoucnosti. Identifikace má obrovský význam především u dětí nižšího věku, neboť jim je dána šance na plnohodnotné rozvinutí potenciálu, který mají. Druhým způsobem vyhledávání nadaných je výběr. Výběrem se obvykle rozumí takové vyhledávání nadaných, kdy jediným nebo hlavním kritériem pro posouzení nadání je podávaný výkon v dané oblasti a pouze nejúspěšnější děti, které mimořádné výkony v této oblasti podávají, jsou zařazovány do speciálních edukačních nabídek pro nadané. Při výběru se setkáváme naopak spíše s dětmi staršího školního věku.“11) Pro úplnost uvádím alespoň několik konkrétních metod využívaných při vyhledávání nadaných:




Testy inteligence - z nichž „mezi nejpoužívanější v naší republice patří Wechslerův WISC III a Amthauerův TSI.“12) „Jejich používání ovšem

11) 12)

HŘÍBKOVÁ, L. Nadání a nadaní. Praha: Universita Karlova, 2005. ISBN 80-7290-213-X. HŘÍBKOVÁ, L. in MACHŮ, E. Rozpoznávání a vzdělávání rozumově nadaných dětí v běžné třídě základní škol: příručka pro učitele a studenty učitelství. Brno: Masarykova univerzita, 2006. ISBN 80-210-3979-5.

16

přináší některé specifické problémy, jedním z nich je exkluzivní právo psychologů na jejich používání.“13)


Testy výkonu - které jsou často kombinovány s inteligenčními testy.




Didaktické testy - které „ověřují znalosti a vědomosti z určité oblasti, předmětu nebo tématu.“14) Do této skupiny můžeme zařadit různé vstupní a výstupní srovnávací testy, které se běžně používají například při přijímacích zkouškách nebo při srovnávání žáků, např. Scio testy.




Výsledky ve škole - hodnocení zejména portfolia dítěte. Školní známky jsou pouze orientační a v této problematice mohou být až zavádějící.




Výsledky soutěží - zde se sledují nejen výsledky, ale i vlastní aktivita a zájem o zapojení do soutěží.




Posouzení dítěte učitelem nebo skupinou učitelů - jehož úspěšnost závisí na nezaujatém pohledu učitelů, kteří se věnují této problematice.




Posouzení dítěte vlastními rodiči – posouzení dítěte rodiči by mělo být součástí hodnocení dítěte, ale toto hodnocení by mělo být nezaujaté, bez předsudků.

Toto je pouze orientační výčet možných metod, které lze při identifikaci nadání použít. Rovněž musíme brát v úvahu, že žádná z těchto metod není univerzální a nemůže podávat stoprocentně pravdivé výsledky. Závěrečné rozhodnutí musí vždy posoudit odborný pracovník. Při identifikaci záleží také na druhu nadání, které zkoumáme. Můžeme říci, že při identifikaci nadaných žáků je lepší použít více různých metod. Celý tento proces je velmi složitý a je k němu zapotřebí spolupráce širokého okolí dítěte. Rodiči počínaje a pedagogicko-psychologickými pracovníky konče.

13) 14)

FOŘTÍK, V., FOŘTÍKOVÁ, J. Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. Praha: Portál, 2007. ISBN 978-80-7367-297-3. s.28. HŘÍBKOVÁ, L. Nadání a nadaní. Praha: Universita Karlova, 2005. ISBN 80-7290-213-X.

17

3. Edukace nadaných žáků na 2. stupni ZŠ Bez ohledu na druh či stupeň nadání, má nadané dítě právo na adekvátní vzdělání a optimální rozvoj toho nejlepšího, co je v něm ukryto. Při stanovení optimálního přístupu ke vzdělávání nadaného žáka musíme vycházet z jeho specifických potřeb, na základě kterých si stanovíme cíle, kterých má být dosaženo.

3.1. Edukační potřeby nadaných žáků „Mimořádně talentovaní žáci mají nejen výjimečné schopnosti, ale současně i výjimečné potřeby.“15) Jako specifické edukační potřeby se v odborné literatuře většinou označují (sestaveno podle Laznibatová (2001), Jurášková (2006)):


Potřeba adekvátní stimulace - především v předškolním a mladším školním věku je důležité poskytnout dětem dostatečně rozmanité a podnětné prostředí, ve kterém se projeví jejich mimořádné schopnosti. Pro žáky na základní škole není stereotypní jednoduchá práce bez fantazie a aktivních podnětů žádným přínosem. Nadaní žáci potřebují uspokojit svoji intelektuální zvědavost. Jsou proto důležité nejen rozmanité podněty, ale také poskytování nových informací.




Potřeba adekvátního kurikula – kurikulum musí zohlednit rozdílnost zájmů a postojů nadaných žáků ke vzdělávání a také individuální osobnost každého z nich. Jejich individuálním potřebám je třeba přizpůsobit obsah, metody a formu vzdělávání podle konkrétních požadavků tak, aby co nejefektivněji pomohly nadanému žákovi rozvinout jeho potenciál.




Potřeba adekvátního hodnocení - také hodnocení by mělo odpovídat dané osobnosti nadaného žáka, úpravě metod a forem vzdělávání.




Potřeba neautoritativní komunikace, pozorného naslouchání, nenucení do činnosti – neautoritativní komunikací je myšlena rovnost učitele a žáka tak, aby žák sám mohl brát učitele jako sobě rovného partnera, jako člověka, kterému se může svěřit se svými problémy a pocity. Ale zároveň chápeme

15)

JURÁŠKOVÁ, J. Základy pedagogiky nadaných. Pezinok: Formát, 2003. ISBN 80-89005-11-X.

18

neautoritativní komunikaci tak, že žáka podporujeme při vyjadřování jeho názorů, které jsou podložené argumenty, neboť i tak se rozvíjí jeho myšlení. Nevhodné je dále autoritativní chování rodičů.


Potřeba adekvátního sociálního prostředí - nadaní žáci potřebují volnost. Jak vyplývá již z definice nadání, mají nadaní žáci zrychlený intelektový vývoj, často odlišné zájmy od zájmů svých vrstevníků, sofistikovaný smysl pro

humor,

vyžadují

rovnoprávnou

komunikaci,

což

může

vést

k nepochopení jejich vrstevníky a k osamělosti. Proto často nacházejí nadané děti kamarády mezi staršími dětmi nebo dospělými.


Potřeba individuálního přístupu - každý nadaný je jedinečná osobnost. Jejich specifické projevy jsou často natolik odlišné, že nemůžeme k nadaným přistupovat jako k homogenní skupině.

Na základě poznání potřeb nadaných žáků jsme tedy schopni vymezit edukační cíle vzdělávání nadaných žáků.

3.2. Edukační cíle ve výchově a vzdělávání nadaných žáků Ve vzdělávání nadaných žáků se obecně klade za cíl především „usměrňování osobnosti nadaných tak, aby co nejefektivněji zhodnocovali své nadání, pracovali samostatně, tvořivě a se zájmem a dokázali se co nejoptimálněji adaptovat do různorodého sociálního kontextu.“16) V problematice vzdělávání nadaných žáků však nevystačíme pouze s takto obecně stanovaným cílem. Musíme cíl vzdělávání vytyčit podrobněji, a to v oblasti kognitivní a afektivní. Kognitivní cíle Stejně jako u průměrně nadaných žáků není v žádném případě cílem v kognitivní oblasti pouhé osvojování poznatků. Cílem je, aby se osvojené poznatky staly nástrojem pro další rozvoj v kognitivní oblasti, například pro vznik nových myšlenek. Za specifické cíle v oblasti kognitivní tedy považujeme aktivní vyhledávání, aktivní zpracování a aktivní vytváření informací, poznatků, vědomostí a zručností.

16)

JURÁŠKOVÁ, J. Základy pedagogiky nadaných. Praha: Institut Pedagogicko-psychologického poradenství ČR, 2006. ISBN 80-86856-19-4.

19

Předpoklady pro dosažení těchto cílů:


žákovi bychom měli poskytnout informace, které jsou nad rámec běžných učebních osnov,




žák by měl řešit tvořivé a problémové úlohy,




žák by měl prezentovat výsledky vlastního studia,




měli bychom podporovat žákovy zájmy a jeho samostudium v určité oblasti,




měli bychom žákovi pomoci rozvíjet vlastnosti, které jsou důležité pro rozvoj kognitivních oblastí, například vytrvalost, důslednost.

Afektivní cíle Stejně jako u průměrně nadaných žáků jsou cílem výchovy a vzdělávání v oblasti afektivní zejména podpora a rozvoj pozitivních stránek osobnosti nadaného žáka a naopak regulace a optimalizace jeho problémových vlastností. Jak vyplývá z výše uvedených charakteristik, nadaní jsou často perfekcionisté, kteří se těžce vyrovnávají s neúspěchem. Měli bychom proto dbát na to, aby se postupně naučili vypořádat se s neúspěchem. Často také nadaní trpí nízkým sebevědomím a podhodnocováním sebe sama. Dbáme tedy na utváření správného obrazu sebe sama.

3.3. Úprava obsahu a organizace vzdělávání nadaných žáků Přístupy ke vzdělávání nadaných žáků vycházejí z edukačních potřeb těchto žáků, které musí učitelé respektovat. Protože se vzdělávací potřeby jednotlivých žáků mohou výrazně lišit stejně tak, jako jejich povahové rysy, měli bychom dbát při výběru vhodných metod výuky na individuální potřeby každého žáka. Ve vzdělávacím procesu jsou uplatňovány zejména dvě strategie, které upravují organizaci a uspořádání obsahu vyučování. Je to akcelerace a obohacení.

3.3.1. Akcelerace Zjednodušeně můžeme říci, že akcelerace znamená urychlení vzdělávání. Nejedná se však pouze o rychlejší tempo výuky, ale zároveň i o poskytnutí učiva na vyšší úrovni, než která by příslušela žákovi podle jeho věku a ročníku. V praxi se můžeme setkat především s těmito strategiemi:


dítěti je umožněn dřívější nástup do školy,




přeskočení ročníku,

20




dítě dochází na výuku jednoho nebo i více předmětů do vyššího ročníku,




současné absolvování dvou ročníků během jednoho školního roku.

Často se můžeme setkat s akcelerací v rámci jednoho předmětu, kde se využívá zhuštění probíraného učiva. Žáci totiž nepotřebují tolik času na procvičování a opakování a nebo jim mohou být některé části učiva sloučeny. Tím je získán čas a prostor na probírání další látky a možné využití další strategie – obohacení učiva. Akcelerace je umožněna díky tomu, že kognitivní procesy u nadaných žáků jsou na vyšší úrovni než u jejich vrstevníků. Mohou se tedy snadno vyrovnat starším jedincům. Další skutečností, která umožňuje akceleraci je, že nadaní žáci mohou být při řešení problémů daleko rychlejší než jejich vrstevníci.

3.3.2. Obohacení Tato metoda je založena na jiném principu než urychlování. Obohacení je spíše kvalitativní strategie, která žákům umožní získat nové, odlišné informace a aktivity, než které jsou dostupné pro jejich vrstevníky. Zatímco akcelerace je spíše kvantitativní strategie, která zhušťuje, urychluje, ale pracuje se stejnými informacemi a aktivitami, které jsou přístupné i ostatním žákům, byť v delším období. Cílem obohacení tedy není zrychlování vzdělávacího procesu, ale rozšíření a prohloubení učiva nad rámec probíraného učiva. Výhodou je také to, že obohacování vede nadané žáky k objevování a hledání souvislostí. Obohacení můžeme realizovat takto:


v rámci daného předmětu, tzn. žák je integrován v běžné třídě a obsah učiva je pro něj sestaven tak, že probírá stejné téma jako ostatní žáci, ale více do hloubky,




jako samostatný předmět, který navazuje na znalosti získané v hodinách daného předmětu,




jako samostatný výukový blok nebo projekt.

Předpokladem pro uskutečnění obohacení je získání času, vhodných podmínek a prostoru, čehož může být dosaženo například dříve zmíněnou akcelerací. Vidíme, tedy, že tyto dvě základní strategie se vzájemně doplňují a prolínají. Pokud bychom se podívali na to, jak tyto dvě strategie přispívají k uskutečňování výukových cílů nadaných žáků, tak můžeme říci, že především obohacení má zásadní vliv na rozvoj jak kognitivních tak afektivních složek žákovy osobnosti.

21

Kognitivní složku žákovy osobnosti rozvíjí zejména tyto aktivity: 1. „Studium, poznávání a zpracování mnohých faktů souvisejících s daným tématem, například hledání informací z různých zdrojů, jejich třídění, analýza, porovnávání, abstrakce, zevšeobecňování, interpretace, hodnocení. 2. Samostudium, tedy domácí samostudium, studium v rámci vyučování, pozorování přírodních a fyzikálních jevů. 3. Řešení úloh. Afektivní složku žákovy osobnosti rozvíjí zejména tyto aktivity: 1. Oblast intrapersonální: radost z poznávání a řešení úlohy, získávání postojů a hledání způsobů řešení reálných problémů, nabývání zkušeností z vystupování před kolektivem v rámci prezentací, sebepoznávání a sebeuvědomování v rámci hodnocení, sebehodnocení a hodnocení žákovským kolektivem. 2. Oblast interpersonální: společné řešení úlohy ve skupině nebo v rámci celého žákovského kolektivu, tolerance, respekt, ocenění práce druhých, diskuse, vyjádření a obhajoba vlastního názoru, uznání argumentů druhých, rozvoj argumentační komunikace.“17)

3.4. Úprava metod používaných pro vzdělávání nadaných žáků Touto úpravou se rozumí zejména používání takových vyučovacích metod a forem, které by akceptovaly specifické vzdělávací potřeby nadaných a také jejich specifické projevy a charakteristiky. Používané metody by měly:


aktivizovat myšlení – podněcovat rozvoj myšlení na vyšší úroveň,




podporovat k činnosti a rozvíjet zájem,




rozvíjet samostatnost,




rozvíjet schopnost spolupracovat s druhými a respektovat jejich názory.

Metody můžeme podle fází edukačního precesu charakterizovat ve třech rovinách:

17)

JURÁŠKOVÁ, J. Základy pedagogiky nadaných. Praha: Institut Pedagogicko-psychologického poradenství ČR, 2006. ISBN 80-86856-19-4. str. 51.

22

Metody motivační a expoziční Vysoká míra vnitřní motivace je charakteristická pro většinu nadaných žáků a stává se tak dobrým základem pro další činnost ve výuce. Neznamená to ovšem, že by učitel motivační metody zcela vypustil. Motivační metody mohou sloužit jako aktivizace žáka pro samostatné objevování a získávání nových vědomostí. Metody používané při expozici učiva musí být tedy aktivizující. Zároveň se žák může podílet na objevování nového pravidla, nového učiva a není tak ve výuce pouze pasivní příjemce. Při tomto objevování zároveň aplikuje předešlé znalosti a zkušenosti. Při expozici můžeme také zařazovat náročnější nebo rozšiřující učivo. Metody fixační Při procvičování a upevňování učiva by se mělo minimalizovat mechanické, monotónní nacvičování a stejné způsoby procvičování. Žák by měl při procvičování naplno využít svých schopností. Proto by mu měly být poskytnuty podnětné úlohy, například ve formě výjimek z pravidel, hlavolamů, úloh, ve kterých uplatní více oblastí ze získaných vědomostí, úlohy na rozvoj logického myšlení, úlohy na rozvoj kritického myšlení, úlohy na rozvoj tvořivosti.

