2. Elektromágneses térszámítási feladatok megoldása A Maxwell-egyenletek adott gerjesztéshez tartozó megoldását, az E, B vektorteret, rendszerint nem közvetlenül határozzuk meg, hanem bizonyos segédmennyiségek, ún. potenciálok bevezetésével. A potenciálok alkalmazásának els dleges célja a matematikai alapfeladat egyszer sítése, amely az ismeretlenek számának csökkenését eredményezi. A potenciálok bevezetését el ször az egyszer bb, id ben állandó problémákra foglaljuk össze. Feltételezzük, hogy az egyenletek megoldását olyan tartományon keressük, amelyet több különböz közeg tölt ki.
2.1 Sztatikus elektromos és mágneses tér Mint ismeretes, ebben az esetben áram nem folyik (szigetel közegek) és a gerjesztések id ben ∂ állandóak, azaz J = 0 és = 0 . Ezen feltételekkel az (1-1)-(1-4) Maxwell-egyenleteket az (1-11) ∂t és (1-12) anyagegyenletekkel kiegészítve az elektrosztatika és a magnetosztatika alapegyenleteit kapjuk:
Magnetosztatika
Elektrosztatika rotE = 0 divD = ρ εE D= ε 0E + P
(2-1) (2-2)
rotH = 0 divB = 0 µH B= µ 0 (H + M )
(2-3)
(2-4) (2-5)
(2-6)
Mint látható az elektromos és a mágneses tér egymástól független, az el bbit a ρ töltések, és a P polarizált közegek (elektrétek) gerjesztik, az utóbbit a közeg M mágnesezettsége (permanens mágnesek) gerjeszti. Ismeretes, hogy az örvénymentes vektor tér, felírható egy skalár függvény gradienseként, azaz E = − gradφ (2-7) ill. H = − gradφ m (2-8) ahol φ az elektromos ill. φ m a mágneses skalárpotenciál, egységük V ill. A. Továbbiakban a permanens polarizációtól eltekintünk, és a D = εE egyenletet használva a − div (ε gradφ ) = ρ (2-9) Poisson-egyenletet kapjuk az elektromos skalárpotenciálra. Permanens mágnesek jelenlétét is feltételezve, a mágneses skalárpotenciálra szintén Poisson-egyenlet adódik: − div (µ gradφ m ) = − µ 0 divM = ρ m (2-10) (A jobboldalon alkalmazott jelöléssel a fiktív mágneses töltések bevezetésének lehet ségére utalunk.) 2.2 Stacionárius áramok tere
∂ Id ben állandó = 0 áramok esetén az elektromágneses tér egyenletei: ∂t
Stacionárius áramlás (2-11) rotE = 0 (2-12) divJ = 0 σE (2-13) J= σE + J b
Stacionárius mágneses tér rotH = J divB = 0 B = µH
(2-14) (2-15) (2-16) 1
Megjegyezzük, vezet k esetén az eltolási vektor helyett az árams r séget kell meghatározni, ezért az áramlási tér alapegyenletei az (1-6) folytonossági egyenletet tartalmazzák, az (1-4) egyenlet helyett. Látható, hogy az elektromos és a mágneses tér csupán a (2-13) egyenleten keresztül van csatolva, azaz els ként a vezet k árameloszlását meghatározva, J ismeretében számítható a mágneses tér.
2.2.1 Az áramlási tér Az áramlási tér örvénymentes (2-11) szerint, tehát skalárpotenciállal leírható: E = − gradφ , (2-17) és a (2-13) differenciális Ohm-törvényt alkalmazva (2-18) − div (σ gradφ ) = −divJ b , azaz ismét Poisson-egyenletet kapunk a potenciálra. Töltés-mentes elektrosztatikai, és áramforrás mentes áramlási feladatra ( ρ = 0, J b = 0 ) egyaránt a Laplace-egyenletet kapjuk a potenciálra, csupán az ε dielektromos állandó helyett a σ fajlagos vezetést kell alkalmazni az egyenletben. (Analógia) 2.2.2 A mágneses tér számítása skalárpotenciállal Stacionárius mágneses tér nem örvénymentes, de lehetséges a mágneses térer sséget felbontani örvényes és örvénymentes összetev re: H = Hs + Hr . (2-19) Amennyiben rotH s = J (2-20) teljesül, a tér sség redukált komponense örvénymentes rotH r = 0 (2-21) és felírható H r = − gradφ r (2-22) alakban, ahol φ r az ún. redukált mágneses skalárpotenciál. Ezzel a felbontással (2-14)-et kielégítettük. A H s térer sség összetev meghatározása például a homogén közegre vonatkozó Biot-Savart törvény alkalmazásával lehetséges: 1 J (rQ )× rQP (2-23) H s (rP ) = dVQ 4π V j r 3 QP A fenti egyenletben alkalmazott jelölések VJ magyarázata 2-1 ábrán látható. A (2-23)-mal kiszámított H s térer sség kielégíti a (2-20) dVQ egyenletet. Az anyag egyenletet felhasználva és (215)-be beírva: div(µH s − µgradφ r ) = 0 , azaz rQP Q Hs − div (µgradφ r ) = − div(µH s ) , (2-24) rQ tehát Poisson egyenlet megoldása szükséges a rP P mágneses tér kiszámításához. A skalárpotenciál ismeretében: 2-1 ábra H = H s − gradφ r . (2-25) Megjegyezzük, hogy a redukált skalárpotenciál alkalmazása nem el nyös olyan közegekben, amelyekre µ >> µ 0 . Ilyen esetben H << H s , azaz a mágneses térer sség két összetev je, H s és JQ
gradφ r nagyjából azonos nagyságú, és ezek különbsége számottev hibával torzított, pontatlan
2
lesz. Ennek elkerülésére lehetséges a gerjeszt áramokat nem tartalmazó nagy permeabilitsú közegben az ún. „totális” skalárpotenciál alkalmazása. Ennek részleteit []–ban megtalálhatjuk.
