I. INLEIDING Het Chinese telraam is een rekenmachine in de eenvoudigste vorm, maar hij voldoet evenzogoed als een rekenmachine; hij rekent voor de mensen. Hoewel hij niet een zo'n uitgesproken "dienaar" is als de moderne machine, is hij in elk geval veel goedkoper. Iedere Chinese zaak en bijna elke particulier in China, of hij arm is of rijk, jong of oud, heeft er een. Hij verricht de gewone dingen tot ieders tevredenheid. Het enige nadeel om een telraam te gebruiken is, dat men zijn eigen rekenkunst zou kunnen vergeten. Het Chinese telraam, telt op, trekt af, vermenigvuldigt en deelt op een eenvoudige en vlugge, maar toch precieze manier. We hoeven alleen maar de kralen te bewegen. De kennis van het telraam kan in korte tijd eigen gemaakt worden, maar het gebruik ervan is een kunst. Men moet veel oefenen; zekerheid krijgt men door voortdurend gebruik, maar niet door leren. Iemand die intelligent is, heeft de mogelijkheid zich meer te bekwamen zodra de grondslagen zijn geleerd. Het Chinese telraam Er zijn veel soorten telramen, dit is de Chinese:
Afb. 1
Hij bestaat uit een houten raam, houten kralen en rijen. Het raam is door een dwarshout in twee delen gedeeld. Het bovenste en het onderste. Het aantal rijen is naarmate het gebruik te onderscheiden, het gewone telraam heeft 9, 11 of 13 rijen. Telkens 2 kralen zijn boven de balk met telkens 5 daaronder. Die boven de balken zijn worden "bovenkralen" genoemd en die eronder zijn "onderkralen". De hoogste kraal wordt "bovenste kraal" genoemd. Waarde van de kralen Iedere bovenkraal is gelijk aan 5 onderkralen van dezelfde rij. Iedere onderkraal is gelijk aan 10 van de aansluitende rechte rij. De volgende afbeeldingen stellen derhalve voor: 7, 9, 23, 356, 17.216 en 6.208.
Afb. 2
Afb. 3
Afb. 4
Afb. 5
1
Afb. 6
Afb. 7
Een nul wordt door een opening vastgesteld. Er kunnen moeilijkheden komen, als op deze geen cijfers volgen. Dus kan afbeelding 2 of 7, 70, 700, 7.000, 70.000 of 0.7, 0.007 enz. zijn. Er moet op gelet worden welke plaats van de eenheden door de gebruiker wordt vastgesteld. Er is een regel, die vaststelt, dat gedurende het rekenen het onderste van de onderkralen, zowel als de bovenste van de bovenkralen, zo weinig mogelijk gebruikt moeten worden, omdat het cijfer 5 door een bovenkraal gesteld wordt en het cijfer 10 door de onderkraal van de volgende rij. Gebruik van de vingers Er worden maar 3 vingers voor het rekenen met het telraam gebruikt. De duim beweegt de onderkraal naar boven, de wijsvinger de bovenkraal naar beneden en de middelvinger de bovenkraal zowel naar boven als naar onderen. De overblijvende vingers moeten of gekruist zijn of naar boven wijzen, om onnodig aanraken van de kralen te vermijden. Dat is van het grootste belang om nauwkeurigheid te bereiken. Een linkshandige kan zijn linkerhand gebruiken. Het is onnodig te zeggen, dat de richting van het bewegen (naar rechts of links) wordt omgekeerd en dat de waarde van de kralen ook omgekeerd moet worden, in zoverre dit de rijen betreft. II OPTELLEN Iedereen kan tot een bepaalde grootte met het telraam optellen, zonder dat het hem geleerd wordt. Nemen wij bijvoorbeeld het volgende: Wat zou u doen met "5 + 3"? Afbeeldingen 8 en 9 laten de juiste gang van zaken zien, welke geen nadere verklaring nodig heeft.
