Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (a alapú logaritmus) Legyen 𝑎 ≠ 1 pozitív valós szám. Tetszőleges 𝑏 pozitív valós szám esetén létezik pontosan egy olyan 𝑐 valós szám, hogy 𝑏 = 𝑎𝑐 . Ekkor a 𝑐 hatványkitevőt a 𝑏 szám 𝑎 alapú logaritmusának nevezzük. Jelölés: 𝑐 = log 𝑎 𝑏. Megjegyzés: Bármely pozitív szám egyértelműen felírható valamely 1 – től különböző pozitív szám hatvgányaként. Egy számnak egy adott alapra vonatkozó hatványkitevőjét a szám adott alapá logaritmusának nevezzük. Az 𝑎 alapú logaritmus 𝑏 jelenti azt a 𝑐 kitevőt, amelyre 𝑎 - t emelve 𝑏 - t kapunk. A tízes alapú logaritmus esetén nem írjuk ki az alapot, hanem 𝑙𝑔 - t írunk a 𝑙𝑜𝑔10 helyett. A definíció értelmében teljesül a következő: 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑏. A definíció alapján a következők adódnak: 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0 és 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1. A logaritmus azonosságai: 𝑎; 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ+
𝑎≠1
log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 𝑦
𝑎; 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ+
𝑎≠1
log 𝑎 𝑥 𝑘 = 𝑘 ∙ log 𝑎 𝑥
𝑎; 𝑥; 𝑘 ∈ ℝ+
𝑎≠1
log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 (𝑥 ∙ 𝑦) 𝑥
TÉTEL: Másik alapú logaritmusra áttérhetünk a következő módokon: log 𝑏
log 𝑎 𝑏 = log𝑐 𝑎 𝑐
1
log 𝑎 𝑏 = log
𝑏𝑎
log 𝑎 𝑏 = log 𝑎𝑥 𝑏 𝑥
𝑎; 𝑏; 𝑐 ∈ ℝ+
𝑎; 𝑐 ≠ 1
𝑎; 𝑏 ∈ ℝ+
𝑎; 𝑏 ≠ 1
𝑎; 𝑏 ∈ ℝ+
𝑎≠1
1
𝑥≠0
𝑥∈ℝ
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben az 𝒙 értékét! 𝟏
𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 = 𝟖
𝟏
𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒙 = 𝟐
𝟏
𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟓 = 𝟑
𝟑
𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟐𝟕 = −𝟑 𝐥𝐠 𝟏𝟎𝟎 = 𝒙
𝐥𝐨𝐠𝟕 √𝟒𝟗 = 𝒙
Megoldás: A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log 𝑎 𝑏 = 𝑐 → 𝑏 = 𝑎𝑐 . log 2 𝑥 = 8 1
log 9 𝑥 = 2 1
log 𝑥 5 = 3
→
𝑥 = 28 = 256
→
𝑥 = 92 = √9 = 3
→
5 = 𝑥3
1
1
1
1
3
5 = √𝑥
→
1
1
log 𝑥 27 = −3 →
27
= 𝑥 −3
→
lg 100 = 𝑥
10𝑥 = 100
→
𝑥=2
→
7𝑥 = √72
→
3
log 7 √49 = 𝑥 →
3
7𝑥 = √49
27
= 𝑥3
3
→
𝑥 = 125
→
𝑥=3
→
7𝑥 = 73
2
→
2
𝑥=3
2. Mennyi lesz a következő kifejezések pontos értéke? 𝟐𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟗
𝟖𝟏𝐥𝐨𝐠 𝟗 𝟒
𝟐𝟓𝟏+𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑
𝟖𝟏−𝐥𝐨𝐠𝟖 𝟐𝟒
𝟐𝟕
𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝟑−𝟒 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟐+𝐥𝐨𝐠 √𝟐𝟕 𝟑𝟐 𝟗