2.2.3 A mágneses tér számítása vektorpotenciállal Ismeretes, hogy a (2-15) egyenlet teljesül, ha a (2-26) B = rotA összefüggéssel fejezzük ki a mágneses indukciót, ahol A (Vs / m ) a mágneses vektorpotenciál. A (2-16) anyagegyenletet és (2-26)-ot felhasználva az els Maxwell-egyenlet stacionárius esetre vonatkozó alakja ν = 1 µ jelöléssel: rot (νrotA ) = J . (2-27) Látható, hogy ha a (2-25) összefüggésben a vektorpotenciált módosítjuk az A1 = A + gradf formában, a B mágneses indukció értéke nem változik, mert rot ( gradf ) = 0 . Tehát a (2-27)-ben szerepl A nem egyértelm , amely numerikus megoldás során problémákra vezethet. A vektorpotenciál értéke divA megválasztásával ("mértékválasztás") tehet egyértelm vé. Homogén közeg esetén ν kiemelhet és a rot (rotA ) = grad (divA ) − ∆A azonosságot alkalmazhatjuk a (2-28) divA = 0 az ún. "Coulomb mérték"-kel együtt. Ezzel a − ∆ A = µJ (2-29) vektoriális Poisson-egyenletet kapjuk. Inhomogén közegre a vektorpotenciál divergenciájára vonatkozó Coulomb mérték el írása követett módszerrel lehetséges: egészítsük ki a (2-27) egyenletet divA -t tartalmazó taggal: rot (νrotA ) − grad (νdivA ) = J . (2-30) A fenti egyenlet divA = 0 esetén ekvivalens az eredeti (2-27) egyenlettel. (2-30) divergenciáját képezve: − ∆(νdivA ) = 0 (2-31) Laplace-egyenletet kapjuk (νdivA ) -ra. A kés bbiekben ismertetett feltételek esetén fenti összefüggés teljesülése (2-30) megoldása során automatikusan biztosítható (implicit mérték [4]).
2.2.4 Az áramlási tér számítása vektorpotenciállal A mágneses tér számításához hasonlóan a stacionárius áramlási tér is leírható vektorpotenciállal, bár ez a módszer kevésbé elterjedt. Az áramlási tér forrásmentessége [(2-10) egyenlet] biztosítható a (2-32) J = rotT választással. Így J b = 0 feltételezéssel: rot (1 σ rotT) = 0 (2-33) adódik a T (A/m) áram vektorpotenciál meghatározására. Az egyértelm megoldás ebben az esetben is a divergencia rögzítésével biztosítható. Az implicit módszert alkalmazva, a divT -t tartalmazó taggal egészítjük ki az utolsó egyenletet: rot (1 σ rotT) − grad (1 σ divT) = 0 . (2-34) Megfelel , kés bb tárgyalandó feltételek esetén biztosítható (2-34)-ben divT elt nése, és a megoldás egyértelm sége. Összefoglalva az eddigieket megállapítható, hogy a potenciálok bevezetésével a sztatikus és stacionárius térszámítási feladatok lényegében azonos matematikai problémaként kezelhet ek, skalárpotenciálra Poisson-egyenletet, vektorpotenciálra pedig rot (rot ( )) típusú egyenletet kell megoldani. Az 1.3 szakaszban láttuk, hogy a Maxwell-egyenletek egyértelm megoldása csak a
3
tartomány határára vonatkozó feltételek teljesítése esetén biztosítható. A következ kben megvizsgáljuk, hogy a potenciálok bevezetése esetén milyen feltételek mellet állítható el a feladat korrekt, egyértelm megoldása.