Metody diagnostické a hodnotící Volba diagnostických a hodnotících metod by měla odpovídat zejména náročnosti obsahu učiva, úrovni myšlení žáka a přihlížet především ke specifikám jeho osobnosti. Učitel by měl hodnotit zejména pokrok, který žák ve svém vývoji udělal. V úvahu bychom měli zároveň brát například sklon k perfekcionismu, citlivost, urychlený kognitivní vývoj a celkovou odlišnost vzdělávacího procesu.

3.5. Úprava forem vzdělávání nadaných žáků Dvě základní formy výuky nadaných žáků jsou integrace a segregace. Používají se i formy přechodné - smíšené. Při integraci je nadaný žák zařazen do klasické, nespecializované třídy, při segregaci vznikají samostatné skupiny, nebo třídy nadaných žáků. Pozitivní vlastností u segregovaného vzdělávání je skutečnost, že děti jsou mezi podobně nadanými spolužáky, kteří se navzájem mohou kladně ovlivňovat v učení. Segregovaný způsob má i výhodné podmínky pro jejich výuku. Celé prostředí školy, 23

jednotlivé učebny a pomůcky jsou plně přizpůsobeny potřebám studia. Učivo pro nadané je zpočátku akcelerováno, poté rozšiřováno a prohlubováno. Učitelé pracují se stejnorodou studijní třídou, se sníženými počty žáků a jsou dostatečně seznámeni s problematikou nadaných dětí. „Vzdělávání v běžných školách může rovněž na dostatečné úrovni uspokojovat jedincovy vzdělávací a výchovné potřeby, avšak klade nejen na učitele daleko vyšší požadavky. Aby se dalo hovořit o účinné a plnohodnotné integraci, musí být zabezpečeno několik základních, občas těžce realizovatelných podmínek. Po dohodě s psychologem je nutné navrhnout způsob diagnostikování a rozvíjení nadání, obstarat kompetentní učitele, vypracovat alternativní učební plány, opatřit doplňkové učební pomůcky, navrhnout nový systém hodnocení nadaných žáků, atd. Možná proto je zakládání specializovaných tříd jakousi kompenzací prozatím nedostačující úrovně některých běžných základních škol.“18) Jako negativní se u segregované formy vzdělávání označuje fakt, že nadaní žáci jsou vyčleňováni z kolektivu ostatních a i v budoucnosti mohou mít potíže se zařazením do běžných společenských vztahů. Rozhodování o nejvhodnější formě edukace je velice složité a mělo by vycházet především z potřeb a osobnosti nadaného žáka. Přihlíží se také k věku, možnostem rodičů, učitelů a školy. Dalším činitelem, který ovlivňuje rozhodování o vhodné formě vzdělávání nadaného žáka je druh nadání. Jedná se zde zejména o umělecké, sportovní a intelektové nadání, které je mnohdy rozvíjeno na úkor všeobecného vzdělání. Rozvíjení některých druhů nadání vyžaduje i náročnější požadavky na prostředí a pomůcky, jejichž naplnění není v silách běžných základních škol. Proto i v tomto případě má segregace své opodstatnění. Důležitý vliv na rozhodování hraje i stupeň nadání. Jedinci s potenciálem pro mimořádně vysokou úroveň činnosti vyžadují bohatší vzdělávací podmínky, které může nabídnout jen škola specializovaná. Obě formy vzdělávání, jak integrovaná, tak segregovaná, mají nepochybně velký význam při rozvoji nadání žáka.

18)

MACHŮ, E. Rozpoznávání a vzdělávání rozumově nadaných dětí v běžné třídě základní školy – příručka pro učitele a studenty učitelství. Brno: Masarykova univerzita, 2006. ISBN 80-210-3979-5.

24

3.6. Úprava prostředí pro vzdělávání nadaných žáků Prostředím se rozumí klima ve třídě i v rodině, které zahrnuje také materiální zabezpečení. Úprava prostředí by mohla obsahovat také úpravu vzdělávacích programů a celkové organizace (příležitost účastnit se soutěží, exkurzí, apod.). Charakteristickými znaky učebního prostředí by měla být (upraveno podle J. Jurášková (2006)):


Orientace na zájmy a potřeby žáka.




Nezávislost – žák je veden k samostatnosti, k hledání vlastních způsobů řešení.




Otevřenost – novým myšlenkám, lidem i věcem.




Akceptace – akceptování názorů a řešení, nedirektivnost v pedagogickém přístupu.




Komplexnost – zahrnuje podnětné úlohy, komplexní myšlenky a sofistikované metody, dále zahrnuje množství materiálů, pomůcek a informačních zdrojů.




Nekonkurenčnost – porovnávání výkonů jednotlivých žáků je nevhodné, vzhledem k perfekcionismu a citlivosti, kterou nadaní žáci disponují.




Flexibilita – přizpůsobení rozvrhu, přístupu, kritérií hodnocení, učitelových požadavků.




Mobilita – pohyb v rámci třídy, přístup k různým pomůckám, materiálům, k vybavení a k akcím pořádaných mimo školu.

Učební prostředí nadaného žáka tvoří významnou součást jeho vzdělávání, proto bychom ho rozhodně neměli podceňovat.

3.7. Úprava hodnocení nadaných žáků Také při hodnocení nadaných žáků bychom měli přihlížet k jejich specifickým vlastnostem a celkové osobnosti. V úvahu bychom měli brát nejen jejich často odlišné vlastnosti jejich osobnosti (například tendence k perfekcionismu, citlivost, urychlený kognitivní vývoj), ale také odlišnost vzdělávacího procesu. Podle hodnotícího subjektu můžeme při hodnocení nadaných využívat:


Hodnocení učitelem – stejně jako u ostatních žáků i v tomto případě je na místě zvážit do jaké míry je vhodné či nevhodné používání pouze známek při

25

hodnocení. Vzhledem ke specifičnosti tohoto vzdělávání je lepší používání kombinací různých metod hodnocení. Známkou nemůžeme ohodnotit snahu nebo pokrok, kterého dítě dosáhlo, proto je vhodné doplnit známku o slovní hodnocení.


Hodnocení spolužáky – umožňuje žákovi vytvořit si objektivní názor na výtvor druhého a zároveň přijímat hodnotící soudy od druhých spolužáků.




Sebehodnocení – umožňuje sebekriticky se podívat na vlastní práci, zvláště u nadaných žáků, kteří mají často snížené sebevědomí a tendence k perfekcionismu, můžeme pomocí sebehodnocení utvářet zdravý, adekvátní pohled na svoji práci.

26

4. Péče o nadané žáky v matematice na 2. stupni ZŠ Přestože nadaní žáci disponují silnou vnitřní motivací a potřebou získávat a objevovat nové vědomosti, neznamená to, že pro ně vnější motivace není důležitá. Motivační metody mohou sloužit jako aktivizace žáka pro samostatné objevování a získávání nových vědomostí. Významnou součástí motivace matematicky nadaného žáka je účast na různých soutěžích, kde může naplno projevit svoje schopnosti, získat nové zkušenosti a setkat se s dalšími nadanými žáky.

4.1. Matematické soutěže V následujícím přehledu jsou uvedeny nejznámější matematické soutěže, které se konají v naší republice. Jde především o tyto soutěže:


Matematická olympiáda,




Matematický klokan,




Pythagoriáda,




Pikomat,




Technoplaneta,




Logická olympiáda,




Korespondenční semináře.

Jedná se o soutěže, které jsou většinou organizovány celostátně, nebo alespoň v některém regionu.

Matematická olympiáda K významným celorepublikovým soutěžím na úrovni základních a středních škol patří matematická olympiáda. V letošním školním roce 2008/2009 se uskutečnil již 58. ročník. Matematická olympiáda je organizována v několika kategoriích, pro základní školy – kategorie Z5 pro žáky 5. ročníku ZŠ, kategorie Z6 pro žáky 6. ročníku ZŠ, kategorie Z7 pro žáky 7. ročníku ZŠ, kategorie Z8 pro žáky 8. ročníku ZŠ, kategorie Z9 pro žáky 9. ročníku ZŠ, pro střední školy – kategorie A, B, C a kategorie P zaměřená na informatiku. Jak vyplývá z organizačního řádu matematické olympiády, je tato soutěž jednotná na celém území ČR a probíhá každoročně. Během existence matematické olympiády vzniklo množství studijní literatury. Jsou to hlavně tzv. Ročenky, v nichž jsou uvedeny úlohy všech kol a kategorií i s 27

řešeními v každém jednotlivém ročníku soutěže, dále počty soutěžících, nejúspěšnější řešitelé. Učitelé mají k dispozici tzv. Komentáře k úlohám matematické olympiády, kde bývají úlohy vyřešeny více způsoby. Ke každé úloze je přidáno několik návodových nebo rozšiřujících úloh, které mohou být žákům sděleny a veřejně vyřešeny. Navíc je zde odkaz na literaturu. Dále se v některých regionech organizuje Seminář k úlohám matematické olympiády, kde jsou učitelům ústně prezentována řešení i s návodnými a rozšiřujícími úlohami. Podobně je v některých regionech organizován seminář pro řešitele matematické olympiády, kde ale nejsou řešeny soutěžní úlohy, nýbrž úlohy podobné, a je vysvětlována potřebná teorie. Někdy se návodné a rozšiřující úlohy řeší se žáky ve třídách v individuálních hodinách matematiky nebo ve speciálních seminářích. Matematická olympiáda je organizována a řízena Ústředním výborem MO a jednotlivými regionálními výbory. Úlohy připravuje skupina vysokoškolských a středoškolských učitelů. Protože se jedná o významnou matematickou soutěž u nás, zaslouží se připomenout také něco z její historie. Matematická olympiáda vznikla u nás na základě zkušeností z jiných zemí, především Polska a tehdejšího Sovětského svazu. Iniciátorem Matematické olympiády u nás byl matematik, profesor Univerzity Karlovy, Dr. Eduard Čech. Hlavním cílem MO bylo vyhledat a podchytit studenty talentované v matematice a získat je pro studium na vysokých školách technického zaměření. Matematická olympiáda byla v prvních dvou letech svého konání pořádána pouze pro žáky středních škol. Teprve od třetího ročníku se rozšířila i pro žáky posledního ročníku základních škol a postupně i pro nižší třídy. Nejúspěšnější řešitelé se také účastní mezinárodní matematické olympiády. Československo bylo jejím organizátorem v letech 1962, 1971 a 1984. Z každé pozvané země přijede šest soutěžících, kteří bojují za sebe i svoji zemi. „Za tu dobu celkově reprezentanti ČR získali 3 zlaté, 21 stříbrných, 40 bronzových medailí a 15 čestných uznání. Jako tým se Česká republika umístila nejlépe na 10. místě a to hned při své první účasti. V první dvacítce pak byla ještě čtyřikrát, a to v letech 1995 (17.), 1997 (18.), 1998 (15.) a 2005 (15.).“19)

19)

Mezinárodní matematická olympiáda – Wikipedie, [on-line]. [cit. 2009-03-2] Dostupný z

28

Matematický klokan Jedná se o soutěž, která vznikla v roce 1980 v Austrálii a v roce 1991 se rozšířila také do Evropy (v roce 1994 se poprvé konala v České republice). Tato soutěž probíhá jednorázově, vždy v březnu. Od matematické olympiády se liší tím, že žáci vybírají správnou odpověď z pěti nabídnutých možností. Soutěžící během 75 minut řeší 30 úloh, z nichž prvních deset nejlehčích je ohodnoceno třemi body, dalších deset čtyřmi body a posledních deset nejobtížnějších pěti body. Pořadí soutěžících se určuje až na úrovni celé republiky. Proto je tato soutěž ve srovnání s matematickou olympiádou považována za přístupnější většímu počtu žáků a ne pouze těm nejtalentovanějším. Soutěž probíhá v pěti kategoriích: Klokánek pro žáky 4. a 5. třídy ZŠ, Benjamin pro žáky 6. a 7. třídy ZŠ, Kadet pro žáky 8. a 9. třídy ZŠ, Junior pro žáky 1. a 2. ročníku SŠ a Student pro žáky 3. a 4. ročníku SŠ.

Pythagoriáda Tato matematická soutěž probíhá bez přestávky od školního roku 1978/1979 a patří tedy mezi nejstarší soutěže pro žáky základních škol. Je organizována Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Pythagoriáda je určena žákům 6. a 7. tříd základní školy a žákům odpovídajících ročníků víceletých gymnázií a může se jí zúčastnit každý žák. Soutěž má dvě kola. První kolo je školní, probíhá v únoru a úspěšní řešitelé postupují do druhého kola, které se koná v květnu. Výsledky jsou vyhlašovány na úrovni okresu. Úlohy jsou koncipovány tak, že žáci sami tvoří odpověď. Odhaduje se, že obtížnost je mezi matematickou olympiádou a matematickým klokanem.

Pikomat Pikomat je matematický korespondenční seminář pro základní školy a nižší ročníky víceletých gymnázií. Ve školním roce 2008/2009 probíhá 26. ročník. Tato matematická soutěž je určena pro žáky 6. - 9. tříd ZŠ. Pikomat pořádá občanské sdružení SVČ Lužánky pod záštitou Gymnázia třídy Kpt. Jaroše v Brně. Organizátoři se snaží rozšířit Pikomat na všechny základní školy v Jihomoravském kraji. Obtížnost příkladů odpovídá příkladům z matematické olympiády. Účastníci tohoto semináře bývají často zároveň řešitelé matematické olympiády a žáci, kteří se zajímají o matematiku.

29

Tato korespondenční soutěž probíhá od září do května. Je rozdělena do pěti sérií. Úspěšní řešitelé mají možnost se zúčastnit soustředění, která se konají na podzim a na jaře. Na těchto soustředěních je organizován zájmový a kulturní program, který nenásilně přibližuje matematiku formou zábavných her.

Technoplaneta Jedná se o šifrovací hru, kterou organizuje Klub Kapsa. Hra je určena pro pětičlenné týmy žáků základních škol nebo odpovídajících ročníků víceletých gymnázií. Týmy se nejprve účastní internetových kol, pomocí kterých se připravují na finále, které probíhá v Praze a účastní se ho dvacet nejúspěšnějších týmů. Šifry pomáhají rozvíjet prostorovou představivost, logické myšlení, tvořivost a kritické myšlení.

