Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
HÁZI FELADATOK 2. félév Értékelés: 1. konferencia Komplex számok 1. egység: önálló feladatmegoldás 4.4. Végezze el az alábbi komplex számokkal a kijelölt műveleteket algebrai alakban: a)
(2 − j) + (5 − 4 j) =
c)
(2 − j) − (5 − 2 j) =
e)
(4 + j) ⋅ (5 − 2 j) =
g)
4+ j = 5 − 2j
2. egység: önálló feladatmegoldás 4.11. Végezze el az alábbi műveleteket a megadott komplex számok trigonometrikus alakjával, és az eredményt írja fel algebrai alakban: a)
( 2 3 + 2 j ) ⋅ ( −2 + 2 j )
Útmutatás a feladat megoldásához: 1. A két komplex számot ábrázoljuk a komplex számsíkon: Im
j
1 Re 2. Kiszámítjuk a két komplex szám abszolút értékét és fokban mért szögét. (A számítások eredményét ellenőrizzük az ábrán!)
z1 =
ϕ 1 kiszámítása:
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
z2 =
ϕ 2 kiszámítása:
3. A két komplex számot felírjuk trigonometrikus alakban:
z1 = z2 = 4. A trigonometrikus alakban felírt komplex számokkal elvégezzük a kijelölt műveletet:
z1 ⋅ z 2 = 5. Az eredményt ábrázoljuk a komplex számsíkon:
Im
j
Hosszegység:
ϕ
1 Re 6. Kiszámítjuk az eredmény valós és képzetes részét, – a számítások eredményét ellenőrizzük az ábrán, – majd az eredményt felírjuk algebrai alakban: Re ( z1 ⋅ z 2 ) = Im ( z1 ⋅ z 2 ) = c)
2 + 5j 1 − 4j
2
z1 ⋅ z 2 =
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
e)
4
3− j
g)
3
(1 + j) ⋅ (−2 + 5 j)
3. egység: önálló jegyzet készítése és feladatmegoldás Önálló jegyzet
A komplex szám exponenciális alakjának értelmezése:
Kapcsolat a komplex szám trigonometrikus és exponenciális alakja között:
3
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
Szorzás, osztás, pozitív egész kitevőjű hatványozás és gyökvonás műveletek a komplex szám exponenciális alakjában:
4.11. Végezze el az alábbi műveleteket a megadott komplex számok exponenciális alakjával: Útmutatás a feladatok megoldásához: Mivel a komplex szám trigonometrikus és exponenciális alakban egyaránt az abszolút értékével és az irányszögével van megadva, ezért felhasználhatjuk az előző feladat megoldása során elért eredményeket, azonban a szög fokban megadott nagyságát ívmértékké kell átalakítani!
a)
( 2 3 + 2 j ) ⋅ ( −2 + 2 j )
4
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
c)
2 + 5j 1 − 4j
e)
4
3− j
g)
3
(1 + j) ⋅ (−2 + 5 j)
5
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
Értékelés: 2. konferencia Az egyváltozós valós függvény határozatlan integráljának kiszámítása 2. egység: önálló jegyzet készítése Néhány fontos integráltípus 1. Két példa az
³ f ( a ⋅ x + b ) dx =
F( a ⋅ x + b ) + C típusú integrálási szabály alkalmazására: a
³
1.1. példa:
dx
A példa szerint f ( a ⋅ x + b ) = A fentiek alapján: Az
a=
és
b=
f(x)=
³ f ( x )dx = F ( x ) + C ³
Az
ahol:
alapján:
dx =
³ f ( a ⋅ x + b ) dx =
F( a ⋅ x + b ) + C alapján, a példa megoldása: a
³
dx =
1.2. példa:
2. Két példa az
³
f α (x ) ⋅ f ′ (x )dx =
³
2.1. példa:
³
f α (x ) ⋅ f ′ (x )dx =
α +1
(x ) + C típusú integrálási szabály alkalmazására: α +1
dx
A példa szerint f ( x ) = Az
f
illetve
f
α +1
f ′( x ) =
(x ) + C alapján, a példa megoldása: α +1
6
és
α=
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
³
dx =
2.2. példa:
3. Két példa az
³
3.1. példa:
³
f ′ (x ) dx = ln f (x ) + C típusú integrálási szabály alkalmazására: f (x ) dx
A példa szerint f ( x ) = Az
³
illetve
f ′( x ) =
f ′ (x ) dx = ln f (x ) + C alapján, a példa megoldása: f (x )
³
dx =
3.2. példa:
4. Két példa az 4.1. példa:
³ f (g (x )) ⋅ g ′ (x )dx = F (g (x )) + C
³
típusú integrálási szabály alkalmazására:
dx
A példa szerint, a belső függvény: g ( x ) =
illetve
g ′( x ) =
Alkalmazva az g ( x ) = u helyettesítést, f ( g ( x )) = f ( u ) = Az
³ f ( u )du = F ( u ) + C ³
alapján:
du =
u = g ( x ) helyettesítéssel, az ³ f (g (x )) ⋅ g ′ (x )dx = F (g (x )) + C alapján, a megoldás:
³
dx =
4.2. példa: 7
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
3. egység: önálló feladatmegoldás
8.2.