2.3 A skalárpotenciállal leírható feladatok egyértelm megoldásának feltétele Feltételezzük, hogy a zárt Ω tartományt különböz , ismert paraméter (ε , µ , σ ) közegek töltik ki és ismert a gerjesztések ( ρ , J b , M ) térbeli eloszlása. A 2-2. ábrán egy tetsz leges elektrosztatikai feladatot vázoltunk, amelyen bemutatjuk az egyértelm megoldás feltételeit. A többi feladatra hasonló gondolatmenet alkalmazható, ezért ezek részletes ismertetését l eltekintünk. Az Ω
tartomány peremét több különböz szakaszra oszthatjuk. A ΓE =
n
ΓEi peremen elhelyezett
i =0
elektródákon n×E Γ = 0 ,
(2-35)
E
azaz, az elektromos térer sség érint irányú komponense nulla. A ΓD =
n
ΓDi szakaszokon a
i =0
felületi töltéss r ség adott, azaz n ⋅ D |ΓDi = − ρ si i = 0,1,2, n
(2-36)
ΓDi
ΓEi Qi li Ui
ΓEn
ΓD1
ρ
Qn
n ln Un
Ω
ε2
n12 ε1
ΓE1 Q1
A közeghatárokon a megoldás kielégíti az 1.7 szakaszban tárgyalt feltételeket. Igazolni fogjuk, hogy ha a fentieken kívül a ΓEi peremek és a tetszés szerint kiválasztott ΓE0 között felvett li görbékre az Edl = U i i = 1,2, n (2-37)
li
a feszültség adott (másként fogalmazva az elektródák potenciálja el írt), vagy (2-37) helyett az elektródák töltése, azaz D ⋅ ndΓ = Qi i = 1,2, n (2-38)
ΓDn
l1
U1
Q0 ΓE0
ΓD0
ΓEi
el írt, az elektromos térszámítási feladatnak csak egy megoldása létezik. Ehhez tételezzük fel, hogy létezik két különböz megoldás φ1 és φ 2 , valamint az ezekb l számított térjellemz k: E1 és E 2 , ill. D1 és D 2 , amelyek kielégítik a (2-9) egyenletet és a (2-35)-(2-37) peremfeltételeket. A megoldások különbsége: φ0 = φ1 − φ 2 , E 0 = E1 − E 2 = − gradφ0 és D 0 = D1 − D 2 = −εgradφ 0 kielégíti a div(εgradφ0 ) = 0 (2-39) egyenletet, ill. (2-37) következményeként a φ0 Γ = 0 (2-40a) 2-2. ábra
E
és az n ⋅ D 0 |ΓD = 0
(2-40b)
homogén peremfeltételeket. A két megoldás különbségére felírható W0 "energia": 2W0 = E 0 ⋅ D 0 dΩ = gradφ 0 (εgradφ 0 )dΩ .
Ω
(2-41)
Ω
4
A div(u ⋅ gradv ) = gradu ⋅ gradv + u ⋅ div( gradv ) azonosságot alkalmazva a
gradu ⋅ gradvdΩ = u ⋅ div( gradv )dΩ − u ⋅ ( gradv ) ⋅ ndΓ
Ω
Ω
(2-42)
Γ
összefüggést kapjuk. (Green I. tétel). Ezzel átalakítva (2-41) jobb oldalát: gradφ0 (εgradφ 0 )dΩ = φ 0 div(εgradφ0 )dΩ − φ 0 ⋅ (εgradφ0 ) ⋅ ndΓ − φ 0 ⋅ D 0 ⋅ ndΓ = 0 ,
Ω
Ω
ΓE
(2-43)
ΓD
ugyanis a jobb oldal els tagja (2-39), a második tag (2-40a) a harmadik pedig (2-40b) feltétel következtében nulla. Így W0 = 0 , azaz E 0 = 0 és D 0 = 0 , továbbá φ0 = const = 0 következik, tehát nem létezik két különböz megoldás. Áramlási- és mágneses térre az alábbi bet cseréket elvégezve (l. 2-1 Táblázat) a fentivel azonos gondolatmenettel igazolható a megoldás egyértelm sége. 2-1 Táblázat
térjellemz k
közeg
φ
E
D
ε
ρ
Magnetosztatika
φm
H
B
µ
− µ 0 divM
Stacionárius áramlás
φ
E
J
σ
− divJ b
Stacionárius áramok mágneses tere
φr
H
B
µ
φ 0 = U mi +
(n × J s )dl
Elektrosztatika
(1)
(2)
peremfeltételek
ΓE E × n = 0 φ = U0
ΓD
ΓH H × n = J s ΓB φ m = φ0 (1)
φ 0 = U mi +
g i ⊂ ΓH i
gerjesztés
ΓE E × n = 0 φ =U0
ΓJ
D ⋅n = −ρs ∂φ ε = ρs ∂n B ⋅ n = − ρ ms ∂φ µ m = ρ ms ∂n J ⋅ n = −J n ∂φ σ = Jn ∂n
− div(µH s ) ΓH H × n = J s ΓB B ⋅n = − ρ ms ∂φ φ r = φ0 µ r = ∂n (2) ρ ms + µH s ⋅ n [n × (J s − H s × n )]dl
g i ⊂ ΓH i
2.3 A vektorpotenciállal leírt feladatok egyértelm megoldásának feltétele Az alábbiakban a stacionárius áramok mágneses terének számítására bemutatott (2-30) egyenlettel leírható feladatok egyértelm megoldásának feltételével foglalkozunk. Az áram vektorpotenciálra felírt (2-34) összefüggésre hasonló gondolatmenet alkalmazható. Feltételezzük, hogy a zárt Ω tartományt ΓBi ΓHi ψi különböz , ismert permeabilitású (µ ) közegek töltik ki és ismert a gerjesztés (J ) térbeli ΓB1 li U J mi ΓHn eloszlása. A 2-3. ábrán egy ennek megfelel elvi feladatot vázoltunk, amelyen bemutatjuk az ψn n egyértelm megoldás feltételeit. Az Ω tartomány ln Umn n12 peremét több különböz szakaszra oszthatjuk. A µ2 ΓH1 n Ω µ1 Γ = Γ peremszakaszokon
ψ1
ΓBn
l1
Um1
ΓB0
H
Hi
i =0
n × H Γ = J si , i = 0,1,2,
,n
(2-44)
H
ψ0 ΓH0 2-3. ábra
5
azaz, a mágneses térer sség érint irányú komponense el írt (pl. a tartományon kívüli áramok
n
hatása). A ΓB =
ΓBi szakaszokon az indukció normális irányú komponense, azaz a mágneses
i =0
felületi töltéss r ség el írt: n ⋅ B |ΓBi = − ρ msi i = 0,1,2, n
(2-45)
Legtöbbször ρ msi = 0 , ami szemléletesen azt jelenti, hogy az indukció vonalak párhuzamosak a peremmel, pl. szimmetria következtében. A mágneses térjellemz k (2-25) alkalmazásával kifejezhet k a vektorpotenciállal, és így a fenti peremfeltételek: n ×νrotA Γ = J si , i = 0,1,2, , n (2-46) Hi
n ⋅ rotA |ΓBi = − ρ msi i = 0,1,2, n .
