I. BEVEZETİ I.1. ALAPFOGALMAK Jelölések: K: véletlen kísérlet, ωi: elemi esemény, Ω = {∀i : ωi } : eseménytér, F ⊆ 2Ω : eseményalgebra, A ∈ F : esemény, Ω ∈ F : biztos esemény. Mőveletek eseményekkel: összegzés: A+B (halmazunió), szorzás: AB (halmazmetszet), negálás: A = Ω \ A , kivonás (differencia): A \ B = AB , szimmetrikus differencia: A4B=(A\B)+(B\A). Két esemény kapcsolata: A maga után vonja B-t ( A ⊆ B ), A és B kizárják egymást (diszjunktak) ( AB=∅ ). (D) Teljes eseményrendszer: Az Ai események ~t alkotnak, ha páronként diszjunktak ( ∀i ≠ j : A i A j = ∅ ) és összegük a biztos esemény ( ∑ A i = Ω ). ∀i
(A) F ún. σ-algebrát alkot: azaz eleme a biztos esemény ( Ω ∈ F ), és zárt az összegzés és a negálás mőveletekre (vagyis bármely elemének a negáltja és bármely elemeinek az összege is eleme). (D) P valószínőség: P: F → [0,1] úgy, hogy a biztos esemény valószínősége 1 (P(Ω)=1), és páronként diszjunkt események esetén P az összeadásra homomorf (mővelettartó), azaz ezek összegének valószínősége a valószínőségük összegével egyenlı, tehát: A i ∈ F, ∀i ≠ j : A i A j = ∅ → P ∑ A i = ∑ P ( A i ) ∀i ∀i
( )
(T) P tulajdonságai: P A = 1 − P ( A ) , A ⊆ B → P ( A ) ≤ P ( B ) , P ( A \ B ) = P ( A ) − P ( AB ) . i n n i +1 (T) Poincare-tétel: P ∑ Ai = ∑ ( −1) P ∑ ∏ A jk (szeml.: „szita”-módszer). 1≤ j1 < j2 < ...< ji ≤ n k =1 i =1 i =1 n n n n (T) Boole-egyenlıtlenség(ek): P ∑ Ai ≤ ∑ P ( A i ) , ill. P ∏ Ai ≥ 1 − ∑ P A i . i =1 i =1 i =1 i =1 ∞ (T) Folytonossági tétel(ek): ∀i ∈ Z + : Ai ∈ F és Ai ⊆ Ai +1 → P ∑ A i = lim P ( A n ) , i =1 n →∞ ∞ ∀i ∈ Z + : Bi ∈ F és Bi ⊇ Bi +1 → P ∏ Bi = lim P ( Bn ) . i =1 n →∞ (D) Kolmogorov-féle valószínőségi mezı: A fenti tulajdonságoknak megfelelı ( Ω, F,P ) hármast a K véletlen kísérlethez tartozó ~nek nevezzük. Megjegyzés: Innentıl a ( Ω, F,P ) hármas mindig Kolmogorov-féle valószínőségi mezıt jelöl (hogy ne kelljen mindig kiírni).
( )
I.2. KLASSZIKUS VALÓSZÍNŐSÉG 1 #A , F=2Ω → A ∈ F esetén P ( A ) = n #Ω Szemléletesen: véges sok elemi esemény van, ezek valószínősége megegyezik, és minden esemény megfigyelhetı. Leggyakoribb esetei: kockadobás, pénzfeldobás, kártyahúzás, lottóhúzás, … FELADATOK MEGOLDÁSA: A feladatokban szövegesen definiált események valószínőségét kell kiszámolni. Ehhez meg kell határoznunk az elemi események számát (Ω számosságát), majd az A eseményhalmaz számosságát. Ez utóbbit kombinatorikai módszerek használatával könnyíthetjük meg (ismételjük át ezzel kapcsolatos ismereteinket). Figyeljünk arra, hogy esetszétválasztásnál semmit ne hagyjunk ki, és semmit ne számoljunk kétszer. Néha pl. a komplementer esemény számosságának meghatározása lényegesen egyszerőbb; ezt, és az ehhez hasonló trükköket „célszerő” észrevenni. Ω = {ω1 , ω2 ,..., ωn } és #Ω = n véges, ∀i: P ( ωi ) = p =
-1-
I.3. GEOMETRIAI VALÓSZÍNŐSÉG Ω egy véges területő síkbeli alakzat. (Vezessük be az m() területfüggvényt, amely egy alakzathoz egy véges értéket rendel, amennyiben az mérhetı területő!) F elemei az Ω mérhetı területő részei. m(A) A ∈ F esetén P ( A ) = , vagyis A és Ω területének aránya. m (Ω) Leggyakoribb esetei: Két folytonos értékő paraméterrel leírható véletlen kísérletek. Pl.: két tetszılegesen kiválasztott 0 és 1 közé esı valós szám, … FELADATOK MEGOLDÁSA: A szöveges specifikáció alapján készítsünk rajzot Ω-ról és a keresett A eseménynek megfelelı alakzatról. Egy bonyolult alakzat területének a kiszámításához (egyszerő alakzat területét ránézésre megállapítjuk) vegyünk fel egy koordinátarendszert, amelyben határozzuk meg az alakzatok határvonalait leíró függvényeket és ezek segítségével integrálással kapjuk meg a keresett területet (integrálni tudni kell). Összetett alakzatokat daraboljuk szét egyszerőbbekre, és ezekre egyenként alkalmazzuk a fenti módszert. Ha meghatároztuk A és Ω területét, akkor már csak a képletet kell használni. A komplementeres trükk néha itt is bejöhet. I.4. FELTÉTELES VALÓSZÍNŐSÉG (D) Feltételes valószínőség: A,B ∈ F és P ( B ) > 0 estén az A eseménynek a B-re vonatkoztatott ~e: PB ( A ) = P ( A | B ) =
P ( AB ) . Szemléletesen: ha tudjuk hogy B bekövetkezett, akkor az A esemény P ( B)
bekövetkezésének a valószínősége PB ( A ) . (T) A feltételes valószínőség tulajdonságai: Csak szemléletesen: a PB feltételes valószínőség pontosan úgy viselkedik, mint a P valószínőség azzal az enyhítéssel, hogy minden Ω helyébe B írható (de nem kötelezı). Vagyis minden P-re vonatkozó formula átírható PB-re.
(D) Függetlenség: A, B ∈ F esetén az A és B események függetlenek ↔ ha P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) . (T) A függetlenség tulajdonságai: 1.) Ha A és B események függetlenek → A,B is függetlenek (rekurzíve: A, B és A,B is). 2.) Ha P ( A ) ∈ {0,1} → ∀B ∈ F esetén A és B függetlenek.
(D) Az A i∈{1,...,n} ∈ F események páronként függetlenek, ha ∀i ≠ j esetén A i és A j függetlenek. (D) Az A i∈{1,...,n} ∈ F események teljesen függetlenek, ha ∀I ∈ 2{1,...,n} esetén
∏ P ( A ) = P ∏ A , vagyis közülük tetszılegesen kiválasztott események függetlenek. i
∀i∈I
i
∀i∈I
(T) Ha A i∈{1,...,n} ∈ F események teljesen függetlenek → ∀I ∈ 2{1,...,n} esetén a Bi∈{1,...,n} események is teljesen függetlenek, ahol: Bi = A i , ha i ∈ I A i , ha i ∉ I Szemléletesen: közülük tetszılegesen kiválasztott eseményeket az ellentettjükre kicserélve (megnegálva) az események továbbra is teljesen függetlenek maradnak.
A FELTÉTELES VALÓSZÍNŐSÉGGEL KAPCSOLATOS FONTOS TÉTELEK: (T) Teljes valószínőség tétel: Ha Ai ∈ F teljes eseményrendszer, P ( A i ) > 0 és B ∈ F tetszıleges esemény → P ( B ) = ∑ P ( B | A i ) P ( A i ) . ∀i
Szemléletesen a teljes valószínőség tétele azt állítja, hogy egy B esemény valószínőségét úgy is megállapíthatjuk, hogy a biztos eseményt feldaraboljuk (legfeljebb megszámlálhatóan végtelen darabra), és a B eseménynek ezen darabokra számított feltételes valószínőségeit összeadjuk. -2-
(T) Bayes-tétel: Ha Ai ∈ F teljes eseményrendszer, P ( A i ) > 0 és B ∈ F , P ( B ) > 0 →
P ( Ai | B) =
P ( B | A i ) P ( Ai ) . ∑ P ( B | Ak ) P ( Ak ) ∀k
A Bayes-tétel tulajdonképpen a teljes valószínőség tételnek egy kicsit átalakított alakja. A feladattól függ, hogy a kettı közül melyiket csélszerő használni, vagyis hogy melyik képletben szereplı valószínőségek értékét egyszerőbb kiszámolni az adott feladatban. n (T) Szorzási szabály: Ha A i∈{1,...,n} ∈ F eseményekre teljesül, hogy P ∏ Ai > 0 → i =1 n n i − 1 P ∏ Ai = P ( A1 ) ∏ P A i | ∏ A j . i=2 j=1 i =1 Csak akkor célszerő használni, ha a feladat szövegezése miatt a fenti feltételes valószínőségeket nagyon könnyő kiszámolni.