Logická olympiáda Logická olympiáda je soutěž, kterou pořádá Mensa ČR a je určena pro žáky pátých tříd základních škol. Cílem soutěže je pomoci školám včas objevit individuální nadání žáků a pomoci v jejich dalším rozvoji. Soutěžní úlohy jsou založeny na obecných principech a pro jejich řešení není třeba žádných speciálních znalostí, stačí logické myšlení, rychlý a správný úsudek. Tím se logická olympiáda liší od ostatních soutěží, kde úspěch závisí do značné míry na úrovni znalostí žáka.

Korespondenční semináře Velice zajímavé jsou také matematické korespondenční semináře, které jsou určené pro žáky základních i středních škol. Jsou organizovány jak celostátně, tak regionálně. Mezi nejznámější z nich patří:


PraSe (Pražský matematický seminář) – pořádaný Matematicko-fyzikální fakultou Univerzity Karlovy. Seminář je určen pro studenty středních škol nejen z České republiky. Seminář probíhá od září do května. Skládá se z osmi úloh na daná matematická témata. Pokud některé z nich účastník vyřeší, zasílá řešení pořadatelům, ti je opraví a spolu s výsledky zašlou nazpět řešiteli. Nejlepší řešitelé jsou zváni na matematické soustředění a na konci školního roku jsou odměněni cenami.




KoKoS (Koperníkův korespondenční seminář) – seminář je určen pro žáky 6.-9. tříd ZŠ a příslušných tříd víceletých gymnázií. KoKoS organizuje skupina studentů matematických tříd na G. M. Koperníka v Bílovci. Cílem 30

semináře je zábavnou formou ukázat řešitelům zajímavá zákoutí matematiky. Jsou zadávány neobvyklé příklady, pomocí kterých si děti rozvíjejí své vědomosti a schopnosti a také jsou vedeni k zodpovědnosti, neboť musí včas odesílat svá řešení. Nejlepší řešitelé se účastní matematického soustředění během podzimních a jarních prázdnin na internátě GMK Bílovec a na konci roku jsou nejlepší řešitelé odměněni.


BRKOs (Brněnský korespondenční seminář) – je organizován pod záštitou Sekce matematiky Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity. BRKOS je určený pro všechny studenty středních škol, ale zúčastnit se mohou také žáci základních škol. Řešitelům jsou postupně zadávány příklady k řešení, které jsou rozděleny do 6 sérií po 7 příkladech. K řešení jsou vždy vybírány zajímavé příklady z různých oblastí matematiky. Ti nejlepší řešitelé mají možnost účastnit se za odměnu matematického soustředění.




KOS – je matematický korespondenční seminář pořádaný Matematickým ústavem Slezské univerzity v Opavě. Seminář je určen především studentům středních škol. Cílem je rozvíjet logické myšlení a schopnosti řešit zadané problémy nejen matematického rázu. V průběhu školního roku pořadatelé řešitelům zasílají ve třech sérií matematické úlohy. Zadání se skládá z teoretické části a z příkladů k řešení.

31

4.2. Projekty Výukový projekt je charakterizován jako „komplexní pracovní úkol, při jehož řešení si žáci současně osvojují nové vědomosti a dovednosti. Při jeho realizaci se uplatňuje celá řada tzv. aktivizujících vyučovacích metod, zejména metod samostatné práce.“20) Projektová metoda bývá velice náročná na přípravu i realizaci, přesto se jedná o oblíbenou a často používanou metodu. Umožňuje žákům, aby přirozeným a nenásilným způsobem poznávali a získávali nové poznatky a řešili reálné problémy. Projektová výuka nabízí k řešení širokou škálu problémových úloh, které zahrnují také praktické využití. Výukové projekty mohou být pojaty individuálně, na různých úrovních, a proto jsou vhodné pro zařazení do výuky nadaných žáků. Výhodou je také možnost rozdělení práce na projektu. Nadané děti mohou pracovat na své části projektu samostatně, nebo spolupracovat se svými vrstevníky ve třídě. Nadaným žákům je také vhodné zařazovat dlouhodobé projekty, při kterých mohou uplatnit rozvoj schopností v oblasti svých zájmů. Nadaným žákům můžeme právě pomocí projektů poskytnout prostor pro jejich vlastní realizaci, rozvoj kreativity, prostor pro využití jejich znalostí, nebo jim poskytnout možnost získat zcela nové vědomosti a dovednosti. Existuje mnoho druhů projektů, rozdělených podle různých kritérií, což dává učiteli možnost vybírat přesně podle konkrétních možností, které má k dispozici. Jedná se o kritéria podle času určeného k realizaci, počtu žáků, účelu projektu, způsobu organizace, rozsahu, apod.

4.3. Individuální vzdělávací plán v matematice Výuka nadaného žáka může být upravena podle individuálního vzdělávacího plánu (dále jen „IVP“), který je zmiňován i zákonem č. 561/2004 Sb., o předškolním, základním, středním, vyšším odborném a dalším vzdělávání, ve znění pozdějších předpisů. IVP umožňuje upravovat výuku nadaného žáka tak, aby mohl plně rozvíjet svoje schopnosti. Školský zákon také upravuje, co musí IVP obsahovat, nebo kdo a kdy ho vypracuje.

20)

ŠIMONÍK, O. Úvod do didaktiky základní školy. Brno: MSD, spol. s r.o., 2005. ISBN 80-86633-33-0. s. 103.

32

IVP je velmi dobrým nástrojem zejména pro základní školy, které nemají rozšířenou výuku a je tedy pravděpodobné, že nebudou mít dostatečný počet nadaných žáků, aby vytvořily samostatnou skupinu. Lze totiž předpokládat, že nadaný žák, u kterého bylo nadání odhaleno už na prvním stupni, bude s největší pravděpodobností usilovat o přechod na nižší gymnázium, kde je možný jeho rychlejší a kvalitnější rozvoj, nebo bude přeřazen do speciální třídy či školy pro nadané. Tady jsou naopak velice příznivé podmínky pro využití obohacování a urychlování výuky. Při tvorbě IVP by měl učitel dodržovat tyto principy:


východiskem je diagnostická zpráva z odborného pracoviště, kterou učitel respektuje,




vychází z vlastního pozorování a zkušeností,




při tvorbě IVP respektuje individuální zvláštnosti osobnosti nadaného žáka,




tvorbu IVP konzultuje s rodiči,




vytváří cíle, kterých má být IVP dosaženo,




učitel vytváří IVP v souladu se školním vzdělávacím plánem (dále jen „ŠVP“), učivo podle potřeby upravuje, tzn. buď rozšiřuje, prohlubuje nebo urychluje, proto IVP může obsahovat i učivo z vyššího ročníku. IVP by měl obsahovat učivo, ale také použité metody, způsob organizace výuky, formy práce a pomůcky.

33

5. Vybraní nadaní žáci V této kapitole bych ráda podala popis nadaných žáků, které jsem v posledních dvou letech vyučovala. Individuální hodinu výuky matematiky jednou týdně jsem vedla pro čtyři nadané žáky, s nimiž jsem měla možnost pracovat a detailněji pozorovat jejich chování. Jedná se žákyně deváté třídy – Evu, Kamilu a Terezu.21) Ve druhém roce se do výuky zapojil ještě matematicky nadaný chlapec Tomáš, který stejně jako Eva, Kamila a Tereza, navštěvoval třídu s rozšířenou výukou matematiky. Žákyně Eva, Kamila a Tereza svými výsledky opakovaně vynikaly nad ostatními spolužáky. Tomáš svoje matematické nadání ve škole příliš neprojevoval. Žáci byli pro individuální vzdělávání navrženi ještě před tím, než jsem s nimi začala pracovat. Žáci absolvovali vyšetření v pedagogicko-psychologické poradně v prvním pololetí sedmé třídy. Níže uvedené informace, popisující jednotlivé žáky, jsem čerpala z vlastního pozorování, rozhovorů se žáky, ze zkušeností třídní učitelky a ze zprávy z pedagogicko-psychologické poradny.

5.1. Eva Eva pochází z rodiny vysokoškolsky vzdělaných rodičů. Nemá žádné sourozence. Má silný sklon k perfekcionismu, který ale nedává na sobě příliš znát. Eva má mnoho koníčků, má široký všeobecný přehled, ve volném čase hodně a ráda čte nebo si píše své vlastní povídky. Evino nadání bylo v pedagogickopsychologické poradně diagnostikováno jako všestranné, navíc spojené s vysokým IQ. Eva má ve škole výtečné studijní výsledky. Učitelé ji chválí téměř ve všech předmětech. Po ukončení základní školy by chtěla navštěvovat všeobecné gymnázium a poté se stát lékařkou. Nejvíce času tráví s Kamilou. Eva je ve třídě uznávaná, což dokazují i charakteristiky, kterými ostatní spolužáci ze třídy Evu popsali na začátku školního roku (září 2008):
21)

velmi inteligentní mladá dívka,

Jména žáků byla pro účely práce pozměněna.

34




vždy připravená do školy,




chytrá, hodná, dokáže přiznat svoji chybu, když nějaká je,




má nejlepší projekty ve škole,




dobrá na různé školní předměty,




moc fajn holčina,




drsná v lanovém centru,




umí se dobře vyjadřovat,




skvělá kamarádka, velice chytrá a ctižádostivá,




má výborný smysl pro humor,




úžasná kamarádka,




je chytrá a zábavná,




uvažuje logicky,




velmi chytrá holka, mohla by se víc prosazovat,




chytrá, komunikativní, uzná, když nemá pravdu.

5.2. Kamila Svými studijními výsledky patří Kamila společně s Evou a Terezou mezi nejlepší v celé třídě. V hodinách se hodně hlásí a snaží. Má výborný všeobecný přehled. Oproti ostatním spolužákům má stejně jako Eva rychlejší pracovní tempo. Vyniká nejen v matematice, ale také v českém a anglickém jazyce. U Kamily bylo v pedagogickopsychologické poradně zjištěno velice nadprůměrné lingvistické nadání a logické myšlení. Sama od sebe má zájem učit se nové cizí jazyky. Kromě anglického jazyka, který se učí se škole, umí základy ruského a francouzského jazyka. Chtěla by pokračovat ve studiu na gymnáziu se zaměřením na výuku jazyků. Se spolužáky vychází velice dobře. Má také dobré rodinné zázemí. Kamila také dlouhodobě úspěšně reprezentuje školu na různých soutěžích. Ze všech vybraných nadaných dětí je Kamila nejvíce komunikativní. V kontaktu s ostatními spolužáky je otevřená, extrovertní, má mnoho přátel. Na začátku školního roku (září 2008) ji spolužáci ze třídy popsali těmito charakteristikami:


umí řešit logické úlohy, jde jí matika,




je nevyzpytatelná, vždy překvapí,




superextra chytrá, zvládá vše levou zadní,

35




má vždy dobrou náladu,




je to matematický génius,




je chytrá, ale někdy mi přijde, že se povyšuje,




je s ní sranda a dobře se učí,




vždy pomůže, umí matematiku,




vše bere s přehledem.

5.3. Tereza Tereza má spolu s Evou a Kamilou nejlepší studijní výsledky ve třídě. Tereza je ovšem ve srovnání s Evou a Kamilou více introvertní, méně průbojná a klidnější. Své schopnosti neprojevuje otevřeně jako Eva a Kamila, ale většinou až když je vyzvána učiteli. V pedagogicko-psychologické poradně bylo u Terezy zjištěno nadprůměrné matematické nadání a rozvinuté logické myšlení. Po ukončení základní školy by chtěla navštěvovat všeobecné gymnázium s rozšířenou výukou matematiky. Ve třídě je oblíbená, ale přátelí se hlavně s Kamilou a Evou. Na začátku školního roku (září 2008) ji spolužáci ze třídy popsali těmito charakteristikami:


chytrá, tichá, má dobré nápady,




rychle přemýšlí,




jde jí matematika, je dobrá v dějepisu,




ráda pomůže nebo utěší, je moc milá,




tichá a hodná holka,




jde jí angličtina,




umí dobře matematiku,




se vším pomůže,




je velice chytrá,




chytrá, pravdomluvná, se vším pomůže,




je dobrá na matematiku,




má dobré nápady.

5.4. Tomáš Tomáše lze charakterizovat, na rozdíl od Evy, Kamily a Terezy, jako velmi odlišného. Svými studijními výsledky nepatří mezi nejlepší žáky, dokonce ani

36

v matematice nepatří mezi nejlepší. Byla u něj diagnostikována dysgrafie. Tomáš má ovšem velice rozvinuté logické myšlení. Při učení se vyhýbá jakémukoliv mechanickému učení, v matematice mu často činí problém základní znalosti. Tomáš se snaží vše řešit svými vlastními postupy a úvahou. Je velice dobrý v aritmetice, vyznačuje se velmi dobrým uvažováním v abstraktní rovině. Přesto v algebře mu činí problém používání algoritmů, zapamatování si vzorců, apod. Po ukončení základní školy by chtěl navštěvovat gymnázium s rozšířenou výukou matematiky. Ve třídě je oblíbený, ale nemá zde mnoho blízkých přátel. Je spíše introvert a velice rád se baví s dospělými. Na začátku školního roku (září 2008) byl spolužáky charakterizován takto:


umí řešit logické úlohy,




dělá si věci sám pro sebe,




není moc ukecaný, ale umí se prosadit,




má hodně koníčků,




je optimista,




není moc chytrý, ale když něco umí, tak poradí,




někdy je s ním sranda,




takový neutrální.

37

6. Sbírka úloh z matematiky pro nadané žáky na 2. stupni ZŠ V následující kapitole budou prezentovány příklady, které je možné využít při práci s nadanými žáky v matematice. V první subkapitole jsou ukázky úloh, které vedou k prohloubení učiva. Jedná se náročnější úlohy, které může učitel využít souběžně při výuce konkrétního tématu. Druhá subkapitola je zaměřena na rozšiřující učivo, s cílem obohatit matematický aparát nadaného žáka. Jsou zde uvedena pouze vybraná témata, která je možné podle potřeby rozšiřovat. Výběr úloh, které rozvíjejí logické myšlení, je uveden ve třetí subkapitole. Úlohy jsou určeny pro žáky 2. stupně ZŠ a některé předpokládají vyšší úroveň znalostí a dovedností. Jednotlivé příklady mohou být využity pro žáky ve speciální třídě pro nadané, nebo také pro individuální výuku nadaného žáka, který je integrován v běžné třídě. Uvádím, že v této kapitole je uveden, vzhledem k rozsahu diplomové práce, jen nepatrný výběr možností a námětů, které by učitel mohl využít při práci s nadaným žákem, a které by rozšiřovaly jeho obzor a rozvíjely jeho matematické znalosti a dovednosti.

6.1. Příklady prohlubující učivo Při výuce nadaných žáků se mohou zařazovat tyto typy úloh:


náročnější nadstandardní úlohy,




úlohy, které vyžadují netradiční řešení, ukazují různé způsoby řešení, nebo mají dokázat daný jev,




úlohy zaměřené na orientaci v textu, výběr a třídění informací,




úlohy zaměřené na aplikování a využití různých, doposud získaných znalostí a dovedností nejen z matematiky,




tvořivé úlohy, při jejichž řešení nelze využít obvyklé postupy a algoritmy a je třeba hledat nové cesty vedoucí k vyřešení úlohy,




úlohy na argumentaci a kritické myšlení,




úlohy, které dítě prezentuje ve třídě například ve formě referátu, modelu, příručky, apod.

