Hibrid rendszerek stabilitásvizsgálata és irányítása
PhD tézis
Írta: Rozgonyi Szabolcs
Témavezet®: Prof. Hangos Katalin
Pannon Egyetem
Informatikai Tudományok Doktori Iskola
2011
1. Motiváció és eredmények Fizikai rendszerek modellezése fontos feladat mind az elméleti tudomány, mind az ipari alkalmazásokon dolgozó kutatók számára. Rendszermodelleket többnyire vagy analízis vagy szintézis (kontrollertervezés) céljából készítünk mérnöki elvek alapján ([1]). Ezek a rendszerek különböz® (lineáris, nemlineáris) eszközökkel írhatók le, melyek között is az egyik legfontosabb mód a közönséges dierenciál-egyenletekkel való leírás. Sok alkalmazás megköveteli (a legtöbb ipari alkalmazás ilyen), hogy képesek legyünk leírni egyfajta diszkrét kapcsolású vagy hibrid viselkedést is. Hibrid rendszereknek azokat a dinamikai rendszereket nevezzük, melyek folytonos és diszkrét viselkedést egyaránt mutatnak. Hibrid rendszerek egy nagy osztálya leírható ún. kapcsolt rendszerként, vagyis amikor bizonyos nem sima változókat beágyazunk folytonos részrendszerekbe (lásd [2]), tehát mikor a dinamika leírható szakaszonként (vagy tartományonként) különböz® függvényekkel, melyek folytonosak, de nem feltétlenül dierenciálhatók a dinamikák határain. Fontos probléma a hibrid rendszerek stabilitásának vizsgálata. Léteznek eljárások, melyekkel eldönthet®, hogy egy adott folytonos vagy diszkrét rendszer stabil-e, de hibrid rendszerek vonzási tartományát nem könny¶ megtalálni. Bonyolult esetekben sokszor csak szimulációval térképezhet® fel egy adott egyensúlyi pont valamely környezete. A jelen disszertációban nemlineáris autonóm rendszerek vonzási tartományának (DOA, Domain of Attraction) becslésére adok módszert. A bemutatott módszer Vanelli és Vidyasagar eljárásának (lásd [3]) javítása. A módszer egy speciális Ljapunov-függvénynek (ún. maximális Ljapunovfüggvénynek) a becslésén alapszik. Továbbá a Paksi Atomer®m¶ reaktormodelljének vonzási tartományát is megbecsültem két különböz® m¶ködési módban, mely során kiderült, hogy a tekintett részrendszer a vonzási tartományon belül üzemel. Szakaszonként vagy tartományonként de niált folytonos rendszerekre is kiterjesztettem a javított Vanelli-Vidyasagar-féle módszert, valamint tisztán analitikai eszközökkel meghatároztam a Paksi Atomer®m¶ hibrid reaktor-modelljének vonzási tartományát. Másik fontos feladat a hibrid rendszerek irányítása. Jelen disszertációban egy esettanulmányt mutatok egy egyszer¶ hibrid rendszermodellhez való kontroller tervezésére többparaméteres programozási technika alkalmazásával (lásd [4]). A különböz® kontrollertervezési paraméterek hatását is megvizsgáltam mind a komplexitásra, mind a teljesít®képességre vonatkozóan. A tekintett rendszer a hibrid rendszerek egy részosztályából való, amikor a bemeneti változók értékkészlete egy véges halmaz.
1.1. Jelölések A szövegben használt jelöléseket és rövidítéseket az 1. és a 2. táblázatban foglaltuk össze.
2. A DOA becslése nemlineáris autonóm rendszerekre A következ®kben közönséges dierenciál-egyenletek alábbi alakját tekintjük:
x˙ = f (x) ,
(1)
ahol f : Rn → Rn folytonos. Továbbá feltesszük, hogy minden x ∈ Rn esetén létezik egy egyértelm¶ megoldás φ (t, x), melyre igaz, hogy φ (0, x) = x. Ekkor a megoldás egyértelm¶ségéb®l következik, hogy φ (t1 , φ (t2 , x)) = φ (t1 + t2 , x) bármely t1 , t2 ∈ R esetén, ahol φ : R × Rn → Rn mindkét argumentumában folytonos függvény (lásd [5]). Megjegyezzük, hogy a φ (t, x)-re említett feltételek igazak, ha f Lipschitz-folytonos, azaz létezik egy olyan pozitív k , hogy kf (x) − f (y)k ≤ k kx − yk (lásd [6]).
1. De níció.
Az origó vonzási tartományán (DOA) az alábbi halmazt értjük:
A = { x0 : x (t, x0 ) → 0, t → ∞ } , ahol x(t, x0 ) jelöli (1) megoldását az x(0) = x0 kezdeti feltétellel.