(2-47)
Az utóbbi feltételt a div(A × n ) = n ⋅ rotA − A n = n ⋅ rotA azonossággal az
⋅ rot 0
A × n Γ = a i i = 0,1,2, Bi
n
(2-48)
formába írhatjuk át, ahol diva i = − ρ msi i = 0,1,2, n . (2-49) A továbbiakban el ször azt igazoljuk, hogy a (2-26) egyenletet a Coulomb-mértékkel kiegészítve a fenti peremfeltételek mellett egyértelm megoldást kapunk, majd ezt követ en az implicit mértékválasztást biztosító (2-31) egyenlet teljesítésének feltételét vizsgáljuk. A) a rot(rot()) egyenlet egyértelm megoldása Tegyük fel, hogy az Ω tartományban rot (νrotA ) = J divA = 0 illetve a tartomány Γ = ΓH ΓB peremén n ×νrotA Γ = −J s
(2-50)
illetve A ×n Γ = a .
(2-52)
(2-51)
H
B
Legyen A 1 és A 2 a fenti feladat két megoldása. A két megoldásból A 0 = A1 − A 2 B 0 = rot ( A1 − A 2 ) = rotA 0 , H 0 = νrotA 0 , továbbá
rot (νrotA 0 ) = 0
(2-53)
divA 0 = 0
n ×νrotA 0
ΓH
=0
(2-54)
A0 × n Γ = 0 .
(2-55)
B
Írjuk fel a két megoldás különbségének "energiáját" 2W0 = B 0 ⋅ H 0 dΩ = rotA 0 ⋅νrotA 0 dΩ Ω
A vektoriális Green-tétel szerint rotA 0 ⋅νrotA 0 dΩ = A 0 ⋅ rot (νrotA 0 )dΩ + (A 0 ×νrotA 0 ) ⋅ ndΓ Ω
(2-56)
Ω
Ω
(2-57)
Γ
rot (νrot A 0 )= 0
A felületi integrál meghatározásához felhasználjuk a következ azonosságot: (A 0 ×νrotA 0 ) ⋅ n = (n × A 0 ) ⋅νrotA 0 = (νrotA 0 × n ) ⋅ A 0 és így
6
(A 0 ×νrotA 0 ) ⋅ ndΓ = (n × A 0 )⋅νrotA 0 dΓ + (νrotA 0 × n )⋅ A 0 dΓ = 0
Γ
(2-58)
ΓB
ΓH
νrotA0 ×n = 0
n× A 0 =0
Tehát a fentiek szerint rotA 0 ≡ 0 (2-59) az egész tartományban, de ebb l A 0 = 0 nem következik. Viszont (2-59) miatt felvehet , hogy A 0 = grad u , és ezzel divA 0 = div ( gradu ) = 0 . A (2-42) összefüggést v = u helyettesítéssel felírva: grad 2udΩ = u ⋅ div( grad u )dΩ − u ⋅ ( grad u ) ⋅ ndΓ . (2-60)
Ω
Ω
Γ
=0
Látható, hogy A 0 = grad u = 0 akkor teljesül, ha az integrál elt nik a peremen. Igazolható, hogy (2-55) következtében u Γ = const = 0 (2-61) B
teljesül, valamint (grad u )⋅ n Γ = 0
(2-62)
H
feltétel A 0 ⋅ n Γ = 0 el írással teljesíthet . Ez utóbbi azt jelenti, hogy a (2-50)-(2-52) feladat
H
egyértelm megoldásához a vektorpotenciál normális irányú összetev jét is specifikálni kell a peremen [4], amely legegyszer bben az: A ⋅ n Γ = const = 0 (2-63)
H
el írással tehet meg.
B) A Coulomb mérték implicit el írása Amint a 2.2.3 szakaszban láttuk a rot (νrotA ) − grad (νdivA ) = J egyenlet ekvivalenciája az el z kben vizsgált (2-50) feladattal, ∆(νdivA ) = 0 teljesítésével érhet el, azaz νdivA -ra Laplaceegyenlet áll fenn. Amint az el z szakaszban a (2-60) egyenletnél beláttuk, a Laplace-egyenlet megoldása azonosan zérus, ha peremen az ismeretlen skalár, vagy annak normális irányú deriváltja nulla. Vegyük a (2-30) egyenlet normális irányú összetev jét a ΓH peremszakaszon: n ⋅ rot (νrotA ) − n ⋅ grad (νdivA ) Γ = n ⋅ J Γ . (2-64)
H
H
Alkalmazzuk a div(νrotA × n ) = n ⋅ rot (νrotA ) − (νrotA ) ⋅ rotn azonosságot és a (2-52) =0
peremfeltételt: n ⋅ rot (νrotA ) Γ = divJ s .