A FELTÉTELES VALÓSZÍNŐSÉGGEL KAPCSOLATOS FELADATOK MEGOLDÁSA: A feladatok általában olyanok, hogy meg van adva néhány esemény, néhány valószínőség, esetleg az események egymáshoz való viszonya (függetlenek, egymást kizárják, A maga után vonja B-t), és ezekbıl kell mindenféle egyéb valószínőségeket kiszámolni. Kezdjük azzal, hogy az események egymáshoz való viszonyaiból (feltéve ha volt ilyen megadva) egyenleteket írunk fel: A és B függetlenek → P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) A és B kizárják egymást → P ( AB ) = 0 A maga után vonja B-t → P ( A ) ≤ P ( B ) és P ( AB ) = P ( A ) Ezután nézzük meg, hogy a keresett valószínőséget milyen képlettel tudjuk felírni. Pl.: P ( AB ) P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) vagy P ( A | B ) = . Ehhez nagy segítség lehet, ha az P ( B) események viszonyát kis halmazos ábrával szemléltetjük magunknak. Így ezeket a képleteket sem nagyon kell megjegyezni (nem mintha olyan nehezek lennének), mert a rajzról tisztán leolvashatók. De azért nagy könnyebbség, ha észrevesszük, hogy hol lehet a fenti tételek valamelyikét használni. Végül a már ismert valószínőségek értékét írjuk be, a még nem ismerteket pedig a fenti módszerrel próbáljuk továbbontani (2-3 lépésnél többre általában nincs szükség).
Nézzünk egy példát: Legyenek A, B, C teljesen független események, P ( A ) = P ( B ) = 12 , P ( C ) = 23 .
(
)
Keressük a következıket: P ( A | B + C ) = ? , P ( B | A4B ) = ? , P ( A | A + C ) = ? és P ABC = ?
Megoldás: A, B, C teljesen függetlenek → P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 14 , P ( AC ) = P ( A ) P ( C ) = 13 ,
P ( BC ) = P ( B ) P ( C ) = 13 és P ( ABC ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) = 16 . P (A | B + C) =
P ( B | A4B ) =
P ( AB + AC ) P (B + C)
P ( B ( A4B ) )
P ( A | A + C) =
P ( A4B )
=
=
P ( A ( A + C)) P ( A + C)
P ( AB ) + P ( AC ) − P ( ABC ) P ( B ) + P ( C ) − P ( BC )
P (B \ A)
(
P AB + AB =
)
=
=
1 4 1 2
+ 13 − 16 = + 32 − 13
P ( B ) − P ( AB ) P ( A ) + P ( B ) − 2P ( AB )
P (A) P ( A ) + P ( C ) − P ( AC )
-3-
=
1 2
1 2 2 3
+ − 13
=
=
5 12 5 6
=
1 . 2
− 14 = 1 1 1 + − 2 2 2 1 2
(
)
1 4 1 2
=
1 . 2
3 5 . P ABC = 1 − P ( ABC ) = . 5 6
II. VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK II.1. VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓ ELOSZLÁSFÜGGVÉNYE (D) Valószínőségi változó: Az X : Ω → R fv-t valószínőségi változónak nevezzük, ha ∀t ∈ R : A= {ω: X ( ω) < t} ∈ F , azaz minden ilyen A megfigyelhetı esemény. (Az A eseményt a thez tartozó nívóeseménynek nevezzük.) Megjegyzés: A valószínőségi változókat azért vezetjük be, hogy a kezdetben bevezetett módszert egy olyannal váltsuk fel, amely bonyolultabb feladatoknál sokkal kényelmesebben kezelhetı (mint azt késıbb látni fogjuk). Innentıl a valószínőségi változók helyett a v.v. rövidítést használom. (D) Eloszlásfüggvény: Az X v.v. eloszlásfüggvénye FX : ℝ → [ 0,1] , ahol
(
)
FX ( t ) = P A = {ω : X ( ω) < t} , azaz FX értéke t-ben a t-hez tartozó nívóesemény valószínősége.
(T) FX tulajdonságai: 1.) FX monoton nı ( ∀u < v : FX ( u ) ≤ FX ( v ) ). 2.) FX minden pontjában balról folytonos ( ∀u ∈ ℝ : lim FX ( t ) = FX ( u ) ). t →u −0
3.) Határértéke a -∞ ben 0, a +∞ ben 1 ( lim FX ( t ) = 0 és lim FX ( t ) = 1 ). t →−∞
t →+∞
(T) Kolmogorov: Minden a fenti tulajdonságokat teljesítı FX függvényhez létezik értelmes véletlen kísérlet, és ezek egyértelmően meghatározzák egymást. (T) Tetszıleges x
(
)
(D) Az X d.v.v. eloszlása: pi∈{1,...,n} = P ( X = x i ) = P A = {ω : X ( ω) = x i } , ahol az A esemény az xi értékhez tartozó elemi események halmaza. Természetesen: 0 ≤ pi ≤ 1 és
(T) Az X d.v.v. eloszlásfüggvénye: FX ( t ) =
∑p
∑p
i
= 1.
∀i
i
.
∀x i < t
(D) Folytonos v.v.: Az X v.v. folytonos, ha értékkészlete kontinuum számosságú, és FX eloszlásfüggvénye abszolút folytonos, azaz folytonos és legfeljebb véges sok pont kivételével differenciálható. Innentıl a folytonos v.v. helyett az f.v.v. rövidítést használom. (D) Az X f.v.v. sőrőségfüggvénye: Az X f.v.v. FX eloszlásfv-e az abszolút folytonossági tulajdonsága miatt felírható FX ( x ) =
x
∫ f ( t ) dt X
alakban, ahol fX az X f.v.v. sőrőségfv-e.
−∞
(T) A sőrőségfv tulajdonságai: f X ( t ) ≥ 0 és
+∞
∫ f ( t ) dt = 1 . X
−∞
II.2. VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK TRANSZFORMÁCIÓI Diszkrét-diszkrét transzformáció: Legyen X, Y d.v.v., g : E X → E Y és Y = g ( X ) . Ekkor:
P ( Y = y) =
∑
∀x i : g ( x i ) = y
P ( X = xi ) .
Szemléletesen: az X-hez tartozó véletlen kísérlet eseményterét egyértelmően (nem feltétlenül egyegyértelmően) leképezem egy új, az Y-hoz tartozó véletlen kísérlet eseményterére. -4-
n
Folytonos-diszkrét transzformáció (diszkretizáció): Legyen X f.v.v. és ℝ = ∪ [ u i , u i +1 ) , ahol i =0
u 0 = −∞ és u n +1 = +∞ . Ekkor Y = y k : X ∈ [ u k −1 , u k ) d.v.v. és P ( Y = y k ) =
uk
∫ f ( t ) dt . X
u k −1
Szemléletesen: A valós számok halmazát legfeljebb megszámlálhatóan végtelen számosságú intervallumra partícionálom (vagyis a partíciók diszjunktak és lefedik a teljes halmazt) és az egyes intervallumokhoz egy véletlen kísérlet elemi eseményeit rendelem, ahol ezen elemi események valószínősége a hozzájuk tartozó intervallumba esés valószínőségével egyenlı. Tipp: Nem nagyon kell!
Folytonos-folytonos transzformáció: Legyen X f.v.v. és T : ℝ → ℝ diffható és invertálható és Y = T ( X ) . Ekkor: Y f.v.v. és f Y ( t ) = f X ( T −1 ( t ) ) dtd T −1 ( t ) . Tipp: Ezt nagyon kell tudni! Az ezzel kapcsolatos feladatok általában olyanok, hogy: adott egy FX eloszlásfv-ő X f.v.v. (ha nem az eloszlásfv van megadva, hanem mondjuk a sőrőségfv, akkor abból kiszámíthatjuk az eloszlásfvt) és Y = g ( X ) , tehát pl.: Y = X 2 − 1 . Keressük az FY eloszlásfv-t. A megoldás menete: keressük az FY ( t ) = P ( Y < t ) eloszlásfv-t. Y helyére beírjuk g ( X ) -et: FY ( t ) = P ( g ( X ) < t ) és a zárójelen belüli kifejezést átrendezzük X-re, majd leolvassuk a kifejezés értékét az FX ( t ) = P ( X < t ) eloszlásfv felhasználásával. Mondjuk a fenti példában:
(
)
(
)
(
)
FY ( t ) = P X 2 − 1 < t = P X 2 < t + 1 = P − t + 1 < X < t + 1 = FX
(
)
(
)
t + 1 − FX − t + 1 .
Az alábbi két tétel a fentiek speciális esete: (T) Ha X ∈ U ( 0,1) f.v.v. és F ( y ) egy szigorúan monoton növekvı eloszlásfv azon az intervallumon, ahol 0 < F ( y ) < 1 , akkor az Y = F−1 ( X ) v.v. eloszlásfv-e éppen F ( y ) lesz. Vagyis a tétel az állítja, hogy ha a [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású v.v-t behelyettesítünk egy egyértelmően invertálható eloszlásfv inverzének képletébe, akkor éppen egy ilyen eloszlású valószínőségi változót kapunk eredményül. (T) Ha az X v.v. FX ( t ) eloszlásfv-e szigorúan monoton növekvı azon az intervallumon, ahol
0 < FX ( t ) < 1 , akkor az Y = FX ( X ) v.v-ra teljesül, hogy: Y ∈ U ( 0,1) . Vagyis ha egy a feltételenek megfelelı eloszlásfv-el rendelkezı valószínőségi változót behelyettesítünk a saját eloszlásfüggvényébe, akkor éppen a [0,1] intervallumon egyenletes eloszlást kapjuk eredményül. A fenti tételek elméleti jelentısége az, hogy segítségükkel bármely ismert eloszlásfüggvényő v.v. szimulálható (pl. számítógép segítségével). A feladatokban idıt nyerhetünk vele, ha nem kell végigvezetnünk a számítást, mert ésszrevesszük, hogy a fenti tételek valamelyike alkalmazható.