3
(2)
Jelölés A A0 A0 A 0 I c0 u (t), or u y (t), or y x˙ = dx dt ∂f (x) ∂xi
∇x P (A) I (A) A¯ ∂A kxkl R+ 0 N
-
Jelentés mátrix vagy halmaz az A mátrix transzponáltja az A mátrix pozitív szemi-de nit az A mátrix pozitív de nit egységmátrix c vektor transzponáltja a rendszer bemenete a rendszer kimenete az x változó id® szerint deriváltja az f (x) i-edik parciális deriváltja az x gradiensvektora az A halmaz hatványhalmaza az A halmaz belseje az A halmaz lezártja az A halmaz határa az x vektorl-normája, ahol l lehet 1, 2 vagy ∞ nemnegatív valós számok természetes számok halmaza (a 0-t is beleértve)
1. táblázat. A felhasznált jelölések és jelentéseik
rövidítés ODE PWA DOA MPT CFTOC
-
jelentés közönséges dierenciál-egyenlet (ordinary dierential equation) szakaszonként a n (piecewise a ne) vonzási tartomány (domain of attraction) többparaméteres programozási technika (multi-parametric programming technique megszorított véges idej¶ optimális vezérlés (constrained nite time optimal control) 2. táblázat. Rövidítések és jelentéseik
4
2. De níció.
Azt mondjuk, hogy a V pozitív de nit függvény az origó egy U környezetében 0 Ljapunov-függvény az (1) rendszerhez, ha V˙ (x) = (∇V (x)) f (x) = kf (x)k · k∇f (x)k cos (θ) ≤ 0 bármely x ∈ U \ {0} esetén, ahol θ az f (x) és ∇V (x) vektorok által bezárt szög. Ha V˙ (x) < 0 az összes x ∈ U \ {0} pontra, akkor a V függvényt szigorú értelemben vett Ljapunov-függvénynek nevezzük. Ismert tény, hogy ha létezik is Ljapunov-függvény egy autonóm ODE esetén, akkor az nem egyértelm¶. A következ®kben bevezetjük az A halmazon értelmezett, ún. maximális Ljapunovfüggvény fogalmát, ahol A jelöli az aszimptotikusan stabil origó vonzási tartományát.
3. De níció.
Azt mondjuk, hogy a VM : Rn → R+ 0 függvény maximális Ljapunov-függvénye az (1) rendszernek, ha
• VM (0) = 0, VM (x) > 0, x ∈ A\ {0} • VM (x) < ∞ pontosan akkor, ha x ∈ A • V˙ M negatív de nit az A halmazon és • VM (x) → ∞ as x → ∂A és/vagy kxk → ∞, ahol A jelöli az (1) rendszer aszimptotikusan stabil origójának a DOA-ját. A következ® tétel (lásd [3]) alapozza meg a DOA-becsl® algoritmust.
4. Tétel. Tegyük fel, hogy található egy olyan
B ⊆ Rn halmaz, melynek az origó bels® pontja, valamint egy olyan folytonos V : B → R+ és egy pozitív de nit ψ : Rn → R+ 0 0 függvény úgy, hogy • V (0) = 0 és V (x) > 0 az összes x ∈ B\ {0} esetén, • a V˙ (x0 ) = limt→0+ V (φ(t,x0t))−V (x0 ) függvény jól de niált az összes x ∈ B pontra, valamint igaz, hogy V˙ (x) = −ψ (x) , ∀x ∈ B és • V (x) → ∞ ha x → ∂B és/vagy kxk → ∞.
