Számítógéppel irányított rendszerek elmélete A rendszer- és irányításelmélet legfontosabb részterületei Hangos Katalin ´ oki ¨ es ´ Informaci ´ os ´ Rendszerek Tanszek ´ Villamosmern ´ ıtasi ´ Kutato´ Csoport Folyamatirany´ ´ ıtastechnikai ´ ´ Automatizal ´ asi ´ Kutato´ Intezete ´ MTA Szam´ es Budapest
e-mail:
[email protected]
CCS-10 – p. 1/1
BASIC NOTIONS (from previous lectures) PARAMETER ESTIMATION OF DT-LTI SYSTEMS
CCS-10 – p. 2/1
Prediction error minimization Parameter estimation method: D N → θˆN Problem statement: Given • measured data: D[1, N ] = D N = {(y(k), u(k)) | k = 1, . . . N } • predictive parametrized model: yˆ(k|θ) = g(k, D[1, k − 1]; θ) prediction error sequence (discrete signal): ε(k, θ) = y(k) − yˆ(k|θ) , k = 1, . . . , N PN • norm on the prediction error: VN (θ, D N ) = 1 k=1 ℓ(ε(k, θ)) N where ℓ(.) is a positive scalar-valued function, most often: ℓ(ε) = 12 ε2 From the known measured data D N and from the parameter vector θ one can compute the norm VN (θ, D N ). At k = N let us choose the estimated parameter vector θˆN such that θˆN = θˆN (D N ) = arg min VN (θ, D N ) θ
CCS-10 – p. 3/1
Simplest case: SISO ARX models BASIC CASE: The MA term in the general I/O model is zero, i.e. the output noise is a white noise process A∗ (q −1 )y(k) = B ∗ (q −1 )u(k) + e(k) Predictive form: yˆ(k|θ) = −a1 y(k−1)−a2 y(k−2) · · ·−an y(k−n)+b0 u(k)+· · ·+bm u(k−m) Parameter vector: θ = [−a1 − a2 . . . − an b0 b1 . . . bm ]T Prediction error (white noise!): ε(k) = yˆ(k|θ) − y(k) = e(k)
CCS-10 – p. 4/1
Least-squares (LS) parameter estimation Linear in parameter model: yˆ(k|θ) = θ T ϕ(k) where ϕ(.) is the so called regressor. For ARX models ϕ(k) = [y(k − 1) y(k − 2) . . . y(k − n) u(k) u(k − 1) . . . u(k − m)]T In ARX case (in the linear-in-parameters case) the estimation can be computed explicitely as θˆLS
"
1 = N
N X
k=1
ϕ(k)ϕT (k)
#−1
N 1 X ϕ(k)y(k) N k=1
CCS-10 – p. 5/1
A RENDSZER- ÉS IRÁNYÍTÁSELMÉLET RÉSZTERÜLETEI
CCS-10 – p. 6/1
´ irany´ ´ ıtaselm ´ ´ ´ Rendszer- es elet: Reszter uletek ¨ • rendszermodellezés (realizáció-elmélet) • identifikáció ◦ kísérlettervezés, jelfeldolgozás ◦ modell paraméter és struktúra becslés • rendszer-analízis: megfigyelhetoség, irányíthatóság, stabilitás • irányítástervezés ◦ szabályozások: értéktartó, zavarelnyomó, stabilizáló stb. ◦ optimális irányítások ◦ diszkrét vezérlési szekvenciák • diagnosztika
CCS-10 – p. 7/1
´ ´ ´ o: ´ Modell parameter Identifikaci becsles Adott:
•
Egy parametrizált explicit dinamikus rendszermodell: y (M ) = M (x; p(M ) )
(1)
ahol p(M ) ∈ Rν az ismeretlen modell paraméterek, x ∈ Rn a jelen és múltbeli bemenetek és kimenetek és y (M ) ∈ Rµ jövobeli kimenet vektora.
•
A mért adatok egy rekordja D[0, k] = { (x(i), y(i)) | i = 0, · · · , k }
•
(2)
Egy ||.|| jelnorma és a veszteségfüggvény: L = ||y − y (M ) ||
(3)
Feladat: Számítsuk ki a p(M ) ismeretlen modell paraméterek egy pˆ(M ) becslését úgy, hogy az L veszteségfüggvény minimális legyen.