Afb. 8
Afb. 9
Te gebruiken regels Er zijn maar enkele regels nodig, b.v. "7 + 8". U beweegt een bovenkraal naar beneden en 2 onderkralen naar boven om 7 vast te stellen. Omdat er geen weg is, 8 tot deze rij te tellen, is het wel duidelijk dat u een onderkraal van de er op volgende rij naar boven moet bewegen en dan 2 kralen op de rij, waar 7 staat af te trekken. Overeenkomstig afbeelding 10 (cijfer 7) en afbeelding 11 (cijfer 15) zijn maar twee bewegingen te doen; het verschuiven van een onderkraal naar boven op de volgende rij, welke in dit geval 10 aangeeft en het verschuiven van 2 onderkralen naar beneden in de
2
waarderij, die 7 aangeeft. Het gebruik is dat eerst 2 kralen op de waarderij naar onderen geschoven worden en dan de ene kraal op de volgende rij naar boven. De regel die dus zoals in geval 8 te doen is: "8, 2 wegdoen, 1 vooruitgaan".
Afb. 10
Afb. 11
Op dezelfde wijze is "13 + 9" in afbeelding 12 en 13 gemaakt en de regel is dan: "9, 1 wegdoen, 1 vooruitgaan".
Afb. 12
Afb. 13
Regels voor het optellen Nu leert u de regels van het rekenen uit het hoofd: 1. 1 (als er meer dan 4 zijn) 5 naar beneden schuiven, 4 verwijderen. 2. 2 (als er meer dan 2 maar minder dan 5 zijn) 5 naar beneden schuiven, 3 verwijderen 3. 3 (als er meer dan 2 zijn) 5 naar beneden schuiven, 2 verwijderen 4. 4 (als er meer dan 1 is) 5 naar beneden schuiven, 1 verwijderen 5. 6 (als er meer dan 5 maar minder dan 9 zijn) 1 er bij doen, 5 wegschuiven en 1 er bij voegen 6. 7 (als er 5, 6 of 7 zijn) 2 er bij doen, 5 wegschuiven en 1 er bij doen 7. 8 (als 5 of 6 er zijn) 3 erbij, 5 eraf doen, 1 vooruitgaan 8. 9 (als er 5 zijn) 4 erbij doen, 5 eraf, 1 vooruitschuiven 9. 1 (als er 9 zijn) 9 eraf, 1 vooruit dat wil zeggen 1 op de daaropvolgende linkerkant rekenen 10. 2 (als er 8 of 9 zijn) 8 wegschuiven, 1 vooruitschuiven 11. 3 (als er meer dan 7 zijn) 7 weg, 1 vooruit 12. 4 (als er meer dan 6 zijn) 6 wegdoen, 1 vooruit 13. 5 (als er meer dan 5 zijn) 5 wegdoen, 1 vooruit 14. 6 (als er 4 of 9 zijn) 4 wegdoen, 1 vooruit 15. 7 (als er 3, 8 of 9 zijn) 3 wegdoen, 1 vooruit
3
16. 8 (als er 2, 3, 4, 7, 8 of 9 zijn) 2 wegdoen, 1 vooruit 17. 9 (als er meer dan 1 zijn) 1 wegdoen, 1 vooruit Al deze regels worden vanzelf duidelijk. Inderdaad kan iedereen net zulke regels uitdenken, als men de wiskunde erbij haalt. Regels in daad omgezet Nu moet u ons laten zien hoe een getal bestaande uit meerdere cijfers of het telraam met gebruik van de voorgaande regels ontstaat. Zoals 50.007 + 5.005 + 804 + 100.005 = 155.821. Afbeelding 14 toont het resultaat van de eerste berekening en afbeelding 15 dat van de laatste. Probeert u het zelf en zie of uw resultaat met het voorgaande overeenkomt. Daar waar geen regel nodig is, wordt niets vermeld. De te gebruiken regels zijn: nr. 13, nr. 4, nr. 13.
Afb. 14
Afb. 15
Probeert u nu meerdere opgaven en controleert u deze dan met uw rekenvoorbeelden. Ill AFTREKKEN U kunt het telraam tot een bepaalde graad voor dit doel gebruiken, precies zoals u het voor de optellingen doet. Neemt u b.v. "9 - 4". Afbeelding 16 en 17 maken het u duidelijk, dat niemand ook zelfs een moment van nadenken nodig heeft om het resultaat te bereiken. Als 4 weggeschoven wordt is het resultaat bereikt.
