Handleiding vierde middag Concrete Meetkunde 2009 Beweging en symmetrie 1 Drie startproblemen
opgave
1.
Een klein puntspiegelwonder. Zet drie punten op papier, A, B en C. Kies een ander punt: X1. Puntspiegel X1 in A, het beeld is X2. Puntspiegel X2 in B, het beeld is X3. Enzovoorts. Puntspiegel in totaal zes keer, in A, B, C, en weer A, B en C. Wat is X7? Probeer een verklaring te vinden.
opgave
2.
Verassende tekstbewegingen (demo: bewegendetekst.ppt)
tweemaal dezelfde tekst op elkaar
gelijke ligging
tekst 1 iets gedraaid
daarna tekst 1 iets naar boven
Symmetrie.fm
1
6-3-09
opgave
3.
De schat op Teleurstellingseiland
Op een onooglijk stukje vergeeld papier dat je in een oude kist vindt, staat dit:
.................................igt begraven op TELEURSTELLINGS EILAND . Ga op de stronk van de oude eik st....n. Loop n......... de eerste steen, sla lood....cht linksaf en loop nog....als dezelfde afstand. Van dit p..t loop je naar de tw........ .....en, j.... ...at weer loodrecht link.....f en je lo........ laatste afstand nog eens. Gr...f precies midden tussen waar je nu bent en de stron.... Ondanks de gruwelijke verhalen die je op http://en.wikipedia.org/wiki/Disappointment_Island1 vindt, reis je direct af. Je hebt een plan bij je, voor als je de stenen en de stronk eenmaal hebt gevonden:
Hier ligt de schat!
stronk van de oude eik
steen 1
steen 2
Op Teleurstellingseiland aangekomen, vind je wel de twee stenen, maar helaas .... geen spoor van de oude eik. Je vraagt je bijna af of die eik er wel ooit geweest is .....
De echte optimist in jou probeert het natuurlijk toch. Kies zomaar een nieuw punt op de kaart en markeer het met Z. Voer op de kaart hierboven de zoekactie met potlood en geodriehoek uit, alsof de oude eik bij Z stond. Het resultaat is nogal wonderlijk en het roept om een verklaring.
2 Afbeelding, transformatie, isometrieën Puntspiegelen is een functie van punten naar punten. We keken naar één punt dat gepuntspiegeld werd. Bij meetkunde kijk je vaak naar de werking van een functie op een groter geheel. We spreken dan vaak van ‘afbeelding’ of ‘transformatie’ We kijken steeds naar afbeeldingen van het hele vlak op het hele vlak.
beeld
ha
lv
raa ed
i
origineel Zeer verwarrend; dus even wennen.. In dit verhaal betekent afbeelding en transformatie dus functie. Het resultaat van een afbeelding heet vaak beeld, in deze handout ook ‘kopie’. Origineel en kopie, wiskunde in de taal van Xerox. het blijkt een krachtig hulpmiddel voor meetkunde, vooral bij onderzoek van patronen en symmetrieen. De drie startproblemen komen er ook door in ander daglicht te staan ...
opgave
4.
Welke eigenschappen van het origineel blijven bij puntspiegelen behouden? Denk aan rechtlijnigheid, parallel zijn van twee lijnen, aan hoeken, afstanden, enz. Welke eigenschappen blijven niet behouden?
Definitie Een afbeelding F van het hele vlak op het hele vlak heet een isometrie als hij afstanden behoud, dwz. als voor alle puntenparen P, Q geldt dan: d(P, Q) = d(F(P), F(Q)). 1 50° 36’ ZB, 165° 58’ OL.: Disappointment Island; een van de onbewoonde Auckland eilanden ten zuiden van Nieuw Zeeland. Onbewoond? Op 65.000 visverwerkende witkop albatrossen na!
Symmetrie.fm
2
6-3-09
opgave
5.
Een halve draai (dat is een puntspiegeling) is natuurlijk een isometrie. Er zijn er meer! Gebruik een figuur en een kopie om meer isometrieën zien.
Bij opgave 1 werden afbeeldingen ‘samengesteld.’ Je kunt al zien dat twee verschillende halve draaien samen een ander soort isometrie geven. Spelend met de twee kopieen merk je bijvoorbeeld dat ook samenstelling van een kleine draaiing en een kleine verschuiving een andere draaiing is, om een ander punt. Zoals bij de schuivende tekst ... We gaan het verder hebben over soorten isometrieën, samenstellig van isometrieën, en de speciale situatie van figuren en isometrieën, waarbij het beeld samenvalt met het origineel. Buiten isometrieën zijn er andere afbeeldingen als projecties, gelijkvormigheden (zwellen of krimpen, eventueel gecombineerd met draaien), afschuiven. Het gebied heet TRANSFORMATIE-MEETKUNDE. Wij beperken ons vandaag helemaal tot isometrieën. In dit hoofdstuk vervormen transformaties helemaal niet; omdat ze allemaal isometrieën zijn. Een beetje onnauwkeurig, maar vandaag niet gevaarlijk: transformatie in dit hoofdstuk is altijd ‘isometrie’.
