Overzicht eigenschappen en formules meetkunde
1
Axioma’s
2
Rechten en hoeken
3
Driehoeken
4
Vierhoeken
Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules die je in de eerste graad geleerd hebt en deze die in dit leerboek voorkomen. Wat je in de eerste graad al gezien hebt, is aangeduid met een kruisje in een vierkantje.
1
Axioma's
:
Twee punten bepalen juist één rechte.
:
a
Axioma punt-rechte
B A
Door elk punt van het vlak dat niet op een rechte ligt, kan
P
men juist één rechte tekenen die evenwijdig is met de
b
gegeven rechte. Axioma van Euclides
:
Door elk punt van het vlak kan men juist één rechte tekenen loodrecht op een gegeven rechte. Axioma van de loodrechte stand
a
b P a
1
Rechten en hoeken
:
Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde derde rechte,
c
dan zijn die twee rechten evenwijdig.
a b
b // a en c // a ⇒ b // c
:
Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan
a
snijdt ze ook de andere.
b c
b // a en c // a ⇒ c // b
:
Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde derde rechte,
c
b
dan zijn die twee rechten evenwijdig. a
b ⊥ a en c ⊥ a ⇒ b // c
:
b
Als twee rechten loodrecht op elkaar staan, dan staat elke rechte die evenwijdig is met één van deze rechten loodrecht
a
op de andere.
c
a ⊥ b en c // a ⇒ c ⊥ b
:
Overstaande hoeken zijn gelijk. 2
A
Aˆ1 = Aˆ2
:
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn 1 twee overeenkomstige hoeken gelijk, 2 twee verwisselende binnenhoeken gelijk, 3 twee verwisselende buitenhoeken gelijk, 4 twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement, 5 twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement.
b a c
1
:
Omgekeerde stelling Als bij twee rechten gesneden door een rechte 1 twee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig, 2 twee verwisselende binnenhoeken gelijk zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig, 3 twee verwisselende buitenhoeken gelijk zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig, 4 twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig, 5 twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig.
:
Een punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk
m
a.s.a.
P
het punt even ver ligt van de grenspunten van het lijnstuk. Kenmerk van de middelloodlijn A
M
B
P ligt op ml ⎡⎣AB ⎤⎦ c
PA = PB
:
Een punt ligt op een deellijn van twee snijdende rechten
a
a.s.a. het punt even ver ligt van de snijdende rechten.
P
Kenmerk van de deellijn b
P ligt op een deellijn van de snijdende rechten a en b c
Pa = Pb
:
Een spiegeling, een verschuiving, een draaiing en een puntspiegeling bewaren • de afstand, • het midden van een lijnstuk, • de evenwijdigheid, • de loodrechte stand.
:
• Een hoek en zijn spiegelbeeld zijn tegengesteld. • Een hoek en zijn schuifbeeld, zijn draaibeeld en zijn puntspiegelbeeld zijn gelijk.
:
• Het spiegelbeeld, het schuifbeeld, het draaibeeld en het puntspiegelbeeld van een rechte is
een rechte. • Het schuifbeeld en het puntspiegelbeeld van een rechte is een rechte met dezelfde richting.
• Het projectiebeeld van een rechte, die geen rechte is van
y
b
a
de projectierichting, is de projectieas. • Het projectiebeeld van een rechte van de projectierichting
S
x
is het snijpunt van de rechte en de projectieas.
p xy (a ) = x p xy ( b ) = S
• Het projectiebeeld van een lijnstuk, waarvan de drager bepaald is door de projectiebeelden van de grenspunten van het lijnstuk.
• Het projectiebeeld van een lijnstuk waarvan de drager een rechte is van de projectierichting, is het snijpunt van de drager van het lijnstuk en de projectieas.
y
C
A
geen rechte is van de projectierichting, is een lijnstuk dat D
S
B'
x
A'
B
p xy (⎡⎣AB ⎤⎦) = ⎡⎣A ' B '⎤⎦ p xy (⎡⎣CD ⎤⎦) = S
Een projectie bewaart de verhouding van evenwijdige
y
lijnstukken.
A
B D
C
A'
B'
x
C'
D'
AB A 'B ' = ⎡⎣AB ⎤⎦ // ⎡⎣CD ⎤⎦ ⇒ CD C 'D '
De projectiebeelden van evenwijdige en even lange
y
lijnstukken zijn even lang.
A
B D
C
A'
B'
x
C'
D'
⎡⎣AB ⎤⎦ // ⎡⎣CD ⎤⎦ en AB = CD ⇓
A 'B ' = C 'D '
y
Een projectie bewaart het midden.