Afb. 16
Afb. 17
Het volgende is een geval, dat toepassing van een bepaalde regel noodzakelijk maakt: 76 - 4 =?
4
Als regel "4,1 optellen, 5 wegdoen" bij het optrektal in afbeelding 18 gebruikt wordt, bereikt men resultaat 72, zoals het in afbeelding 19 is aangetoond.
Afb. 18
Afb. 19
De regels Degenen die zich met de optellingen vertrouwd hebben gemaakt, kunnen gemakkelijk het aftrekken zelf samenstellen. Zet u de regels op papier en onderzoekt u deze met de volgende, die u tegelijkertijd uit het hoofd leert: 1. 1 (als er 5 zijn) 4 optellen, 5 wegdoen 2. 2 (als er 5 of 6 zijn) 3 optellen, 5 wegdoen 3. 3 (als er 5, 6 of 7 zijn) 2 optellen, 5 wegdoen 4. 4 (als er 5, 6, 7 of 8 zijn) 1 optellen, 5 wegdoen 5. 5 (waar nul is) 10 uitlenen, dat wil zeggen 1 kraal op de volgende linker rij wegdoen, 9 optellen 6. 2 (als er nul of 1 is) 10 uitlenen, 8 optellen 7. 3 (als er nul, 1 of 2 zijn) 10 uitlenen, 7 optellen 8. 4 (als er nul, 1, 2 of 3 zijn) 10 uitlenen, 6 optellen 9. 5 (als er nul, 1, 2, 3 of 4 zijn) 10 uitlenen, 5 optellen 10. 6 (als er nul, 1, 2, 3, 4 of 5 zijn) 10 uitlenen, 4 optellen 11. 7 (als er nul, 1, 2, 3, 4, 5 of 6 zijn) 10 uitlenen, 3 optellen 12. (als er nul is of een ander getal onder 8) 10 uitlenen, 2 optellen 13. (als er nul is of een ander getal onder 9) 10 uitlenen, 1 optellen Het is onnodig erbij te vermelden, dat de optelregels ook voor de aftrekkingen te gebruiken zijn, daar waar het optellen in bovengenoemde regels gebruikt moeten worden. Voorbeelden: Hier zijn nog enige voorbeelden: Trekt u 9, 4, 7 en 3 af van 215. U stelt het getal 215 op het telraam. Toepassen regels 5 en 4, waarna u het resultaat in afbeelding 20 ziet, dan regel 11 (omdat nul in de tientallen is, verwijdert u een van de honderdtallen en telt u 9 op in de tientallen) en regel 3. Dat resultaat is in afbeelding 21 te zien.
5
Afb. 20
Afb. 21
Nu aftrekken 340, 14.918, 9.008 en 2.007 van 28.547. Op het telraam opzetten 28.547. Toepassen regel 3 en 4 wegdoen. Dan schuift u weg 10.000, toepassen de regels 4, 13, 5, 6 (de rest is in afbeelding 22 aangetoond), 13 en 11. Het resultaat is te zien in afbeelding 23.
Afb. 22
Afb. 23
Als wij met de hulp van het telraam kunnen optellen en aftrekken, is het mogelijk het resultaat van een voorgegeven voorbeeld te controleren; als de optelling in plaats van het aftrekken gebruikt wordt en omgekeerd. IV VERMENIGVULDIGEN Dezelfde vermenigvuldigingstabel wordt gebruikt als in de wiskunde. 2 x 8 = 16 of 3 x 8 = 24, is in beide gevallen hetzelfde. Het is alleen de vraag hoe het werkt bij het telraam. De regel geeft aan, dat of de vermenigvuldiger of het vermenigvuldigtal In beweging moet zijn en zodra deze in beweging zijn, wordt de rij eenheden tientallenrij. Dus wordt bij de opgave "6 x 2" 6 eerst gezet. In uw gedachten weet u, dat 2 x 6, 12 is en u verwijdert de bovenste kraal (5) en u neemt 2 kralen op de daaropvolgende rij, zodat de eenhedenrij, zoals die 't eerst was, dus die waar 6 gesteld was, nu tientallenrij wordt.