II.3. VÁRHATÓ ÉRTÉK (D) Várható érték (0-körüli elsı momentum): Az X v.v. várható értékét E {X} -el jelöljük. Az X d.v.v-nak létezik a várható értéke, ha
∑ x P ( X = x ) < ∞ . Ekkor E {X} = ∑ x P ( X = x ) . i
i
i
∀x i
+∞
Az X f.v.v-nak létezik a várható értéke, ha
∫
i
∀x i
x f X ( x ) dx < ∞ . Ekkor E {X} =
−∞
+∞
∫ xf ( x ) dx . X
−∞
Szemléletesen: az egyes x értékekhez tartozó valószínőséget a 0-tól való elıjeles távolság elsı hatványával (azaz x-el) súlyozzuk. Ezért nevezzük a várható értéket a 0-körüli elsı momentumnak. A várható érték fogalma erıs párhuzamba állítható a tömegközéppont fizikai fogalmával. -5-
(T) Legyen X v.v., g : ℝ → ℝ és Y = g ( X ) . Ekkor ha Y v.v. és: 1.) diszkrét esetben: ha
∑ g ( x ) P ( X = x ) < ∞ → ∃E {Y} = ∑ g ( x ) P ( X = x ) . i
i
i
∀x i
+∞
2.) folytonos esetben: ha
∫
i
∀x i
g ( x ) f X ( x ) dx < ∞ → ∃E {Y} =
−∞
+∞
∫ g ( x ) f ( x ) dx < ∞ . X
−∞
(K) Ha az X v.v-nak létezik a várható értéke, akkor az Y=aX+b v.v-nak is létezik a várható értéke, és E {Y} = aE {X} + b . Szemléletesen: az E { } várhatóérték-képzés lineáris operátor. (T) Az E { } operátor d.v.v-k esetén az összeadásra homomorf (mővelettartó), azaz: ha X,Y d.v.v. és létezik a várható értékük, akkor: E {X + Y} = E {X} + E {Y} .
(D) Centralizált: Az X v.v. centralizáltja az X C = X − E {X} v.v., szemléletesen: „X középpontját a
{ }
0-ba toljuk”. Triviális következmény, hogy a centralizált v.v. várható értéke mindig 0 ( E X C = 0 ).
(T) Markov-egyenlıtlenség: Ha X ≥ 0 v.v. és ∃E {X} ≥ 0 → ∀δ > 0 : P ( X ≥ δ ) ≤
E {X} δ
.
II.4. SZÓRÁSNÉGYZET (D) n-edik momentum: Az X v.v. ~án az Y = X n v.v. várható értékét értjük. µ n {X} = E {X n } . (D) Szórásnégyzet (a várható érték körüli második momentum): Az X v.v-nak létezik a szórásnégyzete (varianciája), ha az ( X − E {X}) v.v-nak létezik a várható 2
{
}
értéke. X szórásnégyzetét σ2 {X} -el jelöljük. Tehát: σ2 {X} = E ( X − E {X}) . 2
Vagyis az X v.v. szórásnégyzete az X centralizáltjának a második momentuma. Szemléletesen: az egyes x értékekhez tartozó valószínőséget a várható értéktıl való elıjeles távolság második hatványával (azaz ( x − E {X}) -el) súlyozzuk. Ezért nevezzük a szórásnégyzetet a 2
várható érték körüli második momentumnak. A szórásnégyzet fogalma erıs párhuzamba állítható a tehetetlenségi nyomaték fizikai fogalmával, ami épp a tömegközéppont körüli második momentum. (T) A szórásnégyzet tulajdonságai: 1.) Ha X v.v. és ∃σ2 {X} → ∀a, b ∈ ℝ : σ2 {aX + b} = a 2 σ2 {X} . 2.) σ2 {X} = 0 ↔ P ( X = E {X}) = 1 , vagyis csak a konstans v.v. szórásnégyzete 0.
(D) Szórás: Az X v.v. szórása a szórásnégyzetének pozitív négyzetgyöke: σ {X} = + σ2 {X} .
{
}
(T) Steiner-tétel: ∀a ∈ ℝ : µ 2 {X − a} = σ 2 {X} + ( E {X} − a ) v. σ2 {X} = E ( X − a ) − E {X − a} . 2
{ }
2
2
Speciálisan a = 0 esetén: σ2 {X} = E X 2 − E {X} (általában ezzel számoljuk a szórásnégyzetet). 2
Megjegyzés: ez a tétel egy az egyben megfelel a fizikából tanult Steiner-tételnek. (K) Ha X v.v. és ∃σ2 {X} , akkor ∀a ∈ ℝ : σ2 {X} ≤ µ 2 {X − a} , vagyis minden v.v-ra igaz, hogy egy tetszıleges érték körüli második momentuma akkor minimális, ha ez az érték épp a várható ertéke. X − E {X} XC = v.v., szemléletesen: „X (D) Standardizált: Az X v.v. standardizáltja az XS = σ {X} σ {X} középpontját a 0-ba toljuk és egységnyi szórásúra zsugorítjuk”. Triviális következmény, hogy a standardizált v.v. várható értéke mindig 0 ( E XS = 0 ) és a szórásnégyzete mindig 1 ( σ2 XS = 1 ).
{ }
{ }
(
)
(T) Csebisev-egyenlıtlenség: Ha X v.v. és ∃σ {X} < ∞ → ∀ε > 0 : P X − E {X} ≥ ε ≤ 2
-6-
σ2 {X} ε2
.
II.5. NEVEZETES VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK 1.) Konstans d.v.v.
{
∀ω∈ Ω : X ( ω) = c → P ( X = c ) = 1; FX ( t ) = 0, t ≤ c ; E {X} = c; σ 2 {X} = 0 . 1, t > c
2.) Indikátor d.v.v. ( X ∈ I A ) Legyen A ∈ F és p = P ( A ) > 0 . Ekkor az X ∈ I A az A-hoz tartozó indikátor v.v., ha:
{
X ( ω) = 1, ω∈ A → P ( X = 1) = p; P ( X = 0 ) = 1 − p; E {X} = p; σ2 {X} = p (1 − p ) . 0, ω∉ A
3.) Egyenletes eloszlású d.v.v.
{
}
Az Ω = ωi∈{1,...,n} és P ( A = {ωi }) =
1 véletlen kísérlethez tartozó X ( ωi ) = i d.v.v. n paraméterő n
egyenletes eloszlású d.v.v., amelyre: n 0, t ≤ 1 1 n +1 1 2 2 2 k P ( X = i ) = ; FX = n , k < t ≤ k + 1; E {X} = ; σ {X} = ∑i n 2 2n i =1 1, t > n
4.) Egyenletes eloszlású f.v.v. ( X ∈ U ([ a, b ]) ) Az X f.v.v. az [a,b] intervallumon egyenletes eloszlású, ha eloszlásfüggvénye: 2 0, x ≤ a b − a) ( a+b b1−a , x ∈ ( a, b ) 2 x −a FX ( x ) = b −a , a < x ≤ b . Ekkor: f X ( x ) = ; E {X} = ; σ {X} = 0, x ∉ a, b ( ) 2 12 1, x > b
5.) Binomiális eloszlású d.v.v. ( X ∈ B ( n, p ) , ahol n ≥ 1 és p ∈ ( 0,1) )
()
n−k ∀k ∈ {1,..., n} : p k = P ( X = k ) = n p k (1 − p ) ; E {X} = np; σ2 {X} = np (1 − p ) . k
(T) max {P ( X = k )} = k * = ( n + 1) p , vagyis X értéke legnagyobb valószínőséggel k * . ∀k Tipikus esete(i): Legyen egy véletlen kísérletben A ∈ F egy pozitív valószínőségő esemény ( p = P ( A ) ). Hajtsuk végre a kísérletet n-szer egymástól függetlenül, és jelölje X az A esemény bekövetkezésének számát a kísérletsorozatban! 6.) Poisson-eloszlású d.v.v. ( X ∈ Po ( λ ) , ahol λ > 0 ) λ k −λ e ; E {X} = λ; σ 2 {X} = λ . k! (T) Legyen X n,p ∈ B ( n, p ) . Ekkor lim X n,p = X ∈ Po ( λ ) , vagyis a Poisson-eloszlás az n,p ∀k ∈ ℕ : p k = P ( X = k ) =
n →∞ , p →0 np →λ
paraméterő binomiális eloszlás határesete, ha n tart végtelenbe, p tart 0-hoz, de úgy, hogy közben a szorzatuk λ. Tipikus esete(i): Az elızı tétel alapján olyan n szeres kísérletsorozatok, ahol az n nagyon nagy, ellenben a megfigyelt esemény valószínősége nagyon kicsi. Pl.: öngyilkosságok száma.
7.) Geometriai eloszlású d.v.v. ( X ∈ G ( p ) , ahol p ∈ ( 0,1) ) 1 1− p p; E {X} = ; σ2 {X} = 2 . p p + (T) A geometriai eloszlás örökifjú tulajdonsága: ∀m, k ∈ ℤ : P ( X = m + k | X > m ) = P ( X = k ) . Szemléletesen azt jelenti, hogy az idı múlásával az esemény bekövetkezésének esélyei nem változnak, tehát ha már egy órája dobálom a kockát, attól annak az esélye, hogy mostanatól éppen harmadikra dobok fejet, nem változik. ∀k ∈ ℤ + : p k = P ( X = k ) = (1 − p )
k −1
-7-
Tipikus esete(i): Egy kísérletet addig hajtsunk végre, amíg a p valószínőségő A esemény be nem következik. X jelölje, hogy az A esemény hányadik kísérlet során következett be elıször. Pl.: addig dobjunk a kockával, amíg 6-ost nem dobunk. 8.) Exponenciális eloszlású f.v.v. ( X ∈ E ( λ ) , ahol λ > 0 )
{
{
−λx −λx 1 1 FX ( x ) = 1 − e , x > 0 ; f X ( x ) = λe , x > 0 ; E {X} = ; σ2 {X} = 2 . 0, x ≤ 0 0, x ≤ 0 λ λ (T) Az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága: Az X f.v.v-ra teljesül, hogy ∀x, t > 0 : P ( X < x + t | X ≥ x ) = P ( X < t ) ↔ ∃λ > 0 : X ∈ E ( λ ) . Vagyis a tétel azt állítja, hogy az exponenciális eloszlású az egyetlen f.v.v., amely örökifjú tulajdonságú, azaz annak a valószínősége 0-ban, hogy X legfeljebb t-ig él ugyanannyi, mint annak a valószínősége x-ben, hogy X legfeljebb x+t-ig él. Szemléletesen: a túlélési kondíciók az idı múlásával nem változnak. Tipikus esete(i): Berendezések élettartalmának vizsgálata, ahol λ a berendezés meghibásodási valószínősége.