4 § ¨ 2 3 x + 1 + 2x + 5 § x − 1 · ¨ ¸ ³¨ 2 ¹ © ©
§
2 · + ( e x + 1 )3 + 3 2 − x + e x ln 2 ¸ dx = x e ¹
8.5.
³ ¨© 2
8.6.
³ ¨¨© 3 cos x − 2 sin 2 +
§
x
+ e2x −
· ¸ dx = ¸ ¹
x
1 3 cos 2 x
+
· 5 ¸ dx = sin ( 1 − x ) ¸¹ 2
8
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
8.25.
³x
8.28.
³(x
8.33.
x3 ³ 2 x 4 − 1 dx =
8.44.
³x
8.45.
³ sin
x 3 + 2 dx =
2
5
2
4x dx = + 1)2
tg x 6 dx =
3
x dx =
9
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
Értékelés: 3. konferencia Egyéb integrálási módszerek, továbbá az egyváltozós valós függvény határozott integráljának kiszámítása és a határozott integrál alkalmazásai 1. egység: önálló feladatmegoldás 8.49.
∫ 2x
2
sin 2 x dx
Legyen
f ′( x ) = sin 2 x
g( x ) = 2 x 2
Ekkor
f(x)=
g ′( x ) =
A parciális integrálás szabályát alkalmazva:
³ 2x
sin 2 x dx =
2
−³
dx
Legyen
f ′( x ) =
g( x ) =
Ekkor
f(x)=
g ′( x ) =
Ismét alkalmazva a parciális integrálás szabályát:
³ 2x
2
³
sin 2 x dx =
=
8.50.
³ ( 2 x + 1 ) cos x dx =
8.51.
∫( x
3
− 1 ) e x dx =
10
dx =
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
8.157.
x
³ sin 2 x cos 2 dx
Útmutatás: az integrandus átalakítására alkalmazzuk a 1 sin α cos β = (sin( α + β ) + sin( α − β )) 2 trigonometrikus azonosságot!
8.158.
∫ cos 2 x cos 3x dx
Útmutatás: az integrandus átalakítására alkalmazzuk a 1 cos α cos β = (cos( α + β ) + cos( α − β )) 2 trigonometrikus azonosságot!
11
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
2. egység: önálló feladatmegoldás 1
8.181.
³ xe
x
dx =
−1
e
8.184.
1
³ 2 x ln x dx = 1
12
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
Értékelés: 4. konferencia Közönséges differenciálegyenletek 1. egység: önálló feladatmegoldás 1. Oldja meg az alábbi, közvetlenül integrálható differenciálegyenleteket: a)
y′ = x 2 + ex − 5
b)
y ′′ = cos x +
10.1.
y′ =
10.3.
x y′ − y = 0
1 x
1 cos2 x
y( 1 ) = 2
y( −2 ) = 4
Kifejezzük a differenciálegyenletből y ′ -t:
13
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
y′ =
Alkalmazzuk az y ′ =
dy helyettesítést: dx
dy = dx
Szétválasztjuk a változókat, és mindkét oldalon kijelöljük az integrálást:
∫
dy = ∫
dx
Mindkét oldalon elvégezzük az integrálást, de konstanst, – ln c alakban, – csak a jobboldalhoz adunk hozzá:
Kifejezzük y -t, amely a differenciálegyenlet általános megoldása: y=
A kezdeti feltételt behelyettesítjük a differenciálegyenlet általános megoldásába: 4=
Megoldva a kapott egyenletet, kiszámítjuk c értékét:
c= c kiszámított értékét visszahelyettesítve a differenciálegyenlet általános megoldásába, megkapjuk a differenciálegyenletnek a megadott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását: yp =
10.11. y − 2 + ( x + 3 ) y ′ = 0
14
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
10.16. ( 1 + 2 y ) dx − ( 4 − x ) dy = 0
2. egység: önálló feladatmegoldás 10.182.