3 Allerlei terminologie Algemeen: Afbeelding:
injectieve functie van het vlak op het hele vlak
Isometrie:
afbeelding die afstanden niet verandert.
Samenstelling, : omkering
als bij functies.
Translatie
verschuiving over vaste vector AB.
TAB
Rotatie
draaiing tegen de klok in over vaste hoek α om vast centrum M.
RM,α
Halve draai, puntspiegeling
andere namen voor een rotatie over 180 graden rond punt P.
HP
Lijnspiegeling
spiegeling in vaste lijn l.
Sl
Glijspiegeling
lijnspiegeling in l gevolgd door een translatie over een vector AB.
Gl,AB
Identiteit
De luie transformatie, die niets verplaatst.
I
dekpunten
invariante figuur
beschrijving
karakter
soort
notatie
Diverse isometrieën
Engelse termen: translation, rotation, reflection, glide reflection, identity. Eigenlijk zou je van al deze afbeeldingen moeten bewijzen dat ze inderdaad een isometrieën zijn. Dat laten we achterwege, maar je mag er natuurlijk over nadenken!
Symmetrie.fm
3
6-3-09
Enkele onaardigheden: Er bestaan een rotatie en een translatie die de identiteit zijn. Oneigenlijke gevallen, die we liever geen rotatie of translatie of glijspiegeling zouden noemen? Er is ook een glijspiegeling die een gewone spiegeling is. opgave
6.
Een samenstelling van twee translaties is een translatie. Logisch toch? Om deze bewering staande te houden moeten we de ‘stille’ translatie I ook translatie noemen. Hoezo? Geef een soortgelijke toelichting bij de ontaarde rotatie en glijspiegeling.
Voorbeeldfiguur bij glijspiegeling:
origineel
glijsp
s iegela
translatievector
beeld opgave
7.
In de definitie stond niet dat translatievector T en spiegelas l parallel moeten zijn. Maar .... Je kunt bij een glijspiegeling altijd de translatie evenwijdig aan de glijspiegelas kiezen. Dwz.: gegeven een Glijspiegeling Gl,AB, dan bestaan er een lijn m en een vector AC, die evenwijdig zijn, en waarbij Gl,AB = Gl,AB.
4 Even en Oneven isometrieën
C’ ? C’ ?
We zetten een isometrie F in elkaar en kijken hoe vrij we daarin zijn.
B’
Kies een origineelpunt punt A. Het beeld onder F kunnen we vrij kiezen waar we willen. Kies! Noem het A’. Kies nu B. Wat weet je van B’ = F(B)? Omdat d(F(A), F(B)) = d(A, B) zijn we niet zo vrij meer in onze keuze. Kies F(B).
B A’ A
C
Kies een derde punt origineelpunt C. Hoeveel vrijheid is er nog voor F(C)? Niet veel! Bij de ene keus van C’ is ABC als het ware verschoven naar het beeld. Bij de ander keus lukt het niet met schuiven alleen, er moet ook omgeklapt worden. In dat laatste geval is wel hoek ABC in absolute waarde gelijk aan hoek F(A)F(B)F(C), maar niet als georiënteerde hoek. Een georiënteerde hoek (van halflijnen, het kan ook anders) kun je je gemakkelijk voorstellen als het verschil tussen twee kompaskoersen, je rekent verder modulo 360. Omdat kompaskoersen van 0 tot aan 360 lopen, lopen georiënteerde hoeken dan ook van 0 tot aan 360.
Symmetrie.fm
4
6-3-09
Definitie: even en oneven isometrie: Een isometrie heet even als hoekoriëntatie behouden blijft, oneven als dat niet zo is. Toelichting: bij even blijft het teken van de georienteerde hoek dus gelijk, bij oneven klapt het altijd om. (Voetnoot: je kunt ook de termen directe en indirecte isometrie tegenkomen.) opgave
8.
Wat hebben we zomaar aangenomen om die definitie te kunnen opstellen? Even en oneven, waarom is die terminologie niet zo gek? Even of oneven, dat is het karakter van de transformatie. Vul de tabelkolom in.
opgave
9.
Is elke isometrie HOEKTROUW?
5 Eenvoudige samenhangen opgave 10. Verklaar met eenvoudige schetsen: a. Samenstelling van twee translaties is weer een translatie. Samenstellen van translaties is commutatief. b. TCATBCTAB = I c. Voor elke halve draai HP geldt: HP = HP-1. d. De samenstelling van twee verschillende halve draaien om A en B is een translatie. Welke? e. De samenstelling van een translatie en een halve draai is ook een (andere) halve draai. Welke ander halve draai? f. Elke translatie is te verkrijgen door samenstellen van twee halve draaien. Hoe? Kan het op meer manieren? g. Wat is de samenstelling van een halve draai en een translatie? opgave
8.
Translaties commuteren. Dwz. TCD TAB = TAB TCD . Volgorde onbelangrijk! (Er is een verband met vectoroptelling). Commuteren halve draaien ook? En rotaties?