Afb. 24
Afb. 25
Enige weinige voorbeelden zullen voor het eenvoudige vermenigvuldigen voldoende zijn. Vermenigvuldiger met één cijfer Laten wij de uitkomst van het volgende vinden: 4.638 x 7 =? De volgende 4 afbeeldingen laten het gebeuren zien. Eerst stelt u op de linkerzijde van het telraam 4.638 en dan op de rechterzijde 7. Begint u met het laatste cijfer van het vermenigvuldigtal 7 keer te nemen, verandert u het in
6
5 en telt u 6 op de volgende, dat wil zeggen aansluitende rechter rij. Nu geeft het telraam aan volgens afbeelding 26.
Afb. 26
Afb. 27
Aansluitend neemt u het voorlaatste cijfer van het vermenigvuldigtal 3 7 x. Verwijdert u 1, telt u 1 op de volgende rij. Controleert u of uw resultaat met dat van afbeelding 27 overeenstemt. Dan neemt u op 3 na laatste cijfer van vermenigvuldigtal 6, 7 x. Optellen, 3 kralen van onderaf wegschuiven, 1 kraal van bovenaf en u telt dan 2 kralen op de volgende rij. Vergelijken met afbeelding 28.
Afb. 28
Afb. 29
Tenslotte vermenigvuldigt u het eerste cijfer 4 met 7. Het is u bekend dat het product 28 is. Verwijdert u 2 kralen van onderen en telt u 8 op de volgende rij. Omdat daar "4" zijn, past u toe regel "8", 2 wegdoen, 1 naar voren. Vergelijkt u uw resultaat met afbeelding 29. Het behoeft niet te worden gezegd, dat men niet kan vermenigvuldigen als men niet degelijk het optellen heeft beoefend. Vermenigvuldiger met meer dan één cijfer Als er meer dan één cijfer in de vermenigvuldiger is, dan is de regel, dat men moet beginnen met het cijfer dat het dichtst bij de uiterste linkerkant is, namelijk de tweede op de rechterkant, waarna wordt verdergegaan met het derde, vierde enzovoort. Dus wordt in de opgave "963 x 148" eerst het cijfer 3x4 genomen, dan keer 8 en uiteindelijk een keer. Het resultaat vindt u in afbeelding 30. 444 is het resultaat van de eerste vermenigvuldighandeling. Let u erop, dat het cijfer 3 bij het vermenigvuldigen van "3 x 4" onaangeraakt moet blijven. De eenheden van de uitkomst worden op de 2e rij van de vermenigvuldigtallen weggedaan en er wordt ingesteld 312. Dan vermenigvuldigt u 3 met 8. De eenheden van de uitkomst worden op de 3e rij van de vermenigvuldigtallen weggedaan en er wordt 3.144 ingesteld. Tenslotte wordt 3 met 1
7
vermenigvuldigd. Doet u 3 weg en telt u 3 op, op de volgende rij, wat 444 aangeeft, zoals in afbeelding 30 wordt aangegeven. Dan wordt 6 nogmaals met 4, 8 en 1 vermenigvuldigd. Het resultaat is te zien in afbeelding 31.
Afb. 30
Afb. 31
Afb. 32
Op dezelfde wijze vermenigvuldigen wij 9 met deze 3 cijfers en krijgen dan het resultaat 142.524, zoals uit afbeelding 32 is te zien. Het spreekt vanzelf, dat vele rekenregels moeten worden gebruikt om te kunnen vermenigvuldigen. Om u duidelijk te maken welk een groot aantal cijfers bij het vermenigvuldigen gebruikt worden, zullen enige volgende voorbeelden met een minimum aan uiteenzetting noodzakelijk zijn. Welke handelingen moeten worden genomen om het resultaat 4.565.625 van de opgave 2.435 x 1.875 te bereiken? Afbeelding 33 toont aan het resultaat van het eerste bewegen van de kralen (5x8,7,5,1 =1.875). Afbeelding 34 is het resultaat van het tweede bewegen (3 x 8, 7, 5, 1). Afbeelding 35 dat van de derde handeling (4 x 8, 7, 5, 1) en afbeelding 36 dat van de laatste handeling (2 x 8, 7, 5, 1).