Megoldás: Arra kell törekednünk, hogy a hatvány és a kitevőben szereplő logaritmus alapja megegyezzen, mert akkor azok elhagyhatóak és egyszerűbb alakra jutunk. Ezekhez a logaritmus, illetve a hatványozás azonosságait kell felhasználnunk. 1
log4 9
2log4 9 = (42 )
1
1
1
= 42 ∙ log4 9 = 4log4 92 = 92 = √9 = 3
2
81log9 4 = (92 )log9 4 = 92 ∙ log9 4 = 9log9 4 = 42 = 16 2
251+log5 3 = 251 ∙ 25log5 3 = 25 ∙ (52 )log5 3 = 25 ∙ 52 ∙ log5 3 = 25 ∙ 5log5 3 = 25 ∙ 32 = 225 −1
81−log8 24 = 81 ∙ 8− log8 24 = 8 ∙ 8log8 24
1
8
1
= 8 ∙ 24−1 = 8 ∙ 24 = 24 = 3 2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) log1 3−4 log3 2+log√27 32
27
log1 3
= 27
9
9
log1 3
1 −3 = [( ) ] 9
−3 1 log1 3
= ( 9)
9
9
∙ 27−4 log3 2 ∙ 27log√27 32 =
2 log√27 32
∙ (33 )−4 log3 2 ∙ [(√27) ]
∙ 3log3 2
−12
∙ (√27)
log√27 322
1 −3 log19 3 −12 log 2 2 log√27 32 3 ∙ (√27) =( ) ∙3 9
1
1
1
= 3−3 ∙ 2−12 ∙ 322 = 27 ∙ 4096 ∙ 1024 = 108
3. Milyen 𝒙 értékek esetén értelmezhetőek a következő kifejezések? 𝐥𝐨𝐠𝟓 (𝒙 − 𝟐)
𝐥𝐠(𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐)
𝐥𝐨𝐠𝒙 (𝟓 − 𝟐𝒙)
𝒙−𝟒
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟑−𝒙
Megoldás: A logaritmus alapja egy 1 - nél különböző pozitív szám. Továbbá a logaritmus után álló kifejezés is csak pozitív szám lehet. Ezek alapján kell felírnunk a lehetséges 𝑥 értékeket. log 5 (𝑥 − 2) 𝑥−2>0
→
𝑥>2
log 𝑥 (5 − 2𝑥) 5 − 2𝑥 > 0
→
5 2
>𝑥
𝑥 > 0; 𝑥 ≠ 1
és
Ezeket összevonva a következőt kapjuk:
5
0<𝑥<2
és
𝑥≠1
lg(𝑥 2 + 𝑥 − 2) 𝑥2 + 𝑥 − 2 > 0
→
Egyenletként tekintve a megoldások: 𝑥1 = 1 és 𝑥2 = −2
→ A függvény görbéje alapján a következőt kapjuk: 𝑥 < −2 vagy 𝑥 > 1.
3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 𝑥−4 3−𝑥
>0
Ez akkor teljesül, ha a számláló és nevező is pozitív, vagy ha mindkettő negatív. Tekintsük először azt, amikor a számláló és nevező is egy pozitív szám. 𝑥−4>0
𝑥>4
→
3−𝑥 > 0
és
→
3>𝑥
A kettőnek nincs közös része, így ezen az ágon nincs megoldásunk.
Tekintsük most azt, amikor a számláló és nevező is egy negatív szám. 𝑥−4<0
𝑥<4
→
3−𝑥 < 0
és
→
3<𝑥
A kettőnek közös része a következő: 3 < 𝑥 < 4.
A megoldás a két ág együttese (uniója): 3 < 𝑥 < 4.
4. Milyen 𝒙 értékek eseten teljesülnek a következő egyenlőségek? 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟏𝟏 − 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟓 + 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟖
𝒙 = 𝟐 𝐥𝐠 𝟐 + 𝟔 𝐥𝐠 √𝟓 + 𝐥𝐠 𝟏𝟖 − 𝟐 𝐥𝐠 𝟑
Megoldás: Használjuk a logaritmus azonosságait. log 3 𝑥 = log 3 11 − 2 log 3 5 + log 3 8 = log 3 11 − log 3 52 + log 3 8 = = log 3
11 25
+ log 3 8 = log 3
88 25
88
Ezek alapján: 𝑥 = 25.
