MA - gyak 2
Mingesz R´obert
M´ er´ es ´ es Adatgy˝ ujt´ es Gyakorl´ o feladatok - 2.
Megjegyz´es: a feladatok megold´ as´ at nem kell bek¨ uldeni!
1.
Mintav´ etelez´ es
10. feladat: Zen´et digitaliz´ alunk sz´ am´ıt´og´eppel, sztere´oban (2 csatorna), 16 bit felbont´assal, 44100 Hz mintav´eteli frekvenci´ aval. H´ any perc zene f´er r´a egy 700 MB-os CD-re? Megold´ as: Mivel a jel k´etcsatorn´ as, 16 bit = 2 b´ ajt felbont´as´ u, ´ıgy minden egyes mintav´etel alkalm´aval 4 b´ajtnyi adatot kapunk. M´ asodpercenk´ent 4 B · 44100 = 176400 B = 172 KB adatot kapunk, egy perc alatt 60 · 172 kB = 10 MB adatot kapunk. A CD-re r´af´er˝o zene mennyis´ege: 700 MB/10 MB/ min = 70 min. Megjegyz´es: egy 700 MB-s CD-re ´ altal´aban az van ´ırva, hogy 80 perc zene f´er r´a, mi lehet az elt´er´es oka? Az audi´o CD ´es az adat CD adatt´ arol´ asi form´atuma l´enyegesn k¨ ul¨onb¨ozik, adat CD-k eset´en, ahol ak´ar egy bit s´er¨ ul´ese is komoly probl´em´ at okozhat, sokkal komolyabb hibajav´ıt´asi algoritmusokat tartalmaznak mint audi´ o CD-k eset´en, e miatt kevesebb adat f´er r´a mint audi´o CD eset´en. 11. feladat: Egy 8 bit-es A/D konverter referenciafeszultsege 5V. a.) Mekkora ∆U ? b.) Mekkora a kvantalasi hiba? c.) U = 0,1 V. Z =? Mekkora a kvantalasbol adodo relativ hiba ennel a feszultsegnel (∆U/2/U )? Mekkora lenne a relativ hiba 16 bit-es konverter eseten? d.) U = 3,65 V. Z =? Mekkora a kvantalasbol adodo relativ hiba ennel a feszultsegnel (∆U/2/U )? Mekkora lenne a relativ hiba 16 bit-es konverter eseten? e.) Z = 165. U =? Megold´ as: a.) Mekkora ∆U ?
∆U =
Uref 5V = 8 = 0, 01953V b 2 2
b.) Mekkora a kvantalasi hiba? A kvant´al´asi hiba a kvantumnagys´ ag (∆U ) fele: ∆U = 0, 00977V 2 c.) U = 0, 1 V. Z =? Mekkora a kvantalasbol adodo relativ hiba ennel a feszultsegnel (∆U/2/U )? Mekkora lenne a relativ hiba 16 bit-es konverter eseten? 1
MA - gyak 2
Mingesz R´obert
U · 2b 0, 1V · 28 Z= + 0, 5 = + 0, 5 = b5, 12 + 0, 5c = b5, 62c = 5 Uref 5V
A kvant´al´asbl ered˝ o relat´ıv hiba ebben a fesz¨ ults´egtartom´anyban: ∆U 0, 00977V = ≈ 10% 2·U 0, 1V Vagyis ilyen kis fesz¨ ults´egeket ezzel a konverterre m´ar csak igen nagy hib´aval tudunk m´erni. Ha 16 bit-es konvertert haszn´ aln´ ank: Uref ∆U 5V = b = 16 ≈ 0, 04% 2·U 2 · 2 · 0, 1V 2 ·2·U Vagyis egy 16 bit-es konverter m´eg ezt a kis fesz¨ ults´eget is igen kis relat´ıv hib´aval tudn´a m´erni. d.) U = 3, 65 V. Z =? Mekkora a kvantalasbol adodo relativ hiba ennel a feszultsegnel (∆U/2/U )? Mekkora lenne a relativ hiba 16 bit-es konverter eseten?