Afb. 33
Afb. 34
Afb. 35
Afb. 36
Vergelijkt u afbeelding 37-41 met de handelingen, waardoor het product 413.973.198 van de opgave "26.739 x 15.482" wordt bereikt.
8
Afb. 37
Afb. 38
Afb. 39
Afb. 40
Afb. 41
Een ander voorbeeld is: 29.034 x 6.009 = 174.465.306. De afbeeldingen 42-45 tonen de handelingen, waardoor het resultaat bereikt wordt.
Afb. 42
Afb. 43
Afb. 44
Afb. 45
Het is raadzaam voorzichtig te zijn bij de rijen, waarop het rekenen wordt doorgevoerd! De eenheden- en tientallenrijen zijn uit elkaar te houden. Moeilijkheden kunnen optreden bij het vermenigvuldigen van getallen als
9
998 x 89. Wij stellen vast, dat er niet genoeg kralen voor deze handeling voorhanden zijn. In dergelijke gevallen kan de bovenste kraal als 10 in plaats van 5 worden gebracht en de onderste kraal wordt dan zo vaak als het nodig is gebruikt. V DELEN Terwijl maar weinig regels voor het vermenigvuldigen nodig zijn, moet een aantal regels, die ook door de leerlingen zelf kunnen worden samengesteld, bij het delen toegepast worden. Waarde van de rijen Bij het delen wordt de waarde van een vaststaande rij in tegenstelling met het vermenigvuldigen veranderd. Eén ervan wordt in tientallen veranderd. Als bijvoorbeeld de regel "1 door 2 = 0.5" (eenvoudigheidshalve kan 5 worden gezegd) gebruikt wordt, wordt 0.5 opgezet, als 4 precies op de rij waar het getal 1 is opgeteld (u haalt dan een kraal van boven naar beneden en u zet er één van onderen weg). Dit is dus de omgekeerde manier als van vermenigvuldigen, waar eenheden, tientallen worden. Het is duidelijker als iemand al optellen, aftrekken en vermenigvuldigen vloeiend kan, voordat men het delen gaat proberen. Ais een getal wordt gedeeld door 1, behoeft men geen regels te kennen, maar wanneer toch een telraam wordt gebruikt moeten de cijfers van hun oorspronkelijke rij op de volgende linkerrij worden gezet. De reden hiervan wordt in het 2e hoofdstuk genoemd. Als bijvoorbeeld 234 door 1 wordt gedeeld, meet 2 eerst verwijderd worden, terwijl 2 kralen op de volgende rij overgebracht worden en precies zo 3 en 4. Als resultaat zal 3 op de rij te vinden zijn, waar oorspronkelijk 2 was, en 4 op de rij waar 3 was. Deze verandering van de rijen is op grond van de feiten verplicht, omdat alleen dan andere cijfers voor de volgende rekenhandeling onaangetast blijven. (Dit te vergelijken met het vermenigvuldigen.) De regels Hier volgen de regels: Gedeeld door 2: 1. 2. 3. 4. 5.
1 door 2 = 5 (dit wordt hiervoor uitgelegd. De bewegingen voor 1, 10 of 1.000 gedeeld door 20 of 0.2 of 2.000 zijn hetzelfde). Waar 2 of 3 zijn, 2 wegdoen, 1 naar voren brengen. Waar 4 of 5 zijn, 4 wegdoen, 2 naar voren brengen. Waar 6 of 7 zijn, 6 wegdoen, 3 naar voren brengen. Waar 8 of 9 zijn, 8 wegdoen, 4 naar voren brengen.
Gedeeld door 3: 1. 1 gedeeld door 3 is 3 (dat wil zeggen als 2 kralen bij één erbij geteld worden) plus 1, de rest (als 1 kraal op de naastliggende rechterrij overgedragen wordt. Let u erop, dat deze of een andere rest door 3 of een ander getal weer gedeeld moet worden).