6
𝑥 = 2 lg 2 + 6 lg √5 + lg 18 − 2 lg 3 = lg 22 + lg(√5) + lg 18 − lg 32 = = lg 4 + lg 125 + lg 18 − lg 9 = lg 500 + lg 18 − lg 9 = lg 9000 − lg 9 = lg 1000 = 3
4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 5. Oldd meg a következő egyenleteket! a) 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟕 b) 𝟑𝒙 = 𝟏𝟑 Megoldás: Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy tízes alapú logaritmusokkal fejezzük ki az 𝑥 - et, mert így a számológéppel kiszámíthatjuk a pontos értékeket. a)
lg 7
𝑥 = log 5 7 = lg 5 ≈ 1,2
b) 3𝑥 = 13 lg 3𝑥 = lg 13 𝑥 ∙ lg 3 = lg 13 𝑥=
lg 13 lg 3
≈ 2,3
6. Old meg a következő egyenleteket! a) 𝐥𝐨𝐠𝟒 (𝒙 − 𝟐) = 𝟑 b) 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟑 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏𝟓 c) 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟐𝟎𝒙 − 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟓 = 𝟐 d) 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟑 (𝒙 − 𝟏) = 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟒 Megoldás: Az egyenletek megoldásánál arra kell törekednünk, hogy mindkét oldalt egy darab, ugyanolyan alapú logaritmus legyen, mert akkor a logaritmusokat elhagyhatjuk. Amennyiben az egyik oldalt egy logaritmus áll, a másik oldalt pedig egy szám, akkor a logaritmus definícióját is alkalmazhatjuk a megoldáshoz. Az egyenleteknél feltétel írása, vagy a megoldás ellenőrzése elengedhetetlen. Amennyiben az egyenletnél a feltétel kiszámítása bonyolult lenne, akkor előbb oldjuk meg az egyenletet, majd a kapott értéket ellenőrizzük le, hogy valóban megoldása-e az egyenletnek. Adott esetben, ha több feltételt is írnunk kellene, de azok között akad olyan, amelyet bonyolult lehet levezetni, akkor felírhatjuk csak a könnyebb feltételeket is, de ilyenkor a megoldásokat szintén ellenőriznünk kell a végén (mivel ekkor a feltételszabásunk nem terjed ki minden esetre)!
5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) a)
log 4 (𝑥 − 2) = 3
Feltétel:
𝑥−2> 0
Feltétel:
𝑥>0
→
𝑥>2
definíció szerint 𝑥 − 2 = 43 𝑥 − 2 = 64 𝑥 = 66
b) log 2 𝑥 + log 2 3 = log 2 15 log 2 (3𝑥) = log 2 15
a függvény szigorú monotonitása miatt
3𝑥 = 15 𝑥=5
c)
log 𝑥 20𝑥 − log 𝑥 5 = 2 log 𝑥
20𝑥 5
20𝑥 > 0
Feltétel:
=2
→
𝑥 > 0 és
𝑥≠1
definíció szerint
𝑥 2 = 4𝑥 𝑥 2 − 4𝑥 = 0 𝑥 ∙ (𝑥 − 4) = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján a következő megoldások adódnak: 𝑥1 = 0 𝑥−4=0
→
𝑥2 = 4
Az 𝑥1 nem felel meg a feltételnek, így csak egy megoldása van az egyenletnek: 𝑥 = 4.
6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) d) 2 log 3 (𝑥 − 1) = log 3 4
𝑥−1> 0
Feltétel:
log 3 (𝑥 − 1)2 = log 3 4
→
𝑥>1
a függvény szigorú monotonitása miatt
(𝑥 − 1)2 = 4 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 4 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: 𝑥1 = 3 és 𝑥2 = −1. Az 𝑥2 nem felel meg a feltételnek, így csak egy megoldása van az egyenletnek: 𝑥 = 3.