Z=
U · 2b 3, 65V · 28 + 0, 5 = + 0, 5 = b186, 88 + 0, 5c = b187, 38c = 187 Uref 5V
A kvant´al´asbl ered˝ o relat´ıv hiba ebben a fesz¨ ults´egtartom´anyban: ∆U 0, 00977V = ≈ 0, 27% 2·U 3, 65V Vagyis nagyobb fesz¨ ults´egen a konverter m´ar kiel´eg´ıt˝obb pontoss´aggal k´epes m´erni. Ha 16 bit-es konvertert haszn´ aln´ ank: Uref ∆U 5V = b ≈ 0, 001% = 16 2·U 2 · 2 · 3, 65V 2 ·2·U Vagyis egy 16 bit-es konverter m´eg kisebb hib´aval k´epes konvert´alni. Term´eszetesen mivel a konverter nem ide´ alis (´es Ur ef sem mindig pontos) a nagyobb felbont´as nem jelent automatikusan nagyobb pontoss´ agot, viszont mint l´attuk kis jelek eset´en (ha azon nem haszn´alj´ak ki a teljes m´er´esi tartom´ ant) egy nagyobb felbont´as´ u konveter nagyobb pontoss´agot tesz lehet˝ov´e. e.) Z = 165,U =? A D/A konverterhez hasonl´ oan: U =Z·
Uref 5V = 165 · 8 = 3, 223V b 2 2
Term´eszetesen a korrekt eredm´enymegad´ashoz hozz´a kell venni a kvant´al´asi hib´at (meg esetleg a t¨obbi ismert hib´ at is): U = 3, 223V ± 0, 00977V
12. feladat: Egy sz´ am´ıt´ og´epre kapcsolhat´o m˝ uszer −10 V ´es +10 V k¨oz¨otti fesz¨ ults´egeket m´er 11 bit felbont´ assal. Mekkora ∆U ? Egy mennyis´eget ezzel a m˝ uszerrel 1 mV felbont´assal k´ene m´erj¨ unk. Mit tehet¨ unk? 2
MA - gyak 2
Mingesz R´obert
Megold´ as: A bemen˝o fesz¨ ults´egtartom´ any 20 V, ez oszt´odik 211 r´eszre. Vagyis: 20V ∆U = 11 = 0, 00977V = 9, 77mV 2 Azt l´atjuk, hogy a m˝ uszer felbont´ asa kissebb mint az ´altalunk k´ıv´ant felbont´as, nem k´epes 1 mV felbont´assal vizsg´ alni a jeleket. Ahhoz hogy 1 mV felbont´assal tudjuk m´erni a k´ıv´ant jel¨ unket, nagyj´ab´ol 3 megold´ as lehets´eges: a) M˝ uszer cser´eje: k¨ olts´eges megold´ as, de bev´alhat. b) Ha a vizsg´ alt jel¨ unk j´ oval kissebb mint a m´er´esi tartom´any, akkor megpr´ob´alhatunk egy el˝oer˝os´ıt˝ovel er˝ os´ıteni rajta, pl. egy 10-szeres er˝os´ıt´essel m´ar el is ´erhetj¨ uk a k´ıv´ant felbont´ast. (N´ah´any A/D konverter egys´eg/m˝ uszer eleve t´amogatja a bemen˝o jel er˝os´ıt´es´et, ennek ´erdemes lehet ut´anan´ezni az adatlapban.) c) Tr¨ ukk˝oz´essel jav´ıtsunk a konverter felbont´as´an. Az A/D konvertereknek ´altal´aban van valamekkora bels˝ o zaja, ennek eredm´enyek´ent ha konstans fesz¨ ults´eget m´er¨ unk is, a kimeneten m´erhet˝o Z folyamatosan v´ altozik n´eh´ any bitnyit. Ha t¨obb konvert´al´asi eredm´enyt ´atlagolunk, akkor m´ar egy t¨ ortsz´ amot kaphatunk, melynek felbont´asa nagyobb lesz mint az eredeti Z. Pl. ha 10 eredm´enyt ´ atlagolunk, a v´egeredm´enyt m´ar 0,1 bit felbont´assal kaphatjuk meg. Sajnos a helyzet nem ennyire j´ o, ha visszaeml´eksz¨ unk a ”‘m´er´esi eredm´enyek megad´asa”’ r´eszre, akkor ott azt l´atjuk, hogy a konfidenciaintervallum a m´er´esek sz´am´anak gy¨ok´evel ford´ıtottan ar´anyos. Vagyis ahhoz, hogy t´ızszeres´ese n¨ ovelj¨ uk a felbont´ast legal´abb 100 m´er´est kell v´egezn¨ unk (k¨ ul¨onben hi´aba t˝ unik u ´gy, hogy nagyobb a felbont´asunk, de sokkal zajosabb lesz a v´egeredm´eny). Ha v´eletlen¨ ul a konverter¨ unk nem lenne el´eg zajos az elj´ar´as kivitelez´es´ehez (mindig ugyanazt a sz´amot adn´a vissza), akkor mi is hozz´ akeverhet¨ unk zajt (ezt a megold´ast h´ıvj´ak dithering-nek). Term´eszetesen az elj´ ar´ asnak vannak korl´atai: a felbont´ast ugyan n¨ovelhetj¨ uk, de a pontoss´agot nem, a v´egeredm´enyt k´ arosan befoly´ asolj´ak a konverter hib´ai (differenci´alis/integr´alis nemlinearit´as, ofset ´es er˝ os´ıt´eshiba...).
