Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Hiányos másodfokú egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 1. 3x2 = 0

2. 2x2 = 8

/:3

/:2

3. x2  8x  0

4. x2  4x  4  0

A másodfokú egyenlet megoldóképlete A másodfokú egyenletek általános alakja: ax2  bx  c  0

a;b;c  R

a0

A négyzetes tag együtthatója azért nem lehet nulla, mert akkor nem lenne másodfokú az egyenlet.

x1;2 

b  b2  4ac 2a

1. Oldja meg az x2 – 5x + 4 = 0 egyenletet a pozitív számok halmazán!

x 2  5x  4  0

x1;2

ax 2  bx  c  0  a1 b  5 c4

b  b2  4ac  2a   5   25  4  4

x1;2 

2



5 9 2

53 4 2 53 x2  1 2 x1 

2. Határozza meg az y2 – 14y + 49 = 0 egyenlet egész gyökeit! 3. Oldja meg a következő egyenleteket!

x2  2x  15  0

3x2  5x  6  0

2x2  8x  10  0

3x2  5x  1  0

4. Oldja meg a következő egyenletet a nem negatív számok halmazán!

10  x  2   19   5x  11  5x  5. Oldja meg a következő egyenleteket az egész számok halmazán! a.)  7x  11   6x  5  6x  5    2x  9    5x  3   10 2

2

2

b.)  x  7  x  3    x  1 x  5   102





c.)  x  1 x  2  x  3   x2  3  x  5   2x  33  0 d.)  3x  8    4x  6    5x  2  5x  2   96 2

2

x  4 2x  1  x e.) 3

 x  112  6x  12

x0

10

f.)

12 7x  6   5x  26  0 6 g.) x



3x 2  x

x0

2 h.) 3x  4x  1

x3 x3 4   i.) x  3 x  3 3

5

 7

7x  3 2

3

4 1 x 1   0 x  1 x  x  1 x  x  1

j.)

6 y2 y2   0 2 y  2 2  y 4  y k.) A diszkrimináns A megoldóképletben a gyök alatti kifejezéstől függ, hogy a másodfokú egyenletnek hány valós gyöke van, ezért diszkriminánsnak nevezzük. ax2  bx  c  0

a0



D :  b2  4ac

I. Ha a diszkrimináns pozitív, akkor a másodfokú egyenletnek két különböző valós gyöke van. D  0   x1  x2  R Az ax2 + bx +c = 0 egyenlet bal oldalán lévő függvényt jelöljük f(x)-szel! f(x) = ax2 + bx +c Vizsgáljuk meg a függvényérték előjelét! a > 0 ⇒ A parabola felfelé nyílik.

a < 0 ⇒ A parabola lefelé nyílik.

II. Ha a diszkrimináns 0, akkor a másodfokú egyenlet két gyöke egybeesik.

D  0   x1  x2  R a > 0 ⇒ A parabola felfelé nyílik.

a < 0 ⇒ A parabola lefelé nyílik.

A függvény értéke mindenhol nem negatív.

A függvény értéke sehol sem pozitív.

III. Ha a diszkrimináns negatív, akkor a másodfokú egyenletnek nincs valós gyöke. D  0  x  R a > 0 ⇒ A parabola felfelé nyílik.

a < 0 ⇒ A parabola lefelé nyílik.

f  x  0 A függvény értéke mindenhol pozitív.

f  x  0 A függvény értéke mindenhol negatív.

A gyöktényezős alak A megoldóképlet levezetésekor észrevehettük, hogy a másodfokú egyenlet szorzattá alakítható. ax2  bx  c  0 a  0 esetén a  x  x1  x  x2   0 1. Bontsa fel elsőfokú tényezők szorzatára a –3x2 +5x –2 polinomot! 2. Bontsa fel elsőfokú tényezők szorzatára a 2x2 –5x –3 polinomot! 3. Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei

x1  

4. Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei

x1 

5. Oldja meg a következő egyenletet!

6. Egyszerűsítse a következő törtet! x2  2x  3 x2  4x  3



(x  3) (x  1) (x  3) (x  1)



3 2 és x 2   ! 10 5

4 és x2  5 . 7

x2  9x  20 x  2 x5 x  4x x 2  2x  3 x2  4x  3

(x  1) (x  1)

Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek 1. Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a.) 16x 4  17x2  1  0 b.) 3x 4  7x2  2  0 c.) x6  7x3  8  0 Másodfokú egyenletrendszerek 1. Oldja meg a következő egyenletrendszert az egész számok halmazán! xy7 A behelyettesítő módszer a nyerő! xy  18

2. Oldja meg a következő egyenletrendszert az egész számok halmazán!

xy  7 x  7 y xy  18 3. Oldja meg a következő egyenletrendszereket a valós számok halmazán!

xy8 xy  15

x  y  3xy  47 xy  14

x 2  y2  81 xy1

x 2  4y2  17 xy  2

x  y  2xy  5 xy  2

Másodfokú egyenlőtlenségek 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! x2  x  6  0 A legkönnyebb félig grafikusan megoldani. Fogalmazzuk át a feladatot! Hol negatív az f(x) = x2 – x – 6 függvény értéke? A főegyüttható pozitív (a = 1 > 0 ) ezért a parabola felfelé nyílik. Keressük meg a zérushelyét, és vázoljuk a függvény grafikonját!

x2  x  6  0

x1;2 

1  1  24 1  5  x1  3   2 2  x 2  2

A függvény értéke a két zérushely között negatív:

2  x  3

( ]-2 ;3[ )

2. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget az egész számok halmazán!

x2  4x  5  0 3. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

 2  3x    x  1  4   x  2 2 4. Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! 2 x  4x  5 2

0

2 x  4x  5 2

0

2 x  4x  5 2

0

2 x  4x  5 2

0

x4 6  5x  x 2

0

5. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

x2  8x  7 0 x2  12x  20

Kapcsolat a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között

A Vieteformulák:

ax  bx  c  0 a0 a;b;c  R 2

   

x1  x 2   x1  x 2 

b a

c a

1. Írjon fel egy olyan racionális együtthatójú másodfokú egyenletet, amelynek egyik gyöke x1  2  5 ! 2. Írjon fel egy olyan racionális együtthatójú másodfokú egyenletet, amelynek egyik gyöke x1  4  15 ! 3. A 2x2 +x – 6 = 0 egyenlet megoldása nélkül számítsa ki az x12  x2  x1  x22 kifejezés értékét, akol x1 és x2 az előbbi egyenlet két gyöke! Négyzetgyökös egyenletek 1. Oldja meg a következő egyenleteteket a valós számok halmazán! a.)

x6 1

b.)

x  6  11

c.) 2 x  5  x  4

2. Oldja meg a következő egyenleteteket a valós számok halmazán!

2 x 5  x 4 x1 5x  1

 x

x2  16  x  4

5 3x  4

6x2  8x  8  3x  2  0

x  25  x2  7

28  x  x2  4

3 x 1  1

x  9  x  18  1

x4  x4 2 Négyzetgyökös egyenlőtlenségek Határozza meg a következő egyenlőtlenség valós megoldásait!

x2 x  4 Én a négyzetgyökös egyenlőtlenségek megoldására a grafikus módszert javasolom.