10
2. 2 door 3 is 6 plus 2 (zie voorgaande regel). 3. Waar 3, 4 of 5 zijn, 3 wegdoen, 1 naar voren brengen (als 4 overblijven, nadat er 3 weggedaan zijn, wordt een rest van 1 behouden. Deelt u door 3, als het nodig is. Past u dezelfde regel bij andere resten toe). 4. Waar 6, 7 of 8 zijn, 6 wegdoen, 2 naar voren brengen. 5. Waar 9 zijn, 9 wegdoen, 3 naar voren brengen. Gedeeld door 4: 1. 2. 3. 4. 5.
1 door 4 is 2 plus 2. 2 door 4 is 5. 3 door 4 is 7 plus 2. Waar 4, 5, 6 of 7 zijn, 4 wegdoen, 1 naar voren brengen. Waar 8 of 9 zijn, 8 wegdoen, 1 naar voren brengen.
Gedeeld door 5: 1. 2. 3. 4. 5.
1 door 5 is 2. 2 door 5 is 4. 3 door 5 is 6. 4 door 5 is 8. Waar 5, 6, 7, 8 of 9 zijn, 5 wegdoen, 1 naar voren brengen.
Gedeeld door 6: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
1 door 6 is 1 (er is geen bewegen van de kralen nodig) plus 4. 2 door 6 is 3 plus 2. 3 door 6 is 5. 4 door 6 is 6 plus 4. 5 door 6 is 8 plus 2. Waar 6, 7, 8 of 9 zijn, 6 wegdoen, 1 naar voren brengen.
Gedeeld door 7: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
1 door 7 is 1 plus 3. 2 door 7 is 2 plus 6. 3 door 7 is 4 plus 2. 4 door 7 is 5 plus 5. 5 door 7 is 7 plus 1. 6 door 7 is 8 plus 4. Waar 7, 8 of 9 zijn, 7 wegdoen, 1 naar voren brengen.
Gedeeld door 8: 1. 2. 3. 4. 5.
1 door 8 is 1 plus 2. 2 door 8 is 1 plus 4. 3 door 8 is 1 plus 6. 4 door 8 is 1 plus 5. 5 door 8 is 6 plus 2.
11
6. 7. 8.
6 door 8 is 7 plus 4. 7 door 8 is 8 plus 6. Waar 8 of 9 zijn, 8 wegdoen, 1 naar voren brengen.
Gedeeld door 9: 1. 1 door 9 is 1 plus 1. 2. 2 door 9 is 2 plus 2 enzovoort. Deler met één cijfer Nu laten wij u vaststellen hoe u met deze regels moet werken. De volgende afbeeldingen 46 en 47 stellen het getal 123456789 voor, wat door 2 gedeeld moet worden, en hier het resultaat.
Afb. 46
Afb. 47
De regels die gebruikt worden, zijn 1, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 4, 4, 1, 5, 5, 1. Er moet op resten worden gelet. Bekijkt u het voorgaande met uw telraam. Gebruikt u uw rekenkennis en doet u zoveel oefeningen als maar mogelijk is. Als hulp zullen de volgende oefeningen nuttig zijn. In afbeeldingen 48, 49 en 50 wordt de opgave "91 door 7 = 13" gesteld. Eerst wordt het getal 91 op het telraam gezet. De toegepaste regels zijn: 7 (zie afb. 48), 2 (zie afb. 49) en 7 (zie afb. 50).
Afb. 48
Afb. 49
Afb. 50
Afbeelding 51, 52 en 53 tonen een volgende opgave: 1.056 door 8 = 132. De toegepaste regels zijn: 1 (zie afb. 51), 2, 8 (zie afb. 52) en 1, 8 (zie afb. 53).