6 Klein spiegelwonder tweemaal opgelost meer puntspiegelwerk. opgave
9.
Verklaar het puntspiegelwonder door HCHBHAHCHBHA als samenstelling van één afbeeldingen met zichzelf.
opgave
10.
En ook door het als samenstelling van drie afbeeldingen te zien.
opgave
11.
In de figuur hiernaast gaat het om vier halve draaien rond A, B, C en D. Via twee routes wordt van X naar Y gegaan. Druk het geillustreerde feit uit in een relatie tussen halve draaien en bewijs die met behulp van omzetten in translaties.
opgave
12.
Symmetrie.fm
D C Y B A X
Voor welke figuren ABCD geldt dat: HDHCHBHA = I ?
5
6-3-09
7 Hoofdstellingen; classificatie van isometrieën. Deze stellingen geven in feite alle informatie over transformaties in een notedop. De eerste van volgende vier stelling hebben we eigenlijk al bewezen: Stelling NUL EEN ISOMETRIE IS GEHEEL BEPAALD ALS DE BEELDEN VAN TWEE PUNTEN EN HET KARAKTER VAN DE ISOMETRIE GEGEVEN ZIJN.
opgave
13.
Stelling NUL wordt vaak zo geformuleerd: een isometrie wordt bepaald door drie punten en de beelden van die drie punten. Daar zit een addertje onder... Kun je die zes punten vrij kiezen?
Stelling een en twee samen zeggen: die tabel van hierboven is alles wat er is. Stelling EEN: ELKE EVEN ISOMETRIE IS ÒFWEL EEN TRANSLATIE ÒFWEL EEN ROTATIE ÒFWEL DE IDENTITEIT. Stelling TWEE: ELKE ONEVEN ISOMETRIE IS OFWEL EEN SPIEGELING, OFWEL EEN GLIJSPIEGELING. Stelling DRIE: ELKE ISOMETRIE KAN VERKREGEN WORDEN ALS SAMENSTELLING VAN DRIE LIJNSPIEGELINGEN.
Aan het eind van deze handout, in een appendix, staan schetsmatige bewijzen, waarin een paar stappen tamelijk intuitief genomen worden. Je kunt alles veel harder maken, zie de literatuur. Dat geeft je wel inzicht in de logisch-theoretische onderbouwing, maar misschien niet zoveel meer concreet inzicht en handigheid in het gebruik. Wél handig is het begrip dekpunt van een transformatie. Vandaar....
8 Dekpunten Definitie dekpunt:
P is dekpunt van een afbeelding F als F(P) = P. Je kunt ook zeggen: P wordt op zichzelf afgebeeld. opgave
14.
Vul de dekpunten-kolom in de tabel van pag. 3 in.(Sommige transformatie hebben meer dan een dekpunt.) Waarom zijn er geen transformaties met precies drie dekpunten? Welke aantallen kunnen wel voorkomen?
opgave
15.
Merk op: als je weet of een isometrie Even of Oneven is en je hebt een vaag idee over het aantal dekpunten (geen, een of veel), dan ken je z’n karakter. Licht toe
9 Samenstellen van rotaties en van rotatie en translatie Dit is duidelijk: RP,αRP,β = RP,α+β Maar samenstellen van rotatie en rotatie met verschillende centra, wat zou dat opleveren? Je mag iets verwachten van de vorm: RL,αRK,β = RM,β+α, maar je wilt dan wel weten hoe M gevonden kan worden. En je zou dan punt M graag willen weten. opgave
16.
Symmetrie.fm
Probeer M te vinden als de hoeken beide 90 graden zijn.
6
6-3-09
M Als α+β ongelijk 0 is, dan zegt stelling EEN, dat er inderdaad zo'n punt is, want de samenstelling kan dan geen translatie of de identiteit zijn, maar is wel een EVEN isometrie. β K M moet dan een dekpunt van de samenstelling zijn; Laat M’ het punt ‘halverwege’ zijn, dus α M’ = RL,α(M). De andere rotatie draait M’ dus terug naar M: Aha, zo als hierboven getekend dus! M en M’ liggen symmetrisch t.o.v. KL. M’ Je ziet dat de constructie misgaat als β = −α Dan zal de samenstelling een translatie moeten zijn. (Bij de komende opgaven zit een voorbeeld). opgave
17.
L
Gebruik dezelfde figuur voor het vinden van RK,β RL,α
Nu een rotatie gevolgd door een translatie. Laat K het centrum van de rotatie met hoek α zijn en TMM’ de translatie zijn. Er is genoeg vrijheid in de keuze van MM’ om deze figuur te krijgen, waarin MM’K gelijkbenig is. Vul met S aan tot een parallellogram M’MSK.
K S α α
RK,α TMM’(M) = M en RK,α TMM’(S) = K Dus
M’ RK,α TMM’ = RM,α
M
Zo dat is gelukt. Maar: Andersom moet ook nog: eerst transleren dan roteren. opgave
18.
Zoek dat ook uit!