7. Old meg a következő egyenleteket! a) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝒙−𝟏 (𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓) = 𝟐 b) 𝟐 =
𝐥𝐠(𝒙−𝟏𝟎𝟎) 𝟏−𝐥𝐠 𝟓
Megoldás: a)
log 2𝑥−1 (3𝑥 2 − 4𝑥 + 5) = 2
Feltétel:
2𝑥 − 1 > 0
→
1
𝑥>2
definíció szerint: 3𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = (2𝑥 − 1)2 3𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 4 = 𝑥2 𝑥1 = 2
és
𝑥2 = −2
Az 𝑥2 nem felel meg a feltételnek, de mivel nem írtunk fel minden kikötést, ezért ellenőrizni kell, hogy az 𝑥1 tényleg jó megoldás-e. Ellenőrzés: Jobb oldal: 2
Bal oldal:
log 3 9 = 2
→ Ezek alapján az 𝑥1 megoldása az egyenletnek. 7
→
2=2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b) 2 =
lg(𝑥−100)
Feltétel:
1−lg 5
𝑥 − 100 > 0 →
𝑥 > 100
2 ∙ (1 − lg 5) = lg(𝑥 − 100) 2 − 2 ∙ lg 5 = lg(𝑥 − 100) lg 100 − lg 25 = lg(𝑥 − 100) lg 4 = lg(𝑥 − 100)
a függvény szigorú monotonitása miatt
4 = 𝑥 − 100 𝑥 = 104
8. Old meg a következő egyenleteket! a) 𝐥𝐨𝐠𝟒 [𝐥𝐨𝐠𝟑 (𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙)] = 𝟎 𝟏
b) 𝐥𝐨𝐠𝟖 [𝟒 − 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟔 (𝟓 − 𝒙)] = 𝟑 Megoldás: Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy kívülről befelé haladva, a definíciót többször alkalmazva, lépésről - lépésre ,,lebontsuk” az egyenletet. A feltétel felírása itt hosszadalmas lenne, mert több logaritmusra is feltételt kellene írnunk, így célszerűbb csak a legbelsőre felírni a feltételt és majd a végén ellenőrizni a megoldást.
a)
log 4 [log 3 (log 2 𝑥 )] = 0
Feltétel: 𝑥 > 0
definíció szerint log 3 (log 2 𝑥 ) = 40 = 1
definíció szerint
log 2 𝑥 = 31 = 3
definíció szerint
𝑥 = 23 = 8 Ellenőrzés: Jobb oldal: 0 →
0=0
Bal oldal: →
log 2 8 = 3
→
log 3 3 = 1
→
log 4 1 = 0
Ezek alapján az 𝑥 megoldása az egyenletnek.
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1
b) log 8 [4 − 2 log 6 (5 − 𝑥)] = 3
Feltétel:
5−𝑥 >0
5>𝑥
→
definíció szerint 1
4 − 2 log 6 (5 − 𝑥 ) = 83 = 2 log 6 (5 − 𝑥) = 1
definíció szerint
5 − 𝑥 = 61 = 6 𝑥 = −1 Ellenőrzés: 1
Jobb oldal: 3
Bal oldal:
4 − 2 log 6 6 = 2
→
1
log 8 2 = 3
→
1
1
=3 3
→ Ezek alapján az 𝑥 megoldása az egyenletnek.
9.
Old meg a következő egyenleteket! a) 𝟒 − 𝐥𝐠 𝒙 = 𝟑 √𝐥𝐠 𝒙 b) 𝒍𝒈𝟐 𝒙 = 𝐥𝐠 𝒙𝟐
Megoldás: Ennél a típusnál célszerű bizonyos lépés után bevezetnünk egy új ismeretlent a logaritmus helyett, s így megoldva az egyenletet, a végén visszahelyettesítünk az eredeti kifejezésbe. a)
4 − lg 𝑥 = 3 √lg 𝑥
𝑥>0
Feltétel:
és
lg 𝑥 > 0
→
𝑥>1
16 − 8 lg 𝑥 + 𝑙𝑔2 𝑥 = 9 lg 𝑥 𝑙𝑔2 𝑥 − 17 lg 𝑥 + 16 = 0
Legyen:
𝑎 = lg 𝑥
𝑎2 − 17𝑎 + 16 = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: 𝑎1 = 1 és 𝑎2 = 16. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: 𝑎1 = 1
→
𝑎2 = 16 →
lg 𝑥 = 1
→
𝑥 = 101 = 10
lg 𝑥 = 16
→
𝑥 = 1016 9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b) 𝑙𝑔2 𝑥 = lg 𝑥 2
Feltétel:
𝑥>0
𝑙𝑔2 𝑥 = 2 lg 𝑥
Legyen:
𝑎 = lg 𝑥
𝑎1 = 0
és
𝑎2 = 2𝑎 𝑎2 − 2𝑎 = 0 𝑎 ∙ (𝑎 − 2) = 0 Ebből két megoldás adódik:
𝑎−2=0
→
𝑎2 = 2
Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: 𝑎1 = 0
→
lg 𝑥 = 0
→
𝑥 = 100 = 1
𝑎2 = 2
→
lg 𝑥 = 2
→
𝑥 = 102 = 100
10. Old meg a következő egyenleteket! a) 𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓 𝒙 = 𝟕 b) 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 − 𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 = 𝟓 𝐥𝐨𝐠𝟖 𝒙 − 𝟏𝟑 c) 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 + 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟒 = 𝟓 Megoldás: Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy a különböző alapú logaritmusokat egy azonos alapú logaritmussá alakítsuk át.