Ekkor B = A. Tegyük fel, hogy az f függvény kifejezhet® Taylor-sor alakban, azaz
x˙ = f (x) =
∞ X
Fi (x) ,
(3)
i=1
ahol az Fi , i ≥ 1 függvények i-edfokú homogén függvények (pl. monomiálisok). Legyen F1 (x) = Φx, Φ ∈ Rn×n , ahol Φ az f Jacobi-mátrixa az x = 0 helyen. Továbbá a kés®bbi kifejezések rövidítése kedvéért legyen Fi (x) = 0, ha i ≤ 0. A maximális Ljapunov-függvény tulajdonságait alapul véve keresünk egy olyan VM függvényt és egy pozitív de nit ψ függvényt, hogy VM (0) = 0 igaz, valamint
V˙ M (x) = −ψ (x)
(4)
is teljesül az origó valamely környezetében úgy, hogy a ∂A halmaz de niált a VM (x) → ∞ reláció által. A Ljapunov-jelölt függvénynek tehát minden határon túl kell n®nie, ahogy x egyre közelebb kerül az A halmaz határához vagy ahogy kxk → ∞. Ha lehetséges lenne felírni a VM (x) = N (x) D(x) alakot, ahol N (x) és D (x) polinomok, akkor ∂A adott lenne a D (x) = 0 relációval. Ez a konstrukció a következ® alul-határozott lineáris egyenlet-rendszerhez vezet:
Em y = bm ,
(5)
ahol Em -ek megfelel® méret¶ mátrixok, az y vektor pedig a homogén Ri és Qi függvények együtthatóiból adódik. 5
Keressünk tehát olyan Rm és Qm−2 homogén függvényeket (ahol m ≥ 3), hogy az Ri és Qi együtthatói a V˙ m -ben oldják meg a következ®, (5)-b®l adódó minimalizálási problémát:
min em (y) úgy, hogy Em (y) = bm ,
(6)
ahol em (y) a V˙ m -ben lév®, m + 1-nél nagyobb fokszámú tagok együtthatóinak euklideszi normája. LaSalle invariáns halmazokról szóló tétele ([7]) alapján választható egy olyan legnagyobb (és pozitív) C ? , hogy a következ® Abecslés szinthalmaz
Abecslés = { x : Vm (x) < C ? }
(7)
benne van az Ω halmazban, ahol
Ω=
n
x : V˙ m (x) ≤ 0
o
.
(8)
Amint a kívánt pontosságot elértük (em (y ? ) = 0 adott y ? -ra) vagy pedig a hiba elkezd n®ni, az iterációs lépésekben meg kell állni. Ha valamely y ? és m esetén em (y ? ) = 0, akkor a vonzási tartomány határa pontosan meghatározott a D (x) = 0 relációval, azaz ( ) m−2 X Qi (x) > −1 . (9) A= x: i=1
Az algoritmus el®nye, hogy a felhasználónak nem kell ismernie a rendszer megoldásait különböz® kezdeti értékekre, elég egy lineáris programozási feladatot megoldani minden lépésben. Továbbá az eljárás sokkal szélesebb rendszerosztályra is alkalmazható, mint a rendelkezésre álló egyéb módszerek többsége (melyek f®leg polinomiális rendszerekre vonatkoznak).
3. Nemlineáris hibrid rendszerek DOA-ja Tekintsük a következ® alakban tartományonként de niált hibrid rendszereket:
x˙i = fi (x) ,
(10)
ahol fi ⊆ Rn → Rn de niálja a rendszert az állapottér véges számú különböz® tartományán úgy, hogy egy pont sem tartozik több tartományba, azaz f (x) = fi (x) , x ∈ Xi ⊆ dom (fi ) , i ∈ m ¯ = {1, 2, . . . , m} és ∪i∈m ¯. ¯ Xi = X úgy, hogy Xi ∩ Xj = ∅, i 6= j ∈ m A különböz® dinamikatartományok (Xi , i ∈ m ¯ ) határát BI -vel jelöljük, ahol BI = ∪ Xi ∩ Xj , i 6= j ∈ I , ahol { i1 , i2 , . . . , il } = I ∈ P (m) ¯ jelöli a kérdéses tartományok indexeit. Ezek alapján az összes tartomány határa a következ® módon adott: B = Bm ¯.
3.1. A Vanelli-Vidyasagar-algoritmus kiterjesztése szakaszonként de niált hibrid rendszerekre Jelölje az x˙ = fi (x) részrendszer origójának DOA-ját Ai . Megjegyzend®, hogy Ai -t nem sz¶kítettük Xi -re, tehát arra a tartományra, ahol az adott részrendszer aktív, azaz igaz, hogy Ai ⊆ dom (fi ). Ahhoz, hogy megkeressük a rendszer A DOA-ját, f -nek a következ® feltételeket kell kielégítenie: 1. Legyen f folytonos, 2. legyen fi (0) = 0 ∀i ∈ m ¯ , vagyis az összes részrendszer esetén az origó egyensúlyi pont, 3. legyen 0 ∈ I (∩i∈m ¯ Ai ), 4. legyen f Lipschitz-folytonos, ami a Lagrange-tétel következtében mindig igaz, ha fi folytonos Xi -n bármely i ∈ m ¯ esetén (valamint folytonosak az 1. pont miatt). 6
5. Ahhoz, hogy a Mathematica -ban implementált algoritmust közvetlenül alkalmazhassuk, f nek dierenciálhatónak kell lennie az origó valamely környezetében. Az (1)-(5) feltételekb®l látható, hogy ha f folytonosan dierenciálható az origó egy környezetében, vagy az origó eleme a I (∩i∈m ¯ Xi ) halmaznak, akkor a javított Vanelli-Vidyasagar-algoritmus (és annak Mathematica -beli implementációja) alkalmazható az f által meghatározott rendszerre. A következ® tétel alapján módszert kapunk, hogy hogyan becsüljük meg a legnagyobb szinthalmazt (lásd a (7)-es egyenletet).