H
Ezzel (2-64)-b l kapjuk, hogy n ⋅ grad (νdivA ) Γ = (n ⋅ J − divJ s ) Γ . H
(2-65)
H
A folytonossági egyenlet következtében (2-65) jobb oldala csak nulla lehet, ezért n ⋅ grad (νdivA ) Γ = 0 , (2-66) H
tehát a ΓH peremen az ekvivalenciához szükséges feltétel teljesül. A ΓB peremen viszont csak a νdivA Γ = 0 (2-67) B
kiegészít peremfeltétel el írásával biztosítható az egész tartományra vonatkozóan (νdivA ) = 0 teljesülése. Összefoglalva, a kit zött (2-50)-(2-52) mágneses térszámítási feladatnak a
7
rot (νrotA ) − grad (νdivA ) = J egyenlettel, és a n ×νrotA 0 Γ = 0 H
A⋅n Γ = 0 H
A0 × n Γ = 0 B
νdivA Γ = 0
B
peremfeltételekkel együtt egyértelm megoldása van a vektorpotenciálra. 2.4 Id ben változó elektromágneses terek Az id ben változó elektromágneses térszámítási feladatok két nagy csoportra bonthatók: az örvényáram (vagy kvázistacionárius) és a hullámtani feladatokra. A következ kben az ilyen feladatok kit zésével és megoldásával kapcsolatos általános összefüggéseket tárgyaljuk.
2.4.1 Örvényáram feladatok Tömör vezet kben indukált áramot örvényáramnak nevezzük, mivel a II. Maxwell-egyenlet értelmében (ellentétben a stacionárius áramlással) örvényes elektromos tér hozza létre. Az örvényáramnak kitett vezet ket rendszerint szigetel közeg (pl. leveg ) veszi körül, amelyben nem keletkeznek örvényáramok. Ebben a térrészben a mágneses teret részben az örvényáramok, részben az adott eloszlású áramok (pl. vékony vezet b l készült tekercs) gerjesztik. Így a szigetel vel kitöltött térrészben a mágneses tér meghatározása a stacionárius esethez (2.2.2 fejezet) hasonlóan lehetséges. A vezet kben az elektromos tér kiszámítása is szükséges. Id beli változás esetén a mágneses teret gerjeszt totális árams r ség: ∂D ∂E JΣ = J + = σE + ε (2-68) ∂t ∂t Szinuszos változást feltételezve a vezetési és az eltolási árams r ség aránya σE σ = (2-69) εωE ωε Jó vezet k (fémek) esetén a fajlagos vezetés értéke 107 (S/m) nagyságrend . A fémek permittivitása nem ismert pontosan (épp a nagy fajlagos vezetés következtében), feltételezzük, hogy 10-11 (As/Vm) nagyságrendben van. Ezekkel és f=1 THz frekvenciával számolva: σ 107 = ≈ 105 −11 12 ωε 2π 10 ⋅10 tehát fémekre, gyakorlatilag minden frekvencián elhanyagolható az eltolási árams r ség. Így az alapegyenletek: (2-70) rotH = J ∂B rotE = − (2-71) ∂t (2-72) divB = 0 (2-73) divJ = 0 és az anyag egyenletek: B = µH (2-74) J = σE + J b (2-75) A (2-73) egyenlet nem független (2-70)-t l, de a vezet k ismeretlen árameloszlásának meghatározásához szükséges felhasználni. A közeg µ permeabilitása és σ fajlagos vezetése a B ill. E térjellemz kt l is függhet. A továbbiakban feltételezzük ennek a függvénykapcsolatnak az
8
ismeretét. Az adott gerjesztéseket J b árams r séggel vesszük figyelembe. A 2-4. ábrán vázoltunk azt az elvi elrendezést, amelyre vonatkozó örvényáram problémát vizsgáljuk. A vizsgált tartomány Ω = Ω v1 Ω v 2 Ω s a vezet k ΓE ΓE tartomány pereme Γ = ΓE ΓH v ΓHs ΓB . ΓB Meghatározandó a mágneses tér ( H, B ) a teljes Ω v1 Ωv2 Ω tartományban és az árameloszlás ( J ) az Γ13 σ2,µ2 Γ23 σ1,µ1 Ω v = Ω v1 Ω v 2 térrészt kitölt vezet kben. A n13 ΓHs n23 szigetel ben ( Ω s ) J = J b ismert, ezért az Γ12 n12 n elektromos tér kiszámítása itt nem szükséges. A Jb Ω s szigetel feladat korrekt megoldásához biztosítani kell ΓHv két különböz közeggel kitöltött térrész σs=0,µs határán a mágneses térre vonatkozóan a 2-4. ábra (B i − B j )⋅ n ij = 0 , (2-76)
(H
i
− H j )× n ij = 0 ,
(2-77)
az áramlási térre vonatkozóan pedig a (J i − J j )⋅ nij = 0
(E
(2-78)
− E j )× n i , j = 0 ,
i
(2-79)
feltételek teljesülését. A (2-78) összefüggést például a Γ13 vezet -szigetel közeghatárra alkalmazva: (J1 ) ⋅ n13 = 0 . (2-80) A küls ΓE peremen az n × E = 0 (a vezet t adott feszülségre kapcsoljuk), a ΓHv peremen az n × H = 0 feltételt alkalmazzuk. Az el z feltétel (2-71) következtében B ⋅n = 0 -t is magában foglalja, illetve az utóbbi (2-70)-nel együtt J ⋅ n = 0 el írásával ekvivalens. Ezek a feltételek gyakran szimmetriafelületek segítségével, vagy a távoli perem alkalmas felvételével biztosíthatóak. A ΓB peremen a mágneses indukció normális komponensét írjuk el : B ⋅ n = − ρ ms , míg a ΓHs peremen a tartományon kívüli áramok hatását vesszük figyelembe a H × n = J s összefüggéssel.