a)
3 log 5 𝑥 + log 25 𝑥 = 7
𝑥>0
Feltétel:
log 𝑥
3 log 5 𝑥 + log 525 = 7 5
3 log 5 𝑥 +
log5 𝑥 2
=7
6 log 5 𝑥 + log 5 𝑥 = 14 7 log 5 𝑥 = 14 log 5 𝑥 = 2
definíció szerint
𝑥 = 52 = 25 10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b) log 2 𝑥 − 3 log 4 𝑥 = 5 log 8 𝑥 − 13 log 2 𝑥 − 3 ∙
log2 𝑥
log 2 𝑥 − 3 ∙
log2 𝑥
log2 4
2
=5∙
log2 𝑥
=5∙
log2 𝑥
log2 8
3
Feltétel:
𝑥>0
− 13 − 13
6 log 2 𝑥 − 9 log 2 𝑥 = 10 log 2 𝑥 − 78 78 = 13 log 2 𝑥 6 = log 2 𝑥
definíció szerint
𝑥 = 26 = 64
c)
2 log 4 𝑥 + 2 log 𝑥 4 = 5
Feltétel:
𝑥>0
Legyen:
𝑎 = log 4 𝑥
és
𝑥≠1
log 4
2 log 4 𝑥 + 2 ∙ log4 𝑥 = 5 4
1
2 log 4 𝑥 + 2 ∙ log
4𝑥
=5
2 ∙ (log 4 𝑥 )2 + 2 = 5 log 4 𝑥 2 ∙ (log 4 𝑥 )2 − 5 log 4 𝑥 + 2 = 0 2𝑎2 − 5𝑎 + 2 = 0 1
A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: 𝑎1 = 2 és 𝑎2 = 2. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: 𝑎1 = 2 1
𝑎2 = 2
→
log 4 𝑥 = 2
→
log 4 𝑥 7 2
1
→
𝑥 = 42 = 16
→
𝑥 = 42 = 2
1
11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 11. Old meg a következő egyenleteket! a) 𝑥 lg 𝑥−3 = 0,01 b) 𝑥 log2 𝑥 = 16 Megoldás: Mivel itt a logaritmus a hatvány kitevőjében szerepel, ezért be kell hoznunk egy újabb logaritmust, mert ebben az esetben a hatványkitevőt le tudjuk hozni szorzat alakba. a)
𝑥 lg 𝑥−3 = 0,01
Feltétel:
𝑥>0
Legyen:
𝑎 = lg 𝑥
lg 𝑥 lg 𝑥−3 = lg 0,01 (lg 𝑥 − 3) ∙ lg 𝑥 = −2 𝑙𝑔2 𝑥 − 3 lg 𝑥 + 2 = 0 𝑎2 − 3𝑎 + 2 = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: 𝑎1 = 2 és 𝑎1 = 1. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: 𝑎1 = 2
→
lg 𝑥 = 2
→
𝑥 = 102 = 100
𝑎2 = 1
→
lg 𝑥 = 1
→
𝑥 = 101 = 10
b) 𝑥 log2 𝑥 = 16
Feltétel:
𝑥>0
Legyen:
𝑎 = log 2 𝑥
log 2 𝑥 log2 𝑥 = log 2 16 log 2 𝑥 ∙ log 2 𝑥 = 4 (log 2 𝑥 )2 = 4 𝑎2 = 4 𝑎1 = 2
és
𝑎2 = −2
Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: 𝑎1 = 2
→
log 2 𝑥 = 2
→
𝑥 = 22 = 4
𝑎2 = −2
→
log 2 𝑥 = −2
→
𝑥 = 2−2 = 4
12
1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 12. Old meg a következő egyenlőtlenségeket! a) 𝐥𝐨𝐠 𝟏 (𝒙 + 𝟏) > 𝟒 𝟐
𝟏
b) 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟑 𝒙 + 𝟏) < 𝟏 𝟑
𝟓−𝒙