38

Příklad č. 1 Myslete si nějaké trojciferné číslo. Může to být zcela libovolné trojciferné číslo, ale první číslice se musí, hodnotou, kterou vyjadřuje, lišit od hodnoty, kterou vyjadřuje třetí číslice, alespoň o dvě. Napište jej v převráceném tvaru a z takto vzniklých dvou trojciferných čísel odečtěte to menší od většího. Získáme rozdíl r. Číslice rozdílu r napíše v opačném pořadí a získáme číslo p. Nyní sečteme čísla r a p. Výsledek bude 1089. Zdůvodněte, proč výsledek bude vždy 1089.22) Řešení:23) Zvolené libovolné číslo: 100 a + 10 b + c Číslo napíšeme v převráceném tvaru: 100 c + 10 b + a Od většího čísla odečteme menší ( a > c ) 100 a + 10 b + c - 100 c - 10 b – a = r 99 a – 99 c = r 99 ( a – c ) = r a–c 99 ( a – c ) = r p r+p

2 198 891 1089

3 279 792 1089

4 396 693 1089

5 495 594 1089

6 594 495 1089

7 693 396 1089

8 792 279 1089

9 891 198 1089

Příklad č. 2 Maminka připravila na oslavu Jirkových narozenin pomerančový džus tak, že smíchala 1 litr 100 % džusu s 2/3 litru 30 % džusu. Jirka si odlil do skleničky a ochutnal. Protože má radši slabší koncentraci, dolil připravený džus na původní množství. Výsledný džus měl koncentraci 61,2 %, a to mu vyhovovalo. Jaké množství džusu si Jirka odlil do skleničky?24) Žákovské řešení: Kamila si nejprve vypočetla, jakou koncentraci měl džus, který Jirka ochutnával. Výpočet provedla jako poměr množství džusů o různé koncentraci. Sestavení rovnice jí však činilo problémy. Rovnici nakonec sestavila, ale v zápise používala nesprávně procenta. V průběhu řešení se snažila postupně sestavoval různé rovnice, které ovšem nevedly k řešení.

22)

ACHESON, D. 1089 a další parádní čísla. Praha: Dokořán, 2002. ISBN 80-7363-625-7. Řešení zapsané do tabulky naznačila PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D. 24) Matematická olympiáda, 54. ročník, Z-9, III. kolo [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z . 23)

39

Další způsob řešení: Koncentrace směsi dvou džusů označíme x. 2 2 Rovnici sestavíme takto: 1·100 + · 30 = (1 + ) · x 3 3 Vypočteme, že x = 72 Koncentrace směsi je 72 %.

Množství džusu, které odlil Jirka označíme y. 2 5 Rovnici sestavíme takto: (1 + – y) · 72 = · 61,2 3 3 Vypočteme, že y = 0,25 Bylo odlito 0,25 l džusu. Odpověď: Jirka tedy odlil 0,25 litru džusu.

40

Příklad č. 3 Zvolíme libovolné trojciferné číslo. Toto číslo napíšeme ještě jednou a vznikne nám šesticiferné číslo. Toto číslo vydělíme 13, podíl vydělíme 11 a tento podíl vydělíme 7. Výsledkem bude trojciferné číslo, které jsme si zvolili na začátku. Ukažte, že to bude platit pro každé trojciferné číslo, které si zvolíme.25) Žákovské řešení:

Kamila si označila neznámé šesticiferné číslo jako abcabc, respektive neznámé trojciferné číslo jako abc. Stejná písmena představovala stejné číslice. Takovýto zápis ovšem nevyjadřuje hodnotu čísla, ale představuje pouze symbolický zápis čísla. Správně vytvořila složený zlomek, který vyjadřuje, že číslo dělíme postupně 13, 11 a 7. Přišla na to, že šesticiferné číslo vlastně dělíme číslem 1001 a podílem bude původní trojciferné číslo. Provedla opačný postup, tedy vynásobila trojciferné číslo číslem 1001 a ukázala tak, že dostaneme šesticiferné číslo.

25)

ACHESON, D. 1089 a další parádní čísla. Praha: Dokořán, 2002. ISBN 80-7363-625-7.

41

Příklad č. 4 V laboratoři na polici stojí uzavřená skleněná nádoba ve tvaru kvádru. Nachází se v ní 2,4 litru destilované vody, avšak objem nádoby je větší. Voda sahá do výšky 16 cm. Když kvádrovou nádobu postavíme na jinou její stěnu, bude hladina ve výšce 10 cm. Kdybychom ji postavili ještě na jinou stěnu, voda by sahala jen do výšky 9,6 cm. Určete rozměry nádoby.26) Žákovské řešení:

Tereza správně načrtla tři různé polohy nádoby a označila její rozměry. Sestavila soustavu tří rovnic o třech neznámých, kterou vypočetla komparační metodou. Odpověď: Rozměry nádoby jsou 12 cm, 12,5 cm a 20 cm.

26)

Matematická olympiáda, 56. ročník MO, Z-9, III. kolo [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z .

42

Příklad č. 5 Petr a Honza šli plavat. Vzdálenosti, které uplavali, byly v poměru 4 : 5, Honza uplaval více. Další den šli znovu, tentokrát Petr uplaval o 200 metrů méně a Honza o 100 metrů více než předchozí den a poměr vzdáleností byl 5 : 8. Kolik metrů uplavali Honza a Petr první den?27) Žákovské řešení:

Eva si označila za neznámou x délku stejných dílů, na které rozdělila vzdálenosti, které kluci uplavali první den. Petr uplaval 4 díly, Honza uplaval 5 dílů. Podle zadání správně sestavila rovnici o jedné neznámé a vypočetla ji. Zkouška: Vzdálenosti, které Petr a Honza uplavali, byly v poměru 4 : 5, tedy 1200 : 1500. Další den Petr uplaval (1200 – 200) m = 1000 m, Honza uplaval (1500 + 100) m = 1600 m. Vzdálenosti byly v poměru 1000 : 1600, tedy 5 : 8. Což odpovídá zadání. Odpověď: Petr uplaval první den (4 · 300) m = 1 200 m, Honza (5 · 300) m = 1 500 m.

27)

Matematická olympiáda, 55. ročník MO, Z-9, II. kolo [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z .

43

Příklad č. 6 Marek si hraje s kalkulačkou. Na papír si napsal jedno číslo. Zadal je do kalkulačky a pak postupně mačkal tlačítka: plus, čtyři, děleno, čtyři, minus, čtyři, krát, čtyři. Výsledek opsal na papír. Poté s tímto číslem postupoval stejně jako s předcházejícím, tedy zase: plus, čtyři, děleno, čtyři, minus, čtyři, krát, čtyři. Výsledek si opět opsal na papír. Celý postup s tímto nový získaným číslem zopakoval a opět výsledek opsal na papír. Poté zjistil, že součet čtyř čísel zapsaných na papíře je 80. Která čísla a v jakém pořadí napsal Marek na papír?28) Žákovské řešení:

Eva při řešení pracovala se čtyřmi neznámými x,y,z,a. Označila tak čtyři čísla, která napsal Marek na papír. Zcela správně sestavila soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých. Kladně hodnotím zejména správné používání závorek při sestavování rovnice. Rovnici vyřešila dosazovací metodou.

28)

Matematická olympiáda, 55. ročník MO, Z-9, II. kolo [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z .

44

Zkouška: Marek provedl tento postup: 38 + 4 = 42, 42 : 4 = 10,5, 10,5 – 4 = 6,5, 6,5 · 4 = 26 toto číslo zapsal na papír. Dále 26 + 4 = 30, 30 : 4 = 7,5, 7,5 – 4 = 3,5, 3,5 · 4 = 14 toto číslo zapsal znovu na papír. Naposledy vypočítal 14 + 4 = 18, 18 : 4 = 4,5, 4,5 – 4 = 0,5, 0,5 · 4 = 2 toto číslo zapsal na papír. Odpověď: Marek napsal na papír tato čísla: 38, 26, 14, 2. Příklad č. 7 Veverky si na zimu dělají zásoby lískových oříšků, hříbků a jedlových šišek. Zrzečka, Pizizubka a Křivoouško mají stejně kusů zásob. Zrzečka má dvakrát více oříšků než Pizizubka. Křivoouško má o 20 oříšků víc než Pizizubka. Hříbků mají všechny tři stejně a to 48 kusů. Dohromady mají 180 šišek a 180 oříšků. Kolik má každá veverka oříšků, kolik šišek a kolik hříbků?29) Žákovské řešení:

Tereza si jednotlivá množství napsala přehledně do tabulky. Za neznámou x zvolila počet oříšků, které má Pizizubka. Podle zadání poté doplnila počet oříšků ostatních veverek. V první tabulce se ovšem dopustila chyby, když předpokládala, že veverky mají stejné množství šišek, které označila y. Věděla, že veverky mají dohromady 180 oříšků, proto z první tabulky dopočítala jednotlivá množství, která mají veverky. Do druhé tabulka doplnila již konkrétní množství oříšků a hříbků a také kolik kusů (oříšků a hříbků) má každá z veverek v zásobě. Protože věděla ze zadání, že veverky mají stejně kusů zásob, snažila se dopočítat počet šišek u každé veverky. Správné řešení našla tak, že po sečtení všech šišek dohromady byl jejich počet 180. Správné řešení napsala do třetí tabulky. Odpověď: Veverky mají na zimu připravené tyto zásoby: Zrzečka: 48 hříbků, 80 oříšků, 40 jedlových šišek, Pizizubka: 48 hříbků, 40 oříšků, 80 jedlových šišek, Křivoouško: 48 hříbků, 60 oříšků, 60 jedlových šišek. 29)

Matematická olympiáda, 52. ročník, Z-6, II. kolo [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z .

45

Příklad č. 8 Pavel si zvolil dvě přirozená čísla a, b (a ≠ b) a vypočítal rozdíl jejich druhých mocnin. Vyšlo mu 2 007. Které dvojice čísel si mohl Pavel zvolit?30) Žákovské řešení:

Eva se snažila nejprve najít řešení pomocí náhodně zvolených čísel, ale žádné neobjevila. Proto si označila neznámá čísla jako x a y. Vyjádřila vztah mezi nimi jako součin dvou činitelů. Našla všechny dělitele čísla 2007 a nyní již mohla sestavit tři soustavy dvou rovnic o dvou neznámých, které vyřešila a správně tak nalezla tři různá řešení úlohy. Odpověď: Pavel mohl zvolit dvojice 1 004 a 1 003 nebo 336 a 333 nebo 116 a 107.

30)

Matematická olympiáda, 56. ročník, Z-9, III. kolo [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z .

46

Příklad č. 9 Válec o poloměru r = 4 cm a výšce v = 10 cm rozřízneme rovnoběžně s osou válce tak, že šířka vzniklého řezu je rovna poloměru podstavy. Vypočtěte objem V1 a V2 nově vzniklých částí válce.31) Žákovské řešení:

Eva názorně načrtla válec a jeho rozdělení na dvě části. Nejprve vypočetla objem celého válce. Poté vypočetla objem menší části válce tak, že vypočítala obsah podstavy menší části – kruhové úseče. Nejprve vypočetla obsah celé podstavy válce – obsah kruhu. Správně naznačila, že v podstavě je šest stejných kruhových úsečí. Proto obsah podstavy menší části válce vypočetla jako rozdíl obsahu kruhu a součtu obsahů šesti trojúhelníků (které jsou stejnostranné, jednu stranu tvoří řez podstavy válce a další dvě strany jsou poloměry podstavy), který dělila šesti. Objem větší části válce vypočetla jako rozdíl objemu válce a objemu menší části V1. Odpověď: Objem V1 menší části je 14,7 cm3 a objem V2 větší částí válce je 487,7 cm3. 31)

KRUPKA, P. Sbírka úloh z matematiky pro 2. stupeň základní školy a nižší ročníky víceletých gymnázií, 2. díl. Praha: Prométheus, 2000. ISBN 80-7196-189-2.

47

Příklad č. 10 Vypočtěte obsah plochy srdce na obrázku, jestliže víte, že r = 0,15 dm a jeho výška je v = 0,55 dm.32)

Řešení: Srdce tvoří dvě shodné kruhové výseče o poloměru 0,15 dm. Hranice těchto kruhových výsečí přechází v úsečky T1V a T2V, jež jsou tečnami kružnic v bodech T1 a T2. Výška srdce je kolmá na spojnici středů obou kružnic. TV je osou souměrnosti celého srdce. Délka úsečky TV je (0,55 – 0,15) dm = 0,4 dm. Trojúhelníky VT1S1, VTS1, VTS2, VT2S2 jsou shodné podle věty Ssu. Obsah každého z nich je:

St = [ (0,15 ·0,4) : 2] dm2 = 0,03 dm2 St = 0,03 dm2 Nyní potřebujeme znát velikost úhlu β. Platí: β = 360O – 2 α Z trojúhelníku VTS1: tg α = 0,4 : 0,15 α = 69O27´ Obsah kruhové výseče S1T1T je Sv = [(π |ST|2 β) : 360 O] dm2 = 0,0434 dm2 Sv = 0,0434 dm2 Obsah celé plochy srdce je S = 4 · St + 2 · Sv S = (4 · 0,03 + 2 · 0,0434 ) dm2 S = 0,2068 dm2 Odpověď: Obsah plochy srdce je 0,2068 dm2.

32)

ZHOUF, M. Matematické příběhy z korespondenčních seminářů. Praha: Prometheus, 2006. ISBN 80-7196-304-6.

48

Příklad č. 11 U ohně seděli náčelníci tří indiánských kmenů se třemi stejnými dýmkami. Měli válečnou poradu a kouřili. První z nich vykouří celou dýmku za deset minut, druhý za půl hodiny a třetí za hodinu. Jak si mají náčelníci mezi sebou měnit dýmky, aby se mohli radit co nejdéle?33) Řešení:

Uvažujme, že se náčelníci chtějí radit 60 minut. Pak první za tuto dobu vykouří 6 dýmek, druhý 2 a třetí 1. Dohromady potřebují 9 dýmek. Vzhledem k tomu, že ve skutečnosti mají jen 3, musí jejich porada trvat pouze 20 minut. Odpověď: Nejdelší možná porada bude trvat 20 minut.

33)

Matematická olympiáda, 51. ročník, Z-8, II. kolo [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z .

49

6.2. Příklady obohacující výuku – rozšiřující učivo Pro nadané žáky můžeme zařadit na ZŠ také učivo, které není explicitně uvedeno v rámcovém vzdělávacím programu (dále jen „RVP“), respektive ŠVP. Rozšiřující učivo by mělo vést k rozvoji klíčových kompetencí žáka, zejména kompetencí k učení, kompetencí k řešení problémů nebo kompetencí pracovních. V následující části jsou uvedeny možnosti, jak rozšířit jednotlivé tématické okruhy vzdělávacího obsahu vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace. Nesmíme opomenout, že jednotlivá témata spolu navzájem souvisí, navazují na základní učivo a je tedy nutné je zařazovat v logické posloupnosti.