5. Állítás. Tekintsük az
x˙ = fi (x) részrendszert az origóval, mint egyensúlyi ponttal. Legyen i > 0 úgy, hogy az S [i ] gömbkörnyezet kompakt részhalmaza I (Ai )-nak és de niáljuk továbbá a hi () = min { Vi (x) : x ∈ H () } függvényt, ahol Vi a VM lesz¶kítése Xi -re. Tehát igaz, hogy 0 < hi (i ). Ha választunk egy olyan αi -t, hogy 0 < αi < hi (i ), akkor Pαi = Kαi ∩ S [i ] kompakt és pozitív invariáns részhalmaza Ai -nek, ahol Kαi = { x ∈ Ai : Vi (x) ≤ αi } az αi -hez tartozó szinthalmaza a Vi Ljapunov-függvénynek. A fenti állítást felhasználva a következ® módon keressük a legnagyobb szinthalmazt:
6. Algoritmus. Válasszunk az origónak egy olyan
H (r) környezetét, melynek van nem üres metszete A-val. El®ször válasszuk ki azt a legnagyobb r > 0 értéket úgy, hogy (H (r) ∩ B) ⊆ (∪i∈m ¯ Ai ∩ B), ami lehetséges, mivel X lokálisan kompakt halmaz. Következ® lépésként keressük a maximális Ci értéket Vi -hez a Ai ∩ Xi ∩ S[r] halmazon (ez a Ci lesz C ? a (7) egyenletben), így tehát megkonstruáltuk az ∪i∈m¯ { x ∈ Ai ∩ Xi : Vi (x) ≤ Ci } ⊆ A halmazt. A fenti algoritmus megalkot egy közös Ljapunov-függvényt a rész-dinamikák egyedi Ljapunovfüggvényeib®l, valamint konzervatív (u.i. az algoritmus csak gömbkörnyezeteket tekint), de jól algoritmizálható módon módszert ad a DOA megbecslésére.
3.2. A hibrid reaktor-modell DOA-jának meghatározása Egy másik megközelítést alkalmazva, tisztán analitikai eszközökkel határoztam meg a DOA-ját egy fontos és létez® ipari rendszernek, a Paksi Atomer®m¶ primer körének. Az 1. ábra mutatja az er®m¶ különböz® egységeit és azok összeköttetéseit, melyek az egyszer¶sített modellben szerepet játszanak. A kényelmesebb jelölésmód kedvéért a változókat a következ® rövidítéseknek megfelel®en indexeljük: R reaktor PC primer kör PR nyomáskiegyenlít® tartály SG g®zfejleszt®
3.2.1. Megmaradási egyenletek Az els® dinamikai egyenlet a primer köri folyadék h®mérsékletét írja le: T ∗ WR − 6KSG (TP C − TSG ) − WPloss dTP C C = , p dt MP C cP C
(11)
∗ T ahol TSG a g®zfejleszt® konstans nominális értéke, WR a reaktor teljesítménye, KSG a primer kör loss és a g®zfejleszt® közötti h®átbocsátási tényez®, WP C a primer köri h®veszteség, MP C a primer köri folyadék tömege, cpP C a fajh®je 282◦ C-on. A második egyenlet a nyomáskiegyenlít® h®mérsékletének dinamikáját írja le: p heat h (WR ) − WPloss dTP R R + WP R − cP R mP R (WR ) TP R = , dt MP R cpP R
(12)
p heat ◦ ahol WPloss R a h®veszteség, WP R a f¶t®teljesítmény, cP R a víz fajh®je 282 C-on és h (WR ) pedig a hibrid viselkedést leíró egyenlet (lásd a (17)-es egyenletet lentebb), ami a ki/bementi tömegáramtól (mP R (WR )) függ.