c) 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟑 𝒙+𝟏 ≤ 𝟎 d) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝒙−𝟏 (𝟒𝒙 + 𝟐) ≤ 𝟎 Megoldás: Egyenlőtlenséget hasonlóan oldunk meg, mint egyenletet, csak arra kell ügyelnünk, hogy a negatív számmal való szorzásnál (osztásnál), illetve az alap elhagyásakor, ha az egy 0 és 1 közé eső szám (a függvény szigorú csökkenése miatt), akkor a reláció iránya megfordul.
a)
log 1 (𝑥 + 1) > 4
1
log 1 (𝑥 + 1) > log 1 16 2
𝑥+1> 0
Feltétel:
2
→
𝑥 > −1
a függvény szigorú monotonitása miatt
2
1
𝑥 + 1 < 16 15
𝑥 < − 16 A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás:
1
b) log 5 (3 𝑥 + 1) < 1
1
Feltétel:
3
3
1
5
log 5 (3 𝑥 + 1) < log 5 3 3
1
𝑥+1>0
15
−1 < 𝑥 < − 16.
→
a függvény szigorú monotonitása miatt
3
5
𝑥+1<3 3 𝑥<2 A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás:
13
−3 < 𝑥 < 2.
𝑥 > −3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) c)
log 3
5−𝑥 3𝑥+1
Feltétel:
≤0
5−𝑥 3 𝑥+1
>0
Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és nevező is pozitív, vagy mindkettő negatív. I. Nevező és számláló is pozitív: 5−𝑥 >0
→
5>𝑥
3𝑥 + 1 > 0
és
1
𝑥 > −3
→ 1
A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: − 3 < 𝑥 < 5. II. Nevező és számláló is negatív:
5−𝑥 <0
→
5<𝑥
3𝑥 + 1 < 0
és
→
1
𝑥 < −3
A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: nincs megoldás.
A két ágból a végső feltételünk:
1
− 3 < 𝑥 < 5.
Az egyenlőtlenség megoldása a következő: 5−𝑥
log 3 3𝑥+1 ≤ 0 5−𝑥
log 3 3𝑥+1 ≤ log 3 1 5−𝑥 3𝑥+1
≤1
5−𝑥−(3𝑥+1) 3𝑥+1
4−4𝑥 3𝑥+1
≤0
≤0 14
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Egy tört értéke akkor negatív, ha a számláló pozitív és a nevező negatív, vagy fordítva.
I. A nevező pozitív és a számláló negatív (vagy 0):
4 − 4𝑥 ≤ 0
→
1≤𝑥
és
3𝑥 + 1 > 0
→
1
𝑥 > −3
A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: 1 ≤ 𝑥.
II. A nevező negatív és a számláló pozitív (vagy 0):
4 − 4𝑥 ≥ 0 →
1≥𝑥
és
3𝑥 + 1 < 0
→
1
A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: 𝑥 < − 3 1
𝑥 < −3
A megoldás a két ág együttese (uniója):
vagy
A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás: 1 ≤ 𝑥 < 5.
15
1 ≤ 𝑥.