B
M
A
x
A'
M'
B'
M is het midden van ⎡⎣AB ⎤⎦ ⇓
M ' is het midden van ⎡⎣A ' B '⎤⎦
a
Drie evenwijdige rechten bepalen op twee snijlijnen evenredige lijnstukken. Stelling van Thales
b
C
B
A
x
c
y
M
a // b // c ⇒
P
N
AB MN = BC NP
Als een rechte twee lijnstukken, waarvan de grenspunten op twee evenwijdige rechten liggen, in evenredige lijnstukken verdeelt, dan is deze rechte evenwijdig met de rechten door
x
C
B
A
de grenspunten. Omgekeerde stelling van Thales
y M
N
P
AB MN = AM // CP en BC NP ⇓
BN // AM // CP
Een figuur en een homothetiebeeld ervan zijn gelijkvormig. In een figuur en een homothetiebeeld ervan zijn de overeenkomstige zijden evenwijdig.
3
Driehoeken
:
De som van de hoeken van een driehoek is 180°.
A
C
:
Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de
B
Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180° 1
niet-aanliggende binnenhoeken.
A
B
C
Aˆ1 = Bˆ + Cˆ
:
In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn op de basis ook
A
• de deellijn van de tophoek, • de zwaartelijn naar de basis, • de middelloodlijn van de basis.
C
:
M
Een driehoek is gelijkbenig
B
A
a.s.a. twee hoeken van de driehoek gelijk zijn. Kenmerk gelijkbenige driehoek
C
∆ABC is gelijkbenig
B
c
Bˆ = Cˆ
:
A
Een driehoek is gelijkzijdig a.s.a. alle hoeken van de driehoek gelijk zijn. Kenmerk gelijkzijdige driehoek C
∆ABC is gelijkzijdig c
Aˆ = Bˆ = Cˆ
B
:
K
Als een paar zijden van twee driehoeken even lang is en de twee paar aanliggende hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken congruent.
A
Congruentiekenmerk ‘HZH’
:
Als twee paar zijden van twee driehoeken even lang zijn en
B
C
K
de ingesloten hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken congruent.
A
Congruentiekenmerk ‘ZHZ’
:
Als de drie paar zijden van twee driehoeken even lang zijn,
B K
dan zijn de driehoeken congruent.
Als de schuine zijden van twee rechthoekige driehoeken en
A
L
M
C
B
L
een paar rechthoekszijden even lang zijn, dan zijn de driehoeken congruent. Congruentiekenmerk voor rechthoekige driehoeken.
L
M
C
Congruentiekenmerk ‘ZZZ’
:
L
M
Een rechte die evenwijdig is met een zijde van een driehoek,
B
M
K
A
C
A
bepaalt met de andere zijden een driehoek die gelijkvormig is met de gegeven driehoek.
L
K
B
C
∆ABC met KL // BC ⇓ ∆ABC
∆AKL
K
Als twee paar hoeken van twee driehoeken gelijk zijn, dan zijn de driehoeken gelijkvormig.
A
Gelijkvormigheidskenmerk ‘HH’
L
M
B
C
Aˆ = Kˆ Bˆ = Lˆ 123 c ∆ABC ∆KLM
K
Als twee paar zijden van twee driehoeken evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken
A
gelijkvormig.
L
M
Gelijkvormigheidskenmerk ‘ZHZ’ B
C
Aˆ = Kˆ AB AC = KL KM
14 4244 3 c ∆ABC ∆KLM
K
Als de drie paar zijden van twee driehoeken evenredig zijn, dan zijn de driehoeken gelijkvormig.
A
Gelijkvormigheidskenmerk ‘ZZZ’ C
L
M
B
AB BC AC = = KL LM KM
144424443 c
∆ABC ∆KLM • De verhouding van de omtrekken van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan een
gelijkvormigheidsfactor. • De verhouding van de oppervlakten van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan het kwadraat van een gelijkvormigheidsfactor. • De verhouding van de inhouden van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan de derdemacht van een gelijkvormigheidsfactor.
A
• Het lijnstuk bepaald door de middens van twee zijden van een driehoek is een middenparallel van de driehoek.
K
L
• In een driehoek is een middenparallel evenwijdig met de derde zijde en half zo lang als deze zijde.
B
C
⎡⎣KL ⎤⎦ is een middenparallel van ∆ABC ⇓
KL // BC en KL =
A
De rechte door het midden van een zijde van een driehoek, evenwijdig met een tweede zijde, gaat door het midden van
K
L
de derde zijde.
1 BC 2
B
C
K is het midden van ⎣⎡AB ⎦⎤ en KL // BC ⇓
L is het midden van ⎣⎡AC ⎦⎤
A
In een driehoek verdeelt het zwaartepunt elke zwaartelijn in twee stukken waarvan het ene tweemaal zo lang is als het M
andere.