Afb. 51
Afb. 52
12
Afb. 53
Deler groter dan 10 Als de deler hoger is dan 10, worden zowel het vermenigvuldigen als het aftrekken daadwerkelijk gebruikt. Gedurende het delen behandelen wij eerst de tientallen, als de deler een 2-cijferig nummer is en de honderdtallen als er een deler is van 3 cijfers. Neemt u het hierna volgende voorbeeld: Verdeelt u 245 gulden evenredig tussen 25 mensen. U stelt ƒ 245,- op het telraam af. U zult direct kunnen zien, dat 245 minder is dan 25 x 10. Als u de regel "2 wegdoen, 1 naar voren" toepast, dan wil dat zeggen: 20 mensen krijgen elk ƒ 10,-. De rest ƒ 45,- is niet voldoende om aan iedere andere 5 mensen ƒ10, te geven. Om dit probleem op te lossen, is een andere regel nodig. Die is als volgt: "als u vaststelt, dat 2 niet genoeg voor het delen is", verandert u 2 in 9 plus 2 (dat wil zeggen u geeft ieder ƒ 9,- met een rest van ƒ 2,- in plaats van ƒ10,- voor ieder van de 20 mensen. Nu probeert u of de rest groot genoeg is om elk van de andere 5 mensen ƒ 9,- te geven. Nu is er ƒ 65,- over. Nu trekt u af ƒ 45,-, wat de uitkomst is van ƒ 9,- x 5, zodat ieder van de 5 mensen ook ƒ 9,- krijgt. Er blijft een rest over van ƒ 20,-, zoals uit afbeelding 54 te zien is. Om nu deze rest van ƒ 20,- onder de 25 mensen te delen, moet de zojuist toegepaste regel herhaald worden, als uit 2 - 9 + 2 gemaakt wordt, dat wil zeggen u geeft elk van de 20 mensen ƒ 0,90 met een rest van ƒ 2,-. Daarna kunt u vaststellen, dat er niet genoeg is om elk van de 5 mensen ook ƒ 0,90 te geven. U hebt nodig ƒ 4,50 om die onder de 5 mensen te verdelen, maar u hebt slechts een rest van ƒ 2,-. Voor verdere hulp hebt u een volgende regel nodig. Als men constateert, dat de rest niet te delen is, kunt u 1 + 2 aftrekken, dat wil zeggen u neemt ƒ 0,10 van elk van de 20 mensen (nu heeft elk ƒ 0,80, dus trekt u 1 af) met de rest van ƒ 2,- (dus telt u 2).
Afb. 54
Als u nu aanneemt, dat elk van de 5 overige mensen ook ƒ 0,80 krijgt, hebt u ƒ 4,- nodig, die onder hen gedeeld wordt. Nu zult u kunnen vaststellen, dat u door verder af te trekken precies ƒ 4,- voor de rest overhoudt. Het quotiënt is ƒ 9,80 (vergelijken met afbeelding 55). Herhaalt u het voorgaande tot u er goed vertrouwd mee bent. Zulk een aftrekking kan nog weer worden herhaald. Als bijvoorbeeld een getal wordt gedeeld door 2, trekt u 2 plus 4, of 3 plus 6 enzovoort af. Deze regel heeft ook betrekking op andere cijfers. Als de deler 8 is, trekt u af 1 plus 8, als de deler 9 is, trekt u 1 plus 9 af.