7
1. ábra. Az egyszer¶sített reaktor-modell szerkezete
8
3.2.2. Algebrai kiegészít® egyenletek A reaktor WR teljesítménye arányos az N neutron- uxussal: (13)
WR (v) = cψ N (v) ahol cψ egy adott konstans. A PR-beli folyadék tömege a következ®:
MP R = MP C − VP0C cϕ0 + cϕ1 T˜P C + cϕ2 T˜P C 2 ,
(14)
ahol MP C a PC-beli víz tömege, VP0C a nominális térfogata, T˜P C a h®mérséklete Celsiusban, cϕ0 , cϕ1 és cϕ2 pedig konstansok. A PR f¶t®teljesítményének irányítását egy P-szabályzó végzi, melynek er®sítési tényez®je KP R : loss ∗ WPheat R = WP R − KP R (TP R − TP R ) ,
(15)
ahol TP∗ R a referencia-h®mérséklet PR-ben. A ki/bemeneti tömegáram az MP R id®beli deriváltjaként számolódik:
mP R (WR ) = −VP0C (cϕ1 + 2TP C cϕ2 )
dTP C , dt
ahol cϕ1 és cϕ2 konstansok (lásd [8]). A hibrid viselkedést a WR -t®l való függés okozza a következ® módon: ( cpP C mP R (WR ) TPhotleg for mP R (WR ) > 0 C h(WR ) = p cP R mP R (WR ) TP R otherwise
(16)
(17)
ahol TPhotleg = TP C + 15 a forró ágbeli víz h®mérséklete. C A DOA-analízis céljára való kétváltozós autonóm hibrid rendszer megalkotását a DOA tisztán analitikai módszerekkel való meghatározása követte. Megmutattam, hogy a szabályozott (visszacsatolt) rendszer m¶ködési tartománya bármely pozitív visszacsatolási értékre részhalmaza a DOA-nak. Továbbá megmutattam azt is, hogy ezen tényez® értéke milyen hatással van a rendszer dinamikájára, majd ezt felhasználva meghatároztam a gyakorlatban alkalmazható visszacsatolási tényez®k értékeit.
4. Többparaméteres programozás alkalmazása diszkrét inputhibrid rendszerek szabályozótervezésére Ebben a fejezetben a hibrid rendszerek egy másik aspektusát vizsgálom. A feladat ezúttal nem a DOA meghatározása, hanem kontrollertervezés. A szabályzótervezésre kiválasztott rendszer egy hibrid rendszer, a Paksi Atomer®m¶ nyomáskiegyenlít® tartályának modellje. A kontroller a tartályban lev® nyomást tartja egy konstans értéken úgy, hogy a bemenet lehetséges értékeit egy véges halmazból választja. A vizsgált rendszer a hibrid rendszerek egy speciális részosztályába tartozik: ezen rendszerek állapotváltozói folytonosak, a bemeneti értékei diszkrétek, szakaszonként konstansok és csak véges sok értékük lehet. Azonban lehetséges szabályozót tervezni rájuk többparaméteres programozási feladat (lásd [4] és [9]) megoldásával. Egy esettanulmány keretében bemutatom a szabályozótervezés folyamatát egy egyszer¶ hibrid rendszeren. Az adott feladatra (az er®m¶ hibrid részrendszere) alkalmazott eszköz (MPT) felhasználása új volt az eredmények publikálásakor ([10]).
9
4.1. Rendszerleírás Az egyszer¶sített modell két energia-megmaradási egyenletet tartalmaz, egyiket a víz, másikat a fal térfogatára értelmezve.
Víz-energia egyenlet:
4 X dU = cp mTI − cp mT + KW (TW − T ) + χi WHEi , dt i=1
(18)
ahol U a víz bels® energiája, cp a fajh®, m a víz tömegárama, TI és T a betáplált és a már bent lév® víz h®mérséklete, KW a h®átbocsátási tényez®, TW a fal h®mérséklete, WHEi a f¶t®teljesítmény és χi a karakterisztikus változója az i-edik f¶t®egységnek.
Fal-energia egyenlet:
dUW = KW (T − TW ) − Wloss , (19) dt ahol UW a fal bels® energiája, Wloss pedig az összes energiaveszteség egységid® alatt. A következ® egyenletetek kapcsolatot határoznak meg a bels® energiák (U és UW ), valamint a megfelel® h®mérsékletetek (T és TW ) között, valamint megadják a p nyomás vízh®mérséklett®l való függését: U
=
cp M T
UW
=
CpW TW
p
∗
=
p (T ) = e
(20) (21) p(T )
,
(22)
ahol p (T ) egy adott harmadrend¶ polinom, M a víz tömege és CpW = cpW MW a fal h®kapacitása:
p (T ) = 6.5358 × 10−1 + 4.8902 × 10−2 T + 9.2658 × 10−5 T 2 + 7.6835 × 10−8 T 3 . A modellparaméterek becslése nem része a dolgozatnak, részletei megtalálhatók [11]-ben, valamint a 3. táblázatban. Az állapottér-modell minden lehetséges esetre külön tekinthet®, ami azt jelenti, hogy a rendszer a Hi állapotban van pontosan akkor, amikor i darab f¶t®egység van bekapcsolt állapotban.
