Differenciál egyenletek (rövid áttekintés) d x 2

Differenciál egyenletek (rövid áttekintés) Differenciálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely egy vagy több változós ismeretlen függvény és deriváltjai közötti kapcsolatot írja le. Fontosabb típusok: közönséges differenciálegyenletek, parciális differenciálegyenletek, (sztochasztikus differenciálegyenletek, késleltetett differenciálegyenletek) Közönséges differenciálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely egy független változójú függvény és deriváltjai közötti összefüggést adja meg. d 2x Pl. m 2  F , ahol x  x  t  (Newton II. törvénye) dt Parciális differenciálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely az ismeretlen többváltozós függvény és a parciális deriváltjai közötti kapcsolatot írja le. u  x, y  Pl.  0; és a megoldás u  x, y   f  y  . x Speciális eset: Lineáris állandó együtthatós közönséges inhomogén differenciálegyenlet dny d n 1 y ahol r  x  a zavaró függvény. An n  An 1 n 1   A0 y  r  x  , dx dx Megoldás: y  x   yh  x   y p  x  , ahol

d n yh d n 1 y h  A   A0 yh  0 homogén differenciálegyenlet n 1 dx n dx n 1 általános megoldása,

yh  x 

a

An

y p  x  az An

d n yp

d n 1 y p

  A0 y p  r  x  inhomogén differenciáldx n dx n 1 egyenlet egy partikuláris megoldása.  An 1

A homogén differenciálegyenlet általános megoldása: d n yh d n 1 y h An  A   A0 yh  0 n 1 dx n dx n 1 Megoldást yh  e x alakban keressük

x  0 An  n  An 1  n 1   A0  e   0

0 Karakterisztikus egyenlet: An  n  An 1  n 1   A0  0 (n-ed rendű polinom) Megoldása: n számú gyök: 1 ,2 , ,n .

A differenciálegyenletnek n számú alapmegoldása van: e1 x ,e2 x , ,en x . Az alapmegoldások lineáris kombinációja is megoldása differenciálegyenletnek: yh  x   C1e1 x  C2 e2 x  , , Cn en x

Az ismeretlen Ci  i  1,2, ,n  konstansok a perem-, illetve kezdeti feltételekből meghatározhatóak. Az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldása: d n yp d n 1 y p An  An 1   A0 y p  r  x  dx n dx n 1 A megoldást célszerű a zavaró vagy más néven forrás függvény alakjában keresni, mert ez többnyire eredményre vezet: yp  x  C r  x . Behelyettesítés után a C konstans meghatározható. Deriváltak jelölése:

dy  y' , dx dy  y, , dt

d2y  y'' ,…, stb. (hely szerinti deriváltak) dx 2 d2y  y ,…, stb. (idő szerinti deriváltak) dt 2

1. Példa: Adott egy másodrendű állandó együtthatós közönséges lineáris differenciálegyenlet valamint az x  0 peremen a függvény és deriváltjának értéke: y''  4 y  3x , y  0   1, y'  0   4 . Feladat a differenciál egyenlet megoldásának előállítása. Megoldás: y  x   yh  x   y p  x  Homogén megoldás: homogén de. yp " 4 yp  0 ,

megoldás keresése yh  e x

x  0  4  e 2  0 0

karakterisztikus egyenlet

2  4  0 ;

2  4 ;

1,2  2

homogén ált megoldás: yh  x   C1e2 x  C2 e2 x Az alapmegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombinációja is megoldás  e2x  e2x   e2x  e2x      A2  yh  x   A1     2 2         ch( 2x ) sh( 2x )

yh  x   A1ch  2x   A2 sh  2x  .

azaz Partikuláris megoldás:

yp  x  C x

(a zavaró függvény alakjában keressük)

y p ''  4 y  3x behelyettesítés után 4Cx  3x  C  

yp  x  

3 4

3 x 4

Peremfeltételek figyelembevétele: y  x   yh  x   y p  x 

y 0   1

3 y  0   1  A1 ch  2  0   A2 sh  2  0   0       4 1  A1 ch  2  0     1

y'  0   4

Végül:

1

0

 A1  1

3 y'  0   4  A1 2sh  2  0   A2 2ch  2  0       4 0 2 3 3 19 4  A2 2ch  2  0    A2  2     4 8 8 2

y  x   yh  x   y p  x  = ch  2x  

19 3 sh  2x   x . 8 4

2. Példa: Adott egy másodrendű állandó együtthatós közönséges lineáris differenciálegyenlet valamint az x  0 peremen a függvény és deriváltjának értéke: y''  4 y  3x , y  0   1, y'  0   4 . Feladat a differenciálegyenlet megoldásának előállítása. Megoldás: y  x   yh  x   y p  x  Homogén megoldás: homogén de.