Geheime Tip: Het is totaal onwetenschappelijk, tamelijk vaag en zeg het vooral niet in elk gezelschap hardop, maar het is wel een handig inzicht: je kunt een translatie opvatten als een uiterst kleine draaiing rond een uiterst ver centrum. Vaag, maar je ziet ineens wel dat de twee gevallen van deze paragraaf ‘hetzelfde’ zijn.
10 Oefenen in samenstellen Deze paragraaf bevat oefenopgaven. Je moet steeds de samenstelling van twee isometrieën vinden. Gebruik vooral de voorgaande paragraaf, om te zien hoe de constructies gedaan moeten worden. De hoofdstellingen zijn je gids. Je antwoorden zijn steeds figuren, die de ligging van een eventueel nieuw rotatiecentrum, een spiegelas, translatievector, een glijspiegelas precies aangegeven zoals dat ook bij de vorige paragraaf gebeurd is. Er zijn een paar nieuwe gevallen bij en bij de laatste kun je echt laten zien wat je zelf kunt. opgave
• • • • • •
19.
a b c d e f
Symmetrie.fm
Twee rotaties om verschillende punten. De paren draaihoeken zijn: eerste 90 90 180 -90 120 30
en en en en en en
tweede 90 graden 45 graden -90 graden 90 graden 120 graden -60 graden
7
6-3-09
opgave • a • b
20.
Een rotatie gevolg door een translatie en andersom. De rotatie hoek is 180 graden -90 graden
opgave
21.
Twee spiegelingen met een hoek α tussen de assen.
opgave
22.
Een glijspiegeling en een gewone spiegeling, met de spiegelas en de glijspiegelas onder een hoek van 90 graden.
opgave
23.
Een rotatie over 90 graden, gevolgd door een glijspiegeling.
opgave
24.
[Pittig!] Gegeven punt M, A en B, niet op één lijn. Gegeven is: De samenstelling van de rotatie om M over een hoek van 60 graden en een onbekende andere isometrie is de glijspiegeling met glijspiegelas door AB die A in B overvoert. Gevraagd: Wat is die andere isometrie?
opgave
25.
Interpreteer ‘Teleurstellingseiland’ als het samenstellen van twee rotaties.
opgave
26.
Beschrijf het verplaatsen van het dekpunt bij de actie met de geroteerde tekst met behulp van samenstelling van translatie en rotatie.
11 Wat is eigenlijk Symmetrie? Wie spiegelen zegt, zegt vaak ook symmetrie. In deze paragraaf een basale analyse van het begrip symmetrie. Het dagelijkse begrip symmetrie De vlinder heet symmetrisch omdat je links en rechts elkaars spiegelbeeld zijn in de spiegelas van de vlinder. Nu een formelere definitie. De zwart-wit definitie Als puntverzameling F als geheel door een transformatie T op zich zelf wordt afgebeeld, dan heet T een symmetrie van F. (Kort gezegd: ‘heeft T-symmetrie”) Je kunt opschrijven T(F) = F. Dat is dan verzamelingsgewijs bedoeld en niet puntsgewijs. opgave 27. Teken figuren die de volgende symmetriën hebben: • spiegeling-symmetrie • puntspiegel-symmetrie • RP,120 - symmetrie • TranslatieAB -symmetrie • Glijspiegel symmetrie • RP,90 - symmetrie maar géén spiegel symmetrie • Inversie-symmetrie in een gegeven cirkel. • Identiteit-symmetrie De gekleurde definitie Zij gegeven een functie K van het vlak V naar een (kleuren)verzameling S en een transformatie T van het vlak. Als voor elk punt P in het vlak geldt dat K(T(P)) = K(P) , dan heet T een symmetrie voor K.
Symmetrie.fm
8
6-3-09
Iets minder pedant: ‘als de kleur van het beeldpunt de kleur van het punt is, dan .....’ opgave
28.
Vul de figuur zo aan, dat een halvedraai-symmetrische figuurontstaat rond het aangegeven centrum.
opgave
29.
Rotatiesymmetrische figuur, met hoek 60o, (We spreken van zestallige draaisymmetrie).
opgave
30.
Deze figuur heeft nog meer symmetriëeen. Welke?
opgave
31.
Hoeveel en welke symmetrieën heeft een vierkant?
opgave
32.
Als U en V symmetrieën van een figuur F zijn, dan zijn U V en U-1 ook symmetrëeen van F. Toon dit formeel aan met de gekleurde definitie.
opgave
33.
Het spoor van een lopende haan is glijspiegelsymmetrisch. Het is ook translatiesymmetrisch; legt dat uit aan de hand van de manier hoe je met een schuifspiegeling een translatie kunt maken. Noem nog een paar bekende schuifspiegelsymmetrische patronen.
opgave
34.
Noem andere voorbeelden in de ‘werkelijkheid’ van diverse soorten symmetrieen.
12 Symmetrische figuren maken door kopiëren opgave
35.
Bij de halve draai H geldt: Een figuur samen met zijn kopie onder H is H-symmetrisch. Formuleer iets soortgelijks voor de rotatie om P over 60 graden.