1
𝑥 < −3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) d) log 2𝑥−1 (4𝑥 + 2) ≤ 0 1
Feltétel: 2𝑥 − 1 > 0
→
𝑥>2
2𝑥 − 1 ≠ 1
4𝑥 + 2 > 0
→
𝑥 > −2
→
𝑥≠1
𝑥 > 2 és
𝑥≠1
→
𝑥>1
1
Ezeket összevetve, a végső feltételünk:
1
Az egyenlőtlenség megoldása a következő: I. Ha az alap 1-nél nagyobb szám: 2𝑥 − 1 > 1 log 2𝑥−1 (4𝑥 + 2) ≤ log 2𝑥−1 1
a függvény szigorú monotonitása miatt
4𝑥 + 2 ≤ 1 1
𝑥 ≤ −4 Az eredménynek és a feltételnek nincs közös része, így ezen az ágon nincs megoldás.
II. Ha az alap 0 és 1 közé esik: 0 < 2𝑥 − 1 < 1
log 2𝑥−1 (4𝑥 + 2) ≤ log 2𝑥−1 1
1
→
2
<𝑥<1
a függvényszigorú monotonitása miatt
4𝑥 + 2 ≥ 1 𝑥≥−
1 4
1
Az ág megoldása a kapott eredmény és a kikötés közös része, vagyis: 2 < 𝑥 < 1. 1
Az első ágon nem kaptunk megoldást, így a két ág megoldása: 2 < 𝑥 < 1.
1
Ezt összevetve a feltételekkel, az egyenlőtlenség végső megoldása: 2 < 𝑥 < 1. 16
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 13. Old meg a következő egyenletrendszereket! a) 𝟓 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 − 𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒚 = 𝟗 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒚 = 𝟖 b) 𝐥𝐠 𝒙 + 𝐥𝐠 𝒚 = 𝟐 𝐥𝐠 𝒚 − 𝐥𝐠 𝒙 = 𝐥𝐠 𝟐𝟓 c) 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝟒 ∙ 𝟖𝒚 = 𝟎 Megoldás: A logaritmikus egyenletrendszereknél általában két megoldás közül választhatunk. Az egyik, ha mindkét egyenletben ugyanazok a logaritmusok szerepelnek, akkor behelyettesítéssel oldhatjuk meg az egyenletrendszert. Amennyiben különbözőek a logaritmusok, vagy az egyik egyenlet logaritmikus a másik exponenciális, akkor célszerű a két egyenletet külön – külön tekinteni és egyenként egyszerűbb alakra hoznunk azokat. a)
5 log 2 𝑥 − 3 log 3 𝑦 = 9 2 log 2 𝑥 + log 3 𝑦 = 8 Legyen: 𝑎 = log 2 𝑥
Feltétel:
és
𝑥>0
𝑏 = log 3 𝑦
Ekkor behelyettesítés után a következő egyenletrendszer adódik: 5𝑎 − 3𝑏 = 9 2𝑎 + 𝑏 = 8 A második egyenletből azt kapjuk, hogy 𝑏 = 8 − 2𝑎. Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: 5𝑎 − 3 ∙ (8 − 2𝑎) = 9 5𝑎 − 24 + 6𝑎 = 9 𝑎=3 Ebből visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy 𝑏 = 2. Az újabb visszahelyettesítés után a következők adódnak: 𝑎=3
→
log 2 𝑥 = 3
→
𝑥 = 23 = 8
𝑏=2
→
log 3 𝑦 = 2
→
𝑦 = 32 = 9
Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (8; 9). 17
és
𝑦>0
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b) lg 𝑥 + lg 𝑦 = 2 lg 𝑦 − lg 𝑥 = lg 25
Feltétel:
𝑥>0
és
𝑦>0
Tekintsük először az első egyenletet: lg 𝑥 + lg 𝑦 = 2 lg(𝑥𝑦) = 2
definíció szerint
𝑥𝑦 = 102 = 100
Tekintsük ezután a második egyenletet: lg 𝑦 − lg 𝑥 = lg 25 𝑦
lg = lg 25
a függvény szigorú monotonitása miatt
𝑥
𝑦 𝑥
= 25
A második egyenletből azt kapjuk, hogy 𝑦 = 25𝑥. Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: 25𝑥 2 = 100 𝑥2 = 4 𝑥1 = 2
és
𝑥2 = −2
A feltételnek csak az 𝑥1 felel meg. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy 𝑦 = 50. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (2; 50).