Číslo a proměnná – možno rozšířit o učivo – kvadratická rovnice, absolutní

hodnota reálného čísla, základní množinové pojmy, Vennovy diagramy, finanční matematika, úlohy vedoucí na řešení diofantovské rovnice.


Závislosti, vztahy a práce s daty – možno rozšířit o učivo – kvadratická

funkce, základy statistiky.


Geometrie v rovině a v prostoru – možno rozšířit o učivo – Euklidovy

věty.


Nestandardní aplikační úlohy a problémy – možno rozšířit o učivo –

základy kombinatoriky, pravděpodobnost, logické úlohy.

6.2.1.

Kvadratická

rovnice

a

slovní

úlohy

vedoucí

k řešení

kvadratických rovnic Předpoklady pro zvládnutí učiva: žák umí pracovat s výrazy s proměnnou, žák umí

sestavit a řešit lineární rovnice. Cíl: naučit žáky sestavovat a řešit kvadratické rovnice a užívat je při řešení slovních

úloh z praxe. Obsah: kvadratická rovnice, kvadratický člen, lineární člen, absolutní člen, kořeny

rovnice, zkouška dosazením, řešení kvadratické rovnice s využitím diskriminantu, řešení slovních úloh pomocí kvadratické rovnice. Výstupy: žák řeší kvadratické rovnice a provádí zkoušku, žák využívá kvadratické

rovnice při řešení slovních úloh. Metodika: látka navazuje především na problematiku výrazů a lineárních rovnic. Využití tématu: jedná se o silný matematický aparát využitelný k řešení velkého

50

množství úloh z praxe, je také základem středoškolské matematiky, proto se předpokládá jeho další využití na střední škole.

Příklad č. 1 Najdi dvojciferné číslo pro které platí: Číslice na místě jednotek je o 1 větší než číslice na místě desítek. Součin čísla a jeho ciferného součtu je 405.34) Žákovské řešení:

Kamila si označila číslici na místě desítek jako x, číslici na místě jednotek jako y. Na základě zadání správně sestavila soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Správně pracovala s neznámými. Druhou rovnici utvořila jako součin neznámého čísla, které správně zapsala pomocí neznámých a jeho ciferného součtu. Soustavu rovnic řešila dosazovací metodou. Zkouška: Hledané číslo je 45. Hodnota, kterou vyjadřuje číslice na místě jednotek je o 1 větší než hodnota, kterou vyjadřuje číslice na místě desítek. Součin čísla a jeho ciferného součtu je 405, tj. 45 · (4+5) = 405 Odpověď: Hledané číslo je číslo 45.

34)

Krynický, M. Počítačové učebnice matematiky a fyziky pro gymnázia, [on-line]. [cit. 2009-01-27] Dostupný z .

51

Příklad č. 2 Urči rozměry obdélníku, který má obvod 24 cm a délku úhlopříčky 9 cm.35) Žákovské řešení:

Tereza si označila za neznámé délky stan obdélníku, tedy a, b. Na základě zadání sestavila soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou řešila dosazovací metodou. Po dosazení za neznámou a dostala kvadratickou rovnici, kterou vyřešila. Z časových důvodů již nestihla vypočítat délku strany a. Proto uvádím výpočet zde: Výpočet a1, a2 : o = 2a + 2b 24 = 12 + 3 √2 + 2 a1 3 a1 = 6 - · √2 2 3 Pro b1 = (6 + · √2)cm je a1 = (6 2 3 Pro b2 = (6 - · √2)cm je a2 = (6 + 2

3 · √2)cm 2 3 · √2)cm 2

Zkouška: o = 24 cm

o = 2 a1 + 2 b1 3 3 o = 2 (6 - · √2) + 2 (6 + · √2) = (12 – 3 · √2 ) + (12 + 3 · √2 ) = 24 2 2 3 3 Odpověď: Rozměry obdélníku jsou (6 + · √2)cm na (6 · √2) cm. 2 2

35)

HERMAN, J. Matematika- rovnice a jejich soustavy pro nižší třídy víceletých gymnázií. Praha: Prometheus, 1999. ISBN: 80-7196-137-X.

52

Příklad č. 3 Bazén se naplní vodou za 6 hodin, jsou-li otevřeny oba přívody. Jedním z nich by se bazén naplnil o 5 hodin dříve než druhým. Za jak dlouho se bazén naplní, otevřeme-li pouze výkonnější přívod?36) Žákovské řešení:

Tomáš si jako neznámou A označil dobu, za kterou se naplní bazén pouze prvním přívodem a jako B dobu, za kterou se naplní bazén pouze druhým přívodem. Rovnici sestavil tak, že sečetl práci, kterou vykonal první přívod za 6 hodin a práci, kterou vykonal druhý přívod za 6 hodin. Ze zadání ví, že se tak naplnil celý bazén. Rovnice měla dvě řešení. A1 = 2 neodpovídá zadání, neboť B1 by bylo záporné, což nevyhovuje zadání úlohy. Řešením úlohy je tedy A2 = 15, pro které je B2 = 10. Zkoušku neprovedl formálně správně. Zkouška: Tomáš vypočetl, že jedním přívodem se bazén naplní za 15 hodin, druhým přívodem za 10 hodin. Ze zadání plyne, že oběma přívody se bazén naplní za 6 hodin. Musí tedy platit: součet práce, kterou vykoná první přívod za jednu hodinu a práce, kterou vykoná druhý přívod za jednu hodinu, je roven práci, kterou vykonají oba 1 1 1 přívody za jednu hodinu současně. Tedy: + = 10 15 6 Odpověď: Bazén se výkonnějším přívodem naplní za 10 hodin.

36)

HERMAN, J. Matematika - rovnice a jejich soustavy pro nižší třídy víceletých gymnázií. Praha: Prometheus, 1999. ISBN: 80-7196-137-X.

53

Příklad č. 4 Trojnásobek neznámého čísla zvětšený o 200 a dvojnásobek téhož čísla jsou v poměru 7:4. Určete neznámé číslo.37) Žákovské řešení:

Kamila označila neznámé číslo jako x. Podle zadání správně sestavila rovnici, kterou vypočetla. Zkoušku ovšem neprovedla formálně správně, protože dosadila přímo do rovnice. Zkouška: Trojnásobek čísle je 3 · 400 = 1200, zvětšný o 200, tj. 1200 + 200 = 1400 Dvojnásobek čísla je 2 · 400 = 800 Poměr čísel je 1400 : 800, tedy 7: 4. Odpověď: Neznámé číslo je 400.

Příklad č. 5 Auto ujelo vzdálenost 120 km. Kdyby zvýšilo svoji průměrnou rychlost o 10 km/h, doba jeho jízdy by byla o 24 minut kratší. Jak dlouho auto skutečně jelo? 38) Řešení:

Za neznámou zvolíme t, které vyjadřuje v hodinách čas, po který auto jelo. 120 Jeho průměrná rychlost byla km/h. t 120 2 Rychlost o 10 km větší ( +10 ) km/h doba bude (t ) h. t 5 2 Jeho rychlost tedy bude 120 : (t ) km/h. 5

37)

HERMAN, J. Matematika - rovnice a jejich soustavy pro nižší třídy víceletých gymnázií. Praha: Prometheus, 1999. ISBN: 80-7196-137-X. 38) HERMAN, J. Matematika - rovnice a jejich soustavy pro nižší třídy víceletých gymnázií. Praha: Prometheus, 1999. ISBN: 80-7196-137-X.

54

Platí:

120 2 + 10 = 120 : (t ) t 5 2 2 120 (t ) + 10t (t ) = 120t 5 5 120t – 48 + 10t2 – 4t = 120t 2

5t2 – 2t – 24 = 0

D = 22 12 t1 = 5 t2 = -2

Záporný kořen pro naši úlohu nemá smysl. Doba jízdy automobilu byla tedy 2 hodiny a 24 minut. Odpověď: Doba jízdy automobilu byla 2 hodiny a 24 minut.

Příklad č. 6

Součet druhých mocnin tří po sobě jdoucích čísel je roven 110. Určete tři po sobě jdoucí čísla. 39) Řešení: První neznámé číslo……x - 1 Druhé neznámé číslo……x Třetí neznámé číslo……..x + 1

(x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 110 x – 2x +1 + x2 + x2 + 2x + 1 = 110 3 x2 + 2 = 110 3 x2 = 108 x2 = 36 Rovnice má dva kořeny x1 = 6 , x2 = -6. 2

Zkouška pro x1 = 6: L = 52 + 62 + 72 L = 25 + 36 + 49 L = 110

P = 110 P=L

Zkouška pro x2 = -6: L = (-5)2 + (-6)2 + (-7)2 P = 110 L = 25 + 36 + 49 L = 110 P=L Odpověď: Hledaná čísla jsou 5, 6, 7 nebo -7, - 6, -5.

39)

KRUPKA, P. Sbírka úloh z matematiky pro 2. stupeň základní školy a nižší ročníky víceletých gymnázií, 2. díl. Praha: Prométheus, 2000. ISBN 80-7196-189-2.

55

Příklad č. 7

Přepona pravoúhlého trojúhelníku je o 2 cm delší než jedna odvěsna a o 16 cm delší než druhá odvěsna. Určete obvod tohoto trojúhelníku.40) Řešení:

Délka přepony je x cm Délka jedné odvěsny je (x-2) cm Délka druhé odvěsny je (x-16) cm (x-2) 2 + (x-16) 2 = x2 x – 4x + 4 + x2 - 32x + 256 = x2 x2 – 36x + 260 = 0 2 D = (-36) - 4· 260 = 1296 – 1040 = 256 √D = 16 x1 = (36 + 16) : 2 = 26 x2 = (36 - 16) : 2 = 10 Podle Pythagorovy věty platí:

2

Pro kořen x1 = 26 vycházejí délky stran 26 cm, 24 cm a 10 cm. Kořen x2 = 10 neodpovídá žádnému trojúhelníku, protože zde vychází „délka“ strany – 6 cm. Zkouška: Ze zadání plyne, že délka přepony je o 2 cm delší než jedna odvěsna a o 16 cm delší než druhá odvěsna. To odpovídá zadání. Zároveň musíme ověřit, že trojúhelník je pravoúhlý, tedy pro délky stran platí Pythagorova věta. Musí tedy platit: 242 + 102 = 262 L = 576 + 100 = 676 P = 676 L=P Nyní můžeme vypočítat obvod trojúhelníku: o = (26 + 24 + 10) cm = 60 cm Odpověď: Obvod trojúhelníku je 60 cm.

Příklad č. 8

Obdélník má obsah 384 cm2. Jeho délka je o 8 cm větší než šířka. Urči délky jeho stran.41) Řešení: Délka obdélníku je x cm. Šířka obdélníku je (x – 8) cm. Platí: x · (x – 8) = 384 x2 – 8x = 384 2 x – 8x – 384 = 0 D = 1600 40)

HERMAN, J. Matematika - rovnice a jejich soustavy pro nižší třídy víceletých gymnázií. Praha: Prometheus, 1999. ISBN: 80-7196-137-X s. 52. 41) Krynický, M. Počítačové učebnice matematiky a fyziky pro gymnázia, [on-line]. [cit. 2009-01-27] Dostupný z .

56

√D = 40 x1 = 24 x2 = -16 Délky stran jsou vyjádřeny kladným číslem, proto záporný kořen x2 nemá pro nás význam. Pro kladný kořen určíme délky stran: Délka obdélníku je 24 cm. Šířka obdélníku je 16 cm. Zkouška: Vypočetli jsem, že délky stran obdélníku jsou 24 cm a 16 cm. Obsah obdélníku je tedy S = 24 · 16 = 384, což odpovídá zadání. Zároveň platí, že délka je o 8 cm větší než šířka. Odpověď: Strany obdélníku mají velikosti 24 cm a 16 cm.

Příklad č. 9

Cena časopisu byla snížena o tolik procent, kolik korun stál před snížením ceny. Urči jeho původní cenu, jestliže po zlevnění stál 16 Kč.42)

Řešení: Původní cena….x Kč

Nová cena……..x · (1 –

x ) Kč 100

x ) = 16 100 100x – x2 = 1600 2 x –100x + 1600 = 0 x · (1 –

D = 10000 – 6400 = 3600 √D = 60 x1 = (100 + 60): 2 = 80 x2 = (100 - 60): 2 = 20 Zkouška: Původní cena byla 80 Kč, cena byla snížena o 80 %, nová cena je 80 · 0,2 = 16 Kč Původní cena byla 20 Kč, cena byla snížena o 20 %, nová cena je 20 · 0,8 = 16 Kč Odpověď: Dvě řešení – časopis stál před zlevněním 20 Kč nebo 80 Kč.

42)

Krynický, M. Počítačové učebnice matematiky a fyziky pro gymnázia, [on-line]. [cit. 2009-01-27] Dostupný z .

57

6.2.2. Základy kombinatoriky a pravděpodobnosti Předpoklady pro zvládnutí učiva: žák má rozvinuté abstraktní a logické myšlení,

porozumí textu, dokáže matematizovat text. Cíl tématu: seznámit žáky se základy kombinatoriky a pravděpodobnosti, rozvíjet

kombinatorické myšlení žáků. Obsah tématu: základní znalosti kombinatorických pravidel – pravidlo součtu,

pravidlo součinu, náhodné jevy a pravděpodobnost. Výstupy: žák umí v množině vyhledat prvky podle určitého pravidla, rozlišuje

uspořádané a neuspořádané skupiny prvků, uvědomuje si, kdy se mohou nebo nemohou prvky ve skupině opakovat, řeší elementární kombinatorické úlohy, používá při výpočtech klasické pravidlo pravděpodobnosti.

Příklad č. 1

Určete počet přirozených čísel od 100 do 999, která mají právě 2 stejné číslice. Žákovské řešení:

Tereza řešila příklad výčtem možností. Postupně začala vypisovat čísla, ve kterých se vyskytují dvě stejné číslice, tedy nula, jednička,…..devítka. Správně si o uvědomila, že záleží na pořadí číslic.

58

Další způsob řešení: Počet čísel od 100 do 999 je 900. Od tohoto počtu odečteme všechna čísla, která mají všechny tři číslice stejné (těch je 9) a dále odečteme všechna čísla, která mají všechny tři číslice různé. Jejich počet určíme takto: Čísla, která mají všechny tři číslice různé označíme abc. Na místo tisíců můžeme dosadit celkem 9 číslic, na místo desítek můžeme dosadit celkem 9 číslic – tedy 0-9, ale už nepočítáme číslici, kterou jsme dosadili na místo tisíců. Na místo jednotek můžeme dosadit 8 číslic, tedy 0-9 přičemž odečteme 2 číslice, které jsme dosadili na místo tisíců a desítek. Počet čísel, která mají každou cifru jinou je 9 · 9 · 8 = 648 Výsledek: 900 – 648 – 9 = 243. Odpověď: Počet přirozených čísel od 100 do 999, která mají právě 2 stejné číslice, je 243.