2.4.1.1 A mágneses vektor- és az elektromos skalárpotenciál használata A mágneses tér leírására a teljes tartományban vektorpotenciált (A), a vezet kben az áramlási tér meghatározására a skalárpotenciált (ϕ) alkalmazzuk ( A,ϕ módszer). A mágneses vektorpotenciált bevezetve, (2-81) B = rotA . Mivel a szigetel közegben nem folyik ismeretlen áram, a stacionárius esetnek megfelel összefüggést kapjuk a vektorpotenciálra, azaz rot (νrotA ) − grad (νdivA ) = J b Ω s-ben (2-82) A vezet kben az árameloszlás ismeretlen, ezért az elektromos tér meghatározása is szükséges. A II. Maxwell-egyenletb l: ∂A ∂A rot E + =0→ E=− − gradφ (2-83) ∂t ∂t Tudjuk, hogy a vezet kben J = σE , így az I. Maxwell-egyenletb l, és a (2-73) folytonossági egyenletb l:
9
∂A rot (νrotA ) + σ + σgradφ = 0 ∂t Ω v − ben (2-84) ∂A div − σ − σgradφ = 0 ∂t Ebben a formában a két egyenlet nem független (az els egyenlet divergenciáját véve a másodikat kapjuk), és a vektorpotenciál divergenciáját sem rögzítettük. Ezért a (2-84) egyenletet a Coulombmértéket biztosító taggal is kiegészítjük, (2-82)-höz hasonlóan: ∂A rot (νrotA ) − grad (νdivA ) + σ + σgradφ = 0 ∂t Ω v − ben (2-85) ∂A div − σ − σgradφ = 0 ∂t Így már a két egyenlet sem összefügg , viszont a div( grad (νdivA )) = 0 Ω = Ω s Ω v (2-86) egyenletnek teljesülnie kell a teljes tartományon. A korábbiakhoz hasonlóan ez a peremfeltételek el írásával biztosítható. A vezet és a szigetel tartományra felírt egyenletek csatolása a közeghatár feltételeken keresztül valósul meg. Alább összefoglaljuk a potenciálokra vonatkozó peremfeltételeket. a) Adott feszültséggel táplált vezet kre: n×A = 0 n×E = 0 → , divA = 0 → νdivA Γ = 0 (2-87) E φ = U0 Γ
E
b) A ΓB peremen (indukció normális komponense adott): B ⋅ n = − ρ ms → n × A Γ = , (div = ρ ms ), divA = 0 → νdivA Γ = 0 .
(2-88)
c) A ΓHs peremen (szigetel , a mágneses térer sség felület menti komponense adott): H × n = J s → νrotA × n Γ = J s , divA = 0 → A ⋅ n Γ = 0 .
(2-89)
d) A ΓHv peremen (vezet , a mágneses térer sség felület menti komponense nulla): ∂A + gradφ ⋅ n = 0, H × n = 0 → νrotA × n Γ = 0, J ⋅ n = 0 → − σ Hv ∂t . ΓHv
(2-90)
B
B
Hs
Hs
!"#
divA = 0 → A ⋅ n Γ = 0
Hv
e) A vezet -szigetel közeghatáron (pl. Γ13): B ⋅ n folytonossága → A folytonos, H × n folytonossága → νrotA × n folytonos, ∂A + gradφ ⋅ n = 0 , divA = 0 → νdiv(A ⋅ n13 ) folytonos. J ⋅ n = 0 → −σ ∂t Γ13
&
'()
$
%
(2-91)
f) A különböz fajlagos vezetés közegek határfelületén (Γ12) az árams r ség normális irányú összetev jének folytonosságát az alkalmazott közelít megoldási módszer biztosítja. Ennek részleteit kés bb tárgyaljuk. *
+
*
+
+
*
*
2.4.1.2 Az áram vektor- és a mágneses skalárpotenciál használata Ebben az esetben a mágneses skalárpotenciált használjuk mind a szigetel mind az örvényáram tartományban, a vezet kben emellett az áram vektorpotenciált alkalmazzuk az áramlási tér meghatározására ( T − Ω, T − Φ módszer). A módszer gazdaságosabb az A,φ potenciálok használatánál, viszont nem alkalmazható többszörösen összefügg vezet tartományokra [4], a *
*
*
*
10
mágneses skalárpotenciál használata következtében. A stacionárius esethez hasonlóan bevezetjük a redukált mágneses skalárpotenciált, amellyel a szigetel tartományban: H = H s + H r , ahol rotH s = J b és H r = − gradφ r (2-92) továbbá − div (µgradφ r ) = −div (µH s ) Ω s − ben , (2-93) A vezet kben: J = rotT → rot (H − T ) = 0 → H = T − gradφ m (2-94) azaz a vezet kben az ún. „totális” mágneses skalárpotenciált használjuk. Az anyagegyenletet felhasználva H és J fenti kifejezését behelyettesítjük a II. és a III. Maxwell-egyenletbe: ∂φ 1 ∂ ∂T rotE = rot rotT = − (µH )− = − µ + µgrad m , illetve σ ∂t ∂t ∂t divB = div (µT − µgradφ m ) = 0 . Rendezés után, valamint a divT = 0 feltételt implicit módon bevezetve: ∂φ 1 1 ∂T rot rotT − grad divT + µ − µgrad m = 0 Ω v − ben . (2-95) σ σ ∂t ∂t div(µT ) − div(µgradφ m ) = 0 A peremfeltételeket és a (2-93) - (2-95) egyenlet csatolását biztosító közeghatár feltételeket alább foglaljuk össze. a) A vezet k ΓE (szimmetria) felületén: 1 n × E = 0 → rotT × n = 0 , divT = 0 → T ⋅ n Γ = 0 , *
*
*
*
σ
E
ΓE
B ⋅ n Γ = 0 → µ (T − gradφ m ) ⋅ n |ΓE = 0
(2-96)
b) A ΓB peremen (indukció normális komponense adott): B ⋅ n = − ρ ms → µ (gradφ r ) ⋅ n |ΓB = ρ ms + µH s .