2.
M˝ uszerek
13. feladat: Egy 100 kΩ bels˝ o ellen´ all´as´ u fesz¨ ults´egforr´as fesz¨ ults´eg´et m´erj¨ uk egy 10 MΩ bemen˝o impedanci´ aj´ u multim´eterrel. Mekkora relat´ıv hib´aval m´erj¨ uk a fesz¨ ults´eget? Mekkora a hiba, ha a fesz¨ ults´egforr´ as bels˝ o ellen´ all´asa 1 MΩ ill. 10 MΩ Megold´ as: Az ´aramk¨or helyettes´ıt˝ o kapcsol´ asi rajza az al´abbi ´abr´an l´athat´o:
Rb U
RM
V UM
Ahol a fesz¨ ults´egforr´ ast helyettes´ıtj¨ uk egy ide´alis fesz¨ ulst´esgforr´assal ´es egy vele sorba kapcsolt bels˝o ellen´all´ assal Rb , a m´er˝ om˝ uszert pedig helyettes´ıtj¨ uk egy ide´alis fesz¨ ults´egm´er˝ovel (ami nem vezet ´aramot) ´es egy vele sorba kapcsolt RM m˝ uszerellen´all´asal. A k´et ellen´all´as ´ıgy egy fesz¨ ults´egoszt´ ok´ent viselkedik, a m˝ uszer ´altal m´ert fesz¨ ults´eg pedig: 3
MA - gyak 2
UM =
Mingesz R´obert
RM ·U RM + Rb
A m´er´es relat´ıv hib´ aja:
∆U |UM − U | = = U U
RM RM +Rb · U − U U
RM 10 MΩ = − 1 = − 1 = 0, 99% RM + Rb 10 MΩ + 0, 1 MΩ
Vagyis a fesz¨ ults´eget 1%-os hib´ abal m´erj¨ uk. A mostani esetben, mivel tudjuk, hogy hogy viselkedik a m˝ uszer bels˝ o ellen´ all´ asa, ak´ ar kompenz´alhatjuk is a hib´at, korrig´alhatjuk a v´egeredm´enyt. N´eh´any esetben, ha a m˝ uszer bels˝ o szerkezet´ehez nem f´er¨ unk hozz´a (nem teljes az adatlap...), akkor sajnos a korrekci´ ot nem tehetj¨ uk meg. Ha a fesz¨ ults´egforr´ as bels˝ o impedanci´ aja nagyobb, akkor sajnos a hiba nagys´aga is nagyobb lesz: ∆U1 MΩ 10 MΩ = − 1 = 9, 1% U 10 MΩ + 1 MΩ 10 MΩ ∆U10 MΩ = − 1 = 50% U 10 MΩ + 10 MΩ
14. feladat: Az al´ abbi elrendez´es seg´ıts´eg´evel m´erj¨ uk egy Rx ellen´all´as nagys´ag´at. R1 = 1 MΩ, U1 = 7,3 V, U2 = 4,2 V, a fesz¨ ults´egm´er˝o bels˝o ellen´all´asa 10 MΩ. Mekkora az ismeretlen ellen´ all´ as m´ert´eke? Mekkora relat´ıv hib´ at k¨ ovet¨ unk el, ha nem vessz¨ uk figyelembe a m˝ uszerek bels˝o ellen´all´as´at?
R1
V U1
Rx
V U2
U
Megold´ as: Az ´aramk¨or helyettes´ıt˝ o kapcsol´ asi rajza az al´abbi ´abr´an l´athat´o:
R1
RM
V U1
Rx
RM
V U2
U
4
MA - gyak 2
Mingesz R´obert
Ha a sz´amol´ as k¨ ozben nem vesz¨ uk figyelembe a m˝ uszerek bels˝o ellen´all´as´at, a k¨ovetkez˝ore juthatunk: I=
U1 U2 = R1 Rx
Rx =
U2 · R1 = 0, 5753 MΩ U1
Ha figyelembe vessz¨ uk a bels˝ o ellen´ all´ ast: I=
U1 U2 = R1 × RM Rx × RM
Rx × RM =
U2 U2 · R1 × RM = · U1 U1
1 R1
1 = 0, 5230 MΩ = + R1M
1 1 1 = − Rx 0, 5230 MΩ RM Rx =
1 1 0,5230 MΩ
−
1 RM
= 0, 5519 MΩ
A relat´ıv hiba: 0, 5753 − 0, 5519 = 4, 2% 0, 5519
5
1 Rx
1 +
1 RM