4.2. Szabályozótervezés A zikai modell és a szabályozó úgy lettek megalkotva, hogy a tartály bels® nyomását (a T h®mérsékleten keresztül) egy sz¶k sávban tartsa a f¶t®egységek ki- és bekapcsolásával. Az MPT nev¶ Matlab-toolboxot (lásd [9]) használtam a szabályozó megtervezéséhez. El®ször a folytonos idej¶ modellb®l egy diszkrét idej¶t származtattam: x1 (k + 1) x1 (k) = Φ + Γu (k) + Θ x2 (k + 1) x2 (k) (23)
x (k) = C 1 , x2 (k)
y(k)
ahol Φ = eAτ , Γ = ΞB , Θ = Ξf , ahol Ξ = A−1 (Φ − I) és τ a mintavételezési id® másodpercben. A megtervezett szabályozó végeredményképpen egy poliéderek halmazán értelmezett PWA szabály a következ® alakban: U (k) = Fir x (k) + Gri , (24) Z
ahol r jelöli azt az aktív poliédert a { Rr }r=1 halmazból. Az aktív dinamikát i jelöli, mely a vizsgált rendszer esetén mindvégig konstans 1. Az x (k) állapothoz tartozó J költségfüggvényt a következ® formula határozza meg: 0
J = x (k) Ari x (k) + Bir x (k) + Cir ,
10
(25)
Z
ahol az Fir , Gri , Ari , Bir , Cir mátrixok és a poliéderek { Rr }r=1 halmaza a CFTOC-probléma megoldásaként adódnak. Egy rögzített N predikciós távolsághoz tartozó kontroll-probléma megoldása után az (24) szabály kiértékeléseként adódó bemenet minimalizálja J -t. Zárt kör¶ szabályozás esetén u (0)-nak csak ez els® elemét alkalmazzuk bemenetként, majd újraszámoljuk a teljes U (k)-t, hogy ismét csak az els® elemét alkalmazzuk a kapott vektornak. Ez az ún. hátráló horizont módszer (RHC, Receding Horizon Policy).
Normák
Diszkrét bemenet¶ rendszerekre a CFTOC-probléma megoldása l = 2 esetén nagyon lassú, továbbá a nyomáskiegyenlít® tartály modelljének esetén a szimulációk során még N = 5 predikciós távolság esetén sem sikerült elérni a referencia-pontot a visszacsatolt rendszerrel. Lineáris normák tekintetében a vizsgált rendszer esetén gyakorlatilag lényegtelennek bizonyult, hogy melyiket alkalmazzuk (l = 1 vagy l = ∞). Mérnöki megfontolásból mégis a ∞-normát választottam, mert a legmagasabb h®mérsékletnek van nagyobb jelent®sége, mintsem a h®mérsékletek összegének.
Mintavételezési id®
A mintavételezési id® megválasztásának nagy hatása van a szabályozóra. Minél kisebbre választjuk, a folytonos idej¶ rendszer diszkrét idej¶vel való közelítése annál pontosabbá válik, másrészt ahogy a az id®beli felbontás növekszik, a kontroller összetettsége is növekedési tendenciát mutat. Továbbá a nyomáskiegyenlít®re τ kis értékei esetén a kontroller a szimulációk során ugyancsak nem tudta elérni a kívánt referencia-pontot. Tekintettel arra, hogy a rendszer id®állandója órás nagyságrendben van, a τ = 60 mérnöki szempontból is megfelel® választás és még nem vezet nagy bonyolultságú kontrollerhez. Amennyiben a mintavételezési id® kisebb kb. 20-nál, az eredményül adódó kontrollerrel a visszacsatolt rendszer nem képes a referencia-értéket elérni, az összes f¶t®egység kikapcsolt állapotban marad, így végül az egész rendszer kih¶l a h®veszteség miatt. τ = 30 esetén N = 5-tel a kontroller elfogadható módon m¶ködik, bár eredményül 321 db. poliédert kapunk, mely er®forrás-igényessé teszi az alkalmazását. τ = 60 esetén N = 4-gyel a nagyon jó eredményeket kapunk 258 db. poliéderrel. τ = 60 esetén N = 3-mal szintén jó eredményeket kapunk, mindösszesen 41 db. poliéderrel. Ezek alapján a gyakorlati alkalmazáshoz ez a kombináció bizonyult a legmegfelel®bbnek.
