MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let.
I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni k úspěšnému složení maturitní zkoušky, zájemci o matematiku si mohou studium rozšířit o matematický seminář, na němž se připravují ke složení přijímacích zkoušek na vysoké školy technického, ekonomického a přírodovědného směru a studium na nich. V průběhu studia se studenti učí:
rozvíjet logické a abstraktní myšlení,
přesně a jasně se vyjadřovat,
analyzovat problémy a řešit je,
srozumitelně a věcně argumentovat,
zdravě kriticky uvažovat a kvantifikovat různé jevy,
procvičovat strategie řešení úloh,
rozvíjet geometrickou představivost v rovině a v prostoru.
II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů
dva závěrečné souhrnné testy z celého gymnaziálního učiva (oktáva)
souhrnný test z učiva primy až septimy (septima)
souhrnný test z učiva primy až kvarty (kvarta)
průběžné hodnocení (prověrky, krátké testy, ústní zkoušení apod.)
III. Hodinová dotace prima
sekunda
tercie
kvarta
kvinta
sexta
septima
oktáva
4
4
4
4
4
2
4
4
IV. Osnovy Prima
hodinová dotace 4 hodiny týdně 1. Opakování a prohloubení učiva ZŠ Číslo a číslice Množiny Přirozená čísla Číselné výrazy Rovnice Slovní úlohy 2. Základy planimetrie a stereometrie Bod, přímka, polopřímka, úsečka Úhel - pojem úhlu, jeho velikost (stupeň, minuta, vteřina, úhloměr) Rýsování úhlu dané velikosti, přenášení úhlu a konstrukce osy úhlu Sčítání a odčítání úhlů, násobení úhlu přirozeným číslem graficky a početně Konstrukce úhlů velikostí 90°, 45°, 60°, 30°,15°, 120° kružítkem a pravítkem Úhel přímý ostrý, pravý, tupý, nulový, plný Dvojice přímek Dvojice úhlů – vedlejší a vrcholové úhly, souhlasné a střídavé úhly Kružnice, kruh Trojúhelník, čtyřúhelník Přímky a roviny v prostoru Tělesa 3. Dělitelnost přirozených čísel Násobek, dělitel Dělitelnost součtu, rozdílu a součinu Znaky dělitelnosti 10, 5, 2, 4, 8, 3, 9 Prvočísla a čísla složená, rozklad složených čísel na součin prvočísel Společný dělitel, největší společný dělitel Čísla soudělná a nesoudělná Společný násobek, nejmenší společný násobek Znaky dělitelnosti dalšími čísly Slovní úlohy 4. Desetinná čísla Desetinná čísla, porovnávání, Sčítání a odčítání desetinných čísel Násobení a dělení desetinných čísel Násobení a dělení desetinných čísel 10, 100, 1000, 0,1, 0,01, 0,001 Převádění jednotek délky, obsahu, objemu a hmotnosti Odhady a zaokrouhlování výsledků Aritmetický průměr Slovní úlohy Vlastnosti početních výkonů s desetinnými čísly
5. Celá čísla Čísla kladná, nula, čísla záporná, čísla navzájem opačná Sčítání a odčítání celých čísel Násobení a dělení celých čísel Záporná desetinná čísla Číselné výrazy Porovnávání celých čísel, uspořádání, znázornění na číselné ose 6. Shodná zobrazení Shodnost útvarů v rovině (ověřování překrýváním) Osově souměrné útvary, osa úsečky, počet os souměrnosti rovinného útvaru Osová souměrnost, osa souměrnosti, samodružné body, samodružné přímky Konstrukce obrazu v osové souměrnosti Středově souměrné útvary Středová souměrnost, střed souměrnosti, samodružné body, samodružné přímky Konstrukce obrazu ve středové souměrnosti 7. Zlomky Zlomek a jeho základní tvar, porovnávání a rovnost zlomků, smíšené číslo Krácení a rozšiřování zlomků Znázornění zlomků na číselné ose, desetinné zlomky, porovnávání zlomků Sčítání zlomků, záporné zlomky, odčítání zlomků, násobení zlomků, dělení zlomků, převrácené číslo, složené zlomky Racionální čísla, periodická čísla Slovní úlohy 8. Souhrnné závěrečné opakování
Sekunda hodinová dotace 4 hodiny týdně 1. Opakování a prohloubení učiva primy Celá čísla Desetinná čísla kladná a záporná Zlomky, složený zlomek Číselné výrazy