18
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) c)
log 5 𝑥 + log 5 𝑦 = 1 2𝑥 − 4 ∙ 8𝑦 = 0
Feltétel:
𝑥>0
és
𝑦>0
Tekintsük először az első egyenletet: log 5 𝑥 + log 5 𝑦 = 1 log 5 (𝑥𝑦) = log 5 5
a függvény szigorú monotonitása miatt
𝑥𝑦 = 5
Tekintsük ezután a második egyenletet: 2𝑥 − 4 ∙ 8𝑦 = 0 2𝑥 − 22 ∙ 23𝑦 = 0 2𝑥 = 22+3𝑦
a függvény szigorú monotonitása miatt
𝑥 = 2 + 3𝑦 Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: (2 + 3𝑦) ∙ 𝑦 = 5 2𝑦 + 3𝑦 2 = 5 3𝑦 2 + 2𝑦 − 5 = 0 5
A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: 𝑦1 = 1 és 𝑦2 = − 3. A feltételnek csak az 𝑦1 felel meg. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy 𝑥 = 5. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (5; 1).
19
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 14. Mennyi a következő kifejezés pontos értéke? 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟑 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟒 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟓 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟔 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟔 𝟕 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟕 𝟖 Megoldás: A megoldáshoz a következő összefüggést kell alkalmaznunk: log 𝑐
log 𝑎 𝑏 ∙ log 𝑏 𝑐 = log 𝑎 𝑏 ∙ log 𝑎 𝑏 = log 𝑎 𝑐 𝑎
Ezek alapján a megoldás: log 2 8 = 3.
15. Fejezd ki 𝐥𝐠 𝟒𝟎 - et 𝐥𝐠 𝟐𝟎 segítségével! Megoldás: Legyen 𝑎 = lg 20. Alakítsuk át az lg 20 kifejezést a következő módon: 𝑎 = lg 20 = lg (22 ∙ 5) = 2 lg 2 + lg 5 = 2 lg 2 + lg
10 2
= 2 lg 2 + lg 10 − lg 2 = lg 2 + 1
Ezt követően alakítsuk át az lg 40 kifejezést is: lg 40 = lg (23 ∙ 5) = 3 lg 2 + lg 5 = 3 lg 2 + lg
10 2
Az első egyenletből azt kapjuk, hogy lg 2 = 𝑎 − 1. Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe: lg 40 = 2 ∙ (𝑎 − 1) + 1 = 2𝑎 − 2 + 1 = 2𝑎 − 1
Ezek alapján a megoldás: lg 40 = 2 lg 20 − 1.
20
= 3 lg 2 + lg 10 − lg 2 = 2 lg 2 + 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 16. Fejezd ki 𝐥𝐠 𝟏𝟓 - öt az 𝐥𝐠 𝟕𝟓 és 𝐥𝐠 𝟒𝟓 segítségével! Megoldás: Legyen 𝑎 = lg 75 és 𝑏 = lg 45. Alakítsuk át az lg 75 kifejezést a következő módon: 𝑎 = lg 75 = lg (52 ∙ 3) = lg 52 + lg 3 = 2 lg 5 + lg 3 Ezt követően alakítsuk át az lg 45 kifejezést is: 𝑏 = lg 45 = lg (32 ∙ 5) = lg 32 + lg 5 = 2 lg 3 + lg 5
Az első egyenlet kétszereséből kivonva a második egyenletet a következőt kapjuk: 2𝑎 − 𝑏 = 3 lg 5 2𝑎−𝑏 3
= lg 5
Ezt visszahelyettesítjük az első egyenletbe:
𝑎 =2∙ 𝑎=
2𝑎−𝑏 3
4𝑎−2𝑏
lg 3 =
3
+ lg 3
+ lg 3
2𝑏−𝑎 3
Ezek alapján a megoldás:
lg 15 = lg (5 ∙ 3) = lg 5 + lg 3 =
2𝑎−𝑏 3
+
2𝑏−𝑎 3
=
21
𝑎+𝑏 3
=
lg 75+lg 45 3