K
Z
C
L
B
Z is het zwaartepunt van ∆ABC ⇓
AZ = 2 LZ , BZ = 2 ZM , CZ = 2 ZK
A
In een driehoek verdeelt de deellijn van een hoek de overstaande zijde in twee lijnstukken die zich verhouden zoals de aanliggende zijden. C
D
∆ABC met AD = dl Aˆ ⇓
CD AC = BD AB
B
In een rechthoekige driehoek is de zwaartelijn naar de
B
schuine zijde half zo lang als de schuine zijde.
M
A
C
∆ABC met Aˆ = 90° en zwaartelijn ⎡⎣AM ⎤⎦ ⇓ 1 AM = BC 2
Als de zwaartelijn naar een zijde van een driehoek half
B
zolang is als deze zijde, dan is de driehoek rechthoekig.
M
C
A
∆ABC met zwaartelijn ⎡⎣AM ⎤⎦ en AM =
1 BC 2
⇓ ∆ABC is rechthoekig
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogte
B
H
op de schuine zijde gelijk aan het product van de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt. A
C
∆ABC met Aˆ = 90° en hoogte ⎡⎣AH ⎤⎦ ⇓
AH
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een
B
2
= BH ⋅ CH
H
rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde en de loodrechte projectie van deze rechthoekszijde op de C
A
schuine zijde.
∆ABC met Aˆ = 90° en hoogte ⎡⎣AH ⎤⎦ ⇓
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine
AB
2
= BC ⋅ BH
AC
2
= BC ⋅ CH
B
zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. Stelling van Pythagoras
A
∆ABC met Aˆ = 90°
C
⇓
BC
2
= AB
2
+ AC
2
Als in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan
Y
de som van de kwadraten van de andere zijden, dan is de driehoek rechthoekig. Omgekeerde stelling van Pythagoras
Z
X
YZ
2
= XY
2
+ XZ
2
⇓ ∆XYZ is rechthoekig
In een rechthoekige driehoek is
α
de overstaande rechthoekszijde schuine zijde
•
sinus α =
•
cosinus α =
de aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
•
tangens α =
de overstaande rechthoekszijde de aanliggende rechthoekszijde
Goniometrische getallen van een scherpe hoek
B
In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek α geldt: •
sin 2 α + cos 2 α = 1
•
tan α =
sin α cos α
A
AC sin α = BC cos α =
AB BC
tan α =
AC AB
C
4
Vierhoeken De som van de hoeken van een vierhoek is 360°.
B C
A
:
D
Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 360° B
Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden.
C
D
A
:
B
Een gelijkbenig trapezium is een trapezium waarvan de
C
aanliggende hoeken van een basis gelijk zijn. D
A
:
B
Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande
C
zijden evenwijdig zijn. D
A
:
Een rechthoek is een vierhoek met vier gelijke hoeken.
B
C
D
A
:
B
Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.
C
A
: :
B
Een vierkant is een vierhoek met vier gelijke hoeken en vier
D C
even lange zijden. D
A B
Een vierhoek is een parallellogram
C
a.s.a. de overstaande zijden even lang zijn. Zijden-kenmerk parallellogram
D
A
ABCD is een parallellogram c
AB = CD en AD = BC
Een vierhoek is een parallellogram
:
B
C
a.s.a. twee overstaande zijden evenwijdig zijn en even lang. Overstaande zijden-kenmerk parallellogram
D
A
ABCD is een parallellogram c
AB // CD en AB = CD
:
B
Een vierhoek is een parallellogram
C
a.s.a. de overstaande hoeken gelijk zijn. Hoeken-kenmerk parallellogram
D
A
ABCD is een parallellogram c
Aˆ = Cˆ en Bˆ = Dˆ
:
B
Een vierhoek is een parallellogram a.s.a.
C M
de diagonalen elkaar middendoor snijden. Diagonalen-kenmerk parallellogram
D
A
ABCD is een parallellogram c
AM = CM en BM = DM
:
Rechthoek
• In een rechthoek zijn de overstaande zijden evenwijdig en even lang. • In een rechthoek zijn de diagonalen even lang en snijden ze elkaar middendoor.
:
Ruit
• In een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig. • In een ruit zijn de overstaande hoeken gelijk. • In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en snijden ze elkaar middendoor .
:
Vierkant
Een vierkant is een parallellogram, een rechthoek en een ruit. Een vierkant bezit dus alle eigenschappen van deze vlakke figuren.
:
Trapezium
B
C
• Als in een trapezium de aanliggende hoeken van een basis gelijk zijn, dan zijn de aanliggende hoeken van de andere basis ook gelijk. • Als in een trapezium de aanliggende hoeken van een basis gelijk zijn, dan zijn de opstaande zijden even lang.
D
A
trapezium ABCD met Aˆ = Dˆ ⇓
Bˆ = Cˆ en AB = CD