2. Procenta Procento, základ, procentová část, počet procent Úrok, promile, jednoduché úrokování Slovní úlohy, úlohy z praxe 3. Trojúhelník Trojúhelník – základní pojmy, vnitřní a vnější úhly trojúhelníku, ostroúhlý, pravoúhlý a tupoúhlý trojúhelník, rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník Shodnost trojúhelníků – věty sss, sus, usu, Ssu, užití vět o shodnosti trojúhelníků Střední příčky, těžnice, výšky trojúhelníku Kružnice opsaná a kružnice vepsaná trojúhelníku Konstrukce trojúhelníku podle sss, sus a usu, ssu, trojúhelníková nerovnost Obsah, obvod trojúhelníku Slovní úlohy, užití v praxi 4. Čtyřúhelníky Čtyřúhelník, základní pojmy a vlastnosti obecného čtyřúhelníku Lichoběžník a jeho vlastnosti - obvod, obsah a konstrukce lichoběžníku Rovnoběžník a jeho vlastnosti - kosodélník, obdélník, kosočtverec, čtverec Obvod a obsah rovnoběžníků Konstrukce rovnoběžníků - užití osové a středové souměrnosti při konstrukci rovnoběžníků Deltoid a jeho vlastnosti - obvod, obsah a konstrukce deltoidu Slovní úlohy, užití v praxi 5. Mocniny a odmocniny Pythagorova věta Pojem a výpočet druhé mocniny a odmocniny, užití tabulek a kalkulátoru Iracionální číslo a osa reálných čísel (intuitivně) Užití druhé mocniny a odmocniny Výpočet mocniny s přirozeným mocnitelem Operace s mocninami s přirozeným mocnitelem Mocnitel nula Výpočet mocniny s celým mocnitelem Operace s mocninami s celým mocnitelem Zápis čísla v desítkové soustavě pomocí mocnin deseti Zápis čísla ve tvaru a.10n, kde a je desetinné číslo 1< a < 10, n celé číslo Řád čísla, zobrazení čísla na displeji kalkulátoru Pythagorova věta a věta k ní obrácená Výpočty pomocí Pythagorovy věty v pravoúhlém trojúhelníku Užití Pythagorovy věty v praxi 6. Výrazy 1. část Číselný výraz a jeho hodnota Proměnná, výraz s proměnnou Celistvý výraz (jednočlen), operace s jednočleny Mnohočlen, sčítání, odčítání násobení a dělení mnohočlenů
Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu a pro rozdíl druhých mocnin Slovní úlohy na sestavování a úpravy výrazů 7. Hranol, kvádr, krychle Hranol, kvádr, krychle Zobrazení kvádru a krychle ve volném rovnoběžném promítání Síť krychle, kvádru, hranolu, kolmý hranol, čtyřboké a trojboké hranoly Jednotky povrchu a objemu a jejich převody Výpočet povrchu a objemu krychle, kvádru a kolmého hranolu Výpočet délky stěnové a tělesové úhlopříčky krychle a kvádru Slovní úlohy, užití v praxi 8. Souhrnné závěrečné opakování
Tercie hodinová dotace 4 hodiny týdně 1. Opakování a prohloubení učiva sekundy Úměra Procenta Geometrické konstrukce Mocniny, odmocniny, Pythagorova věta Hranoly Výrazy 2. Kruhy a válce Kružnice, kruh Kružnice a přímka, vzájemná poloha, tečna, tětiva, vlastnosti Části kružnice a kruhu, oblouk kružnice, kruhová výseč a úseč Vzájemná poloha dvou kružnic, středná, soustředné kružnice, mezikruží Thaletova věta Délka kružnice, obsah kruhu, číslo p, délka oblouku kružnice, obsah kruhové výseče, obsah mezikruží Válec, síť válce, podstavy a plášť válce 3. Úměrnosti Poměr, převrácený poměr, krácení a rozšiřování poměru, zvětšování a zmenšování v daném poměru Úměra, postupný poměr Závislost veličin, přímá a nepřímá úměrnost, trojčlenka Měřítko plánů a map Diagramy 4. Výrazy 2. část Mocniny s celým exponentem Mnohočleny, sčítání, dělení a umocňování mnohočlenů, rozklad na součin Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu a pro rozdíl druhých mocnin Slovní úlohy na sestavování a úpravy výrazů
Lomené výrazy, definiční obor, sčítání, násobení a dělení lomených výrazů, složený lomený výraz 5. Geometrické konstrukce Základní konstrukce Množiny všech bodů daných vlastností, základní množiny všech bodů dané vlastnosti (osa úsečky, osa úhlu, Thaletova kružnice apod.) Konstrukce útvarů daných vlastností Konstrukční úlohy, rozbor úlohy, zápis konstrukce, důkaz, diskuse Konstrukce trojúhelníku, čtyřúhelníku, konstrukce tečny z bodu ke kružnici Posunutí, otáčení 6. Rovnice a nerovnice Rovnost, rovnice a ekvivalentní úpravy, kořen rovnice, zkouška Lineární rovnice s jednou neznámou, diskuse řešitelnosti lineární rovnice Slovní úlohy, úlohy o pohybu Výpočet neznámé ze vzorce Nerovnost, nerovnice, nerovnosti a intervaly, řešení nerovností Lineární nerovnice s jednou neznámou, její řešení, množina všech řešení Soustavy lineárních nerovnic s jednou neznámou Úlohy z praxe 7. Závěrečné zopakování a shrnutí učiva