13
Op deze manier kan tot duizend cijfers verhoogd worden, terwijl toch de methode gelijk blijft. Regels voor het delen als de deler meer dan 10 is Als u het voorgaand voorbeeld goed begrepen heeft, zal het voor u gemakkelijk zijn de andere regels, waar de deler meer dan 10 bedraagt, te begrijpen, of u kunt zelf regels opstellen. Gedeeld door 2 (x...): vaststellend, dat 2 niet genoeg is voor de deling, verandert u 2 in 9 plus 2. Opnieuw vaststellend, dat de rest niet voor de deling voldoende is, aftrekken 1 van 9 plus 2. Gedeeld door 3 (x...): vaststellend, dat 3 niet genoeg is voor de deling, verandert u 3 in 9 plus 3. Opnieuw vaststellend, dat de rest niet voor de deling voldoende is, aftrekken 1 plus 3. Gedeeld door 4 Gedeeld door 7 wordt er uit gelaten. Gedeeld door 8 (x...): vaststellend, dat 8 niet genoeg is voor de deling, verandert u 8 in 9 plus 8. Opnieuw vaststellend, dat de rest niet voor de deling voldoende is, trekt u af 1 plus 8. Gedeeld door 9 (x...): vaststellend, dat 9 niet genoeg is voor de deling, houdt u het getal plus 9. Opnieuw vaststellend, dat de rest niet voldoende is voor de doling, trekt u af 1 plus 9. Nog een voorbeeld Probeert u nu het volgende: ƒ 9.147,60 : 2.376 = ? U zet 9.1476 op het telraam (afbeelding 56). U begint met het cijfer 9. De 6 wegdoen en de 3 naar voren. (1. Het cijfer van het quotiënt). Nu trekt u het product af van 3 x 376 (1128) van de rest 31476. Eerst aftrekken het product van 3 x 3 (9) van de rest als volgt:
Afb. 55
3.147,60 900,00 2.247,60
Afb. 56
(Rest)
Dan aftrekken het product van 3x7 (21) van bovengenoemde rest: 2.247,60 210,00 2.037,60 (Rest)
14
Tenslotte trekt u het product van 3x6 (18) van de rest af: 2.037,60 18,00 2.019,60 (Rest) Vergelijken met afbeelding 57, waar 3 het quotiënt is.
Afb. 57
Dan deelt u de rest 20196 door 376. Eerst verandert u 2 in 9 plus 2. De rest van 2196 is niet voldoende voor de deling. Nu aftrekken 1 van 9 plus 2. Nu hebben wij het tweede cijfer van het quotiënt 8 en een rest van 4196. Trekt u de uitkomst van 8x376 (3008) van de rest af. Eerst aftrekken de uitkomst van 8x3 (24) als volgt: 419,60 240,00 179,60 (Rest) Dan aftrekken de uitkomst 8x7 (56) van de rest 179,60 56,00 123,60 (Rest) Tenslotte wordt de uitkomst van 8x6 (48) van de rest afgetrokken: 123,60 4,80 118,80 (Rest) Vergelijken met afbeelding 58, waarin 38 het quotiënt is.
Afb. 58
Tenslotte deelt u de rest 1188 door 376. Verander 1 in 5 (het laatste cijfer van het quotiënt) trekt u de uitkomst van 5 x 376 (1880) van de rest af. Eerst het product van 5x3 (15) van de rest aftrekken:
15
18,80 15,00 3,80 (Rest) Dan de uitkomst van 5x7 (35): 3,80 3,50 0,30 (Rest) En dan nog het product van 5x6 (30): 0,30 0,30 0,00 Zo blijft er dus geen rest over en het complete quotiënt is 385. (Vergelijken met afbeelding 59.)
Afb. 59
VI CONCLUSIE Het gebruik van het Chinese telraam is veelvuldig. De toepassing ervan hangt af van de eigen handvaardigheid en de behoefte eraan. Als men geoefend is in het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, zal men eigen regels en kortingen kunnen uitvinden. Men zal bijvoorbeeld 75 van 750 aftrekken, als 750 met 9 vermenigvuldigd moet worden, aangezien dat hetzelfde is, waardoor bij het aftrekken tijd en werk gespaard wordt. Op dezelfde manier wordt een tiental van het getal opgeteld als dit met 11 wordt vermenigvuldigd. Met het telraam is het rekenen eenvoudiger dan wanneer de getallen op papier worden gezet. Er is geen moeite voor nodig en de snelheid is verrassend. Het is altijd raadzaam het resultaat van een berekening te controleren door een aftrekking en een vermenigvuldiging door een deling, en ook omgekeerd. Het gebeurt wel, dat dezelfde fout bij controle wordt gemaakt. Het is aan te raden om voor het doel van de oefening de uitkomst door gewoon rekenen op papier te controleren. Een handigheid kan niet door woorden of boeken geleerd worden. Alleen oefenen brengt perfectie. Gebruik het telraam zoveel mogelijk, dan zullen de drie vingers van uw rechterhand de bewegingen als het ware mechanisch uitvoeren.
16