Predikciós távolság
A predikciós távolság (mértékegysége egy mintavételezési egység) hosszának nagy hatása van a kapott kontroller bonyolultságára, vagyis az eredményül kapott poliéderek számára (lásd a (2). ábrát), azonban minél hosszabb, annál jobb lesz a kontroll min®sége is. Az alábbi táblázat összehasonlítást ad a poliéderek számának függésére a predikciós távolságtól és a mintavételezési id®t®l (l = ∞ esete).
N poliéderek száma, τ = 30 poliéderek száma, τ = 60 poliéderek száma, τ = 120
2 6 6 20
3 11 41 186
4 73 258 754
5 321 902 1924
Megismételve az el®z® bekezdés megállapításait: N = 3 jó kompromisszum a kontroller követési min®sége és a bonyolultság között.
11
(a) Poliéderek száma 1-norma esetén
(b) Poliéderek száma
∞-norma esetén
2. ábra. A kontroller poliédereinek száma (Z ) különböz® τ és N értékekre
jelölés cp ρ WHEi M CpW KW TI Wloss
érték 4183.232 654 90000 17004 2.5017 × 107 9.1894 × 104 267 1.3231 × 105
mértékegység J/kg/K kg/m3 W kg J/K W/K ◦ C W
leírás víz fajh®je víz s¶r¶sége 325 ◦ C-on f¶t®egységek teljesítménye tartályban lev® víz tömege a fal h®kapacitása a fal h®átbocsátása befolyó víz h®mérséklete h®veszteség
3. táblázat. Modellparaméterek
12
5. Új tudományos eredmények Az új eredményeket a következ® tézisekben foglaljuk össze.
1. tézis. DOA becslése nemlineáris autonóm rendszerekre (3. ([R2],[R3],[R4])
fejezet)
Nemlineáris autonóm rendszerek aszimptotikusan stabil origójának vonzási tartományára szolgáló Vanelli és Vidyasagar algoritmusát javítottam, majd implementáltam Mathematica -ban. Az algoritmus egy becsült maximális Ljapunov-függvény konstruálásán keresztül ad közelítést a DOA-ra. Az eljárás el®nye, hogy a becsléshez nincs szükség a rendszer megoldásainak ismeretére az origó környezetében, hanem elég minimalizálási feladatok egy sorozatát végrehajtani.
• Az algoritmus tetsz®leges (véges) dimenziós rendszeren alkalmazható, amennyiben megfelel a szükséges simasági feltételeknek. A (7)-es egyenletben szerepl® C ? értékének automatikus számítása esetén a DOA az origó egy alkalmasan választott gömb-környezetében lesz, ami az automatikus módszert konzervatívvá teszi. • A kidolgozott algoritmust egy iparilag releváns rendszeren alkalmaztam, a Paksi Atomer®m¶ két részrendszerén. Az egyik a neutron uxussal (N ) visszacsatolt primer kör, a másik a g®zfejleszt®. Azt találtam, hogy az algoritmussal meghatározott DOA nagy pontossággal egybeesik a szimulációkkal meghatározott DOA-val.
2. tézis. Nemlineáris hibrid rendszerek DOA-jának becslése (4. ([R5],[R6],[R7])
fejezet)
Két különböz® módon vizsgáltam két különböz® hibrid, tartományonként másként de niált rendszer DOA-ját.
• Az els® módszer az els® tézisben adott algoritmus felhasználásával képes a tartományonként de niált hibrid rendszerek DOA-jának becslésére, amennyiben a dinamika folytonos a különböz® dinamika-tartományok határán. Az eljárás iteratív módon közelít egy közös maximális Ljapunov-függvényt racionális tört-alakban. A módszer része a kifejlesztett Mathematica -csomagnak. • A második esetben egy fontos és iparilag releváns hibrid rendszernek, a Paksi Atomer®m¶ primer körének DOA-ját határoztam meg tisztán analitikai eszközökkel. Két dimenziós autonóm hibrid dierenciál-egyenlettel leírt modellt fejlesztettem ki az irodalomban megtalálható modell-egyenleteket felhasználva az er®m¶ visszacsatolt primer köréhez. A vizsgálat során kiderült, hogy a rendszer DOA-ja magában foglalja a m¶ködési tartományt bármely pozitív visszacsatolási értékre. Továbbá megvizsgáltam az er®sítési tényez® hatását a szabályzott rendszer dinamikájára és ezekre találtam egy, a gyakorlatban is használható értékhalmazt.
3. tézis.
Többparaméteres programozás alkalmazása diszkrét input-hibrid rendszerek szabályozótervezéséhez (5. fejezet) ([R4]) Szabályozótervezési céllal alkottam egy egyszer¶, tartományonként a n állapottér-modellt és a feladathoz tartozó CFTOC-probléma Matlab-ban való megoldásával szabályozót terveztem hozzá. Vizsgálat alá kerültek továbbá a szabályozótervezés paraméterei a kész kontroller teljesítménye és komplexitása szempontjából.