Příklad č. 2

Mezi každými dvěma z osmi měst se mají zřídit letecké linky. Kolik leteckých linek bude ustaveno? Řešení:

Počet měst je 8. Z každého města bude zavedeno 7 linek do ostatních měst. Počet linek 8 · 7 = 56 (Pozor, každou linku jsme započítali dvakrát, tam i zpět. Proto počet vydělíme dvěma.) 56 : 2 = 28 Odpověď: Počet zřízených linek bude 28.

59

Příklad č. 3

Turnaj ve fotbale se hrál systémem „každý s každým jeden zápas“. Kolik týmů se ho zúčastnilo, když bylo odehráno celkem 36 zápasů?43) Žákovské řešení:

Kamila provedla výpočet výčtem možností, správně si uvědomila, že nezáleží na pořadí týmů a že tým nemůže hrát sám se sebou. Odpověď: Turnaje se zúčastnilo celkem 9 týmů.

Příklad č. 4

Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami a) nepadne součet 10, b) padne aspoň na jedné šestka?44) Řešení:

Počet všech možných dvojic, které padnou při hodu dvěma kostkami je 6 · 6 = 36 a) Určíme nejprve pravděpodobnost P´ jevu opačného, tedy padne součet 10. Ten nastane u dvojic 4 + 6, 6 + 4, 5 + 5. Pak platí: P´ = 3 : 36 = 0,083 P = 1 - P´ P = 1 - 0,083 = 0,917 Odpověď: Pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami nepadne součet 10 je 91,7 %. 43)

ZHOUF, M. Matematické příběhy z korespondenčních seminářů. Praha: Prometheus, 2006. ISBN 80-7196-304-6. 44) POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. Praha: Prometheus, 1999. ISBN: 80-7196-166-3.

60

b) Určíme nejprve pravděpodobnost P´ jevu opačného, tedy na žádné kostce nepadne šestka. Počet všech možných dvojic bez šestky je 5 · 5 = 25 Pravděpodobnost, že nepadne šestka je tedy P´ = 25 : 36 = 0,694 Pak platí: P = 1 - P´ P = 1 - 0,694 = 0,306 Odpověď: Pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne aspoň na jedné šestka je 30,6 %.

Příklad č. 5

Mořský ostrov má tvar kruhu K se středem S a poloměrem 4 km. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené místo X je k místu, které se nachází ve středu ostrova S: a) blíže než 3 km, b) dále než k moři?45) Řešení: a) Vnitřek kruhu K1 o poloměru 3 km je množina bodů, které mají od středu ostrova S blíže než 3 km.

Hledanou pravděpodobnost vypočteme jako poměr obsahu kruhu K1 (množina příznivých výsledků) k obsahu kruhu K o poloměru 4km (množina všech možných výsledků). Pak: P = (π · 32) : (π · 42) = 9 : 16 = 0,5625 Odpověď: Pravděpodobnost, že náhodně zvolené místo X je k místu, které se nachází ve středu ostrova S blíže než 3 km je 56,25 %.

b) Oblast ostrova, která je od bodu S dále než k moři tvoří mezikruží o obsahu: S = π · 42 - π · 32 Hledanou pravděpodobnost vypočteme jako poměr obsahu mezikruží (množina příznivých výsledků) k obsahu kruhu K o poloměru 4km (množina všech možných výsledků). Pak: P = (π · 42 - π · 32) : (π · 42) = 12 : 16 = 0,75. Odpověď: Pravděpodobnost, že náhodně zvolené místo X je k místu, které se nachází ve středu ostrova S dále než k moři je 75 %.

45)

KOVÁČIK, J. Řešené příklady z matematiky pro základní školy a osmiletá gymnázia. Praha: ASPI, 2008. ISBN 978-80-7357-357-7. s. 632.

61

Příklad č. 6

O velké přestávce hráli Josef, Kajetán a profesor matematiky karty. Na začátku hry studenti balíček všech 32 karet pečlivě zamíchali. Pan profesor se studentů při této příležitosti zeptal, jaká je pravděpodobnost, že srdcový svršek a srdcový král budou v balíčku vedle sebe?46) Řešení:

Určíme, kolika způsoby mohou být v balíčku rozmístěny karty srdcový král a srdcový svršek. Srdcový svršek může být na 32 pozicích, srdcový král na jakékoliv ze zbylých 31 pozic. Způsobů rozmístění je tedy 32 · 31 Kolika způsoby mohou být sledované karty rozmístěny vedle sebe? Spodní karta sledované dvojice může být na 1. až 31. pozici, tj. existuje 31 pozic pro dvojici. Vespod může být svršek i král, proto existuje 2 · 31 způsobů umístění. Hledaná pravděpodobnost je (2 · 31) : (32 · 31) = 6,25 Odpověď: Pravděpodobnost, že srdcový svršek a srdcový král budou v balíčku vedle sebe je 6,25 %.

Příklad č. 7

Mezi 20 prodávanými pračkami je jedna nekvalitní. Jaká je pravděpodobnost, že 5 zájemců si koupí pouze 5 kvalitních praček?47) Řešení: Pět zájemců si může z 20 praček vybrat jednu celkem (20 · 19 · 18 · 17 · 16) způsoby, tj. první má na výběr 20 praček, druhý má na výběr už jen 19 praček, třetí má na výběr 18 praček, čtvrtý má na výběr 17 praček, pátý má na výběr 16 praček.

Kolika způsoby si může 5 zájemců vybrat kvalitní pračku? Počet kvalitních praček je 20 – 1 = 19 5 zájemců si vybere kvalitní pračku celkem (19 · 18 · 17 · 16 · 15) způsoby. Hledanou pravděpodobnost vypočteme jako podíl počtu příznivých jevů a počtu všech možných jevů. Tedy: P = (20 · 19 · 18 · 17 · 16) : (19 · 18 · 17 · 16 · 15) = 15 : 20 = 0,75 P = 75 % Odpověď: Pravděpodobnost, že si 5 zájemců koupí 5 kvalitních praček je 75 %.

46

) ZHOUF, M. Matematické příběhy z korespondenčních seminářů. Praha: Prometheus, 2006. ISBN 80-7196-304-6. s.160. 47) TREJBAL, J. Sbírka zajímavých úloh z matematiky 2. díl. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 80-7196-084-5. s.80.

62

Příklad č. 8

K maturitě z dějepisu se maturant naučil z padesáti otázek polovinu výborně a na druhou polovinu se nepřipravil vůbec. Při maturitní zkoušce profesor zkouší dvě náhodně vybrané otázky. Nezodpovědný maturant se teď zajímal o to, s jakou pravděpodobností bude v dějepise výborný, s jakou dobrý a s jakou z něho neodmaturuje. 48) Řešení: Určíme počet všech možných dvojic otázek: (50 · 49) : 2 = 1225 Počet dvojic otázek, které student umí/neumí: (25 · 24) : 2 = 300 Počet dvojic otázek, ve které jednu otázku student umí a jednu neumí je 25 · 25 = 625 Pravděpodobnost s jakou bude student z dějepisu mít výborný výsledek (stejná jako u nedostatečného výsledku): P = 300 : 1225 = 0,245

Pravděpodobnost dobrého výsledku je 625 : 1225 = 0,51. Zkouška: Pokud sečteme všechny pravděpodobnosti dostaneme výsledek 1, tj. jedna z možností musí nastat. Odpověď: Pravděpodobnost s jakou bude student z dějepisu mít výborný výsledek (stejná jako u nedostatečného výsledku) je 24,5 %, pravděpodobnost dobrého výsledku je 51 %.

Příklad č. 9

Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo od 1 do 20 bude prvočíslo?49) Řešení:

Počet všech možných čísel je 20. Počet prvočísel je 8. Pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo od 1 do 20 bude prvočíslo je

8 = 0,4. 20

Odpověď: Pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo od 1 do 20 bude prvočíslo je 40%.

48)

ZHOUF, M. Matematické příběhy z korespondenčních seminářů. Praha: Prometheus, 2006. ISBN 80-7196-304-6. s. 159. 49) KOVÁČIK, J. Řešené příklady z matematiky pro základní školy a osmiletá gymnázia. Praha: ASPI, 2008. ISBN 978-80-7357-357-7. s. 632.

63

Příklad č. 10

Určete nejmenší přirozené číslo n, jehož ciferný součet je 1990. 50) Řešení:

Máme určit nejmenší přirozené číslo, proto budeme chtít největší číslo zařadit nejvícekrát. Počet devítek zjistíme dělením. 1990 : 9 = 221 (zbytek 1) Číslo n má tedy ve svém zápisu 221 devítek a jednu jedničku, která je v zápisu čísla na prvním místě, aby bylo číslo co nejmenší. Odpověď: Hledané číslo je n = 1999999……99999 celkem 221 devítek

6.2.3. Úlohy vedoucí k řešení diofantovské rovnice Předpoklady pro zvládnutí učiva: žák používá základní matematický aparát –

dělitelnost, operace s výrazy, má rozvinuté abstraktní a logické myšlení, porozumí textu, dokáže matematizovat text. Cíl tématu: seznámit žáky s pojmem diofantovská rovnice, ukázat žákům možné

způsoby řešení diofantovských rovnic, poskytnout žákovi nový pohled na pojem rovnice. Obsah tématu: diofantovské rovnice a způsoby jejich řešení, především tabulkovou

metodou - experimentem, rozkladem na součin. Výstupy: žák řeší elementární diofantovské rovnice. Metodické poznámky: mnohé úlohy lze řešit již na 1. stupni ZŠ, úlohy vedoucí na

diofantovské rovnice lze vhodně zařadit také do tématického okruhu. Nestandardní aplikační úlohy a problémy vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace v RVP.

50)

TREJBAL, J. Sbírka zajímavých úloh z matematiky 2. díl. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 80-7196-084-5. s. 9.

64

Příklad č. 1

Staročínská úloha: Kráva stojí 10 stříbrných, 2 telata mají cenu jedné krávy, 10 ovcí má cenu 1 telete. Za 100 stříbrných musíte nakoupit 100 zvířat. Rozhodněte, která zvířata budete kupovat a po kolika kusech.51) Řešení: Cena 1 krávy je 10 stříbrných, cena 1 telete je 5 stříbrných. Cena 10 ovcí se rovná ceně jednoho telete a ta se rovná 5 stříbrných. 1 ovce tedy stojí 0,5 stříbrných. počet krav označíme x počet telat označíme y počet ovcí označíme z

Rovnice: 10x + 5y + 0,5 z = 100 Vidíme, že počet krav bude nejmenší a počet ovcí největší. Experimentem zjistíme jediné řešení rovnice: x = 1, y = 9, z = 90 Zkouška: 1 · 10 + 9 · 5 + 90 · 0,5 = 10 + 45 + 45 = 100 Odpověď: Za 100 stříbrných budeme kupovat 1 krávu, 9 telat a 90 ovcí.

Příklad č. 2

Zápis trojciferného přirozeného čísla začíná zleva číslicí 7. Vytvořte z něj další trojciferné číslo tak, že sedmičku přemístíte na místo jednotek. Obdržíte číslo, které je o 117 menší, než bylo původní číslo. Určete toto číslo.52) Řešení:

Obecně zapíšeme trojciferné číslo ve tvaru 100a + 10b + c, kde a, b, c jsou číslice desítkové soustavy (a se nesmí rovnat 0). Pak původní číslo má tvar 700a + 10b + c Nové číslo má tvar 100a + 10b + 7 Platí: 700a + 10b + c = 100a + 10b + 7 + 117 90b + 9c = 576 10b + c = 64 Tato diofantovská rovnice má s ohledem na podmínky úlohy řešení b = 6, c = 4. Zkouška: Číslo 764, začíná číslicí 7. Nové číslo má tvar 647. Rozdíl těchto čísel je 764 – 647 = 117, což odpovídá zadání rovnice. Odpověď: Původní číslo bylo 764.

51)

TREJBAL, J. Sbírka zajímavých úloh z matematiky 2. díl. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 80-7196-084-5. s. 52. 52) TREJBAL, J. Sbírka zajímavých úloh z matematiky 2. díl. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 80-7196-084-5. s. 52.

65

Příklad č. 3

Starověká egyptská úloha: Určete rozměry pravoúhelníku (obdélníku nebo čtverce), pro který platí, že jeho obvod (v daných délkových jednotkách) se roven číselně obsahu (v odpovídajících jednotkách obsahu).53) Řešení: Označíme rozměry obdélníku a, b, Platí: a · b = 2a + 2b Rovnici upravíme na tvar: ab – 2a – 2b + 4 = 4 (a – 2)(b – 2) = 4 což můžeme zapsat také takto: (a – 2)(b – 2) = 1·4 (a – 2)(b – 2) = 4·1 (a – 2)(b – 2) = 2·2 Porovnáním jednotlivých činitelů dostaneme dva výsledky: a = 3, b = 6 nebo a = 4, b = 4

Zkouška: Obdélník S = 3 · 6 o = 2 · 3 + 6 · 2 Čtverec S = 4 · 4 o = 2 · 4 + 2 · 4 S = 18 o = 18 S = 16 o = 16 S=o Odpověď: Požadavkům úlohy vyhovuje obdélník o rozměrech 3 délkové jednotky a 6 délkových jednotek a dále čtverec o rozměrech 4 délkové jednotky a 4 délkové jednotky.

6.2.4. Finanční matematika Předpoklady pro zvládnutí učiva: žák umí pracovat s procenty, vyjádří počet procent

desetinným číslem, pracuje s daty a třídí informace, porozumí textu, dokáže matematizovat text. Cíl tématu: seznámit žáky se základními pojmy finanční matematiky, popř. rozšířit

jejich znalosti z finanční matematiky, seznámit žáky s využitím jednoduchého a složeného úrokování. Obsah tématu: vklad, úvěr, úrok, úroková míra, jednoduché úrokování, daň z úroku,

složené úrokování. Výstupy: žák rozumí základním pojmům finanční matematiky a používá je při svých

výpočtech, žák umí vypočítat pro vložený vklad nebo zapůjčený kapitál s danou úrokovou mírou odpovídající úrok, umí řešit úlohy na jednoduché a složené úrokování vázané na běžné účty, úvěry, apod. 53)

HOUSKA, J., NEMČÍKOVÁ, K. Nestandardní aplikační úlohy a problémy [on-line]. [cit. 2009-02-13] Dostupný z .

66

Metodika: učivo je zařazováno buď jako zcela nové téma, nebo může navazovat a

prohlubovat již probrané základy finanční matematiky, pokud jsou zařazeny do ŠVP, žák samostatně získává informace o finančních produktech jednotlivých bank a může porovnávat jejich výhodnost mezi sebou. Využití tématu: učivo by se mělo stát základem pro rozvoj správného finančního

myšlení a pochopení složitější finanční matematiky.