Deze opgave geeft een basistechniek: symmetrische figuren maken door toevoegen van kopieën. opgave
36.
Teken (een stukje van..) een patroon dat twee onafhankelijke (dwz. niet parallelle) translatie-symmetrieën heeft. Het hindert niet of er nog meer symmetrieen zijn; het patroon moet en visje, vogeltje of bloemetje bevatten.
opgave
37.
Teken een figuur die door toevoegen van slechts één kopie viertallig draaisymmetrisch wordt.
13 De symmetrie-groep van een figuur Stel je hebt een figuur, een zijn volledige verzameling symmetrieen. De verzameling is dus de hele zak met isometrieën die de figuur invariant laten. We weten: Als A en B in tot die verzameling horen, dan ook de samenstellingen AB en A-1 . De identeit is zeker een symmetrie van de figuur. Zo’n verzameling met een samenstelstructuur (en inversie en identiteitselement) erbij heet een GROEP. Deze verzameling symmetrieën van een figuur vormt altijd een groep en heet de symmetriegroep van de figuur.
Symmetrie.fm
9
6-3-09
Bij een symmetriegroep kun je een samenstellingstabel maken. Een soort vermenigvuldigtafel! opgave
38.
Maak die tabellen voor de symmetriegroepen van een rechthoek. en van de vierarmige niet spiegelsymmetrische molen. Dezelfde groepen?
opgave
39.
Teken een begrensde figuur met een oneindig grote symmetriegroep.
opgave
40.
Teken (een stukje van) een figuur waarvan de symmetriegroep hetzelfde ‘werkt’ als het optellen van gehele getallen.
opgave
41.
Teken een figuur met een symmetriegroep van 5 elementen, die ook een oneven symmetrie bevat. (Commentaar: Als je zeker weet dat het niet kan, moet je dat maar zien te bewijzen.)
Als je nu een klein stukje van een figuur kent, en je weet ook iets van zijn symmetriegroep, dan weet je vanzelf meer. Alle kopieën onder symmetrieen en samenstellingen horen namelijk ook bij de figuur. opgave
42.
Deze figuur is onvolledig, maar heeft rotatiesymmetrie onder 45 graden rond P. Maak de figuur af Hoe groot is de symmetriegroep (minstens)?
opgave
43.
P
Een stukje figuur is gegeven. Er is puntsymmetrie rond A. Ook zijn met twee pijlen translaties aangegeven die in de symmetriegroep zitten. T1 en T2. Teken de kopie van het figuurdeeltje onder T1, T1T2, T1T2T1HA. En ga zo nog maar even door tot je veel van de figuur weet. Ontstaan er andere symmetrieen?
A
T1 T2
Zo hebben we een zuinige manier om een patroon te beschrijven: je beschrijft een klein stukje, een basispatroon, en geeft de symmetriegroep er bij. De symmetriegroep karakteriseert het patroon qua structuur, niet in detail. Het kleine stukje heet een fundamentaalgebied
Symmetrie.fm
10
6-3-09
Formalisatie van het kopiëer-proces: de baan (orbit) van een punt Gegeven een groep van transformaties G. Als P een punt is dan heet de verzameling van {T(P) | T ∈ G} de baan van P onder de groep G. Als P bij een G-symmetrische figuur hoort, hoort de hele baan van P onder G bij de figuur. opgave
44.
Nogal formeel, maar je hebt het begrip eigenlijk misschien al gebruikt. Waar?
opgave
45.
Kies voor G alle rotaties om een vast punt M. Wat is de baan van een punt P?
Accentverlegging van figuur naar groep Elke rechthoek heeft een symmetriegroep. Maar de twee symmetriegroepen van twee verschillende rechthoeken zijn qua groepsstructuur helemaal gelijk. Daarom spreken we van ‘DE symmetriegroep van een rechthoek’. Het is nog veel erger, zoals blijkt uit deze opgave, die je niet uitvoerig en gedetailleerd moet uitwerken .... opgave
46.
Vul een rechthoek met vier bloemen, zodanig dat de symmetriestructuur behouden blijft. Doe het nog eens, nu met vier vissen, vier draken of vier losse punten.
De symmetriegroep vertelt dus iets algemeens over het type symmetrie van een figuur, zonder dat iets gezegd wordt over alle details van de figuur.
14 Discrete symmetriegroepen Voor het onderzoek van ornamenten voegen we nog een eis toe. Die eis sluit allerlei minder interessante dingen uit. Hier zijn er twee waar we niet echt warm voor lopen opgave
47.
Wat is de symmetriegroep van de rechte lijn? Van het vlak zelf?