• Egy iparilag releváns esettanulmány keretében egy egyszer¶sített kétváltozós modellhez terveztem kontrollert. A modell a Paksi Atomer®m¶ nyomáskiegyenlít® tartályának hibrid modellje, melynek bemenetei csak egy véges halmazból választhatók. A szabályozót a hozzá tartozó CFTOC-probléma megoldásával készítettem többparaméteres programozási technika alkalmazásával. • A kontrollertervezési paraméterek vizsgálata során kiderült, hogy a mintavételezési id® és a predikciós távolság a két legfontosabb paraméter, melyek közül az el®bbib®l kívánatos minél hosszabbat választani, az utóbbiból minél rövidebbet. A normák közül a lineáris normák választása bizonyult kielégít®nek. 13
6. Publikációk A disszertáció eredményeihez kapcsolódó publikációk listája a következ®:
[R1]
Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, Hybrid modelling and control of an industrial vaporizer, Proceedings of the 15th International Conference on Process Control, Slovakia, 2005., http://www.kirp.chtf.stuba.sk/pc05/data/index_papers.html#R
[R2]
Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, Improved estimation method of region of stability for nonlinear autonomous systems, Proceedings of the 7th International PhD Workshop, Czech Republic, 2006., ISBN:80-903834-1-6, pp. 234-241
[R3]
Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, G. Szederkényi, Estimating the stability region of a controlled pressurized water reactor, Proceedings of the 8th International Conference on The Modern Information Technology in the Innovation Processes of the Industrial Enterprises, Budapest, 2006., pp. 391-396
[R4]
Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, G. Szederkényi, Improved estimation method of region of stability for nonlinear autonomous systems, Research Report, SCL-002/2006, Systems and Control Laboratory, Computer and Automation Research Institute, 2006., http://daedalus.scl.sztaki.hu/PCRG/PCRG_publist_ISO.html
[R5]
Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, Estimating the region of stability for a hybrid model, Proceedings of the 16th International Conference on Process Control, Slovakia, 2007. On CD: 012s.pdf
[R6]
Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, G. Szederkényi, Determining the domain of attraction of hybrid non-linear systems using maximal Lyapunov functions, Kybernetika 46 (1) (2010) 1937,
IF:0.461 [R7]
Sz. Rozgonyi, K. M Hangos, Domain of attraction analysis of a controlled hybrid reactor model, Annals of Nuclear Energy 38 (5) (2011) 969975, IF:0.710
14
Hivatkozások [1] K. M. Hangos, I. T. Cameron, Process Modelling and Model Analysis, Academic Press, London, 2001. [2] H. Schumacher, A. van der Schaft, An Introduction to Hybrid Dynamical Systems, SpringerVerlag, 1999. [3] A. Vanelli, M. Vidyasagar, Maximal Lyapunov functions and domains of attraction for autonomous nonlinear systems, Automatica 21 (1985) 6980. URL http://citeseer.ist.psu.edu/context/507042/0 [4] F. Borelli, Discrete time constrained optimal control, Ph.D. thesis, Swiss Federal Institite of Technology, Zurich (2002). [5] E. A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary dierential equations, McGill-Hill Book Company, New York, Toronto, London, 1955. [6] N. P. Bhatia, G. P. Szeg®, Stability Theory of Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1970. [7] J. P. LaSalle, S. Lefschetz, Stability by Lyapunov's direct method with applications, Academic Press, New York, 1961. [8] C. Fazekas, G. Szederkényi, K. Hangos, A simple dynamic model of the primary circuit in VVER plants for controller design purposes, Nuclear Engineering and Design 237 (2007) 1071 1087. doi:10.1016/j.nucengdes.2006.12.002. [9] M. Kvasnica, P. Grieder, M. Baoti¢, M. Morari, Multi parametric toolbox (mpt), in: Hybrid Systems: Computation and Control, Vol. 2993 of Lecture Notes in Computer Science, Springer Verlag, Philadelphia, Pennsylvania, USA, 2004, pp. 448462, http://control.ee.ethz.ch/~mpt. [10] S. Rozgonyi, K. M. Hangos, Hybrid modelling and control of an industrial vaporizer, in: Proceedings of the 15th International Conference on Process Control, Slovakia, 2005. [11] K. Hangos, Z. Bordács, Modelling and identi cation of an industrial pressurized water tank (in hungarian), Tech. rep., Computer and Automation Research Institute, Budapest, Hungary (2004).
15