CCS-10 – p. 8/1
´ ´ o: ´ Modell struktura Identifikaci ´ becsles Adott:
•
Egy M elemu parametrizált explicit dinamikus rendszermodellekbol álló M(S) modell-halmaz (a lehetséges struktúrák) y (M j) = Mj (x; p(M j) ) , j = 1, · · · , M ahol p(M j) ∈ Rν az ismeretlen modell paraméterek, x ∈ Rn a jelen és múltbeli bemenetek és kimenetek és y (M j) ∈ Rµ jövobeli kimenet vektora.
•
A mért adatok egy rekordja D[0, k] = { (x(i), y(i)) | i = 0, · · · , k }
•
Egy ||.|| jelnorma és a veszteségfüggvény: L(j) (p(M j) ) = ||r(j) || , r(j) (τ ) = y(τ ) − y (M j) (τ ) ,
τ = 0, · · · , k
Feladat: Határozzuk meg azt a j ∗ modell-indexet, amelyre az L(j) veszteségfüggvény minimális (Ehhez M paraméterbecslési feladatot kell megoldani.)
CCS-10 – p. 9/1
´ alapulo´ diagnosztika Predikcion Elvi feladatkituzés Adott:
• •
A meghibásodási módok száma NF (0=normal) Prediktív rendszermodellek minden meghibásodási módra y (F i) (k + 1) = M(F i) (D[1, k]; p(F i) ) , k = 1, 2, . . .
• •
A mért adatok egy rekordja: D[0, k] = { (u(τ ), y(τ ) | τ = 0, · · · , k} Veszteségfüggvény J (F i) , i = 0, · · · , NF
J
(F i)
(y−y
(F i)
, u) =
k X
[ r(i)T (τ )Qr(i) (τ ) ] , r(i) (τ ) = y(τ )−y (F i) (τ ) , τ = 1, 2, · ·
τ =1
Kiszámítandó: A rendszer aktuális meghibásodási módja, amely az a modell index i amelyikre a veszteségfüggvény minimális. Meghibásodás-azonosítás
CCS-10 – p. 10/1
´ on ´ alapulo´ diagnosztika Identifikaci Elvi feladatkituzés Adott:
• •
A meghibásodási módok száma NF (0=normal) Prediktív parametrikus rendszermodellek minden meghibásodási módra y (F i) (k + 1) = M(F i) (D[1, k]; p(F i) ) , k = 1, 2, . . .
• •
A mért adatok egy rekordja: D[0, k] = { (u(τ ), y(τ ) | τ = 0, · · · , k} egy paraméterektol függo veszteségfüggvény J (F i) , i = 0, · · · , NF J (F i) (p(estF i) − p(F i) ) = ρ(i)T Qρ(i) , ρ(i) = p(estF i) − p(F i)
Kiszámítandó: A rendszer aktuális meghibásodási módja, amely az a modell index i amelyikre a veszteségfüggvény minimális. Meghibásodás-azonosítás
CCS-10 – p. 11/1
´ irany´ ´ ıtaselm ´ ´ ´ o´ tantargyak ´ Rendszer- es elet: kapcsolod • MI BSc ◦ alapfogalmak: "Irányítástechnika" (Gerzson Miklós, VIRT) ◦ modellezés, diagnosztika: "Modell alapú diagnosztika diszkrét módszerekkel" (Hangos Katalin, VIRT Piglerné Lakner Rozália, SzTA) • MI MSc ◦ rendszer-analízis, irányítástervezés: "Computer controlled systems" (Hangos Katalin, VIRT, Piglerné Lakner Rozália, SzTA) ◦ identifikáció: "Dinamikus rendszerek paramétereinek becslése" (Hangos Katalin, Magyar Attila, VIRT) ◦ diagnosztika "Intelligens irányitórendszerek" (Piglerné Lakner Rozália, SzTA, Hangos Katalin, VIRT) • 5 éves egyetemi képzés rendszermodellezés: "Folyamatmodellezés és model analízis" (Piglerné Lakner Rozália, SzTA)
CCS-10 – p. 12/1