karakterisztikus egyenlet

yh "  4 yh  0 ,

x  0  4  e 2  0 0  40 ; 2

megoldás keresése yh  e x

 2  4 ;

1,2  2i

homogén általános megoldás yh  x   C1ei 2 x  C2 e i 2 x , ahol ei 2 x  cos  2x   i sin  2x  ;

e i 2 x  cos  2x   i sin  2x 

azaz yh  x   C1  cos  2x   i sin  2x    C2  cos  2x   i sin  2x  

Az alapmegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombináció is megoldás  ei2x  ei2x   ei2x  ei2x    A2  . yh  x   A1      2 2       cos( 2x ) sin( 2x ) Behelyettesítés után: yh  x   A1 cos  2x   A2 sin  2x 

Partikuláris megoldás:

yp  x  C x

y p ''  4 y p  3x ;

behelyettesítés után 4Cx  3x  C 

3 ; 4

yp  x 

(alakban keressük)

3 x 4

Peremfeltételek figyelembevétele: y  x   yh  x   y p  x 

y 0   1

3 y'  0   4   A1 2 sin  2  0   A2 2 cos  2  0     4 0 2 3 3 13 4  A2 2 cos  2  0    A2  2    4 4 8 2 13 3 y  x   yh  x   y p  x  = cos  2x   sin  2x   x . 8 4

y'  0   4

Végül:

3 y  0   1  A1 cos  2  0   A2 sin  2  0   0     4 1 0 1  A1 cos  2  0   A1  1   1

3. Példa: Adott egy kezdeti érték feladat differenciálegyenlete és a t=0 időpontban a függvényérték és első deriváltja: y  0   3 . y  9 y  3 cos 2t és y  0   2; Feladat az adott kezdeti érték feladat megoldásának előállítása. Megoldás: y  x   yh  t   y p  t  Homogén megoldás: homogén de.

yh  9 yh  0 ,

t 9  e 0  2    0

megoldás keresése yh  et

0

karakterisztikus egyenlet

 90 ;

 2  9 ;

2

homogén általános megoldás yh  t   C1e  C2 e i 3t

ahol e

i 3t

 cos  3t   i sin  3t  ;

 i3t

1,2   1 9  i3

,

e i3t  cos  3t   i sin  3t 

azaz yh  x   C1  cos  3t   i sin  3t    C2  cos  3t   i sin  3t  

az alapmegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombináció is megoldás  ei3t  ei3t   ei3t  ei3t    A2   yh  x   A1      2 2         cos( 3t ) sin( 3t ) behelyettesítés után yh  x   A1 cos  3t   A2 sin  3t  Partikuláris megoldás: a deriváltak:

y p  4 y p  3 cos 2t ;

y p  x   C cos 2t

(alakban keressük)

y p  x   C2 sin 2t ; y p  x   C 4 cos 2t behelyettesítése után 4C cos 2t  9C cos 2t  3 cos 2t 3 3 5C  3 ; C ; y p  x   cos 2t 5 5

Peremfeltételek figyelembevétele: y  t   yh  t   y p  t 

y 0   1

3 y  0   2  A1 cos  3  0   A2 sin  3  0   cos  2  0      5   1 0 1 3 3 13 2  A1 cos  3  0    A1  2      5 5 5 1

3 y  0   3   A1 3 sin  3  0   A2 3 cos  3  0   2 cos  2  0     5 0 2 3  A2 3 cos  3  0   A2  1  3 13 3 y  t   yh  t   y p  t  =  cos  3t   sin  3t   cos 2t . 5 5

y'  0   4

Végül:

Egy rezgéssé alakítások (addiciós tételek): I.

átalakítás

y  c1 cos t  c2 sin t



y  a cos t   

y  a cos t     a cos  cos t  a sin  sin t     c1 c2

 c1    c2  2

2

 a 2  cos    a 2  sin    a 2 2

2

 a

 c1    c2 

2

 c1    c2 

2

2

 c  c2  a sin    tg    arctg   2  c1 a cos   c1 

II.

átalakítás

y  c1 cos t  c2 sin t



y  a sin t   

y  a sin t     a sin  cos t  a cos  sin t     c1 c2

 c1    c2  2

2

 a 2  sin    a 2  cos    a 2 2

2

c  c1 a sin    tg    arctg  1  c2 a cos   c2 

 a

2