(2-97)
c) A ΓHs peremen (szigetel , a mágneses térer sség felület menti komponense adott): H × n = J s → H s × n Γ = J s , φr = Φ 0 .
(2-98)
E
*
*
Hs
d) A ΓHv peremen (vezet , a mágneses térer sség felület menti komponense nulla): H × n = 0 → (T − gradφ m )× n Γ = 0, → T × n Γ = 0, φ m Γ = φ0 , *
*
Hv
divT = 0 →
1
σ
Hv
Hv
=0
divT
.
(2-99)
ΓHv
e) A vezet -szigetel közeghatáron (pl. Γ13): B ⋅ n folytonossága → µ v (T − gradφ m ) ⋅ n13 = µ s (H s − gradφ r ) ⋅ n13 , *
*
H × n folytonossága → T × n13 = 0 φ m = φ r + H s × n13 d
,
Γ13
J ⋅ n = 0 → T × n Γ = 0 , (már el írva), divT = 0 →
1
divT = 0 . (2-100) σ f) A különböz fajlagos vezetés közegek határfelületén (Γ12) az árams r ség normális irányú összetev jének folytonosságát T folytonossága az elektromos térer sség felület menti
13
összetev jének (
1
σ kés bb tárgyaljuk.
rotT ) az alkalmazott közelít megoldási módszer biztosítja. Ennek részleteit
11
2.4.2 Hullámtani feladatok Elektromágneses hullámterjedés esetén az eltolási árams r ség hatása nem hanyagolható el, így a megoldandó összefüggések a Maxwell-egyenletek teljes rendszere. A következ kben nem foglalkozunk olyan hullámterjedési feladatokkal amelyekre vizsgálandó tartomány elméletileg nem korlátos (pl. sugárzási és szórási ΓH problémákkal). A továbbiakban vizsgált y feladatokra a hullámterjedési tartomány ΓE korlátos (2-5. ábra), mint pl. Ω hullámvezet k és üregrezonátorok esetén. Amikor numerikus közelít módszerrel εr, µr, σ=0, ρ=0 x határozzuk meg hullámvezet k és z üregrezonátorok sajátfrekvenciáit, különösen fontos a változók 2-5. ábra egyértelm ségének biztosítása, hogy elkerüljük a fizikailag értelmezhetetlen ún. "spurius" módusok megjelenését a megoldásban. Egyik megoldási lehet ség a potenciálok folytonosságát és egyértelm ségét biztosító leírás alkalmazása [5], de emellett széles körben használatos a térjellemz vektorokra ( E, H ) vonatkozó leírás. A megoldási módszereket szinuszos id beli változású terekre tárgyaljuk, és így az 1.??? szakaszban leírt fazor-reprezentációt alkalmazzuk térjellemz kre. Továbbá a 2-5 ábra jelöléseinek megfelel en áram és töltésmentes Ω tartományt vizsgálunk. Alapegyenletek komplex alakban: rotH = jωε E (2-101) rotE = − jωµ H (2-102) (2-103) divB = 0 (2-104) divD = 0 B = µH, D = εE . (2-105) A 2-105 egyenletekben ε és µ tenzoriális mennyiség is lehet, de ezt a skalártól megkülönböztet jelöléssel nem hangsúlyozzuk. A tartomány peremét két részre osztjuk. A ΓE peremen (2-106) E×n = 0 az elektromos térer sség érint irányú komponense nulla (elektromos fal), míg a ΓH peremen (2-107) H×n = 0 azaz a mágneses térer sség érint irányú összetev je nulla (mágneses fal). Az elektromos fal ideális elektromos vezet t ( σ = ∞ ), a mágneses fal ideális mágneses közeget ( µ = ∞ ) modellez.