9.) Hipergeometriai eloszlású d.v.v. ( X ∈ Hg ( N, F, n ) , ahol F < N és n ≤ min {F, N − F} ) F N−F ( k )( n − k ) ; ∀k ∈ ℕ : p = P ( X = k ) = N (n) k
E {X} = n
F F F N−n . ; σ2 {X} = n 1 − N N N N −1
F (T) Ha N → ∞, F → ∞ , akkor Hg ( N, F, n ) ∼ B n, . N Tipikus esete(i): Egy dobozban van N db golyó: ebbıl F db fehér és N-F db piros. Visszatevés nélkül kihúzunk n db golyót. Mennyi ezek között a fehér? Ilyen egyébként a lottóhúzás is: egy ktalálatos szelvény kitöltésének a valószínőségét egy X ∈ Hg ( 90,5,5 ) v.v. P ( X = k ) értéke adja.
10.) Normális eloszlású f.v.v. ( X ∈ N ( µ, σ ) , ahol µ, σ ∈ ℝ és σ > 0 ) ( x −µ )2
x
( t −µ )2
− − 1 1 2 2 f X ( x ) = ϕµ ,σ ( x ) = e 2σ ; FX ( x ) = Φ µ ,σ ( x ) = e 2 σ dt; E {X} = µ; σ2 {X} = σ2 ∫ σ 2π σ 2π −∞ Ha X ∈ N ( 0,1) , akkor standard normális eloszlású v.v-ról beszélünk, és:
fX ( x ) = ϕ ( x ) =
1
e
−
x2 2
; FX ( x ) = Φ ( x ) =
1
x
∫e
−
t2 2
dt; E {X} = 0; σ2 {X} = 1 .
2π 2π −∞ (T) A φ(x) Gauss-függvény tulajdonságai: páros ( ϕ ( x ) = ϕ ( − x ) ), inflexiós helyei a +1 és a -1, 1 , határértéke a végtelenben lim ϕ ( x ) = lim ϕ ( x ) = 0 és ϕ′ ( x ) = − xϕ ( x ) . x →∞ x →−∞ 2π 1 x −µ x −µ (T) Φ µ ,σ ( x ) = Φ ; Φ ( x ) = Φ µ ,σ ( σx + µ ) ; ϕµ ,σ ( x ) = ϕ ; ϕ ( x ) = σϕµ ,σ ( σx + µ ) σ σ σ Tipikus esete(i): Akkor használjuk, ha a feladatban megadják, hogy normális eloszlásról van szó.
maximuma ϕ ( 0 ) =
-8-
DISZKRÉT VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK: Név
Jelölés
P ( X = c) = 1
Konstans Indikátor
P ( X = 1) = p
X ∈ IA
P ( X = 0) = 1 − p P (X = i) =
Egyenletes
Binomiális
Poisson
Geometriai
Várható érték Szórásnégyzet E {X} σ2 {X}
Eloszlás
p
p (1 − p )
()
np
np (1 − p )
λ k −λ e , k!
λ
λ
1 p
1− p p2
n −k P ( X = k ) = n p k (1 − p ) , k k ∈ {0,1,..., n}
X ∈ Po ( λ ) λ>0
P(X = k) =
X ∈ G (p) p ∈ ( 0,1)
P ( X = k ) = (1 − p ) k ∈ ℤ+
X ∈ Hg ( N, F, n ) Hipergemetriai F < N és n ≤ min {F, N − F}
0
n +1 2
1 , i ∈ {1,..., n} n
X ∈ B ( n, p ) n ≥ 1 és p ∈ ( 0,1)
k∈ℕ
c
k −1
p,
F N−F ( k )( n − k ) P (X = k) = , N (n)
n
F N
n
F F 1 − N N
k∈ℕ
FOLYTONOS VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK: Név
Jelölés
Eloszlásfv. FX 0, x ≤ a
Egyenletes
Exponenciális
Normális
X ∈ U ( a, b )
Sőrőségfv. f X
E {X}
σ2 {X}
1 , x ∈ ( a, b ) b−a 0, x ∉ ( a, b )
a+b 2
(b − a )
1 λ
1 λ2
µ
σ2
0
1
a
x−a , a<x
X ∈ E (λ )
1 − e −λx , x > 0
λe−λx , x > 0
λ>0
0, x ≤ 0
0, x ≤ 0
X ∈ N ( µ, σ ) σ>0
Std. normális X ∈ N ( 0,1)
Φ µ ,σ ( x ) =
x
∫ ϕ ( t ) dt µ ,σ
−∞
Φ (x) =
− 1 e ϕµ ,σ ( x ) = σ 2π
( x −µ )2 2 σ2
12
2
x
1 − x2 ϕ( x ) = e 2π
∫ ϕ ( t ) dt
−∞
-9-
2
III. VALÓSZÍNŐSÉGI VEKTORVÁLTOZÓK III.1. VALÓSZÍNŐGSÉGI VÁLTOZÓK EGYÜTTES ELOSZLÁSA (D) Valószínőségi vektorváltozó: Az X : Ω → R p fv egy p-dimenziós valószívőségi vektorváltozó, ha ∀t = ( t1 ,..., t p ) ∈ R p : A= {ω: X i ( ω) < t i , ∀i} ∈ F , azaz minden ilyen A megfigyelhetı esemény. (Az A eseményt a t vektorhoz tartozó nívóeseménynek nevezzük.) Megjegyzés: A valószínőségi vektorváltozókat azért vezetjük be, hogy a v.v-k közötti összefüggéseket kényelmesen tudjuk kezelni. Innentıl a valószínőségi vektorváltozók helyett a v.v.v. rövidítést használom. (T) X v.v.v. ↔ ha ∀ komponense v.v. (D) Együttes eloszlás és eloszlásfv: Az X1 , X 2 ,..., X p v.v-k együttes eloszlásfüggvénye, vagy más néven az X = ( X1 , X 2 ,..., X p ) v.v.v. eloszlásfüggvénye FX : ℝ p → [ 0,1] skalár-vektor fv., ahol
(
)
FX ( t ) = P A = {ω : Xi ( ω) < t i , ∀i} , azaz FX értéke t-ben a t-hez tartozó nívóesemény valószínősége. Megjegyzés: Az eloszlás és az eloszlásfv elméletileg egy kicsit mást jelent, de gyakorlatilag ugyanaz, hiszen kölcsönösen egyértelmően meghatározzák egymást. (T) FX tulajdonságai: 1.) FX ∀ változójában monoton nı ( ∀u ≤ v : FX ( u ) ≤ FX ( v ) , ahol u ≤ v jelentése: ∀i : u i ≤ vi ). 2.) FX ∀ változójában balról folytonos ( ∀u ∈ ℝ p : lim FX ( t ) = FX ( u ) ). t→u −0
3.) Ha X-nek legalább egyik komponensével a -∞-be tartunk, akkor FX értéke 0 lesz. 4.) Ha X-nek minden komponensével a +∞-be tartunk, akkor FX értéke 1 lesz. 5.) Legyen T : [ a,b ) = [ a1 , b1 ) × [ a 2 , b 2 ) × ... × a p , b p ) p-dimenziós tégla és ε ∈ {0,1} pp
p
εi FX ( a ε + b (1 − ε ) ) ≥ 0 , vagyis a téglalap dimenziós bináris vektor. Ekkor: P ( x ∈ T ) = ∑ ( −1)∑ i =1 ∀ε
csúcsaihoz tartozó eloszlásértékek megfelelıen elıjelezett összege soha nem negatív. (Ez azért van így, mert ez az elıjeles összeg éppen annak a valószínősége, hogy a v.v.v. értéke a téglatesten belülre esik, ami nem lehet negatív, hiszen egy esemény valószínősége.) (D) Vetületi- vagy peremeloszlásfv: Ha X = ( X1 ,..., X p ) egy p-dimenziós v.v.v. és Y ⊂ X egy X-
(
)
nek tetszıleges k < p komponensébıl álló v.v.v. ( Y = X i1 ,..., X ik ), akkor Y komponenseinek együttes eloszlásfüggvényét az X egy k-dimenziós vetületi eloszlásfüggvényének nevezzük. (T) FX ( t ) meghatározza az összes vetületi eloszlásfüggvényét (Fordítva általában nem igaz!): FY ( ∀X i ∈ Y : t i ) =
lim
∀X i ∉Y: t i →∞
FX ( t ) , vagyis az összes olyan komponenssel tartunk a végtelenbe,
amelyik nincs benne az Y-ban. (D) Az X v.v.v. komponensei páronként függetlenek, ha ∀i ≠ j: FXi ,X j ( t i , t j ) = FXi ( t i ) FX j ( t j ) , vagyis a bármely két komponens menti 1-dimenziós peremeloszlásfüggvények szorzata megegyezik a két komponens menti 2-dimenziós peremeloszlásfüggvénnyel. (D) Az X v.v.v. komponensei teljesen függetlenek, ha ∀Y ⊂ X : FY ( ∀X i ∈ Y : t i ) = ∏ FXi ( t i ) , ∀i: X i ∈Y
vagyis a bármely k < p komponens menti 1-dimenziós peremeloszlásfüggvények szorzata megegyezik a k komponens menti k-dimenziós peremeloszlásfüggvénnyel.