Příklad č. 1 Jaký je stav vkladu 1 420 000Kč za sedm měsíců (210dní) při úrokové míře1,5 % p.a.?54 Řešení: Vyjádříme roční úrokovou míru jako desetinné číslo tedy 0,015, úrokovací dobu vyjádříme v letech, tj. n = 210 : 360 = 7/12.

7 = 12425 12 Stav vkladu je navýší o úrok: 1420000 + 12425 = 1 432 425 Vypočteme výši úroku:

1420000 · 0,015 ·

Odpověď: Původní vklad vzroste po sedmi měsících na 1 432 425 Kč.

Příklad č. 2 Po jakou dobu byl uložen vklad ve výši 3960 Kč, jestliže vzrost při úrokové sazbě 2% p.a. připsáním úroků na konci období na 4000 Kč?55) Řešení: Vyjádříme roční úrokovou míru jako desetinné číslo tedy 0,02, vypočteme výši úroku tedy 4000 Kč – 3960 Kč = 40 Kč Hledáme úrokovací dobu n.

Pak platí: 40 = 3960 · 0,02 · n n = 0,505 Úrok byl uložen 0,505 roku, Dobu přepočteme na dny, tj. 0,505 · 360 dní = 182 dní Odpověď: Vklad byl uložen 182 dní.

54)

RADOVÁ, J., DVOŘÁK, P., MÁLEK, J. Finanční matematika pro každého. Praha: GRADA Publishing, 2007. ISBN 978-80-247-2233-7. s. 36. 55) RADOVÁ, J., DVOŘÁK, P., MÁLEK, J. Finanční matematika pro každého. Praha: GRADA Publishing, 2007. ISBN 978-80-247-2233-7. s. 48.

67

Příklad č. 3 Pan Novák ví, že bude za 5 let potřebovat částku ve výši 50 000 Kč. Jakou částku musí tedy dnes u banky uložit, když úroková míra činí 1%, aby měl částku 50 000 Kč za 5 let k dispozici?56) Řešení: Počáteční výši kapitálu označíme Ko Konečná výše kapitálu je Kn = 50 000 Kč.

Dosadíme do základní rovnice: Kn = Ko · (1 + i ) n 50000 = Ko · (1 + 0,01 ) 5 Ko = 50000 : (1,01 ) 5 Ko = 47 573 kč Zkouška: L = 50000 P = 47 573 · (1 + 0,01 ) 5 = 50000 L=P Odpověď: Pan Novák musí do banky uložit částku 34 000Kč.

Příklad č. 4

Uložili jsme částku 120 000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za tři roky při složeném úročení, jestliže úrokové období je roční a úroková míra je 1,5 % p.a.? Řešení: Výše vkladu po prvním roce: K1 = (120000 + 120000 · 0,015) Kč K1 = 121800 Kč Výše vkladu po druhém roce: K2 = (121800 + 121800 · 0,015) Kč K2 = 123 627 Kč Výše vkladu po třetím roce: K3 = (123 627 + 123 627 · 0,015) Kč K3 = 125 481,41 Kč Odpověď: Stav kapitálu po třech letech bude 125 481,41 Kč

56)

GOLA, P. Matematika zábavně a hravě: opakování učiva ze ZŠ. Třebíč: Radek Veselý, 2002. ISBN: 80-8637-625-7. s. 116.

68

6.2.5. Euklidovy věty Předpoklady pro zvládnutí učiva: žák zná vlastnosti trojúhelníku a podobnost

trojúhelníků, žák zná a používá Pythagorovu větu. Cíl: seznámit žáky s Euklidovými větami a jejich využitím v praxi, seznámit žáky se

vzájemným vztahem Pythagorovy věty a Euklidových vět. Obsah: Euklidova věta o výšce, Euklidova věta o odvěsně, vzájemný vztah mezi

Pythagorovou větou a Euklidovými větami. Výstupy: žák zná Euklidovy věty, řeší úlohy vedoucí k využití Euklidových vět. Metodika: látku je možné zařadit společně s Pythagorovou větou. Využití tématu: využití při určování délky výšky v trojúhelníku.

Příklad č. 1 Výška vc = 4 cm pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C, vytíná na přeponě dva úseky ca a cb. Vypočítejte délku přepony, víte-li, že ca = 8 cm.57) Řešení: vc = 4 cm ca = 8 cm c = ? cm

Z Euklidovy věty o výšce platí: v2 = ca · cb cb = v2 : ca cb = 42 : 8 cb = 2 Vypočteme délku přepony c: c = ca + cb c=8+2 c = 10 cm Odpověď: Délka přepony trojúhelníku je 10 cm.

57)

DYTRYCH, M., DOBIASOVÁ, I., LIVŇANSKÁ, L. Sbírka úloh z matematiky pro nižší ročníky víceletých gymnázií a pro 2. stupeň základních škol. Praha: Fortuna, 2001. ISBN: 80-7168-784-7.

69

Příklad č. 2 V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je délka odvěsny a = 17 cm a výška vc = 8 cm. Určete obsah trojúhelníku.58) Řešení: ca2= a2 – vc ca2= (172 - 82) cm ca = 15 cm vc2= ca · cb cb = vc2 : cb cb = (64 : 15) cm 64 cm cb = 15 c = ca + cb 64 289 c = (15 + ) cm = cm 15 15

(c · vc) 2 1156 S= cm2 15 S=

Odpověď: Obsah trojúhelníku je

1156 cm2 15

Příklad č. 3 Nad úsečkou délky 2r je jako nad průměrem opsána půlkružnice a sestrojen obdélník, jehož druhý rozměr je r. Jaká část úhlopříčky obdélníku leží vně kružnice?59) Řešení:

Z Pythagorovy věty pro trojúhelník ABD platí: u2 = r2 + (2r) 2 r2 = u2 : 5 Z Euklidovy věty o odvěsně pro trojúhelník ABD platí: r2 = u · x Porovnáme obě získané rovnice: 58)

KOVÁČIK, J. Řešené příklady z matematiky pro střední školy. Praha: ASPI, 2001. ISBN 80-7357-005-X. s. 582. 59) POMYKALOVÁ, E. Matematika pro gymnázia – Planimetrie. Praha: Prometheus, 1997. ISBN 80-7196-045-4. s. 77.

70

u · x = u2 : 5 1 x= u 5 Odpověď: Vně kružnice leží

1 úhlopříčky. 5

Příklad č. 4

Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD: a = 12,5 cm, d = 7,5 cm. Vypočtěte: a) délku základny c, b) obsah lichoběžníku.60) Řešení: a) a = 12,5 cm, d = 7,5 cm, c = ? cm Vypočteme délku úseku ad, délka základny c je potom rovna rozdílu a - ad. Z Euklidovy věty o odvěsně platí: d2 = a · ad. ad = d2 : a Po dosazení: ad = 7,52 : 12,5 ad = 4,5

Délka úseku ad je 4,5 cm. Výpočet délky přepony: c = a - ad c = 12,5 – 4,5 c=8 Odpověď: Délka základny c je 8 cm.

b) K výpočtu obsahu lichoběžníku potřebujeme ještě znát velikost výšky lichoběžníku. ad = 4,5 cm, af = 8 cm, v = ? cm Z Euklidovy věty o výšce platí: v2 = ad · af v2 = 4,5 ·8 v2 = 36 v =6 Délka výšky lichoběžníku je 6 cm. Výpočet obsahu lichoběžníku: a = 12,5 cm, c = 8 cm, v = 6 cm, S = ? cm S = [(a + c) · v] : 2 S = [(12,5 + 8) · 6] : 2 S = 61,5 Odpověď: Obsah lichoběžníku je 61,5 cm2.

60)

DYTRYCH, M., DOBIASOVÁ, I., LIVŇANSKÁ, L. Sbírka úloh z matematiky pro nižší ročníky víceletých gymnázií a pro 2. stupeň základních škol. Praha: Fortuna, 2001. ISBN: 80-7168-784-7.

71

6.3. Úlohy pro rozvoj logického myšlení Úlohy na rozvoj logického myšlení tvoří součást RVP v samostatné vzdělávací oblasti Nestandardní aplikační úlohy a problémy. Proto mohou předložené náměty úloh být využity i pro méně talentované žáky v běžné výuce. Jedná se o úkoly, které mohou být v současné škole méně frekventované zejména z důvodů časových nebo z důvodů náročnosti. Jejich výhodou je, že jsou do značné míry nezávislé na znalostech a dovednostech školské matematiky, je nutné při nich uplatnit logické myšlení. Je tedy možné je zařazovat v průběhu celého základního vzdělávání. V této kapitole je uveden pouze nepatrný výběr možností a námětů, které by žákům rozšiřovaly jejich obzor a rozvíjely jejich logické myšlení. Pro rozvoj logického myšlení můžeme využívat mnoho různých typů úloh. Mezi nejčastější patří: •

Algebrogramy – příklady č. 3, 4

•

Logické a číselné řady – příklady č. 2

•

Hlavolamy – příklady č. 1, 9, 10, 11

•

Vztahy mezi geometrickými obrazci

•

Číselné a obrázkové analogie

Všechny tyto typy úloh se často objevují v nejrůznějších srovnávacích testech, přijímacích testech, apod.

Příklad č. 1

Máme devět kuliček, které jsou na pohled k nerozeznání. Ale víme, že jedna kulička je lehčí než ostatní. Dokážete pomocí rovnoramenných vah na 2 vážení zjistit, která kulička je ta lehčí?61) Řešení: Kuličky rozdělíme na tři trojice. Zvážíme dvě vybrané trojice. Mohou nastat dvě situace. Jedna z vážených trojic bude lehčí, nebo budou stejně těžké. Získáme tak hledanou trojici, u které víme, že je mezi nimi lehčí kulička. Ze získané trojice vybereme dvě kuličky, které zvážíme a na stejném principu jako u trojic získáme lehčí kuličku.

61)

Logické hádanky, zajímavé úlohy, hlavolamy, [on-line]. [cit. 2009-01-29] Dostupný z .

72

Příklad č. 2

Doplňte místo otazníku: 92 – 96 - ? – 107 – 114? 62) Řešení: 92 zvětšíme o 4, 96 zvětšíme o 5, získané číslo je 101, to zvětšíme o 6, 107 zvětšíme o 7. Odpověď: Místo otazníku patří číslo 101.

Příklad č.3

Řešte algebrogram:63) MAT EMA TI K Řešení:

Úloha má přes 60 řešení. Například: 143 + 214 = 357, 263 + 126 = 389, 324 + 132 = 456

Příklad č.4

Místo písmen doplňte číslice tak, aby algebrogram dával smysl. 64) AB · CD = DED · CA – BF = FF DGG + FA = DHE Řešení:

A = 2, B = 3, C = 4, D = 9, E = 8, F = 1, G = 6, H = 7

62)

FOŘTÍK, V., FOŘTÍKOVÁ, J. Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. Praha: Portál, 2007. ISBN 978-80-7367-297-3. s. 84. 63) TREJBAL, J. Sbírka zajímavých úloh z matematiky1.díl. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 80-7196-072-1. s.108. 64) FOŘTÍK, V., FOŘTÍKOVÁ, J. Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. Praha: Portál, 2007. ISBN 978-80-7367-297-3.

73

Příklad č. 5

Které číslo nejvíce nepatří mezi ostatní? 65) a. 7 b. 322 c. 25 d. 1222 e. 431 f. 106 Řešení: 431, ciferný součet není roven 7.

Příklad č. 6

Na jednom břehu řeky je pasáček, vlk, koza, zelí a lodička. Vlk by rád sežral kozu, koza by ráda sežrala zelí. Do lodičky smí pasáček vzít jen jednu věc nebo jen jedno zvíře. Koza a vlk neumí pádlovat. Jak dostane pasáček vlka, kozu i zelí na druhou stranu tak, aby na jednom břehu nikdy nebyla koza s vlkem nebo se zelím bez dohledu pasáčka?66) Řešení: Nejprve převeze pasáček kozu a vrátí se sám nazpět. Pak převeze vlka a vrátí se s kozou nazpět. Do třetice převeze zelí a vrátí se sám. Naposledy převeze kozu.

Příklad č. 7

Na třech skříňkách byly tyto nápisy. Víme, že z uvedených nápisů je nanejvýš jeden pravdivý. Na které skříňce je pravdivý nápis a ve které z nich je mapka?67) Zlatá

Stříbrná

Bronzová

Řešení:

Nápisy na prvních dvou skříňkách si o odporují. Jeden z nich je tedy lež. Nanejvýš jeden z výroků je pravdivý musí být nápis na bronzové skříňce nepravdivý. Mapa je tedy ve stříbrné skříňce a pravdivý je výrok na bronzové skříňce.

65)

FOŘTÍK, V., FOŘTÍKOVÁ, J. Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. Praha: Portál, 2007. ISBN 978-80-7367-297-3. 66) Logické hádanky, zajímavé úlohy, hlavolamy, [on-line]. [cit. 2009-01-29] Dostupný z . 67) ZHOUF, M. Matematické příběhy z korespondenčních seminářů. Praha: Prometheus, 2006. ISBN 80-7196-304-6. s. 205.

74

Příklad č. 8

Jedna topinka se smaží deset minut – pět minut z každé strany. Na pánev se vejdou vedle sebe dva chleby. Za jak dlouho nejrychleji osmažíte na jedné pánvi tři topinky?68) Řešení: Na pánev dáme dva chleby. Po pěti minutách jeden otočíme, druhý sundáme a místo něj dáme třetí chleba. Po pěti minutách je první chleba hotov a druhý a třetí ještě musíme opéct z druhé strany, což potrvá 5 minut. Celkem tedy 5 minut + 5 minut + 5 minut = 15 minut.

Příklad č. 9

Závaží na jedné misce vah jsou uspořádána do pyramidy. V nejspodnější řadě jsou 4 závaží, nad nimi 3, nad nimi 2 a na vrcholu 1. Víme, že hmotnost závaží ve vyšší řadě je součtem hmotností dvou závaží, která jsou právě pod ním. Ze všech deseti závaží známe hmotnost jen tří z nich podle obrázku. Určete hmotnost všech závaží dohromady.69)

Řešení: Hmotnosti zbývajících dvou závaží ve spodní řadě označíme a a b.

Podle údaje ve druhé řadě víme, že a + b = 4 Můžeme tedy sčítat: (6 + a + b + 2) + (a + 6 + 4 + 2 + b) + (10 + a + b + 6) + (16 + a + b) = 52 + 4 · (a + b) = 52 + 4 · 4 = 68 Hmotnost všech závaží dohromady je tedy 68 kg.

68)

Logické hádanky, zajímavé úlohy, hlavolamy, [on-line]. [cit. 2009-01-29] Dostupný z . 69) ZHOUF, M. Matematické příběhy z korespondenčních seminářů. Praha: Prometheus, 2006. ISBN 80-7196-304-6. s. 102.