2.4.2.1 Mágneses vektorpotenciál és elektromos skalárpotenciál használata A potenciálok az örvényáramú terekhez hasonlóan vezethet k be, és a térjellemz k a (2-108) B = rotA E = − jωA − gradφ (2-109) összefüggéssel számíthatók ki. Behelyettesítve ezeket a (2-101)-be, rendezés után kapjuk rot µ −1rotA − ω 2εA + jωε ( gradφ ) = 0 (2-110) A peremfeltételek kifejezve a potenciálokkal: E × n = 0 → n × A |ΓE = 0, ϕ |ΓE = 0 (2-111)
(
)
H × n = 0 → µ −1rotA × n |ΓH = 0
(2-112)
A vektorpotenciál rögzítésére most is a Coulomb-mértéket alkalmazzuk. Ezért a (2-110) egyenletet b vítjük az ismertetett módon, és ezen kívül a tangenciális vagy a normális
12
komponensét is el kell írni a peremen. Mivel a ΓE peremen A tangenciális összetev jét már specifikáltuk, kiegészítve ezt a ΓH peremen a n ⋅ A |ΓH = 0 (2-113)
feltételt írjuk el . A módosított egyenlet rot (µ −1rotA ) − grad (µ −1divA ) − ω 2εA + jωε ( gradφ ) = 0 (2-114) már nem tartalmazza az eltolási árams r ség forrásmentességét, ezért ezt el kell írni, azaz div( jωE ) = div(− ω 2εA + jωgradφ ) = 0 (2-115) −1 Annak érdekében, hogy a (2-114)-ben bevezetett µ divA a teljes tartományban zérus legyen, szükséges a peremfeltételeket kiegészíteni: n ⋅ (− ω 2εA + jωε gradφ ) |ΓE = 0 (2-116)
az eltolási árams r ség normális komponense nulla, és µ −1divA |ΓE = 0
(2-117)
Végeredményben megállapítható, hogy a (2-114) és (2-115) homogén differenciál egyenletet homogén peremfeltételekkel kell megoldani. Az ilyen feladatnak nullától különböz megoldása a sajátfrekvenciáknak megfelel ω értékek esetén lehetséges.
2.4.2.2 Elektromos vektorpotenciál és mágneses skalárpotenciál használata
Az el z módszer duálját kapjuk, ha (2-104)-b l kiindulva bevezetjük az F elektromos vektorpotenciált: (2-118) D = rotF és ezzel (2-101)-b l H = jωF − gradφ m . (2-119) A térjellemz k fenti kifejezését a (2-102)-be beírva: rot (ε −1rotF ) − ω 2 µF + jωµ ( gradφ m ) = 0 (2-120) A (2-106), (2-107) peremfeltételeket kifejezve a potenciálokkal: E × n = 0 → ε −1rotF × n |ΓE = 0 (2-121)
H × n = 0 → n × F |ΓH = 0, φ m |ΓH = 0
(2-122)
A vektorpotenciál rögzítésére most is a Coulomb-mértéket alkalmazzuk. Így a megfelel en módosított egyenlet (2-123) rot (ε −1rotF ) − grad (ε −1divF ) − ω 2 µF + jωµ ( gradφ m ) = 0 és annak kiegészítése a (2-123) divergenciájával div(− ω 2 µF + jωµ gradφ m ) = 0 (2-124) A feladat egyértelm megoldásához a következ kiegészít peremfeltételeket írjuk el n ⋅ F |ΓE = 0 (2-125)
(
)
n ⋅ − ω 2 µF + jωµ gradφ m |ΓE = 0
(2-126)
azaz a mágneses indukció normális irányú komponense nulla, és µ −1divF |ΓH = 0 .
(2-127)
Hasonlóan az el z szakaszban leírtakhoz el ször az ún. sajátfrekvenciákat kell meghatározni, amelyekre a homogén differenciálegyenleteknek létezik a triviálistól különböz (nem nulla) megoldása.
2.4.2.3 Az elektromos ill. mágneses térer sség használata
13
A fenti potenciálok alkalmazásakor 4 ismeretlen skalárfüggvényt kell meghatározni, ami bizonyos esetekben nem jelent el nyt. Ha biztosítható az elektromos térer sség folytonossága akkor E, ha pedig a mágneses térer sség tekinthet folytonosnak, akkor H alkalmazható állapotváltozóként a potenciálok helyett. Ilyen feladatokra csak 3 ismeretlen skalárfüggvényt kell meghatározni, ami el nyös lehet. Alábbiakban az E-módszert és a H-módszert ismertetjük. A (2-102)-b l H-t kifejezve és behelyettesítve (2-101)-be a 1 (2-128) rot rotE − ω 2εE = 0
µ differenciálegyenletet kapjuk. Peremfeltételek:
E × n |ΓE = 0,
(2-129a)
ill. a ΓH peremre el írt feltétel (2-102) alkalmazásával (µ −1rotE)× n |ΓH = 0 .
(2-129b)
Hasonlóan, a (2-101)-b l E-t kifejezve és behelyettesítve (2-102)-be a 1 rot rotH − ω 2 µH = 0
(2-130)
ε
mágneses térer sségre vonatkozó differenciálegyenletet kapjuk. A ΓE peremre el írt feltétel (ε −1rotH )× n |ΓE = 0 (2-131a)
míg ΓH-ra közvetlenül alkalmazható a H × n |ΓH = 0,
(2-131b)
alak. (Az el bbi Dirichlet- az utóbbi Neumann-típusúnak is nevezhet .) Kés bbiekben visszatérünk, a fenti összefüggések alkalmazására adott irányú hullámterjedés vizsgálatánál.
14
Irodalomjegyzék [1] Simonyi Károly: Elméleti villamosságtan, Tankönyvkiadó, Budapest. 1960. [2] Elliott, R. S.: Electromagnetics, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966 [3] Császár Ákosné: Vektoranalízis. M egyetemi kiadó. Budapest, 1996 [4] O. Biro and K. R. Richter: CAD in Electromagnetism. Advances in Electronics and Electron Physics, vol. 82, pp. 1-96, 1991. [5] Bárdi, I. and Bíró, O. (1989) IEEE Trans. on Mag. vol. 26. pp.450 [6] Silvester P.P., and Ferrari R.L., Finite Elements for Electrical Engineers, Cambridge University Press, 1983 [7] Jin, J. The Finite Element Method in Electromagnetics, Wiley-Interscience Publication, 1993.
15