- 10 -
(D) Diszkrét v.v.v.: X diszkrét v.v.v. (röviden: d.v.v.v.), ha ∀ komponense d.v.v. (D) Ha X p-dimenziós d.v.v.v. komponenseinek értékkészlete: E X = {x i } , akkor ri =(i ,...,i ) = P ( X = x i ) jelöli az X d.v.v.v. x i értékvektorához tartozó valószínőséget. Triviálisan 1 p igaz, hogy: 0 ≤ ri ≤ 1 és
∑ r = 1. i
∀i
(D) Folytonos v.v.v.: X folytonos v.v.v. (röviden: f.v.v.v.), ha ∃f X ( t ) sőrőségfüggvénye. (D) Az X f.v.v.v. sőrőségfv-e: az a Riemann-integrálható f X ( t ) fv., amelyre: FX ( x ) =
∞
x
∫ f ( t ) dt . Triviálisan igaz, hogy ∀t : f ( t ) ≥ 0 és ∫ f ( t ) dt = 1 . X
X
X
−∞
−∞
(D) Az X f.v.v.v. peremsőrőségfv-e: az X peremeloszlásához tartozó sőrőségfv-t úgy kapjuk meg, hogy az f X ( t ) sőrőségfv-t a peremeloszlás által nem tartalmazott komponensek szerint −∞ tıl + ∞ ig kiintegráljuk. Az általános képlet csúnya és áttekinthetetlen, nem írom le csak a kétváltozós esetet: Legyen egy 2-dimenziós f.v.v.v. sőrőségfv-e: f X,Y ( u, v ) . Ekkor az X komponenshez tartozó peremsőrőségfv-e: f X ( u ) =
∞
∫ f ( u, v ) dv . X,Y
−∞
(T) Az X f.v.v.v. komponensei páronként függetlenek ↔ ha ∀i ≠ j : f Xi ,X j ( t i , t j ) = f Xi ( t i ) f X j ( t j ) . (T) Az X f.v.v.v. komponensei teljesen függetlenek ↔ ha ∀Y ⊂ X : f Y ( ∀Xi ∈ Y : t i ) = ∏ f Xi ( t i ) . ∀i: Xi ∈Y
III.2. NEVEZETES EGYÜTTES ELOSZLÁSOK 1.) Polinomiális eloszlású d.v.v.v. ( X ∈ Pol ( n, p1 , p 2 ,..., p r ) , ahol n, r ∈ ℤ + , pi > 0 és
r
∑p
i
=1)
i =1
Alkosson A i ,..., A r teljes eseményrendszert egy K véletlen kísérletben úgy, hogy pi = P ( Ai ) > 0 legyen. Hajtsuk végre egymástól függetlenül n-szer a K kísérletet, és jelölje Xi az Ai esemény bekövetkezésének számát ebben a kísérletsorozatban. Ekkor az X v.v.v. polinomiális eloszlású: az Xi komponensek értékkészlete az n-tıl nem nagyobb természetes számok halmaza ( X i ∈ {0,1,..., n} ) r
és az Xi értékek között szoros összefüggés van: összegük n ( ∑ X i = n ). i =1
r
ki
r
pi , ahol ∑ k i = n . i =1 i =1 k i ! Megjegyzés: A binomiális eloszlás a polinomiális eloszlás speciális esete, ahol r=2, a két esemény pedig A és ellentettje. Továbbá: X i ∈ B ( n, pi ) , vagyis a polinomiális eloszlású v.v.v. komponensei egyenként binomiális eloszlásúak. Tipikus esete(i): Hétszer dobtunk a kockával, mennyi a valószínősége, hogy a dobott számok között van legalább 3 hatos … Továbbá: P ( ∀i : Xi = k i ) = n!∏
2.) Polihipergeometriai eloszlású d.v.v.v. ( X ∈ PHg ( n, F1 , F2 ,..., Fr ) , ahol n, Fi ∈ ℤ + ; n ≤ min {Fi } ) ∀i
Egy dobozban van Fi db ci színő golyó. Ebbıl (visszatevés nélkül) kihúzunk n db-ot. Jelölje Xi a kíhúzott ci színő golyók számát. Ekkor az X v.v.v. polihipergeometriai eloszlású, az Xi komponensek értékkészlete az n-tıl nem nagyobb természetes számok halmaza ( X i ∈ {0,1,..., n} ) és
- 11 -
r
az Xi értékek között szoros összefüggés van: összegük n ( ∑ Xi = n ). i =1
r
∏ kF i
Továbbá: P ( ∀i : Xi = k i ) =
i
r
∑k
i =n. N i =1 n Megjegyzés: A polinomiális és a polihipergeometriai eloszlások bár nagyon hasonlítanak, lényeges különbség, hogy az elsınél az n kísérletet egymástól függetlenül hajtottuk végre, mig itt minden kísérlet befolyásolja az utána következıket, hiszen visszatevés nélkül húzunk. Tipikus esete(i): Mennyi a valószínősége, hogy a 32 lapos kártyapakliból húzott 10 lap között pl. pontosan két 10-es és két ász van. i =1
()
, ahol
3.) D tartományon egyenletes eloszlású f.v.v.v. ( X ∈ U ( D ) ) Legyen X p-dimenziós f.v.v.v. és D ⊆ ℝ p , ahol m ( D ) < ∞ , vagyis a tartomány p-dimenziós 1 , ha x ∈ D térfogata véges. Ha f X ( x ) = m( D ) 0, ha x ∉ D
4.) k-dimenziós normális eloszlású f.v.v.v. ( X ∈ N k ( µ, Σ ) , ahol µ ∈ ℝ k ; Σ ∈ ℝ k×k poz. szemidef.) Általánosan: f X ( t ) =
1
( 2π )
k 2
det ( Σ )
e
−
1 ( x − t )T Σ −1 ( x − t ) 2
; FX ( t ) =
σ12 µ1 Speciálisan 2-dimenziós esetre: µ = ; Σ = µ2 ρσ1σ2
∞
1
( 2π )
det ( Σ )
k 2
Eloszlásfv-e: FX,Y ( x, y ) =
2πσ1σ2 1 − ρ
2
−
y
∫ ∫e
( u −µ ) ( u −µ1 )( v −µ2 ) + ( v −µ 2 ) 1 1 −2ρ 2 σ1σ 2 σ 22 2 1−ρ2 σ1
(
)
dτ .
−∞
2
dvdu ,
−∞ −∞
( u −µ ) ( u −µ1 )( v −µ2 ) + ( v −µ 2 ) 1 1 −2ρ 2 σ1σ 2 σ 22 2 1−ρ2 σ1 2
tehát a sőrőségfv-e: f X,Y ( u, v ) =
1 ( x −τ )T Σ−1 ( x −τ ) 2
ρσ1σ 2 , ahol σ1 , σ2 > 0 . σ2 2 2
x
1
∫e
−
−
1 2πσ1σ 2 1 − ρ
2
e
(
)
2
,
továbbá megmutatható, hogy: X ∈ N ( µ1 , σ1 ) és Y ∈ N ( µ 2 , σ2 ) .
Tipikus feladat: µ és Σ kiszámítása adott sőrőségfv alapján. Ha a sőrőségfv f X,Y ( u, v ) =
1 − 12 ( B( u −m1 )2 +C( u −m1 )( v −m2 )+ D( v− m2 )2 ) alakban adott (vagy ilyen alakra e 2πA A 2C2 1 1 . ; σ1 = ; σ2 = 2 2 2 4+A C 1− ρ B 1 − ρ2 D
hozható), akkor: µ1 = m1; µ 2 = m 2 ; ρ =
(
)
(
)
Másrészt az is igaz, hogy az A, B, C, D paraméterek közül bármely három meghatározza a negyediket. Tehát lehet olyan feladat (és szokott is lenni), hogy mondjuk A értéke nem ismert, B, C és D meg vannak adva, és ezekbıl kell kiszámolni akármit. Ilyenkor az együtthatók egyeztetésével 1 1 −2ρ a következı egyenletek írhatók fel: 1 − ρ2 σ12 = , 1 − ρ2 σ 2 2 = , 1 − ρ2 σ1σ 2 = . B D C Az elsı két egyenlet szorzatának négyzetgyökét összeegyeztethetjük a 3. egyenlettel kapjuk, hogy: 1 C C2 −2ρ = → ρ=− → 1 − ρ2 = 1 − . Ezt visszaírva az eredeti egyenletekbe BD C 4BD 2 BD
(
)
(
(
)
)
megkapjuk ρ, σ1 és σ 2 értékét, ezekbıl pedig A = σ1σ 2 1 − ρ2 .
- 12 -
(
)
III.3. VALÓSZÍNŐSÉGI VEKTORVÁLTOZÓK TRANSZFORMÁCIÓI (T) Legyen X olyan p-dimenziós f.v.v.v., hogy f X ( x ) sőrőségfv-e eltőnik a D ⊆ ℝ p tartományon
(
)
kívül. Legyen továbbá u : D → H ⊆ ℝ p bijektív és differenciálható transzformáció. Ekkor az
( ( y )) det ( J ( y )) , ha
( )
Y = u ( X ) f.v.v.v. sőrőségfv-ét az alábbi módon számíthatjuk: f Y y = f X u
−1
∂u −1 y ∈ H ; 0 különben, ahol J y az u leképezés Jacobi-mátrixa: J y = ja,b , ahol ja ,b = a . ∂y b
( )
( )
(T) Két f.v.v. összegének (különbségének) eloszlása: Legyen X és Y f.v.v. és jelölje f X,Y ( x, y ) ezek együttes sőrőségfüggvényét. Ekkor a Z = X ± Y f.v.v. sőrőségfv-e: f Z ( x ) =
∞
∫ f ( t, x ∓ t ) dt . X,Y
−∞
Ha X és Y függetlenek is, akkor: f Z ( x ) =
∞
∫ f ( t ) f ( x ∓ t ) dt , ami a két sőrőségfv konvolúciója. X
Y
−∞
Pl.: Normális eloszlások konvolúciója: Ha X ∈ N ( µ1 , σ1 ) és Y ∈ N ( µ 2 , σ2 ) , akkor:
(
)
X + Y ∈ N µ1 + µ 2 , σ12 + σ2 2 , vagyis a várható értékek és a szórásnégyzetek összeadódnak.