75

7. Shrnutí práce s nadanými žáky Závěrem praktické části si dovolím následující shrnutí v rámci studia a teoretických znalostí, tak jak jsem je měla možnost využít a aplikovat v rámci svojí praxe s nadanými žáky. V hodinách jsem si často všimla s jak velikým zaujetím žáci počítají a věnují se práci. Jednalo se především o úlohy, ve kterých mohli používat experiment, které rozvíjely logické myšlení nebo o náročnější úlohy, které žáky opravdu bavily. V hodinách jsem měla pravidlo, že si v posledních pěti až deseti minutách vysvětlíme, jak se mohly jednotlivé příklady řešit. Často se stávalo, že žáci neměli příklady na konci hodiny dořešené a já jsem jim chtěla sdělit postup řešení. Oni sami se dožadovali času na dořešení poslední úlohy. Zároveň bych chtěla zmínit, že Eva, Kamila ani Tereza nikdy během řešení nepřijaly nabízenou nápovědu. Vždy chtěly příklady vyřešit samy. Tomáš se o radu zajímal, pokud řešení příkladu věnoval více času a jeho úvahy nevedly k řešení. Ve svých hodinách jsem zpočátku zadávala žákům stejné úlohy. Po krátké době jsem od tohoto postupu však musela upustit. Důvodem bylo zjištění, že Eva zcela ztrácí zájem o práci, pokud ostatní jsou rychlejší než ona. Obviňovala se, že je hloupá, že jí žádný příklad nevychází. Rozhodla jsem se tedy pozměnit zadávání příkladů a to tak, že jsem úkoly připravila na samostatné lístky a každý z žáků si mohl vylosovat jeden nebo více lístků. Měla jsem tak jistotu, že žáci mají různé úkoly a nebudou mezi sebou pomyslně soutěžit. Tento postup se mi velice osvědčil. Často jsem se snažila, aby žáci sami na konci hodiny vysvětlili, jak postupovali při řešení úlohy, zejména pokud přišli na jiné řešení, než které jsem použila já. Žáci navštěvovali třídu s rozšířenou výukou matematiky, proto byla akcelerace a obohacení učiva aplikována také v hodinách normální výuky matematiky. I přesto podle slov paní učitelky, která je vyučovala v matematice, nebyla pro žákyně Evu, Kamilu a Terezu dostatečná. Žákyně pracují rychlejším tempem než jejich spolužáci, nové učivo nepotřebují dlouho procvičovat. Proto byla pro ně zvolena hodina individuální výuky matematiky. Ostatní žáci tak měli prostor pro procvičování učiva a nadaní žáci dostali možnost získávat nové vědomosti.

76

8. Závěr Každý učitel se jednoho dne ve svých hodinách setká s nadaným žákem, ať již s diagnostikovaným nadáním nebo ne. Učitel by proto měl vědět, jak s nadanými dětmi pracovat, aby mohly maximálně rozvíjet své schopnosti. Ve své diplomové práci jsem přiblížila problematiku individuální péče o nadané žáky v matematice, tak jak jsem se ní měla možnost setkat v praxi. Téměř dva roky jsem pracovala s nadanými žáky a vedla pro ně individuální hodinu matematiky, při které jsem získala mnoho poznatků a materiálů, které jsem využila v této práci. Stěžejním část tvoří sbírka příkladů, které jsem s nadanými žáky počítala. Tato sbírka může posloužit ostatním učitelům jako inspirace pro práci s nadaným žákem. Vybrané úlohy mají za cíl prohloubení učiva, dále rozšíření učiva, obohacení matematického aparátu nadaného žáka a v neposlední řadě také rozvoj logického myšlení. Úlohy jsou určeny pro žáky 2. stupně ZŠ a některé předpokládají vyšší úroveň znalostí a dovedností. Jednotlivé příklady mohou být využity pro žáky ve speciální třídě pro nadané, nebo také pro individuální výuku nadaného žáka, který je integrován v běžné třídě. Péče o nadané žáky je zájmem každé vyspělé společnosti. Právě mezi nadanými se ukrývají budoucí vědci, skladatelé, umělci, kteří naši společnost obohatí a posunou dále. Nadanými tedy není radno plýtvat, naopak je v našem zájmu jim nabídnout takové podmínky pro vzdělávání, aby bylo docíleno co největšího rozvoje jejich schopností. Aby výsledky jejich práce byly přínosem pro nás pro všechny.

77

9. Shrnutí Diplomová práce s názvem Individuální péče o nadané žáky v matematice na 2. stupni ZŠ přibližuje možnosti práce s nadanými dětmi v hodinách matematiky. V první části jsou shrnuty současné poznatky o nadaných, kdo jsou to nadaní, jaké mají specifické osobnostní charakteristiky, jak a kdo je může identifikovat, jaké jsou možnosti vzdělávání nadaných, aby byly plně uspokojovány vzdělávací potřeby nadaných dětí. Druhá část je tvoří sbírka příkladů, kterou je možné využít při práci s nadanými žáky v matematice na 2. stupni základní školy. Příklady vedou k prohloubení a rozšíření učiva a závěr kapitoly je věnován úlohám, které rozvíjejí logické myšlení. Tato sbírka může být ostatním učitelů pomůckou i inspirací pro práci s matematicky nadaným žákem.

78

10. Resume The thesis entitled The individual care of gifted pupils in mathematics at the second degree of grammar schools draws on the options of work with gifted pupils in mathematics lessons. In the first part there is summarized current knowledge about gifted pupils; who the gifted pupils are, what their specific personal characteristics are, who and how can identify them, and what are the possibilities of their education to satisfy fully their educational needs. The second part is composed of the collection of exercises, which can be used at the work with the gifted pupils in mathematics lessons at the second degree of grammar schools. These exercises lead to an intensification and enlargement of the curriculum and the end of the chapter is devoted to exercises, which broaden the logical thinking. This collection will serve to other teachers as an aid and inspiration at the work with mathematically gifted pupils.

79

11. Použitá literatura 11.1. Odborná literatura 1. ACHESON, D. 1089 a další parádní čísla. Praha: Dokořán, 2002. ISBN 80-7363-625-7. 2. BLAŽKOVÁ, R., MATOUŠKOVÁ, K., VAŇUROVÁ, M. Kapitoly z didaktiky matematiky (slovní úlohy, projekty). Brno: MU, 2002. ISBN 80-210-3022-4. 3. BĚLOUN, F., BUŠEK, I., MACHÁČEK, V., SOVÍKOVÁ, K., ŠŮLA, V. Sbírka úloh z matematiky pro základní školy. Praha: SPN, 1985. 14-537-85. 4. CAMPBELL, J. Jak rozvíjet nadání vašich dětí. Praha: Portál, 2001. ISBN 80-7178-516-4. 5. ČERMÁK, V., TURINOVÁ, L. Nadaní žáci na základní škole. Ústí nad Labem: Univerzita J.E. Purkyně, 2005. ISBN 80-7044-715-X. 6. DAVIS, G. A., RIMMOVÁ, S. B. Education of the Gifted and Talented. Needham Hights : Allyn & Bacon, 1998. ISBN 0-205-27000-X. 7. DOČKAL, V. aj. Psychológia nadania. Bratislava: Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1987. 8. DYTRYCH, M., DOBIASOVÁ, I., LIVŇANSKÁ, L. Sbírka úloh z matematiky pro nižší ročníky víceletých gymnázií a pro 2. stupeň základních škol. Praha: Fortuna, 2001. ISBN: 80-7168-784-7. 9. FOŘTÍK, V., FOŘTÍKOVÁ, J. Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. Praha: Portál, 2007. ISBN 978-80-7367-297-3. 10. GAVORA,

P.

Úvod

do

pedagogického

výzkumu.

Brno:

Paido,

2000.

ISBN 80-85931-79-6. 11. GEIST, B. Psychologický slovník. Praha: Vodnář, 2000. ISBN: 80-86226-07-7. 12. GOLA, P. Matematika zábavně a hravě: opakování učiva ze ZŠ. Třebíč: Radek Veselý, 2002. ISBN: 80-8637-625-7. 13. HERMAN, J. Matematika - rovnice a jejich soustavy pro nižší třídy víceletých gymnázií. Praha: Prometheus, 1999. ISBN: 80-7196-137-X. 14. HŘÍBKOVÁ,

L.

Nadání

a

nadaní.

ISBN 80-7290-213-X.

80

Praha:

Universita

Karlova,

2005.

15. JURÁŠKOVÁ, J. Základy pedagogiky nadaných. Praha :Institut Pedagogickopsychologického poradenství ČR, 2006. ISBN 80-86856-19-4. 16. KONEČNÁ, H. Vzdělávání nadaných dětí. Brno: Masarykova univerzita. Pedagogická fakulta. Katedra pedagogiky, 2007. Vedoucí bakalářské práce doc. PaedDr. Hana Horká, CSc. 17. KOVÁČIK, J. Řešené příklady z matematiky pro základní školy a osmiletá gymnázia. Praha: ASPI, 2008. ISBN 978-80-7357-357-7. 18. KOVÁČIK, J. Řešené příklady z matematiky pro střední školy. Praha: ASPI, 2001. ISBN 80-7357-005-X. 19. KRUPKA, P. Sbírka úloh z matematiky pro 2. stupeň základní školy a nižší ročníky víceletých gymnázií, 2. díl. Praha: Prométheus, 2000. ISBN 80-7196-189-2. 20. LAZNIBATOVÁ, J. Nadané dieťa, jeho vývin, vzdelávanie a podporovanie. Bratislava: IRIS, 2001. ISBN 80-88778-32-8. 21. MACHŮ, E. Rozpoznávání a vzdělávání rozumově nadaných dětí v běžné třídě základní školy – příručka pro učitele a studenty učitelství. Brno: Masarykova univerzita, 2006. ISBN 80-210-3979-5. 22. MAŇÁK, J., JANÍK. T. Orientace české základní školy: Sborník z pracovního semináře konaného dne 20. října 2005 na Pedagogické fakultě MU v Brně. Brno: MU, 2005. ISBN 80-210-3870-5. 23. MAŇÁK, J., ŠVEC, V. Cesty pedagogického výzkumu. Brno: Paido, 2004. ISBN 80-7315-078-6. 24. MAŇÁK, J., ŠVEC, V. Výukové metody. Brno: Paido, 2003. ISBN 80-7315-039-5. 25. MÖNKS, F. J., YPENBURG, I. H. Nadané dítě – rukověť pro rodiče a učitele. Praha: Grada Publishing, 2002. ISBN 80-247-0445-5. 26. ODVÁRKO, O., KADLEČEK, J. Knížka pro učitele ke školním vzdělávacím programům na druhém stupni ZŠ Matematika a její aplikace. Praha: Prometheus, 2006. ISBN 80-7196-333-X. 27. POMYKALOVÁ, E. Matematika pro gymnázia – Planimetrie. Praha: Prometheus, 1997. ISBN 80-7196-045-4. 28. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. Praha: Prometheus, 1996. ISBN: 80-7196-021-7. 29. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. Praha: Prometheus, 1999. ISBN: 80-7196-166-3. 81

30. PÝCHOVÁ, I. K výuce nadaných a talentovaných žáků. Pedagogika, 1996. ISBN 80-86844-03-7. 31. RADOVÁ, J., DVOŘÁK, P., MÁLEK, J. Finanční matematika pro každého. Praha: GRADA Publishing, 2007. ISBN 978-80-247-2233-7. 32. Sdělení federálního ministerstva zahraničních věcí č. 104/1991 Sb., které přijímá Úmluvu o právech dítěte. 33. SEJVALOVÁ, J. Talent a nadání – jejich rozvoj ve volném čase. Praha: IDM MŠMT, 2004. ISBN 80-86784-03-7. 34. SKALKOVÁ,

J.

Pedagogika

a

výzvy

nové

Brno: Paido, 2004.

doby.

ISBN 80-7315-060-3. 35. STERNBERG,

R.

J.

Kognitivní

psychologie.

Praha:

Portál,

2002.

ISBN 80-7178-376-5. 36. ŠIMONÍK, O. Úvod do didaktiky základní školy. Brno: MSD, spol. s r.o., 2005. ISBN 80-86633-33-0. 37. ŠIMONÍK, O., VÍTKOVÁ, M. Výchova a nadání 1. Brno: MSD, spol. s r.o., 2008. ISBN 978-80-7392-024-1. 38. TREJBAL, J. Sbírka zajímavých úloh z matematiky1.díl. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 80-7196-072-1. 39. TREJBAL, J. Sbírka zajímavých úloh z matematiky 2. díl. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 80-7196-084-5. 40. Vyhláška

č. 73/2005 Sb., o vzdělávání dětí, žáků a studentů se speciálními

vzdělávacími potřebami a dětí, žáků a studentů mimořádně nadaných, ve znění pozdějších předpisů. 41. Zákon č. 561/2004 Sb., o předškolním, základním, středním, vyšším odborném a jiném vzdělávání (školský zákon), ve znění pozdějších předpisů. 42. ZHOUF,

M.

Matematické

příběhy

z korespondenčních

seminářů.

Praha:

Prometheus, 2006. ISBN 80-7196-304-6.

11.2. Webové stránky 43. HOUŠKA, T. Možnosti diferenciace a práce s nadanými dětmi [on-line].[cit. 200612-20] Dostupný z < http:////abcde.cz//zpravy/poradna3.php>. 44. FOŘTÍKOVÁ, J. Péče o nadané děti [on-line]. [cit. 2007-02-20] Dostupný z < http://www.centrumnadani.cz/UserFiles/Docs/kurzy/Informace_pro_skoly.pdf>.

82

45. Logická olympiáda, [on-line]. [cit. 2009-02-27] Dostupný z < http://www.logickaolympiada.cz/>. 46. Logické hádanky, zajímavé úlohy, hlavolamy, [on-line].[cit. 2009-01-29] Dostupný z . 47. Matematický klokan, Informace o soutěži [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z . 48. Matematická olympiáda, [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z . 49. HOUSKA, J., NEMČÍKOVÁ, K. Nestandardní aplikační úlohy a problémy [online]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z 50. Pikomat – matematický korespondenční seminář [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z < http://www.pikomat.net/index.php?id=uvod >. 51. Krynický, M. Počítačové učebnice matematiky a fyziky pro gymnázia, [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z . 52. PORTEŠOVÁ, Š. Jak definovat talent a nadání [on-line]. [cit. 2007-01-18] Dostupný z < http://www.nadanedeti.cz/index.php?stranka_id=8&jazyk>. 53. Technoplaneta – šifrovací hra pro děti seminář [on-line]. [cit. 2009-01-26] Dostupný z < http://kapsa.cz/technoplaneta/2009/> . 54. VONDRÁKOVÁ, E. Péče o nadané děti jako znak dobré školy (1. část). [on-line]. [cit. 2007-04-11] Dostupný z < http://www.ucitelskelisty.cz/Ucitelskelisty/Ar.asp?ARI=101123&CAI=2150>. 55. VONDRÁKOVÁ, E. Nadané děti. [on-line]. [cit. 2007-02-20] Dostupný z . 56. VÚP Praha, RVP ZV [on-line]. [cit. 2007-01-29] Dostupný z .

83