Kvarta hodinová dotace 4 hodiny týdně 1. Opakování a prohloubení učiva z tercie Kruhy a válce Úpravy výrazů Geometrické konstrukce 2. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Lineární nerovnice s neznámou ve jmenovateli Slovní úlohy o společné práci, o směsích Rovnice s více neznámými, řešení soustavy lineárních rovnic s více neznámými, metoda sčítací, dosazovací, pomocí matic, diskuse řešitelnosti 3. Funkce Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, graf funkce Lineární funkce a její vlastnosti, graf konstantní funkce Přímá úměrnost jako zvláštní případ lineární funkce Grafické řešení rovnic Absolutní hodnota, funkce y = │x│, graf Kvadratická funkce, vlastnosti, graf Lineární lomená funkce, vlastnosti, graf Mocninné funkce, vlastnosti, grafy
Exponenciální funkce, vlastnosti, graf Logaritmická funkce, vlastnosti, graf Úlohy z praxe 4. Základy statistiky Statistický soubor, statistické šetření, shromažďování a třídění statistických údajů Jednotka, znak, absolutní a relativní četnost, vyjádření četnosti v procentech, rozdělení četností a jejich grafické znázornění – sloupkový a kruhový diagram Aritmetický průměr, modus, medián 5. Podobnost Podobnost, poměr podobnosti Podobnost trojúhelníků, věty o podobnosti trojúhelníků, užití 6. Goniometrické funkce Funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravoúhlém trojúhelníku Goniometrické funkce, jejich vlastnosti Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Grafy goniometrických funkcí, tabulky a kalkulátor, užití Úlohy z praxe 7. Jehlan, kužel koule Jehlan, zobrazení jehlanu, podstava a výška jehlanu, plášť jehlanu, síť jehlanu Povrch a objem jehlanu Kužel, podstava a výška kužele, plášť kužele, síť kužele Povrch a objem kužele Koule, povrch a objem 8. Závěrečné zopakování a shrnutí učiva
Kvinta hodinová dotace 4 hodiny týdně 1. Základy logiky a teorie množin Základní množinové pojmy a vztahy, operace s množinami, (Vennovy diagramy, úlohy o počtu prvků) Výrok a jeho pravdivostní hodnota, výroky s údaji o počtu, obecný a existenční kvantifikátor, Operace s výroky – negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence, negace složených výroků (tabulky pravdivostních hodnot, axiom, definice, věta, obrácená věta, přímý a nepřímý důkaz, důkaz sporem 2. Číselné obory Obor čísel přirozených, celých, racionálních a reálných, iracionální čísla Vlastnosti rovnosti a nerovnosti, operace v číselných oborech Zobrazení, prosté zobrazení Číselný osa, absolutní hodnota, intervaly, operace s nimi
Druhá a třetí odmocnina, jednoduché operace s nimi Mocniny s přirozeným a celým exponentem, operace s mocninami, práce s kalkulátorem, odhady a zaokrouhlování výsledků Násobek, dělitel, znaky dělitelnosti, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek Prvočísla a čísla složená, základní věta aritmetiky 3. Algebraické výrazy Proměnná, výraz Mnohočleny a operace s nimi, definiční obor výrazu, vzorce (a + b)2, a2 – b2, (a + b)3, a3 ± b3, rozklad mnohočlenu vytýkáním, užitím vzorců Lomené výrazy a operace s nimi Výrazy s mocninou a odmocninou Vyjádření neznámé ze vzorce 4. Základy planimetrie Přímka, polopřímka, úsečka, vzájemná poloha přímek Polorovina Úhel, dvojice úhlů, odchylka dvou přímek Vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost dvou rovnoběžek Trojúhelník, věty o shodnosti trojúhelníků, významné prvky a vztahy v trojúhelníku Rovnoběžník, lichoběžník, mnohoúhelník, pravidelný mnohoúhelník, konvexní útvary Kružnice, kruh, jejich části, středový a obvodový úhel, vzájemná poloha přímky a kružnice, dvou kružnic Obvody a obsahy rovinných útvarů Podobnost trojúhelníků, Euklidovy věty, Pythagorova věta Poměry délek stran v pravoúhlých trojúhelnících s vnitřními úhly 30° a 45°, konstrukční a výpočetní úlohy Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy Shodná zobrazení – osová a středová souměrnost, posunutí, otáčení, konstrukční úlohy Podobná zobrazení – podobnost, stejnolehlost, stejnolehlost kružnic, konstrukční úlohy 5. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Ekvivalentní a důsledkové úpravy rovnic a nerovnic, zkouška řešení, ověření řešení nerovnice Řešení lineárních rovnic, lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy, lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, řešení rovnic a nerovnic v součinovém a podílovém tvaru Řešení kvadratické rovnice, ryze kvadratická rovnice, kvadratické rovnice bez absolutního členu, diskriminant, rozklad kvadratického trojčlenu, vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Kvadratická nerovnice, geometrická interpretace Řešení rovnic a nerovnic s neznámou ve jmenovateli, řešení rovnic s neznámou pod odmocninou Jednoduché lineární a kvadratické rovnice s parametrem
Slovní úlohy Kartézský součin Soustavy dvou lineárních rovnic a nerovnic o dvou neznámých, jejich numerické a grafické řešení Soustavy tří a více lineárních rovnic pro tři a více neznámých Soustavy rovnice lineární a kvadratické a dvou kvadratických rovnic Řešení soustav nerovnic Slovní úlohy 6. Souhrnné opakování
Sexta hodinová dotace 2 hodiny týdně 1. Opakování a prohloubení učiva kvinty 2. Základní vlastnosti funkcí Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce Funkce sudá a lichá, monotonie funkce, omezenost funkce, maximum a minimum funkce, funkce periodická, inverzní 3. Racionální funkce Lineární funkce a jejich vlastnosti, graf funkce Grafy funkcí s absolutními hodnotami Kvadratická funkce, jejich vlastnosti a užití Mocniny s přirozeným mocnitelem, nepřímá úměrnost, lineární lomená funkce, mocninné funkce, mocniny a odmocniny - počítání s nimi 4. Exponenciální a logaritmická funkce Exponenciální a logaritmická funkce, řešení exponenciálních rovnic Logaritmus, věty o logaritmech, dekadický a přirozený logaritmus Logaritmické a složitější exponenciální rovnice 5. Goniometrie a trigonometrie Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře Goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens a jejich vlastnosti Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Goniometrické rovnice Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku a jejich užití Sinová a kosinová věta Součtové vzorce, vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument, úpravy goniometrických výrazů Základní a složitější goniometrické rovnice a nerovnice Řešení obecného trojúhelníku, aplikace 6. Souhrnné opakování učiva
Septima hodinová dotace 4 hodiny týdně 1. Opakování goniometrie a trigonometrie 2. Stereometrie Základní pojmy, bod, přímka, rovina Základy volného rovnoběžného promítání Polohové vztahy přímek a rovin v prostoru, vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou a tří rovin Rovnoběžnost přímek a rovin Rovinné řezy hranolu a jehlanu rovinou Průnik přímky s tělesem Polohové vztahy přímek a rovin Metrické vztahy přímek a rovin Kolmost přímek a rovin, vzdálenosti a odchylky přímek a rovin Objemy a povrchy těles - hranol, válec, jehlan, kužel, komolý jehlan, komolý kužel, koule a její části Aplikace 3. Analytická geometrie lineárních útvarů Soustava souřadnic na přímce a v rovině, v prostoru, vzdálenost dvou bodů, střed úsečky Orientovaná úsečka a vektor, souřadnice vektoru, velikost vektoru Operace s vektory – sčítání vektorů, násobení vektoru reálným číslem, skalární a vektorový součin vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů Rovnice přímky v obecném, parametrickém a směrnicovém tvaru Rovina – parametrické vyjádření a obecná rovnice Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin, odchylka přímky od roviny Vzdálenost bodu od přímky a od roviny 4. Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině Analytické vyjádření kružnice Vzájemná poloha přímky a kružnice, tečna kružnice Elipsa, hyperbola, parabola - jejich základní vlastnosti a konstrukce Osová a obecná rovnice elipsy a hyperboly Vrcholová a obecná rovnice paraboly Určení kuželosečky z jejího analytického vyjádření Vzájemná poloha přímky a kuželosečky Tečny ke kuželosečkám, polára 5. Komplexní čísla Komplexní číslo jako uspořádaná dvojice reálných čísel Číselný obor komplexních čísel
Gaussova rovina Algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla Operace s komplexními čísly Vzdálenost v Gaussově rovině Moivreova věta Užití komplexních čísel při řešení geometrických úloh – pravidelné mnohoúhelníky Řešení rovnic v množině komplexních čísel Binomická věta 6. Souhrnné opakování učiva
Oktáva hodinová dotace 4 hodiny týdně 1. Opakování učiva ze septimy 2. Posloupnosti a řady Definice, graf a vlastnosti posloupnosti Určení posloupnosti vzorcem pro n-tý člen, rekurentně Důkaz matematickou indukcí Aritmetická posloupnost – vztah pro součet prvních n členů posloupnosti, rekurentní vyjádření, použití ve slovních úlohách Geometrická posloupnost – vztah pro součet prvních n členů posloupnosti rekurentní vyjádření, použití ve slovních úlohách Finanční matematika Limita posloupnosti Nekonečná geometrická řada, její součet Úlohy na užití nekonečné geometrické řady 3. Finanční matematika Složené úrokování Různá úrokovací období Spoření Splácení dluhu 4. Kombinatorika Variace, kombinace, permutace bez opakování Variace, kombinace, permutace s opakováním Kombinační číslo n-faktoriál, výrazy, rovnice, nerovnice Binomická věta Slovní úlohy 5. Pravděpodobnost Náhodný jev Množina všech možných výsledků pokusu, množina výsledků příznivých danému jevu, pravděpodobnost náhodného jevu
Sčítání a násobení pravděpodobností Slovní úlohy – aplikace v praxi 6. Statistika Statistický soubor, statistický znak, třídění souboru podle hodnoty statistického znaku Absolutní a relativní četnost Modus, medián, aritmetický průměr, průměrná odchylka, rozptyl, směrodatná odchylka Grafické znázornění – kruhový sloupcový a spojnicový diagram
V. Učebnice Prima – kvarta učebnice řady: Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií. Nakladatelství Prometheus. Rozdělění učebnic do jednotlivých ročníků Prima Úvodní opakování Kladná a záporná čísla Osová a středová souměrnost Dělitelnost Racionální čísla a procenta Sekunda Racionální čísla a procenta Trojúhelníky a čtyřúhelníky Hranoly Výrazy 1 Tercie Kruhy a válce Úměrnosti Geometrické konstrukce Výrazy 2 Rovnice a nerovnice
Kvarta Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Funkce Podobnost a funkce úhlu Jehlany a kužely Funkce Goniometrie
Kvinta – oktáva učebnice řady: Matematika pro gymnázia. Nakladatelství Prometheus. Rozdělení učebnic do jednotlivých ročníků Kvinta Základní poznatky z matematiky Planimetrie Rovnice a nerovnice Sexta Funkce Goniometrie Septima Stereometrie Analytická geometrie Komplexní čísla Oktáva Posloupnosti a řady Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
VI. Další doporučená literatura Prima – kvarta Běloun a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro ZŠ. Nakladatelství Prometheus. Odvárko, Kadleček: Sbírka úloh z matematiky pro osmý ročník. Nakladatelství Prometheus. Matematické, fyzikální a chemické tabulky. Nakladatelství Prometheus.
Kvinta – oktáva Petáková: Příprava k maturitě a přijímacím zkouškám na vysoké školy. Nakladatelství Prometheus. Kubát: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na VŠ. Nakladatelství Prometheus. Bušek: Řešené maturitní úlohy z matematiky. Nakladatelství Prometheus. Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro střední školy. Nakladatelství Prometheus.