(T) Két d.v.v. összegének eloszlása: Ha X és Y nemnegatív egészértékő d.v.v., akkor a k
Z = X + Y szintén nemnegatív egészértékő d.v.v. eloszlása: P ( Z = k ) = ∑ P ( X = α, Y = k − α ) , α= 0
k
∀k ∈ ℕ esetén. Ha X és Y függetlenek is, akkor: P ( Z = k ) = ∑ P ( X = α ) P ( Y = k − α ) . α= 0
Pl.: Poisson-eloszlások konvolúciója: Ha X és Y egymástól függetlenek és Poisson-eloszlásúak, azaz X ∈ Po ( λ ) , Y ∈ Po ( µ ) , akkor: X + Y ∈ Po ( λ + µ ) . (T) Legyen X p-dimenziós d.v.v.v. és g : ℝ p → ℝ tetszıleges p-változós valós fv. Legyen továbbá Y = g ( X ) d.v.v., ekkor: ha ∃E {Y} → E {Y} = ∑ g ( x ) P ( X = x ) . ∀x
(T) Legyen X p-dimenziós f.v.v.v. és g : ℝ → ℝ tetszıleges p-változós valós fv. Legyen továbbá p
Y = g ( X ) f.v.v., ekkor: ha ∃E {Y} → E {Y} =
∞
∫ g ( x ) f ( x ) dx . X
−∞
(K) Tetszıleges X v.v.v. komponenseire teljesül: E ∑ X i = ∑ E {X i } . ∀i ∀i (K) Ha X, Y független v.v-k és létezik a várható értékük, akkor ∃E {XY} = E {X} E {Y} .
(T) Ha X, Y korrelálatlan v.v-k és létezik a szórásnégyzetük, akkor ∃σ 2 {X ± Y} = σ 2 {X} + σ2 {Y} . Megjegyzés: A fenti példák és ez utóbbi tételek használata gyakran megkönnyíti az életünket a feladatmegoldások során, tehát érdemes észben tartani ıket! A V.V.V-K TRANSZFORMÁCIÓIVAL KAPCSOLATOS FELADATOK MEGOLDÁSA: Alapfeladat, sima egyváltozós:
1 X
∈ U ( 5,8) , keressük az X eloszlásfv-ét és sőrőségfv-ét.
Abból indulunk ki, hogy Y = X1 ∈ U ( 5,8) , tehát FY ( t ) = természetesen.) Tehát: FY ( t ) =
t −5 3
t −5 3
, ha t ∈ ( 5,8 ) . (Elıtte 0, utána 1
= P ( Y < t ) = P ( X1 < t ) = P ( X > 1t ) = 1 − P ( X < 1t ) , ahol t ∈ ( 5,8 )
azaz: 1t ∈ ( 18 , 15 ) . Innen: 1 − t −35 = 83− t = P ( X < 1t ) = FX ( 1t ) , vagyis FX ( t ) =
- 13 -
8 − 1t 8t − 1 = , t ∈ ( 18 , 15 ) . 3 3t
Ezt deriválva kapjuk a sőrőségfv-t: f X ( t ) = 83 + t12 , t ∈ ( 81 , 15 ) .
Konvolúciós: Legyenek X, Y ∈ U ( 0,1) egymástól függetlenek és Z = X + Y . Kérdés: f Z ( t ) . Valószínőgési változók összegét konvolúcióval számolunk, ehhez általános esetben kell az együttes sőrőségfüggvény, de mivel a két változó független, ezért f X,Y ( u, v ) = f X ( u ) f Y ( v ) , vagyis: ∞
fZ ( t ) =
∞
∫ f ( τ, t − τ ) dτ = ∫ f ( τ ) f ( t − τ ) dτ . Nyilván f ( t ) = f ( t ) = 1, t ∈ ( 0,1) , különben 0. X,Y
X
−∞
X
Y
Y
−∞
Ezért az integrálást tartományonként kell elvégezni: t
2
0
t
t ( −∞,0 ) : f Z ( t ) = 0 , t ∈ ( 0,1) : f Z ( t ) = ∫ 1dτ = t , t ∈ (1, 2 ) : f Z ( t ) = ∫ 1dτ = 2 − t , t ( 2, ∞ ) : f Z ( t ) = 0 . Az integrálási határokat az dönti el, hogy az f X,Y ( τ, t − τ ) szorzat mikor 1, vagyis: 0 < τ,1 − τ < 1 .
Várható értékes: 1.) f X,Y ( u, v ) = u + v, u, v ∈ ( 0,1) . Kérdés: E {X + Y} . Tudjuk, hogy mindenkor: E {X + Y} = E {X} + E {Y} . Ezért kiszámoljuk a peremsőrőségfv-eket (ugyebár a másik változó szerinti integrálással):
fX ( u ) =
∞
1
2 ∫ f X,Y ( u, v ) dv = ∫ u + vdv = u [ v]0 + 12 v = u + 12 , hasonlóan f Y ( v ) = v + 12 . 1
1
0
−∞
0
∞
1
1 1 7 7 + 12 tdt = 13 t 3 + 14 t 2 = , hasonolóan E {Y} = . 0 0 12 12 0 −∞ 7 7 7 Tehát: E {X + Y} = E {X} + E {Y} = + = . 12 12 6 2 2.) f X,Y ( u, v ) = 6u v, u, v ∈ ( 0,1) . Kérdés: E XY2 .
Innen: E {X} =
∫ tf ( t ) dt = ∫ t
2
X
{ }
Csak a transzformációs képletre kell emlékezni. Legyen: g ( α, β ) = Ezért: E {Z} =
∞ ∞
∫∫
−∞ −∞
1 1
g ( u, v ) f X,Y ( u, v ) dudv = ∫ ∫ 0 0
β α2
, ekkor Z =
Y X2
= g ( X, Y ) .
1
v 6u 2 vdudv = ∫ 6v2 dv = 2 . 2 u 0
III.4. KOVARIANCIA
{
} Vagyis a kovariancia a centralizált v.v-k szorzatának a várható értéke: cov ( X, Y ) = E {X Y } .
(D) Kovariancia: Az X,Y v.v-k kovarianciája cov ( X, Y ) = E ( X − E {X}) ( Y − E {Y}) , ha létezik. C
C
(T) cov ( X, Y ) = E {XY} − E {X} E {Y} . Megjegyzés: általában ezzel számolunk kovarianciát. (T) Ha X,Y függetlenek, akkor cov ( X, Y ) = 0 . Visszafelé általában nem igaz! (T) A kovariancia tulajdonságai: 1.) cov ( X, Y ) = cov ( Y, X ) , vagyis a kovariancia kommutatív.
{( ) } = µ {X } = σ {X} .
2.) cov ( X, X ) = σ2 {X} , hiszen: cov ( X, X ) = E X C
2
C
2
2
3.) cov ( αX + β Y, Z ) = α cov ( X, Z ) + β cov ( Y, Z ) . Megjegyzés: Ezek a tulajdonságok (fıleg 2. és 3.) gyakran felhasználhatók a feladatokban. (T) σ2 {X ± Y} = σ 2 {X} + σ2 {Y} ± 2 cov ( X, Y ) .
(T) Schwarz-egyenlıtlenség: cov ( X, Y ) ≤ σ {X} σ {Y} . Megjegyzés: Analógia figyelhetı meg a kovariancia és a síkbeli vektorok skaláris szorzása között: - 14 -
cov ( X, Y )
x, y
σ2 {X}
x, x = x
cov ( X, Y ) ≤ σ {X} σ {Y}
2
x, y ≤ x y
De ez csupán egy érdekesség, nem kell tudni!
III.5. KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓ (D) Korrelációs együttható: Az X,Y v.v-k korrelációs együtthatóján a standardizáltjuk cov ( X, Y ) . kovarianciáját értjük: R ( X, Y ) = cov ( XS , YS ) = σ {X} σ {Y} A Schwarz-egyenlıtlenség triviális következménye, hogy R ( X, Y ) ≤ 1 .
(D) Ha X,Y v.v-kra R ( X, Y ) = 0 , akkor azt mondjuk, hogy X és Y korrelálatlanok. (T) R ( X, Y ) = 1 ↔ P ( Y = aX + b ) = 1 , vagyis a két v.v. között lineáris kapcsolat áll fenn. Továbbá ekkor teljesül, hogy: R ( X, Y ) = sgn ( a ) .
(
(D) Várhatóérték-vektor: Az X p-dimenziós v.v.v. ~a az E {X} = E {X1} ,..., E {X p }
)
T
vektor.
(D) Kovarianciamátrix: Az X p-dimenziós v.v.v. ~a a Σ = cov ( Xi , X j ) p×p-s mátrix. (T) Σ szimmetrikus és pozitív szemidefinit, azaz ∀a ∈ ℝ p : a Σa ≥ 0 . T
σ2 ρσ1σ 2 µ Pl.: 2-dimenziós normális eloszlás: Ha X ∈ N 2 ( µ, Σ ) , ahol µ = 1 , Σ = 1 és σ2 2 µ2 ρσ1σ2 σ1 , σ2 > 0 , akkor R ( X1 , X 2 ) = ρ . Továbbá teljesül, hogy X1 , X 2 függetlenek ↔ ρ = 0 . FELADATOK KOVARIANCIÁRA ÉS KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓRA: Ezek a feladatok általában a kovariancia tulajdonságaira vonatkozó képletekre alapoznak! Pl.: Feladat: Legyenek X, Y ∈ U ( 0,1) függetlenek (vagyis cov ( X, Y ) = 0 ), U = X +2 Y ,
Vα = αX + (1 − α ) Y . Mivel egyenlı cov ( U, Vα ) , ha α ∈ ( 0,1) ? Megoldás: A kovariancia tulajdonságai alapján: cov ( U, Vα ) = cov ( X +2 Y , αX + (1 − α ) Y ) = α cov ( X +2 Y , X ) + (1 − α ) cov ( X +2 Y , Y ) = 1−α α 2 1−α 2 = α2 cov ( X, X ) + α2 cov ( Y, X ) + 1−α 2 cov ( X, Y ) + 2 cov ( Y, Y ) = 2 σ {X} + 2 σ {Y}
III.6. REGRESSZIÓ (D) D.v.v-k feltételes eloszlása: Legyenek X és Y d.v.v-k. Ekkor az P ( X = x i , Y = yk ) eloszlást az X-nek az Y = y k eseményre vett Xk = P ( X = xi | Y = yk ) = P ( Y = yk ) feltételes eloszlásának nevezzük. Ezen X k eloszlások halmazát az X-nek az Y-ra vett feltételes eloszlásának nevezzük. Vagyis az X | Y feltételes eloszlás tulajdonképpen nem is eloszlás, hanem eloszlások halmaza. Azt mutatja meg, hogy az egyes Y = y k események bekövetkezése esetén (amelyek mellesleg teljes eseményrendszert alkotnak) X milyen eloszlást mutat. Tehát az Y v.v. ismeretében határozzuk meg az X eloszlását.