Teveel symmetrieën om interessant te zijn. .... Definitie: Een symmetriegroep ( van een figuur) heet discreet als voor elk punt P de baan van P geen andere verdichtingspunten heeft dan het oneindige. De punten van de baan mogen zich dus niet ophopen. Dat betekent dat in elke eindig stukje vlak, slechts eindig veel punten van de baan zitten. Dat sluit veel uit. Voor ons doel (ornamentale symmetrie, denk aan Escher, Arabische kunst, een fietswiel en fietsketting) is het belangrijk te weten dat Discrete symmetriegroep goed aansluit bij wat we intuitief regelmatige of symmetrische figuren noemen. De exacte onderbouwing met het begrip verdichtingspunt is nu niet zo belangrijk. De iets formele benadering in de laatste paragrafen maakt het wel mogelijk het begrip ‘symmetrie’ met kleine aanpassingen ook op de bolmeetkunde en op de meetkunde van de cirkellimieten van Escher toe te passen! Je komt het vast nog elders tegen. opgave
48.
Symmetrie.fm
Neem een zwarte zwemband, teken er vier rode cirkels op. Zorg dat er een discrete symmetriegroep bij hoort. Het kan op diverse manieren!
11
6-3-09
15 Hoofdindeling vlakke discrete symmetriegroepen in een notedop Een mooie taak is: krijg vat op alle mogelijke discrete symmetriestructuren die in het platte vlak mogelijk zijn. Natuurlijk illustreer je zo’n verhaal met voorbeelden van Schotse ruiten, islamitische versieringen, behang, diersporen, ronde vensters etc. (We laten er een hoop zien ...) In dit toepassingsgebied kom je vanzelf wat groepentheorie tegen. Je hebt wel gemerkt in de voorbeelden dat het al dan niet aanwezig zijn van translaties in de symmetrie groep belangrijk is. Daaruit volgt de volgende hoofd indeling uit:
A: Rosettegroepen: geen translaties Figuren: denk aan gotische ramen! Rosettegroepen hebben géén translaties. Consequenties is dat er maar één dekpunt kan zijn; het midden van de figuur. Er zullen zeker rotaties zijn. Er zijn twee smaken: met en zonder spiegelingen. Zonder: allerlei molentjes, die niet spiegelsymmetrisch zijn. Voor elk n heb je de Cyclische groep Cn, Denk aan een regelmatige veelhoek met pijltjes in een van de draairichtingen op alle zijden. Met: Voor elke regelmatige n-hoek heb je de n rotaties; ieder kan gecombineerd worden met een spiegeling. De Dn heeft 2n elementen.
B: De Frieze-groepen; bandsymmetrieën: translaties in één richting. Figuren: denk aan alle randvormige herhaalde patronen. De translaties komen niet alleen, maar insamen met de veelvouden (hele getallen!) van één basis translaties. Er kunnen spiegelassen, in de lengte en/of dwars richting zijn, glij-spiegelingen in de lengte richtinge en ook halve-draai symmetrieen. Er zijn 7 verschillende Frieze-groepen.
C: De wallpaper-groepen; behanggroepen: translaties in verschillende richtingen Denk aan: stoeptegels, Escher’s vlakvullingen, baksteenmuren, behang, enzovoort. De feiten: de translaties vormen een rooster van parrallellogrammen spiegelingen, glijspiegelingen, rotaties kunnen voorkomen. De Kristallografische resctrictie: NOOIT VIJFTALLIGE ROTATIES, alleen 2, 3, 4 EN 6-tallig. De hoofdstelling (Fedorov, 1891) Er zijn precies 17 verschillende wallpapergroepen In het Alhambra komen volgens de kenners alle 17 wallpaper-groepen voor!
Uitstapje naar de ruimte: Ook de ruimte kent Discrete symmetriegroepen. Dat is gereedschap voor de krisatallograaf! Er zijn er 230 ‘space groups’. (Fedorov, Schoenflies, Barlow, eind 19e eeuw)
Symmetrie.fm
12
6-3-09
16 Nog een ander kant van de zaak. Bewijzen met isometrie. VOORBEELD van een constructie meet een ROTATIE. Gegeven drie evenwijdige lijnen l, m en n. Construeer een gelijkzijdige driehoek waarvan de drie hoekpunten A, B, C op de drie lijnen liggen. Oplossing: Kies A op l. Zij p de lijn RA,60(n). Kies B = p ∩ m. en C = RA,-60(B). Voer dat eens even uit, om te zien waarom het allemaal werkt.
A l m n
p
De techniek is weer dezelfde als bij het kleine wonder: kijk in plaats van het afbeelden van een punt naar het afbeelden van een geheel, hier de lijn n. Nu een lastiger, maar nog boeiender voorbeeld: de stelling van Napoleon. Neem een (willekeurige!) driehoek en zet uitwendig op de drie zijden drie gelijkzijdige driehoeken. Dit is de figuur:
P
B
W
Q V
C
A
U
R Stelling van Napoleon: De middelpunten van die driehoeken vormen een gelijkzijdige driehoek. Een bewijsmogelijkheid is: WU met heftige gonioformules, cosinusregels, etc. in de zijden en hoeken van ABC uitdrukken en laten zien dat de gevonden uitdrukking symmetrisch in A, B en C is. Véééll werk, niet gaan doen. Hier volgt een transformatie-meetkundig plan.
Symmetrie.fm
13
6-3-09
opgave
49.