y′ − y = 2x + 2
Felírjuk a homogén differenciálegyenletet és megoldjuk, mint szétválasztható változójú differenciálegyenletet. Eredményül a homogén differenciálegyenlet általános megoldását kapjuk: Y′−Y = 0
Y=
Az állandó variálásának módszerét alkalmazva, megkeressük az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását. Legyen y p = k( x ) ⋅
Kiszámítjuk y ′p -t: y ′p =
15
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
y p -t és y ′p -t behelyettesítjük az inhomogén differenciálegyenletbe:
Elvégezzük az összevonásokat, majd k ′( x ) -et kifejezzük: k ′( x ) =
Megoldjuk az így kapott, közvetlenül integrálható differenciálegyenletet, azonban a szokásos állandót nem adjuk hozzá az integrálással kapott függvényhez: k( x ) =
Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása, a homogén általános és az inhomogén partikuláris megoldásának összege: y =Y + yp =
10.184.
y′ − y = 4 e−x
10.186.
y ′ − y = sin x
16
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
3. egység: önálló feladatmegoldás 10.305.
Y ′′ + 2Y ′ − 15Y = 0
Felírjuk a homogén differenciálegyenlethez tartozó karakterisztikus egyenletet:
A karakterisztikus egyenlet megoldása:
λ1 =
λ2 =
A homogén differenciálegyenlet alapmegoldásai:
Y1 =
Y2 =
A homogén differenciálegyenlet általános megoldása:
Y = c1Y1 + c 2 Y2 =
10.306.
Y ′′ − 6Y ′ + 8Y = 0
10.308.
Y ′′ + 2Y ′ + Y = 0
17
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
10.309.
9Y ′′ + 24Y ′ + 16Y = 0
10.310.
Y ′′ + 4Y ′ + 29Y = 0
10.311.
Y ′′ + 4Y ′ + 9Y = 0
10.317.
y ′′ + 5 y ′ + 6 y = 12 x
Felírjuk a homogén differenciálegyenletet és megoldjuk:
18
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
A homogén differenciálegyenlet általános megoldása: Y=
Az állandó variálásának módszere szerint, kifejezzük k1′( x ) -et és k 2′ ( x ) -et az azokat tartalmazó egyenletrendszerből:
k1′( x ) =
k 2′ ( x ) = Megoldjuk az így kapott, közvetlenül integrálható differenciálegyenleteket, azonban a szokásos állandót nem adjuk hozzá az integrálással kapott függvényekhez:
k1 ( x ) =
k2( x ) =
Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása, a homogén általános és az inho19
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
mogén partikuláris megoldásának összege:
y = ( c1 + k1 ( x )) ⋅ Y1 + ( c 2 + k 2 ( x )) ⋅ Y2 =
10.320.
y ′′ + 6 y ′ + 34 y = 17 x 2 − 62 x + 23
10.322.
y ′′ − y = −4 cos x
20
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
10.327.
y ′′ + y + sin x = 0
21
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
Értékelés: 5. konferencia Kétváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámítása 2. egység: önálló feladatmegoldás 13.10. a)
f ( x; y ) = x 2 − 6 x 2 y + y 3 f x′( x; y ) =
f y′ ( x; y ) =
b)
f ( x; y ) = ln x y f x′( x; y ) = f y′ ( x; y ) =
c)
f ( x; y ) = (sin x ) ln y + (ln x ) cos y
f x′( x; y ) = f y′ ( x; y ) =
d)
f ( x; y ) = e xy f x′( x; y ) = f y′ ( x; y ) =
22
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
e)
f ( x; y ) = cos y x f x′( x; y ) = f y′ ( x; y ) =
3. egység: önálló feladatmegoldás 13.58. Számítsa ki az alábbi integrálokat: 1 1 § · x2 ¨ b) ³0 ¨© ³0 1 + y 2 dx ¸¸¹ dy =
§ 2x y · ³2 ¨¨© ³x x dy ¸¸¹ dx = 4
c)
23
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
§ x · ³0 ¨¨ ³0 dy ¸¸ dx = © ¹ 9
d)
13.59. Számítsa ki az alábbi függvények integrálját a H téglalapon: f ( x; y ) = x y
a)
H = {( x; y ) ∈ R 2 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}
Ábrázoljuk az integrálási tartományt és kiszámítjuk az integrált: §1 · ³0 ¨¨© ³0 x y dx ¸¸¹ dy = 2
y
x
24
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
b)
f ( x; y ) = 2 x 2 + 3xy + 4 y 2
H = {( x; y ) ∈ R 2 1 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 3}
c)
f ( x; y ) = x sin y
π½ H = ®( x; y ) ∈ R 2 1 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ ¾ 2¿ ¯
25