- 15 -
(D) D.v.v-k feltételes várható értéke (regressziója): Legyenek X és Y d.v.v-k. Ekkor az X-nek az Y-ra vett feltételes várható értékén (regresszióján) az E ( X | Y ) valószínőségi változót értjük, amelynek eloszlása: P ( E ( X | Y ) = i ) =
∑
∀k: i = E{X k }
P ( Y = yk ) .
Tehát míg a feltételes eloszlás eloszlások halmaza, addig a regresszió egy eloszlás, vagyis v.v., amely szemléletesen azt méri, hogy egy Y v.v. eloszlásának ismeretében hogyan következtethetünk az X v.v. várható értékére, vagyis Y alapján hogyan tudjuk megbecsülni X-et. Természetesen minél szorosabb az összefüggés X és Y között, annál jobb ez a becslés. Gyakorlati alkalmazása pl. amikor egy nehezen, vagy egyáltalán nem mérhetı v.v-t szeretnénk „mérni” (ez az X), és ezt úgy érjük el, hogy egy másik, vele szoros kapcsolatban lévı, és könnyen mérhetı v.v alapján (ez az Y) próbálunk következtetni. Ezt használják pl. az idıjárás elırejelzésben is, ahol a elkövetkezı napok idıjárását szeretnék megbecsülni (ez az X, ami ugyebár nem mérhetı), és ehhez az elmúlt napok idıjárását veszik figyelembe (ez Y, amit viszont állandóan mérnek), hiszen ezek között azért vannak összefüggések. Minél szorosabbak ezek az összefüggések, annál pontosabbak az elırejelzések. Megjegyzés: Fontos, hogy az E ( X | Y ) egy jelölés, ami egy valószínőségi változót jelöl.
(D) F.v.v-k feltételes eloszlásfv-e: Legyen az X és Y f.v.v-k együttes eloszlásfv-e FX,Y ( u, v ) . Ekkor az X-nek az Y-ra vonatkozó feltételes eloszlásfv-e: ∂ ∂v FX,Y ( u, v ) FX|Y ( u | v ) = P ( X < u | Y = v ) = , vagyis az együttes eloszlásfv. v szerinti parciális fY ( v ) deriváltjának és a Y menti peremsőrőségfv-nek a hányadosa. (D) F.v.v-k feltételes sőrőségfv-e: Legyen az X és Y f.v.v-k együttes eloszlásfv-e FX,Y ( u, v ) , együttes sőrőségfv-e f X,Y ( u, v ) . Ekkor az X-nek az Y-ra vett feltételes sőrőségfüggvénye:
f ( u, v ) ∂ FX|Y ( u | v ) = X,Y , vagyis az együttes sőrőségfv-nek és az Y menti ∂u fY ( v ) peremsőrőségfv-nek a hányadosa. f ( v) (K) A definíció triviális következménye, hogy: f Y|X ( v | u ) = f X|Y ( u | v ) Y . fX ( u ) (D) F.v.v-k regressziója: Legyen az X és Y f.v.v-k. Ekkor X-nek az Y-ra vett feltételes várható értékén (regresszióján) az E ( X | Y ) = r ( Y ) v.v-t értjük, ahol: f X|Y ( u | v ) =
∞
r ( y) =
∞
∫
uf X|Y ( u | v ) du =
∫ uf ( u, v ) du X,Y
−∞
az ún. regressziós görbe. f v ( ) Y −∞ A diszkrét esetre írt magyarázat természetesen a folytonos esetre is vonatkozik. Itt elsısorban az okozhat problémát, hogy elég hasonló jelölések tömkelegét használjuk, amelyek azonban merıen mást jelentenek, de gyakorlatilag (vagyis feladatok szintjén) csak az együttes és a peremsőrőségfvekkel való számolgatás az egész, ezért azokat ehhez jól kell tudni! (T) A regresszió tulajdonságai: 1.) E {E ( X | Y )} = E {X} . Szemléletesen ez azt jelenti, hogy egy v.v. (X) várható értéke nem változik, ha azt (X-et) egy másik v.v-ra vett regressziójával ( E ( X | Y ) -al) „közelítjük”. 2.) Ha X, Y függetlenek, akkor E ( X | Y ) = E {X} konstans v.v. Vagyis ha Y-nak nincs köze X-hez, akkor X-et úgy tudjuk közelíteni, hogy Y-tól függetlenül mindig E {X} -nek vesszük az értékét. Azaz ha semmilyen plussz információ nem áll rendelkezésünkre, akkor a várható érték a legjobb közelítés. 3.) A regresszió lineáris mővelet: E ( α1X1 + α 2 X 2 | Y ) = α1E ( X1 | Y ) + α 2 E ( X 2 | Y ) . - 16 -
4.) E ( g ( Y ) X | Y ) = g ( Y ) E ( X | Y ) .
{
5.) E ( X − E ( X | Y ) )
2
} ≤ E {( X − f ( Y )) } , vagyis az E ( X | Y ) regresszió a lehetı „legjobb” 2
közelítése X-nek (a négyzetes eltérése minimális). (D) Lineáris regresszió: A lehetı „legjobb” (legkisebb négyzetes eltéréső) lineáris közelítés, vagyis: ha X és Y v.v-k, akkor az a *Y + b* v.v. az X-nek az Y-ra vett lineáris regressziója, ha:
{(
E X − a *Y − b *
) } ≤ E {( X − aY − b ) } , 2
2
∀a, b ∈ R esetén.
Megjegyzés: Bár a lineáris regresszió nem feltétlenül a lehetı legjobb közelítést adja, de a regresszióval ellentétben a lineáris regresszió statisztikailag mérhetı. (T) Az X-nek az Y-ra vett lineáris regressziója az a *Y + b* v.v, ahol: cov ( X, Y ) σ {X} = R ( X, Y ) és b* = E {X} − a *E {Y} . a* = 2 σ {Y} σ {Y} A lineáris regresszió számításához tulajdonképpen csak ezekra a képletekre van szükség! Pl.: 2 dimenziós normális eloszlás regressziója: A jól ismert µ1 , µ 2 , ρ, σ1 , σ2 paraméterő 2 σ σ dimenziós normális eloszlás regressziója: E ( X | Y ) = ρ 1 Y + µ1 − ρ 1 µ 2 , ami lineáris, hiszen: σ2 σ2 σ σ a * = ρ 1 és b* = µ1 − ρ 1 µ 2 . Ez feladatokban elıfordulhat, ezért esetleg célszerő lehet σ2 σ2 megjegyezni! FELADATOK REGRESSZIÓRA: A regresszióval kapcsolatos feladatokat alapvetıen két csoportra lehet osztani: az egyikben a feltételes eloszlást és/vagy a regressziót kell kiszámolni más adatok alapján, míg a másikban a feltételes eloszlás alapján kell kiszámolni más adatokat. Ez utóbbinak különös ismertetıjele, hogy a feladat szövegébıl „ki lehet hámozni”, vagyis fel lehet írni a feltételes eloszlást. Nézzünk elıször erre egy példát:
Feladat: A 0 és 2 között az egyenletes eloszlás törvénye szerint kiválasztunk egy X számot. Ezután a 0 és X között szintén az egyenletes eloszlás törvénye szerint kiválasztunk egy Y számot. Mennyi a f Y|X ( v | u ) feltételes sőrőségfv? Mennyi a P ( Y > 1) valószínőség? Megoldás: Tudjuk, hogy: f X ( u ) = 12 , t ∈ ( 0, 2 ) . Másrészt érezhetjük, hogy az Y-nak az X-re vonatkoztatott feltételes eloszlása a szövegbıl „kihámozható”: v FY|X ( v | u ) = P ( Y < v | X = u ) = 0 < v < u < 2 . Innen a feltételes sőrőségfv: u ∂ 1 f Y|X ( v | u ) = FY|X ( v | u ) = , v < u < 2 , amibıl az együttes sőrőségfv kiszámolható: ∂v u 1 f X,Y ( u, v ) = f Y|X ( v | u ) f X ( u ) = , 0 < v < u < 2 . Nyilvánvaló, hogy: 2u 2 u 2 2 1 1 1 1 1 P ( Y > 1) = ∫ ∫ dvdu = ∫ 1 − du = 1 − ln ( u ) 1 = (1 − ln ( 2 ) ) ≈ 0.153 2u 21 u 2 2 1 1
)
(
Némi magyarázat az integrálási határokra: ugye u mehet 1-tıl 2-ig, hiszen ha 1-tıl kisebb, akkor X 1-tıl kisebb, akkor Y nem lehetne 1-tıl nagyobb, ugyanakkor v 1-tıl mehet u-ig, hiszen Y-nak 1nél nagyobbnak kell lennie, viszont nem lehet nagyobb X-nél, hiszen Y ∈ U ( 0, X ) . Nézzünk most egy példát a másik típusú feladatra:
- 17 -
Feladat: Legyen X, Y együttes sőrőségfv-e f X,Y ( u, v ) = u + v, u, v ∈ ( 0,1) . Mennyi az E ( Y | X ) ? Megoldás: Elıször felírjuk az Y-nak az X-re vett feltételes sőrőségfv-ét: f ( u, v ) u+v u+v f Y|X ( v | u ) = X,Y =1 = . Tudjuk, hogy fX ( u ) u + 0.5 ∫ u + vdv 0
∞
1 1 1 X+v 1 2 2X+ 3 E ( Y | X ) = ∫ vf Y|X ( v | X ) dv = ∫ v dv Xv v dv = + = X + 12 X + 12 ∫0 X + 12 −∞ 0 1
Feladat: Legyen X, Y együttes sőrőségfv-e f X,Y ( u, v ) = 1, u ∈ ( 0,1) és 0 < v < 2 − 2u . Mennyi az
E (Y | X) ? Megoldás: Most is elıször felírjuk az Y-nak az X-re vett feltételes sőrőségfv-ét: f ( u, v ) 1 1 f Y|X ( v | u ) = X,Y = 2− 2u = , u ∈ ( 0,1) és 0 < v < 2 − 2u . Innen: fX ( u ) 2 − 2u ∫ 1dv 0
E (Y | X) =
∞
2 − 2X
∫ vf ( v | X ) dv = ∫ Y|X
−∞
0
2 − 2X
1 1 v2 v dv = 2 − 2X 2 − 2X 2 0
( 2 − 2X ) = = 1− X . 2 ( 2 − 2X ) 2
IV. VALÓSZÍNŐSÉGI TÖRVÉNYEK Ezt a témakört a jegyzet tömören, mégis érthetıen elmagyarázza és szemlélteti, éppen ezért itt a teljesség igénye nélkül csak egy „rövid” összefoglalót készítek a definíciókról és tételekrıl, amolyan vizsga elıtti gyors ismétlés jelleggel, a részletes magyarázat és a szemléltetés, valamint a példafeladatok megoldással együtt a jegyzetben megtalálhatóak. Másrészt ebbıl a témakörbıl a karakterisztikus fv-t kivéve nem nagyon szokott feladat elıfordulni (esetleg a nagy számok törvényéhez, de az is csak ritkán). Ugyanakkor állítólag a szóbelin elıszeretettel kérdeznek elméletet nagyrészt ebbıla témakörbıl, így aztán aki szóbelizni „szeretne”, az feltétlenül készüljön fel ezekbıl. (Állítólag megéri szóbelizni, ha az ember nagyjából tisztában van az anyaggal.)