Transformatie-meetkundig werkplan: Maak drie rotaties, met centra W, U en V. F = RW,120 G = RV,120 H = RU,120. Bewijs nu eerst dat HGF = I. Bepaal het dekpunt van de rotatie GF. Dat moet het centrum van rotatie H zijn. Maak het bewijs verder af. 17 Literatuur Hermann Weyl, SYMMETRY, (Princeton University Press, 1952) Veel prachtige voorbeelden in natuur, kunst, handnijverheid. Zeer leesbare beschrijving van wat symmetrie eigenlijk is. Gaat wiskundig niet heel ver. George E. Martin, TRANSFORMATION GEOMETRY, AN INTRODUCTION TO SYMMETRY,( Springer 1982) Systematisch wiskundige behandeling, ook symmetrie in de ruimte. Overzichten en illustraties bij alle mogelijke symmetriegroepen. H.S.M. Coxeter, INTODUCTION TO GEOMETRY, (John Wiley, 1961) Precies wat de titel zegt: over allerlei soorten meetkunde een inleiding. Isometrieen worden allemaal als samenstelling van spiegelingen geconstrueerd. I.M. Yaglom, GEOMETRIC TRANSFORMATIONS, (Random House 1962) Wiskundige opbouw van de drie hoofdstellingen is heel grondig; het spiegelwonder komt hieruit, er staan honderden van dat soort fraaie problemen in. Branko Grünbaum & G.C. Sheppard, TILINGS AND PATTERNS, (Freeman 1987) Zeer uitgebreid en up -to-date. Veel over vlakvullingen met gegeven figuren. Ook aandacht voor betegelingen die juist helemaal geen symmetrie hebben. http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group#History Verwijst ook naar de Frieze groups. Een goede wiki-pagin!
Symmetrie.fm
14
6-3-09
APPENDIX Bewijs van STELLING EEN: Eerst de identiteit en dan de translaties afvangen. Wat overblijft moeten rotaties zijn. De krachtigste stappen zitten dus in de staart van het bewijs. Noem de isometrie F. Kies twee verschillende punten, A en B. De beelden zijn A’ en B’. Door deze vier punten ligt de isometrie nu geheel vast, omdat we weten dat hij ONEVEN is. Als A = A’ en B = B’ hebben we de identiteit. Als AA’ en BB’ evenwijdig en gelijkgericht zijn, dan is AA’B’B een parallellogram en geldt dus TAA’(B) = B’, m.a.w. er een translatie die A in B en A’ in B’ overvoert. Die moet dan gelijk aan F zijn, volgens stelling NUL. Als AA’ en BB’ evenwijdig en niet gelijkgericht zijn, hebben we een halve draai te pakken. Ga maar na dat AA’BB’ dan een parallellogram moet zijn, de halve draai om het snijpunt van de diagonalen is de gezochte rotatie. Nog te bewijzen: als AA’ en BB’ niet evenwijdig zijn, dan is de afbeelding een rotatie. Het idee is: zoek het mogelijke dekpunt. Voor dat mogelijke dekpunt P moet zeker gelden AP = A’P. B Onze enige kans is: P ligt op de middelloodlijn van AA’. Net zo: P ligt op de middelloodlijn van voor BB’. Het enig mogelijke dekpunt is dus het punt P in de figuur. A De figuur suggereert nu sterk dat F de rotatie om P met A’ hoek roteren om P over hoek α moet zijn. Met een beroep op stelling NUL is dat niet zonder meer in te zien. Je moet dan nog bewijzen dat de gerichte hoeken APA’ en BPB’ gelijk zijn. Als dat waar zou zijn, is het bewijs rond. De redenering loopt zo: De driehoeken APB en A’PB’ zijn congruent. (Drie overeenkomstige zijden gelijk.) Dus ∠APB = ∠A’PB’. Maar dan geldt ook ∠APA’ = ∠ B’PB’.
B’
P
Bewijs van Stelling Twee Noem de isometrie weer F en A, B en A’, B’ zijn als boven.
B l
A’ A1
m
B’
A
B1 B’’
Symmetrie.fm
15
6-3-09
Eerst enkele hulp punten en lijnen: Bepaal B’’ zodat AB’’B’A’ een parallellogram is. m is de middelloodlijn van BB’’. Nu is F de samenstelling van: – spiegelen in m – een translatie over AA’. Als l de lijn evenwijdig aan m door het midden van AA’ is, dan is F ook de glijspiegeling met l als spiegelas en A1A’ als translatievector. Je moet dan wel bewijzen dat A1A’B’B1 een parallellogram is, waarbij A1B1 de spiegeling van AB in l is! Bewijs van stelling Drie in een notedop. Volg de constructie die tot stelling NUL leidde en laat zien dat alle tussenstappen door spiegelingen kunnen worden geleverd. De eerste spiegeling is in de middelloodlijn van AA’. Beeld van B is B1 hierbij. Zoek nu een spiegeling die A’ niet meer veranderd en B1 op B’ legt. Zo nodig nog spiegelen in A’B’.