IV.1. VALÓSZÍNŐGSÉGI VÁLTOZÓK SOROZATAINAK KONVERGENCIÁJA Az alábbi definíciókban X i : X1 , X 2 ,..., X n ,... és X v.v-k.
({
}) = 1. Jele: X → X . 1v
(D) Xn 1 valószínőséggel konvergál X-hez, ha P ω : lim X n ( ω) = X ( ω)
{
n →∞
(D) Xn Lr normában konvergál X-hez, ha lim E X n − X n →∞
r
}
n
Lr
= 0 . Jele: X n → X .
({
}) = 0 . Jele:
(D) Xn sztochasztikusan konvergál X-hez, ha ∀ε > 0 : lim P ω : X n ( ω) − X ( ω) > ε n →∞
st
Xn → X .
(D) Xn eloszlásban konvergál X-hez, ha lim FXn ( t ) = FX ( t ) minden olyan t ∈ R , ahol FX ( t ) n →∞
e
folytonos, vagyis FXn ( t ) pontonként konvergál FX ( t ) -hez. Jele: X n → X . L1 st e Xn → X (T) X X X X ⇒ → ⇒ → n n 1v Xn → X
- 18 -
IV.2. NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYEI (T) Bernoulli-féle gyenge alak: Egy K véletlen kísérletben legyen A ∈ F egy P ( A ) = p pozitív valószínőségő esemény. Hajtsuk végre K-t egy véletlen kísérletsorozatban, és legyen Xi az A-nak az i-edik kísérletben való bekövetkezésének indikátor valószínősége: X i ∈ I A . Ekkor az rn ( A ) =
st 1 n relatív gyakoriságra teljesül, hogy: r A → P (A) . X ( ) ∑ i n n i =1 1v
Megjegyzés: A Borel-féle erıs alak azt állítja, hogy a fenti feltételekkel rn ( A ) → P ( A ) is teljesül. (T) Csebisev-féle gyenge alak: Legyenek az X1 , X 2 ,..., X n ,... v.v-k páronként függetlenek és azonos eloszlásúak úgy, hogy létezzék µ = E {Xi } közös várható értékük és d 2 = σ2 {Xi } közös és st 1 n véges szórásnégyzetük. Ekkor a Zn = ∑ Xi v.v-sorozatra teljesül, hogy: Zn →µ . n i =1 (T) Kolmogorov-féle erıs alak: Legyenek az X1 , X 2 ,..., X n ,... v.v-k teljesen függetlenek, létezzék
µ = E {Xi } közös várható értékük és szórásnégyzetükre teljesüljön a
∞
σ 2 {Xi }
i =1
i2
∑
< ∞ feltétel. Ekkor
1v 1 n a Zn = ∑ Xi v.v-sorozatra igaz, hogy: Zn →µ . n i =1
IV.3. KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY (D) A Z = X + iY komplex értékő v.v. várható értéke az E {Z} = E {X} + iE {Y} komplex szám. (D) Karakterisztikus fv.: Az X v.v. ϕX ( t ) karakterisztikus fv-e az X sőrőségfv-ének Fourier-
{ }
transzformáltja, vagyis: ϕX ( t ) = E eiXt = E {cos ( Xt )} + iE {sin ( Xt )} =
∞
∫ f (x)e X
itx
dx .
−∞
(T) A karakterisztikus fv. tulajdonságai: 1.) ϕX ( t ) ≤ 1 és ϕX ( 0 ) = 1 . 2.) ϕX ( t ) egyenletesen folytonos R -en. 3.) ϕX ( t ) pozitív szemidefinit függvény, vagyis ∀n, ∀t1 ,..., t n ∈ R és ∀z1 ,..., z n ∈ C esetén n
n
∑∑ ϕ ( t X
k
− t l ) zk zl ≥ 0 .
k =1 l =1
4.) ϕX ( − t ) = ϕX ( t ) 5.) Ha X1 ,..., X n teljesen függetlenek, akkor: ϕ X ( t ) = ∏ ϕXk ( t ) . ∑ k ∀k ∀k
6.) Ha X elsı n momentuma létezik, akkor ϕX ( t ) n-szer differenciálható és n
µ k ( it )
k
+ o t n ahol µ k = E {X k } =
) ϕ(k X ( 0)
. ( ) k! ik 7.) Minden eloszlást egyértelmően meghatároz a karakterisztikus fv-e. Ha X f.v.v., akkor ∞ 1 fX ( x ) = ϕX ( t ) e− itx dx . ∫ 2π −∞
ϕX ( t ) = ∑ k =0
- 19 -
NÉHÁNY ELOSZLÁS KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNYE: 1.) Geometriai eloszlás: Ha X ∈ G ( p ) → ϕX ( t ) =
peit . 1 − (1 − p ) eit
2.) Egyenletes eloszlás: Ha X ∈ U ( a, b ) → ϕX ( t ) =
sin ( bt ) eitb − eita . a = − b esetén ϕX ( t ) = . it ( b − a ) bt
3.) Exponenciális eloszlás: Ha X ∈ E ( λ ) → ϕX ( t ) =
λ . λ − it
4.) Standard normális eloszlás: Ha X ∈ N ( 0,1) → ϕX ( t ) = e 5.) Normális eloszlás: Ha X ∈ N ( µ, σ ) → ϕX ( t ) = e
iµt −
−t2 2
.
2 2
σ t 2
.
IV.4. CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK e
(T) Helly-tétel: X n → X ⇔ lim ϕXn ( t ) = ϕX ( t ) . n →∞
(T) Centrális határeloszlás tétel: Legyenek X1 , X 2 ,..., X n ,... v.v-k teljesen függetlenek, azonos eloszlásúak és létezzék a szórásuk. Használjuk továbbá az alábbi jelöléseket: µ = E {Xi } ,
d = σ {X i }
Z −µ 1 n 1 és Zn = ∑ Xi . Ekkor Zn standardizáltja ZSn = n n= d n i =1 d n e
(
n
∑(X
i
− µ ) és
i =1
)
teljesül, hogy: ZSn → N ( 0,1) , tehát lim P ZSn < t = Φ ( t ) . n →∞
(T) Moivre-Laplace-tétel: A centrális határeloszlás tétel speciális esete, amikor X i ∈ I A , n
P ( A ) = p . Ekkor nZn = ∑ X i ∈ B ( n, p ) és lim ZSn = lim i =1
n →∞
n →∞
1 np (1 − p )
n
∑ (X
i
− µ ) = N ( 0,1) , vagyis
i =1
ha egy végtelen kísérletsorozat során megfigyeljük az A eseményt, akkor a fenti Zn v.v. standardizáltja a standard normális eloszláshoz fog tartani. (K) Ha X ∈ B ( n, p ) , ahol n nagyon nagy, akkor az X v.v. standardizáltja jó közelítéssel a standard normális eloszlás lesz, vagyis: XS ≈ N ( 0,1) .
JELMAGYARÁZAT (A) (D) (T) (K)
axióma definíció tétel következmény
MEGJEGYZÉSEK Készítette: Gáthy Lajos II. évf. mő.inf. hallgató Készült: a Ketskeméty-féle elıadásokon elhangzottak és a jegyzet alapján (egy-két helyen a saját észrevételeimet is tartalmazza). A példafeladatok legnagyobb igyekezetem szerint ZH- és vizsgacentrikusak. Az esetleges hibákért elnézést kérek! Az észrevételeket, javaslatokat és hibajelzéseket szívesen várom az
[email protected] címre. Verzió: 2007. november 13. A legfrissebb verziót keresd a weben: http://www.hszk.bme.hu/~gl551/ - 20 -