17.1 Huiswerkopdrachten Opdracht EEN: Lees deze handout nog eens door. Opdracht TWEE: Selecteer twee samenstelling van transformatie uit opgave 20 t/m 26 waarvan je je nog niet heel zeker voelde. werk ze op papier uit. Opdracht DRIE: Zoek een randornament in je omgeving. Teken het schetsmatig over. Geef aan welke symmetrieen er in te vinden zijn en geef het fundamentaalgebied aan. Opdracht VIER: Beschrijf (en teken) twee stukken straat waarin klinkers of stoeptegels liggen, die een verschillende symmetriegroep hebben. Geef de verschillen in de symmetriegroep aan. Opdracht VIJF Werk de stelling van Napoleon uit.
Symmetrie.fm
16
6-3-09
halv
e dra
ai
beeld
origineel
Symmetrie.fm
17
6-3-09
origineel glijspiegelas
spiegeling translatie
beeld
mll(B, B’) mll(A, A’) Q’ B A’
Q
B’
A P
Waarom gaat mll(Q, Q’) door P? Waarom gaat is ∠APA’ = ∠QPQ’?
Symmetrie.fm
18
6-3-09
B
A’ A
α
P B
A’ α B’
A
X
K S α α
M’
Symmetrie.fm
19
M
6-3-09
M
K
β
L α
M’
Symmetrie.fm
20
6-3-09
D C Y B A X
α α P
Symmetrie.fm
21
6-3-09
A l
B
m C n
opgave 1
Symmetrie.fm
p
Een stukje figuur is gegeven. Ook zijn met twee pijT1 len T2 translaties aangegeven die in de symmetriegroep zitten. T1 en T2. Teken de kopie van het figuurdeeltje onder T1, T1T2, T1T2T1. En ga zo nog maar even door tot je veel van de figuur weet. Ontstaan er anders symmetrieen?
22
6-3-09
P
B W
Q V
C
A
U
R
Symmetrie.fm
23
6-3-09
Symmetrie.fm
24
6-3-09
Allerlei terminologie Algemeen: Afbeelding: injectieve functie van het vlak op het hele vlak Isometrie: afbeelding die afstanden niet verandert. Dekpunt: P is dekpunt van afbeelding F als F(P) = P Samenstelling, omkering: als bij functies Diverse isometrieën: Translatie: notatie Voor alle punten geldt: A.B.TAB(P).P is een parallelogram. Rotatie:
draaiing tegen de klok in over vaste hoek α om centrum M, notatie Exacter: ..................
Lijnspiegelingbekend, spiegeling om lijn l, notatie
TABkarakter: even
RM,akarakter: even
Sl
karakter: oneven
Glijspiegelinglijnspiegeling in l gevolgd door een translatie over vector AB notatie: Gl,ABkarakter: oneven Identiteit Een luie afbeelding. Doet niets. Is de samenstelling van een afbeelding met zijn omkering. notatie:
I
qwertyuiop09876453
Symmetrie.fm
25
6-3-09
Symmetrie.fm
26
6-3-09
OVERZICHT Isometrieën: afstandstrouwe afbeeldingen -
even: translaties, rotaties oneven: spiegeling, glijspiegeling even • even = even even • oneven = oneven oneven • oneven = even
3 Stellingen: dit zijn de enige Isometrieën! -
Gevolg: samenstelregels
Dekpunt -
rotatie heeft één dekpunt even isometrie met dekpunt is rotatie
Symmetrieën van een figuur: -
isometrieën die de figuur invariant laten
Vormen een Groep Continue Beweging Gebruik: -
Symmetrie.fm
Bewijzen van enkele stellingen Beschrijvingsmiddel : • versieringen
27
6-3-09
{ RM,60, RM,120, RM,180, RM,240, RM,300, I }
M
•
Z6
bewegingen
M
K
β
L α
M’
Symmetrie.fm
28
6-3-09
ALS
DAN willekeurig
en
Symmetrie.fm
90, 45
90, 45
29
6-3-09
Symmetrie.fm
30
6-3-09
Symmetrie.fm
31
6-3-09
Symmetrie.fm
32
6-3-09
Symmetrie.fm
33
6-3-09
Stelling NUL
EEN ISOMETRIE IS GEHEEL BEPAALD ALS DE BEELDEN VAN TWEE PUNTEN EN HET KARAKTER VAN DE ISOMETRIE GEGEVEN ZIJN. Stelling EEN:
ELKE EVEN ISOMETRIE IS ÒFWEL EEN TRANSLATIE ÒFWEL EEN ROTATIE ÒFWEL DE IDENTITEIT. Stelling TWEE:
ELKE ONEVEN ISOMETRIE IS OFWEL EEN SPIEGELING, OFWEL EEN GLIJSPIEGELING. Stelling DRIE:
ELKE ISOMETRIE KAN VERKREGEN WORDEN ALS SAMENSTELLING VAN DRIE LIJNSPIEGELINGEN.
Symmetrie.fm
34
6-3-09
Symmetrie.fm
35
6-3-09
B
A
C
Symmetrie.fm
36
6-3-09
Symmetrie.fm
37
6-3-09
